均值不等式求最值的方法
利用均值不等式求最值的方法
利用均值不等式求最值的方法
均值不等式，又称数学期望不等式，它的应用非常的广泛，可以帮助人们处理各种计算问题。
当我们对一组数据或一组变量进行统计分析时，常常要求知道它们出现的最小值及最大值。
而利用均值不等式求最值的方法，可以满足这一要求。
均值不等式是数学期望不等式的一种，它表达的是某一随机变量的数学期望，英文名叫Markov inequality，它的概念很简单。
均值不等式可以描述为：若X是随机变量，E（X）是其期望，那么X≥E （X）/a，a为任意正数。
均值不等式求最值的方法可以0简单分为三个步骤：
（1）首先确定X是一个随机变量，并计算出它的期望值E（X）。
如果X是一组数据，那么E（X）可以使用求平均值的方法计算出来；
（2）在均值不等式中，把任意正数a定为2；
（3）用E（X）/a的结果做X的上界，那么小于等于这一上界的X的最大值就可以确定有效而且较为优良的最大值了。
因此，利用均值不等式求最值的方法，可以有效地快速得到一组数据或变量的最值。
它的使用可以节省人们的精力，提高效率。
当然，均值不等式求最值的方法也存在着局限性。
它仅适用于求数学期望，对于其他类型的变量，则无法使用。
此外，均值不等式求最值的方法只能提供一个估计值，并不能保证得到的结果恰好是最值。
以上就是均值不等式求最值的方法的相关介绍，它是一种简单又实用的方法，可以有效地求出一组数据或变量的最值，在许多计算问
题中都有着重要的作用。
利用均值不等式求最值的方法
利用均值不等式求最值的方法均值不等式a b ab a b +≥>>200(，，当且仅当a ＝b 时等号成立）是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。
对于有些题目，可以直接利用公式求解。
但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。
下面是一些常用的变形方法。
一、配凑1. 凑系数例1. 当04<<x 时，求y x x =-()82的最大值。
解析：由04<<x 知，820->x ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2828x x +-=()为定值，故只需将y x x =-()82凑上一个系数即可。
y x x x x x x =-=-≤+-=()[()]()821228212282282· 当且仅当282x x =-，即x ＝2时取等号。
所以当x ＝2时，y x x =-()82的最大值为8。
评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
2. 凑项例2. 已知x <54，求函数f x x x ()=-+-42145的最大值。
解析：由题意知450x -<，首先要调整符号，又()42145x x --·不是定值，故需对42x -进行凑项才能得到定值。
∵x x <->54540， ∴f x x x x x ()()=-+-=--+-+42145541543 ≤---+=-+=2541543231()x x ·当且仅当54154-=-x x，即x =1时等号成立。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
3. 分离例3. 求y x x x x =+++-271011()≠的值域。
解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。
y x x x x x x x x =+++=+++++=++++227101151411415()()() 当x +>10，即x >-1时y x x ≥+++=214159()·（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。
例说利用均值不等式求函数最值的几种技巧
例说利用均值不等式求函数最值的几种技巧利用均值不等式求函数最值是数学中常用的一种方法，通过这种方法，可以简单地确定函数的最大值和最小值。
本文将介绍几种利用均值不等式求函数最值的常用技巧。
1.权值平均：使用均值不等式时，通过给定变量的权重，我们可以找到一个平均值，该平均值应该落在函数的最大值和最小值之间。
例如，如果我们要找出一个函数f(x)在一些闭区间[a,b]上的最大值，我们可以找到一个适当的c，使得a<c<b，并应用以下均值不等式：f(a)≤f(c)≤f(b)然后，我们可以将函数的值乘以相应的权重（比如(a-c)和(b-c)），并利用均值不等式得出结论。
2.凸函数和凹函数：对于凸函数而言，任意两个点之间的连线位于这两个点所对应的函数值之上。
如果我们要找到函数f(x)在一些闭区间上的最大值，我们可以在该区间上找到两个点，判断这两个点的连线是否位于这个函数值之上。
如果是，那么函数值将成为该区间的最大值。
对于凹函数来说，与凸函数类似，只是方向相反。
3.形象化问题：通过将问题形象化，我们可以更好地理解利用均值不等式求函数最值的思路。
例如，我们有一个数轴上的几个点，我们想找到距离它们最近和最远的点。
我们可以将这些点放在数轴上，并根据它们的位置找到距离最近和最远的点。
同样地，在函数的最大值和最小值问题中，我们可以通过绘制图形并观察函数曲线来找到函数的最大值和最小值。
4.极值问题：利用均值不等式求函数最值时，我们可以寻找函数的极值点。
当函数的导数为0时，函数可能取得最大值或最小值。
我们可以计算导数，找到可能的极值点，并对这些极值点应用均值不等式，从而确定函数的最大值和最小值。
5.多元函数：均值不等式也可以应用于多元函数的情况。
在多元函数的情况下，我们可以将问题转化为一元函数的情况，并使用上述方法解决。
综上所述，利用均值不等式求函数最值是一个实用的方法。
通过使用权值平均、凸函数和凹函数特性、形象化问题、极值问题和多元函数等技巧，我们可以更好地利用均值不等式来确定函数的最大值和最小值，从而解决数学中的一些问题。
