2021年中考复习数学压轴题：四边形 综合专题练习
2021年中考数学压轴题专题练习：四边形 综合复习
1、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：△BDE≌△FAE；
（2）求证：四边形ADCF为矩形．
2、如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：
（1）EA是∠QED的平分线；
（2）EF2=BE2+DF2．
3、如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交BC于G．
（1）求证：BG=DE；
（2）若点G为CD的中点，求的值．
4、已知：在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD和BC上，点G、H在对角线AC上，且BF=DE，AH=CG，连接FH、HE、BG、FG．
（1）求证：FG=EH．
（2）若EG平分∠AEH，FH平分∠CFG，FG//AB，∠ACD=68°，∠GFH=35°，求∠GHF的度数．
5、如图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，连接DE，将DE绕着点E逆时针旋转90°，得到EG，过点G作GF⊥CB，垂足为F，GH⊥AB，垂足为H，连接DG，交AB于I．
（1）求证：四边形BFGH是正方形；
（2）求证：ED平分∠CEI；
（3）连接IE，若正方形ABCD的边长为32，则△BEI的周长为 ．
6、如图，正方形CD的边长为1，点为边上一动点，连结C并将其绕点C顺时针旋转90得到CF，连结DF，以C、CF为邻边作矩形CFG，G与D、C分别交于点、，GF交CD延长线于点．
（1）证明：点、D、F在同一条直线上；
（2）随着点的移动，线段D是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由；
（3）连结F、，当//F时，求的长．
7、定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．
（1）如图1，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，若AB＝2，BC＝3，则BD＝_____；
（2）如图2，正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF是准矩形；
（3）已知，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，当△ADC为等腰三角形时，求这个准矩形的面积．
8、【性质探究】
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．
（1）判断△AFG的形状并说明理由．
（2）求证：BF＝2OG．
【迁移应用】
（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当时，求的值．
【拓展延伸】
（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．
9、若边长为6的正方形ABCD绕点A顺时针旋转，得正方形AB′C′D′，记旋转角为a．
（I）如图1，当a＝60°时，求点C经过的弧CC的长度和线段AC扫过的扇形面积；
（Ⅱ）如图2，当a＝45°时，BC与D′C′的交点为E，求线段D′E的长度；
（Ⅲ）如图3，在旋转过程中，若F为线段CB′的中点，求线段DF长度的取值范围．
10、△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．
（1）观察猜想
如图1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为： ．
②BC，CD，CF之间的数量关系为： ；（将结论直接写在横线上）
（2）数学思考
如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
（3）拓展延伸
如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB=2，CD=BC，请求出GE的长．
11、点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F．点O为AC的中点．
（1）如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是 ；
（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，点P在线段OA的延长线上运动，当∠OEF＝30°时，试探究线段CF、AE、OE之间的关系．
12、如图（1），在矩形ABCD中，8,6ABAD，点,EF分别是边,DCDA的中点，四边形DFGE为矩形，连接BG．
（1）问题发现
在图（1）中，CEBG_________；
（2）拓展探究 将图（1）中的矩形DFGE绕点D旋转一周，在旋转过程中，CEBG的大小有无变化？请仅就图（2）的情形给出证明；
（3）问题解决
当矩形DFGE旋转至,,BGE三点共线时，请直接写出线段CE的长．
13、如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点．
（1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）问题探究：如图②，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．判断△PQB的形状，并证明你的结论；
（3）拓展延伸：如图③，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO'，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积．
