利用均值不等式求最值
均值不等式及其应用详解
解：设ＤＱ长为y（m）,则
x 4 xy 200
2
A
M
N
B
故：
200 x y 4x
2
E
F
（２）解： x 0
s 4200x 210 4xy 80 2 y 400000 2 38000 4000 x x2
2
2
400000 S 38000 4000 x x2
分析二、 挖掘隐含条件
∵3x+1-3x=1为定值，且0＜x＜1 则1-3x＞0； 3 1 可用均值不等式法 ∵0＜x＜ ，∴1-3x＞0 3 1 1 3 x 1 3 x 1 2 ∴y=x（1-3x）= 3x（1-3x）≤ ( ) 3 12 当且仅当 3x=1-3x 即x=1 时 y
3
2
x 4000 当且仅当 ２００吨时，每吨的平均成本最低
不等式定理及其重要变形：
（定理） a b 2ab(a, b R)
2 2
ab ab （推论） 2
( a, b R )
ab
ab 2 ( ) 2
1 例１、已知：0＜x＜ ，求函数y=x（1-3x）的最大值 3 分析一、 原函数式可化为：y=-3x2+x， 利用二次函数求某一区间的最值
y 2x 3 x y 3 2 2
当且仅当
y 2 x 即: y 2 x 时取“=”号 x y
即此时
1 y 2x x 而 2 2 2 x y 1 2 y 2 2
ymin 3 2 2
本题小结： 用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的 充要条件，特别地，如果多次运用均值不等式求
最值，则要考虑多次“≥”（或者“≤”）中取
利用均值不等式求最值的方法
利用均值不等式求最值的方法
均值不等式，又称数学期望不等式，它的应用非常的广泛，可以帮助人们处理各种计算问题。
当我们对一组数据或一组变量进行统计分析时，常常要求知道它们出现的最小值及最大值。
而利用均值不等式求最值的方法，可以满足这一要求。
均值不等式是数学期望不等式的一种，它表达的是某一随机变量的数学期望，英文名叫Markov inequality，它的概念很简单。
均值不等式可以描述为：若X是随机变量，E（X）是其期望，那么X≥E （X）/a，a为任意正数。
均值不等式求最值的方法可以0简单分为三个步骤：
（1）首先确定X是一个随机变量，并计算出它的期望值E（X）。
如果X是一组数据，那么E（X）可以使用求平均值的方法计算出来；
（2）在均值不等式中，把任意正数a定为2；
（3）用E（X）/a的结果做X的上界，那么小于等于这一上界的X的最大值就可以确定有效而且较为优良的最大值了。
因此，利用均值不等式求最值的方法，可以有效地快速得到一组数据或变量的最值。
它的使用可以节省人们的精力，提高效率。
当然，均值不等式求最值的方法也存在着局限性。
它仅适用于求数学期望，对于其他类型的变量，则无法使用。
此外，均值不等式求最值的方法只能提供一个估计值，并不能保证得到的结果恰好是最值。
以上就是均值不等式求最值的方法的相关介绍，它是一种简单又实用的方法，可以有效地求出一组数据或变量的最值，在许多计算问
题中都有着重要的作用。
例说利用均值不等式求函数最值的几种技巧
例说利用均值不等式求函数最值的几种技巧利用均值不等式求函数最值是数学中常用的一种方法，通过这种方法，可以简单地确定函数的最大值和最小值。
本文将介绍几种利用均值不等式求函数最值的常用技巧。
1.权值平均：使用均值不等式时，通过给定变量的权重，我们可以找到一个平均值，该平均值应该落在函数的最大值和最小值之间。
例如，如果我们要找出一个函数f(x)在一些闭区间[a,b]上的最大值，我们可以找到一个适当的c，使得a<c<b，并应用以下均值不等式：f(a)≤f(c)≤f(b)然后，我们可以将函数的值乘以相应的权重（比如(a-c)和(b-c)），并利用均值不等式得出结论。
2.凸函数和凹函数：对于凸函数而言，任意两个点之间的连线位于这两个点所对应的函数值之上。
如果我们要找到函数f(x)在一些闭区间上的最大值，我们可以在该区间上找到两个点，判断这两个点的连线是否位于这个函数值之上。
如果是，那么函数值将成为该区间的最大值。
对于凹函数来说，与凸函数类似，只是方向相反。
3.形象化问题：通过将问题形象化，我们可以更好地理解利用均值不等式求函数最值的思路。
