(数值分析)第五章 解线性方程组的直接法
数值分析--解线性方程组的直接方法
值 为A的特征值，x为A对应的特征向量，A的全体特征值
分 析
称为A的谱，计作 ( A),即 ( A) {i ,i 1,2,, n}, 则称
》
( A)
max
1in
|
i
|
为矩阵A的谱 半 径.
三、特殊矩阵
第5章 解线性方程组的直接方法
1) 对角矩阵
2) 三对角矩阵
3) 上三角矩阵
4) 上海森伯(Hessenberg)阵
分 析
1.00x 1.00y 2.00
》 解法1： 1.00105 x 1.00 y 1.00
(1.00 1.00105) y (2.00 1.00105)
1.00105 x 1.00 y 1.00
1.00
105
y
1.00
105
x 0.00,
y 1.00
第5章 解线性方程组的直接方法
1
Ly b y 3,Ux y x 1.
2
1
第5章 解线性方程组的直接方法
§3 高斯主元素消去法
若ak(kk) 0,或ak(kk)很接近于0，会导致其他元素数量级严重 增长和舍入误差的扩散，使得计算结果不可靠.
《例3’采用3位十进制，用消元法求解
数 值
1.00105 x 1.00y 1.00
L21L1 U2U11
L21L1
U
U 1
21
I
(因为上式右边为上三角矩阵，左边为单位下三角矩阵
从而上式两边都必须等于单位矩阵)
《 数
L1 L2 , U1 U2
1 1 1
值分例2
析
.例1中，A
0
4
-1，将A作LU分解。
数值分析知识点总结
数值分析知识点总结数值分析知识点总结：本文提供了数值分析中的一些重要知识点和例题，但更多的例题可以参考老师布置的作业题和课件相关例题。
第1章数值分析与科学计算引论：绝对误差和相对误差是衡量近似值精度的指标，有效数字则是描述近似值精度的一种方式。
其中，相对误差限是绝对误差的上界。
有效数字的计算方法为：如果近似值x的误差限是某一位的半个单位，该位到x的第一位非零数字共有n位，就说x*共有n位有效数字。
一个比较好用的公式是f(x)的误差限：f(x)f'(x)(x)。
第2章插值法：插值多项式的余项表达式可以用来估计截断误差。
三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有所不同，但哪一个更优越需要根据实际情况而定。
确定n+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？三弯矩法可以用来求解三次样条表达式。
第3章函数逼近与快速傅里叶变换：带权(x)的正交多项式是在特定区间上满足一定条件的多项式，其中[-1,1]上的勒让德多项式具有重要性质。
切比雪夫多项式也有其独特的性质。
用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有所不同。
最小二乘拟合的法方程可以用来拟合曲线，但当次数n较大时，不直接求解法方程。
第4章数值积分与数值微分：XXX让德求积公式和XXX-XXX求积公式是数值积分中的两种方法，其中高斯求积公式可以用来计算定积分。
勒让德多项式的零点就是高斯点，这种形式的高斯公式被称为XXX让德求积公式。
中点方法是一种数值积分方法，其公式如下：插值型的求导公式有两点公式和三点公式。
第5章介绍了解线性方程组的直接方法，其中包括LU矩阵的推导过程。
相关例题可以在教材第4章作业题和课件中找到。
第6章介绍了解线性方程组的迭代法，判断迭代法是否收敛的条件如下：第7章介绍了非线性方程与方程组的数值解法，其中牛顿法是一种常见的方法。
对于单根且光滑的f(x)=0，牛顿法是局部二阶收敛的。
简化牛顿法和牛顿下山法都是非线性方程组的求解方法。
数值分析Ch5.1
单位向量
k
定义2 u lk 0 0 mk1 mn ，v ek 0 1 0 0 ，
1，称E
(
l
k
,
e
k
,1)
k
I
lk
e
T k
Lk (lk )
指标为k初等下三角阵。
0
1
k
Lk (lk )
I
lk ekT
I
0
mk
1
0
k 1
0
0
1 mk1
1
k行，
mn
mn
1
1
0
1
I ij
。
1
0 Leabharlann 1 2.3 初等反射阵（称为境面反射阵或Householder变换）
1、定义
定义4 设向量 w Rn，且wT w 1（模或范数等于1)， 2，
称矩阵 E(w, w,2) I 2wwT H (w) 为初等反射阵。 2、性质 定理2 设H (w) I 2wwT ,其中wT w 1 ，为初等反射阵，则