用均值不等式求最值的方法和技巧
3、用均值不等式求最值等号不成立。
例3、若x 、y +∈R ，求4()f x x x=+)10(≤<x 的最小值。
解法一：（单调性法）由函数()(0)bf x ax a b x=+>、图象及性质知，当(0,1]x ∈时，函数4()f x x x=+是减函数。
证明：任取12,(0,1]x x ∈且1201x x <<≤，则12121244()()()()f x f x x x x x -=-+-211212()4x x x x x x -=-+⋅1212124()x x x x x x -=-⋅， ∵1201x x <<≤，∴12121240,0x x x x x x --<<，则1212()()0()()f x f x f x f x ->⇒>，即4()f x x x=+在(0,1]上是减函数。
故当1x =时，4()f x x x=+在(0,1]上有最小值5。
解法二：（配方法）因01x <≤，则有4()f x x x =+24=+，易知当01x <≤时，0μ且单调递减，则2()4f x =+在(0,1]上也是减函数，即4()f x x x =+在(0,1]上是减函数，当1x =时，4()f x x x=+在(0,1]上有最小值5。
解法三：（导数法）由4()f x x x =+得24()1f x x '=-，当(0,1]x ∈时，24()10f x x'=-<，则函数4()f x x x =+在(0,1]上是减函数。
故当1x =时，4()f x x x=+在(0,1]上有最小值5。
解法四：（拆分法）4()f x x x =+)10(≤<x 13()x x x =++31≥5=，当且仅当1x =时“=”号成立，故此函数最小值是5。
评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。
利用均值不等式求最值的方法
利用均值不等式求最值的方法均值不等式是数学中常见的一种不等式形式，可以用于求解各种最值问题。
该不等式提供了一种有效的方法来估算函数的最大值和最小值。
均值不等式最常见的形式是算术平均数和几何平均数之间的关系，即对于任意一组非负实数$x_1,x_2,...,x_n$，有以下不等式成立：$\sqrt[n]{x_1x_2...x_n} \leq \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$其中，算术平均数是$x_1,x_2,...,x_n$的和除以$n$，而几何平均数是$x_1,x_2,...,x_n$的乘积开$n$次方。
均值不等式的证明可以通过数学归纳法和对数函数的单调性来完成，具体证明过程超出本文篇幅，不过可以查阅相关数学教材进行学习。
步骤1：确定题目要求求解的最值问题，明确自变量和因变量。
一般来说，最值问题都是求解一些函数的最大值或最小值。
步骤2：将问题转化为均值不等式的形式。
利用均值不等式，可以将函数中的一些项转化为均值的形式，进而简化问题求解过程。
步骤3：确定均值的形式。
根据函数中的项，可以选择合适的均值形式，如算术平均数、几何平均数、调和平均数等。
步骤4：利用均值不等式进行变换。
将问题中的需要求解的部分，利用均值不等式进行变换，得到简化后的表达式。
步骤5：求解均值不等式中的最值问题。
根据均值不等式，可以得到简化后的表达式的最值。
具体求解方法，根据实际问题采取不同的手段，如求导法、取等法等。
步骤6：将最值结果回代到原始问题中。
将得到的最值结果回代到原始问题中，得到最终的结果。
下面通过一个简单的例子来说明利用均值不等式求最值的方法。
例题：已知$a,b,c$满足$a^2+b^2+c^2=1$，求$\frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2}$的最大值。
解答：步骤1：确定题目要求求解的最值问题。
题目要求求解函数$\frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2}$的最大值。
利用均值不等式求最值的方法
利用均值不等式求最值的方法均值不等式是一种重要的数学统计工具，它可以用来求出一组数据的最值。
均值不等式是一种用于求解参数最值的统计工具，它通过约束数据集中参数值来构建最大或最小值，从而获得最优解。
均值不等式最适用于求解连续参数的最值问题。
均值不等式由两部分构成，下面将进行详细讨论。
首先，均值不等式中包含一个数学定义，它是这样定义的：假设有一组数据集，记作：X = {x1, x2,, xn}其中，n表示数据集中数据的个数。
均值不等式的定义为：∑x/n KK为预先设定的参数值，它可以用来确定最值的上限。
其次，均值不等式还包含一些可以应用到数据集中的算法，这些算法可以用来求解最值问题。
例如，当要求解最小值时，可以通过下面的算法来推断出最小值：1.先计算出 X 中各数据项的和，记作 s 。
2.出 K 与 s比值 r=K/s 。
3.X中的每个数据项 xi乘以 r 。
4.乘以 r的数据项求出平均值，记作 m 。
5.较 m 与 xi值，得出最小值。
均值不等式有着广泛的应用，它通常用于求解线性规划问题，最优化函数等最值问题。
均值不等式还可以用于求解投资组合最值等一系列最值问题，具有很强的实用性。
接下来，将着重介绍均值不等式在解决最值问题中的实际应用。
首先，均值不等式可以用于求解数学优化问题。
优化问题中，最常用的是线性规划模型。
性规划模型可以用均值不等式来约束参数范围，从而得到最优解。
举个例子，在最小二乘法中，可以使用均值不等式来计算最小残差。
其次，均值不等式还可以用于解决投资组合的最值问题。
投资组合问题是指由投资者将自己的财富分散投资，通过投资组合来获得最高收益的问题。
在投资组合中，均值不等式可以有效地约束投资者不超出预先设定的范围，从而使投资收益最大化。
最后，均值不等式还可以用于求解最优化函数的最值问题。
