一元二次方程应用题总结归类及典型例题库
一元二次方程应用题总结归类及典型例题
一元二次方程应用题总结分类及经典例题1、列一元二次方程解应用题的特点列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展，从xx 解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等．2、列一元二次方程解应用题的一般步骤和列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤是：“审、设、列、解、答”．(1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系．这一步是解决问题的基础；(2)“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对xx有利，因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着xx与xx的难易；(3)“列”是xx，这是非常重要的步骤，xx就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程．找出相等关系xx是解决问题的关键；(4)“解”就是求出所xx的解；(5)“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的xx不能为负数，降低率不能大于100%等等．因此，解出方程的根后，一定要进行检验．3、数与数字的关系两位数=(十位数字)×10＋个位数字三位数=(百位数字)×100＋(十位数字)×10＋个位数字4、翻一番翻一番即表示为原量的2倍，翻两番即表示为原量的4倍．5、增长率问题(1)增长率问题的有关公式：增长数=基数×增长率实际数=基数＋增长数(2)两次增长，且增长率相等的问题的基本等量关系式为：原来的×(1＋增长率)增长期数=后来的说明：(1)上述相等关系仅适用增长率相同的情形；(2)如果是下降率，则上述关系式为：原来的×(1－增长率)下降期数=后来的6、利用一元二次方程解几何图形中的有关计算问题的一般步骤(1)整体地、系统地审读题意；(2)寻求问题中的等量关系(依据几何图形的性质)；(3)设未知数，并依据等量关系列出方程；(4)正确地求解方程并检验解的合理性；(5)写出答案．7、xx解应用题的关键(1)审题是设未知数、xx的基础，所谓审题，就是要善于理解题意，弄清题中的已知量和未知数，分清它们之间的数量关系，寻求隐含的相等关系；(2)设未知数分直接设未知数和间接设未知数，这就需根据题目中的数量关系正确选择设未知数的方法和正确地设出未知数．8、xx解应用题应注意：(1)要充分利用题设中的已知条件，善于分析题中隐含的条件，挖掘其隐含关系；(2)由于一元二次方程通常有两个根，为此要根据题意对两根加以检验．即判断或确定方程的根与实际背景和题意是否相符，并将不符合题意和实际意义的（一）传播问题1.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。
九年级数学：一元二次方程应用题典型题型归纳
一元二次方程应用题典型题型归纳（一）传播与握手问题（病毒、细胞分裂等）1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人。
2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出小分支。
3.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有个队参加比赛。
4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有个队参加比赛。
5.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？6.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？7.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？（二）平均增长率问题变化前数量×（1 x）n＝变化后数量1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为。
2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是。
3.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。
4.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率？5.恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.（三）商品销售问题售价—进价=利润单件利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额1.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为４０只，且每日产出的产品全部售出，已知生产ⅹ只熊猫的成本为Ｒ（元），售价每只为Ｐ（元），且Ｒ、Ｐ与x的关系式分别为R=500+30X，P=170—2X。
一元二次方程应用题经典题型汇总
一元二次方程应用题经典题型汇总列一元二次方程解应用题中遇到的常见的典型题目，举例说明.一、增长率问题例1恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额到达了193.6万元，求这两个月的平均增长率.解设这两个月的平均增长率是x.，那么根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1〔舍去〕.答这两个月的平均增长率是10%.说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，假设经过两次相等下降后，那么有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n.二、商品定价例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，假设每件商品售价a元，那么可卖出〔350－10a〕件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店方案要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？解根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0，解这个方程，得a1＝25，a2＝31.因为21×(1+20%)＝25.2，所以a 2=31不合题意，舍去.所以350－10a ＝350－10×25＝100〔件〕.答需100件，每件商品应定价25元. 商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也点. 三、储蓄问题 例3王红梅同学将100元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“行〞， 到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程〞，剩余的又全部按 一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期 后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.〔假设不计〕 解设第一次存款时的年利率为x. 那么根据题意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得90x 2+145x －3＝0. 解这个方程，得x 1≈0.0204＝2.04%，x 2≈－1.63所以将x 2≈－1.63舍去. 答第一次存款的年利率约是2.04%. 这里是按教育储蓄求解的，应注意不计. 四、趣味问题 例4一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，城门高2米，二人没方法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？解设渠道的深度为xm，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m.1那么根据题意，得(x+0.1+x+1.4+0.1)x＝·1.8，整理，得x2+0.8x－1.8＝0.2解这个方程，得x1＝－1.8〔舍去〕，x2＝1.所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5.答渠道的上口宽2.5m，渠深1m.说明求解此题开场时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.例5读诗词解题：〔通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄〕.大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，那么十位数字为x－3.那么根据题意，得x2＝10(x－3)+x，即x2-11x+30＝0，解这个方程，得x＝5或x ＝6.