一类非线性热传导方程的线性化解法

1 引言及预备知识
近年来 ,非线性数学物理领域的研究成果不断 涌现 ,发展了许多求非线性数学物理方程精确解的 [ 12 7] 方法 ,以及辅助方程方法 ,该方法从本质上是用 常微分方程的解来构造非线性偏微分方程的精确 解 ,这里的辅助方程可以是 R iccati方程 、 椭圆方程 或其它的常微分方程 . 本文提出了一个新的辅助常 微分方程 — 一阶线性常微分方程 ,并用此方程及其 解来构造非线性偏微分方程的精确解 ,称之为线性 化解法 . 考虑 Kolmogorov2Petrovskii2Piskunov型方程 2 3 ( 1) ut - α△u +μu + vu +δ u = 0, 这里 α > 0,μ , v,δ 为实常数 , 2 n ( 2) ut - △u = λ 0 u (1 - u ) , 这里 n ∈N,λ0 为实常数 , u = u ( x1 , x2 , x3 , t) , △ 是拉 普拉斯算子 . 这两个方程是著名的反应扩散类方 程 ,常用来描述均匀物体内热量的传播 、 气体在均 匀介质中的扩散等现象 ,在气象预报 、 天体运行 、 地 质勘探 、 导弹跟踪 、 海洋研究以及生物群体的繁衍 发展等方面有重要应用 , 特别是 ( 1 + 1 ) 维的 Kol2 mogorov2Petrovskii2Piskunov型方程在物理学 、 化学 、 生物学和人口学中有广泛的应用 ,该方程的行波解 对应着一个平面常微分系统奇点间的连接轨线 , 因 此行波解的结果可直接应用于相平面上常微系统 的全局分析及分支现象研究 .
( cp ρ - αk ρ p +μ)ω = 0.
2 2 2
p
可得 Newell2 W hiteh 方程 , Chaffee 2Infante 方程 , Hux2 ley方程和 FitZHagh 2 Nagumo 方程等的精确解 ,这里 我们略去不写 . 注意到方程 ( 8 ) , 可把方程 ( 8 ) 推广为更一般 的广义热传导方程 n +1 2 n +1 ( 13 ) ut - αuxx +μu + vu +δ u = 0, 这里 n > 0. 若 n = 1 时 , 恰得方程 ( 8 ) . 文 [ 17 ]采用 待定系数法研究了方程 ( 13 ) 在 α = 1, n = 2, μ + v + δ= 0 时的行波解 . 这里我们利用线性化解法也可求 2 ρ σv +μ σ2 = 0, ρ σ < 0, α δ > 0, n 为任意 出 ,当 δ -ρ 实常数时 , 方程 ( 13 ) 的精确行波解如下
u2 ( x, t) = -
( 4 ) 若 α = 1, μ = a, v = - ( a + 1 ) , δ = 1, 可得 [ 12 ] 到 FitZHagh 2 Nagumo 方程
ut - uxx = u ( u - a ) ( 1 - u ) ,
ρ 1 ( 1 + tanh ξ ), ρ σ 2 2 ρ 1 ( 1 + co th ξ ), ρ σ 2 2
( 8 )可得
- cu ′ - αk u ″ +μu + vu +δ u
2 2 3
ξ=±
= 0,
( 10 ) ( 11 )
设方程 ( 10 )有解
) = ω (ξ ), u (ξ
2
p
这里 , u ″ = 程 (7).
) ) d u (ξ d u (ξ , u′ = , ξ = kx - ct, ω满足方 2 ξ d ξ d
δ n ( n + 1 )σv - n ( n + 2 )ρ t, 2 n ( n + 1 )σ 或 ξ=± δ n x ( n + 1 )α σ2 2 2 σ2 - n2ρ δ n ( n + 1 )μ t . 2 σ n ( n + 1 )ρ σ) u4 ( x, t) = ( - ρ
σv - 3 ρ δ 2 , σ2 2
2
ut - uxx = u - u ;
3
或
c =
( 2 ) 若 α = 1,μ = 1, v = - 2,δ= 1, 得到 Chaffee 2
Infante方程
[ 10 ]
μ σ - ρδ 2 , ρ σ2 2
2
ut - uxx = 2 u - u - u;
2
3
( 3 ) 若 α = 1, μ = 0, v = - 1, δ = 1, 得到 Huxley [ 11 ] 方程
ut - uxx = u - u ;
2 3
这里 ,ρ ,σ为非零常数 . 因此方程 ( 8 ) 有解 ξ -ρ σ) - 1 , u1 ( x, t) = ( c1 e -ρ σ, 方程 ( 8 ) 这里 c1 为积分常数 . 特别的 , 当 c1 = ρ 分别有扭状孤立波解
), ξ = kx - ct, u ( x, t) = u (ξ ( 4) ( 3)
其中 k, c为待定的常数. 把 ( 4)式带入方程 ( 3)可得 φ ( u, u ′ ( 5) , u″ , …) = 0. 设方程 ( 5 )有解
) = ω (ξ ), u (ξ
p
( 6)
ξ )满足一阶线性常微分方程 其中 , p为待定常数 ,ω ( ω′ ω +σ = 0, ρ σ ≠ 0, ( 7) +ρ 这里 ρ ,σ为待定常数 , 把 ( 6 ) 式代入方程 ( 5 ) , 借助 于方程 ( 7 ) , 将方程 ( 5 ) 的左端变为 ω的多项式 , 由 齐次平衡原则可得到 p的值 . 令该多项式各次幂项 的系数为零 , 得到一个关于 k, c, ρ , σ 的代数方程 组 , 求该代数方程组的解 , 借助于方程 ( 7 ) 的通解 , 考虑到 ( 4 ) 式 , 可得方程 ( 3 ) 的精确解 .
