考研高数知识总结1

考研数学讲座（17）论证不能凭感觉一元微分学概念众多，非常讲究条件。

讨论问题时，要努力从概念出发，积极运用规范的算法与烂熟的基本素材。

绝不能凭感觉凭想象就下结论。

1． x趋于∞时，求极限 lim xsin（2x∕(x平方+1) ,你敢不敢作等价无穷小替换?分析只凭感觉，多半不敢。

依据定义与规则，能换就换。

x 趋于∞时，α = 2x∕(x平方+1)是无穷小，sinα是无穷小，sinα（x）～α（x）且sinα处于“因式”地位。

可以换。

等价无穷小替换后，有理分式求极限，是“化零项法”处理的标准∞∕∞型，答案为 22．设f(x)可导，若f(x)是奇（偶）函数（周期函数，单调函数，有界函数），它的导函数fˊ(x)有什么样的奇偶性（周期性，单调性，有界性）？分析有定义数学式的概念，一定要先写出其定义式。

简单一点也行。

比如奇函数 f(－x)= －f(x) 周期为T的函数 f(x+T)= f(x)等式两端分别求导，得 fˊ(－x) = fˊ(x) fˊ(x+T)= fˊ(x)（实际上，由复合函数求导法则，（f(－x)）ˊ= fˊ(－x) (－x)ˊ= －fˊ(－x)）所以，奇函数的导数是偶函数；偶函数的导数是奇函数。

（如果高阶可导，还可以逐阶说下去。

）周期函数的导数也是周期函数。

很有趣的是，因为 (x)ˊ= 1 ，有的非周期函数，比如y = x + sinx ，的导数却是周期函数。

（潜台词：周期函数的原函数不一定是周期函数。

）单调函数定义中没有等式的概念，可以先在基本初等函数中举例观察。

如y = x单增，yˊ = 1不是单调函数。

y = sinx在（0，π/2）单增，yˊ = conx 单减，没有确定的结论。

有界性讨论相对较为困难。

如果注意到导数的几何意义是函数图形的切线斜率。

即切线倾角的正切。

就可以想到，在x趋于x0时，要是导数值无限增大，相应的图形切线就趋向于与x轴垂直。

显然，圆周上就有具竖直切线的点。

取 y =√（1－x的平方），它在[0，1]有界，但是 x 趋于 1 时，其导数的绝对值趋于正无穷。

这个反例说明有界函数的导数不一定有界。

（画外音：写出来很吓人啊。

x → 1 时，lim f (x) = 0 ，而 lim fˊ(x)= －∞）3．连续函数的复合函数一定连续。

有间断点的函数的复合函数就一定间断吗？分析连续函数的复合，花样更多。

原因在于复合函数f（g（x））的定义域，是f（x）的定义域与g（x）值域的交。

有“病”的点可能恰好不在“交”内。

因而，有间断点的函数的复合函数不一定间断。

比如：取分段函数g（x）为，x ＞ 0 时 g =1 ， x ≤ 0 时 g = －1，0是其间断点。

取f（u）=√u ，则f（g（x））= 1 在 x ＞ 0 时有定义且连续。

还有一些原因让“病态点”消失。

如果只图简单，你可以取f（u）为常函数。

以不变应万变。

取f（u）= u的平方，则f（g（x））= 1 ，显然是个连续函数。

4．设 f (x)可导，若x趋于 +∞时，lim f (x) = +∞ ,是否必有lim fˊ(x)= +∞分析稍为一想，就知为否。

例如 y = x更复杂但颇为有趣的是 y = ln x ，x 趋于 +∞时，它是无穷大。

但是 yˊ = 1∕x 趋于0 ，这就是对数函数异常缓慢增长的原因。

5．设f(x)可导，若x 趋于+∞时，lim fˊ(x) = +∞ , 是否必有 lim f(x) = +∞分析用导数研究函数，这是微积分的正道。

首先要体念极限（见指导（3）。

）：因为 lim fˊ(x) = +∞，所以当 x 充分大时，不仿设 x ＞ x0 时，总有 fˊ(x)＞1用拉格朗日公式给函数一个新的表达式f (x)= f (x0)+ fˊ(ξ)(x－x0) , x0 ＜ξ＜ x(潜台词: ξ=ξ(x) 。