（1）H是对称阵，即 H T H;
（2）H是正交阵，即 H 1 H T ;
（3）设A为对称矩阵，那么A1 H 1 AH HAH 亦是对称阵。 证明：（1）H T (I 2ww T )T I 2(wT )T wT I 2wwT H；
（2）H T H HHT H 2 (I 2wwT )( I 2wwT )
1)
||2 ，
于是由定理3
存在H变换：
记
u
x
e1
w (u1 ,
|| u2
x e1 ，使 x e1 ||2
,, un )T，于 是
HxHyI12||2u||u||ue22u1|， T|22
数值分析线性方程组直接法实验
实验报告
一、实验目的
1.了解LU 分解法的优点
二、实验题目
1.给定矩阵A 和向量b:
.1000,123121⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--= b n n n n n n A (1)求A 的LU 分解，n 的值自己确定；
(2)利用A 的LU 分解求解下列方程组
(a)b Ax =, (b)b x A =2, (c)b x A =3.
对方程组(c)，若先求3A LU =,再解b x LU =)(有何缺点？
三、实验原理
求解线性方程组的LU 分解法直接解线性方程组.
四、实验内容及结果
2. b Ax =,b x A =2,b x A =3的求解。
3. 若先求3
A LU =,再解b x LU =)(.
五、实验结果分析
LU 分解法的优点：根据题目，如果直接用b x A =3来计算的话，需要先计算3A 的值，然后再计算方程组的值，步骤会多出很多，使得计算更复杂。
如果使用LU 分解法来解方程组的话，只需要对系数矩阵做一次LU 分解，以后只要解三角方程即可，计算的步骤明显减少。
数值分析课件 (第5、6章)
(1 ( La1n) b11) (2) (2) a L 2n b2 = A(3) : b(3) LM M (3) (3) Lamn bn
[
]
( ( ( aij3) = aij2) −mij a22) j (3) ( bi = bi(2) −mi2b22)
(i = 3,L m j = 3,L n) , ; , (i = 3,L m) ,
[
]
( ( ( aij2) = aij1) − mij a11) j (2) bi = bi(1) − mi1b(1) 1
研究生公共课程数学系列
(i = 2,L m j = 2,L n) , ; , (i = 2,L m) ,
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(2)
[A
(2)
: b(2)
]
(1 (1 a11) a12) (2 0 a22) = M M (2) 0 am2
(n)
续 述 程 到 成 s 消 计 。 继 上 过 , 直 完 第步 元 算
后 到 原 程 等的 单 程 A 最 得 与 方 组 价 简 方 组 (s+1) x = b,(s+1) 中（ ） 上 形 其 A s+1 为 梯 。
(1 (1 (1 a11) a12) L a1n) (2 ( a22) L a22) n = O M (n ann)
( a2k ) k m = (k ) ik akk
(k (akk ) ≠0)
−−−−−→
(i=k+1,Lm) ,
(1 (1 ( a11) a12) L a11) k (2 ( a22) L a22) k O M (k akk ) M 0
数值分析题库1
第一章 绪论 2 第二章 函数插值 3 第三章 函数逼近 6 第四章 数值积分与数值微分 10 第五章 解线性方程组的直接解法 13 第六章 解线性方程组的迭代解法 14 第七章 非线性方程求根 16 第九章 常微分方程初值问题的数值解法 19
第一章 绪论
1.1 要使的相对误差不超过0.1%，应取几位有效
解 对y=f(x)的反函数进行三次插值，插值多项式为
+ + + =, 于是有
。
第三章 函数逼近
3.1证明定义于内积空间H上的函数是一种范数。
证明： 正定性当且仅当时； 齐次性 设为数域K上任一数 三角不等式 ；
于是有 故是H上的一种范数。
3.2求，在空间上的最佳平方逼近多项式，并给出 误差。
解： 第一步：构造内积空间上的一组正交基，其中内积： 第二步：计算的二次最佳平方逼近多项式 从第一步已经知道，利用公式得： 误差为：
数字？
解：
的首位数字。 设有 n位有效数字，由定理知相对误差限 令， 解得，即需取四位有效数字.
