第二章 单纯形法
第二章单纯形法第二章单纯形法单纯形法的一般原理表格单纯形法借助人工变量求初始的基本可行解单纯形表与线性规划问题的讨论改进单纯形法考虑到如下线性规划问题其中Ａ一个m×n矩阵，且秩为m，ｂ总可以被调整为一个m维非负列向量，Ｃ为n维行向量，Ｘ为n维列向量。
根据线性规划基本定理：如果可行域Ｄ={ Ｘ∈Ｒn / ＡＸ=ｂ，Ｘ≥0}非空有界，则Ｄ上的最优目标函数值Ｚ=ＣＸ一定可以在Ｄ的一个顶点上达到。
这个重要的定理启发了Dantzig的单纯形法，即将寻优的目标集中在D的各个顶点上。
单纯形法的一般原理Dantzig的单纯形法把寻优的目标集中在所有基本可行解（即可行域顶点）中。
其基本思路是从一个初始的基本可行解出发，寻找一条达到最优基本可行解的最佳途径。
单纯形法的一般步骤如下：（1）寻找一个初始的基本可行解。
（2）检查现行的基本可行解是否最优，如果为最优，则停止迭代，已找到最优解，否则转一步。
（3）移至目标函数值有所改善的另一个基本可行解，然后转会到步骤（2）。
确定初始的基本可行解确定初始的基本可行解等价于确定初始的可行基，一旦初始的可行基确定了，那么对应的初始基本可行解也就唯一确定为了讨论方便，不妨假设在标准型线性规划中，系数矩阵Ａ中前m个系数列向量恰好构成一个可行基，即Ａ=（ＢＮ），其中Ｂ=（Ｐ1，Ｐ2，…Ｐm）为基变量x1，x2，…xm的系数列向量构成的可行基，Ｎ=(Ｐm+1，Pm+2，…Pn)为非基变量xm+1，xm+2，…xn的系数列向量构成的矩阵。
所以约束方程就可以表示为用可行基Ｂ的逆阵Ｂ-1左乘等式两端，再通过移项可推得：若令所有非基变量, 则基变量由此可得初始的基本可行解问题：要判断m个系数列向量是否恰好构成一个基并不是一件容易的事。
基由系数矩阵Ａ中m个线性无关的系数列向量构成。
但是要判断m个系数列向量是否线性无关并非易事。
即使系数矩阵Ａ中找到了一个基B，也不能保证该基恰好是可行基。
因为不能保证基变量ＸB=Ｂ-1b≥0。
为了求得基本可行解，必须求基Ｂ的逆阵Ｂ-1。
但是求逆阵Ｂ-1也是一件麻烦的事。
结论：在线性规划标准化过程中设法得到一个m阶单位矩阵I作为初始可行基Ｂ，若在化标准形式前，约束方程中有“≥”不等式，那么在化标准形时除了在方程式左端减去剩余变量使不等式变成等式以外，还必须在左端再加上一个非负新变量，称为人工变量．若在化标准形式前，约束方程中有等式方程，那么可以直接在等式左端添加人工变量。
为了设法得到一个m阶单位矩阵I作为初始可行基Ｂ，可在性规划标准化过程中作如下处理：若在化标准形式前，m个约束方程都是“≤”的形式，那么在化标准形时只需在一个约束不等式左端都加上一个松弛变量xn+i (i=12…m)。
判断现行的基本可行解是否最优假如已求得一个基本可行解将这一基本可行解代入目标函数，可求得相应的目标函数值其中分别表示基变量和非基变量所对应的价值系数子向量。
要判定是否已经达到最大值，只需将代入目标函数，使目标函数用非基变量表示，即：其中称为非基变量ＸN的检验向量，它的各个分量称为检验数。
若σN的每一个检验数均小于等于0，即σN ≤0，那么现在的基本可行解就是最优解。
定理1：最优解判别定理对于线性规划问题若某个基本可行解所对应的检验向量，则这个基本可行解就是最优解。
定理2：无穷多最优解判别定理若是一个基本可行解，所对应的检验向量，其中存在一个检验数σm+k=0，则线性规划问题有无穷多最优解。
基本可行解的改进如果现行的基本可行解Ｘ不是最优解，即在检验向量中存在正的检验数，则需在原基本可行解Ｘ的基础上寻找一个新的基本可行解，并使目标函数值有所改善。
具体做法是：先从检验数为正的非基变量中确定一个换入变量，使它从非基变量变成基变量（将它的值从零增至正值），再从原来的基变量中确定一个换出变量，使它从基变量变成非基变量（将它的值从正值减至零）。
