鸟头模型
第三讲 鸟头模型
F A B D
学而思培优北京分校·小学理科教研组出品 3
1 C
E
2013-2014 学年·秋季五年级知识点总结 【答案】7
S△DBE BD BE 2， 【分析】 这道题是对应第二单元例 2 的作业. 由鸟头模型， 故 S△BDE 2S△ABC 2 ， S△ABC BA BC
12 34 12 34 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 ； ； ；下 4 题： (12 56) (34 78) 68 112 56 (1 3) 4 4 4 8 (2 4) 3 6 3 9 67 67 3 34 12 34 12 34 ； (6 8) 5 14 5 5 (34 56) 78 90 78 585
【点评】注意某些夹边需要将已知线段长度相加；注意在计算时一定要先约后乘.
【第一单元 3】 （2）如图，园林小路由白色正方形石板和红、青两色的三角形石板铺成. 问：内圈 红色三角形石板的总面积大，还是外圈青色三角形石板的总面积大？
【答案】一样大 【分析】本题即为例 3（1）的多次重复；每一个红色三角形，均和与其有公共顶点的青色三角形构成 有互补内角的鸟头模型，其面积相等，故知 S红 S青 . 【基础、 提高作业 3】 如图， 已知三角形 ABC 面积为 1， 分别延长 AB、 BC、 CA 至 D、 E、 F， 使 BD AB ，
【点评】把条件中的 2、3 改为 x、y，就将是鸟头模型的一般证明. 从证明过程可以看出，鸟头模型是 使用两次等高模型得来的，进一步地说：共角模型的基础是共边模型. 三道小题的证明方法完全相同，这正是因为鸟头模型的特征是角（相等或互补的角） ，而不是 位置. 这一点在第一单元的例 3 中体现得最为明显. 例 2 对寻找夹边长度给出了相应练习，这一类题目是重要的，在这里提供几道练习题：
鸟头模型证明过程
鸟头模型证明过程
《鸟头模型证明过程》
嘿，大家好呀！今天咱来唠唠鸟头模型的证明过程哈。
先给大家讲个事儿哈，有一天我去公园玩，看到好多鸟儿在树上叽叽喳喳的。
我就盯着一只特别漂亮的鸟看呀看，突然我就想到了鸟头模型。
咱说鸟头模型哈，其实就是一种几何模型啦。
就好像那只鸟的头和身子的比例关系一样。
比如说有两个三角形，它们有对应的角相等，那它们的面积之比就等于对应边之比的乘积。
这就好比那只鸟的头和身子，虽然大小不一样，但它们之间有个固定的比例关系呢。
咱就拿具体例子来说哈，就像公园里的那棵大树和旁边的小树，它们虽然大小不一样，但如果从某个角度看过去，它们的形状之间也有类似鸟头模型的那种比例关系哟。
哎呀，说这么多，其实就是想让大家明白鸟头模型是咋回事。
就像我看到那只鸟，一下子就联想到了这个有趣的模型。
嘿嘿，是不是还挺有意思的呀。
总之呢，鸟头模型就是这么个神奇的东西，通过观察和思考，就能发现它在好多地方都有体现呢。
就像公园里那些鸟儿和树木一样，到处都藏着奇妙的数学奥秘哟！好了，今天就说到这啦，下次再和大家分享其他好玩的数学知识哈！
咋样，这下大家对鸟头模型有点感觉了吧！哈哈！。
学而思小升初五大模型之共边模型、鸟头模型
【知识要点-讲解】
3、梯形蝴蝶模型
A
D
A
D
O
O
B
CB
C
面积相等：⑴ △ABC＝△DBC ⑵ △BAD＝△CAD ⑶ △ABO＝△OCD
1
【例1】(★)
如图，在梯形ABCD中，三角形ABE的面积为4.6平方厘米， BE=EF=FD，求三角形ABF、CDF、ABD、ACD的面积。
【例2】2003年全国小学数学奥林匹克(★★)
一轮复习——五大模型之共边模型、鸟头模型
本讲主线 1、共边模型。 2、平行线性质。 3、共角模型。
【知识要点-讲解】
