基本不等式1(1)
人教B版新课标高中数学必修一教案 《基本不等式》
《基本不等式2a b ab +≤（第1课时）》教学设计“基本不等式” 是必修5的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用．利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛．同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质．1．学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．通过实例探究抽象基本不等式；3．通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣．【教学重点】2a bab +≤的证明过程； 【教学难点】 a bab +≤等号成立条件 1．课题导入 2a bab +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系．【设计意图】由北京召开的第24界国际数学家大会的会标引出新课，使数学贴近实际，来源于生活．◆ 教学过程◆ 教学重难点◆◆ 教学目标◆ 教材分析2．讲授新课1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边长为a ，b 那么正方形的边长为22a b +．这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥．当直角三角形变为等腰直角三角形，即a =b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=．2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+4．（1）从几何图形的面积关系认识基本不等式2a bab +≤特别的，如果a >0，b >0，我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥，通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a bab +≤ （2）从不等式的性质推导基本不等式2a bab +≤用分析法证明：要证2a bab +≥ （1） 只要证 a +b ≥ （2） 要证（2），只要证 a +b - ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2（4） 显然，（4）是成立的．当且仅当a =b 时，（4）中的等号成立． （3）理解基本不等式2a bab +≤的几何意义 探究：在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC =a ，BC =b ．过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD ．你能利用这个图形得出基本不等式2a bab +≤的几何解释吗？易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD 2＝ＣA ·ＣB 即ＣD ＝ab ． 这个圆的半径为2b a +，显然，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立．因此：基本不等式2a bab +≤几何意义是“半径不小于半弦” 评述：1．如果把2ba +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．2. 在数学中，我们称2ba +为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数．本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．【设计意图】老师引导，学生自主探究得到结论并证明，锻炼了学生的自主研究能力和研究问题的逻辑分析能力．[补充例题]例1 已知x 、y 都是正数，求证： （1）yxx y +≥2； （2）（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3． 分析：在运用定理：ab ba ≥+2时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质（把握好每条性质成立的条件），进行变形．解：∵x ，y 都是正数 ∴y x ＞0，xy＞0，x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3＞0 （1）xyy x x y y x ⋅≥+2＝2即x y y x +≥2．（2）x ＋y ≥2xy ＞0 x 2＋y 2≥222y x ＞0 x 3＋y 3≥233yx＞0∴（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥2xy ·222y x ·233y x ＝８x 3y 3 即（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3． 【设计意图】例题讲解，学以致用． 3．随堂练习1．已知a 、b 、c 都是正数，求证 （a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc 分析：对于此类题目，选择定理：ab ba ≥+2（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果．解：∵a ，b ，c 都是正数 ∴a ＋b ≥2ab ＞0 b ＋c ≥2bc ＞0 c ＋a ≥2ac ＞0∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2ab ·2bc ·2ac ＝８abc 即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc ． 【设计意图】讲练结合，熟悉新知． 4．课时小结本节课，我们学习了重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数（2ba +），几何平均数（ab ）及它们的关系（2ba +≥ab ）．它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数．它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具（下一节我们将学习它们的应用）．我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab ≤222b a +，ab ≤（2b a +）2【设计意图】课时小结，内化知识．本次课通过实例探究抽象基本不等式；由北京召开的第24界国际数学家大会的会标情境引入，贴近生活，贴近数学，能让学生体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣．《基本不等式2a bab +≤（第2课时）》教学设计“基本不等式” 是必修5的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用．利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛．同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质．1．2a bab +≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题2．2a bab +≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值．3．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．教学重点2a bab +≤的应用 教学难点a bab +≤求最大值、最小值． 1．课题导入◆ 教学过程◆ 教学重难点 ◆◆ 教学目标◆ 教材分析1．重要不等式：如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 2．基本不等式：如果a ，b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 我们称b a ba ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数 ab b a ab b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数．【设计意图】复习引入． 2．讲授新课例1（1）用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短．最短的篱笆是多少？