14、已知：Rt△EFP和矩形ABCD如图①摆放（点P与点B重合），点F，B（P），C在同一直线上，AB=EF=6cm，BC=FP=8cm，∠EFP=90°，如图②，△EFP从图①的位置出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s，EP与AB交于点G；同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s．过点Q作QM⊥BD，垂足为H，交AD于点M，连接AF，FQ，当点Q停止运动时，△EFQ也停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BD？
（2）设五边形AFPQM的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形AFPQM：S矩形ABCD=9：8？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点M在线段PG的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
15、问题背景：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系．
小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG＝AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，可得出结论，他的结论就是 ；
探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由；
探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BA＝BC，∠BAD+∠BCD＝180°，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由；
实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处．舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°．试求此时两舰艇之间的距离．
2021年上海市16区中考数学一模考点分类汇编专题15 几何综合(解答题25题压轴题)(逐题详解版)
2021年上海市16区中考数学一模汇编
专题15 几何综合（解答题25题压轴题）
1．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在RtABC中，90ACB，12AC，5BC，点D是边AC上的动点，以CD为边在ABC外作正方形CDEF，分别联结AE、BE，BE与AC交于点G．
（1）当AEBE时，求正方形CDEF的面积；
（2）延长ED交AB于点H，如果BEH△和ABG相似，求sinABE的值；
（3）当AGAE时，求CD的长．
2．（2021·上海长宁区·九年级一模）己知，在矩形ABCD中，点M是边AB上的一个点（与点A、B不重合），联结CM，作∠CMF＝90°，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F．点G为线段MF的中点，联结DG．
（1）如图1，如果AD＝AM＝4，当点E与点G重合时，求∠MFC的面积；
（2）如图2，如果AM＝2，BM＝4．当点G在矩形ABCD内部时，设AD＝x，DG2＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果AM＝6，CD＝8，∠F＝∠EDG，求线段AD的长．（直接写出计算结果）
3．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图，已知ABC中，90ACB，ACBC，点D、E在边AB上，45DCE，过点A作AB的垂线交CE的延长线于点M，联结MD．
（1）求证：2CEBEDE；
（2）当3AC，2ADBD时，求DE的长；
（3）过点M作射线CD的垂线，垂足为点F，设BDxBC，tanFMDy，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．
4．（2021·上海浦东新区·九年级一模）四边形ABCD是菱形，∠B≤90°，点E为边BC上一点，联结AE，过点E作EF∠AE，EF与边CD交于点F，且EC=3CF．
（1）如图1，当∠B=90°时，求ABES与ECFS的比值；
（2）如图2，当点E是边BC的中点时，求cosB的值；
2021年中考数学压轴题专项训练07 综合探究类(含解析)
2021年中考数学压轴题专项训练07 综合探究类（含解析）
1 / 27 综合探究类
1．综合与实践
问题背景：
综合与实践课上，同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相一次相关问题的研究． 下面是创新小组在操作过程中研究的问题， 如图一，△ABC≌△DEF， 其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°．
操作与发现：
（1）如图二，创新小组将两张三角形纸片按如图示的方式放置，四边形ACBF的形状是 ，CF= ；
（2）创新小组在图二的基础上，将△DEF纸片沿AB方向平移至图三的位置，其中点E与AB的中点重合．连接CE，BF．四边形BCEF的形状是 ，CF= ．
操作与探究 ：
（3）创新小组在图三的基础上又进行了探究，将△DEF纸片绕点E逆时针旋转至DE与BC平行的位置，如图四所示，连接AF， BF． 经过观察和推理后发现四边形ACBF也是矩形，请你证明这个结论．
【解析】（1）如图所示： 2021年中考数学压轴题专项训练07 综合探究类（含解析）
2 / 27
△ABC≌△DEF， 其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，
60,2ABCFEDBCEF，
90CFFAC，四边形ACBF是矩形，AB=4，
AB=CF=4；
故答案为：矩形，4 ；
（2）如图所示：
△ABC≌△DEF， 其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，
60,2ABCFEDBCEF，
//BCEF，四边形ECBF是平行四边形，
点E与AB的中点重合，CE=BE，CBE△是等边三角形，
EC=BC，四边形ECBF是菱形，CF与EB互相垂直且平分，
