基本不等式“1”的代换和拼凑法
基本不等式中“1的妙用”
基本不等式中“1 的妙用”一、考法解法命题特点分析此类题目主要特点是：1、两个变量是正实数（使用基本不等式的前提），2、有一个代数式①的值已知，求另一个代数式②的最小值，其中两个代数式一个是整式 ax + by ，一个是分式mx + ny ，当然会在此基础上进行变形。
解题方法荟萃主要是凑出可以使用基本不等式的形式： x y + y x的形式，多数情况下是让两个代数式相乘。
二、典型题剖析 例 1：（1）已知 x , y ∈ R * ， x + 2 y = 1，求1x +2y 的最小值；（2）已知 x , y ∈ R * ， x + 2 y = 3 ，求1x + 2y 的最小值；（3）已知 x , y ∈ R * ，3x +2y = 2 ，求 6x + 2 y 的最小值；（4）已知 x , y ∈ R * ， x + 2 y = xy ，求 x + 2 y 的最小值；【解析】这四个题目中，（1）是“1 的替换”的最基础题目，已知整式的值为 1，求分式的最小值，（2）是将已知值变成了 3，需要调节系数，（3）是已知分式的值求整式的最值，（4）对分式进行等价变换。
1 +2 = (x + 2 y )( 1 + 2) = 1+ 2x + 2 y + 4 ≥ 5 + 2= 9 【答案】（1） 4 x y x y xy当且仅当2y x = 2x y即 x = y = 13 时取等号1 21 (x +2 y )( 1 2 1 2x 2 y1（2）+=+) =（）（）1+ + + 4 ≥5 + 2 4 = 3x y 3 x y x 3 3 y当且仅当2y x = 2x y即 x = y = 13 时取等号（3） 6x + 2 y =12 (3x +2y )(6x + 2 y ) = 9 +3x y + 6y x+ 2 ≥ 18 + 626x 3y = x = y = 3 2+2当且仅当即 2 时取等号 y x 21（4）因为 x + 2 y = xy ，所以1y + 2x = 1，然后 x + 2 y =(x +2y)( 1y + 2x )= x y + 4x y+ 4 ≥ 8当且仅当x y = 4x y即 x = 2 y = 4 时取等号例 2：（1）已知 x , y ∈ R * ， x + y = 1，求 x1+1 + y 2+ 3 的最小值；*， x + y = 1，求 x 2 y 2（2）已知 x , y ∈ R + 的最小值；x +1 y + 1（3）已知 x , y ∈ R * ， x + y = 1，求 1 + 2的最小值；2x + y y + 3（4）已知 x , y ∈ R *， 2x + 3y = 1，求 1 + 2的最小值；x + y y + 3【解析】这四个题目是便是比较大的四个题目：（1）是分式的分母分别加上一个常数，为了能够使用基本不等式，我们需要对整式也进行相应的变形；（2）在上一题的基础上，是分式的分子分母不再是一个常数而是二次项，需要分离出一个代数式，变成熟悉的形式；（3）在（1）的情况下分母进一步变化，不是加一个常数，而是混搭的形式；（4）在上一题的基础之上不再是直接观察出结果，而是需要配凑一个系数。
基本不等式求最值的思维方法
ʏ吴春艳从近几年高考试题看,基本不等式主要应用在求最值及证明方面㊂下面将对基本不等式求最值的思维方法进行归纳提炼,期望大家通过练习㊁感悟,提升对基本不等式的应用能力㊂方法1: 拼凑法凑积或和为定值 用基本不等式求最值例1 (1)若实数x ,y 满足2x 2+x y -y 2=1,则5x 2-2x y +2y 2的最小值为㊂(2)已知0<x <1,则x (4-3x )取得最大值时x 的值为㊂解:(1)拼凑积为定值,运用a 2+b 2ȡ2a b(a ,b ɪR )求最值㊂由2x 2+x y -y 2=1,可得(2x -y )(x +y )=1,则5x 2-2x y +2y 2=4x 2-4x y +y 2+x 2+2x y +y 2=(2x -y )2+(x +y )2ȡ2(2x -y )(x +y )=2,当且仅当x =23,y =13时等号成立㊂故5x 2-2x y +2y 2的最小值为2㊂(2)拼凑和为定值,运用a +b ȡ2a b(a ,b ɪR +)求最值㊂x (4-3x )=13(3x )(4-3x )ɤ133x +4-3x 2()2=43,当且仅当3x =4-3x ,即x =23时取等号㊂故所求x 的值为23㊂感悟:基本不等式a 2+b 2ȡ2a b (a ,b ɪR ),a +b ȡ2a b (a ,b ɪR +),当一端为定值时,另一端就可取到最值,注意两个不等式适应的范围和取等号的条件㊂拼凑法的实质是代数式的灵活变形,拼系数㊁凑常数是求解的关键㊂方法2: 常数代换法凑积为定值 用基本不等式求最值例2 (1)已知x ,y 均为正数,若2x+6y=1,则当3x +y 取得最小值时,x +y 的值为( )㊂A.16 B .4C .24D .12(2)若a >b >0,a +b =4,则4a +4b+12a -b的最小值为( )㊂A.14B .34C .18D .38解:(1)由 1的整体代入展开凑积为定值,利用基本不等式求最值㊂因为2x +6y=1,所以3x +y =(3x +y )2x +6y()=6+18x y +2y x +6ȡ12+218x y ㊃2y x =24,当且仅当18x y =2y x ,即y =3x 时取等号㊂又因为2x +6y=1,所以x =4,y =12,这时x +y =16㊂应选A ㊂(2)由(a +4b )+(2a -b )=3(a +b )=12,整体代换展开凑定值,利用基本不等式求最值㊂因为a >b >0,a +b =4,所以(a +4b )+(2a -b )=3(a +b )=12,a +4b >0,2a -b >0,所以4a +4b +12a -b =112ˑ4a +4b +12a -b ()[(a +4b )+(2a -b )]=112ˑ4+4(2a -b )a +4b +a +4b 2a -b +1[]ȡ112(5+4)=34,当且仅当a =2b =83时取等号㊂故4a +4b +12a -b 的最小值为34㊂应选B ㊂81 知识结构与拓展 高一数学 2022年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.感悟:灵活运用 1的整体代换是解答本题的关键㊂当条件等式和所求式子之间变量系数 不一致 时,可直观凑配或者分母换元化归 1 的整体代换,如本题(2)中依据目标4a +4b +12a -b 对条件变形为(a +4b )+(2a -b )=3(a +b )=12,利用整体代入展开凑积为定值,再求最小值㊂方法3: 反解代入消元法凑积为定值 用基本不等式求最值例3 (1)设正实数x ,y ,z 满足x 2-3x y +4y 2-z =0,则当z x y 取得最大值时,x +2y -z 的最大值为( )㊂A.0 B .98C .2D .94(2)已知正数a ,b 满足1a +1b=2,则3b +1-a 的最大值为㊂解:条件和结论之间无法沟通时,采用反解代入法凑积为定值,再求最大值㊂(1)因为z x y =x 2-3x y +4y 2x y =xy+4y x -3ɤ2x y ㊃4y x-3=1,当且仅当x =2y时取等号,所以z =4y 2-6y 2+4y 2=2y 2,所以x +2y -z =4y -2y 2=-2(y -1)2+2ɤ2㊂应选C ㊂(2)由1a +1b =2,可得b =a2a -1㊂由a >0,b >0,可得a >12㊂所以3b +1-a =3a2a -1+1-a =3(2a -1)3a -1-a =2-13a -1+3a -13()-13=53-13a -1+3a -13()㊂而13a -1+3a -13ȡ213a -1㊃3a -13=233,当且仅当13a -1=3a -13,即a =1+33时取等号,所以53-13a -1+3a -13()ɤ53-233=5-233,所以3b +1-a 的最大值为5-233㊂感悟:多元满足的条件等式和所求等式之间互化难以实现时,可以借助反解代入消元,再重新构造结构式凑积为定值,然后求最值,这是求解最值的通法㊂方法4: 利用不等式构建不等式 求最值例4 (1)已知正实数x ,y 满足(x +4)㊃(y +1)=9,则x y 的最大值等于()㊂A.0B .5C .1D .2(2)已知a +b +c =0,a 2+b 2+c 2=4,则a 的最大值为( )㊂A.1 B .223C .233D .263解:注意题设中两变量的和与积的形式,借助基本不等式构建不等式求最值㊂(1)正实数x ,y 满足(x +4)(y +1)=9,即x y +x +4y =5,所以5=x y +x +4y ȡx y +2x ㊃4y =x y +4x y ,所以x y +4x y ɤ5(当且仅当x =4y 时取等号),所以-5ɤx y ɤ1,即0ɤx y ɤ1㊂故x y 的最大值为1㊂应选C ㊂(2)由a +b +c =0,a 2+b 2+c 2=4,可得b +c =-a ,b 2+c 2=4-a 2㊂因为b 2+c 22ȡb +c 2()2,所以4-a 22ȡ-a 2()2,解得-263ɤa ɤ263,即a 的最大值为263㊂应选D ㊂感悟:灵活借助基本不等式a 2+b 2ȡ2a b(a ,b ɪR ),a +b ȡ2a b (a ,b ɪR +),a 2+b 22ȡa +b2()2(a ,b ɪR ),构造不等式求解,这是求解最值的一条简捷的途径㊂作者单位:河南省商丘市回民中学(责任编辑 郭正华)91知识结构与拓展高一数学 2022年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
基本不等式之1的代换
专题：均值不等式应用中“1的代换〞不等式是高中数学的重要内容之一，利用均值不等式求最值以与证明不等式是重中之重.纵观近几年全国各省的高考题与竞赛题，可以发现均值不等式中与“1〞有关的试题频频出现，好学教育老师对此总结如下，以供大家参考.[题引][XX 省皖江名校2016届高三12月联考数学〔理〕试题]已知实数,x y 满足22020220x y x y x y --≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，若目标函数5(0,0)z ax by a b =++>>的最小值为2，则23a b+的最小值为〔 〕8214.3A +426.3B +9215.3C +1046.3D + [答案]D[解析] 首先作出可行域，如下图所示，42246551015z =ax +by -5A (-2,-2)-33-2-1-1211Oyx2x -y +2=0x +y -2=0x -2y -2=0把目标函数5(0,0)z ax by a b =++>>，变形可得5az y x bbb=-+-，斜率为负数，当z 取得最小值时，联立求出交点A 的坐标220220x y x y -+=⎧⎨--=⎩(2,2)A ∴--，当目标函数5(0,0)z ax by a b =++>>过点A 时取最小值，代入得32a b +=，即2()13a b += 所以232232231046()()(5)333b a a b a b a b a b ++=++=++≥32a b =时，23a b+取最小值，故选D ．[考点]线性规划；基本不等式之1的代换.[点评]这道题目除了考查线性规划外，还考查了常数的代换，或称为“1的代换〞，更具体的说，其与一般代换还是不同的，它更像是在所求的式子后面乘以一个1，或者是一个常数，因此，我们把此类解题技巧定义为“1的代换〞. [使用情景]使用“1的代换〞解题的结构特征：①都可转化为条件求最值问题，且已知是“和式〞，所求也是“和式〞，同时要求两和式是一整式，一分式〔或化为分式〕； ②已知“和式〞可变为常数“1〞；③两个“和式〞都是齐次式或可变为齐次式。