你有这种描述意识吗？)进而就有, x ＞x0 时, f (x) ＞f (x0) + 1(x－x0) （画外音：这一步是高级动作。

）因为f (x0)是个常数，x0是我们选择的定点，所以上式表明，必有 lim f (x) = +∞6 。

设 f (x)可导，若x 趋于 -∞时，lim fˊ(x)=-∞ , 是否必有 lim f (x)= -∞分析否。

你如果与上述问题5对比，认为情形相仿，结论必有。

那就太想当然了。

请你还是老老实实地象5中那样写出推理吧。

结论是若x 趋于 -∞时，lim fˊ(x)= -∞ , 则必有 lim f (x) = +∞7．设 f (x)可导，若x 趋于+∞时，lim f (x) = c（常数，）是否必有lim f ˊ(x) = 0分析否。

lim fˊ(x) 有可能不存在。

这是最容易凭感觉想当然的一个题目。

我读本科时，最初的想法就是，“lim f(x) = c 表示函数图形有水平渐近线，函数又可导，当然在 x 趋于+∞时，切线就趋于水平了。

”想当然的原因之一是我们见识太少，脑子里的函数都较简单，图形很光滑漂亮。

之二则是对于渐近线的初等理解有惯性。

由极限定义的水平渐近线，并不在乎曲线中途是否与其相交。

比如，曲线可以以渐近线为轴震荡，最终造成 lim fˊ(x) 不存在的后果。

对比条件强化——如果 lim fˊ(x) 存在，则必有 lim fˊ(x) = 0用反证法证明。

且不仿设 x 趋于 +∞时 lim fˊ(x) = A ＞0与前述5中同样，可以选定充分大的正数x0，使 x＞x0 时，总有fˊ(x)＞A/2 ，然后用拉格朗日公式给函数一个新的表达式，导数条件管住ξ，从而有f (x) ＞f (x0) + A(x－x0) /2 —→+∞矛盾。

8．函数在一点可导，且导数大于0 ，能说函数在这一点单增吗？分析不能。

函数的单调性是宏观特征，背景是区间。

函数在一点可导，且导数大于0，其间所蕴含的信息只能通过可导的定义去挖掘。

即先把条件还原成定义算式，即x 趋于x0 时，lim ( f (x)－f（x0））/ （x－x0）＞ 0如果没有别的条件，下一步就试试体念符号。

即在x0邻近，分子分母同号。

进而在其右侧邻近，分子分母皆为正，f (x) ＞f（x0）。

但是，我们不知道函数值相互间的大小。

*9 设f (x)可导，若fˊ(a)·fˊ(b) ＜ 0 ，则（a，b）内必有点c ，fˊ(c) = 0分析对。

尽管可导函数的导函数不一定连续。

但是，导函数天然地满足介值定理。

这个结论在微积分中叫“达布定理”。

在本篇问题8中，我们讲了“一点导数大于0”的逻辑推理。

现在不仿设fˊ(a) ＞ 0 而fˊ(b) ＜ 0分别在a ， b两点处写出导数定义式，体念极限符号，（本篇问题8。

）可以综合得到结论：函数的端值 f (a)，f (b) 都不是 f (x)在[a，b] 上的最大值。

最大值只能在（a，b）内一点实现，该点处导数为0好啊，多少意外有趣事，尽在身边素材中。

要的是脚踏实地，切忌空想。

考研数学讲座（18）泰勒公式级数连中值定理是应用函数的导数研究函数变化特点的桥梁。

中值定理运用函数在选定的中心点x0的函数值、导数值以及可能的高阶导数值，把函数表示为一个多项式加尾项的形式。

再利用已知导函数的性质来处理尾项，对函数做进一步讨论。

中值定理的公式（可微分条件，有限增量公式，泰勒公式）都是描述型的数学公式。

描述型的数学公式并不难学。

什么条件下可以用什么样的公式描述，你记住公式，完整地写出来不就行了。

公式中的“点ξ”理解为客观存在的点。

在选定的中心点x0，函数的已知信息越丰富，相应的泰勒多项式与函数越贴近。

1.“微分是个新起点”——若函数f（x）在点x0可微，Δy = f′(x0)Δx +ο(Δx) ；其中，ο(Δx)表示“比Δx高阶的无穷小。

”则函数实际上就有了一个新的（微局部的）表达式：f（x）= f (x0) + f ′(x0)(x－x0) + ο(Δx) （ο(Δx) 尾项，比Δx高阶的无穷小）（潜台词：只有|Δx |充分小，“高阶无穷小”才有意义。