例如，我们有一个数轴上的几个点，我们想找到距离它们最近和最远的点。
我们可以将这些点放在数轴上，并根据它们的位置找到距离最近和最远的点。
同样地，在函数的最大值和最小值问题中，我们可以通过绘制图形并观察函数曲线来找到函数的最大值和最小值。
4.极值问题：利用均值不等式求函数最值时，我们可以寻找函数的极值点。
当函数的导数为0时，函数可能取得最大值或最小值。
我们可以计算导数，找到可能的极值点，并对这些极值点应用均值不等式，从而确定函数的最大值和最小值。
5.多元函数：均值不等式也可以应用于多元函数的情况。
在多元函数的情况下，我们可以将问题转化为一元函数的情况，并使用上述方法解决。
综上所述，利用均值不等式求函数最值是一个实用的方法。
通过使用权值平均、凸函数和凹函数特性、形象化问题、极值问题和多元函数等技巧，我们可以更好地利用均值不等式来确定函数的最大值和最小值，从而解决数学中的一些问题。
用均值不等式求最值的类型及方法
用均值不等式求最值的类型及方法均值不等式是数学中一种重要的不等式，它的适用范围十分广泛，可以用于求最值。
均值不等式可以有效地帮助我们找出变量的最大值或最小值，在工程和科学方面都有着广泛的应用。
均值不等式包含不同的类型，其中常用的有欧几里德均值不等式，黎曼均值不等式，拉格朗日均值不等式等。
这些形式的均值不等式可以求解各种复杂的变量最值问题，提供了关于变量最大值或最小值的重要依据。
例如，欧几里德均值不等式的表达式为：S = (x1 + x2 + ... + xn)/n (x1 x2...× xn)^1/n，其中x1，x2，...，xn是n个实数，S 表示均值。
欧几里德均值不等式表明，当x1，x2，...，xn的乘积大于均值的n次方时，变量x1，x2，...，xn中至少有一个大于均值，此时可求出变量x1，x2，...，xn中的最大值。
除了欧几里德均值不等式，黎曼均值不等式也是一种常用的均值不等式。
它的表达式为：S = (x1+ x2 + ... + xn)/n (x1 x2...×xn)^1/n，其中x1，x2，...，xn是n个实数，S表示均值。
与欧几里德均值不等式相比，黎曼均值不等式需要计算变量的平方和。
当x1，x2，...，xn的乘积大于均值的n次方时，变量x1，x2，...，xn中至少有一个大于均值，此时可求出变量x1，x2，...，xn中的最大值。
此外，拉格朗日均值不等式也是一种常用的均值不等式，其表达式为：S = (x1^m+ x2^m + ... + xn^m)/n (x1 x2...× xn)^1/n，其中x1，x2，...，xn是n个实数，m是一个正整数，S表示均值。
拉格朗日均值不等式需要计算变量的m次方和。
当x1，x2， (x)的乘积大于均值的n次方时，变量x1，x2，...，xn中至少有一个大于均值，此时可求出变量x1，x2，...，xn中的最大值。
利用均值不等式求最值的方法
利用均值不等式求最值的方法均值不等式是数学中常见的一种不等式形式，可以用于求解各种最值问题。
该不等式提供了一种有效的方法来估算函数的最大值和最小值。
均值不等式最常见的形式是算术平均数和几何平均数之间的关系，即对于任意一组非负实数$x_1,x_2,...,x_n$，有以下不等式成立：$\sqrt[n]{x_1x_2...x_n} \leq \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$其中，算术平均数是$x_1,x_2,...,x_n$的和除以$n$，而几何平均数是$x_1,x_2,...,x_n$的乘积开$n$次方。
均值不等式的证明可以通过数学归纳法和对数函数的单调性来完成，具体证明过程超出本文篇幅，不过可以查阅相关数学教材进行学习。
步骤1：确定题目要求求解的最值问题，明确自变量和因变量。
一般来说，最值问题都是求解一些函数的最大值或最小值。
步骤2：将问题转化为均值不等式的形式。
利用均值不等式，可以将函数中的一些项转化为均值的形式，进而简化问题求解过程。
步骤3：确定均值的形式。
根据函数中的项，可以选择合适的均值形式，如算术平均数、几何平均数、调和平均数等。
步骤4：利用均值不等式进行变换。