由此可得一个新的基本可行解，由可知，这样的变换一定能使目标函数值有所增加。
换入变量和换出变量的确定：换入变量的确定—最大增加原则假设检验向量，若其中有两个以上的检验数为正，那么为了使目标函数值增加得快些，通常要用“最大增加原则”，即选取最大正检验数所对应的非基变量为换入变量，即若则选取对应的为换入变量，由于且为最大，因此当由零增至正值，可使目标函数值最大限度的增加。
换出变量的确定—最小比值原则如果确定为换入变量，方程其中为Ａ中与对应的系数列向量。
现在需在中确定一个基变量为换出变量。
当由零慢慢增加到某个值时，的非负性可能被打破。
为保持解的可行性，可以按最小比值原则确定换出变量：若则选取对应的基变量为换出变量。
定理3：无最优解判别定理若是一个基本可行解，有一个检验数，但是，则该线性规划问题无最优解。
证：令，则得新的可行解将上式代入因为 , 故当λ→+∞时，Z→+∞。
用初等变换求改进了的基本可行解假设Ｂ是线性规划的可行基，则令非基变量，则基变量。
可得基本可行解。
用逆阵左乘约束方程组的两端，等价于对方程组施以一系列的初等“行变换”。
变换的结果是将系数矩阵Ａ中的可行基Ｂ变换成单位矩阵I，把非基变量系数列向量构成的矩阵Ｎ变换成，把资源向量b变换成。
且改进了的基本可行解只是在Ｘ的基变量的基础上用一个换入变量替代其中一个换出变量，其它的基变量仍然保持不变。
这些基变量的系数列向量是单位矩阵I中的单位向量。
为了求得改进的基本可行解，只需对增广矩阵施行初等行变换，将换入变量的系数列向量变换成换出变量所对应的单位向量即可。
由于行初等变换后的方程组与原约束方程组或同解例1解：(１)确定初始的基本可行解。
，基变量，非基变量。
(2) 检验是否最优。
检验向量因为σ1=3，σ3=4 均大于零，所以不是最优解。
（3）基本可行解的改进①??? 选取换入变量因为max{3，4}=4，取x3为换入变量。
②??? 选取换出变量且，选取x4为换出变量.（4）求改进了的基本可行解对约束方程组的增广矩阵施以初等行变换，使换入变量x3所对应的系数列向量变换成换出变量x4所对应的单位向量 , 注意保持基变量x5的系数列向量为单位向量不变。
第一行除以２第二行减去第一行——————————————————————————可得改进的基本可行解。
，基变量，非基变量。
基本可行解目标函数值易见目标函数值比原来的Z=-1增加了，再转向步骤(2)（2）检验是否最优。
检验向量因为，所以仍不是最优解。
（3）基本可行解的改进①??? 选取换入变量因为，取为换入变量。
②??? 选取换出变量且，选取为换出变量.（4）求改进了的基本可行解对约束方程组的增广矩阵施以初等行变换，使换入变量所对应的系数列向量变换成换出变量所对应的单位向量 ,第二行乘以２/５第一行减以第二行的１/２倍——————————————————————————可得改进的基本可行解。
，基变量，非基变量基本可行解目标函数值比Z=15增加了，再转向步骤(2)（2）检验是否最优。
检验向量因为所有检验数均小于零，所以是最优解，表格单纯形法通过例１我们发现，在单纯形法的求解过程中，有下列重要指标：每一个基本可行解的检验向量根据检验向量可以确定所求得的基本可行解是否为最优解。
如果不是最优又可以通过检验向量确定合适的换入变量。
每一个基本可行解所对应的目标函数值通过目标函数值可以观察单纯形法的每次迭代是否能使目标函数值有效地增加，直至求得最优目标函数为止。
在单纯形法求解过程中，每一个基本可行解Ｘ都以某个经过初等行变换的约束方程组中的单位矩阵Ι为可行基。