高中数学1的代换
高中数学1的代换代换是高中数学1中的一个重要概念，它在解决方程、证明定理等数学问题中起着至关重要的作用。
代换是将一个变量用其他数或符号替换，从而改变问题的形式，使其更易于求解或证明。
下面将介绍代换在高中数学1中的应用及其相关的概念和技巧。
一、代换的基本概念代换是指用一个变量或符号替换另一个变量或符号，通常是为了简化问题或改变问题的形式。
在高中数学1中，常见的代换形式有以下几种：1. 数字代换：将一个变量用具体的数值替换，通常是为了求解方程或验证等式的真假。
2. 字母代换：用一个字母或符号替代一个变量，通常是为了简化问题或引入新的变量。
3. 函数代换：将一个函数用另一个函数替换，通常是为了求导、积分或证明定理等。
二、代换的应用1. 代换在解决方程中的应用代换在解决方程中起着至关重要的作用。
通过代换，我们可以将一个复杂的方程转化为一个简单的方程，从而更容易求解。
例如，对于二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以通过令t=x^2，将其转化为一个一次方程at^2+bt+c=0，然后再用一次方程的解法求解。
2. 代换在证明定理中的应用在证明定理时，代换是一个常用的技巧。
通过合理的代换，我们可以将一个复杂的问题转化为一个简单的问题，从而更容易证明。
例如，在证明数列的通项公式时，我们常常会通过代换将其转化为一个简单的等式，然后再运用等式的性质进行证明。
3. 代换在函数求导与积分中的应用代换在函数求导与积分中也有着重要的应用。
通过合理的代换，我们可以将一个复杂的函数转化为一个简单的函数，从而更容易求导或积分。
例如，在求解不定积分∫f(x)dx时，我们可以通过合理的代换将其转化为一个标准的积分形式，然后再求解。
三、代换的技巧与方法1. 合理选择代换的变量在进行代换时，我们应该根据问题的特点和需要，选择合适的代换变量。
通常，我们选择的代换变量应该能够简化问题，引入新的变量或将问题转化为一个已知的形式。
2. 注意代换的逆过程在进行代换时，我们还需要注意代换的逆过程。
基本不等式的变形
基本不等式的变形
基本不等式的变形指的是对基本不等式的一些操作，可以使原式变化成另一种形式，但其结果不变。
主要有四种操作：
1、同号相加：将不等式的两边都加上正数或负数，该正数或负数的符号必须与原式两端的符号相同。
这样做之后，不等式的结果不变。
2、翻转：如果不等式中有符号<或>，可以将其翻转变为>或<，同时将不等式的两边翻转。
3、同号相乘：将不等式的两边都乘以正数或负数，该正数或负数的符号必须与原式两端的符号相同。
这样做之后，不等式的结果不变。
4、分式变形：如果不等式的两边都是分式，可以尝试将分式化简或者将分式分解，使不等式变形，但结果不变。
数学必修一基本不等式方法
数学必修一基本不等式方法（最新版1篇）目录（篇1）一、基本不等式的概念和性质二、拼凑法解基本不等式三、一元二次不等式的解法四、常见题型和解题技巧五、总结与拓展正文（篇1）数学必修一基本不等式方法是高中数学中的一个重要知识点，本文将针对这个知识点进行详细的讲解和分析。
一、基本不等式的概念和性质基本不等式是指对于任意的实数 x 和 y，都有 (x-y)≥0，即x-2xy+y≥0。
这个不等式可以展开为 x+y-2xy≥0，进一步化简得到 (x-y)≥0，这是一个显然成立的不等式。
基本不等式的性质包括：1.平等性：当且仅当 x=y 时，(x-y)=0，即基本不等式取到等号。