当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；当x＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.答周瑜去世的年龄为36岁.说明此题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题，通过求解同学们应从中认真口味.六、象棋比赛例6象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.解设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n－1)个选手比赛一局，共计n(n－1)局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总1局数应为n(n－1)局.由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n(n－1)分.显2然(n－1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2，6，故总分不可能是1979，1984，1985，因此总分只能是1980，于是由n(n－1)＝1980，得n2－n－1980＝0，解得n1＝45，n2＝－44〔舍去〕.答参加比赛的选手共有45人.说明类似于此题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解.七、情景对话例7春秋旅行社为吸引市民组团去XX湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.某单位组织员工去XX湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去XX湾风景区旅游？解设该单位这次共有x名员工去XX湾风景区旅游.因为1000×25＝25000＜27000，所以员工人数一定超过25人.那么根据题意，得[1000－20(x－25)]x＝27000.整理，得x2－75x+1350＝0，解这个方程，得x1＝45，x2＝30.当x＝45时，1000－20(x－25)＝600＜700，故舍去x1；当x2＝30时，1000－20(x－25)＝900＞700，符合题意.答：该单位这次共有30名员工去XX湾风景区旅游.说明求解此题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论.如果人数超过25人，每增加1如果人数不超过25人，人，人均旅游费用降低20元，人均旅游费用为1000元.但人均旅游费用不得低于700图1八、等积变形例8长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园〔阴影局部〕所占 的面积为原来荒地面积的二.〔准确到0.1m 〕 〔1〕设计方案1〔如图2〕花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路. 〔2〕设计方案2〔如图3〕花园中每个角的扇形都一样. 以上两种方案是否都能符合条件?假设能，2中的小路图3中 扇形的半径；假设不能符合条件，请由. 解都能.〔1＝0， 解这个方程，得x ＝〔2〕设扇形说明等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，积不变；或形变积也变，不变，等等. BQ 图2 图3 A PC 图4九、动态几何问题例9如图4所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从点 A 出发沿边AC 向点C 以1cm/s 的速度移动，点Q 从C 点出发沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动.〔1〕如果P 、Q 同时出发，几秒钟后，可使△PCQ 的面积为8平方厘米？〔2〕点P 、Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ 的面积等于△ABC 的面积的一半.假设存在，求出运动的时间；假设不存在，说明理由.解因为∠C ＝90°，所以AB ＝22 ACBC ＝ 2268＝10〔cm 〕.〔1〕设xs 后，可使△PCQ 的面积为8cm 2，所以AP ＝xcm ，PC ＝(6－x)cm ， CQ ＝2xcm.那么根据题意，得 1 2·(6－x)·2x ＝8.整理，得x 2－6x+8＝0，解这个方程，得x 1＝ 2，x2＝4.所以P 、Q 同时出发，2s 或4s 后可使△PCQ 的面积为8cm 2.〔2〕设点P 出发x 秒后，△PCQ 的面积等于△ABC 面积的一半.那么根据题意，得 1 2 (6－x)·2x ＝ 1 2 ×1 2 ×6×整8.理，得x 2－6x+12＝0. 由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ 的面积等于ABC 面积一半的时刻.说明此题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必 须依据路程＝速度×时间.十、题例10为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端6m.〔1〕假设梯子的顶端下滑1m ，求梯子的底端水平滑动多少米？ 〔2〕假设梯子的底端水平向外滑动1m ，梯子的顶端滑动多少米？ 〔3〕如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距 离是多少米？ 解依题意，梯子的顶端距墙角 22 106＝8〔m 〕.〔1〕假设梯子顶端下滑1m ，那么顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm. 那么根据勾股定理，列方程72+(6+x)2＝102，整理，得x 2+12x －15＝0， 解这个方程，得x 1≈1.14，x 2≈－13.14〔舍去〕，所以梯子顶端下滑1m ，底端水平滑动约1.14m.〔2〕当梯子底端水平向外滑动1m 时，设梯子顶端向下滑动xm.那么根据勾股定理，列方程(8－x)2+(6+1)2＝100.整理，得x 2－16x+13＝0. 解这个方程，得x 1≈0.86，x2≈15.14〔舍去〕.所以假设梯子底端水平向外滑动〔3〕设梯子顶端向下滑动xm 时，底端向外也滑动xm. 那么根据勾股定理，列方程(8－x)2+(6+x)2＝102，整理，得2x 2－4x ＝0，解这个方程，得x1＝0〔舍去〕，x2＝2.所以梯子顶端向下滑动2m时，底端向外也滑动2m.说明求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.十一、航海问题例11如图5所示，我海军基地位于A处，在其正南A方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海D 里处有一重要目标C，小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航．一艘补FBE图5C给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.〔1〕小岛D和小岛F相距多少海里？〔2〕军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？〔准确到0.1海里〕解〔1〕F位于D的正南方向，那么DF⊥BC.因为AB⊥BC，D为AC的中点，所以DF＝12AB＝100海里，所以，小岛D与小岛F相距100海里.〔2〕设相遇时补给船航行了x海里，那么DE＝x海里，AB+BE＝2x海里，EF＝AB+BC－(AB+BE)－CF＝(300－2x)海里.在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x2＝1002+(300－2x)2，整理，得3x2－1200x+100000＝0.解这个方程，得x1＝200－10063 ≈118.4，x2＝200+10063〔不合题意，舍去〕.所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里.说明求解此题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程.十二、图表信息例12如图6所示，正方形ABCD的边长为12，划分成12×12个小正方形格，将边长为n〔n为整数，且2≤n≤11〕的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一Xn×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格，第二X纸片盖住第一X纸片的局部恰好为(n－1)×n(－1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.请你认真观察思考后答复以下问题：〔1〕由于正方形纸片边长n的取值不同，?完成摆放时所使用正方形纸片的X 数也不同，请填写下表：纸长n23456使用的纸片X数〔2〕设正方形ABCD被纸片盖住的面积〔重合局部只计一次〕为S1，未被盖住的面积为S2.①当n＝2时，求S1∶S2的值；②是否存在使得S1＝S2的n值？假设存在，请求出来；假设不存在，请说明理由.解〔1〕依题意可依次：11、10、9、8、7. 