第三章线性系统状态方程的解
第三章-4-状态方程的解
0 1 0
，利用方法1求解 exp(At)
0 A3 0 0 1 0 1 0 1 A 0
A
2
0 0 0
1 0 1
及 及
A A3 A5
e
At
( t ) ax ( t ) x
x ( t ) e at x ( 0 )
x (t ) e At x (0 )
n=n
于是
e
At
At (A t)2 (A t)3 (A t)k I 1! 2! 3! k!
其中，A 是方阵，exp[At] 是与 A 具有相同阶数的方阵。实际上，
exp(At ) exp(TT1t ) T exp(t )T1
4) 方法 4-----Cayley-Hamilton 4 Cayley Hamilton 定理
e
A t
exp[
At ]
n 1
k 0
k
(t ) A
k
13
状态方程的解
状态转移矩阵的计算：1) 直接计算
例 1. 假定 A 矩阵为 解：
6) 对于 nn 方阵 A 和 B，如果有 AB=BA，则
exp( A t ) exp( B t ) exp[( A B ) t ]
7) ) 对于任意非奇异矩阵 T，有
(T 1ATt ) 2 (T 1AT ) 2 t 2 (T 1 AT )(T 1 AT )t 2 2! 2! 2!
状态方程的解
状态转移矩阵的计算
对于给定的矩阵 A，计算 STM 闭合形式的方法包括：
1) 方法 1----1 直接计算
信号与线性系统分析第三章
系统描述 分析方法
连续系统 微分方程 卷积积分 变换域（傅氏、s） 系统函数
离散系统 差分方程 卷积和 变换域（离散傅氏、z） 系统函数
第 2页
§2.1 LTI离散系统的响应
• 差分与差分方程 —前向差分、后向差分以及差分方程
• 差分方程解 —数值解、经典解，以及不同特征根对应的齐 次解和不同激励对应的特解
yzi (-2) = y(-2)
-----------
yzi (n) = ？
----------------yzi (-n) = y(-n)
第 13 页
零输入举例
例1：系统方程为 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k) 已知激励f(k)=2k , k≥0；初始状态 y(–1)=0, y(–2)=1/2 求系统的零输入响应
解：yzi(k)零输入响应满足：
yzi(k) + 3yzi(k –1)+ 2yzi(k –2)= 0
yzi(–1)= y(–1)= 0 yzi(–2) = y(–2) = 1/2 递推求 yzi(0)、 yzi(1) yzi(k)= – 3yzi(k –1) –2yzi(k –2)
yzi(0)= –3yzi(–1) –2yzi(–2)= –1
yzs(0)、yzs(1)、---yzs(n)=？ 借助微分方程
n
若其特征根均为单根： yzk (k ) Czsjkj y p (k ) j 1
第 16 页
零状态举例
例1：系统方程为 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k) 已知激励f(k)=2k , k≥0；求系统的零状态响应 解：零状态响应yzs(k) 满足
信号与线性系统第3章
由于激励加入系统前，系统未储能，所以有y(j)(0-)=0。
但是由于在t=0时刻激励的加入，可能使得yf(j)(0+)不为 零。 因此需要根据激励来确定yf(j)(0+)，从而确定零状态响应中 齐次解系数的值。
用δ(t)函数匹配法求0+初始值
若激励f(t)在t=0时刻接入系统，则确定待定系数Ci时用 t=0+ 时刻的值，y(j)(0+)(j=0,1,2,……n-1).