2.齐次性：对于任意的实数 k，都有 (kx-ky)=k(x-y)，即基本不等式对于任意的实数 k 都成立。
3.可积性：对于任意的实数 x 和 y，都有∫(x-y)dx=x+y-2xy，即基本不等式可以推广到积分形式。
二、拼凑法解基本不等式拼凑法是解决基本不等式的一种常用方法，其核心思想是将基本不等式的形式进行拼凑，使其转化为一个容易求解的形式。
具体来说，对于不等式 x+y-2xy≥0，我们可以将其改写为 (x-y)+2xy-2xy≥0，进一步化简得到 (x-y)+2xy(1-1)≥0，即 (x-y)+2xy(1-1/2)≥0。
这样，我们就将基本不等式转化为了一个容易求解的形式。
三、一元二次不等式的解法一元二次不等式是指形如 ax+bx+c>0 或 ax+bx+c<0 的不等式，其中a、b、c 是实数且 a≠0。
对于一元二次不等式，我们可以通过求解其根和判别式来确定其解集。
具体来说，设一元二次不等式 ax+bx+c>0 的根为 x1 和 x2，则当 x<x1 或 x>x2 时，不等式成立；当 x1<x<x2 时，不等式不成立。
对于判别式Δ=b-4ac，如果Δ>0，则不等式有两个不同的实根，即不等式的解集为两个开区间的并集；如果Δ=0，则不等式有两个相同的实根，即不等式的解集为一个开区间；如果Δ<0，则不等式无实根，即不等式的解集为空集。
基本不等式的八种变形技巧
基本不等式的八种变形技巧基本不等式是用来求两个正变量和与积的最值的，但有些题目需要用到基本不等式的变形形式才能求最值，或者需要对待求式作适当变形后才能求最值。
下面介绍几种常见的变形技巧。
1.加上一个数或减去一个数使和或积为定值例如，对于函数$f(x)=\frac{x}{3-x}$，当$x<3$时，求$f(x)$的最大值。
因为$x0$，所以$f(x)=\frac{-3+x}{3-x}+3\leq \frac{4}{3-x}\leq -2+\frac{4}{3-x}=2+\frac{2}{3-x}$。
当且仅当$3-x=2$时等号成立，即$x=1$时，$f(x)$的最大值为$-1$。
2.平方后再使用基本不等式一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值。
例如，若$x>0$，$y>0$，且$2x^2+y^2=8$，求$x^6+2y^2$的最大值。
由于已知条件式中有关$x$，$y$的式子均为平方式，而所求式中$x$是一次的，且$\sqrt{y}$是二次的，因此考虑平方后求其最值。
设$a=x^2$，则$2a+y^2=8$，所以$y^2=8-2a$，代入$x^6+2y^2=x^6+16-4a$，即要求$a$的最小值。
由于$x>0$，所以$a>0$，所以$2a+y^2>0$，即$8-2a>0$，所以$a<4$。
由基本不等式，$(1+1+1+1+1+1)(a+a+a+y^2+y^2+y^2)\geq (x^6+2y^2)^2$，即$6(6a+3y^2)\geq (x^6+2y^2)^2$。
代入$y^2=8-2a$，整理得$x^6+2y^2\leq 29$，当且仅当$x^2=2$，$y^2=2$时等号成立，所以$x^6+2y^2$的最大值为$29$。
3.展开后求最值对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值。
例如，已知$a>0$，$b>0$且$a+b=2$，求$(a+1)(b+1)$的最小值。
基本不等式中的变换技巧