当Ｂ=Ｉ时，Ｂ-1=Ｉ，易知：可将这些重要结论的计算设计成如下一个简单的表格，即单纯形表来完成：CN- CBN 0CBbZθ1θ2..θmNIb1b2..bmX1X2?XmC1C2..CmX m+1 Xm+2 ··· XnX1 X2 ··· XmbXBCBθCNC例2、试利用单纯形表求例1中的最优解解：得初始的单纯形表：初始基本可行解，Z= -1，1 2 2 1 0 8x4-13 04 0 0 -1Z3 4 1 0 1 7x51x1 x2 x3 x4 x5 bXBCBΘ5 2 3 -1 1 C换入变量，换出变量，２为主元进行旋转变换基本可行解，Z= 15，1/2 1 1 1/2 04x331 -4 0 -2 0 15Z5/2 3 0 -1/2 13x51x1 x2 x3 x4 x5bXBCBΘ5 2 3 -1 1 C1 2 2 1 08x4-13 04 0 0 -1Z3 4 1 0 1 7x51x1 x2 x3 x4 x5 bXBCBΘ5 2 3 -1 1 C8/27/1最优解最优值换入变量，换出变量，５/２为主元进行旋转变换4/1/21/2 1 1 1/2 04x331 -4 0 -2 0 15Z3/5/25/2 3 0 -1/2 13x51x1 x2 x3 x4 x5bXBCBΘ5 2 3 -1 1 C0 2/5 1 3/5 -1/517/5x330 -26/5 0 -9/5 -2/581/5Z1 6/5 0 -1/5 2/56/5x15x1 x2 x3 x4 x5 bXBCBΘ5 2 3 -1 1 C例3、用单纯形方法求解线性规划问题解：本题的目标函数是求极小化的线性函数，可以令则这两个线性规划问题具有相同的可行域和最优解，只是目标函数相差一个符号而已。
0 1 0 1 03x220 0 1 2 -12x3-0 1 0 1 03x224/11 0 1 0 04x33/10 1 0 1 03x4_1 0 1 0 04x30 0 0 0 -1 8Z’1 0 0 -2 12x111 0 0 -2 0 6Z’2/11 0 0 -2 12x51 2 0 0 0 0Z’8/21 2 0 0 18x5x1 x2 x3 x4 x5 bXBCBΘ1 2 0 0 0最优解最优值2/23/1-? 因为非基变量x4的检验数σ4=0，由无穷多最优解判别定理，本例的线性规划问题存在无穷多最优解。
事实上若以x4为换入变量，以x3为换出变量，再进行一次迭代，可得一下单纯形表：最优解最优值最优解的一般表示式0 0 0 0 -18Z’0 0 1/2 1 -1/20 1 -1/2 0 1/21 0 1 0 0124x4x221x1 x2 x3 x4 x5bXBCBΘ1 2 0 0 0C对于极小化的线性规划问题的处理：先化为标准型，即将极小化问题变换为极大化问题，然后利用单纯形方法求解．直接利用单纯形方法求解，但是检验是否最优的准则有所不同，即：若某个基本可行解的所有非基变量对应的检验数（而不是≤０），则基本可行解为最优解．否则采用最大减少原则（而非最大增加原则）来确定换入变量，即：若则选取对应的非基变量xm+k为换入变量．确定了换入变量以后，换出变量仍采用最小比值原则来确定。
第二章 单纯形法
最小比值规则
当确定进基变量后, 当确定进基变量后,以进基变量的系数列向量 中的正数为分母, 中的正数为分母,以相应的方程右端常数为分子求 最小比值,所得到的最小比值的分母就是主元 主元. 最小比值,所得到的最小比值的分母就是主元.主 元所在的方程中的基变量就是离基变量 离基变量. 元所在的方程中的基变量就是离基变量.即:
bi bl min α ik > 0 = a ik a lk
令新的非基变量 x3 = x 4 = 0 ,得到新的 基本可行解: 基本可行解: T 经济含义—— 经济含义—— 分别生产甲,乙产品20 20个 分别生产甲,乙产品20个,此时可获得 利润200百元. 200百元 利润200百元.
