考研高数第八章总结

空间解析几何与向量代数（一）向量代数1、方向角：)(1c o s c o s c o s ,c o s 222222知其二必知其一！单位余同方向的量就是与的方向余弦为坐标的向以向量=++⇒++=γβαλγαzy x x2、向量的坐标表示平行的单位向量可以表与向量表示为同方向的单位向量可以与向量OM OM z y x OM ||;||),,(=3、向量的运算积。

为棱的平行六面体的体表示以几何意义：坐标公式混合积：定义面积。

为邻边的平行四边形的等于以（顺序）。

是向量，所在平面，且于叉乘向量积为单位向量其中上的投影，记作在向量向量是个数。

点乘数量积运算统称为线性运算。

；向量的加、减和数乘为常数数乘c c c b b b a a a b a b a a b b a b a b b b a a a k j ib a b a b a b a j b a b a b a b a b a b a a a a zyx z y xz yx z y xz y xb ,,|),,(|),,(....)(),,()4(,||),(sin ||||||)()3()(Pr ),cos(||||)()2()}(,,{)1(332211321=⋅⨯=⨯⨯-=⨯⨯=⨯⨯=⨯=⋅++=⋅=⋅=⋂⋂λλλλαλ4、两向量间的关系zzy y x x z z y y x x zy x z y x zz y y x x b a b a b a b a b a b a b b b a a a b a b a b a b a ==⇔=⨯=++⇔=⋅++⋅++++==0)3(00)2(cos )1(222222与与：夹角与ϕϕ（二）平面与直线1、空间解析几何研究的基本问题（代数问题⇔几何问题）（1）已知曲面（线）作为点的几何轨迹，建立这曲面（线）的方程。

（2）已知坐标间的一个方程（组），研究这方程（组）所表示的（线）。

2、定比分点公式2,2,21,1,1),,(),,(,,),,(212121212121222111z z z y y y x x x M z z z y y y x x x z y x B z y x A B A MBAMAB z y x M +=+=+=++=++=++==为中点时，当则：，的坐标点的分点：是λλλλλλλ 3、平面及方程)0,0(),(0)()(0)4(0,,),,(),,,(),,,()3(00000)2(},,{,),,(0)()()()1(21222221111122221111131313121212111333222111000000≠=+++++++=+++=+++=---------==+=++=++=+++=∏=-+-+-k k D z C y B x A k D z C y B x A k L D z C y B x A D z C y B x A L z z y y x x z z y y x x z z y y x x C B A z y x C z y x B z y x A yOz x yOz D Ax z D By Ax Cz By Ax D Cz By Ax C B A n z y x M z z C y y B x x A 其中的所有平面方程为，则通过的一般式方程为设直线的平面方程为：则通过三点不在一条直线上，设平面。

表示平面的平面；，平行于轴的平面；，平行于；，表示通过原点的平面特殊情形如下：特殊情形如下：一般式方程：法向量所满足的方程的坐标任一点平面上点法式方程：4、有关平面的问题两平面为01111=+++D z C y B x A ，02222=+++D z C y B x A22211111111121212121212121212121212121222222212121212121:),,(0)5()4(//)()3(0)2(cos )1(C B A DCz By Ax d d M z y x M D Cz By Ax D DC C B B A A n nD DC C B B A A n n C C B B A A C B A C B A C C B B A A +++++==+++===⇔≠==⊥⇔=++++⋅++++=的距离到平面则外的一点为平面，而点的方程为设平面重合条件：平行条件：垂直条件：：夹角πππϕϕ5、直线及方程},,{},,{00)4(),,(),,,()3(),,,(,)2(),,(),,()1(22211122221111121121121222111000000000C B A C B A S D z C y B x A D z C y B x A z z z z y y y y x x x x B A z y x B z y x A t p n m s ptz z nt y y m tx x p n m s z y x M pz z n y y m x x ⨯==+++=+++--=--=--=+=+=+==-=-=-其中，方向向量面的交线）：一般式方程（作为两平的直线方程为和则通过为不同的两点，两点式：设为参变量。