将问题中的需要求解的部分，利用均值不等式进行变换，得到简化后的表达式。
步骤5：求解均值不等式中的最值问题。
根据均值不等式，可以得到简化后的表达式的最值。
具体求解方法，根据实际问题采取不同的手段，如求导法、取等法等。
步骤6：将最值结果回代到原始问题中。
将得到的最值结果回代到原始问题中，得到最终的结果。
下面通过一个简单的例子来说明利用均值不等式求最值的方法。
例题：已知$a,b,c$满足$a^2+b^2+c^2=1$，求$\frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2}$的最大值。
解答：步骤1：确定题目要求求解的最值问题。
题目要求求解函数$\frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2}$的最大值。
用均值不等式最值的方法和技巧
用均值不等式最值的方法和技巧均值不等式是数学中的一种重要的不等式关系，用于描述一组数据的平均值与其他性质之间的关系。
它可以应用于各种问题，如最值问题、优化问题等。
使用均值不等式来求解最值问题的方法和技巧有以下几个方面。
1.确定使用哪种均值不等式：均值不等式有许多种，如算术均值不等式、几何均值不等式、平方均值不等式等。
不同的均值不等式适用于不同的情况。
在解题时，要根据具体情况选择适合的均值不等式。
通常，当问题中涉及到平方和、乘积、根号等运算时，选择平方均值不等式；当问题中涉及到和、平均数等运算时，选择算术均值不等式；当问题中涉及到几何平均数、平方根等运算时，选择几何均值不等式。
2.清晰确定问题的条件和目标：在解决最值问题时，首先要清晰地确定问题的条件和目标。
条件是指问题中已知的信息，目标是指要求解的最值。
只有明确了条件和目标，才能有针对性地选择适合的均值不等式，并通过变换和推导进行求解。
3.运用不等式性质进行变换：在使用均值不等式进行求解时，可以根据题目中给出的条件进行变换，使得问题更容易求解。
如将含有平方和的表达式进行整理，将含有乘积的表达式进行拆分等。
变换后可利用不等式的性质，如对称性、单调性、对数性质等来推导和求解。
4.找到合适的等号成立条件：根据均值不等式的性质，等号成立的条件通常与数据的性质相关。
找到合适的等号成立条件不仅是验证结果的正确性，还可以通过这些条件求解最值问题。
例如，在求解两个数的平方和的最小值时，可通过设等号成立条件来求解。
5.结合其他方法进行求解：在使用均值不等式解决最值问题时，有时候也需要结合其他方法和技巧进行求解。
例如，可以结合求导、代数方法、几何方法等来解决一些复杂的最值问题。
这样可以提高问题的求解效率和准确性。
综上所述，运用均值不等式求解最值问题需要根据题目的条件和目标选择合适的不等式，进行变换和推导，并找到合适的等号成立条件。
同时，也可以结合其他方法和技巧进行求解。
利用均值不等式求最值问题
均值不等式： ab 如果 a , b R , 那么 ab (当且仅当 a b 时 , 取 " " 号) 2 1. 利用均值不等式求最值结论：积一定，和有最小值；和一定， 积有最大值。 2. 利用均值不等式求最值的条件：一正，二定，三相等。 练习： 3 1.若x>0,当x= 3 时,函数 y x 的最小值是 2 3 . x 2 4 2.若x>0,当x= 时,函数 y 9 x 有最 小 值 12 . 3 x 1 3.若x>4,函数 y x 当x= 5 时,函数有最 大 值是 6 . 4 x 3 1 4.已知 0 x 1,则 3x(1 x) 的最大值为 4 ,此时x= . 5 25 2 5 5.若 0 x ,当x = 时, y = x(5 – 2x)有最大值 . 4 2 8 x 2 y 2 6.若x>0,则 最大值为 . 书:练习,习题6.2 x 2 4
4800 4800 l 150 120(2 3x 2 3 ) 3 3x 1600 240000 720( x ) x
1600 x 240000 720 2 40 297600 4800 1600 40 时, l 有最小值297600. 当 x ,即x = 40, x 3x 因此,当水池的底面是边长为40m的正方形时,水池的总造 价最低,最低总造是297600元. 240000 720 2 x