〔2〕S 1＝n 2+(12－n)[n 2－(n －1)2]＝－n 2+25n －12. 图6①当n ＝2时，S 1＝－22+25×2－12＝34，S2＝12×12－34＝110.所以S 1∶S2＝34∶110＝17∶55.②假设S 1＝S 2，那么有－n 2+25n －12＝ 1 2 ×122，即n 2－25n+84＝0，解这个方程，得n 1＝4，n2＝21〔舍去〕.所以当n ＝4时，S 1＝S 2.所以这样的n 值是存在的.说明求解此题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第〔3〕小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看 得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.十三、探索在在问题例13将一2c m的铁丝剪成两段，并以每一一个正方形. 〔1〕要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分少? 〔2〕两个正方形的面积之和可假设不能，请说明理由. 解〔1〕设剪成两段后其中一段为x cm ，那么另一段为〔20－x 〕cm.x 4 2 + 20 4x 2 那么根据题意，得＝17，解得x 1＝16，x2＝4，当x ＝16时，20－x ＝4，当x ＝4时，20－x ＝16，答这段铁丝剪成两段后是4cm 和16cm. 〔2〕不能.理由是：不妨设剪成两段后其中yc m ，那么另〔20－y 〕 y 4 2 + 20 4 y 2 cm.那么由题意得＝12，整理，得y 2－20y+104＝0，移项并配方， 得(y －10)2＝－4＜0，所以此方程无解，即不能剪成两段使得面12cm 2. 说明此〔2〕小问也可以运用求根公式中的b 2－4ac 来判定.假设b 2－4ac ≥0，方程有两个实数根，假设b 2－4ac ＜0，方程没有实数根，此题中的b 2－4ac ＝－ 16＜0即无解. 十四、平分几何图形的面积问题 例14如图7，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝DC ＝5，AD ＝4，BC ＝10.点E?在下 BC 上，点F 在腰AB 上. 〔1〕假设E F平分等腰梯形A B CD的周长，设B x，x 的代数式表示△BEF 的面积； 〔2〕是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时平分？假设存在，求 出此时BE 的长；假设不存在，请说明理由； 〔3〕是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1∶2的两部 分？假设存在，求此时BE 的长；假设不存在，请说明理由.解〔1〕由条件得，梯形12，高4，28.AD F F 作F G ⊥B C 于G A 作AK ⊥BC 于K.那么可得，FG ＝ 12x 5 ×4， B C E GK 图7 所以S △BEF ＝ 1 2 BE ·FG ＝－ 2 5 x 2+ 24 5 x 〔7≤x ≤10〕. 〔2〕存在.由〔1〕得－2 5 x 2+ 24 5 x ＝14，解这个方程，得x 1＝7，x 2＝5〔不合 题意，舍去〕，所以存在线段E F 将等腰梯形ABCD 的周长与面积同时平分，此时BE ＝7.〔3〕不存在.假设存在，显然有S △BEF ∶S 多边形AFECD ＝1∶2， 即(BE+BF)∶(AF+AD+DC)＝1∶2.那么有－ 2 5 x 2+ 16 5 x ＝ 28 3，整理，得3x 2－24x+70＝0，此时的求根公式中的b 2－4ac ＝576－840＜0， 所以不存在这数x .即不存EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时 分成1∶2的两局部.求解此题时应注意：一是要x 的取值X 围；二是在求得x 2＝ 5时，并不属于7≤x ≤10，应及时地舍用一元二次方程来探索问题的. 十五、利用图形律 例15在如图8中，每个正方形有图8〔1〕观察图形，请填写 正长1357⋯n 〔奇数〕黑色小正方形个数⋯ 正长2468⋯n 〔偶数〕 黑色小正方形个数⋯〔2n 〔n ≥1〕的正方形中，设黑色小正方形的个数为P 1，白色小 正方形的个数为P 2，问是否在偶数．n ，使P 2＝5P 1？假设存在，n 的值；假设 不存在，请由. 解〔1〕观察分析图案可知正方1、3、5、7、⋯、n 时，黑色正方 形的个数为1、5、9、13、2n－1〔奇数〕；正方2、4、6、8、⋯、n 时，黑色正方形的个数为4、8、12、16、2n 〔偶数〕. 〔2〕由〔1〕可知n 为偶数时P 1＝2n ，所以P 2＝n 2－2n.根据题意，得n 2－2n ＝5×2n ，即n 2－12n ＝0，解得n 1＝12，n2＝0〔不合题意，舍去〕.所以存在偶数 n ＝12，使得P2＝5P1.说明此题的第〔2〕小问是属于存在性问题，求解时，可以先假设结论存在，进而从中找到数量关系，使问题获解.综上所言，列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的延续和开展，列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型，然后通过解方程获得对实际问题的解决.列一元二次方程解应用题的关键是：找出未知量与已知量之间的联系，从而将实际问题转化为方程模型，要善于将普通语言转化为代数式，在审题时，要特别注意关键词语，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少〞等等，此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等等.。
人教版九年级数学上册一元二次方程应用题题型总结经典
人教版九年级数学上册一元二次方程应用题题型总结经典营户希望每天能够获得至少100元的利润。
求该经营户应该将价格降低多少元/千克才能达到目标利润，以及此时每天的销售量是多少千克。
一元二次方程应用题题型总结一、增长率问题增长率问题是一种常见的应用题型，其中涉及到变化前数量、变化后数量以及变化率等概念。
一般情况下，我们可以使用如下公式来解决这类问题：变化前数量×（1±x）n＝变化后数量例如，某商场在十月份的销售额下降了20%，但在十一月份开始加强管理，改善经营，使得十二月份的销售额达到了193.6万元。
现在要求这两个月的平均增长率，我们可以使用上述公式进行计算。
另外，还有一些涉及到商品价格变化的增长率问题。
例如，某种商品原价为50元，1月份降价10%后，从2月份开始又开始上涨，3月份的售价为64.8元。
要求2、3月份价格的平均增长率，我们同样可以使用上述公式进行计算。
二、商品销售问题商品销售问题是另一种常见的应用题型，其中涉及到售价、进价、利润、销售量、销售额等概念。
一般情况下，我们可以使用如下公式来解决这类问题：售价-进价=利润单件利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额例如，某商店购进一种商品，进价为30元。
若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？我们可以使用上述公式进行计算。
另外，还有一些涉及到生产成本、售价、销售量等的商品销售问题。
例如，某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出。
现在要求当日产量为多少时每日获得的利润为1750元，或者当可获得的最大利润为1950元时，日产量应为多少。
我们同样可以使用上述公式进行计算。
除此之外，还有一些涉及到涨价、销售量等的商品销售问题。
例如，某水果批发商场经销一种高档水果，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。
现在要求每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元。
一元二次方程应用题典型题型汇总
一元二次方程应用题典型题型归纳（一）传播与握手问题1. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了 个人。
2. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出 小分支。
3. 参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有 个队参加比赛。
4. 参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有 个队参加比赛。
5. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？6. 一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？7. 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？（二）平均增长率问题1、-=实际数基数增长率基数2、平均增长率公式：b x a =±2)1( 其中a 是增长（或降低）的基础量，x 是平均增长（或降低）率，b 是增长（或降低）的数量。
相关测试题：1. 青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为 。
2. 某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是 。