（2）段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?解：（1）设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则xy =100，篱笆的长为2（x +y ） m ．由2x yxy +≥ 可得 2100x y +≥ 2()40x y +≥．等号当且仅当x =y 时成立，此时x =y =10． 因此，这个矩形的长、宽都为10m 时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m ． （2）解法一：设矩形菜园的宽为x m ，则长为（36－2x ）m ，其中0＜x ＜21，其面积S ＝x （36－2x ）＝21·2x （36－2x ）≤2122236236()28x x +-=当且仅当2x ＝36－2x ，即x ＝9时菜园面积最大，即菜园长9m ，宽为9 m 时菜园面积最大为81 m 2解法二：设矩形菜园的长为x m ．，宽为y m ，则2（x +y ）=36， x +y =18，矩形菜园的面积为xy m 2．由18922x y+≤==，可得81xy≤当且仅当x=y，即x=y=9时，等号成立．因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m2归纳：1．两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤42M，等号当且仅当a＝b时成立．2．两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2P，等号当且仅当a＝b时成立．例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理．解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得)1600(720240000xxl++=29760040272024000016002720240000=⨯⨯+=⋅⨯+≥xx当.2976000,40,1600有最小值时即lxxx==因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件．归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：（1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； （2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； （3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值； （4）正确写出答案．【设计意图】 讲解例题，熟悉方法． 3．随堂练习1．已知x ≠0，当x 取什么值时，x 2＋281x的值最小?最小值是多少? 2．课本练习．【设计意图】讲练结合，巩固新知． 4．课时小结本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题．在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：（1）函数的解析式中，各项均为正数；（2）函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；（3）函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等．【设计意图】课时小结，内化知识．本次课通过两个例题的研究，2a b+≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．《基本不等式2a b +≤（第3课时）》教学设计“基本不等式” 是必修5的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用．利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛．同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质．1．2a bab +≤；会用此不等式证明不等式，会应用此不等式求某些函数的最值，能够解决一些简单的实际问题；2．2a bab +≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值．3．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．教学重点2a bab +≤，会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的最值教学难点利用此不等式求函数的最大、最小值．1．课题导入1．基本不等式：如果a ，b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 22a bab +≤求最大（小）值的步骤． 【设计意图】复习引入． 2．讲授新课1）利用基本不等式证明不等式例1 已知m >0，求证24624m m+≥． [思维切入]因为m >0，所以可把24m和6m 分别看作基本不等式中的a 和b ， 直接利用基本不等式．◆ 教学过程◆ 教学重难点 ◆◆ 教学目标[证明]因为 m >0，，由基本不等式得246221224m m +≥==⨯= 当且仅当24m=6m ，即m =2时，取等号． 规律技巧总结 注意：m >0这一前提条件和246m m⨯=144为定值的前提条件． 【设计意图】例题讲解，利用基本不等式证明不等式，熟练使用基本不等式．3．随堂练习1[思维拓展1] 已知a ，b ，c ，d 都是正数，求证()()4ab cd ac bd abcd ++≥．[思维拓展2] 求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+．例2 求证：473a a +≥-． [思维切入] 由于不等式左边含有字母a ，右边无字母，直接使用基本不等式，无法约掉字母a ，而左边44(3)333a a a a +=+-+--．这样变形后，在用基本不等式即可得证．[证明]443(3)333733a a a +=+-+≥==-- 当且仅当43a -=a -3即a =5时，等号成立． 规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式．2）利用不等式求最值例3 （1） 若x >0，求9()4f x x x =+的最小值； （2）若x <0，求9()4f x x x =+的最大值．[思维切入]本题（1）x >0和94x x⨯=36两个前提条件；（2）中x <0，可以用-x >0来转化．解（1）因为 x >0 由基本不等式得9()412f x x x =+≥==，当且仅当94x x =即x =32时， 9()4f x x x=+取最小值12． （2）因为 x <0， 所以 -x >0， 由基本不等式得：99()(4)(4)()12f x x x x x -=-+=-+-≥==， 所以 ()12f x ≤． 当且仅当94x x -=-即x =-32时， 9()4f x x x =+取得最大-12．规律技巧总结 利用基本不等式求最值时，个项必须为正数，若为负数，则添负号变正． 随堂练习2[思维拓展1] 求9()45f x x x =+-（x >5）的最小值．[思维拓展2] 若x >0，y >0，且281x y+=，求xy 的最小值． 【设计意图】讲练结合，巩固新知．4．课时小结2a b +≤证明不等式和求函数的最大、最小值． 【设计意图】总结基本不等式在某些方面的运用，锻炼学生自我总结的能力．5．评价设计１．证明：22222a b a b ++≥+２．若1->x ，则x 为何值时11++x x 有最小值，最小值为几？ 【设计意图】将课堂知识延伸至课外，在巩固知识的同时，锻炼了学生的自主学习能力．本次课是一次常规的习题课，复习知识、举例运用、学生练习、课外练习，从而达到巩固知识的效果．其实这次课还是可以采用老师引导，学生分组讨论研究，得到结果，得到解题方法，从而让学生体验自主研究题目，得到结论的乐趣．。
基本不等式经典例题(含知识点和例题详细解析) (1)
基本不等式专题知识点：1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注意：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2（2）y ＝x ＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
基本不等式求最值(1)
b ab
ab b
ab
b
当且仅当
a 1 b
b b
a
1
b
，即
a
2
且
b
1
时取等号，所以
a
1 b
a
1
b
的最小值为 4．
1．凑项
例 1（2）已知 x, y 为正实数，则 4x 3y 的最小值为_________.
