江苏省常州市天宁区正衡中学2019年中考数学二模试卷 解析版

2019年江苏省常州市天宁区正衡中学中考数学二模试卷一．选择题（共8小题）1．在平面直角坐标系内，点P（﹣2，3）关于原点的对称点Q的坐标为（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（3，﹣2）D．（﹣2，﹣3）2．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A．1，2，3 B．1，1，C．1，1，D．1，2，3．在一次射击训练中，一小组的成绩如表：环数7 8 9人数 2 3 已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数为（）A．5 B．6 C．4 D．74．如果反比例函数y＝的图象如图所示，那么二次函数y＝kx2﹣k2x﹣1的图象大致为（）A．B．C．D．5．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1、S2，则（）A．S1＝S2B．S1＝S2C．S1＝S2D．S1＝S26．如图，⊙O的内接△ABC的外角∠ACE的平分线交⊙O于点D．DF⊥AC，垂足为F，DE⊥BC，垂足为E．给出下列4个结论：①CE＝CF；②∠ACB＝∠EDF；③DE是⊙O的切线；④．其中一定成立的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④7．方程2x﹣x2＝的正根的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个8．某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点P k（x k，y k）处，其中x1＝1，y1＝2，当k≥2时，x k＝x k﹣1+1﹣5（[]﹣[]），y k＝y k﹣1+[]﹣[]，[a]表示非负实数a的整数部分，例如[2.6]＝2，[0.2]＝0．按此方案，第2017棵树种植点的坐标为（）A．（5，2017）B．（6，2016）C．（1，404）D．（2，404）二．填空题（共10小题）9．计算：（9a2b﹣6ab2）÷（3ab）＝．10．已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，圆锥的母线长为2，则圆锥的底面半径是．11．一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0与x2+4x+5＝0的所有实数根之和等于．12．已知关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是．13．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸片上，使点C在半圆圆心上，点B在半圆上，边AB、AC分别交圆于点E、F，点B、E、F对应的读数分别为160°、70°、50°，则∠A的度数为．14．如图所示，点A1、A2、A3在x轴上，且OA1＝A1A2＝A2A3，分别过点A1、A2、A3作y轴的平行线，与反比例函数的图象分别交于点B1、B2、B3，分别过点B1、B2、B3作x轴的平行线，分别与y轴交于点C1、C2、C3，连接OB1、OB2、OB3，若图中三个阴影部分的面积之和为，则k＝．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为C（1，k），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（不包含端点），则k的取值范围是．16．如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都在格点上，那么∠ABC的正切值是．17．在平面直角坐标系中，A点坐标为（1，0），C点坐标为（7，0），若点P在直线y＝kx+3上运动时，只存在一个点P使∠APC＝90°，则k的值是18．已知线段AB＝12，C、D是AB上两点，且AC＝DB＝2，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为三．解答题（共9小题）19．计算（）0+（﹣）﹣2+4cos30°﹣||20．解下列方程（1）（2）（x﹣4）（x+2）＝﹣921．如图，已知点E，F分别是平行四边形ABCD的边BC，AD上的中点．（1）AE与CF的关系是，请证明；（2）若∠BAC＝°时，四边形AECF是菱形，请说明理由．22．已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）23．某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，每月能卖出500个．商场想了两个方案来增加利润：方案一：提高价格，但这种商品每个售价涨价1元，销售量就减少10个；方案二：售价不变，但发资料做广告．