激励为0，因此令方程右端为0：
y(n) (t) + an−1y(n−1) (t) +L+ a1y′(t) + a0 y(t) = 0
可知，零输入响应与经典解法中的齐次解形式相 同。 由于对yx(t)而言，t ≥0时，f(t)=0
所以： { yx(k)(0+) }= { yx(k)(0-) } 因此：零输入响应的系数Ci（i=1,2,…,n)可以由系统的起
y(t) = yx (t) + yf (t)
其中： yx (t) = T[x1(0− ), x2 (0− ),L xn (0− ),0] = T[{x(0− )},0] yf (t) = T[0, f1(t), f2 (t),L, fn (t)] = T[0,{ f (t)}]
求解零输入响应yx(t)
¾ 在每次平衡低阶冲激函数项时，若方程左端所有同阶次δ(t) 函数项不能和右端平衡，则应返回到y(t)的最高阶次项进行补 偿，但已平衡好的高阶次δ(t)函数项系数不变。
系统全响应 y(t) = yx (t) + yf (t)
yf’(0+) = 2+ yf’(0-) = 2 代入初始值求得： yf(t) = -7e-t+4e-2t+3, t>0
第三章线性系统的运动分析
Chapter 3 Analysis of Linear System3.1 INTRODUCTION运动分析的数学实质：从数学的角度，运动分析的实质就是求解系统的状态方程。
以解析形式或数值分析形式，建立系统状态随输入和初始状态的演化规律。
(Solving the time-invariant state equation)3.2 连续时间线性时不变系统的运动分析SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATION系统响应=系统的零输入响应+系统的零状态响应System response=a term consisting of the transition of the initial state +a term arising from the input vector零输入响应：自由运动，由系统矩阵决定，不受外输入影响。
零状态响应：强迫运动，响应稳态时具有和输入相同的函数形态。
01!k k ∞−+=∑0k k b t ∞=+=∑2012Ab Ab t Ab t +=+++b k 0)b +Equating the coefficients of the equal powers of t, we obtain By substituting this assumed solution in to Equation (1)解的说明：1.零输入响应是状态空间中由初始状态经线性变换矩阵所导出的一个变换点。
2.自由运动3.自由运动的轨迹由唯一决定。
4.当自由运动轨迹趋于平衡状态时，则系统是渐近稳定的。
At e0x Ate 0=x若初始时间取为t 0≠0则0)(,)(0t t x e t x t t A ou ≥=−00)(x t x =01!k k ∞−+=∑+232322332323332)()2!3!F F I Ft t t F t A t A Ft AF t F t ++++++0+=0,1,2,))AtAt Ae A e A ++=+=利用性质+λ)neλ)n t0000i i λλ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦12)l J t J tJ t e e 0i i t t e e e λλ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦系统状态运动规律的基本表达式设系统的状态空间描述为有表达式⎰⎰≥−+=+=−t A Att t A At t d t Bu e x e d Bu e x e t x 000)(00,)(,)()(ττττττ⎰≥+=−−t t t A t t A t t d Bu e x e t x 000)(0)(,)()(τττ对初始时刻t 0=0 情形有表达式注意：物理意义解的讨论:(1)卷积特征；(2)零初始响应的几何特征；(3)可达性；(4)任意时刻的表达式00≥,=)(),(+=t t x t x t Bu Ax x3.3连续时间线性时不变系统的状态转移矩阵State-Transition Matrix设连续时间线性时不变系统，状态方程为：as To verify this, note thatWe thus confirm that Equation (2) is the solution of Equation (1))2()0()()(x t t x Φ=where )(Φt is n n ⨯Matrix and is the unique solution of)0()0()0()0(x x x =Φ=Ate t =)(Φ)(=)0()(Φ=)0()(Φ=)(t Ax x t A x t t xI t A t =)0(Φ)(Φ=)(Φ )1(=Ax x and状态转移矩阵的形式为()()()0000,0000t t e t t t t e t t t t A At ≥=−Φ≠≥=Φ=−时，时，基于状态转移矩阵的系统响应表达式()()()()()()()()()⎰⎰−Φ+−Φ=≥−Φ=−Φ=tt t t ox ou d Bu t x t t t x t t d Bu t t x x t t t x 0000000ττττττ。
现代控制理论-状态方程的解
3、复频域上
非齐次状态方程的解
2、说明
e At 状态转移矩阵
一般用 t 表示，即 t e At
考虑初始条件拉氏变换
sX ( s ) X (0 ) AX ( s ) BU ( s ) 有 ( sI A) 1 X ( s ) X ( 0 ) BU ( s ) 即 1 X ( s ) ( sI A) X (0) ( sI A) 1 BU ( s ) 则
e
d At e Ae At e At A dt
At 1
e At
[5]、对于 n n的方阵 A、 B 当且仅当 AB BA时 有 e At e Bt e( A B)t , 而当AB BA, e At e Bt e( A B)t。
电气工程学院
几个特殊的矩阵指数eAt
设单变量系统的差分方程为：
y(k n) an1 y(k n 1) a0 y(k ) bnu(k n) bn1u(k n 1) b0u(k )