x 3y x
【分析】为了凑积为定值，可将 3y 添上 1 后，得 3y x ，从而凑出
例 2（1）若 a，b 都是正数，则 1 b 1 4a 的最小值为________． ab 【分析】展开项后凑倒数和结构，即可用基本不等式．
【解析】∵a，b 都是正数，
∴
1
b a
1
4a b
＝5＋ba＋4ba≥5＋2
ba·4ba＝9，
当且仅当
b＝2a＞0
时，取
“＝”，则
1
b a
1
4a b
．
【分析】将 (a b) 和 (a c) 看成两个整体变量，相当于消元，而后转化为二 元变量问题．
【解析】因为 a(a+b+c)+bc= (a b)(a c) ＝4－2 3 ，
所以 2a+b+c＝ (a b) (a c)≥ 2 (a b)(a c) 2 4 2 3 2 3 2 ，
2x 3y
同除以 xy，得 2 6 y 4x 1 ≥ 4 ，
y
x
所以 0 y ≤ 1 ，即 y 的最大值为 1
3
3
4．分离
例6 变式 已知正实数a，b，c满足 1 1 1 ， 1 1 1 1 ，
ab
2022年高考数学第一轮复习-第2章不等式专练2 基本不等式(1) (1)
第二章专练2—基本不等式（1）一、单选题1．已知实数3x >，则943x x +-的最小值是( ) A ．24B ．12C ．6D ．32．若正数x ，y 满足220x y xy +-=，则2x y +的最小值为( ) A ．9B ．8C ．5D ．43．当1x >时，2()4xf x x =+的最大值为( ) A ．14B ．12C ．1D ．24．已知102a <<，则14212a a+-的最小值是( ) A ．6B ．8C ．4D ．95．已知0a >，0b >且31a b +=，则28a b +的最小值为( )A ．B ．C ．6D ．86．设x ，y 均为正实数，且33122x y+=++，则x y +的最小值为( ) A ．8B ．16C ．9D ．67．设实数x 满足0x >，函数4231y x x =+++的最小值为( )A ．1B ．2C ．1D ．68．若正数x ，y 满足21y x+=，则2x y+的最小值为( ) A ．2 B ．4C ．6D ．8二、多选题9．已知0a >，0b >，1a b +=，则下列等式不可能成立的是( ) A ．221a b +=B ．1ab =C ．212a b +=D ．2212a b -=10．已知0a >，0b >，231a b +=，下列结论正确的是( ) A ．22a b +的最小值为112B ．2424log log a b +的最大值为1-C ．11ab+的最小值为 D ．48a b +的最小值为11．下列函数中，最小值是4的函数有( ) A ．224()f x x x=+ B ．4()cos (0)cos 2f x x x x π=+< C ．2()f x =D ．4()33x x f x =+12．已知实数a ，b 满足20(1)a ab b a -+=>，下列结论中正确的是( ) A ．4b B ．28a b + C ．111a b+>D ．274ab三、填空题13．已知0a >，0b >且25a b +=，则21ab a b++的最小值为 ． 14．已知正实数x ，y 满足1x y +=，则2y x xy+的最小值为 ． 15．若实数a ，b 满足22221a b +=，则22141a b ++的最小值为 ． 16．若正实数x ，y 满足114x xy y ++=，则11x x y++的最小值为 ． 四、解答题17．（Ⅰ）若a ，0b >，且3ab a b =++，求ab 的最小值； （Ⅱ）若a ，0b >，且ab a b =+，求4a b +的最小值． 18．设函数2()(2)3(0)f x ax b x a =+-+≠．（1）若不等式()0f x >的解集为(1,3)-，求a ，b 的值； （2）若当f （1）2=，且0a >，1b >-，求41a b ab a+++的最小值． 第二章专练2—基本不等式（1）答案1．解：3x >，30x ∴->，9944(3)121224(2433x x x x +=-+++=--， 当且仅当94123x x -=-时，取得最小值24． 故选：A ．2．解：由220x y xy +-=，得22x y xy +=， 所以1112y x+=， 所以112(2)1(2)()2224222x y x x y x y y x y x y +⋅=+⋅+=+++，当且仅当22x y y x=时取等号， 故选：D ． 3．解：因为1x >， 故2111()44442x f x x x x x===++⋅， 当且仅当4x x=，即2x =时取等号， 故2()4x f x x =+的最大值为14． 故选：A ．4．解：因为102a <<，所以20a >，120a ->，14141281()[2(12)]145292122122122a a a a a a a a a a --+=++-=++++---， 当且仅当128212a aa a-=-，即16a =时取等号， 所以14212a a+-的最小值是9． 故选：D ．5．解：因为0a >，0b >且31a b +=， 则28228a b a b +⋅=，当且仅当132a b ==即12a =，16b =时取等号， 故选：A ．6．解：因为x ，y 均为正实数且33122x y+=++， 则3322[(2)(2)]()22x y x y x y +++=++++++， 223(2)3(22)1222y x x y++=+++=++， 所以8x y +，当4x y ==时取等号． 故选：A ．7．解：0x >，10x ∴+>，4442323(1)33(1)123(1)11111y x x x x x x x ∴=++=++-+=++-+=+++，当且仅当43(1)1x x +=+，即23103x =->时等号成立， ∴函数4231y x x =+++的最小值为431-． 故选：A ．8．解：0x >，0y >，∴2224()()224248x y x xy y x y xy+=++=++++=， 当且仅当421xy xy y x ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时，等号成立，∴2()8min x y+=．故选：D ．9．解：选项A ：因为1a b +=，所以222()21a b a b ab +=++=， 则22121a b ab +=-<，(0,0)a b >>，故A 不成立； 选项B ：因为2a b ab +，所以21()24a b ab +=，当且仅当a b =时取等号， 此时ab 的最大值为14，故B不成立；选项C ：因为22213311()2442a b a a a +=-+=-+>，当且仅当12a =时取等号，故C 不成立； 选项D ：若221()()2a b a b a b a b -=+-=-=，又1a b +=， 所以解得31,44a b ==，显然满足条件，故D 成立， 故选：ABC ．