已知这种商品每月的广告费用m（千元）与销售量倍数p关系为p＝﹣0.4m2+2m；试通过计算，请你判断商场为赚得更大的利润应选择哪种方案？请说明你判断的理由．24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，作OD∥BC与过点A的切线交于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE＝6，CE＝2，求线段CE、BE与劣弧BC所围成的图形面积．25．【定义】若一个四边形恰好关于其中一条对角线所在的直线对称，则我们将这个四边形叫做镜面四边形．【理解】（1）下列说法是否正确（对的打√，错的打×）①平行四边形是一个镜面四边形②镜面四边形的面积等于对角线积的一半．（2）如图（1），请你在4×4的网格（每个小正方形的边长为1）中画出一个镜面四边形，使它图（1）的顶点在格点上，且有一边长为．【应用】（3）如图（2），已知镜面四边形ABCD，∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，AB≠BC，P是AD上一点，AE⊥BP的延长线上取一点F，使EF＝BE，连接AF，作∠FAD的平分线AG交BF于G，CM⊥BF于M，连接CG．①求∠EAG的度数．②比较BM与EG的大小，并说明理由．26．用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题：探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P．（1）当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；（2）当点P在运动的过程中出现PA＝FC时，求∠PAB的度数．探究二：如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN．在旋转△DEF的过程中，△AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．27．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．在平面直角坐标系内，点P（﹣2，3）关于原点的对称点Q的坐标为（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（3，﹣2）D．（﹣2，﹣3）【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）．【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（﹣2，3）关于原点对称点P′的坐标是（2，﹣3）．故选：A．2．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A．1，2，3 B．1，1，C．1，1，D．1，2，【分析】直接利用直角三角形的性质结合勾股定理的逆定理进而分析得出答案．【解答】解：A、∵1+2＝3，不能构成三角形，故选项错误；B、∵12+12＝（）2，是等腰直角三角形，故选项错误；C、底边上的高是＝，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°＝3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．故选：D．3．在一次射击训练中，一小组的成绩如表：环数7 8 9人数 2 3 已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数为（）A．5 B．6 C．4 D．7【分析】若n个数x1，x2，x3，…，x n的权分别是w1，w2，w3，…，w n，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．【解答】解：设成绩为8环的人数为x人，，解得x＝5，经检验，x＝5时原分式方程的根，故选：A．4．如果反比例函数y＝的图象如图所示，那么二次函数y＝kx2﹣k2x﹣1的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据反比例函数图象得出k的符号，再利用k的符号判断抛物线的开口方向，对称轴，选择正确答案．【解答】解：根据反比例函数图象可知k＞0，由y＝kx2﹣k2x﹣1，配方得y＝k（x﹣）2﹣1﹣，开口向上，且对称轴x＝＞0，在y轴右侧．故选：B．5．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1、S2，则（）A．S1＝S2B．S1＝S2C．S1＝S2D．S1＝S2【分析】过A点作AG⊥BC于G，过D点作DH⊥EF于H．在Rt△ABG中，根据三角函数可求AG，在Rt△ABG中，根据三角函数可求DH，根据三角形面积公式可得S1，S2，依此即可作出选择．