332OCEC，23CF，
故答案为：菱形，23； 2021年中考数学压轴题专项训练07 综合探究类（含解析）
3 / 27 （3）证明：如图所示：
2021年中考一轮复习数学《图形的变化填空压轴题》专题突破训练(附答案)
新人教版“活力课堂”中考数学精编试题
“活力课堂”初中数学组编 2021年九年级数学中考复习《图形的变化填空压轴题》专题突破训练（附答案）
1．如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝12，点D在边AC上，点E在边BC上，sin∠ADE＝，ED＝5，如果△ECD的面积是6，那么BC的长是
．
2．如图，△ABC是等边三角形，点D为边AC的中点，BD＝12cm，点P为中线BD上的动点，则CP+PB的最小值是 ．
3．如图，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝4，沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，过点E作EF∥CD交BD于点F，连接CF，则CF的长为 ．
4．如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝120°，∠BCA＝75°，DF＝4，E为AC上一点，将△ADE沿着DE翻折，点A恰好落在CD上的F点处，连接BF，则BF长度为 ． 新人教版“活力课堂”中考数学精编试题
“活力课堂”初中数学组编
5．如图，点B在射线AN上，以AB为边作等边△ABC，M为AN中点，且AN＝4，P为BC中点，当PM+PN最小时，AB＝
．
6．如图，在平面直角坐标系中，将△ABC绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B，O（分别落在点B1，C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，再将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去，…，若点A（3，0），B（0，4），AB＝5，则点B2021的坐标为 ．
7．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B为（0，1），若C为线段OA上一动点，则BC+AC的最小值是 ．
8．如图，在△ABC中，D是AC边的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，联结AC′．若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为 ． 新人教版“活力课堂”中考数学精编试题
2023年中考数学压轴题专题32 四边形与新定义综合问题【含答案】
专题32四边形与新定义综合问题
【例1】（2022•汇川区模拟）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：
四边形ABCD中，若∠A+∠C＝180°或∠B+∠D＝180°，则四边形ABCD是“对补四边形”．
【概念理解】（1）如图1，四边形ABCD是“对补四边形”．①若∠A：∠B：∠C＝3：2：1，则∠D＝度．
②若∠B＝90°．且AB＝3，AD＝2时．则CD2﹣CB2＝．
【类比应用】（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝CB，BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD是“对补四边形”．
【例2】．（2022•赣州模拟）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形做“等邻角四边形”，例
如：如图1，∠B＝∠C，则四边形ABCD为等邻角四边形．
（1）定义理解：已知四边形ABCD为等邻角四边形，且∠A＝130°，∠B＝120°，则∠D＝度．
（2）变式应用：如图2，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC．①求证：四边形ABDE为等邻角四边形；
②若∠A+∠C+∠E＝300°，∠BDC＝∠C，请判断△BCD的形状，并明理由．
（3）深入探究：如图3，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠BCD，CE⊥AB，垂足为E，
点P为边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点P的运
动过程中，判断PM+PN与CE的数量关系？请说明理由．
（4）迁移拓展：如图4，是一个航模的截面示意图．四边形ABCD是等邻角四边形，∠A
＝∠ABC，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，AB＝2dm，AD＝3dm，BD＝dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△
CEN的周长之和．
【例3】（2022•常州二模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角
的夹边称为邻余线．
（1）如图I，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上
2021年浙江省杭州市中考数学压轴题总复习(附答案解析)
第 1 页 共 192 页 2021年浙江省杭州市中考数学压轴题总复习
中考数学压轴题是想获得高分甚至满分必须攻破的考题，得分率低，需要引起重视。从近10年中考压轴题分析可得中考压轴题主要考查知识点为二次函数，圆，多边形，相似，锐角三角形等。预计2021年中考数学压轴题依然主要考查这些知识点。
1．在△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交边BC于点D，分别过D作DE∥AC交边AB于点E，DF∥AB交边AC于点F．
（1）如图1，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由；
（2）如图2，若AD＝4√3，点H，G分别在线段AE，AF上，且EH＝AG＝3，连接EG交AD于点M，连接FH交EG于点N．