1、等高模型 ⑴ 等高的两个△，面积之比＝底边长度之比 ⑵ 特点，从顶点向底边做分割线。
A
ABD BD ADC DC
B
D
C
【知识要点-讲解】
2、平行线性质 ⑴ 夹在平行线间的两个等底△，面积相等. ⑵ 推导，梯形蝴蝶模型。
其中正方形GFEB的边长为10厘米，求阴影部分的面积。
D
C
G Q
F
P
O
H
K
A
B
E
【知识要点-讲解】 【例5】(★★★)
E、M分别为直角梯形ABCD两边上的点，且DQ、CP、ME彼
此平行，若 AD=5， BC=7，AE=5 ， EB=3。求阴影部分的面
积。
A
D
Q
M
E
B
C
P
【知识要点-讲解】
2、鸟头模型(共角模型)：角相等或互补的两个三角形，
如图，由面积分别为2、3、5、7的四个三角形拼成一个大三 角形，已知：S△ADE 2, S△AEC 5, S△BDF 7, S△BCF 3, 那么 △BEF的面积为___________。
鸟头模型的原理
鸟头模型的原理
嘿，朋友们！今天咱来聊聊鸟头模型。
这鸟头模型啊，就像是一把神奇的钥匙，能打开好多数学难题的大门呢！
你看啊，鸟头模型就好像是一只聪明的小鸟，它有着自己独特的本领。
想象一下，一只小鸟在天空中自由自在地飞翔，它能看到好多我们看不到的风景。
鸟头模型也是这样，它能让我们发现那些隐藏在图形中的奇妙关系。
比如说，在一些几何图形中，看似毫无头绪的几条边和几个角，通过鸟头模型就能找到它们之间的联系。
这就好比我们在一堆杂乱无章的拼图中，突然发现了关键的那几块，一下子就能把整个画面拼凑起来，是不是很神奇？
我们平时遇到的那些三角形啊、四边形啊，有时候真让人头疼。
但有了鸟头模型，就好像给我们配了一副超级眼镜，能让我们看清它们的真面目。
它能让那些复杂的图形变得简单易懂，就像给迷雾中的我们点亮了一盏明灯。
你说，这鸟头模型是不是很厉害？它就像一个隐藏在数学世界里的小秘密，等着我们去发现和探索。
而且啊，一旦你掌握了它，你就会发现解决问题变得轻而易举，就像武林高手找到了绝世秘籍一样。
我们在学习鸟头模型的时候，可不能马虎哦！要像对待宝贝一样仔细研究它。
多做几道题，多尝试几种方法，慢慢就会发现它的奇妙之处。
别小看这些题目，它们可都是我们提升能力的好机会呢！
你想想，如果我们能熟练运用鸟头模型，那在数学的海洋里岂不是可以畅游无阻？那些难题就不再是难题，而是我们展示自己能力的舞台啦！难道不是吗？
所以啊，朋友们，让我们一起好好研究鸟头模型，让它成为我们学习数学的得力助手。
让我们和这只神奇的“小鸟”一起在数学的天空中翱翔吧！相信我，你一定会爱上它的！。
数学中的鸟头模型
数学中的鸟头模型数学中的鸟头模型，这名字一听就挺有意思的，对吧？光听名字你就能想象出一只鸟的头，睁着大眼睛，带着一丝机灵和好奇，像是在看着你，想问你点什么。
其实这个模型啊，跟它的名字一样，看起来挺简单，实际上一点也不简单。
你是不是也在想，鸟头跟数学有什么关系呢？看似毫不相关的东西，竟然能碰到一起。
嘿，说实话，刚开始我也觉得这个模型一定跟一些复杂的公式啥的扯上关系，结果呢，一点也不那么回事。
它说的其实是一个特别直观、特别形象的数学模型，虽然名字让人有点摸不着头脑，但一了解，哎呀，原来这么有趣！所谓鸟头模型，其实是指在某些数学场景中，我们可以用一个形象化的“鸟头”来代表问题的结构。
这鸟头模型最早是用来描述一些数学图形的，尤其是在组合数学和图论方面。
简单说来，假如你有个图形，点和线就像是小小的颗粒，点之间相连的线就是桥梁。
而这个鸟头模型就像是在描述这些点与线的排列，像是给它们画了个小框框，给数学问题找个形象的家。
是不是觉得有点抽象？那你可得慢慢听。
我得给你讲个例子。
想象一下，你在街头看到了两个小朋友正准备玩跳绳，他们站在不同的地方，绳子一端在一个小朋友手里，另一端则在另一个小朋友手里。