最优化函数是指通过最小化或最大化函数值来获得最优解的函数，而均值不等式可以用于函数的求解。
总结，均值不等式是一种有效的数学统计工具，它可以用来求解最值问题。
用均值不等式最值的方法和技巧
用均值不等式最值的方法和技巧均值不等式是一个常用的不等式工具，在解决很多求最值问题时会起到很大的帮助。
它的核心思想是通过找到相应的均值来构造不等式，从而得到最值的估计。
下面，我将详细介绍均值不等式的方法和技巧。
1.算术平均-几何平均不等式（AM-GM不等式）：AM-GM不等式是最常见的均值不等式，它表明对于任意非负实数x1,x2, ..., xn，有如下不等式成立：(x1 + x2 + ... + xn) / n ≥ √(x1 * x2 * ... * xn)这个不等式的意义在于，对于一组非负实数的和，取平均值一定大于等于这组数的乘积的正平方根。
这个不等式常常被用于证明其他数学结论的基础。
2.幂平均不等式：幂平均不等式是一组关于算术平均和几何平均之间关系的不等式。
对于任意非负实数x1, x2, ..., xn，以及实数p，q，有如下不等式成立：[(x1^p + x2^p + ... + xn^p) / n]^(1/p) ≥ [(x1^q + x2^q + ... + xn^q) / n]^(1/q)这个不等式是一个广义的不等式，AM-GM不等式就是其特例（p=q=1）。
使用幂平均不等式可以推导出很多常见的不等式，如柯西不等式、余弦不等式等。
3.杨辉不等式：杨辉不等式是一组与二项式系数相关的不等式。
对于任意自然数n，以及实数a，b，有如下不等式成立：(a+b)^n≥C(n,0)*a^n*b^0+C(n,1)*a^(n-1)*b^1+...+C(n,n)*a^0*b^n这个不等式是二项式定理的推广，它可以用来证明其它不等式，如二项式不等式、二项式平均不等式等。
4.切比雪夫不等式：切比雪夫不等式是一组关于平均值和取值范围之间关系的不等式。
对于任意一组具有有限均值μ的实数x1, x2, ..., xn，有如下不等式成立：P(，x1-μ，≥k)≤(σ/k)^2其中，σ是x1, x2, ..., xn的标准差，即σ^2 = [(x1 - μ)^2 + (x2 - μ)^2 + ... + (xn - μ)^2] / n这个不等式的意义在于，对于平均值给定的一组数，其离平均值较远的数出现的概率是受标准差的限制的。
均值不等式求值的十种方法
均值不等式求最值的十种方法————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a bab +≤≤≤222b a +。
一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１ (1) 当时，求(82)y x x =-的最大值。
(2) 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。
解：()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。
故max 3227y =。
评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。
例2 求函数()22101y xx x =-<<的最大值。
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均值不等式求最值的方法均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点。
下面谈谈运用均值不等式求解一些函数的最值问题的方法和技巧。
一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b +≤≤≤222b a +。
二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。
例1、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。
解析：21(1)2(1)y x x x =+>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-21111(1)222(1)x x x x --=+++>-1≥312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。
评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。
通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。
2、求几个正数积的最大值。
例2、求下列函数的最大值：①23(32)(0)2y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<<解析：①30,3202x x <<->∴，∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=⋅⋅-3(32)[]13x x x ++-≤=，当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。
②0,sin 0,cos 02x x x π<<>>∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求y 2的最大值。
242sin cos y x x =⋅222sin sin cos x x x =⋅⋅2221(sin sin 2cos )2x x x =⋅⋅22231sin sin 2cos 4()2327x x x ++≤⋅=,当且仅当22sin 2cos x x =(0)2x π<<tanx ⇒=，即xarc =时，不等式中的“= 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。