２０２４年１月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀基本不等式中的变换技巧◉河北定州中学㊀李㊀强㊀㊀摘要:基本不等式及其应用,是高中数学中的一个重要知识点,也是一个基本解题工具．结合基本不等式的应用与关系式的变形与转化,借助合理分拆㊁巧妙拼装㊁正确配凑㊁准确合成等方式加以综合与应用,剖析应用基本不等式的技巧与方式,开拓解题思路,提升数学品质．关键词:基本不等式;分拆;拼装;配凑;合成㊀㊀基本不等式作为高中数学 不等式 章节的一个重要知识点,一直是历年高考数学试卷中考查的重点与热点．在具体考查中,有时以简单问题的形式单独考查基本不等式,有时与其他相关知识加以交汇与融合来综合考查与应用,是每年高考必考的一个基本知识点．其中涉及基本不等式的应用技巧与策略比较强,需要对条件进行适当的恒等变形,合理构建出适用基本不等式的条件 一正㊁二定㊁三相等 ,进而结合基本不等式及其变形公式等加以多视角㊁多层面的转化与应用,实现最值的确定与不等式的确定等[１]．下面就基本不等式的应用过程中几个基本的变换技巧与策略加以实例剖析,进行分拆处理㊁拼装转化㊁配凑构建㊁合成组合等,抛砖引玉,供参考与学习．１分拆根据题设条件与目标代数式的结构特征,合理分拆相关的项,或平均分拆,或根据系数关系按比例分拆等,与其他相关的项重新合理组合,进而满足应用基本不等式的条件,为进一步巧妙利用基本不等式来合理放缩处理提供条件并指明方向[２]．例１㊀(２０２１年高考数学天津卷第１３题)已知a ＞０,b ＞０,则１a ＋ab２＋b 的最小值为．分析:根据所求目标代数式的结构特征,结合基本不等式的应用条件,合理分拆处理,巧妙利用基本不等式加以放缩与变形,即可求解对应代数式的最值．解决问题时两次利用基本不等式,要注意等号成立的条件．解析:根据题设条件,由a ＞０,b ＞０,合理分拆相关的项,并利用基本不等式,可得１a ＋a b ２＋b ＝１a＋b ２＋a b ２＋b２ȡ２１a ˑb ２＋２a b２ˑb ２＝２b２a ＋２a ２b ＝２b a ＋２abȡ２２b a ˑ２ab＝２２,当且仅当１a ＝b ２且a b ２＝b２,即a ＝b ＝２时,等号成立．所以１a ＋ab２＋b 的最小值为２２．故填答案:２２．点评:合理分拆,构建能利用基本不等式的基本条件,为进一步利用基本不等式进行放缩提供场景．充分挖掘题目目标代数式的参数㊁系数等的数字特征,为构建 和定值 或 积定值 进行必要的分拆处理．特别地,两次及以上利用基本不等式时,要注意确定满足等号成立的条件之间的一致性．２拼装根据题设条件与目标代数式的结构特征,合理拼装相关的项,或移项处理,或合理组合等,构建符合利用基本不等式的基本条件,借助基本不等式来合理转化与变形,合理放缩应用,实现问题的求解．例２㊀ ２０２２届浙江省宁波市高三第二学期高考模拟考试(宁波二模)数学试卷 ８ 正实数a ,b ,c 互不相等且满足a ２＋b ２＋c ２＝２a b ＋b c ,则下列结论成立的是(㊀㊀)．A．２a ＞b ＞c ㊀㊀㊀㊀㊀㊀B ．２a ＞c ＞bC ．２c ＞a ＞b D．２c ＞b ＞a分析:根据题设条件中的代数关系式,通过不同视角的拼装,利用基本不等式来放缩,结合不等式的基本性质判断相应两变量所对应的关系式之间的大小,进而得以确定不等式结论成立的选项．解析:由a ２＋b ２＋c ２＝２a b ＋b c ,利用基本不等式,可得２a b ＋b c －c ２＝a ２＋b ２ȡ２a b ．由于正实数a ,b 互不相等,因此２a b ＋b c －c ２＞２a b ,即b c －c ２＞０,可得c (b －c )＞０,则有b ＞c ．又由a ２＋b ２＋c ２＝２a b ＋b c ,利用基本不等式,可得２a b ＋b c －b ２＝a ２＋c ２ȡ２a c ．由于正实数a ,c 互不相等,因此２a b ＋b c －b ２＞２a c ,即b (２a －b )＋c (b －２a )＞０,可得７４学习指导２０２４年１月上半月㊀㊀㊀(２a －b )(b －c )＞０．结合b ＞c ,则有２a ＞b ．综上分析,可得２a ＞b ＞c ．故选择答案:A ．点评:充分挖掘题目条件,构建利用基本不等式的条件与结论,注意对条件中的代数关系式进行必要的恒等变形,正确地拼装,为合理利用基本不等式进行放缩处理与恒等变形提供条件．