这个绳子就是两点之间的连线，而小朋友就像是“点”。
他们之间的“连线”是不是就像是一个数学模型里的线条？这个鸟头模型的神奇之处就在于，它能帮助我们把这种关系表达得更加简洁而又准确。
你看，数学不就是这么神奇吗？它能把一堆看似杂乱无章的东西，用简简单单的语言表达出来。
你要是理解了这个鸟头模型，它其实并不神秘。
咱们就把它当作一个画图工具，帮助我们更好地了解和分析数学对象之间的关系。
这些点和线，可以说是数学的基本元素，经过鸟头模型的加工、组合，突然间变得有了生命，像是一个个活跃的小家伙在纸上舞动。
是不是觉得又好玩又有点可爱？再说到这鸟头模型的应用，哎呀，那可真不少。
比如在网络结构的分析中，咱们就常常用这种模型来帮助理解和优化网络的连接情况。
六年级奥数专题—几何五大模型—鸟头模型学习与巩固
几何五大模型——鸟头模型一 两点都在边上：鸟头定理：（现出“鸟头模型”。
然后按一下出现一个鸟头，勾勒出鸟头的轮廓，出现如图的鸟头几何模型。
最后真实的鸟头隐去，只留下几何模型。
最后按一下，出公式。
）△ADE △ABC S AD ×AE=S AB ×ACED C B A二 一点在边上，一点在边的延长线上：△CDE△ABC S CD ×CE =S BC ×AC例 1 如图，AD=DB ，AE=EF=FC ，已知阴影部分面积为5平方厘米，△ ABC的面积是平方厘米．例2 （1）如图在△ABC中，D、E分别是AB，AC上的点，且AD:AB=2:5, AE:AC=4:7,△ABC的面积是16平方厘米，求△ABC的面积。
（2）如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD=5:2，AE:EC=3:2,△ADE的面积是12平方厘米，求△ABC的面积。
例3 已知△DEF的面积为12平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC的面积。
例4 三角形ABC 面积为1，AB 边延长一倍到D ，BC 延长2倍到E ，CA 延长3倍到F ，问三角形DEF 的面积为多少？FEDC BA例5 长方形ABCD 面积为120，EF 为AD 上的三等分点，G 、H 、I 为DC 上的四等分点，阴影面积是多大？例6 如图，过平行四边形ABCD内的一点P作边AD、BC的平行线EF、GH，若PBD 的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米？作业：1. 如下左图，在ABC △中，D 、E 分别是BC 、AB 的三等分点，且ABC △的面积是54，求CDE △的面积。
2. 如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是AD 边的中点，N 在AB 边上，且12AN BN．那么，阴影部分的面积等于 ．AB CD M N 图13. 如图以ABC △的三边分别向外做三个正方形ABIH 、ACFG 、BCED ,连接HG 、EF 、BID ，又得到三个三角形，已知六边形DEFGHI 的面积是77平方厘米，三个正方形的面积分别是9、16、36平方厘米，则三角形ABC 的面积是多少？I HGFED CB A4. 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积。
鸟头模型
专题解析
基本形式
SADE AD AE ，从公共点所引出的两条线段的乘积比等于面积比 SABC AB AC
专题解析
基本形式
证 明 ： 连 接BE；
在ABE中 ，SADE AD ， 在ABC中 ，SABE AE ；
SABE AB
SABC AC
SADE SABE SADE ， 则SADE AD AE AD AE .