通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。
3、用均值不等式求最值等号不成立。
例3、若x 、y +∈R ，求4()f x x x=+)10(≤<x 的最小值。
解法一：（单调性法）由函数()(0)bf x ax a b x=+>、图象及性质知，当(0,1]x ∈时，函数4()f x x x=+是减函数。
证明：任取12,(0,1]x x ∈且1201x x <<≤，则12121244()()()()f x f x x x x x -=-+-211212()4x x x x x x -=-+⋅1212124()x x x x x x -=-⋅，∵1201x x <<≤，∴12121240,0x x x x x x --<<， 则1212()()0()()f x f x f x f x ->⇒>，即4()f x x x=+在(0,1]上是减函数。
故当1x =时，4()f x x x=+在(0,1]上有最小值5。
解法二：（配方法）因01x <≤，则有4()f xx x =+24=+，易知当01x<≤时，μ且单调递减，则2()4f x =+在(0,1]上也是减函数，即4()f x x x =+在(0,1]上是减函数，当1x =时，4()f x x x=+在(0,1]上有最小值5。
解法三：（导数法）由4()f x x x =+得24()1f x x '=-，当(0,1]x ∈时，24()10f x x'=-<，则函数4()f x x x =+在(0,1]上是减函数。
故当1x =时，4()f x x x=+在(0,1]上有最小值5。
解法四：（拆分法）4()f x x x=+)10(≤<x 13()x xx =++31≥5=，当且仅当1x =时“=”号成立，故此函数最小值是5。
评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。
4、条件最值问题。
例4、已知正数x 、y 满足811x y+=，求2x y +的最小值。
解法一：（利用均值不等式）2x y +8116()(2)10x y x y x y y x =++=++1018≥+=,当且仅当81116x y x yyx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即12,3x y ==时“=”号成立，故此函数最小值是18。
解法二：（消元法）由811x y +=得8x y x =-，由00088xy x x x >⇒>>⇒>-又则2x y +22(8)1616162(8)108888x x x x x x x x x x -+=+=+=++=-++----1018≥=。
当且仅当1688x x -=-即12,3x y ==此时时“=”号成立，故此函数最小值是18。
解法三：（三角换元法）令228sin 1cos x x x y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则有228sin 1cos x x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 则22822sin cos x y x x+=+2222228csc 2sec 8(1cot )2(1tan )108cot 2tan x x x x x x =+=+++=++10≥+18≥，易求得12,3x y ==此时时“=”号成立，故最小值是18。
评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法：812()(2)8x y x y x y +=++≥。
原因就是等号成立的条件不一致。
5、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。
例5、已知正数x y 、满足3xy x y =++，试求xy 、x y +的范围。
解法一：由0,0x y >>，则3xy x y =++3xy x y ⇒-=+≥，即230-≥解得13≤-≥(舍)，当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,)+∞。
又23()2x y x y xy +++=≤2()4()120x y x y ⇒+-+-≥2()6x y x y ⇒+≤-+≥舍或，当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号，故x y +的取值范围是[6,)+∞解法二：由0,0x y >>，3(1)3xy x y x y x =++⇒-=+知1x ≠，则31x y x +=-，由30011x y x x +>⇒>⇒>-，则： 2233(1)5(1)44(1)51111x x x x x xy x x x x x x ++-+-+=⋅===-++----59≥=，当且仅当41(0)31x x x x -=>=-即，并求得3y =时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,)+∞。
314441(1)2261111x x x y x x x x x x x x +-++=+=+=++=-++≥=----，当且仅当41(0)31x x x x -=>=-即，并求得3y =时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,)+∞。