10．解：0a >，0b >，231a b +=，1203ab -∴=>， 故102a <<，故22222121341()39a a a ab a --++=+=， 当213a =时，上式取得最小值113，A 错误；因为12326a b ab =+，当且仅当1232a b ==，即14a =，16b =时取等号， 解得，124ab， 242424log log log 1a b ab +=-，即最大值1-，B 正确；112323325526a b a b b aa b a b a b+++=+=+++，当且仅当32b a a b =时取等号，此时取得最小值5+C 错误；48248a b a b +⋅=当且仅当23a b =且231a b +=，即14a =，16b =时取等号，此时取得最小值D 正确． 故选：BD ．11．解：:()A f x 的定义域为{|0}x x ≠，20x >，222244()24f x x x x x ∴=+⋅，当且仅当224x x =即x ± ()f x ∴的最小值为4．A ∴正确．:02B x π<，0cos 1x ∴<，4()cos 2cos 4cos f x x x x ∴=+⋅，当且仅当4cos cos x x= 即cos 2x =时取等号． cos (0x ∈，1]，∴等号取不到，()f x ∴最小值不能为4．B ∴不正确． :()C f x 的定义域为R ，2()244x f x ===，当且仅当 即x =时取等号，()f x ∴的最小值为4．C ∴正确． :()D f x 的定义域为R ，30x >，44()323433x x xx f x ∴=+⋅，当且仅当433x x = 即23log x =时取等号， ()f x ∴的最小值为4．D ∴正确．综上所述：故答案为A ，C ，D ． 故选：ACD ．12．解：实数a ，b 满足20(1)a ab b a -+=>，A ．2211111122(1)241111a a b a a a a a a a-+===++=-++-=----，当且仅当2a =时取等号，因此正确；11.2213(1)423(1)4411B a b a a a a a a +=+++=-++-=--，当且仅当1a =+取等号，因此不正确；C．1a >，∴1(0,1)a∈，2221111121(1)11a abaaaaa-+=+=-+=--+<，因此不正确；D ．2311a a ab a a a =⋅=--，令3()1x f x x =-，(1)x >．2232()2()(1)x x f x x -'=-， 可得32x =时，函数()f x 取得极小值，即最小值．33()3272()32412f ==-，27()4f x ∴，即274ab ，因此正确．故选：AD ．13．解：0a >，0b >，且25a b +=， 则212552b a ab ab ab ababab ab ab+++=+=+⋅ 当且仅当5ab ab=时取等号， 故21ab ab ++的最小值为． 故答案为：．14．解：正实数x ，y 满足1x y +=，1y x ∴=-，(0,1)x ∈，∴21212311(1)(1)(1)y x x x xy x x x x x x x x --+=+=-++=-+---， 令3(2,3)t x =-∈， 则22111111546(3)(2)655()5y t t xxyt tt t t t+=-+=-+=-+-+-+++----+-+-，当且仅当t 时取“=”， 故答案为：4+15．解：因为22221a b +=， 所以2222(1)3a b ++=， 则22222214114()[22(1)]131a b a b a b+=+++++，222212281(10)(106313b a a b +=+++=+， 当且仅当22222281b a a b+=+且22221a b +=，即0b =，212a =时取等号， 则22141a b ++的最小值6． 故答案为：6． 16．解：由114x xy y ++=可得：11414x x y x x+-=-=, 所以(1)41x x y x +=-, 则11141(1)x x x xy x x x -++=+++ 14155(1)1(1)11x x x x x x x x x ++-=+=+=++-+++2(1)11x +=, 当且仅当511x x +=+,即1x =时取等号，此时11x xy++的最小值为1,故答案为：1．17．解：()I a ，0b >，323ab a b ab =+++， 当且仅当a b =时取等号， 3ab ，所以9ab ，即ab 的最小值9，()II a ，0b >，且ab a b =+，∴111a b+=， 1144(4)()5529b a b a b a b a b a b a +=++=+++⋅，当且仅当4b aa b=且111a b +=，即32a =，3b =时取等号，此时4a b +取得最小值9．18．解：（1）由不等式()0f x >的解集为(1,3)-可得：2(2)3ax b x +-+的两根为1-，3且0a <， 由根与系数的关系可得：213313b aa -⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩．可得1a =-，4b =， （2）若f （1）232a b =+-+=， 则1a b +=，0a >，10b +>，∴1[(1)]12a b ++=， ∴41141141149[(1)]()[5]121212a b b a a b ab a a b a b a b +++=+=+++=++++++，当且仅23a =，13b =时式中等号成立，∴41a b ab a +++的最小值为92．。
基本不等式(1)
利用均值不等式求最值
例1已知 > 0，求 +
的最小值．
• 解：因为 > 0，所以 + ≥ ∙ = ，
当且仅当 =
，即
= 1时，等号成立，因此所求的最小值为2．
两种类型最值求法
• 例2、已知，都是正数，求证：
• (1)如果积等于定值，那么当 = 时，和 + 有最小值2 ;
2
2
时，积有最大值 ．
4
≥ ．
≥ ，所有 ≤
2
，
4
• 当且仅当 = 时，上式等号成立．于是，当 =
2
时，有最大值 ．
4
练习
• 1．已知， ∈ ，求证 ≤
+ 2
( ) ．
2
• 2．已知，都是正数，且 ≠ ，求证:
(1)
+
≥ 2;
2
基本不等式
• 特别地，如果 > 0， > 0，我们用 ， 分别代替上式中的，，
• 可得
•
+
≥
+
其中 叫做正数，的算术平均数，
2
叫做正数，的几何平均数．
• 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
分析法证明基本不等式
•
+
要证
≥ ，只要证 + ≥ ，
(2)
+
< Leabharlann ．练习2• 3．当取什么值时， +
1
取得最小值?最小值是多少?