【解答】解：过A点作AG⊥BC于G，过D点作DH⊥EF于H．在Rt△ABG中，AG＝AB•sin40°＝5sin40°，∠DEH＝180°﹣140°＝40°，在Rt△DHE中，DH＝DE•sin40°＝8sin40°，S1＝8×5sin40°÷2＝20sin40°，S2＝5×8sin40°÷2＝20sin40°．则S1＝S2．故选：C．6．如图，⊙O的内接△ABC的外角∠ACE的平分线交⊙O于点D．DF⊥AC，垂足为F，DE⊥BC，垂足为E．给出下列4个结论：①CE＝CF；②∠ACB＝∠EDF；③DE是⊙O的切线；④．其中一定成立的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④【分析】①易证△CDE≌△CDF，得CE＝CF；②∠ACB+∠ACE＝180°，根据四边形内角和定理得∠ACE+∠EDF＝180°，所以∠ACB＝∠EDF；③没理由证明DE是切线；④根据圆内接四边形的外角等于内对角得∠DCE＝∠DAB，所以∠DAB＝∠DCA，根据圆周角定理判断弧AD＝弧BD．【解答】解：①∵∠DCE＝∠DCF，∠DEC＝∠DFC，DC＝DC，∴△CDE≌△CDF，得CE＝CF．故成立；②∠ACB+∠ACE＝180°，根据四边形内角和定理得∠ACE+∠EDF＝180°，所以∠ACB＝∠EDF，故成立；③连接OD、OC．则∠ODC＝∠OCD．假如DE是切线，则OD⊥DE，因BE⊥DE，所以OD∥BE，∠DCE＝∠ODC＝∠OCD，而∠DCE＝∠DCA，∠OCD≠∠DCA，故DE不是切线；④根据圆内接四边形的外角等于内对角得∠DCE＝∠DAB，所以∠DAB＝∠DCA，根据圆周角定理判断弧AD＝弧BD．故成立．故选：D．7．方程2x﹣x2＝的正根的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】我们可以将方程2x﹣x2＝的正根个数转化为函数正零点的个数问题，在同一坐标系中分别画出函数y＝2x﹣x2，y＝的图象，利用交点法，即可得到结论．【解答】解：在同一坐标系中分别画出函数y＝2x﹣x2，y＝的图象，如下图所示：由图可知，两个函数的图象只有一个交点，且横坐标为负即方程2x﹣x2＝无正根，故选：A．8．某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点P k（x k，y k）处，其中x1＝1，y1＝2，当k≥2时，x k＝x k﹣1+1﹣5（[]﹣[]），y k＝y k﹣1+[]﹣[]，[a]表示非负实数a的整数部分，例如[2.6]＝2，[0.2]＝0．按此方案，第2017棵树种植点的坐标为（）A．（5，2017）B．（6，2016）C．（1，404）D．（2，404）【分析】根据规律找出种植点横坐标及纵坐标的通式，代入2017即可求得种植点的坐标．【解答】解：∵[]﹣[]组成的数列为1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，1…，将k＝1，2，3，4，5，…，一一代入计算得数列x n为1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，…即x n的重复规律是x5n+1＝1，x5n+2＝2，x5n+3＝3，x5n+4＝4，x5n＝5．n∈N*．数列{y n}为1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，…即y n的重复规律是y5n+k＝n，0≤k＜5．∴由题意可知第2017棵树种植点的坐标应（2，404）．故选：D．二．填空题（共10小题）9．计算：（9a2b﹣6ab2）÷（3ab）＝3a﹣2b．【分析】此题直接利用多项式除以单项式的法则即可求出结果．【解答】解：（9a2b﹣6ab2）÷（3ab），＝（9a2b﹣6ab2）÷（3ab），＝9a2b÷（3ab）﹣（6ab2）÷（3ab），＝3a﹣2b．故答案为：3a﹣2b．10．已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，圆锥的母线长为2，则圆锥的底面半径是 1 ．【分析】设出圆锥的底面半径，利用圆锥的侧面积和底面积之间的倍数关系求得圆锥的底面半径即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，根据题意得：2π×r×2÷2＝2×πr2，解得：r＝1．故答案为：1．11．一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0与x2+4x+5＝0的所有实数根之和等于 3 ．【分析】根据根与系数的关系分别求出两个方程的两根之和，然后把它们相加即可．【解答】解：因为x2﹣3x﹣4＝0的两根之和为3，方程x2+4x+5＝0中，△＝42﹣4×5＝﹣4＜0，方程无解，所以一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0与x2+4x+5＝0的所有实数根的和等于3．