三、用均值不等式求最值的常见的技巧 1、 添、减项（配常数项） 例1 求函数221632y x x =++的最小值.分析：221632x x ++是二项“和”的形式，但其“积”的形式不为定值.而212x +可与22x +相约，即其积为定积1，因此可以先添、减项6，即22163662y x x =++-+，再用均值不等式.222221620,32163(2)6266x y x x x x +>=++=++-+≥=解：当且仅当22163(2)2x x +=+，即223x =-时,等号成立. 所以y 的最小值是6.评注 为了创造条件利用均值不等式，添项是常用的一种变形技巧;为了保证式子的值不变，添项后一定要再减去同一项. 2、 配系数（乘、除项）例2 已知0,0x y >>，且满足3212x y +=，求lg lg x y +的最大值. 分析 lg lg lg()x y xy +=, xy 是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式x y +是否定值，而已知是3x 与2y 的和为定值12，故应先配系数，即将xy 变形为326x y⋅，再用均值不等式.220,032lg lg lg()lg6132112lg lg 6262lg 6x y x y x y xy x y >>⋅+==⎡⎤⎡⎤+⎛⎫⎛⎫≤=⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=解： 当且仅当32x y =，即2,3x y ==时，等号成立. 所以lg lg x y +的最大值是lg 6. 评注 本题是已知和为定值，要求积的最大值，可逆用均值不等式，即利用22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭来解决. 3、 裂项例3 已知1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值.分析 在分子的各因式中分别凑出1x +，借助于裂项解决问题.()()141110,14(1)5519x x x y x x x ++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+>=+=+++≥+=解：当且仅当411x x +=+，即1x =时，取等号. 所以min 9y =.4、 取倒数例4 已知102x <<，求函数2(1)(12)x y x x +=-的最小值. 分析 分母是x 与(12)x -的积，可通过配系数，使它们的和为定值；也可通过配系数，使它们的和为(1)x + (这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题. 解 由102x <<，得10x +>，120x ->.取倒数，得221(12)1312(1)31131211113212x x x x y x x xx x x x --==⋅⋅+++-⎡⎤+⎢⎥++≤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦当且仅当31211x x x x -=++，即15x =时，取等号.故y 的最小值是12. 5、 平方例5 已知0,0x y >>且22283y x +=求.分析 条件式中的x 与y 都是平方式，而所求式中的x 是一次式，y 是平方式但带根号.初看似乎无从下手，但若把所求式题思路豁然开朗，即可利用均值不等式来解决.222222222((62)32(1)32(1)9333()22y x y x y x =+=⋅+⎡⎤++⎢⎥≤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦解：当且仅当222(1)3y x =+，即32x =，y =时，等号成立.故评注 本题也可将x纳入根号内，即将所求式化为数，再运用均值不等式的变式. 6、 换元（整体思想）例6求函数y =的最大值.分析t =，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决.22,0,2,(0)2100;101212=.3,24t t x t t y t t t y t y t t t t t x =≥=-=≥+==>=≤=+==-则当时，当时，当且仅当，即所以时7、 逆用条件例7 已知191(0,0)x y x y +=>>,则x y +的最小值是（ ） .分析 直接利用均值不等式，只能求xy 的最小值，而无法求x y +的最小值.这时可逆用条件，即由191x y =+，得19()()x y x y x y +=++，然后展开即可解决问题.190,0,1199()()1010169,4,12.16.x yx yy xx y x yx y x yy xx yx yx y>>+=+=++=++≥====+解：由，得当且仅当即时，等号成立故的最小值是评注若已知0,0,x y>>1x y+=(或其他定值)，要求19x y+的最大值，则同样可运用此法.8、巧组合例8 若,,0a b c>且()4a abc bc+++=-求2a b c++的最小值 .分析初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用a b+≥+b来解决.换个思路，可考虑将2a b c++重新组合，变成()()a b a c+++，而()()a b a c++等于定值4-，于是就可以利用均值不等式了.,,0,2()()2,,1.2 2.a b c a b c a b a cb cb c aa b c>++=+++≥======-++解：由知当且仅当即时，等号成立故的最小值为9、消元例9、设,,x y z为正实数，230x y z-+=，则2yxz的最小值是.分析本题也是三元式的最值问题.由题意得32x zy+=，则可对2yxz进行消元，用,x z表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题.22223,0,,29666=3,443,,=33.x zx z y y x z xz xz xz xz xz xzyx z x y z y xz +>=+++≥====解：由可得当且仅当即时，取“”.故的最小值为练习： 1、试填写两个正整数，满足条件411[ ][ ]+＝，且使这两个正整数的和最小。