相应的系统脉冲传递函数为
bn z n bn 1 z n 1 b1 z b0 G( z ) n z an 1 z n 1 a1 z a0
有
d At At AX ] e X e [X dt e At Bu(t )
考虑初始条件 拉氏变换得 sX ( s ) X ( 0 ) AX ( s )
将上式积分有 t t X (t ) 1 ( sI A) 1 X (0) A d A e Bu( ) d d e X ( ) 0 0 d 1 显然 e At 1 t ( sI A) At A X ( 0 ) e X ( t ) e 可得 At Bu( )d
现代控制理论3 第三章 线性系统的可控性和可观测性
A'
0
0
0
a0 a1 a2
0
0 可
0
0
B'
控 标
1
an1
0 1
准 形
AT=A’
BT=B’
0 0 0 1 0 0 A 0 1 0
a0
a1
C 0
0 1
0 0
a2
可观标准形
1 an1
结论：状态方程具有可观测标准形的系统一定可观测。
C 0 0
CA
0
0
V
CA2
3.2线性定常系统的可观测性
1．线性定常离散系统状态可观测性
(1) 离散系统可观测定义
x(k 1) Gx(k) Hu(k ) y(k) Cx(k) Du(k)
已知输入u(0)，…，u(n－1)的情况下，通过在
有限个采样周期内测量到的输出y(0)，y(1)，…， y(n-1)，能唯一地确定任意初始状态x(0)的n个分量， 则称系统是完全可观测的，简称系统可观测。
(2) 线性定常连续系统可控性判据
若线性定常连续系统的状态方程为
x Ax Bu
则该系统可控的充分必要条件为其可控性矩阵
Sc B AB
满秩，即 rankSc n
An1B
示例
(3) 可控标准形
结论：状态方程具有可控标准形的系统一定可控。
x1 0
x2
0
xn
1
0
xn a0
使上述方程组有解的充分必要条件是
Sc' Gn1H
GH H
满秩，且 rankSc' n
亦即 Sc H GH
Gn1H 且rankSc n
离散可控性例题
信号与线性系统分析--第三章
第三章 离散系统的时域分析
本章概述
离散时间域的方程求解
连续时间域 时间函数 微分方程 卷积积分 离散时间域 离散序列 差分方程 卷积求和
求解方法
迭代法 经典法 卷积法
连续时间信号、连续时间系统
连续时间信号
f(t)是连续变化的t的函数，除若干不连续点之外 对于任意时间值都可以给出确定的函数值。函数 的波形一般具有平滑曲线的形状，一般也称模拟 信号
f (n) .... f (1) (n 1) f (0) (n) f (1) (n 1) ...
i
f (i) (n i)
f(k ) f(2) f(-1) f(1) f(0) … 1 2 i f(i) … k
可推出：离散系统的零状态响应
y zs (n)
m
f (m) (n m)
单位阶跃序列
与阶跃函数的不同？
延时的单位阶跃序列
用单位样值序列来表示
u( n) ( n) ( n 1) ( n 2) ( n 3) (n k )
k 0
( n) u(n) u( n 1)
题目中 y0 y1 0 ,是激励加上以后的,不是初始状 态,需迭代求出 y 1, y 2 。
n 1 y1 3 y0 2 y 1 2u 1 2 u 0
0
0 0 2 y1 2 1 1
1 y 1 2
n0
y0 3 y 1 2 y 2 2 u 0 2 u 1
0 1
0 3 y 1 2 y 2 1
y 2 5 4
将初始状态代入方程求系数
现代控制理论课后答案
前言
本书是为了与张嗣瀛院士等编写的教材《现代控制理论》相配套而编写的习题解答。
本书对该教材中的习题给予了详细解答，可帮助同学学习和理解教材的内容。由于习题数量较多，难易程度不同，虽然主要对象是研究型大学自动化专业本科学生，但同时也可以作使用其它教材的专科、本科、以及研究生的学习参考书。
书中第5、6、8章习题由高立群教授组织编选和解答；第4、7 章由井元伟教授组织编选和解答，第1、2章由郑艳副教授组织编选和解答。
+
若取 ，则有
（2）解 由（1）知
取 ，则有
若取 ，则有 ，
3.11 求下列系统在输入作用为：① 脉冲函数；② 单位阶跃函数；③ 单位斜坡函数下的状态响应。
(1)
(2)
图P2.2
解 这是一个物理系统，采用机理分析法求状态空间表达式会更为方便。令 为输入量，即 ， ， 的位移量 ， 为输出量，
选择状态变量 ， = ， = ， 。
根据牛顿定律对 有：
对 有：
经整理得：
状态方程为：
输出方程为：
写成矩阵形式为：
2.5 系统的结构如图P2.5所示。以图中所标记的 、 、 作为状态变量，推导其状态空间表达式。其中， 、 分别为系统的输入、输出， 、 、 均为标量。
图P2.5系统结构图
解 图P2.5给出了由积分器、放大器及加法器所描述的系统结构图，且图中每个积分器的输出即为状态变量，这种图形称为系统状态变量图。状态变量图即描述了系统状态变量之间的关系，又说明了状态变量的物理意义。由状态变量图可直接求得系统的状态空间表达式。
(2) 解 由已知得：
，
令： ，
得：
状态变量图如下：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三章 系统的分析——状态方程的解§3-1线性连续定常齐次方程求解一、齐次方程和状态转移矩阵的定义１、齐次方程状态方程的齐次方程部分反映系统自由运动的状况（即没有输入作用的状况），设系统的状态方程的齐次部分为：)()(t Ax t x= 线性定常连续系统：Ax x= 初始条件：00x x t ==２、状态转移矩阵的定义齐次状态方程Ax x = 有两种常见解法：（1）幂级数法；（2）拉氏变换法。
其解为)0()(x e t x At ⋅=。
其中At e 称为状态转移矩阵（或矩阵指数函数、矩阵指数），记为：At e t =)(φ。
若初始条件为)(0t x ，则状态转移矩阵记为：)(00)(t t A e t t -=-Φ 对于线性时变系统，状态转移矩阵写为),(0t t φ，它是时刻t ，t 0的函数。
但它一般不能写成指数形式。
（１）幂级数法——直接求解设Ax x= 的解是t 的向量幂级数 +++++=k k t b t b t b b t x 2210)(式中 ，，，，，k b b b b 210都是n 维向量，是待定系数。