故答案为：3．12．已知关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是0≤a＜1 ．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解个数可得答案．【解答】解：解不等式5﹣2x≥﹣1，得：x≤3，解不等式x﹣a＞0，得：x＞a，∵不等式组有3个整数解，∴0≤a＜1，故答案为：0≤a＜1．13．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸片上，使点C在半圆圆心上，点B在半圆上，边AB、AC分别交圆于点E、F，点B、E、F对应的读数分别为160°、70°、50°，则∠A的度数为25°．【分析】连接CE．可得∠ECB＝90°，∠ACB＝110°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解．【解答】解：连接CE．可得∠ECB＝160°﹣70°＝90°，∠ACB＝160°﹣50°＝110°，∴∠B＝（180°﹣90°）÷2＝45°，∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝25°．故答案为25°．14．如图所示，点A1、A2、A3在x轴上，且OA1＝A1A2＝A2A3，分别过点A1、A2、A3作y轴的平行线，与反比例函数的图象分别交于点B1、B2、B3，分别过点B1、B2、B3作x轴的平行线，分别与y轴交于点C1、C2、C3，连接OB1、OB2、OB3，若图中三个阴影部分的面积之和为，则k＝8 ．【分析】先根据反比例函数比例系数k的几何意义得到S△OB1C1＝S△OB2C2＝S△OB3C3＝|k|＝k，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得到用含k的代数式表示3个阴影部分的面积之和，然后根据三个阴影部分的面积之和为，列出方程，解方程即可求出k的值．【解答】解：根据题意可知，S△OB1C1＝S△OB2C2＝S△OB3C3＝|k|＝k，∵OA1＝A1A2＝A2A3，A1B1∥A2B2∥A3B3∥y轴，设图中阴影部分的面积从左向右依次为s1，s2，s3则s1＝k，∵OA1＝A1A2＝A2A3，∴s2：S△OB2C2＝1：4，s3：S△OB3C3＝1：9，∴s2＝k，s3＝k，∴k+k+k＝，解得k＝8．故答案为：8．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为C（1，k），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（不包含端点），则k的取值范围是＜k＜4 ．【分析】首先把顶点坐标代入函数解析式得到k＝a+b+c＝c，利用c的取值范围可以求得k的取值范围．【解答】解∵抛物线与x轴的一个交点坐标分别是（﹣1，0），对称轴x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标分别是（3，0），∴﹣1×3＝﹣3，∴＝﹣3，则a＝﹣．∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（不包含端点），∴2＜c＜3，∴﹣1＜﹣＜﹣．∴b＝﹣2a＝，∴k＝a+b+c＝c．∵2＜c＜3，∴＜c＜4，即＜k＜4．故答案为：＜k＜4．16．如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都在格点上，那么∠ABC的正切值是．【分析】过点C作CD⊥AB于点D由勾股定理可知：BC2＝8，AB2＝20，由于AC＝2，设AD＝x，由勾股定理可知：AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2，解出x的值后，利用锐角三角函数的定义即可求出答案．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，由勾股定理可知：BC2＝8，AB2＝20，由于AC＝2，设AD＝x，∴由勾股定理可知：AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2，∴4﹣x2＝8﹣（2﹣x）2，解得：x＝，∴BD＝∴由勾股定理可知：CD＝，∴tan∠ABC＝＝，故答案为：17．在平面直角坐标系中，A点坐标为（1，0），C点坐标为（7，0），若点P在直线y＝kx+3上运动时，只存在一个点P使∠APC＝90°，则k的值是﹣3或﹣或0【分析】点P在直线y＝kx+3上移动时，使∠APC＝90°，则P一定在以AC为直径的圆上，若只存在一个点P使∠APC＝90°，则直线y＝kx+3必定经过A点或C点或与圆相切，分别求得k的值即可．