三元均值不等式求最值及绝对值不等式
三元均值不等式的证明与应用
三元均值不等式的证明与应用1.三元均值不等式的证明：设a、b、c为非负实数，且不全为0。
根据三元均值不等式的表述，我们要证明以下不等式成立：（a+b+c）/3 ≥ √(abc)证明：我们可以先将不等式两边平方得到以下等价不等式：(a+b+c)²/9 ≥ abc展开得到：(a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc)/9 ≥ abc化简得到：a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc ≥ 9abc将不等式两边减去2ab、2ac和2bc，得到：a²-2ab+b² +c²-2ac+a² +c²-2bc+b² ≥ 5abc化简得到：(a-b)² + (b-c)² + (c-a)² ≥ 5abc不等式左边是三个数的平方和，而右边是它们的积，由于三个非负实数的平方和≥它们的积，因此不等式成立。
2.三元均值不等式的应用：（1）证明两个数的平均值大于等于它们的几何平均值：设a和b为非负实数，且不全为0。
根据三元均值不等式，有：(a+b)/2 ≥ √(ab)化简得到：a+b ≥ 2√(ab)这就证明了两个数的平均值大于等于它们的几何平均值。
（2）证明两个数的平方和大于等于它们的两倍乘积：设a和b为非负实数，且不全为0。
根据三元均值不等式，有：(a²+b²)/2 ≥ ab化简得到：a²+b² ≥ 2ab这就证明了两个数的平方和大于等于它们的两倍乘积。
（3）求证函数的不等式：设f(x)为一个定义在[a,b]上的连续函数，并且f(x)在[a,b]上不恒为0。
那么根据三元均值不等式可得：∫[a,b]f(x)dx / (b-a) ≥ √(∫[a,b]f²(x)dx / (b-a))这个不等式可以用于证明函数的平均值大于等于它的均方根。
用均值不等式求最值的方法和技巧 完美
用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a= b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。
3、用均值不等式求最值等号不成立。
例3、若x 、y +∈R ，求4()f x x x=+)10(≤<x 的最小值。
(故当1x =时，4()f x x x=+在(0,1]上有最小值5)4、条件最值问题。
例4、已知正数x 、y 满足811x y+=，求2x y +的最小值。
解法一：（利用均值不等式）2x y +8116()(2)10x y x y x y y x =++=++1018≥+=,当且仅当81116x y x yyx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即12,3x y ==时“=”号成立，故此函数最小值是18。
解法二：（消元法）由811x y+=得8x y x =-，由00088xy x x x >⇒>>⇒>-又则2x y +22(8)1616162(8)108888x x x x x x x x x x -+=+=+=++=-++----1018≥=。
当且仅当1688x x -=-即12,3x y ==此时时“=”号成立，故此函数最小值是18。
均值不等式求最值
利用均值不等式求最值的方法均值不等式a b ab a b +≥>>200(，，当且仅当a ＝b 时等号成立）是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。
对于有些题目，可以直接利用公式求解。
但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。
下面是一些常用的变形方法。
一、配凑 1. 凑系数例1. 当04<<x 时，求y x x =-()82的最大值。
解析：由04<<x 知，820->x ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2828x x +-=()为定值，故只需将y x x =-()82凑上一个系数即可。
y x x x x x x =-=-≤+-=()[()]()821228212282282· 当且仅当282x x =-，即x ＝2时取等号。
所以当x ＝2时，y x x =-()82的最大值为8。
评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
2. 凑项 例2. 已知x <54，求函数f x x x ()=-+-42145的最大值。
解析：由题意知450x -<，首先要调整符号，又()42145x x --·不是定值，故需对42x -进行凑项才能得到定值。
∵x x <->54540，∴f x x x x x()()=-+-=--+-+42145541543≤---+=-+=2541543231()x x·当且仅当54154-=-x x，即x =1时等号成立。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
3. 分离例3. 求y x x x x =+++-271011()≠的值域。
解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。
y x x x x x x x x =+++=+++++=++++227101151411415()()()当x +>10，即x >-1时 y x x ≥+++=214159()·（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。
三元均值不等式求最值及绝对值不等式
三元均值不等式求最值及绝对值不等式第一篇：三元均值不等式求最值及绝对值不等式三元均值不等式求最值三元均值不等式：例1、求函数y=2x 23+,(x>0)的最大值 x例2、求函数y=x21-x2(0<x<1)的最大值。
例3、已知0<x<1，求函数y=-x3-x2+x+1的最大值。
例4、已知0<x<2，求函数y=6x4-x2的最大值。
练习：1、求函数y=2x2、x>0时，求y=3、求函数y=4、若0<x<1, 求y=x5、若a>b>0，求证：a+42()4+,(x∈R+)的最小值。
x6+3x2的最小值。
xax(a-2x)2,(0<x<)的最大值。
2(1-x2)的最大值。
1的最小值。