3. 某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。
4. 某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率？5. 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.6．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x ，第一年的产量为6万kg ，第二年的产量为_______kg ，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．7.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x ,列方程( )A. 500(12)x +=720B. 2500(1)720x+= C. 2500(1)720x += D. 2720(1)500x -=8．•我国政府为了解决老百姓看病难的问题，•决定下调药品价格，•某种药品在1999年涨价30%•后，•2001•年降价70%•至a•元，•则这种药品在1999•年涨价前价格是__________．9、某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？（三）商品销售问题：（关键词：标价、售价、打折、销量等）售价—进价=利润 单件利润×销售量=总利润 单价×销售量=销售额1. 某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X 销售量P ，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？2. 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。
(完整版)一元二次方程应用题经典题型汇总含答案
z 一元二次方程应用题经典题型汇总一、增长率问题例 1 恒利商厦九月份的销售额为200 万元，十月份的销售额下降了20% ，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6 万元，求这两个月的平均增长率.解设这两个月的平均增长率是X.,则根据题意，得200(1 —20%)(1+ x)2= 193.6 ,即(1+x)2= 1.21，解这个方程，得x i = 0.1 , X2=— 2.1 (舍去).答这两个月的平均增长率是10%.说明这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2= n求解，其中m v n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1 —x)2= n即可求解，其中m >n.二、商品定价例2 益群精品店以每件21 元的价格购进一批商品, 该商品可以自行定价, 若每件商品售价a元，则可卖出(350 —10a)件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400 元,需要进货多少件？每件商品应定价多少？解根据题意，得(a—21)(350 —10a) = 400，整理，得a2—56a+775 = 0 ,解这个方程，得a1 = 25 , a2 = 31.因为21 p+20%) = 25.2，所以a2=31不合题意，舍去.所以350 —10 a= 350 —10 X25 = 100 (件).答需要进货100 件,每件商品应定价25元.说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率•(假设不计利息税)解设第一次存款时的年利率为X.则根据题意，得[1000(1+ x)- 500](1+0.9 x) = 530.整理，得90X2+145 x —3 = 0.解这个方程，得X i~0.0204 = 2.04% , X21.63.由于存款利率不能为负数，所以将X2~—1.63 舍去.答第一次存款的年利率约是 2.04%.说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税四、趣味问题例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？解设渠道的深度为x m，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m.则根据题意，得2(x+0.1+ x+1.4+0.1) x= 1.8，整理，得x2+0.8 x—1.8 = 0.解这个方程，得X1 = — 1.8 (舍去)，X2= 1.所以x+1.4+0.1 = 1 + 1.4+0.1 = 2.5.答渠道的上口宽2.5m，渠深1m.说明求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解例5 读诗词解题：(通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄)大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解设周瑜逝世时的年龄的个位数字为X,则十位数字为x - 3.则根据题意，得x2= 10(x —3)+ x，即X2-11X+30 = 0，解这个方程，得x= 5或x= 6.当x = 5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；当x = 6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.答周瑜去世的年龄为36岁.六、象棋比赛例6 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979 , 1980 , 1984 , 1985.经核实，有一位同学统计无误•试计算这次比赛共有多少个选手参加•解设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n —1)个选手比赛一局，共计n(n —1)1局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为2 n(n —1)局由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n(n —1)分•显然(n—1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0, 2 , 6，故总分不可能是1979 , 1984 , 1985，因此总分只能是1980，于是由n(n —1) = 1980，得n2—n —1980 = 0 ,解得n1 = 45 , n2=—44 (舍去).答参加比赛的选手共有45人.说明类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题, 法求解• 七、情景对话例7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准. 某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元•请问该单位 这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？解设该单位这次共有 x 名员工去天水湾风景区旅游 •因为1000 >25 = 25000 V 27000，所以员工人数一定超过 25人.则根据题意，得[1000 — 20(x — 25)] x = 27000.整理，得 x 2 — 75X +1350 = 0,解这个方程，得 x i = 45 , X 2= 30.当 x = 45 时，1000 — 20( x — 25) = 600 V 700，故舍去 x i ；当 X 2= 30 时，1000 — 20(x — 25) = 900 >700，符合题意.答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游说明 求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论都可以仿照些如果人数不超过25人 如果人数超过25人，每増加1 人人均放游费用降低20元 旦人均册费用不得低于700人均旅游费用海1000元.八、等积变形例8 将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为 原来荒地面积的三分之二•（精确到0.1m ）（1 ）设计方案1 （如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路（2）设计方案2 （如图3）花园中每个角的扇形都相同 .以上两种方案是否都能符合条件？若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由 解 都能.(1)设小路宽为 X ,则 18x +16x — x 2=^ X18 X15,即 x 2— 34X +180 = 0 ,解这个方程，得x = 2 ，即x ~ 6.6.(2)设扇形半径为 r ，则 3.14 r 2 =X18 X15 ,即卩 r 2疋 57.32，所以 r ~7.6.