【解答】解：点P在直线y＝kx+3上移动时，使∠APC＝90°，则P一定在以AC为直径的圆上，若只存在一个点P使∠APC＝90°，若直线y＝kx+3经过A点，∵A点坐标为（1，0），∴k+3＝0，解得，k＝﹣3，若直线y＝kx+3经过C点，∵C点坐标为（7，0），∴7k+3＝0，解得k＝﹣，若直线与圆相切时，则k＝0故答案是：﹣3或﹣或0．18．已知线段AB＝12，C、D是AB上两点，且AC＝DB＝2，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为 4【分析】分别延长AE、BF交于点M，易证四边形PEMF为平行四边形，得出G为PM中点，则G的运行轨迹△MCD的中位线，运用中位线的性质求出HI的长度即可．【解答】解：如图，分别延长AE、BF交于点M，∵∠A＝∠DPF＝60°，∴AM∥PF，∵∠B＝∠EPA＝60°，∴BM∥PE，∴四边形PEMF为平行四边形，∴EF与MP互相平分．∵G为EF的中点，∴G正好为PM的中点，即在P的运动过程中，G始终为PM的中点，∴G的运行轨迹为△MCD的中位线HI，∵HI＝CD＝×（12﹣2﹣2）＝4，∴G点移动的路径长度为4．故答案为：4三．解答题（共9小题）19．计算（）0+（﹣）﹣2+4cos30°﹣||【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝1+4+4×﹣（3﹣）＝1+4+2﹣3+＝5+3﹣3．20．解下列方程（1）（2）（x﹣4）（x+2）＝﹣9【分析】（1）先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可；（2）整理后运用完全平方公式进行变形，再求出方程的解即可．【解答】解：（1）原方程化为：＝﹣1，方程两边都乘以x﹣3得：x＝﹣3﹣（x﹣3），解得：x＝0，检验：当x＝0时，x﹣3≠0，所以x＝0是原方程的解，即原方程的解为：x＝0；（2）（x﹣4）（x+2）＝﹣9，整理得：x2﹣2x+1＝0，（x﹣1）2＝0，x﹣1＝0，即x1＝x2＝1．21．如图，已知点E，F分别是平行四边形ABCD的边BC，AD上的中点．（1）AE与CF的关系是AE＝CF，请证明；（2）若∠BAC＝90 °时，四边形AECF是菱形，请说明理由．【分析】（1）通过证明四边形AECF是平行四边形，可得AE＝CF；（2）由直角三角形的性质性质可得AE＝CE，且四边形AECF是平行四边形，可得四边形AECF是菱形．【解答】解：（1）AE＝CF理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC．∵点E，F分别是平行四边形ABCD的边BC，AD上的中点．∴AF＝CE，且AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE＝CF故答案为：AE＝CF（2）90°当∠BAC＝90°时∵点E是BC边的中点，∴AE＝CE＝BE＝BC∵四边形AECF是平行四边形∴平行四边形AECF是菱形．22．已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）【分析】（1）先过点A作AH⊥PO，根据斜坡AP的坡度为1：2.4，得出，设AH ＝5k，则PH＝12k，AP＝13k，求出k的值即可．（2）先延长BC交PO于点D，根据BC⊥AC，AC∥PO，得出BD⊥PO，四边形AHDC是矩形，再根据∠BPD＝45°，得出PD＝BD，然后设BC＝x，得出AC＝DH＝x﹣14，最后根据在Rt △ABC中，tan76°＝，列出方程，求出x的值即可．【解答】解：（1）过点A作AH⊥PO，垂足为点H，∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴，设AH＝5k，则PH＝12k，由勾股定理，得AP＝13k，∴13k＝26，解得k＝2，∴AH＝10，答：坡顶A到地面PQ的距离为10米．（2）延长BC交PO于点D，∵BC⊥AC，AC∥PO，∴BD⊥PO，∴四边形AHDC是矩形，CD＝AH＝10，AC＝DH，∵∠BPD＝45°，∴PD＝BD，设BC＝x，则x+10＝24+DH，∴AC＝DH＝x﹣14，在Rt△ABC中，tan76°＝，即≈4.01．解得x≈19．答：古塔BC的高度约为19米．23．某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，每月能卖出500个．商场想了两个方案来增加利润：方案一：提高价格，但这种商品每个售价涨价1元，销售量就减少10个；方案二：售价不变，但发资料做广告．已知这种商品每月的广告费用m（千元）与销售量倍数p关系为p＝﹣0.4m2+2m；试通过计算，请你判断商场为赚得更大的利润应选择哪种方案？请说明你判断的理由．【分析】方案一：由利润＝（实际售价﹣进价）×销售量，列出函数关系式，再用配方法求最大利润；方案二：由利润＝（售价﹣进价）×500p﹣广告费用，列出函数关系式，再用配方法求最大利润．