（i）求EN•EG的值；
（ii）将线段DM绕点D顺时针旋转60°得到线段DM′，求证：H，F，M′三点在同一条直线上
第 2 页 共 192 页 2．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AC＝BC＝10，cos∠ACB=45，点E在对角线AC上（不与点A、C重合），∠EDC＝∠ACB，DE的延长线与射线CB交于点F，设AD的长为x．
（1）如图1，当DF⊥BC时，求AD的长；
（2）设EC＝y，求y关于x的函数解析式，并直接写出定义域；
（3）当△DFC是等腰三角形时，求AD的长．
压轴题综合练习2021--2022学年浙教版九年级数学上册 含答案
压轴题综合
1．如图，在等边三角形ABC中，点E、F分别是边AB、AC上两点，将△ABC沿EF翻折，点A正好落在线段BC上的点D处，若BD＝3CD．若AE＝13，则点C到线段DF的距离是____．
2．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E是边AB的中点，连接CE，将△BCE沿CE折叠得到△FCE，CF与BD交于点P，则DP的长为 ___．
3．如图在RtABC中，△BAC=90°，AB= AC =10，等腰直角三角形ADE绕点A旋转，△DAE=90°，AD= AE =4，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接MP、PN、MN，则△PMN面积的最小值是_______．
4．如图，在正方形ABCD中，点E为BC边上一点，且2CEBE，点F为对角线BD上一点，且2BFDF，连接AE交BD于点G，过点F作FHAE于点H，若2HGcm，则正方形ABCD的边长为_______cm．
5．问题发现：
（1）如图△，点A和点B均在△O上，且△AOB＝90°，点P和点Q均在射线AM上，若△APB＝45°，则点P与△O的位置关系是
；若△AQB＜45°，则点Q与△O的位置关系是 ．
问题解决：
如图△、图△所示，四边形ABCD中，AB△BC，AD△DC，△DAB＝135°，且AB＝1，AD＝22，点P是BC边上任意一点．
（2）当△APD＝45°时，求BP的长度．
（3）是否存在点P，使得△APD最大？若存在，请说明理由，并求出BP的长度；若不存在，也请说明理由．
6．已知抛物线213yxmxm（m为常数，1m）．14,Amy，22,Bmy是该抛物线上不同的两点，现将抛物线的对称轴绕坐标原点O逆时针旋转90得到直线a，过抛物线顶点P作PHa于H．
（1）当3m时，求出这条抛物线的顶点坐标；
（2）若无论m取何值，抛物线与直线34myxmkm（k为常数）有且仅有一个公共点，求k的值；
2021年广东省中考数学解答题压轴题练习及答案 (78)
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2021年广东省中考数学解答题压轴题练习
1．如图，四边形ABCE内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，延长AE交BC的延长线于点F，点C是BF的中点，∠BCD＝∠CAE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：△CEF是等腰三角形；
（3）若BD＝1，CD＝2，求cos∠CBA的值及EF的长．
【分析】（1）连接OC，可证得∠CAD＝∠BCD，由∠CAD+∠ABC＝90°，可得出∠OCD＝90°，即结论得证；
（2）证明△ABC≌△AFC可得CB＝CF，又CB＝CE，则CE＝CF；
（3）证明△DCB∽△DAC，可求出DA的长，得出AB的长；在直角△ACB中，由勾股定理得到边BC的长度；所以根据余弦三角函数的定义求得cos∠CBA的值；根据圆周角定理推知BE⊥AF，则BE2＝AB2﹣AE2＝BF2﹣EF2，将已知线段的长度代入，借助于方程求解即可．
【解答】（1）证明：连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠ABC＝90°，
∵CE＝CB，
∴∠CAE＝∠CAB，
∵∠BCD＝∠CAE，
∴∠CAB＝∠BCD，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OCB+∠BCD＝90°， 2 / 3
∴∠OCD＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）证明：
在△ABC和△AFC中，
，
∴△ABC≌△AFC（ASA），
∴CB＝CF，
又∵CB＝CE，
∴CE＝CF．
∴△CEF是等腰三角形；
（3）解：∵∠BCD＝∠CAD，∠ADC＝∠CDB，
∴△DCB∽△DAC，
∴＝＝，
∴＝，
∴AD＝4，
∴AB＝AD﹣BD＝4﹣1＝3．
在直角△ACB中，由勾股定理得到：AC2+BC2＝AB2，即4×32+BC2＝32．
∴BC＝EC＝FC＝．
∴cos∠CBA＝＝．
∵AB是圆O的直径，
∴BE⊥AF，
∴AB2﹣AE2＝BF2﹣EF2，即32﹣（3﹣EF）2＝（）2﹣EF2．
以四边形新定义为背景的阅读材料压轴题-2023年中考数学压轴题专项训练(学生版)
12023年中考数学压轴题专项训练1.压轴题22以四边形新定义为背景的阅读材料压轴题01考向分析1(2022春•玄武区期末)【概念认识】在四边形ABCD中，∠A=∠B．如果在四边形ABCD内部或边AB上存在一点P，满足∠DPC=∠A，那么称点P是四边形ABCD的“映角点”．【初步思考】(1)如图①，在四边形ABCD中，∠A=∠B，点P在边AB上且是四边形ABCD的“映角点”．若DA∥CP，DP∥CB，则∠DPC的度数为°；(2)如图②，在四边形ABCD中，∠A=∠B，点P在四边形ABCD内部且是四边形ABCD的“映角点”，延长CP交边AB于点E．求证：∠ADP=∠CEB．【综合运用】在四边形ABCD中，∠A=∠B=α，点P是四边形ABCD的“映角点”，DE、CF分别平分∠ADP、∠BCP，当DE和CF所在直线相交于点Q时，请直接写出∠CQD与α满足的关系及对应α的取值范围．22(2022•长沙模拟)有一组对角相等的凸四边形称为“对等四边形”，连接这两个相等对角的顶点的线段称为“对等线”．