b(a-b)绝对值不等式例1、证明（1）例2、证明例3、证明例4、已知例5、已知练习：1、已知2、已知（2）a+b≥a-b a+b≥a+b，a-b≤a-b≤a+b。
a-b≤a-c+b-c。
ccx-a<,y-b<，求证(x+y)-(a+b)<c.22aax<,y<.求证：2x-3y<a。
46ccA-a<,B-b<.求证：(A-B)-(a-b)<c。
22ccx-a<,y-b<.求证：2x-3y-2a+3b<c。
46解含绝对值不等式例1、解不等式3x-1<x+2。
例2、解不等式3x-1>2-x。
例3、解不等式例4、解不等式例5、不等式练习： 1、3-2x223、x-2x-4<14、x-1>x+2.2x+1+3x-2≥5。
x-2+x-1≥5。
x-1+x+3>a，对一切实数x都成立，求实数a的取值范围。
≤x+4.2、x+1≥2-x.5、7、x+x-2≥46、x-1+x+3≥6.x+x+1<28、x-x-4>2.课后练习1．解下列不等式：1（2）1<3x+4<7 212（3）2x-4<x+1（4）x-2x<x2（1）2-3x≤2．解不等式：（1）3．解不等式：（1）4．利用绝对值的几何意义，解决问题：要使不等式条件？5．已知（1）6．已知 7．已知 2x-1<x-1（2）x+2>1 x-1x+1+x+2>3（2）x+2-x-1+3>0.x-4+x-3333（2）A+B-C)-(a+b-c)<s.(A+B+C)-(a+b+c)<s；x<a,y<a.求证：xy<a.x<ch,y>c>0.求证：x<h.ya+bab≤+.8．求证1+a+b1+a1+b9．已知a<1,b<1.求证：a+b<1.1+ab210．若α,β为任意实数，c为正数，求证：α+β122≤(1+c)α+(1+)β.c2（α+β2≤α+β+2αβ，而αβ=cα⋅2212β≤ccα+2212βc）第二篇：均值不等式求最值的类型及技巧均值不等式求最值的类型及技巧贵州顶效经济开发区中学代敏均值不等式a+b≥ab(a>0,b>0，当且仅当a=b时取等号）是一个重要的不等式，是求函数最2值的一个重要工具，也是高考中常考的一个重要知识点。
均值不等式求最值的十种方法
用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=〞号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=〞号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=〞号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=〞号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正〞、二“定〞、三“等〞；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a bab +≤≤≤222b a +。
一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积〞的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１ (1) 当时，求(82)y x x =-的最大值。
(2) 01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。
解：()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=〞。
故max 3227y =。
评注：通过因式分解，将函数解析式由“和〞的形式，变为“积〞的形式，然后利用隐含的“定和〞关系，求“积〞的最大值。
例2 求函数)2101y xx x =-<<的最大值。
解：()()2242214122x x y x x x =-=•••-。
因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪••-≤=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当()2212x x =-，即6x =时，上式取“=〞。
用均值不等式求最值的类型及方法
用均值不等式求最值的类型及方法均值不等式是数学中一种重要的不等式，它的适用范围十分广泛，可以用于求最值。
均值不等式可以有效地帮助我们找出变量的最大值或最小值，在工程和科学方面都有着广泛的应用。
均值不等式包含不同的类型，其中常用的有欧几里德均值不等式，黎曼均值不等式，拉格朗日均值不等式等。
这些形式的均值不等式可以求解各种复杂的变量最值问题，提供了关于变量最大值或最小值的重要依据。
例如，欧几里德均值不等式的表达式为：S = (x1 + x2 + ... + xn)/n (x1 x2...× xn)^1/n，其中x1，x2，...，xn是n个实数，S 表示均值。
欧几里德均值不等式表明，当x1，x2，...，xn的乘积大于均值的n次方时，变量x1，x2，...，xn中至少有一个大于均值，此时可求出变量x1，x2，...，xn中的最大值。
除了欧几里德均值不等式，黎曼均值不等式也是一种常用的均值不等式。
它的表达式为：S = (x1+ x2 + ... + xn)/n (x1 x2...×xn)^1/n，其中x1，x2，...，xn是n个实数，S表示均值。
与欧几里德均值不等式相比，黎曼均值不等式需要计算变量的平方和。
当x1，x2，...，xn的乘积大于均值的n次方时，变量x1，x2，...，xn中至少有一个大于均值，此时可求出变量x1，x2，...，xn中的最大值。
此外，拉格朗日均值不等式也是一种常用的均值不等式，其表达式为：S = (x1^m+ x2^m + ... + xn^m)/n (x1 x2...× xn)^1/n，其中x1，x2，...，xn是n个实数，m是一个正整数，S表示均值。
拉格朗日均值不等式需要计算变量的m次方和。
当x1，x2， (x)的乘积大于均值的n次方时，变量x1，x2，...，xn中至少有一个大于均值，此时可求出变量x1，x2，...，xn中的最大值。
用均值不等式求最值的类型及方法
高三理应培优用均值不等式求最值的类型及 解题技巧)均值不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重 要知识点。
要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。