1.2 序列满足关系式，若，计算到，误差有多
大？这个算法稳定吗？
解：，于是 ，一般地，因此计算到其误差限为，可见这个计算过程是不稳定的。
1.3 计算球的体积，要使相对误差限为1%，问测 量半径R时允许的相对误差限是多少？
4.1、计算积分，若用复化梯公式，问区间应分多 少等份才能使截断误差不超过？若改用复化辛普 森公式，要达到同样的精度，区间应分多少等 份？
解：由于，，,故对复化梯公式，要求 ，
即，.取，即将区间分为等份时，用复化梯公式计算，截断误差不超过. 用复化辛普森公式，要求 ，
即，.取，即将区间等分为8等份时，复化辛普森公式可达精度.
数值分析作业答案
第2章 插值法1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。
（1）用单项式基底。
（2）用Lagrange 插值基底。
（3）用Newton 基底。
证明三种方法得到的多项式是相同的。
解：（1）用单项式基底设多项式为:2210)(x a x a a x P ++=，所以：6421111111111222211200-=-==x x x x x x A 37614421111111424113110111)()()(222211200222221112000-=-=---==x x x x x x x x x f x x x f x x x f a 2369421111111441131101111)(1)(1)(12222112002222112001=--=--==x x x x x x x x f x x f x x f a 6565421111111421311011111)(1)(1)(12222112002211002=--=---==x x x x x x x f x x f x x f x a 所以f(x)的二次插值多项式为：2652337)(x x x P ++-= （2）用Lagrange 插值基底)21)(11()2)(1())(())(()(2010210-+-+=----=x x x x x x x x x x x l)21)(11()2)(1())(())(()(2101201------=----=x x x x x x x x x x x l)12)(12()1)(1())(())(()(1202102+-+-=----=x x x x x x x x x x x lLagrange 插值多项式为：372365)1)(1(314)2)(1(61)3(0)()()()()()()(22211002-+=+-⨯+--⨯-+=++=x x x x x x x l x f x l x f x l x f x L所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x L ++-= (3) 用Newton 基底: 均差表如下：Newton 372365)1)(1(65)1(230))(](,,[)](,[)()(21021001002-+=+-+-+=--+-+=x x x x x x x x x x x x f x x x x f x f x N所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x N ++-= 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。
数值分析-线性方程组的直接解法
算法 Gauss(A,a,b,n,x)
1. 消元 For k=1,2, … , n-1 1.1 if akk=0 , stop; 1.2 For i=k+1,k+2, …, n 1.2.1 l ik=aik /akk => aik 1.2.2 For j=k+1，k+2, … ,n ai j -aik ak j =>aij 1.2.3 bi -aik bk=> bi 2. 回代 2.1 bn / an=>xn; 2.2 For i=n-1,n-2, …, 2,1 2.2.1 bk => S 2.2.2 For j=k+1，k+2, … ,n S –akj xj =>S 2.2.3 S/ akk => xk a1 1 a1 2 a13 a2 1 a2 2 a23
线性方程组的直接解法
刘 斌
线性方程组的直接解法
§1 Gauss消去法 1.1 顺序Gauss消去法
1.2
§2 2.1 2.2 2.3
列主元Gauss消去法
Gauss消去法的矩阵运算 Doolittle分解法 平方根法
直接三角分解方法
2.4
追赶法
引入
在科学计算中，经常需要求解含有n个未知量 的n个方程构成的线性方程组 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 (1) an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
(1) a12 ( 2) a22 0
(1) (1) a13 a1 n ( 2) ( 2) a23 a2 n ( 3) ( 3) a33 a3 n
0
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2
11 .