2
• 4．已知−1 ≤ ≤ 1，求1 − 2 的最大值．
基本不等式知识点归纳
基本不等式知识点归纳1．基本不等式2ba ab +≤(1)基本不等式成立的条件：.0,0>>b a (2)等号成立的条件：当且仅当b a =时取等号． [探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？提示：①当b a =时，ab b a ≥+2取等号，即.2ab ba b a =+⇒= ②仅当b a =时，ab b a ≥+2取等号，即.2b a ab b a =⇒=+ 2．几个重要的不等式：).0(2);,(222>≥+∈≥+ab b aa b R b a ab b a),(2)2();,()2(2222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤3．算术平均数与几何平均数 设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为2ba +，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题 已知,0,0>>y x 则(1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时，y x +有最小值是.2p (简记：积定和最小)．：(2)如果和y x +是定值,p ，那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是.42p (简记：和定积最大)．[探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？ 提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解．例如，xx y 1+=在2≥x 时的最小值，利用单调性，易知2=x 时.25min =y[自测·牛刀小试]1．已知,0,0>>n m 且,81=mn 则n m +的最小值为( )"A ．18B ．36C ．81D ．243解析：选A 因为m >0，n >0，所以m ＋n ≥2mn ＝281＝18.2．若函数)2(21)(>-+=x x x x f 在a x =处取最小值，则=a ( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 3．已知,02,0,0,0=+->>>z y x z y x 则2y xz的( ) A ．最小值为8 B ．最大值为8 C ．最小值为18 D ．最大值为18！4．函数xx y 1+=的值域为 ____________________． 5．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．利用基本不等式证明不等式|[例1] 已知,0,0>>b a ,1=+b a 求证：.9)11)(11(≥++ba保持例题条件不变，证明：a ＋12＋b ＋12≤2.>———————————————————利用基本不等式证明不等式的方法技巧]利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项、并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．1．已知,0,0,0>>>c b a 求证：.c b a cab b ca a bc ++≥++：利用基本不等式求最值[例2] (1)(2012·浙江高考)若,0,0>>y x 满足,53xy y x =+则y x 43+的最小值是( )…A.245 B.285C ．5D ．6(2)已知,0,0>>b a ,1222=+b a 则21b a +的最大值为________． ———————————————————应用基本不等式求最值的条件利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：(1)一正二定三相等．“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；~(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．1．(1)函数)1,0(1≠>=-a a ay x的图象过定点,A 若点A 在直线)0,(01>=-+n m ny mx 上，求nm 11+的最小值；(2)若正数b a ,满足,3++=b a ab 求ab 的取值范围．`利用基本不等式解决实际问题[例3] 为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2014年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用)0(≥t t 万元满足124+-=t kx (k 为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2014年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．(1)将该厂家2014年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数； %(2)该厂家2014年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？!———————————————————解实际应用题时应注意的问题(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需再利用基本不等式求得函数的最值；3在求函数的最值时，一定要在定义域使实际问题有意义的自变量的取值范围内求. 4有些实际问题中，要求最值的量需要用几个变量表示，同时这几个变量满足某个关系式，这时问题就变成了一个条件最值，可用求条件最值的方法求最值.￥3．某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入)600(612-x万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x51万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．^1个技巧——公式的逆用运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如abba222≥+逆用就是),0,0(222>>+≤babaab逆用就是)0,()2(2>+≤babaab等，还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．2个变形——基本不等式的变形(1)(2)).,,(2)2(222”时取“当且仅当==∈≥+≤+baRbaabbaba(3),0,0(1122222>>+≥≥+≥+babaabbaba).”时取“当且仅当==ba\3个关注——利用基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.创新交汇——基本不等式在其他数学知识中的应用&1．考题多以函数、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体考查基本不等式求最值问题．2．解决此类问题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式，同时要注意基本不等式的使用条件．[典例] (2012·湖南高考)已知两条直线m y l =:1和),0(128:2>+=m m y l 1l 与函数x y 2log =的图象从左至右相交于点A 、B ，2l 与函数x y 2log =的图象从左至右相交于点C 、D ,记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为.,b a 当m 变化时，ab的最小值为( ) A ．16 2 B ．8 2 C ．348 D ．344 [名师点评]1．本题具有以下创新点(1)本题是对数函数的图象问题，通过分析、转化为基本不等式求最值问题．>(2)本题将指数、对数函数的性质与基本不等式相结合，考查了考生分析问题、解决问题的能力． 2．解决本题的关键有以下几点(1)正确求出A 、B 、C 、D 四点的坐标；(2)正确理解b a ,的几何意义，并能正确用A 、B 、C 、D 的坐标表示； (3)能用拼凑法将)0(128>++m m m 化成利用基本不等式求最值的形式．[变式训练]1．已知,0,0>>y x y b a x ,,,成等差数列y d c x ,,,成等比数列，则cdb a 2)(+的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4%2．若直线),0,0(02>>=+-b a by ax 被圆014222=+-++y x y x 截得的弦长为4，则ba 11+的最小值为( ) A.14 B. 2 C.32＋ 2 D.32＋2 2 3．若,0,0>>y x 且y x a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是________．练习一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) ；1．