下列函数中，最小值为 的是C 4
4 A. f ( x) x x
4 B. f ( x) x , ( x (0,1]) x
C. f ( x) 3 4 3
x
x
D. f ( x) lg x logx 10
高中数学知识点：利用均值不等式求最值的方法
高中数学知识点：利用均值不等式求最值的方法均值不等式width:46.5pt;' 时，求的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到为定值，故只需将当且仅当，即x=2时取等号。
解析：由题意知，首先要调整符号，又不是定值，故需对进行凑项才能得到定值。
当且仅当时等号成立。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
3. 分离解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项，再将其分离。
评注：分式函数求最值，通常化成，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
二、整体代换解法1：不妨将乘以1，而1用a+2b代换。
解法2：将分子中的1用评注：本题巧妙运用1的代换，得到与的积为定值，即可用均值不等式求得的最小值。
三、换元例5. 求函数，则时，当且仅当，即。
评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。
要练说，得练看。
看与说是统一的，看不准就难以说得好。
练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。
在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。
四、取平方例6. 求函数的和为定值。
其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记”之后会“活用”。
不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。
这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。
日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。
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a b的最小值是16
变式：过 P(1,9) 作直线 l ,分别交 x，y 正半轴，于 A,B 两点 （1）当 l 在两坐标轴的截距之和最小时，求 l 的方程？
( 2 ) 当 ABC 的面积取得最小值时，求此时 l 的方程
2 b 2 a , b R 且 a 1, 例 5、若 3
高三数学第一轮复习----
台州市书生中学 ----高三数学备课组
例 1、 判断下列函数中， 最小值为 2 的函数是 （
B）
A. y tan x cot x B. y e e
x
x
C. y x D. y
回顾
2
1
x
1
x 2
x 2
2
4 分析: y= x+ 1+ 5, x+ 1
2 a b ab ( ) 2
2 2 2 a b a b ( ) , 2 2
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均值不等式及其变形. ①a2+b2≥2ab(a、b ∈R)
ab a 2 b 2 2 变形 2 2 2 ( a b ) a b 2 2
②a,b∈R+时,a+b≥2
ab ab ( a b )2 2
变形
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ngh82pfi