几个名词
进基, 进基,进基变量 离基, 离基,离基变量 最大检验数规则 最小比值规则 主元/ 主元/主方程 迭代(旋转运算) 迭代(旋转运算)
增加单位产品甲比乙对目标函数 的贡献值大(600>400),故先把非 的贡献值大(600>400),故先把非 ), 变成基变量, 基变量 x1 变成基变量,称为让 x1 进基, 进基变量. 进基,同时称 x1 为进基变量.
R( A) = R( A, b ) = 3 < 5
则该函数约束等式方程组有无穷多组解. 则该函数约束等式方程组有无穷多组解.
分析目标函数表达式
max z = 6 x1 + 4 x 2 + 0 x3 + 0 x 4
非基变量的系数都是正数,若将它们转换 非基变量的系数都是正数, 为基变量,目标函数值则就会可能增加. 为基变量,目标函数值则就会可能增加. 经济含义:每分别多生产一个单位产品甲, 经济含义:每分别多生产一个单位产品甲, 目标函数值分别增加6 乙,目标函数值分别增加6,4,即利润分 别增加600 600元 400元 别增加600元, 400元.
第二章单纯形法总结
得到解（0，0，0，5，4）T，y1+y2=9 选择x2为替换变量，替换y2：
- 2 3 2 2，行1-行2，行22 行3 行 2 得到解（0，2，0，1，0）T，y1+y2=1 2
0 1 0
1 1
1 0 -1
-1 1 2 0
1 2 2 -1
①
给出①的一个基解X=（XB，XN），令C=（CB，CN），则： x0=CBXB+CNXN ② XB=B-1b-B-1NXN ③ X0=CBB-1b-（CBB-1N-CN）XN ④ 若④中取XN=0，则： X0=CBB-1b是基可行解X=（XB，XN）的目标函数值。
将③和④写成矩阵形式 ： x 0 C B B 1b C B B 1 N C N X N X 1 B 1b B N B
引进新记号 x 0 xB0 , X B ( xB1 , xB2 xBm )T , 用R表示N中各列的下标集合， S {B1，B2， ，Bm }表示S中各列的下标集合 令 y 00 C B B1b y10 Y0 （ 1 ） ， B b y mc y0 j C B B1Pj c j y1 j Yi （ ） ， j R B1Pj y mj
单纯形法初始基本可行解的选择：
1、若原线性规划问题中所有约束条件均为≤形式，则松弛变 量可作为初始基本可行解。 2、若原线性规划问题中所有约束条件包括≥或=形式，则需 要人工变量法求得初始基本可行解。 标准型中最能引起目标函数值Z变化的非基变量为首选。
单纯形法入基变量的选择：
运筹学单纯形法
单纯形表
max z=x1+2x2 s.t. x1+x23 x2 1 x1, x2 0
Cj CB XB b 0 0 Z X3 3 X4 1 0 1 2 0 0
标准化
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2 ,x3, x40
X1 X2 X3 X4 1 0 1 1 1 2 1 0 0 0 1 0
Z=x1+2x2 x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 单纯形表