(2012·福建高考)下列不等式一定成立的是( )A ．)0(lg )41lg(2>>+x x x B ．),(2sin 1sin Z k k x xx ∈≠≥+πC ．)(212R x x x ∈≥+ D.)(1112R x x ∈>+ 2．(2012·陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b （b a <），其全程的平均时速为,v 则( ) A ．ab v a << B ．ab v =C.2ba v ab +<< D ．2ba v +=3．若,0,0>>b a 且,0)ln(=+b a 则ba 11+的最小值是( ) ]A.14B ．1C ．4D ．84．(2013·淮北模拟)函数)1(122>-+=x x x y 的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．25．设,0,0>>b a 且不等式011≥+++ba kb a 恒成立，则实数k 的最小值等于( ) A ．0 B ．4 C ．－4 D ．－26．(2013·温州模拟)已知M 是ABC ∆内的一点，且AB ·AC ＝23，,300=∠BAC 若MCA MBC ∆∆,和MAB ∆的面积分别为,,,21y x 则y x 41+的最小值是( )A ．20B ．18C ．16D ．19~二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．某公司租地建仓库，每月土地占用费1y 与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费2y 与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用1y 和2y 分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处．8．若,2,0,0=+>>b a b a 则下列不等式对一切满足条件的b a ,恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．①1≤ab ②2≤+b a ③222≥+b a ④322≥+b a ⑤.211≥+ba 9．(2013·泰州模拟)已知,822,0,0=++>>xy y x y x 则y x 2+的最小值是________．三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) ：10．已知.0,0,0,0>>>>d c b a 求证：.4≥+++acadbc bd bc ad，11．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数)(x v 的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时))()(x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)1．已知,1log log 22≥+b a 则ba 93+的最小值为________． 2．设b a ,均为正实数，求证：.221122≥++ab b a ￥3．已知,45<x 求54124)(-+-=x x x f 的最大值．&4．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)． (1)若设休闲区的长和宽的比|A 1B 1||B 1C 1|＝),1(>x x 求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数)(x S 的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？/[归纳·知识整合]1．合情推理(1)归纳推理：、①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．②特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．[探究] 1.归纳推理的结论一定正确吗？提示：不一定，结论是否真实，还需要经过严格的逻辑证明和实践检验．"2．演绎推理(1)模式：三段论①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．[探究] 2.演绎推理所获得的结论一定可靠吗？^提示：不一定，只有前提是正确的，推理形式是正确的，结论才一定是真实的，错误的前提则可能导致错误的结论．[自测·牛刀小试]1．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n －2)·180°.A ．①②B ．①③C ．①②④D ．②④2．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 013的末四位数字为( )/A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 1253．(教材习题改编)有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知直线b ⊄平面α，直线a ⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”，结论显然是错误的，这是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误!归纳推理[例1] (1)(2012·江西高考)观察下列各式：,,11,7,4.3,155443322=+=+=+=+=+b a b a b a b a b a 则=+1010b a ( )A ．28B ．76C ．123D ．199(2)设,331)(+=xx f 先分别求),3()2(),2()1(),1()0(f f f f f f +-+-+然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．#利用本例(2)的结论计算)2015()1()0()1()2013()2014(f f f f f f ++++-++-+- 的值．|归纳推理的分类常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．!1．观察下列等式：1＝11＋2＝31＋2＋3＝61＋2＋3＋4＝101＋2＋3＋4＋5＝15…13＝113＋23＝913＋23＋33＝3613＋23＋33＋43＝10013＋23＋33＋43＋53＝225…可以推测：13＋23＋33＋…＋3n＝________(n∈N*，用含n的代数式表示)．类比推理[例2] (2013·广州模拟)已知数列}{na为等差数列，若baaanm==,),,,1(+∈≥-Nnmmn则,mnmanbamn--=+类比等差数列}{na的上述结论，对于等比数列}{nb),,0(+∈>Nnbn若dacanm==,),,,2(+∈≥-Nnmmn则可以得到=+mnb________.———————————————————!类比推理的分类类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．2．在ABC∆中，,ACAB⊥BCAD⊥于D,求证：.111222ACABAD+=|%演绎推理[例3] 已知函数).1()(≠>+-=aaaaaxfx且(1)证明：函数)(xfy=的图象关于点)21,21(-对称；(2)求)3()2()1()0()1()2(ffffff++++-+-的值．".———————————————————演绎推理的结构特点(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的．三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况．这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论．(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提．一般地，若大前提不明确时，一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．3．已知函数,)(bxxaxf+=其中),,0(,0,0+∞∈>>xba试确定)(xf的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性．!，2个步骤——归纳推理与类比推理的步骤(1)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)；③检验猜想．实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论!(2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)；③检验猜想．观察、比较→联想、类推→猜想新结论1个区别——合情推理与演绎推理的区别(1)归纳是由特殊到一般的推理；(2)类比是由特殊到特殊的推理；(3)演绎推理是由一般到特殊的推理；(4)从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明；若大前提和小前提正确，则演绎推理得到的结论一定正确.