主讲老师：匠心
日期：2020.02.02
目 录
专题解析 例题讲解 总结归纳 巩固提升
专题解析
专题解析
鸟头模型 鸟头模型（共角模型）作为比例模型中基础的一种，可以通过等高模型进行推导，其主要研究的 是三角形面积比与对应线段乘积比之间的关系.
基本要求 存在公共角或互补角，总共有四种基本形式，下面分类列出，并进行证明.
专题解析
基本形式
证 明 ： 将ADE绕 点A旋 转180， 得到AD' E'；
同 第 一 种 类 型 ， 证 明 方法 同 第 一 种 类 型.
证 明 ： 将ADE绕 点A顺 时 针 旋 转90， 得到AD' E'；
同 第 二 种 类 型 ， 证 明 方法 同 第 二 种 类 型.
例题讲解
例题讲解
SCDE SCBA
CD CE CB CA
11 32
1 6
，则SCDE
1 6
例题讲解
练一练1：如图，D、E分别在BA、CA的延长线上，且AD：AB=1:2，AE：AC=1:3，已知阴影部分 的面积是10，求三角形ABC的面积.
例题讲解
例2：如图，三角形ABC的面积是1平方分米，D为AB的三等分点，E、F为BC、AC的中点，求图 中阴影部分的面积.
鸟头模型公式推导过程
鸟头模型公式推导过程嘿，咱今儿个就来唠唠鸟头模型公式的推导过程哈！你说这鸟头模型，就好像是数学世界里的一个神秘小城堡，要想进去瞧瞧，那可得费点心思呢！咱先从最基础的开始。
想象一下，有两个三角形，它们就像是两个形状各异的小伙伴。
一个大三角形里有个小三角形，它们之间的关系可微妙着呢！我们要找到它们之间的联系，就像是在解开一个神秘的密码。
咱开始推导啦！先看看这两个三角形的对应边和对应角。
哎呀，这就像是在给它们配对一样。
然后呢，通过一些巧妙的比例关系，慢慢地就能发现其中的门道啦。
你看啊，这比例关系就像是一条神奇的线索，带着我们一点点地深入到鸟头模型的核心。
我们不断地摆弄这些边和角，就像在玩一个有趣的拼图游戏。
有时候会遇到一些小阻碍，别急呀，咱慢慢来。
就像爬山一样，一步一步地往上爬，总能爬到山顶看到美丽的风景。
这推导过程不也是这样嘛，一点点地克服困难，最后就能揭开那神秘的面纱。
咱再仔细瞧瞧，这其中的规律慢慢就显现出来啦。
那些边的比例，角的关系，都变得清晰起来。
就好像黑暗中的灯突然亮了，一切都豁然开朗。
嘿，你说这是不是很神奇呀！从看似杂乱无章的图形中，居然能找出这么美妙的公式来。
这就像在茫茫人海中找到了那个特别的人一样令人惊喜呢！经过一番努力，哇塞，鸟头模型公式就被我们推导出来啦！这感觉，就像是打了一场胜仗，心里那叫一个美呀！总之呢，鸟头模型公式的推导过程虽然有点小复杂，但只要咱有耐心，有毅力，就一定能攻克它。
就像那句话说的，世上无难事，只怕有心人嘛！大家也都去试试吧，相信你们也能感受到这其中的乐趣和奇妙哦！。
4几何五大模型——鸟头模型
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------4几何五大模型——鸟头模型几何五大模型鸟头模型一两点都在边上：鸟头定理：（现出鸟头模型。
然后按一下出现一个鸟头，勾勒出鸟头的轮廓，出现如图的鸟头几何模型。
最后真实的鸟头隐去，只留下几何模型。
最后按一下，出公式。
）△ADE△ABCS ADAE=S ABAC EDC BA 二一点在边上，一点在边的延长线上：△CDE△ABCS CDCE=S BCAC EDCBA 本讲要点如图，AD=DB ，AE=EF=FC ，已知阴影部分面积为 5 平方厘米，△ ABC 的面积是平方厘米．例例 2 （1 ）如图在△ABC 中，D 、E 分别是AB ，AC 上的点，且AD:AB=2:5, AE:AC=4:7, △ABC 的面积是的面积是 16 平方厘米，求△ABC 的面积。
（2 ）如图在△ABC 中，D 在 BA 的延长线上，E 在在 AC 上，且 AB:AD=5:2 ，AE:EC=3:2, △ADE 的面积是的面积是 12 平方厘米，求△ABC 的面积。
已知△DEF 的面积为12 平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC 的面积。