Cj
1
2
0
0
单纯形法原理 单纯形表 CB XB b
z=x1+2x2 x3 =3-x1-x2 x4=1 -x2
x2进基，x4离基
X1 X2 X3 X4
3/1 11
0
1 0
1 1
1 1
2 2 0 1 0 2 0 1 0 0 1 0 -1 0
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2, x3, x40
x1=0
(x1,x2,x3,x4)= (0,1,2,0), z=2 C (x1,x2,x3,x4)= (2,1,0,0), z=4,最优解
B
x4=0 x3=0
(x1,x2,x3,x4)= (0,0,3,1), z=0
1 0
0 0
0 1
0
CB XB b 0 2 Z Cj CB XB b 1 2 Z X1 2 X2 1 4 X3 2 X2 1 2 1 1 0 0
X1 X2 X3 X4 1 0 1 1 0 0 0 -1 1 -1
第二章 单纯形法
求解线性规划： 求解线性规划： max z = 3x1 + 5x2 s.t. x1 ≤ 8 2x2 ≤ 12 3x1 + 4x2 ≤36 x1, x2 ≥ 0
解：将原问题转化为标准 型模型： 型模型：
Max z = 3 x1 + 5 x2 s.t. x1 + x3 = 8 x2 + x4 = 12 3x1+ 4x2 + x5 = 36 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
=0 =8 =12 =36
z
-3x1 x1 x2 3x1
+5/2x4 +x3 +1/2x4 -2x4 +x5
=30 =8 =6 =12
z +x3 x2 x1
+1/2x4 +x5 =42 +2/3x4 -1/3x5 =4 +1/2x4 =6 -2/3 x4 +1/3x5 =4
方程组形式的求解过程
max z = 10 x1 + 5 x2 3x1 + 4 x2 + x3 = 9 s.t 5 x1 + 2 x2 + x4 = 8 x ,x ,x ,x ≥0 1 2 3 4
4 在所有σj<0中，只要有一个σr<0说对应 中 说对应 的系数列向量a 的系数列向量 r ≤0，即一切 ir ≤0（i=1， ，即一切a （ ， 2，m），则该 问题无最优解，停止计 ， ），则该LP问题无最优解 ），则该 问题无最优解， 算，否则转5。 否则转 。 5 按最小检验数规则
确定进基变量x 和主列a 确定进基变量 k和主列 k；再按最小比值规 则
•转换为典则形式 转换为典则形式
运筹学单纯形法
16
三、其他解旳情况 1、无穷多种解 例2 解LP问题：
min Z x1 2 x2 x3 0 x4 0 x5
xx51
1 2c 5 3c
其中c是满足非负性旳任意常数。
21
再由
x1,
x5
旳非负性，知：
x1 x2
1 2c c
0 0
x5 5 3c 0
解出 0 c 5 3
最优解为：
(2c 1, c,0,0,5 3c)T （其中0 c 5 ）
3
最优值为：max S 1.