一、几个重要的均值不等式① a 1 2 b 2 2ab ab a b (a 、b R)，当且仅当 a = b 时， “ =号”成立；2a b 2a b(a 、b R )，当且仅当 a = b 时， “ =号”成立；333③ a 3 b 3 c 3 3abc abc a b c (a 、3b 、c R )，当且仅当 a = b = c 时, “ =号”成立；②熟悉一个重要的不等式链： 211 ab三、用均值不等式求最值的常见类型与解题技巧 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。
1例 1、求函数 y x 2 (x 1) 的最小值。
2(x 1)21 1 x 1 x 1 1技巧 1：凑项)解： y x 2 (x 1) (x 1) 2 1(x 1) 2 1(x 1)2(x 1)2 2(x 1)22 2 2(x 1)2④a b c 33 abcabc3a b c(a 、 b 、c R ) ,当且仅当 a = b = c 时, “ =号”成立 .注： ①注意运用均值不等式求最值时的条件：正”、二 “定”、三 “等”； 二、函数 f(x) ax b (a 、 xb 0) 图象及性质(1)函数 f(x) ax ba 、x b 0 图象如图：(2)函数 f(x) ax b a 、x b 0 性质：①值域：( , 2 ab] [2 ab, ) ；，［②单调递增区间：(b, ) ；单调递减区间： (0,，［,0) .②a b 2 ab abab a b 22 ab。
2x 1 1当且仅当 x 1 1 2 (x 1)即 x 2时，“= ”号成立，故此函数最小值是 2 2(x 1)2评析： 利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。
均值不等式求最值的十种方法
v1.0 可编辑可修改用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a bab +≤≤≤222b a +。
一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１ (1) 当时，求(82)y x x =-的最大值。
(2) 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。
解：()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。
故max 3227y =。
评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。
例2 求函数)2101y xx x =-<<的最大值。
解：()()2242214122x x y x x x =-=•••-。
因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪••-≤=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当()2212x x =-，即x =时，上式取“=”。
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三元均值不等式求最值
三元均值不等式：
例1、求函数)0(,322>+=x x
x
y 的最大值
例2、求函数)01y x x =<<的最大值。
例3、 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。
例4、已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值。
练习：
1、求函数)(,422+∈+=R x x x
y 的最小值。
2、0>x 时，求236x x y +=
的最小值。
3、求函数)20(,)2(2a x x a x y <<-=
的最大值。
4、若10<<x , 求)1(24x x
y -=的最大值。
5、若0>>b a ，求证：)
(1b a b a -+的最小值。
绝对值不等式
例1、证明（1）
b a b a +≥+，（2）b a b a -≥+
例2、证明
b a b a b a +≤-≤-。
例3、证明
c b c a b a -+-≤-。
例4、已知
2,2c b y c a x <-<-，求证.)()(c b a y x <+-+
例5、已知
.6,4a y a x <<求证：a y x <-32。
练习：
1、已知
.2,2c b B c a A <-<-求证：c b a B A <---)()(。
2、已知
.6
,4c b y c a x <-<-求证：c b a y x <+--3232。
解含绝对值不等式
例1、解不等式213+<-x x 。
例2、解不等式x x ->-213。
例3、解不等式
52312≥-++x x 。
例4、解不等式
512≥-+-x x 。
例5、不等式
31++-x x >a ，对一切实数x 都成立，求实数a 的取值范围。
练习：
1、423+≤-x x
. 2、x x -≥+21.
3、1422<--x x
4、212+>-x x .
5、
42≥-+x x 6、.631≥++-x x
7、
21<++x x 8、.24>--x x
课后练习
1．解下列不等式：
（1）2
132≤
-x （2） 1743<+<x （3）142+<-x x （4）x x x 2122<-
2．解不等式：（1）
112-<-x x （2）112>-+x x
3．解不等式：（1）
321>+++x x （2）.0312>+--+x x
4．利用绝对值的几何意义，解决问题：要使不等式
34-+-x x <a 有解，a 要满足什么条件？
5．已知
.3,3,3s c C s b B s a A <-<-<-求证： （1）
s c b a C B A <++-++)()(；（2）.)()s c b a C B A <-+--+
6．已知
.,a y a x <<求证：.a xy <
7．已知
.0,>><c y ch x 求证：.h y
x < 8．求证.111b
b a a b a b a +++≤+++ 9．已知.1,1<<b a 求证：.11<++ab
b a 10．若βα,为任意实数，
c 为正数，求证：.)11()1(222βαβαc
c +++≤+ （βαβαβα2222++≤+，而2112222βαβαβαc c c c +≤⋅=）。