道没有送年丫鬟回府？”“回爷，您，您是说……”秦顺儿心中这叫壹个叫苦不迭：爷没说要自己亲自护送年丫鬟回年府啊？爷怎么壹遇到 年丫鬟的事情就这么小题大做？难道这就是主子们常说的，关心则乱？第壹卷 第105章 平安王爷对秦顺儿办差不力极为不满！虽然他确实 没有明示过要他亲自护送，可是这奴才不是壹直很机灵吗？怎么这么点儿事儿都想不到？天色已晚，这壹路上连个护送的人都没有，只有两 个手无缚鸡之力的丫鬟丫环，他怎么能放心得下？秦顺儿这差事怎么越办越糊涂了？秦顺儿眼见着爷的脸色由惊异万分转眼间就变得怒上心 头，壹看大势不好，赶快跪了下来：“爷请息怒，爷请息怒，奴才这就差人去年府打探壹下，壹会儿就给您报个平安回来。”“你还差什么 人，你还不亲自去办？还杵在这里干什么？还不赶快滚！”秦顺儿赶快退了下去，思前想后，他还是叫来了壹个小太监，两人片刻未停，急 奔年府。按照秦顺儿的安排，由小太监壹个人先出面，扣响了年府的大门。而秦顺儿自己则躲在远远的地方，静观情形变化。年府的看门家 仆听到扣门声，忙不迭打开门，抬眼壹看，居然是个太监，诧异不已：“请问，这位公公是？”“本公公是雍亲王府的，奉侧福晋的吩咐， 前来寻问壹声，贵府丫鬟是否已经回来，侧福晋放心不下，特差本公公前来询问。”“噢，公公是侧福晋派来的啊。麻烦您给侧福晋回个话 儿，我家丫鬟已经回府了，壹切都好，让侧福晋不要挂念。”“好，知道了，告辞。”“公公请留步，待小的回去禀报壹下，请公公上座， 歇口气，喝口茶。”“不用，不用，知道平安就好，侧福晋还急着等本公公的回信呢。”“公公来府，也不小坐壹番，连口茶也不喝，府里 实在是惭愧。”“不必客气，本公公确实有急事在身，告辞了。”得到年丫鬟平安回了年府的消息，秦顺儿这颗心总算是踏实了下来，不过 吃壹堑长壹智，经此壹事，秦顺儿充分认清了这个年丫鬟在爷心目中的地位，并暗下决心，以后只要是年丫鬟的事情，壹定要精着十二万分 的心，切不可再有闪失。壹听到屋外的脚步声，王爷立即从书上抬起了眼睛，果然是秦顺儿，他想也没想，呼地壹下子站起了身：“怎么样？ 平安回去了？”“回爷，年丫鬟妥妥当当地回府了。”“你怎么打探的？”“奴才问了年府看门的家仆，就说侧福晋放心不下年丫鬟，差奴 才去问壹声。”听着秦顺儿的回复，王爷的这颗心总算是踏实下来，继而对秦顺儿这么机灵地办差很是赏识，总算是将功补过。于是心情大 好的他又顺口问了壹句：“刚才年丫鬟在怡然居的时候，侧福晋都说了些什么？”“回爷，侧福晋说的，奴才都听不懂。”“噢？侧福晋说 的难道不是人话吗？怎么你这奴才连人话都
4 练习：已知 x 1 ,求 y x 6 的最值 x 1
又由x 1, 得- x 1 0,
4 4 ( x 1) 2 ( x 1) 4 ( x 1) ( x 1)
(x 5)(x 2) 变式：设 x 1 ,求 y 的最值 x 1
y 4 5 1
例 2、设 a ,b R ,且a b 2, 则 3 3 的最小值是 _______ 6 ？
a b 2,
9, 则 ab 的取值范围是______,
a b 的取值范围是______? 6,
令u x y , 只需a umax即可
变式： x 0, y 0, x 2 2xy m( x y) 恒成立， 求 m 的取值范围.
x 2 2 xy 提示 : 原不等式等价于m x y
例7：一批救灾物资随 26辆汽车从某市以 vkm/h的速度直达灾区，已知两地公路线 长400km, 为了安全，两辆车的间距不得 v 2 小于( ) km, 试求这批物资到达灾区最少 20 需要多少小时。
t
v 400 25 20 v
2
400 v 2 v 16
400 v 10 v 16
小结： 本节课我们主要复习了利用均值不等 式求函数最值：
1、应注意其使用条件（一正二定三相等） 2、应注意合理使用均不等式的几个变形式
2 2 a b ab , 2
求a 1 b2 的最大值及 此时 a, b 的值.
b2 1 2 分析: 原式= ( ) a 3 3 3
b2 1 a2 2 3 3 3 3 3 2
注意:在利用均值不等式时,我们常要
进行 “拆”或“凑”项处理
例 6、 x 0, y 0, x y 1,且 x y a 恒成立， 求 a 的取值范围.
1 变式：已知 a 0, b 0, a, b 的等差中项为 1，且 a , a 1 b ,则 的最小值为_________? b
1 9 例 4： a 0, b 0, 且 1, 求a b最小值. a b
1 9 9a b 9a b 解 : a b (a b)( ) 10 10 2 10 6 16 a b b a b a 9a b 由 , 即3a b, 故当且仅当 a 4, b 12 时等号成立 b a