【解答】解：设涨价x元，利润为y元，则方案一：涨价x元时，该商品每一件利润为：50+x﹣40，销售量为：500﹣10x，∴y＝（50+x﹣40）（500﹣10x）＝﹣10x2+400x+5000＝﹣10（x﹣20）2+9000∵当x＝20时，y最大＝9000，∴方案一的最大利润为9000元；方案二：该商品售价利润为＝（50﹣40）×500p，广告费用为：1000m元，∴y＝（50﹣40）×500p﹣1000m＝﹣2000m2+9000m＝﹣2000（m﹣2.25）2+10125∴方案二的最大利润为10125元；∴选择方案二能获得更大的利润．24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，作OD∥BC与过点A的切线交于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE＝6，CE＝2，求线段CE、BE与劣弧BC所围成的图形面积．【分析】（1）由题意可证△ADO≌△CDO，可得∠DCO＝∠DAO＝90°，即可证DE是⊙O的切线；（2）由题意可证△CBE∽△ACE，可求BE的长，AB的长，OB的长，OC的长，根据锐角三角函数可求∠COB＝60°，根据线段CE、BE与劣弧BC所围成的图形面积＝△COE的面积﹣扇形OBC的面积可求解．【解答】证明：（1）连接OC∵AD是⊙O的切线∴∠DAO＝90°∵OC＝OB∴∠OBC＝∠OCB∵OD∥BC∴∠DOC＝∠OCB，∠DOA＝∠OBC∴∠DOA＝∠DOC且AO＝CO，DO＝DO∴△ADO≌△CDO（SAS）∴∠DCO＝∠DAO＝90°∵∠DCO＝90°，OC是半径∴DE是⊙O的切线（2）∵DE是⊙O的切线，BC是弦∴∠ECB＝∠CAB，且∠CEA＝∠CEA∴△CBE∽△ACE∴即∴BE＝2∵AB＝AE﹣BE∴BA＝4∴OB＝2＝AO＝OC∴OE＝4∵sin∠COE＝＝＝∴∠COE＝60°∴线段CE、BE与劣弧BC所围成的图形面积＝×2×2﹣＝2﹣π25．【定义】若一个四边形恰好关于其中一条对角线所在的直线对称，则我们将这个四边形叫做镜面四边形．【理解】（1）下列说法是否正确（对的打√，错的打×）①平行四边形是一个镜面四边形×②镜面四边形的面积等于对角线积的一半．√（2）如图（1），请你在4×4的网格（每个小正方形的边长为1）中画出一个镜面四边形，使它图（1）的顶点在格点上，且有一边长为．【应用】（3）如图（2），已知镜面四边形ABCD，∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，AB≠BC，P是AD上一点，AE⊥BP的延长线上取一点F，使EF＝BE，连接AF，作∠FAD的平分线AG交BF于G，CM⊥BF于M，连接CG．①求∠EAG的度数．②比较BM与EG的大小，并说明理由．【分析】（1）根据平行四边形的性质和镜面四边形的定义，直接判断；（2）由镜面四边形的意义，得到必有两边是，一个直角，画出图形即可（3）①根据角平分线的定义得到∠EAF＝∠BAF，∠GAF＝∠FAD计算；②先判断△ABE∽△BCM，通过计算判断出BM＝EG【解答】解：（1）①∵平行四边形不关于任何一条对角线对称，∴错误，故答案×；②∵镜面四边形关于对角线对称，∴镜面四边形的两条对角线互相垂直，∴镜面四边形的面积等于对角线积的一半；故答案为√．（2）∵有一边长为．∴镜面四边形必有两边是．如图（1）（3）①∵AE⊥BP，EF＝BE，∴AB＝AF，∴∠EAF＝∠BAF，∵∠GAF＝∠FAD，∴∠EAG＝∠EAF﹣∠GAF＝∠BAF﹣∠FAD＝∠BAD＝30°；②BM＝EG，理由如下：如图（2）连接AC，∵∠ABC＝90°，∴AB＝BC，∵∠ABC＝∠AEB＝∠CMB＝90°，∴∠BAE+∠ABF＝∠ABP+∠ABF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，∴△ABE∽△BCM，∴＝＝，∴AE＝BM，∵∠EAG＝30°，AE⊥BP，∴AE＝EG，∴BM＝EG．26．用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题：探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P．（1）当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；（2）当点P在运动的过程中出现PA＝FC时，求∠PAB的度数．探究二：如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN．在旋转△DEF的过程中，△AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）如答图1所示，过点A作AG⊥BC于点G，构造Rt△APG，利用勾股定理求出AP的长度；（2）如答图2所示，符合条件的点P有两个．解直角三角形，利用特殊角的三角函数值求出角的度数；（3）如答图3所示，证明△AMD≌△CND，得AM＝CN，则△AMN两直角边长度之和为定值；设AM＝x，求出斜边MN的表达式，利用二次函数的性质求出MN的最小值，从而得到△AMN周长的最小值．