(1)如图1，已知四边形ABCD是“对等四边形”，AC是“对等线”，且AB=BC．求证：AD=CD；(2)如图2，四边形ABCD中，∠ADC=120°，∠ABC=150°．且AD⊥BD，BC=22，BD=4．①求证：四边形ABCD是“对等四边形”；②试求AC2．(3)如图3，对等四边形ABCD内接于⊙O，∠A=90°，AD上存在点E，满足AE=CD，连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G，连结CE，CE=BG．若AD=2，tan∠ADB=32，求：①cos∠F的值；②△DEF的周长，(请选择一个进行解答)．33(2023•秦都区校级三模)【了解概念】定义提出：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．【理解运用】(1)如图1，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段AB、BC的端点均在格点上，在图1的方格纸中画出一个等邻边四边形ABCD，要求：点D在格点上；(2)如图2，在等邻边四边形ABCD中，AB=AD=4，∠A=60°，∠ABC=90°，BC=33，求CD的长；【拓展提升】(3)如图3，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴正半轴上，已知OC=4，OA=6，D是OA的中点．在矩形OABC内或边上，是否存在点E，使四边形OCED为面积最大的“等邻边四边形”，若存在，请求出四边形OCED的最大面积及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．402压轴题速练1(2022秋•开江县校级期末)在平面直角坐标系中，P(a，b)是第一象限内一点，给出如下定义：k1=ab和k2=ba两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．(1)求点P(6，2)的“倾斜系数”k的值；(2)①若点P(a，b)的“倾斜系数”k=2，请写出a和b的数量关系，并说明理由；②若点P(a，b)的“倾斜系数”k=2，且a+b=3，求OP的长；(3)如图，已知点A(2，2)，B(4，2)，C(4，4)，D(2，4)，P(a，b)是四边形ABCD上任意一点．试说明是否存在使点P的“倾斜系数”k为32的点．若存在，请自己写出这样的点P的坐标；若不存在，请说明理由．52(2023•定远县校级一模)定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等)，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．(1)如图1，△ABC的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，请只用无刻度的直尺，就可以在网格中画出点D，请你在图1中找出满足条件的点D，保留画图痕迹(找出2个即可)(2)①如图2，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠DCB=135°，对角线AC平分∠DAB．请问AC是四边形ABCD的“相似对角线”吗？请说明理由；②若AC=10，求AD•AB的值．(3)如图3，在(2)的条件下，若∠D=∠ACB=90°时，将△ADC以A为位似中心，位似比为5：2缩小得到△AEF，连接CE、BF，在△AEF绕点A旋转的过程中，当CE所在的直线垂直于AF时，请你直接写出BF的长．63(2022秋•镇海区校级期末)如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE=2c，这时我们把关于x的形如ax2+2cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：(1)判断下列方程是否是“勾系一元二次方程”：①2x2+5x+1=0(填“是”或“不是”)；②3x2+52x+4=0(填“是”或“不是”)(2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b=0必有实数根；(3)若x=-1是“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC面积．74(2022秋•龙岗区校级期末)定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”，回答下列问题．(1)如图1，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=1，CD=2，∠BCD=∠DBC，判断四边形ABCD是不是“等邻边四边形”，并说明理由；(2)如图2，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1，现将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BB′方向平移得到△A′B′C′，连接AA′，BC′，若平移后的四边形ABC′A′是“等邻边四边形”，求BB'的长．85(2023春•义乌市校级期中)类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形．【概念理解】如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．(只写一个即可)【问题探究】如图2，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1，将△ABC沿∠ABC的平分线BB′的方向平移，得到△A′B′C′，连接AA′、BC′，若平移后的四边形ABC′A′是等邻边四边形，求平移的距离(直接写出答案)．【拓展应用】如图3，等邻边四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD为对角线，△BCD为等边三角形，试给出AC和AB的数量关系，并说明理由．6(2023春•江油市月考)定义：我们把一组对边平行另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯9形．