则当0=t 时， 000b x x t ===为了求其余各系数，将)(t x 求导，并代入)()(t Ax t x= ，得：+++++=-1232132)(k k t kb t b t b b t x)(2210 +++++=k k t b t b t b b A上式对于所有的t 都成立，故而有：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧======00323021201!1!31312121b A k b b A Ab b b A Ab b Ab b K K且有：00x b =故以上系数完全确定，所以有：+++++=k k t b t b t b b t x 2210)(+++++=k k t b A k t b A t Ab b 020200!1!21)0()!1!21(22x t A k t A At I kk +++++=定义（矩阵指数或矩阵函数）：∑∞==+++++=022!1!1!21K kk k k AttA k t A k t A At I e则)0()(x e t x At⋅=。
（２）拉氏变换解法将Ax x= 两端取拉氏变换，有)()0()(s AX X s sX =- )0()()(X s X A sI =-)0()()(1X A sI s X ⋅-=-拉氏反变换，有)0(])[()(11x A sI L t x ⋅-=--则由微分方程解的唯一性可知：])[()(11---==A sI L et Atφ【例3.1.1】 已知系统的状态方程为x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0010 ，初始条件为)0(x ，试求状态转移矩阵和状态方程的解。
解：（１）求状态转移矩阵+++++==k k At t A k t A At I e t !1!21)(22φ 此题中： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0010A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡====000032nA A A 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+==1010001001)(t t At I e t At φ （２）状态方程的解 )0(101)0()(x t x e t x At⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⋅=【例 3.1.2】 已知系统状态方程为x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=3210，初始条件为)0(x ，试求状态方程的解。
解：)0()(x e t x At⋅= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-321321000s s s s A sI ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++-+++-+-++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=--2211221221112112213)2)(1(1)(1s s s s s s s s s s s s A sI ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=-==----------t t tt t t tt Ate e ee e e e e A sI L et 2222112222])[()(φ故而)0(2222)0()(2222x e e e e e e e e x e t x t t tt t t tt At ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=⋅=-------- 二、状态转移矩阵At e 的性质+++++==kk Att A k t A At I et !1!21)(22φ （1）I =)0(φ（2）A t t A t )()()(φφφ==A =)0(φ（3）)()()()()(122121t t t t t t φφφφφ±=±=±证明：)()()()()(1221)()()(212121t t t t e e e t t t A t A t t A φφφφφ±=±=⋅==±±±（4）)()(1t t -=-φφ，)()(1t t φφ=-- 证明：)()()()()()0(1t t I t t t t -=⇒=-=-=-φφφφφφ（5）)()()(00t x t t t x -=φ证明：)0()()(x t t x φ=)()()0()0()()(00100t x t x x t t x ⋅=⇒=-φφ，代入上式∴)()()()()()(00001t x t t t x t t t x -=⋅=-φφφ 证毕。
（6）)()()(011202t t t t t t --=-φφφ证明：)()()(0022t x t t t x -=φ………………………. …………………(1) )()()(0011t x t t t x -=φ……………………………………………(2) )()()()()()(001121122t x t t t t t x t t t x --=-=φφφ…………….(3) 比较（1）、(3)式，有)()()(011202t t t t t t --=-φφφ成立。
证毕。
（7）[])()(kt t kφφ=证明：[])(][)()(kt e e e t kt A kAt k At kφφ====（8）若BA AB =，则AtBt Bt At t B A e e e e e ⋅=⋅=+)(若BA AB ≠，则At Bt Bt At tB A e e e e e ⋅≠⋅≠+)(（9）设)(t φ为Ax x= 的状态转移矩阵，引入非奇异变换x P x =后的状态转移矩阵为： P e P t At 1)(-=φ证明：将x P x =代入Ax x= 中，有 x AP P x1-= APtP e t 1)(-=φ+++++=----k k APtP t AP P k t AP P APt P I e)(!1)(!21122111 +++++=----kk t AP P k t AP P APt P P P )(!1)(!21122111P t A k t A At I P k k )!1!21(221+++++=-P e P At1-= ∴P e P t At1)(-=φ。
