分式的混合运算
分式的混合运算
x(x 3)
x(x 3)
典例精析
例3、计算：(1)x＋x y＋x2＋yy·x＋xy2y÷1x＋1y； (2)1a＋b12÷a12－b12； (3)34xy22·32xy＋2xy22÷2xy2； (4)aa＋－bb2·23aa－ ＋23bb－a2－a2 b2÷ab.
典例精析
解：(1)（xx＋2yy2）2； (2)ab＋ －ba； (3)3x3y83y＋4 2x3；
两个分式相除,把除式的 分子分母 颠倒位置后,再与被除式 相乘
b d bd a c ac
bd ac
bc ad
bc ad
合作探究
同分母分式加减法的法则
同分母的分式相加减，分母＿不＿变，把分子＿相＿加.减
a b ab cc c
ab ab cc c
异分母的分式相加减，先 通分 ，化为 同分母 的分式，然后再按 同分母 分
2a2＋ab＋2b2 (4)3（a＋b）（a－b）.
学以致用
【解析】 因式分解后约分，再将a2＋2a－1＝0变形为a2＋2a＝1，把 a2＋2a看成一个整体，再利用整体代入的方法求值．
解：原式＝a（aa－＋22）－（aa＋－21）2×aa＋－24 ＝（a－2）（a（a＋a＋2）2）－2a（a－1）×aa－＋42 ＝a（aa－＋42）2×aa＋－24 ＝a2＋1 2a. 当 a 满足 a2＋2a－1＝0 时，a2＋2a＝1，所以原式＝1.
(x 2)(x 2)
x
2x 8.
随堂检测
4.计算：
(1) a b b2 ab ; a2 2ab b2 a2 b2
解：(1) a 2
ab 2ab b2
b2 a2
ab b2
a b b(a b) (a b)2 (a b)(a b)
分式的混合运算
a b 2、已知a b 3, ab 1, 则 的值 b a 7 等于 1 3x M N 3、若 2 , 则M、N的值 x 1 x 1 x 1 分别是 （ B ）
A、M=1,N=-2 C、M=1,N=2 B、M=-2,N=-1 D、M=2,N=1
课作：计算
1 1 1 （ 1） 2 ( ) 2 x y x y x y
3x( x 2) x( x 2) ( x 2)(x 2) = =3(x+2)-(x-2) ( x 2)(x 2) x
=3x+6-x+2 2 x 2 8x ( x 2)(x 2) = ( x 2)(x 2) =2x+8 x =
2 x( x 4) ( x 2)(x 2) ( x 2)(x 2) x
n
n
典型例题解析
【例1】 计算
3x x x2 x2
x 4 x
2
方法二：利用运算律 方法一：按运算顺序
3x 3x(( 22 2 ( xx ) )( x 2) x( x x 2) ( x x)( x2 )(2 x) 2) 原式= x x x 2 x x 2 ( x 2 )( x 2 ) ( x 2 )( x 2 )
复习回顾
1、分式的加减法则：
a c ad bc ad bc b d bd bd bd
a c ac b d bd a c a d ad b d b c bc
a c ac b b b
2、分式的乘除
3、分式的乘方
a a n b b
3 x 1 1 例2：先化简，再求代数式 x 2 x 2
《分式的混合运算》教学设计
《分式的混合运算》教学设计学习目标：明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.学习重点：熟练地进行分式的混合运算.学习难点：熟练地进行分式的混合运算.学习过程：一、预习新知： （1）说出有理数混合运算的顺序.（2）分式的混合运算与有理数的混合运算顺序相同进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先取小括号，再取中括号，最后取大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面.试一试：计算：（1）2131111x x x x +⎛⎫-÷ ⎪+--⎝⎭ （2） 22224y y x x ⎛⎫⎛⎫÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭分析：这两道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减,最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（3）探究此题怎样计算：211x x x -++ ⑷ 221111x x x -⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭二、课堂展示：计算（1）x x x x x x x x -÷+----+4)44122(22 [分析] 这道题先做括号里的减法，再把除法转化成乘法，把分母的“-”号提到分式本身的前边).（2）2224442y x x y x y x y x y y x x +÷--+⋅- （3）2214a a b b a b b ⎛⎫⋅-÷ ⎪-⎝⎭[分析] 这道题先做乘除，再做减法。