【性质初探】如图1，已知，▱ABCD，∠B=80°，点E是边AD上一点，连结CE，四边形ABCE恰为等腰梯形．求∠BCE的度数；【性质再探】如图2，已知四边形ABCD是矩形，以BC为一边作等腰梯形BCEF，BF=CE，连结BE、CF．求证：BE=CF；【拓展应用】如图3，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB=2，∠ABC=45°，过点O作AC的垂线交BC的延长线于点G，连结DG．若∠CDG=90°，求BC的长．107(2023春•西城区校级期中)平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为：A-12，12，B-12，-12，C12，-12，D12，12，P、Q是这个正方形外两点，且PQ=1．给出如下定义：记线段PQ的中点为T，平移线段PQ得到线段P'Q'(其中P'，Q'分别是点P，Q的对应点)，记线段P'Q'的中点为T．若点P'和Q'分别落在正方形ABCD的一组邻边上，或线段P'Q'与正方形ABCD的一边重合，则称线段TT'长度的最小值为线段PQ到正方形ABCD的“回归距离”，称此时的点T'为线段PQ到正方形ABCD的“回归点”．(1)如图1，平移线段PQ，得到正方形ABCD内两条长度为1的线段P1Q1和P2Q2，这两条线段的位置关系为1Q1∥P2Q2 ；若T1，T2分别为P1Q1和P2Q2的中点，则点1 (填T1或T2)为线段PQ到正方形ABCD的“回归点”；(2)若线段PQ的中点T的坐标为(1，1)，记线段PQ到正方形ABCD的“回归距离”为d1，请直接写出d1的最小值：，并在图2中画出此时线段PQ到正方形ABCD的“回归点”T'(画出一种情况即可)；(3)请在图3中画出所有符合题意的线段PQ到正方形ABCD的“回归点”组成的图形．8(2022秋•兴化市校级期末)我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对11角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．(1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称；(2)如图1，已知格点(小正方形的顶点)O(0，0)，A(3，0)，B(0，4)，请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；(3)如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30°．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．9(2021秋•永丰县期末)定义：我们把两条对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”．12特例感知：(1)如图1，四边形ABCD是“垂美四边形，如果OA=OD=13OB，OB=2，∠OBC=60°，则AD2+BC2=，AB2+CD2=．猜想论证(2)如图1，如果四边形ABCD是“垂美四边形”，猜想它的两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系并给予证明．拓展应用：(3)如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，∠BAC=60°，求GE长．(4)如图3，∠AOB=∠COD=90°，∠ABO=∠CDO=30°，∠BOC=120°，OA=OD，OC=3，连接AC，BC，BD，请直接写出BC的长．10(2022秋•东城区校级月考)点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是平面直角坐标系中不同的两个点，且x1≠x2，13若存在一个正数k，使点P，Q的坐标满足|y1-y2|=k|x1-x2|，则称P，Q为一对“限斜点”，k叫做点P，Q的“限斜系数”，记作k(P，Q)．由定义可知，k(P，Q)=k(Q，P)．例：若P(1，0)，Q3，12，有0-12=14|1-3|，所以点P，Q为一对“限斜点”，且“限斜系数”为14．已知点A(1，0)，B(2，0)，C(2，-2)，D2，12．(1)在点A，B，C，D中，找出一对“限斜点”：，它们的“限斜系数”为；(2)若存在点E，使得点E，A是一对“限斜点”，点E，B也是一对“限斜点”，且它们的“限斜系数”均为1．求点E的坐标；(3)正方形对角线的交点叫做中心，已知正方形EFGH的各边与坐标轴平行，边长为2，中心为点M(0，m)．点T为正方形上任意一点，若所有点T都与点C是一对“限斜点”，且都满足k(T，C)≥1，直接写出点M的纵坐标m的取值范围．11(2022•南京模拟)对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一14点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“邻近距离”，记为d(图形M，图形N)，已知点A(-2，-2)，B(3，-2)，C(3，3)，D(-2，3)．(1)d(点O，线段AB)=；(2)若点G在轴上，且d(点G，线段AB)>2，求点G的横坐标a的取值范围；(3)依次连接A，B，C，D四点，得到正方形ABCD(不含图形内部)，记为图形M，点E(t，0)，点F0，12-t均不与点O重合，线段EO，OF组成的图形记为图形N，若1
中考数学：以四边形为载体的几何压轴问题真题+模拟(原卷版北京专用)
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中考数学以四边形为载体的几何压轴问题
【方法归纳】
北京市中考数学倒数第二道压轴题会以四边形为载体的几何压轴题出现，要求学生理解
和掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，会画出四边形全等变换
后的图形，并会结合其他知识解答一些有探索性、开放性的问题，提高解决问题的能力.解
决此类问题的关键是要牢牢把握四边形的性质与特征，挖掘相关图形之间的联系，利用所
给图形及图形之间形状、大小、位置关系，进行观察、实验、比较、联想、类比、分析、
综合等.