10 5 10
0
1 9
7 9
2 3
华长生制作
8
第二步消元，令 l32 10 / 63, 得增广矩阵
1 0
2
3 7
1
3 2
2
11
.
10 5 10
0
0
53 53 63 63
利用回代公式依次得到
x3 1, x2 1, x1 1.
在这个例子中我们写出的是分数运算的结果。如果在计算机上
a(1) 13
x3
0.49105820
事实上,方程组的准确解为
x* (0.491058227,0.050886075,0.367257384)T
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15
例2所用的方法是在Gauss消去法的基础上,利用换行 避免小主元作除数,该方法称为Gauss列主元消去法
列主元素消去法也称按列部分主元的消去法。一般地，在完成 了第k-1步消元运算后，在 ( A(k) , b(k) ) 的第k 列元素 akk(k)之下的所有 元素中选一个绝对值最大的元素作为主元素，即若
的列元素为a13 2, 因此1,3行交换
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13
r1 r3
2 1
108
1.072 3.712
2
5.643 3 4.623 2
3 1
( A(1) , b(1) )
绝对值最大 不需换行
m21 0.5
m31 0.5108
2 0
0
m32 0.629 72292
1.072 0.3176 10
2 3.712 1.072
3 4.623 5.643
x1 x2 x3
1 2 3
解: 这个方程组和例1一样,若用Gauss消去法计算会有 小数作除数的现象,若采用换行的技巧,则可避免
108
A ( A,b) 1
2
2 3.712 1.072
3 1
4.623 2
5.643
3
108 很小, 绝对值最大
则将 ( A(k) , b(k) ) 的第 ik 行与第k行交换，然后进行消元运算。
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16
完成了n-1步主元，换行与消元运算后，得到 A(n) x b(n)，这是
与原方程组等价的方程组, A(n)是一个上三角阵,再代回求解.这就是列
主元素消去法的计算过程.
除了列主元素消去法外,还有一种完全主元素消去法.在其过程的第k
进行计算，系数矩阵和中间结果都用经过舍入的机器数表示，中间
结果和方程组的解都会有误差。
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9
Gauss列主元消去法的引入
例1. 用Gauss消去法解线性方程组(用3位十进制浮 点数计算）
0.0001x1 x1
x2 x2
1 2
解: 本方程组的精度较高的解为
x* (0.99989999,1.00010001)T
xn
a (n) n,n1
/ ann(n) ,
n
a (n) n,n1
x
j
)
/aii ( i )
,
i
n
1,
n
2,L
,1.
jk 1
求解上式的过程称为回代过程。
以上由消去过程和回代过程合起来求解方程组的过程就称为
Gauss消去法，或称为顺序Gauss消去法。
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6
由前面可知,消元过程的第k步需出发运算n-k次，乘法和减法运算各 需（n-k）（n+1-k）次，所以消元过程共需乘除法运算的次数为
中,含 x1 的项已经消去.
第k步消元:设消去法已进行k-1步,得到方程组 A(k) x b(k) ,此时对
应的增广矩阵是
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4
a11(1)
( A(k) , b(k) )
假设
a(k) kk
0令,
a (1) 12
a (2) 22
a (k) kk
a (n) nk
a (1) 1n
a (2) 2n
)
a11(1)
a (1) 12
a (2) 22
a (1) 1n
a (2) 2n
a (1) 1,n1
a (2) 2,n1
.