22
2、无最优解旳两种情况：
相应地，将 X 0代入目的函数得 Z ( X 0 ) 0
从数学角度看，若让非基变量 x1, x2 取值从零增长，
6
min Z 2x1 x2 0x3 0x4 0x5
相应旳目旳函数值Z也将随之降低。所以有可能找到一种 新旳基本可行解，使其目旳函数值有所改善。即进行基变
换，换一种与它相邻旳基。再注意到 x1 前旳系数－2比 x2
x3
6 x1 x1
2x2 x2
x4 x5
xi 0
i 1,,5
15 24 5
目前可行基{ x3, x4 , x5 }所相应旳基本可行解
X 0 (0,0,15,24,5)T
(相应可行域旳 o(0,0) )
显然不是最优。 因为从经济意义上讲， x1 0, x2 0
意味着该厂不安排生产，所以没有利润。
2
运筹学第2章 单纯形法
所有检验数 j 0 ，则这个基本可行解是最优解。
n
z z0 j x j
j m 1
m
j ciaij c j =CTBa j c j
i 1
m
m
z0 c j x j = cibi =CBT b
j 1
i 1
✓对于求目标函数最小值的情况，只需 σj≤0
0
XB
b
x1
-1 x5 0
0
0 x4 3
1
-3 0
0
00
x2
x3
x4
0
-2 0
2
-2 1
0 10
-1 bi/aik
x5
1
0
0
29 2020/3/4
2、无界解
在求目标函数最大值的问题中，所谓无界解是指在约束条件 下目标函数值可以取任意的大。
•存在着一个小于零的检验数，并且该列的系数向量的每个元素 都小于或等于零，则此线性规划问题是无界的，一般地说此类
2x1 x2 x3 x5 2
s.t. x1 2x2
x4
3
x1,
x2 , x3, x4 , x5 0
✓添加人工变量x5来人为的创造一个单位矩阵作为基 ✓M叫做罚因子，任意大的数。 ✓人工变量只能取零值。必须把x5从基变量中换出去，否 则无解。
cj
3
2
00
CB XB
2020/3/4
14
(2)出基变量和主元的确定——最小比值规则
min
bi aik
aik
0
bl alk
确定出基变量的方法：把已确定的入基变量在各约束方程中的正的系数
运筹学02-单纯形法
反之，若经过迭代，不能把人工变量都变
为非基变量，则表明原LP问题无可行解。
19
第2章
单纯形法
2.3 人工变量法
2.3.1 大M法
在原问题的目标函数中添上全部人工变量，并令其系数 都为-M，
而M是一个充分大的正数。即
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + … + cnxn – M( xn+1 + xn+2 +…+ xn+m )
思路：由一个基本可行解转化为另一个基本可行解。 等价改写为 目标方程 max z max z = 3x1+5x2 z -3x1 -5x2 = 0 z -3x1 -5x2 x1 +x3 x1 +x3 = 8 2x2 +x4 2x2 +x4 = 12 s.t. s.t. 3x1+4x2 +x5 3x1 + 4x2 +x5 = 36 x1 ， x2 ，x3，x4，x5 x1 ， x2 ，x3，x4，x5 ≥ 0
以主列中正值元素为分母，同行右端常数为分子，求比值；
6
第2章
单纯形法
2.1 单纯形法的基本思想
(Ⅰ)
用换基运算 将X0 转化为 另一个基本 可行解 X1。
z- 3x1 -5x2 = 0 0 换基运算—— x1 +x3 = 8 ① 方程组的初等变换 目的是把主列变为 22x2 +x4 = 12 ② 单位向量：主元变 3x1 + 4x2 +x5 = 36 ③ 为1，其余变为0。 X0 = ( 0, 0, 8, 12, 36 )T z0 = 0
⑴ 当前基：m阶排列阵
第二章 单纯形法
15
华东交通大学工业工程与物流管理系
单纯形法的求解步骤
重复步骤2~5，直到终止。
判优换基迭代
判优换基迭代 判优换基迭代 判优 最优解
运筹学Leabharlann 16华东交通大学工业工程与物流管理系
基本可行解的改进
• 换入变量的确定——最大增加原则
假设检验向量σN＝(CN- CB B-1N )=(σm+1, σm+2, …,σn), 若其中有两个以上的检验数为正，选取最大正检验数所对应的 非基变量为换入变量。 若：max{σj| σj>0,m+1≤j≤n}= σm+K 则选取对应的xm+k为换入变量。