常用到的矩形、菱形、正方形的解题策略有：
（1）对于矩形：①判定四边形是矩形，一般先判定是平行四边形，然后再判定是矩形；②
矩形的内角是直角和对角线相等，相对于平行四边形来说是矩形特殊的性质；③利用矩形
的性质计算或证明时，常常运用勾股定理，锐角三角函数或相似三角形求解．
（2）对于菱形：①判定四边形是菱形，一般先判定是平行四边形，然后再判定是菱形；②
菱形的邻边相等和对角线垂直，相对于平行四边形来说是菱形特殊的性质；③利用菱形的
性质计算或证明时，常常运用勾股定理，锐角三角函数或相似三角形求解；④求线段和的
最小值时，往往运用菱形的轴对称的性质转化为求线段的长度．
（3）对于正方形：①判定四边形是正方形，一般先判定是平行四边形，然后再判定是矩形
或菱形，最后判定这个四边形是正方形；②正方形是最特殊的四边形，在正方形的计算或
证明时，要特别注意线段或角的等量转化．
【典例剖析】
【例1
】（2018·
北京·
中考真题）如图，在正方形ABCD
中，E
是边AB
上的一动点（不与点
A
、B
重合），连接DE
，点A
关于直线DE
的对称点为F
，连接EF
并延长交BC
于点G
，
连接DG
，过点E
作EH
⊥DE
交DG
的延长线于点H
，连接BH
．
（1
）求证：GF=GC
；
（2
）用等式表示线段BH
与AE
的数量关系，并证明．
【真题再现】
1
．（2014·
北京·
中考真题）在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷外侧作直线𝐴𝑃，点𝐵关于直线𝐴𝑃的对称点为𝐸，
专题05几何思想之平行四边形压轴题专练解析版2021-2022学年八年级数学下册专题训练浙教版
专题05 几何思想之平行四边形压轴题专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2020·浙江宁波·八年级期中）如图，在平行四边形ABCD
中，E、F是对角线AC上的两点且
AECF=，下列说法中正确的是（ ）
①BEDF=；②//BEDF；③ABDE=；④四边形EBFD为平行四边形；⑤
ADEABESS
DD=
；
⑥AFCE=．
A．①⑥B．①②④⑥C．①②③④D．①②④⑤⑥
【标准答案】D
【思路指引】
先根据全等三角形进行证明，即可判断①和②，然后作辅助线，推出OD=OF，得出四边形BEDF是平
行四边形，求出BM=DM即可判断④和⑤，最后根据AE=CF，即可判断⑥.
【详解详析】
①∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC，AB=DC,
∴∠BAC=∠ADC,
在△ABE和△DFC中
BACADC
ABAF
CE
DC
Ð=Ð
=ì=
ï
í
ï
î
∴△ABE≌△DFC（SAS）,
∴BE=DF,
故①正确.
②∵△ABE≌△DFC,
∴∠AEB=∠DFC,
∴∠BEF=∠DFE,
∴BE∥
DF,故②正确.
③根据已知的条件不能推AB=DE，故③错误.
④连接BD交AC于O，过D作DM⊥AC于M，过B作BN⊥AC于N,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DO=BO，OA=OC,
∵AE=CF,
∴OE=OF,
∴四边形BEDF是平行四边形,
故④正确.
⑤∵BN⊥AC，DM⊥AC,
∴∠BNO=∠DMO=90°,
在△BNO和△DMO中
∠BNO=∠DMO
∠BON=∠DOM
OB=ODì
ï
í
ï
î
△ADE△ABE∴△BNO≌△DMO（AAS）
∴BN=DM
11
∵S=AEDM，S=AEBN
22´´´´
∴
△ADE△ABES=S
,
故⑤正确.
⑥∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF,
∴AF=CE,
故⑥正确.
故答案是D.
【名师指路】
本题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定以及性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键.
2．（2020·浙江·兰溪市外国语中学八年级月考）如图，在平行四边形ABCD