【解答】解：探究一：（1）依题意画出图形，如答图1所示：由题意，得∠CFB＝60°，FP为角平分线，则∠CFP＝30°，∴CF＝BC•tan30°＝3×＝，∴CP＝CF•tan∠CFP＝×＝1．过点A作AG⊥BC于点G，则AG＝BC＝，∴PG＝CG﹣CP＝﹣1＝．在Rt△APG中，由勾股定理得：AP＝＝＝．（2）由（1）可知，FC＝．如答图2所示，以点A为圆心，以FC＝长为半径画弧，与BC交于点P1、P2，则AP1＝AP2＝．过点A过AG⊥BC于点G，则AG＝BC＝．在Rt△AGP1中，cos∠P1AG＝＝＝，∴∠P1AG＝30°，∴∠P1AB＝45°﹣30°＝15°；同理求得，∠P2AG＝30°，∠P2AB＝45°+30°＝75°．∴∠PAB的度数为15°或75°．探究二：△AMN的周长存在有最小值．如答图3所示，连接AD．∵△ABC为等腰直角三角形，点D为斜边BC的中点，∴AD＝CD，∠C＝∠MAD＝45°．∵∠EDF＝90°，∠ADC＝90°，∴∠MDA＝∠NDC．∵在△AMD与△CND中，∴△AMD≌△CND（ASA）．∴AM＝CN．设AM＝x，则CN＝x，AN＝AC﹣CN＝BC﹣CN＝﹣x．在Rt△AMN中，由勾股定理得：MN＝＝＝＝．△AMN的周长为：AM+AN+MN＝+，当x＝时，有最小值，最小值为+＝．∴△AMN周长的最小值为．27．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B 两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．【分析】（1）由抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于两点A、B，求得A点的坐标，作DF⊥x轴于F，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标，然后利用待定系数法法即可求得直线l的函数表达式．（2）设点E（m，a（m+1）（m﹣3）），y AE＝k1x+b1，利用待定系数法确定y AE＝a（m﹣3）x+a（m﹣3），从而确定S△ACE＝（m+1）[a（m﹣3）﹣a]＝（m﹣）2﹣a，根据最值确定a的值即可；（3）分以AD为边或对角线2种情况讨论即可．【解答】解：（1）令y＝0，则ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3∵点A在点B的左侧，∴A（﹣1，0），如图1，作DF⊥x轴于F，∴DF∥OC，∴＝，∵CD＝4AC，∴＝＝4，∵OA＝1，∴OF＝4，∴D点的横坐标为4，代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得，y＝5a，∴D（4，5a），把A、D坐标代入y＝kx+b得，解得，∴直线l的函数表达式为y＝ax+a．（2）如图1，过点E作EN⊥y轴于点N设点E（m，a（m+1）（m﹣3）），y AE＝k1x+b1，则，解得：，∴y AE＝a（m﹣3）x+a（m﹣3），M（0，a（m﹣3））∵MC＝a（m﹣3）﹣a，NE＝m∴S△ACE＝S△ACM+S△CEM＝[a（m﹣3）﹣a]+[a（m﹣3）﹣a]m＝（m+1）[a（m﹣3）﹣a]＝（m﹣）2﹣a，∴有最大值﹣a＝，∴a＝﹣；（3）令ax2﹣2ax﹣3a＝ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴D（4，5a），∵y＝ax2﹣2ax﹣3a，∴抛物线的对称轴为x＝1，设P1（1，m），①若AD是矩形的一条边，由AQ∥DP知x D﹣x P＝x A﹣x Q，可知Q点横坐标为﹣4，将x＝﹣4代入抛物线方程得Q（﹣4，21a），m＝y D+y Q＝21a+5a＝26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°，∴AD2+PD2＝AP2，∵AD2＝[4﹣（﹣1）]2+（5a）2＝52+（5a）2，PD2＝（1﹣4）2+（26a﹣5a）2＝32+（21a）2，∴[4﹣（﹣1）]2+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2＝（﹣1﹣1）2+（26a）2，即a2＝，∵a＜0，∴a＝﹣，∴P1（1，﹣）．②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，﹣3a），m＝5a﹣（﹣3a）＝8a，则P（1，8a），∵四边形AQDP为矩形，∴∠APD＝90°，∴AP2+PD2＝AD2，∵AP2＝[1﹣（﹣1）]2+（8a）2＝22+（8a）2，PD2＝（4﹣1）2+（8a﹣5a）2＝32+（3a）2，AD2＝[4﹣（﹣1）]2+（5a）2＝52+（5a）2，∴22+（8a）2+32+（3a）2＝52+（5a）2，解得a2＝，∵a＜0，∴a＝﹣，∴P2（1，﹣4）．综上可得，P点的坐标为P1（1，﹣4），P2（1，﹣）．。