在以上问题的解析中,要注意利用基本不等式时,由于参数之间互不相等,因此等号不成立．３配凑根据题设条件与目标代数式的结构特征,合理配凑相关的项．配凑的技巧主要有常数代换㊁换元引参㊁配添分离㊁升次降幂等．合理的配凑主要是为了构建和定值 或 积定值 ,满足利用基本不等式的条件,进而合理应用基本不等式来处理问题[３]．例３㊀若正数a ,b 满足a ＞１,b ＞１,且a ＋b ＝３,则１a －１＋４b －１的最小值为(㊀㊀)．A．４㊀㊀㊀B ．６㊀㊀㊀C ．９㊀㊀㊀D．１６分析:根据题设条件中的代数关系式与目标代数式的结构特征,合理配凑组合,利用乘 １ 法进行常数代换,构建满足基本不等式的条件,进而利用基本不等式的放缩处理来确定对应目标代数式的最值．解析:根据题设条件,正数a ,b 满足a ＞１,b ＞１,且a ＋b ＝３,进行合理配凑,可得a －１＋b －１＝１,a －１＞０,b －１＞０．所以,由基本不等式,可得１a －１＋４b －１＝(１a －１＋４b －１)[(a －１)＋(b －１)]＝５＋b －１a －１＋４(a －１)b －１ȡ５＋２b －１a －１ˑ４(a －１)b －１＝５＋４＝９,当且仅当b －１a －１＝４(a －１)b －１,即b －１＝２(a －１),亦即b ＝５３,a ＝４３时,等号成立．所以１a －１＋４b －１的最小值为９．故选择答案:C ．点评:合理配凑,题目类型多样,技巧方法众多,关键是要抓住基本不等式的条件,借助相关的方法配凑对应参数之间满足 和定值 或 积定值 ,恒等变形来构建目标代数式,为进一步利用基本不等式来分析与处理奠定基础．当然,该问题也可以直接利用常数代换,通过分式的合理配凑来转化与应用,也可以达到求解的目的．４合成根据题设条件与目标代数式的结构特征,合理合成相关的项,或平方处理,或构建对偶式,或取倒反推,合理创设条件来满足利用基本不等式的场景,进一步借助合成过程的逆向处理来解决问题．例４㊀已知正实数a ,b 满足a ＋b ＝２,则a ＋１＋b ＋１的最大值为(㊀㊀)．A．２２B ．４C ．４２D．１６分析:根据所求目标代数式的结构特征,通过合成进行所求代数式的平方处理,利用代数式的恒等变形与基本不等式的应用加以转化,结合条件确定对应的最值,再利用开方处理来确定所求代数式的最值．解析:根据题设条件,因为正实数a ,b 满足a ＋b ＝２,所以利用基本不等式,可得(a ＋１＋b ＋１)２＝(a ＋１)＋(b ＋１)＋２a ＋１ b ＋１ɤ(a ＋１)＋(b ＋１)＋(a ＋１)＋(b ＋１)＝２(a ＋b ＋２)＝８,当且仅当a ＋１＝b ＋１,即a ＝b ＝１时,等号成立．于是a ＋１＋b ＋１ɤ２２,所以a ＋１＋b ＋１的最大值为２２．故选择答案:A ．点评:合理合成处理,改变条件中代数关系式或目标代数式的结构特征,方便进一步利用基本不等式来合理变形与转化．合成代数式的依据主要是结合题目条件与所求结论的代数式之间的联系,巧妙构建二者之间的关联,同时注意合成的逆向处理．５结束语在利用基本不等式来分析与解决相应的数学问题时,首先要合理构建吻合基本不等式的适用条件(即等号成立的条件 一正㊁二定㊁三相等 ),进而结合题设中相关代数式结构特征的合理变化与转化,从多个视角㊁多个层面加以恒等变换与巧妙处理,创新性地利用基本不等式进行放缩与变形,有效开拓解题思路,发散数学思维,提升数学品质,培养数学核心素养．参考文献:[１]徐志莲．掌握通性通法,以不变应万变 基本不等式的应用技巧[J ]．高中数理化,２０２２(１９):５１Ｇ５２．[２]田加贵．谈谈基本不等式应用中 项 的 拆分 [J ]．数理化解题研究,２０２２(２５):７８Ｇ８０．[３]郭小松．巧用配凑法解决基本不等式相关问题[J ]．数理天地(高中版),２０２２(１８):６Ｇ７．Z８４。