创新交汇——合情推理与证明的交汇创新1．归纳推理主要有数与式的归纳推理、图形中的归纳推理、数列中的归纳推理；类比推理主要有运算的类比、性质的类比、平面与空间的类比．题型多为客观题，而2012年福建高考三角恒等式的推理与证明相结合出现在解答题中，是高考命题的一个创新．2．解决此类问题首先要通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；然后把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想)；最后对所得的一般性命题进行检验．一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2013·合肥模拟)正弦函数是奇函数，)1sin()(2+=x x f 是正弦函数，因此)1sin()(2+=x x f 是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确2．(2013·银川模拟)当x ∈(0，＋∞)时可得到不等式,3)2(224,2122≥++=+≥+xx x x x x x 由此可以推广为,1+≥+n xpx n 取值p 等于( ) A ．nn B ．2nC ．nD ．1+n3．(2012·江西高考)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(y x ,)的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(y x ,)的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(y x ,)的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(y x ,)的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．925．设ABC ∆的三边长分别为a 、b 、c ，ABC ∆的面积为S ，内切圆半径为r ，则;2cb a Sr ++=类比这个结论可知：四面体ABCD S -的四个面的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，内切球的半径为R ，四面体ABC S -的体积为V ，则R ＝( )A.4321S S S S V+++B.43212S S S S V+++C.43213S S S S V+++D.43214S S S S V+++6．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是( )A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(10,1) 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．(2012·陕西高考)观察下列不等式1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， …照此规律，第五个不等式为________．8．(2012·湖北高考)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n＋1(n∈N*)位回文数有________个．1.正方形ABCD的边长是a，依次连接正方形ABCD各边中点得到一个新的正方形，再依次连接新正方形各边中点又得到一个新的正方形，依此得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小虫从A点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．则这10条线段的长度的平方和是( )A.1 0232 0482a B.1 0237682aC.5111 0242a D.2 0474 0962a。
基本不等式(1)[-P
高中试卷-2.2 基本不等式 练习(1)(含答案)
第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2等式性质与不等式性质（共2课时）（第1课时）一、选择题1．（2019·内蒙古集宁一中高一期末）下列不等式一定成立的是（ ）A ．a b2B ．a b 2≤C ．x +1x ≥2D ．x 2+1x 2≥2【答案】D【解析】当a ,b ,x 都为负数时，A,C 选项不正确.当a ,b 为正数时，B 选项不正确.根据基本不等式，有x 2+1x 2≥=2，故选D.2．（2019山东师范大学附中高一期中）已知x ＞0，函数9y x x=+的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】∵x ＞0，∴函数96y x x =+³=，当且仅当x=3时取等号，∴y 的最小值是6．故选：C ．3.（2019广东高一期末）若正实数a ，b 满足a +b =1，则下列说法正确的是( )A ．ab 有最小值14BC ．1a +1b 有最小值4D ．a 2+b 2【答案】C【解析】∵a >0，b >0，且a +b =1；∴1=a +b ≥∴ab ≤14；∴ab 有最大值14，∴选项A 错误；=a +b =1+1+=2，∴B 项错误.1a+1b ==1ab ≥4，∴1a +1b 有最小值4，∴C 正确；a 2+b 2=(a +b )2―2ab =1―2ab ≥1―2×14=12,∴a 2+b 2的最小值是12，不是∴D 错误．4．（2019·柳州市第二中学高一期末）若x >―5，则x +4x 5的最小值为（ ）A ．-1B ．3C ．-3D ．1【解析】x +4x5=x +5+4x 5―5≥2×2―5=―1，当且仅当x =―3时等号成立，故选A.5．（2019吉林高一月考）若()12f x x x =+- (2)x >在x n =处取得最小值，则n =（ ）A ．52B ．3C ．72D ．4【答案】B 【解析】：当且仅当时,等号成立;所以,故选B.6．（2019·广西桂林中学高一期中）已知5x 2³,则f(x)= 24524x x x -+-有A ．最大值B ．最小值C ．最大值1D ．最小值1【答案】D【解析】()()()2211112122222x f x x x x -+éù==-+³=ê--ëû当122x x -=-即3x =或1（舍去）时， ()f x 取得最小值1二、填空题7．（2019·宁夏银川一中高一期末）当1x £-时，1()1f x x x =++的最大值为__________.【答案】-3.【解析】当1x £-时，()11[(1)111f x x x x x =+=--+--++又1(1)21x x -+-³+，()11[(1)1311f x x x x x =+=--+--£-++,故答案为：-38．（2019·上海市北虹高级中学高一期末）若0m >，0n >，1m n +=，且41m n+的最小值是___.【答案】9【解析】∵0m >，0n >，1m n +=，4()5414519n m m n m n m n m n æö\+=++=+++=ç÷èø…,当且仅当12,33n m == 时“=”成立，故答案为9.9．（2019·浙江高一期末）已知0a >，0b >，若不等式212ma b a b+³+恒成立，则m 的最大值为【答案】9.【解析】由212m a b a b +³+得()212m a b a b æö£++ç÷èø恒成立，而()212225a b a b a b b a æö++=++ç÷èø5549³+=+=，故9m £，所以m 的最大值为9.10．（2019·浙江高一月考）设函数24()(2)(0)f x x x x x=-++>．若()4f x =，则x =________．【答案】2【解析】因为2(2)0y x =-³，当2x =时，取最小值；又0x >时，44y x x=+³=，当且仅当06（，），即2x =时，取最小值；所以当且仅当2x =时，24()(2)f x x x x=-++取最小值(2)4f =.即()4f x =时，2x =.故答案为2三、解答题11．（2016·江苏高一期中）已知a ＞0，b ＞0，且4a ＋b ＝1，求ab 的最大值；（2）若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，求3x ＋4y 的最小值；（3）已知x ＜54，求f （x ）＝4x －2＋145x -的最大值；【答案】（1）的最大值；（2）的最小值为5；（3）函数的最大值为【解析】（1）,当且仅当,时取等号，故的最大值为（2），当且仅当即时取等号（3）当且仅当,即时,上式成立,故当时,函数的最大值为.12．（2019·福建高一期中）设0,0,1a b a b >>+= 求证：1118a b ab++³ 【答案】可以运用多种方法。
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(2)已知:a,b R ,且a2 b2 1, 求a 1 b2的最大值. 2
(3)设为锐角,求(sin 1 )(cos 1 )的最小值.
sin
cos
2 sin x 的最小值。
注意:利用算术平均数和集合平均 数定理时一定要注意定理的条件:
一正;二定;三相等.有一个条件达不 到就不能取得最值.
练习4
求f(x)=2+log2x+5/log2x的最值.
例5.