证毕。
（10）两种常见的状态转移矩阵 ①设],,,[21n diag A λλλ =，即A 为对角阵，且具有互异元素。
则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=t t n e e t λλφ 00)(1 ②设A 为m m ⨯约当阵mm A ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλ11 ，则⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=--t t m t t t m t t t e e t m te e e t m e t te et λλλλλλλλφ0)!2(10)!1(1!21)(212【例3.1.3】 已知状态转移矩阵为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=--------t t tt t t t t Ate e e e e e e e e 22222222 试求)(1t -φ和A 。
解：（1）根据状态转移矩阵的性质4，可知⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=-=-t t tt t t tt e e e e e e e e t t 222212222)()(φφ（2）根据状态转移矩阵的性质2，可知⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-+-==--------32100442222)0(2222t e e ee e e e e A tt t t t t tt φ【例3.1.4】 已知4401101⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλA 试求状态转移矩阵Ate 。
解：根据状态转移矩阵的性质10，可知⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==t t t t t t t t t tAte te e e t te e e t e t te e et λλλλλλλλλλφ00002106121)(232【例3.1.5】 验证如下矩阵是否为状态转移矩阵。
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-t t t t sin cos 0cos sin 0001解：利用性质（1）I =)0(φI t t t t t ≠⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-010*******sin cos 0cos sin 0001，所以该矩阵不是状态转移矩阵。
【例3.1.6】 已知系统状态方程为Ax x= ， 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11)0(x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--t t e e t x 22)(当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=12)0(x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--t t e e t x 2)(试求系统矩阵A 和状态转移矩阵Ate 。
解：由性质（2）可知：)0(φ=A 由已知，有)0()(x e t x At ⋅= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⇒----1121222At t tt te e ee e ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=---------112121121222122t t t tt t t tAte ee e e e e e e⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=--------t t tt t t tt e e e e e e e e 22222222∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-+-===--------=3120424222)(022220t t t ttt t t t t e e e e e e e e t A φ§3-2 线性连续定常非齐次状态方程的解线性定常非齐次状态方程：Bu Ax x+= ，求)(t x 。
1、直接积分法Bu Ax x+= 左乘Ate -，有Bu e Ax xeAt At⋅=---)( 由于)()(Ax xe x e dtd At At-=⋅-- 所以Bu e x e dtd AtAt ⋅=⋅--)(，两端同时积分，有τττd Bu e x t x eA tAt)()0()(0⋅=---⎰∴τττd Bu e x e t x t A tAt)()0()()(0⋅+=-⎰τττφφd Bu t x t t)()()0()(0⋅-+=⎰注意：若取0t 作为初始时刻，积分可得： τττd Bu e t x et x eA tt At At)()()(00⋅=----⎰τττd Bu e t x e t x t A tt t t A )()()()(0)(00⋅+=--⎰2、拉氏变换法Bu Ax x+= ，两边同时取拉氏变换（当0=t 时刻的状态为)0(x ） )()()0()(s Bu s Ax x s sx +=- )()0()()(s Bu x s x A sI +=- 则 )()()0()()(11s Bu A sI x A sI s x ---+-=)]()[()0(])[()(1111s Bu A sI L x A sI L t x -----+-= 由拉氏变换卷积定理： ⎰-=-td f t f s F s F L 021211)().()]().([τττ在此1)(--A sI 视为)(1s F ，)(s Bu 视为)(2s F 。