明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变; 积也变，但重量不变，等等九、动态几何问题例9 如图 4所示，在△ ABC 中，/ C = 90?/SPAN> , AC = 6cm , BC = 8cm ，点 P 从 点A 出发沿边AC 向点C 以1cm/s 的速度移动，点Q 从C 点出发沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动（1）如果P 、Q 同时出发，几秒钟后，可使△ PCQ 的面积为8平方厘米?X ,或形变(2)点P 、Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△ PCQ 的面积等于△ ABC 的面积的一半•若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由(1 )设 x s 后，可使△ PCQ 的面积为 8cm 2,所以 AP = x cm , PC = (6 — x )cm , CQ =2x cm.则根据题意，得(6 — x ) 2x = 8.整理，得X 2— 6x +8 = 0,解这个方程，得 x i = 2, X 2=4. 所以P 、Q 同时出发，2s 或4s 后可使△ PCQ 的面积为8cm 2.(2)设点P 出发x 秒后，△ PCQ 的面积等于△ ABC 面积的一半•1 1 1则根据题意，得 2(6 — x ) 2x =2 x2 x6 X8.整理，得 x 2— 6x +12 = 0.由于此方程没有实数根，所以不存在使厶 PCQ 的面积等于ABC 面积一半的时刻•说明 本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程=速度x 时间.十、梯子问题例10 一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.(1) 若梯子的顶端下滑1m ，求梯子的底端水平滑动多少米？ (2) 若梯子的底端水平向外滑动 1m ，梯子的顶端滑动多少米？(3 )如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？解 依题意，梯子的顶端距墙角 =8 (m ).(1 )若梯子顶端下滑1m ，则顶端距地面7m.设梯子底端滑动x m.因为/ C = 90?/SPAN>，所以AB ="汙\取匸=用卜『=10(cm )(2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ ABC的则根据勾股定理，列方程72+(6+ x)2= 102，整理，得x2+12 x—15 = 0 ,解这个方程，得X i~ 1.14 , X213.14 (舍去)，所以梯子顶端下滑1m，底端水平滑动约1.14m.(2)当梯子底端水平向外滑动1m时，设梯子顶端向下滑动x m.则根据勾股定理，列方程(8 —X)2+(6+1)2= 100.整理，得X2—16X+13 = 0.解这个方程，得X1~ 0.86 , X2 ~ 15.14 (舍去).所以若梯子底端水平向外滑动1m，则顶端下滑约0.86m.(3)设梯子顶端向下滑动x m时，底端向外也滑动x m.则根据勾股定理，列方程(8 —X)2+(6+X)2= 102，整理，得2x2—4x = 0,解这个方程，得X1 = 0 (舍去)，X2= 2.所以梯子顶端向下滑动2m时，底端向外也滑动2m.说明求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.十一、航海问题例11如图5所示，我海军基地位于A处，在其正南方向200 海里处有一重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C,小岛D恰好位于AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航•一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.(1)小岛D和小岛F相距多少海里?(2)已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？(精确到0.1海里)解(1) F位于D的正南方向，贝U DF丄BC•因为AB丄BC, D为AC的中点，所以DF =2 AB = 100海里，所以，小岛D与小岛F相距100海里.(2 )设相遇时补给船航行了x海里，那么DE = x海里，AB+BE= 2x海里，EF= AB+BC -(AB+ BE)—CF= (300 - 2x)海里.在Rt△ DEF中，根据勾股定理可得方程x2= 100 2+(300 - 2x)2，整理，得3x2-1200 x+100000 = 0.lOtK/6 10(K/6解这个方程，得X1 = 200 —孑 ~ 118.4 , X2 = 200+3 (不合题意，舍去)•所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里.说明求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程十二、图表信息例12 如图6所示，正方形ABCD的边长为12，划分成12 X12个小正方形格，将边长为n (n 为整数，且2w n< 11 )的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一张n Xi的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n刈个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n - 1) X n —1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.请你认真观察思考后回答下列问题：(1)由于正方形纸片边长n的取值不同，冼成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：纸片的边长n23456使用的纸片张数（2 ）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S i，未被盖住的面积为S2.①当n = 2时，求S i : S2的值;解（1 ）依题意可依次填表为: 11、10、9、8、7.②是否存在使得S i = S2的n值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由(2) S1 = n2+(12 - n)[n2—(n - 1)2] = - n2+25 n - 12.①当n = 2 时，S1 = - 22+25 X2 - 12 = 34 , S2= 12 X12 - 34 = 110.所以S1 : S2 = 34 : 110 = 17 : 55.1②若S1 = S2，则有—n2+25 n —12 =? X122，即n2—25 n +84 = 0 ,解这个方程，得n1 = 4 , n2= 21 (舍去).所以当n = 4时，S1= S2.所以这样的n值是存在的.说明求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第（3）小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.十三、探索在在问题例13 将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？(2)两个正方形的面积之和可能等于 12cm 2吗？若能，求出两段铁丝的长度； 若不能, 请说明理由解(1)设剪成两段后其中一段为 x cm ，则另一段为(20 — x ) cm.当 x = 16 时，20 — x = 4，当 x = 4时，20 — x = 16 , 答 这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm 和16cm.(2)不能.理由是：不妨设剪成两段后其中一段为 y cm ，则另一段为(20 — y ) cm.则由题意得I 4丿+1 4丿=12，整理，得 y 2— 20 y +104 = 0,移项并配方，得(y — 10) 2 =—4v 0,所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为12cm 2.说明 本题的第(2 )小问也可以运用求根公式中的 b 2 — 4ac 来判定 若b 2 — 4ac >0,方程有两个实数根，若 b 2— 4ac v 0，方程没有实数根，本题中的b 2 — 4ac =— 16 v 0即无解.十四、平分几何图形的周长与面积问题例14 如图7,在等腰梯形 ABCD 中，AB = DC = 5 , AD = 4 , BC = 10.点E?^下底边BC 上，点F 在腰AB 上.(1 )若EF 平分等腰梯形 ABCD 的周长，设BE 长为X ,试用含x 的代数式表示 △ BEF 的面积； (2) 是否存在线段 EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由；(3) 是否存在线段 EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1 : 2的两部分？若存在，求此时BE 的长；若不存在，请说明理由则根据题意，得 =17,解得 X i = 16X 2 = 4 ,Be K解(1 )由已知条件得，梯形周长为12，高4，面积为28.