a (n) nn
a( n,n1
n
)
这就完成了消元过程。 因为A非奇异，所以可求解上三角方程组，通过逐次代入计算
可得方程组的解，其计算公式为
xi
(a (i) i , n 1
14
经过回代后可得
x3
b3( 3 ) a(3)
0.685 138 54
0.186 555 41 10
0.367 257 39
33
x2
b2(2) a2(23) x3 a(2)
22
0.5 0.18015 10 x3 0.3176 10
0.05088607
x1
b1(1)
a(1) 12
x2
a(1) 11
a (1) 1,n1
a (2) 2,n1
a (k) (k) nn
a( n,n1
k
)
lik
a (k) ik
a (k) kk
, aij (k 1)
a (k) ij
lik akj (k )
i k 1, k 2, n; j k 1, k 2, , n 1,
将 ( Ak , bk )变换为 ( Ak1 , bk1 ) ，( Ak1 , bk1 ) 中第1至第k行的元素
a (k) ik ,k
max
kin
aik
(
k
)
,
行变换相 当于左乘 初等矩阵
则以
a (k) kk
为主元素，这里
ik
k
,且
A(k )由于非奇异，
有
a (k) kk
0
.这样，lik
a (k) ik
/ a (k) ik ,k
1 有达到控制舍入误差的作
用。
选出主元素后，若则进行顺序Gauss消去法的第k步若 ik k ，
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11
如果在求解时将1,2行交换,即
A ( A,b) 0.0010100
1 1
21
m210.0001
1 0
1 1.00
1.200
0.9999
回代后得到
x1 1.00 , x2 1.00
这是一个相当不错的结果
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12
例2. 解线性方程组(用8位十进制尾数的浮点数计算)
108 1 2
去法完成后,再按记录恢复自变量为自然次序.完全主元法比列主元法
运算量大得多,由于列主元法的舍如误差一般已较小,所以在实际计 算中多用列主元法.
华长生制作
17
例3 用列主元素消去法解方程组Ax=b,计算过程中五位有效 数字进行运算,其中
0.002 2 2 0.4
(
A,
b)
1
0.78125 0 1.3816.
x (1.92730 ,0.698496 ,0.900423 )T ,
而用不选住主元的顺序Gauss消去法，则解得 x (1.9300 ,0.68695 ,0.88888 )T ,
这个结果误差较大，这是因为消去法的第1步中，a11(1) 按绝对值比 其他元素小很多所引起的。从此例看到列主元素消去法是有效 的方法。
将 ( A(1) , b(1) ) 变换为
a (1) 11
( A(2)
, b(2)
)
a (1) 12
a (2) 22
M
L L L
a (2) n2
L
a (1) 1n
a (2) 2n M
a (2) nn
a (1) 1,n1
a (2) 2,n1
M
a (2) n,n1
它对应的方程组 A(2) x b(2) 与原方程组等价,而在第2至第n个方程
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1a1,n1
a21
x1
a22 x2
a2n xn
b2 a 2,n1
an1 x1 an2 x2 ann xn bn an,n1
设方程组的系数矩阵A非起奇异,记
a (1) ij
aij
(i 1,2, , n; j 1,2, , n)
( A(1) , b(1) ) ( A, b)
第二步选列主元为 算得
a (2) 32
2.0028
,交换第2行与第3行，再消元计
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18
3.996
(
A( 3 )
, b(3)
)
0
0
5.5625 2.0028
0
4 2.0020 0.39047
7.4178 0.40371 . 0.35159
消去过程至此结束。回代计算依次得到解
x3 0.90043 , x2 0.69850 , x1 1.9273 这个例题的精确解是
用Gauss消去法求解(用3位十进制浮点数计算)
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10
主元
A ( A,b) 0.0010100
1 1
1 2
9999
m2110 000
0.000100 0
1
1
1.00 104 1.00 104
回代后得到
x1 0.00 , x2 1.00
与精确解相比,该结果相当糟糕
究其原因,在求行乘数时用了很小的数0.0001作除数
n1
n1
n3 n2 5n
(n k) (n k)(n 1 k)
k 1
k 1
326
需加减法运算的次数