[分析]先乘方再乘除，然后加减。
三、随堂练习：计算： ⑴ 221169926x x x x x ++-+-+ ⑵ 211a a a ---⑶ 22214244x x x x x x x x +--⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭ （4）21a a b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫--÷ ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭精心填一填 ⑴()()2211121a a a a a ---÷--= ⑵ 4222x x x x x x ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭= ⑶选择：计算22221221121x x x x x x x x x +----÷--++的正确结果是（ ） A ．1a a + B ．1a a +- C ．1a a - D ．1a a-- 四、当堂检测 ⑴ 232a b b a b b a++-- ⑵ 2293424a a a a --÷-+（3）2222x y x y x y x y -+-+- （4）422a a ++-；五小结与反思。
分式混合运算(习题及答案)
分式混合运算(习题及答案)混合运算（题）例1：混合运算：解：原式可以化简为：frac{4-x}{x-2} \div \frac{12}{x+2-x^2}$$frac{4-x}{x-2} \times \frac{x+2-x^2}{12}$$frac{-(x-4)}{(x-2)(x+4)}$$例2：先化简，然后在$-2\leq x\leq 2$的范围内选取一个合适的整数$x$代入求值．解：先化简原式：frac{x(x+1)}{(x-1)(1-x)} \div \frac{2x}{x+1}$$frac{x(x+1)}{(x-1)(x-1)} \times \frac{x+1}{2x}$$frac{1}{2}$$由于$-2\leq x\leq 2$，且$x$为整数，因此使原式有意义的$x$的值为$-2$，$-1$或$2$。
代入计算可得：当$x=2$时，原式为$-2$。
巩固练1.计算：1)$$\frac{x-y}{x+2y} \div \frac{1}{2x+4y}$$化简原式：frac{x-y}{x+2y} \times \frac{2x+4y}{1}$$frac{2(x-y)}{x+2y}$$2)$$\frac{\frac{a}{a-1}-1}{a^2-2a+1} \div \frac{1}{a+1}$$ 化简原式：frac{\frac{a}{a-1}-1}{(a-1)^2} \times (a+1)$$frac{a-2}{(a-1)^2}$$3)$$\frac{2a-2ab}{a^2-b^2} \div \frac{a+b}{a+b}$$化简原式：frac{2a-2ab}{a^2-b^2} \times \frac{a+b}{a+b}$$frac{2a-2ab}{(a-b)(a+b)} \times \frac{a+b}{1}$$frac{2(1-b)}{a-b}$$4)$$\frac{y-1-\frac{8}{y-1}}{y^2+y} \div\frac{1}{y(y+1)}$$化简原式：frac{y-1-\frac{8}{y-1}}{y(y+1)} \times \frac{y(y+1)}{1}$$ frac{(y-1)^2-8}{y(y+1)^2}$$5)$$\frac{a^2-2ab+b^2}{b}\div \frac{1}{a-b}-1$$化简原式：frac{(a-b)^2}{b} \times \frac{a-b}{1}-1$$frac{(a-b)^3}{b}-1$$6)$$\frac{x^2-4x+4}{x(x-1)} \div \frac{x+2}{x-1}$$化简原式：frac{(x-2)^2}{x(x-1)} \times \frac{x-1}{x+2}$$frac{(x-2)^2}{x(x+2)}$$7)$$\frac{2}{(x-1)^2} - \frac{1}{(x-1)^2(x+1)}$$化简原式：frac{2(x+1)-1}{(x-1)^2(x+1)}$$frac{2x+1}{(x-1)^2(x+1)}$$8)$$\frac{3-x}{2(x-2)} \div \frac{5}{x-2}-\frac{5}{x-3}$$ 化简原式：frac{3-x}{2(x-2)} \times \frac{x-2}{5} - \frac{5}{x-3}$$ frac{(x-3)(x-1)}{2(x-2)5} - \frac{5}{x-3}$$frac{x^2-4x+7}{10(x-2)(x-3)}$$9)$$\frac{x-1}{x+1} \div \frac{x-3}{x-2} - \frac{5}{x^2-3x}$$化简原式：frac{(x-1)(x-2)}{(x+1)(x-3)} - \frac{5}{x(x-3)}$$frac{x^2-3x-2}{x(x-3)(x+1)(x-3)} - \frac{5(x+1)}{x(x-3)(x+1)(x-3)}$$frac{x^2-3x-2-5x-5}{x(x-3)(x+1)(x-3)}$$frac{x^2-8x-7}{x(x-3)(x+1)^2}$$10)$$\frac{1}{(x-1)(x+1)}-\frac{1}{x(x-1)}$$化简原式：frac{x-(x-1)}{x(x-1)(x+1)}$$frac{1}{x(x+1)}$$11)$$\frac{2}{x+y} - \frac{1}{y-x} \times \frac{y^2-x^2}{11}$$化简原式：frac{2(y-x)}{(y-x)(x+y)} - \frac{y+x}{11(x+y)}$$frac{y-x-2}{11(x+y)}$$2.化简求值：1)先化简，再求值：$\frac{x^2+2x+1}{x+2x+2} \div \frac{1}{x+2}$，其中$x=3-1$。
分式的混合运算练习题
分式的混合运算练习题分式的混合运算练习题在数学中，分式是一个重要的概念。
它可以帮助我们解决各种实际问题，如比例、百分比、利润等。
分式的混合运算是指在一个表达式中同时使用加、减、乘、除等运算符进行计算。
接下来，我们将通过一些练习题来巩固和提高我们对分式混合运算的理解。
1. 练习题一：简单的加减法运算题目：计算下列分式的值：a) 1/2 + 1/3b) 3/4 - 2/5解答：a) 1/2 + 1/3 = (1×3 + 1×2) / (2×3) = 5/6b) 3/4 - 2/5 = (3×5 - 2×4) / (4×5) = 7/202. 练习题二：乘法运算题目：计算下列分式的值：a) 2/3 × 4/5b) 1/2 × 3/4 × 5/6解答：a) 2/3 × 4/5 = (2×4) / (3×5) = 8/15b) 1/2 × 3/4 × 5/6 = (1×3×5) / (2×4×6) = 15/48 = 5/163. 练习题三：除法运算题目：计算下列分式的值：a) 2/3 ÷ 4/5b) 1/2 ÷ 3/4 ÷ 5/6解答：a) 2/3 ÷ 4/5 = (2/3) × (5/4) = (2×5) / (3×4) = 10/12 = 5/6b) 1/2 ÷ 3/4 ÷ 5/6 = (1/2) ÷ (3/4) ÷ (5/6) = (1/2) × (4/3) × (6/5) = (1×4×6) / (2×3×5) = 24/30 = 4/54. 练习题四：复杂的混合运算题目：计算下列分式的值：a) (1/2 + 3/4) ÷ (2/3 - 1/5)b) (2/3 + 3/4) × (4/5 - 1/2)解答：a) (1/2 + 3/4) ÷ (2/3 - 1/5)= (2/4 + 3/4) ÷ (10/15 - 3/15)= 5/4 ÷ 7/15= (5/4) × (15/7)= (5×15) / (4×7)= 75/28b) (2/3 + 3/4) × (4/5 - 1/2)= (8/12 + 9/12) × (8/10 - 5/10)= 17/12 × 3/10= (17×3) / (12×10)= 51/120= 17/40通过以上练习题，我们可以看到分式的混合运算并不难，只需要熟练掌握分式的基本运算规则，并注意运算符的优先级。
八年级数学 15.2.2分式的混合运算
b d b c bc
同分母加减：b c b c
加减法
aa a
异分母加减：b d bc ad bc ad
a c ac ac ac
一 新课讲解
2
问题：如何计算
2m
n
1 m-n
-
m n
n 4
？
请先思考这道题包含的运算，再确定运算顺 序，并独立完成.
b
a
1
b
a
1
b
a
1
b
a
1
b
a
1
b
a
1
b
2a
a2 b2
巧用公式
一 能力提升
例4.若
2 x2 1
A x 1
B ，求A、B的值. x 1
解析：先将等式两边化成同分母分式，然后对 照两边的分子，可得到关于A、B的方程组.
2.课本p146 习题15.2 第6题
一 课堂练习
1.
计算
1
3x 2y
3x 2y
2y 3x
的结果是（ C
）
2 y 6xy
A. 9x2
2y 3x
B. 2y
3x 2y
C. 3x
3x
D. 2 y
2.