文 [ 92 17 ]研究了方程 ( 8 ) 在 μ + v +δ = 0 时解的情 形 ,其中文 [ 13 ]利用 R iccati方程和 B acklund 变换 求出了该方程的部分精确解 . 对于方程 ( 9 ) , 文 [ 8 ] 研究了该方程中 λ0 > 0 时的 Cauchy问题 . 特别的 ,在方程 ( 8 )中 : ( 1 ) 若 α = 1,μ = - 1, v = 0, δ = 1, 得到 Newell2
W hitehead 方程
[9]
为零 , 可得 δ- 2 αk2σ2 = 0, σ- 3 αk2ρ σ + v = 0, - c 2 2 ρ - αk ρ +μ = 0. - c 2 2 δ ρ ρ σ μ σ δ> 0 时 , 上述方程组有解 当 v+ = 0, α
k =±
δ α σ 2
2
, c =
因而有 ρ ω - p σ ω u ′= - p
2
p σ ωp - 1 + u ″= p ρω + p ( 2 p - 1 )ρ σ2 ( p - 1 )ωp - 2 . p
把 ( 11 )和 ( 12 )式代入方程 ( 10 )得 δ ω3 p - αk2 p ( p - 1 )σ2ωp - 2 + v ω2 p + σ- 2 αk2 p ( 2 p - 1 )ρ σ] ωp - 1 + [ cp
2
当 c3 = 0 时 , 方程 ( 9 )有代数孤立波解
u4 ( x, t) = (ρ )
4
.
4 ( 3 + 1 ) 维 Kolmogorov2Petrovskii2Piskunov
δ n x ( n + 1 )α σ2
2 2
型方程的线性化解法
设方程 ( 1 )有行波解 ), ξ = k ・x - ct, u ( x, t) = u (ξ
和
u3 ( x, t) = -
这里 a 为常数 , 该方程描述了神经纤维中神经脉冲 的传播 ; ( 5 ) 若 α > 0, μ = - β , v = 0, δ =β , 得到广义的
Fisher方程
[ 13 ]
其中 ξ=± 或
2 δ σ2μ - ρ δ 2 t . 2 x 2 α σ ρ σ 2 2 当 c1 = 0 时 , 方程 ( 8 ) 有代数孤立波解 1 u4 ( x, t) = . ρ σ 在上述解中 ,若 μ + v +δ= 0, 结论同样成立 . 而 当在方程 ( 8 ) 中取满足 μ + v +δ = 0 的特殊实数 , 就
第 4期
许丽萍等 : 一类非线性热传导方程的线性化解法
395
u1 ( x, t) = ( c2 e
ξ -ρ
σ) -ρ
- 1 /n
,
σ, 方程 ( 13 ) 分别有 这里 c2 > 0. 特别的 , 当 c1 = ρ 扭状孤立波解
u2 ( x, t) = [ -
u3 ( x, t) = [
3 ( 1 + 1 ) 维 Kolmogorov2Petrovskii2Piskunov
型方程的线性化解法
关于 ( 1 + 1 ) 维的 Kolmogorov2Petrovskii2Piskunov 型方程
[8]
ut - αuxx +μu + vu +δ u
2
3
= 0,
( 8)
基金项目 : 河南省教育厅自然科学基础研究基金 ( 2006110002) 资助项目 作者简介 : 许丽萍 ( 1972 2) ,女 ,副教授 ,主要从事非线性科学的研究
394
四川师范大学学报 (自然科学版 )
31 卷
和方程
ut - uxx = λ0 u ( 1 - u ) .