1、已知 a, b, x, y R 且
a b 1， xy
求 x y 的最小值
解：x y (x y) 1 (x y)( a b ) a b ay xb
2
成立的条件相同吗？
如：(1)2 (5)2 2 (1) (5)成立， 而 (1) (5) (1) (5) 不成立。
2
a2 b2 2ab 成立的条件_a_，__b__R_
a b ab 成立的条件_a_，_b___R 2
典例探讨
例1 求证：
（1）a2 b2 c2 ab bc ac
1
a 2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ca
a2 b2 c2 ab bc ca
1 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca
3ab 3bc 3ca
ab bc ca 1 3
注意:本题条件a,b,c为实数
练习5
(1)已知:x, y R ,且 1 9 1, 求x y的最小值. xy
于是 ( lg x) ( log x 10) 2 从而 lg x log x 10 2
5、求函数y x 1 的值域.
x
解: (1)当x 0时, x 1 2 x 1 2
x
x
(2)当x 0时,x, 1 R ,
x
x 1 2 (x)( 1) 2
x
1
x 2
y
x (,2] [2,).
2
∴ xy2 P
∵上式当 x y时取“=” ∴当x y时，x y 有最小值2 P
2当x y S (定值)时， xy S ∴ xy 1 S 2
2
4
∵上式当
x
y时取“=”
∴当
x y 时，xy有最大值 1 S 2 4
注意：
1、最值的含义（“≥”取最小 值，“≤”取最大值） 2、用极值定理求最值的三个必要条 件：一“正”、二“定”、三“相等”
xy
xy
a b 2 ay xb ( a b)2 xy
当且仅当
ay x
xb y
即x a 时 yb
x y取最小值( a b )2
2、已知: a b c 1
求证：ab bc ca 1 3
证明： a b c 1
(a b c)2
a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca
此时x=_____.
3.巳知x, y都是正数,
求证: x y 2. y x
4.证明
（1）lg x log x 10 2 (x 1)
证：∵ x 1 ∴ lg x 0 log x 10 0 于是 lg x log x 10 2 lg x lg x 10 2
（2）lg x logx 10 _？≤_ 2 (0 x 1) 解：∵ 0 x 1 lg x 0 log x 10 0
1 x-3
x的最小值( x
f
3)；
2、求函数y= x2 8的值域. x 1
3、求证 4 a 7(其中a f 3) a3
已知０＜ｘ＜１，求ｘ（１－ｘ）的最大 值．
例4
1若x f 0,求f (x) 12 3x的最小值；
x (2)若x p 0, f (x) 12 3x的最大值。
x
3求y sin x 2 （0 p x p ）
变式: 求证:2a2+2b2+2c2 2ab 2bc 2ca
（２）已知 a,b, c, d 都是正数，求证
(ab cd)(ac bd) 4abcd
证明：由 a,b, c, d 都是正数，得
ab cd 2
ab cd 0
ac bd 2
(ab cd)(ac bd) abcd 4
即(ab cd)(ac bd) 4abcd
ac bd 0
练习1 1.巳知a 0, b 0, 求证 : (a b)( 1 1 ) 4.
ab
2.巳知a,b, c均为正数,求证: (a+b)(b+c)(c+a) 8abc
例2 求证：（1）在所有周长相同的矩形
中，正方形的面积最大；（2）在所有面 积相同的矩形中，正方形的周长最短。
变形. 已知 x, y 都是正数，求证：
1 如果积 xy 是定值 P, 那么当 x y时,和 x y
有最小值 2 P
2 如果和 x y 是定值 S ,那么当 x y时,积 xy
有最大值 1 S 2 4
证：∵ x, y R ∴ x y xy 2
1当 xy P（定值）时，x y P
a b ab 2
重要不等式
定理１：如果a, b R ，那么 a2 b2 2ab
（当且仅当 a b 时取“=”
号）．
我们可以用比较法证明．
探究
你能从几何的角度解释定理１吗？ 几何解释１－课本第五页．
几
何
解
a2 b2
释
a
２
b
动画
几何解释３
a
1 b2
b2
1 a2
2
a
思考 1
当a 0,b 0,在a2 b2 2ab中 以 a, b分别代替a,b能得到什么结果?
它们的几何平均数
均值定理的 几何意义
OC CD
a b 2
A
ab
半径不小于半弦
C
aabb
22 aabb
a .o
D
B
D
E
思考 2
当且仅当 a b 时 a b
ab
2
中的“ = ”号成立．
这句话的含义是:
当 a b a b ab
当 ab
2
ab a b
2
思考 3
a2 b2 2ab 和 a b ab
a b 2 ab
基本不等式
定理２（均值定理） 如果 a, b 是正数，那么
a b ab 2
(当且仅当 a b时取“ = ”号）．
概念
如果ａ、ｂ都是正数，我们就称 a b 为ａ、ｂ
2
的算术平均数， ab 称为ａ、ｂ的几何平均数。
均值定理可以描述为： 两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）
由公式a2 +b2
2ab,a+b 2
ab
可得以下结论：
(1)a b
b a
2(a、b同号)；
（2）a b
b a
2(a、b异号)。
练习2
1.巳知x>0,y>0且xy=100,则x+y的最小 值 是 _______,此时x=___,y= _____
2.巳知x 0,则6x 24的最小值是____, x
x
例3. 若Ｘ＞－１，则ｘ为何值时
x 1 x 1
有最小值，最小值为几？
解：∵ x 1 ∴ x 1 0来自1 0 x 1∴ x 1 = x 1
x 1 1 1 2 (x 1) 1 1 2 1 1
x 1
x 1
当且仅当
x 1 1 x 1
即
x0 时 x 1
x 1
有最小值1
练习3
1、求函数y=