过点F作FG丄BC于G,过点A作AK丄BC于K.12 - K则可得，FG= 总,込24所以S A BEF=BEFG=—§ x2+ x (7 < x < 10).2 24(2)存在.由 (1 )得—5 x2+ 5 x = 14，解这个方程，得x i = 7, X2 = 5 (不合题意，舍去),所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE= 7.(3)不存在•假设存在，显然有S A BEF : S多边形AFECD = 1 : 2,2 16 28即(BE+BF)：(AF+AD + DC) = 1 : 2.则有一5 x2+ 5 x =3 ,整理，得3x2—24x+70 = 0,此时的求根公式中的b2—4ac = 576 —840 V 0,所以不存在这样的实数X.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1 : 2的两部分.说明求解本题时应注意：一是要能正确确定x的取值范围；二是在求得X2 = 5时，并不属于7 < X W 10,应及时地舍去；三是处理第(3)个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性.十五、利用图形探索规律例15 在如图8中，每个正方形有边长为1的小正方形组成:（1 ）观察图形，请填写下列表格：正方形边长 13黑色小正方形个数 正方形边长 24黑色小正方形个数（2 ）在边长为n （n > 1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为个数为P 2,问是否存在偶数.n ,使P 2= 5P i ?若存在，请写出 n 的值；若不存在，请说明 理由.解（1）观察分析图案可知正方形的边长为 1、3、5、7、…、n 时，黑色正方形的个 数为1、5、9、13、2n — 1 （奇数）；正方形的边长为2、4、6、8、…、n 时，黑色正方形 的个数为4、& 12、16、2n （偶数）•（2 ）由（1 ）可知n 为偶数时P 1 = 2 n ,所以P 2= n 2— 2n .根据题意，得n 2 — 2 n = 5 x 2n ,即n 2 —12 n = 0,解得n 1= 12 , n 2 = 0 （不合题意，舍去）.所以存在偶数n = 12，使得P 2 =5P 1.n （奇数）n （偶数）P i ，白色小正方形的说明本题的第（2）小问是属于存在性问题，求解时，可以先假设结论存在，进而从中找到数量关系，使问题获解综上所言，列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的延续和发展，列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型，然后通过解方程获得对实际问题的解决.列一元二次方程解应用题的关键是：找出未知量与已知量之间的联系，从而将实际问题转化为方程模型，要善于将普通语言转化为代数式，在审题时，要特别注意关键词语，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等，此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等等.。
九年级上一元二次方程应用题常见类型总结
九年级上 专题复习之实际问题与一元二次方程【一、面积问题】【方法技巧】注意题目中隐含条件，用平移表示矩形的长度．【题型一 围栏靠墙】【例1】如图，要建一个矩形的鸡场ABCD ，鸡场的一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，墙的长度为14m ，墙的对面开一个1m 宽的门，现有竹篱笆总长31m ．(1)若要围成的鸡场面积为120m 2，求鸡场的长和宽各是多少m ？(2)当边AB 的长为______m 时，鸡场面积最大，最大面积为______ m 2【题型二 矩形中通道】 【例2】如图，要设计一副宽20cm 、长30cm的图案，其中有一横一竖的彩条，横、竖彩条的宽度之比为2：3．如果要彩条所占面积是图案面积的19％，问横、竖彩条的宽度各为多少？【题型三边框设计】【例3】如图，要设计一本书的封面，封面长27cm ，宽21cm ，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的1781，上、下边村等宽，左、右边衬等宽，则上、下边衬的宽为( )cmA ．1B ．1．5C ．2D ．2．5【针对练习1】1．要为一幅长30cm 、宽20cm 的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的1124，则镜框边的宽度为( ) A ．1cm B ．2cm C ．2cm D ．2．5cm2．如图所示，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上修筑相同宽度的甬道(图中阴影部分)，余下部分种上草坪，要使草坪面积为540m 2，求甬道宽．3．如图，一幅长20cm 、宽12cm 的图案，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．若图案中三条彩条所占面积是图案面积的25，求横、竖彩条的宽度．4．如图，利用一面墙(墙的长度为20m )，用34m 长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道1m 宽的门，设AB 的长为xm ．(1)若两个鸡场总面积为96m 2，求x ；(2)若两个鸡场总面积和为Sm 2，求S 关于x 的关系式；(3)两个鸡场面积和S 有最大值吗？若有，最大值是多少？【二、循环向题、增长率问题、传染等问题】1．n 支球队参加单循环比赛、一共赛12n (n －1)场；n 支球队参加双循环比赛，一共赛n (n －1)场； 2．基数A 经过两轮增长(下降)，平均增长(下降)率为x ，两轮后结果为A (1±x )2； 3．一人感冒，经过两轮传染，平均每人传染x 人，两轮后感冒人数为(1＋x )2【题型一 循环问题】【例1】要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式(毎两队之间都赛一场)，计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？【例2】九年级某班在调研考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了1980张卡片．设全班有x 名学生，根据题意列出方程为________．【题型二增长率问题】【例3】今年我区高效课堂建设以“信息技术与课堂教学深度融合”为抓手，加强对教师队伍建设的投入，计划从今年起三年共投人3640万元，已知今年已投入1000万元，设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是( )A．1000(1＋x)2＝3640 B．1000(x2＋1)＝3640C．1000＋1000x＋1000x2＝3640 D．1000(1＋x)＋1000(x＋1)2＝2640【例4】某工厂七月份出口创汇200万美元，因受国际大环境的严重影响，出口创汇出现连续下滑，至九月份时出口创汇下降到98万美元，设该厂平均每月下降的百分率是x，则所列方程_________【题型三传染问题】【例5】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．(1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？(2)若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？【题型四树枝分叉问题】【例6】某种植物主干长出若干数目的支干．每个支干又长出同样数目的小分支．主干、支干、小分支的总数是73，求每个支干长出多少个小分支？【例7】有一个人收到短信后，再用手机转发短消息，每人只转发一次，经过两轮转发后共有133人收到短消息，问每轮转发中平均一个人转发给( )个人A．9 B．10 C．11 D．12【针对练习2】1．新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺卡，全组共送贺卡72张，则此小组人数为( )A．7 B．8 C．9 D．102．篮球联赛实行单循环赛制，即每两个球队之间进行一场比赛，计划一共打36场比赛．设一共有x个球队参赛，根据题意，所列方程为____________3．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是57，则每个支干长出( )根小分支A．5 B．6 C．7 D．84．某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由1000元降到了810元，则平均每月降价的百分率为( )A．9．5% B．20% C．10% D．11%5．某村的人均收入前年为12000元，今年的人均收入为14520元．设这两年该村人均收入的年平均增长率为x，根据题意，所列方程为__________6．有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242个人患了流感，每轮传染中，平均一个人传染了____人．【三、利润问题】【方法技巧】利润＝单件利润×数量．【例1】某商店从生产厂家以每件21元的价格进一批商品，该商品以25元一件的价格出售，每天可卖出100件．