）历史上，这个表达式称为，“带皮阿诺余项的一阶泰勒公式”。

2.拉格郎日公式——若函数f (x)在闭区间 [a，b] 上连续，在（a，b）内可导，则（a，b）内至少有一点ξ，使得f (b)－f (a) = f ′(ξ)（b－a）定理说的是区间，应用时不能太死板。

在满足条件的区间内取任意两点，实际上也组成一个（子）区间。

比如，在区间内任意选定一点x0，对于区间内任意一点x，（任给一点，相对不变。

）也可以有f (x)－f (x0) = f ′(ξ)（x－x0），ξ在x 与x0之间，（潜台词：任意一点x，对应着一个客观存在的“点ξ”，ξ=ξ（x））即f（x）= f（x0）+ f ′(ξ)（x－x0），ξ在x 与x0之间，3. 泰勒公式——如果函数在点x0 邻近有二阶导数f（x）= f（x0）+ f ′(x0)（x－x0）+ （f ″(ξ) /2）（x－x0）²，ξ在x与x0之间式中的尾项叫拉格郎日尾项。

有时也把ξ表示为x0 +θ(x－x0) ，0＜θ＜1的结构、连续性等，只能依靠已知导函数的性质来限定尾项，一般情况下，我们无法知道ξ=ξ（x）实现应用目的。

如果函数仅在点x0二阶可导，我们可以用高阶无穷小尾项（皮阿诺余项）f（x）= f（x0）+ f ′(x0)（x－x0）+ （f″(x0) /2）（x－x0）²+ ο（|Δx| ²）泰勒系数——如果在点x0 邻近f（x）n+1 阶可导，则有泰勒系数f（x0），f ′(x0) ， f″(x0) / 2！，f ′ ″(x0) / 3！，……可以写出，f（x）=n 次泰勒多项式 + 拉格朗日尾项4. 泰勒级数——如果在点x0邻近f（x）无穷阶可导，不妨取x0 = 0，则利用泰勒系数可以写出一个幂级数f（x）= f（0）+ f ′(0) x +（f″(0) /2）x²+（f ′ ″(0 ) / 3！）x³ + ……这个幂级数的和函数是否就是f（x）呢？不一定！（画外音：太诡异了，f（x）产生了泰勒系数列，由此泰勒系数列生成一个幂级数，它的和函数却不一定是f（x）。

就象鸡下的蛋，蛋孵出的却不一定是鸡。

）关键在余项。

当且仅当n →∞时，泰勒公式尾项的极限为0 ，f（x）一定是它的泰勒系数列生成的幂级数的和函数。

称为f（x）的泰勒展开式。

验证这个条件是否成立，往往十分困难。

故通常利用五个常用函数的泰勒展开式，依靠唯一性定理，用间接法求某些别的函数的泰勒展开式。

美国的学生特别轻松，他们的大学数学教材很有创意，早在极限部分就要求他们,当成定义记住指数函数与正弦函数的泰勒展开式。

exp（x）= 1 + x + x²/2！+ x³/3！+ ……－∞＜x＜∞sin x = x － x³/3！ + ……－∞＜x＜∞（逐项求导， cos x = 1－ x²/2！+ ……－∞＜x＜∞）此外还有 ln（1+x）= x － x²/2 + x³/3 + ……－1＜x＜ 1 （1+x）的μ次方 = 1 + μ x +（μ (μ－1) / 2！）x²+（μ(μ－1)(μ－2) / 3！）x³+ ……1/ (1－x) = 1 + x² + x³ + ……－1＜x＜ 1，上同泰勒公式基本应用（1）——等价无穷小相减产生高阶无穷小。