1 / 22例例 1 例例 2 例例 3 三角形 ABC 面积为 1，AB 边延长一倍到 D，BC 延长 2 倍到 E，CA 延长 3 倍到 F，问三角形 DEF 的面积为多少？三角形 ABC 面积为 1，AB 边延长一倍到 D，BC 延长 2 倍到 E，CA 延长 3 倍到 F，问三角形 DEF 的面积为多少？ FEDCBA 例例 4 例例 5 长方形ABCD 面积为 120，EF 为 AD 上的三等分点，G、H、I 为 DC 上的四等分点，阴影面积是多大？长方形 ABCD 面积为 120，EF 为 AD 上的三等分点，G、H、I 为 DC 上的四等分点，阴影面积是多大？如图，过平行四边形 ABCD 内的一点 P 边作边 AD 、 BC 的平行线 EF 、 GH ，若PBD 为的面积为 8平方分米，求平行四边形 PHCF 的面积比平行四边形 PGAE 的面积大多少平方分米？ AB CDEFGHP 例例 61. 如下左图，在ABC △ 中，D 、E 分别是 BC 、AB 的三等分点，且ABC △ 的面积是 54 ，求CDE △ 的面积。
鸟头模型推导过程
鸟头模型推导过程
鸟头模型是这六大模型中稍微有点难度的模型，初学者一定要从概念入手，充分理解其内涵，准确区分出所给图形中是否存在鸟头模型，并用鸟头定理解决面积与边之间的比例关系问题。
那么什么是鸟头模型(鸟头定理)呢?
一、定义
★两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.这个模型就叫鸟头模型。
其中存在的比例关系就叫做共角定理。
举例:如图在S△ABC中D,E分别是AB,AC上的点或D在BA 的延长线上，E在AC上。
则S△ABC：S△ADE=(ABXAC)：(ADXAE)
记忆方法:?先判断是否是鸟头模型(角相等或互补)
如果是鸟头模型，找到角(相等角或互补角)所对应的两组
夹边，则两个三角形面积之比等于两夹边的乘积之比。
二、主要类型
鸟头模型主要有以下4种类型
三、鸟头原理的证明方法
四、利用鸟头模型解题步骤
第1步：观察：看图中是否有鸟头模型
第2步：构造：通过添加辅助线构造等角或补角，建立起鸟头模型
第3步：假设：根据题目要求，假设所求的线段长度或图形面积
第4步：转化：将假设的未知数转化到鸟头模型的比例关系中计算。
五、例题。
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两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△
图⑴ 图⑵
【巩固】 如图，三角形
ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？
【巩固】 如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，
乙部分面积是甲部分面积的几倍？
【巩固】已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,
3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．
【巩固】如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．
【习题1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且178:：=AB AD ，32:：=AC AE ，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积． 例题1
ABC △第 5
例题3 例题2 例题4
【习题2】如图16-4，已知．AE=1
5
AC，CD=
1
4
BC，BF=
1
6
AB，那么
DEF
ABC
三角形的面积
三角形的面积
等
于多少?
【习题3】如图，三角形ABC的面积为3平方厘米，其中:2:5
AB BE=，:3:2
BC CD=，三角形BDE的面积是多少？
【习题4】如图，把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH如果ABCD 的面积是5平方厘米，则EFGH的面积是多少平方厘米?。