其中参数式方程：为直线的方向向量。

为平面上的一点，其中点式方程）：直线的标准方程（对称6、有关直线的问题 两直线为111111p z z n y y m x x -=-=-，222222p z z n y y m x x -=-=- 2121212121212121222222212121212121//)3(0)2(cos )1(s s p pn n m m s s p p n n m m p n m p n m p p n n m m ⇔==⊥⇔=++++⋅++++=平行条件：垂直条件：：夹角ϕϕ7、平面与直线相互关系平面方程为0=+++D Cz By Ax ；直线方程为pz z n y y m x x 000-=-=- ns Cp Bn Am ns pCn B m A p n m C B A Cp Bn Am ⊥⇔=++⇔==++⋅++++=0)3(//)2(sin :)1(222222在平面上：直线与平面平行或直线直线与平面垂直条件：直线与平面夹角ϕϕ例题：1、已知直线L ：)5,1,2(,12131--=-=+M zy x 过点若平面π且与L 垂直，求平面方程。

分析：直线的方向向量与平面的法向量平行，然后利用平面的点法式方程。

2、求通过点P(1,2,1)且垂直于两平面：x+y=0和5y+z=0的平面方程。

解：设所求平面的法向量为n 。

即为所求方程。

由点法式得0)1(5)2()1(}5,1,1{}1,5,0{}0,1,1{21=-+----=⨯=⨯=z y x n n n3、试确定过)0,6,0()4,3,2(),0,3,2(321M M M 及--三点的平面即。

知，因此，由点法式方程可取，，由于分析：取0)0(24)3(8)2(1224812032464}0,3,2{}4,64{),0,3,2(),,(312131210000=---------=---=⨯=-=--==z y x kj i kj i M M M M n M M M M z y x M（三）曲面与空间曲线1、曲面方程Dv u v u z z v u y y v u x x z y x F ∈====),(,),(),(),(:)2(0),,(:)1(参数方程一般方程2、空间曲线方程)(,)()()()2(0),,(0),,()1(21βα≤≤=====t t z z t y y t x x z y x F z y x F 参数方程：一般方程：3、常见的曲面方程类似地处理。

轴一周的旋转曲面方程轴一周或绕绕为第二步：旋转曲面方程程解出第一步：从上面联立方程。

轴一周得旋转曲面的方绕求空间曲线得旋转面的参数方程为由参数方程；得旋转面方程：由旋转而来，是旋转面上任一点，由设轴旋转得到旋转曲面，绕，程是平面上一条曲线，其方是设旋转曲面的方程：球面方程：x y z g z f y x z g y z f x z z y x F z y x F t t h z t g t f y t g t f x t t h z t g y t f x z y x f z z y x x z y x M z y x M z C y z x f xOz C R z z y y x x )()()(),(0),,(0),,(320,)(,sin )()(,cos )()()),,()((),(),(20),(,||),,(),,(00),(1)2()()()()1(222221222222122111112202020+=+====><≤≤<<=+=+=∈===><=+±=+===><=-+-+-πθβαθθβα4、二次曲面)0(2)10(1)9(1)8(071615)0,(22)4)(0,(22)3()0(22)2(1)1(222222222222222222222222222222222222222>==-=+=-+-=-+=-+>=+->=+>=+=++p y p x by a x b y a x c z b y a x c z b y a x c z b y a x q p z q y p x q p z q y p x p z p y p x cz b y a x 抛物柱面：双曲锥面：椭圆柱面：）二次锥面：（）双叶双曲面：（）单叶双曲面：（双曲抛物面：椭球抛物面：旋转抛物面：椭球面：5、空间曲线在坐标平面上的投影，程为在平面上的投影曲线方曲线，程为在平面上的投影曲线方曲线，程为在平面上的投影曲线方曲线，则的方程为曲线。

平面上投影类似地处理平面上的投影或在在曲线。

平面上的投影曲线方程在就是轴的柱面方程，那么母线平行于为准线，，它表示曲线得到的方程中消去先从曲线平面上的投影在的方程曲线)(,)()(0)(,)(0)()(,0)()()(,)()()()2(,00),(0),(0),,(0),,()1(βαβαβαβα≤≤===≤≤===≤≤===≤≤========t t h z t g y x C t t h z y t f x C t z t g y t f x C t t h z t g y t f x C yz zx C xy C z y x H z C y x H z C xy z y x G z y x F C。