化简(
x y
y) x
x
x
y
的结果是
x y y.3.化简来自1x y x 3y
解：∵ A B x 1 x 1
分式混合运算(习题及答案)
分式混合运算（习题）例题示范例1：混合运算：． 412222x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭【过程书写】 2244122241622422(4)(4)14x x x x x x x x x x x x x x ---=-÷----=-÷----=-⋅-+-=-+解：原式例2：先化简，然后在的范围内选取一个你认为(1)211x x x x x x+⎡⎤+÷⎢⎥--⎣⎦22x -≤≤合适的整数x 代入求值． 【过程书写】 2221122112x x x x x x xx x x x x++--=⋅--=⋅-=-解：原式∵，且x 为整数22x -≤≤∴使原式有意义的x 的值为-2，-1或2当x =2时，原式=-2巩固练习1. 计算：（1）； 22221244x y x y x y x xy y---÷+++（2）；211121a a a a ⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭（3）；22221aa b a ab a b ⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭（4）；2286911y y y y y y ⎛⎫-+--÷ ⎪-+⎝⎭（5）； （6）；2221122a ab b a b b a -+⎛⎫÷- ⎪-⎝⎭24421x x x x -+⎛⎫÷- ⎪⎝⎭（7）； 2234221121x x x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪---+⎝⎭（8）； （9）； 352242x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭253263x x x x --⎛⎫÷-- ⎪--⎝⎭（10）； 211(1)111x x x ⎛⎫--- ⎪-+⎝⎭（11）． 22221113x y x y x y x xy x y ⎛⎫⎛⎫--⋅÷-- ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭2. 化简求值：（1）先化简，再求值：，其中． 2121122x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭1x =（2）先化简，再求值：，其中 2222225321x y x x y y x x y xy ⎛⎫++÷ ⎪---⎝⎭，．x =+y =（3）先化简，然后在 22212211211x x x x x x x x ++-⎛⎫+÷+ ⎪--+-⎝⎭22x -≤≤的范围内选取一个合适的整数x 代入求值．（4）已知．222111x x xA x x ++=---①化简A ；②当x 满足不等式组，且x 为整数时，求A 的值．1030x x -⎧⎨-<⎩≥3. 不改变分式的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是2132113x yx -+（ ）A ．B ．263x yx -+218326x yx -+C ．D ． 2331x y x -+218323x y x -+4. 把分式中的分子、分母的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值32a b ab-（ ）A ．不变B ．扩大为原来的2倍C ．扩大为原来的4倍D ．缩小为原来的125. 把分式中a ，b 的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（） 34a bab -A ．不变 B ．扩大为原来的2倍C ．扩大为原来的4倍D ．缩小为原来的126. 把分式中x ，y 的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（）222xyx y +A ．不变 B ．扩大为原来的2倍C ．扩大为原来的4倍D ．缩小为原来的12 7. 已知，则A =_______，B =_______．47(2)(3)23x ABx x x x +=+-+-+【参考答案】巩固练习1. （1）yx y -+（2）1a -（3）21a （4）22(1)(27)(1)(3)y y y y y y +----（5）2ab （6）2x -+（7）11x x -+ （8）126x -+ （9）124x -+ （10）23x -+（11）y x y-+2. （1）原式，当时，原式11x =+1x =-=（2）原式=3xy ，当，时，原式=3 x =+y =（3）原式，当x =2时，原式=0 241x x -=+（4）①；②1 11x -3.B 4.A 5.D 6.A 7. 3，1。
分式的混合运算
分式的混合运算
对于分式混合运算,一般应按运算顺序,有括号先做括号内的运算,若利用乘法对加法的分配律,则可简化运算。
分式混合运算法则
分式四则运算，顺序乘除加减，乘除同级运算，除法符号须变(乘)；
乘法进行化简，因式分解在先，分子分母相约，然后再行运算；
加减分母需同，分母化积关键；找出最简公分母，通分不是很难；
变号必须两处，结果要求最简。
分式运算法则
1、约分
根据分式基本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。
2、公因式的提取方法
系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。
3、最简分式
一个分式不能约分时，这个分式称为最简分式。
约分时，一般将一个分式化为最简分式。
乘法同分母分式的加减法法则进行计算。
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
4、除法
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。
也可表述为：除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数。
5、乘方
分子乘方做分子，分母乘方做分母，可以约分的约分。
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运用新知
1.计算
x2 x 1 2 2 x 2x x 4x 4
x4 x
2.先化简，再求值： 其中x= 2 1
x x 1 2 1 2 x 2x 1 x 1
3.从三个代数式：①a2-2ab+b2，②3a-3b，③ a2-b2中任意选两个代数式构造分式，然后进行 化简，并求出当a=6，b=3时该分式的值．
3a 3b 解：选②与③构造出分式，2 2 a b
当a=6，b=3时
3 1 原式= 63 3
4.先化简，再求值：
x 2 x 1 x x2
x4 , 2 x 4x 4
其中x是不等式3x+7＞1的负整数解.
3x+7＞1
3x＞-6
x＞-2 ∵x是不等式3x+7＞1“变大”与“变小
”． (4)结果要化为最简分式． 强化练习，引导学生及时纠正在例题中出现的错误 ，进一步提高运算能力．
x2 ∴x=-1把x=-1代入 x 中
得：原式=
1 2 =3 1
课堂小结
通过这节课的学习活动， 你有什么收获？
分式的加、减、乘、除混合运算要注意以下几点：
(1)一般按分式的运算顺序法则进行计算，但恰当地 使用运算律会使运算简便． (2)要随时注意分子、分母可进行因式分解的式子， 以备约分或通分时用，可避免运算烦琐．
第2课时 分式的混合运算
八年级下册
新课导入
在小学里学过四则混合运算，它的运算顺序是
什么？分式的混合运算顺序又是什么样的呢？
类似的，分式的混合运算法则是先算 乘方 )，再算( 乘除 )，最后算 ( ( )，有括号的先算( 括号 加减 里面的． )
获取新知
1 x 3 x2 2 x 1 计算： x 1 x 2 1· x2 4x 3