1 0 B 0 1
2 / 5 3 / 5 1 / 5 N 6 / 5 1 / 5 2 / 5
17 / 5 b 6/5
CB (3,5), CN (2,1,1)
再转向步骤（2） 运筹学
25
华东交通大学工业工程与物流管理系
（2）检验X’=(0,0,4,0,3)T是否最优：
检验向量 N CN CB B N
1
1 / 2 1 1 / 2 N (5,2,1) (3,1) (1,4,2) 5 / 2 3 1 / 2
华东交通大学工业工程与物流管理系
单纯形法
线性规划问题的几何意义： • 凸集：没有凹入部分，内部没有空洞。实习圆、实 心球体、实心立方体都是凸集；两个凸集的交集是 凸集。 • 若线性规划问题存在可行域，则可行域是凸集。 • 线性规划问题的基可行解对应可行域的顶点。 • 若可行域有界，线性规划问题的目标函数一定可以 在其可行域的顶点上达到最优。
由最优解判别定理，非基变量检验数σ1＝1>0， 所 以X‘=(0,0,4,0,3)T不是最优解
第二章 单纯形法1
个。 由于基本解中的非零分量可能是负数，所以基 本解不一定是可行的。
(5) 基本可行解。 满足非负条件的基本解称为基本可行解（简 称基可行解）。 与基本可行解对应的基称为可行基。 基本可行解的非零向量的个数小于等于m，并 且都是非负的。 由于基本可行解的数目一般少于基本解的数 目，因此可行基的数目也要少于基的数目。 当基本可行解中有一个或多个基变量是取零 值时，称此解为退化的基本可行解。 (6) 基 本 最 优 解 （ 对 应 的 基 为 最 优 基 ） 使目标函数达到最优值的基本可行解
x(2))的一个凸组合。
（3 ）顶点：设K为凸集, x∈K, 若x不能用x(1)∈K,
x(2)∈K两点的一个凸组合表示为x=αx(1)+ (1-α)x(2),其中 0<α<1 ，则称x为K的一个顶点（或极点）。
线性规划的基本定理
定理1 若约束条件为（2.2),（2.3）的线性规划问题存在可行域，则 D= x Ax=b ,x 0 是一个凸集。 其可行域 证明：为了证明满足Ａx=ｂ，x≥0的所有点（可行解）组成的几何体是 凸集，只要证明Ｄ中任意两点 x(1) ,x(2) 连线上的一切点均满足线性约束 条件既可。
例2
已知线性规划问题的约束条件为
10 x1 x 2 x 3 x 4 10 x1 x ,x ,x ,x 0 1 2 3 4
解:可行域
1 1 1 0 A 1 0 0 1
试讨论可行域顶点和基本可行解之间的对应关系。
D= x / x1 +x 2 +x 3 =10, x1 +x 4 =10, x j 0, j=1,2,3,4,
二章二节单纯形法
0 0 −1
2. 最优性检验
问题：用什么检验？
b B N
—— 目标。
−1 −1 B N N N
X 而目标z = CX = (C C ) = C ( B b − B NX ) + C X X = C B b + (C − C B N ) X
解：增加松弛变量 x3 , x 4 , x5 , 则约束化为
= 360 9 x 1 + 4 x 2 + x 3 4 x 1 + 5x 2 +x4 = 200 s .t . + x 5 = 300 3x 1 + 10x 2 x 1, x 2, x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0
易见，增加的松弛变量的系数恰构成一个单位阵I。
一、单纯形法的预备知识
1.线性规划的标准型 用单纯形法求解线性规划的前提是先将模 型化为标准型：
Maxz = CX AX = b s.t. X ≥ 0
其中，A 的秩为m （m ≤ n） ≥ 0。 ,b
m ×n
标准型的特征：Max型、等式约束、非负约束
非标准形式如何化为标准
1)
Min型化为Max型
1 2 3 1 2 4 1 4
求相应于基B1和B2的基本解，它们是否基本可行解？
1 0 解：B = , B 0 1
1 −1 1
1 0 1 0 1 1 = , B b = 0 1 3 = 3, 0 1
−1 1
相应于基B 的基本解为X = ( 0,0,1,3) , 是基本可行解。
例3：下面为某线性规划的约束 =1 x1 + 2 x2 + x3 + x4 = 3 2 x1 − x2 x ,L , x ≥ 0 4 1 请例举出其基矩阵和相应的基向量、基变量。