后调査发现：每涨价2元每天将少卖20件，每件商品加价超过进价的20％但不能超过进价的50％．商店计划每天要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品的售价为多少元？【例2】某公司投资新建了一商场，共有商铺30间，据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出，每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间，该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元.（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益＝租金—各种费用）为275万元？【针对练习3】1.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元？2.某宾馆有30个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为100元时，房间恰好全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每间房间定价x元（x≥100).（1）每天有游客居住的房间数为（用x表示结果化简）（2）当毎间房价定为多少元，宾馆的利润w(元)最大?（3）宾馆某天统计结果显示，该天利润为1870元，请求出这天每间房的定价x（元）的值。
一元二次方程应用题归纳分类和经典例题
一元二次方程应用题总结分类及经典例题1、列一元二次方程解应用题的特点列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展.从列方程解应用题的方法来讲.列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的.由于一元一次方程未知数是一次.因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次.用算术方法就很困难了.正由于未知数是二次的.所以可以用一元二次方程解决有关面积问题.经过两次增长的平均增长率问题.数学问题中涉及积的一些问题.经营决策问题等等．2、列一元二次方程解应用题的一般步骤和列一元一次方程解应用题一样.列一元二次方程解应用题的一般步骤是：“审、设、列、解、答”．(1)“审”指读懂题目、审清题意.明确已知和未知.以及它们之间的数量关系．这一步是解决问题的基础；(2)“设”是指设元.设元分直接设元和间接设元.所谓直接设元就是问什么设什么.间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的.但由于对列方程有利.因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易；(3)“列”是列方程.这是非常重要的步骤.列方程就是找出题目中的等量关系.再根据这个相等关系列出含有未知数的等式.即方程．找出相等关系列方程是解决问题的关键；(4)“解”就是求出所列方程的解；(5)“答”就是书写答案.应注意的是一元二次方程的解.有可能不符合题意.如线段的长度不能为负数.降低率不能大于100%等等．因此.解出方程的根后.一定要进行检验．3、数与数字的关系两位数=(十位数字)×10＋个位数字三位数=(百位数字)×100＋(十位数字)×10＋个位数字4、翻一番翻一番即表示为原量的2倍.翻两番即表示为原量的4倍．5、增长率问题(1)增长率问题的有关公式：增长数=基数×增长率实际数=基数＋增长数(2)两次增长.且增长率相等的问题的基本等量关系式为：原来的×(1＋增长率)增长期数=后来的说明：(1)上述相等关系仅适用增长率相同的情形；(2)如果是下降率.则上述关系式为：原来的×(1－增长率)下降期数=后来的6、利用一元二次方程解几何图形中的有关计算问题的一般步骤(1)整体地、系统地审读题意； (2)寻求问题中的等量关系(依据几何图形的性质)；(3)设未知数.并依据等量关系列出方程；(4)正确地求解方程并检验解的合理性；(5)写出答案．7、列方程解应用题的关键(1)审题是设未知数、列方程的基础.所谓审题.就是要善于理解题意.弄清题中的已知量和未知数.分清它们之间的数量关系.寻求隐含的相等关系；(2)设未知数分直接设未知数和间接设未知数.这就需根据题目中的数量关系正确选择设未知数的方法和正确地设出未知数．8、列方程解应用题应注意：(1)要充分利用题设中的已知条件.善于分析题中隐含的条件.挖掘其隐含关系；(2)由于一元二次方程通常有两个根.为此要根据题意对两根加以检验．即判断或确定方程的根与实际背景和题意是否相符.并将不符合题意和实际意义的（一）传播问题1.市政府为了解决市民看病难的问题.决定下调药品的价格。
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一元二次方程应用题总结分类及经典例题1、列一元二次方程解应用题的特点列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展,从列方程解应用题的方法来讲,列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的,由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决.如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了,正由于未知数是二次的,所以可以用一元二次方程解决有关面积问题,经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等．2、列一元二次方程解应用题的一般步骤和列一元一次方程解应用题一样,列一元二次方程解应用题的一般步骤是：“审、设、列、解、答”.(1)“审”指读懂题目、审清题意,明确已知和未知,以及它们之间的数量关系.这一步是解决问题的基础；（2）“设”是指设元,设元分直接设元和间接设元,所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易;(3)“列”是列方程,这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系,再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程.找出相等关系列方程是解决问题的关键;（4)“解”就是求出所列方程的解；(5)“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数,降低率不能大于100％等等．因此,解出方程的根后,一定要进行检验.３、数与数字的关系两位数=(十位数字)×10+个位数字三位数=（百位数字)×1０0+(十位数字）×１0＋个位数字4、翻一番翻一番即表示为原量的2倍,翻两番即表示为原量的4倍.５、增长率问题（1)增长率问题的有关公式:增长数＝基数×增长率实际数=基数＋增长数(2)两次增长，且增长率相等的问题的基本等量关系式为:原来的×(1＋增长率）增长期数=后来的说明:(１)上述相等关系仅适用增长率相同的情形；(2)如果是下降率，则上述关系式为: 原来的×(１－增长率)下降期数=后来的6、利用一元二次方程解几何图形中的有关计算问题的一般步骤(1)整体地、系统地审读题意;(2)寻求问题中的等量关系(依据几何图形的性质);(３)设未知数，并依据等量关系列出方程;(4)正确地求解方程并检验解的合理性;(5）写出答案.7、列方程解应用题的关键(１)审题是设未知数、列方程的基础，所谓审题,就是要善于理解题意，弄清题中的已知量和未知数,分清它们之间的数量关系,寻求隐含的相等关系；(2)设未知数分直接设未知数和间接设未知数，这就需根据题目中的数量关系正确选择设未知数的方法和正确地设出未知数．8、列方程解应用题应注意:(1)要充分利用题设中的已知条件,善于分析题中隐含的条件，挖掘其隐含关系；(2）由于一元二次方程通常有两个根，为此要根据题意对两根加以检验．即判断或确定方程的根与实际背景和题意是否相符,并将不符合题意和实际意义的（一)传播问题1.市政府为了解决市民看病难的问题,决定下调药品的价格。
某种药品经过连续两次降价后,由每盒２0０元下调至1２8元,则这种药品平均每次降价的百分率为2.有一人患了流感，经过两轮传染后共有１２1人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了个人。
3.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是9１,每个支干长出小分支。
4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛,共比赛45场比赛,共有个队参加比赛。
5.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛,共比赛90场比赛，共有个队参加比赛。
6.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了１82件，这个小组共有多少名同学？7.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张,这个小组共有多少人？8.某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有８1台电脑被感染.请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制,３轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台?（二)平均增长率问题变化前数量×（1 x）n＝变化后数量1.青山村种的水稻２00１年平均每公顷产7200公斤,200３年平均每公顷产8450公斤,水稻每公顷产量的年平均增长率为。
2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了４0元，求平均每次降价率是。
3.周嘉忠同学将１０00元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60％，这样到期后,可得本金和利息共53０元,求第一次存款时的年利率.（利息税为20%，只需要列式子）。
4.某种商品,原价５0元,受金融危机影响，1月份降价10%,从2月份开始涨价，3月份的售价为6４.8元,求2、３月份价格的平均增长率。
5.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半,已知两次降价的百分率相同,求每次降价的百分率？6.为了绿化校园，某中学在20０7年植树400棵，计划到2009年底使这三年的植树总数达到１３2４棵，求该校植树平均每年增长的百分数。
7.王红梅同学将１00０元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出，并将其中的5０0元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的９0%,这样到期后,可得本金和利息共53０元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税）(三）商品销售问题售价—进价＝利润单件利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额1.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系:Ｐ=１０0-２X销售量P,若商店每天销售这种商品要获得200元的利润,那么每件商品的售价应定为多少元?每天要售出这种商品多少件？2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为4０只,且每日产出的产品全部售出，已知生产ⅹ只熊猫的成本为R(元）,售价每只为P(元)，且Ｒ、Ｐ与ｘ的关系式分别为R=50０+3０X,P=１70—２Ｘ。
(1)当日产量为多少时每日获得的利润为1750元？（2)若可获得的最大利润为1９5０元,问日产量应为多少?3.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利1０元，每天可售出500千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。
现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元?4.服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出2０件，每件盈利40元。
为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量，增加盈利，减少库存。
经市场调查发现,如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出８件。
要想平均每天在销售这种童装上盈利120０元,那么每件童装应降价多少元?5.西瓜经营户以２元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元／千克的价格出售，每天可售出200千克。
为了促销，该经营户决定降价销售。
经调查发现,这种小型西瓜每降价0.１元/千克,每天可多售出40千克。
另外，每天的房租等固定成本共2４元。
该经营户要想每天盈利２00元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？6.益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价，若每件商品售价ａ元,则可卖出（３5０-10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少?7.利达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理)。
当每吨售价为26０元时，月销售量为45吨。
该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销。
经市场调查发现:当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.５吨。
综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用1０0元。
（1）当每吨售价是２4０元时，计算此时的月销售量；(2）在遵循“薄利多销”的原则下,问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元。
（3)小静说:“当月利润最大时，月销售额也最大。
”你认为对吗?请说明理由。
8.国家为了加强对香烟产销的宏观管理,对销售香烟实行征收附加税政策. 现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为７0元,不加收附加税时，每年产销１00万条，若国家征收附加税,每销售100元征税x元（叫做税率x%), 则每年的产销量将减少１０x万条．要使每年对此项经营所收取附加税金为1６8万元,并使香烟的产销量得到宏观控制,年产销量不超过5０万条,问税率应确定为多少？9.春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？(四）面积问题判断清楚要设什么是关键1.一个直角三角形的两条直角边的和是1４cm,面积是２4cm2，两条直角边的长分别是。
2.一个直角三角形的两条直角边相差5㎝，面积是７㎝2，斜边的长是。
3.一个菱形两条对角线长的和是10㎝,面积是１2㎝２,菱形的周长是。
(结果保留小数点后一位)4.为了绿化学校，需移植草皮到操场,若矩形操场的长比宽多1４米，面积是32０0平方米则操场的长为米，宽为米。
5.若把一个正方形的一边增加2cm,另一边增加１ｃm，得到的矩形面积的2 倍比正方形的面积多11cm2,则原正方形的边长为 cm.6.如图，在长为10cm,宽为８cｍ的矩形的四个角上截去四个全等的正方形,使得留下的图形(图中阴影部分）面积是原矩形面积的８0％，所截去的小正方形的边长是。
7.张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后,剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子,且此长方体箱子的底面长比宽多2米,现已购买这种铁皮每平方米需20元钱,问张大叔购买这张铁皮共花了是元钱8.如图,在宽为2０m ,长为３0m ，的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，余分作为耕地为55１㎡。
则道路的宽为是。
9.如图某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长3５ｍ。
①鸡场的面积能达到150ｍ2吗？②鸡场的面积能达到180m2吗？如果能,请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。
（３)若墙长为a m,另三边用竹篱笆围成，题中的墙长度a m对题目的解起着怎样的作用?(五）工程问题1.某公司需在一个月（31天)内完成新建办公楼的装修工程．如果由甲、乙两个工程队合做，１2天可完成；如果由甲、乙两队单独做,甲队比乙队少用10天完成.(1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数．(2)如果请甲工程队施工,公司每日需付费用2000元;如果请乙队施工，公司每日需付费用1400元．在规定时间内：A.请甲队单独完成此项工程出．B请乙队单独完成此项工程；C.请甲、乙两队合作完成此项工程．以上三种方案哪一种花钱最少?2.搬运一个仓库的货物，如果单独搬空,甲需１0小时完成，乙需12小时完成，丙需1５小时完成，有货物存量相的两个仓库A和B，甲在A仓库，乙在Ｂ仓库同时开始搬运货物,丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙,最后两个仓库的货物同时搬完，丙帮助甲乙各多少时间？（列式子）3.乙两人都以不变的速度在环形路上跑步,相向而行，每隔２分钟相遇一次；同向而行，每隔6分钟相遇一次，已知甲比乙跑得快，求甲、乙每分钟各跑几圈?4.某油库的储油罐有甲、乙两个注油管，单独开放甲管注满油罐比单独开放乙管注满油罐少用4小时，两管同时开放３小时后,甲管因发生故障停止注油，乙管继续注油９小时后注满油罐，求甲、乙两管单独开放注满油罐时各需多少小时?(六)行程问题１、A、B两地相距82km，甲骑车由A向B驶去，9分钟后,乙骑自行车由Ｂ出发以每小时比甲快2km的速度向A驶去,两人在相距B点40kｍ处相遇。