浙江省杭州市七县市2020-2021学年高二上学期期末考试 数学 Word版含答案
2020学年第一学期期末学业水平测试 高二数学试题卷 考生须知：1.本卷满分120分，考试时间100分钟。
2.答题前，在答题卷内填写学校、班级和姓名。
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效。
4.考试结束，只需上交答题卷。
一、选择题(本题有12小题，每小题3分，共36分。
每小题的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1.倾斜角为2π的直线的方程可以是 A.x －1＝0 B.y －1＝0 C.x －y ＝0 D.x ＋y －2＝0 2.直线l 1：ax －4y ＋2＝0与直线l 2：x －ay －1＝0平行，则a 的值为 A.a ＝±2 B.a ＝2 C.a ＝－2 D.a ＝－13.圆x 2＋y 2＋2ax －3ay ＋3a 2＝0的圆心坐标和半径长依次为A.(a 3，aB.(－a 3，aC.(a 3a)，|a|D.(－a 3a)，|a|4.“n>m>0”是“方程221x y n m-=表示焦点在y 轴上的双曲线”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知直线a ，b ，平面α，β，下列命题：①若a//b ，a ⊥α，则b ⊥α； ②若α//β，a ⊥α，则a ⊥β； ③若a//α，a ⊥β，则α⊥β； ④若a ⊥α，α⊥β，则a//β。
其中真命题是A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④6.如图，三棱台ABC －A 1B 1C 1的下底面是正三角形，且AB ⊥BB 1，B 1C 1⊥BB 1，则二面角A －BB 1－C 的大小是A.30°B.45°C.60°D.90°7.圆锥的底面直径和母线长都等②球的直径，则圆锥与球的表面积之比是 A.34 B.12 C.34D.334 8.椭圆()()()()2222x 3y 4x 3y 426-+-++++=的短轴长为A.10B.12C.24D.269.一动圆与两圆x 2＋y 2＝4，(x －4)2＋y 2＝1都外切，则动圆圆心的轨迹是 A.抛物线 B.椭圆 C.双曲线 D.双曲线的一支 10.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A.4B.8C.12D.14 11.已知实数x ，y 满足y yx x 3+＝1，则|3x ＋y －4的取值范围是A.[4－6，2)B.[4－6，4)C.[2－622，2) D.[2－62，4) 12.如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，将△DAE ，△EBF ，△FCD 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使得A ，B ，C 三点重合②点A ’，若点G 及四面体A ’DEF 的四个顶点都在同一个球面上，则以△DEF 为底面的三棱锥G －DEF 的高h 的最大值为A.6＋23B.6＋43C.26－43D.26－23二、填空题(本题有6小题，13～15题每空3分，16～18题每空4分，共30分)13.已知点A(1，－1)，直线l：x－2y＋2＝0，则点A到直线l的距离是；过点A 且垂直于直线l的直线方程是。
14.椭圆2214924x y+=的焦点F1，F2的坐标是；以F1，F2为焦点，且离心率e＝54的双曲线方程是。
15.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AA1与面对角线BC1所成角的大小是；面对角线BC1与体对角面ACC1A1所成角的大小是。
16.设F1、F2为双曲线C：221 46x y-=左右焦点，点A在双曲线C上，若AF1⊥AF2，且∠AF1F2＝30°，则b＝。
17.设动点P在直线x＋y－2＝0上，若在圆O：x2＋y2＝3上存在点M，使得∠OPM＝60°，则点P横坐标的取值范围是。
18.假设太阳光线垂直于平面α，在阳光下任意转动单位立方体，则它在平面α上的投影面面积的最大值是。
三、解答题(本题有4小题，共54分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)19.(本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝2px上的点A(2，m)(m>0)到准线的距离为4。
(1)求p，m的值；(2)已知O为原点，点B在抛物线C上，若△AOB的面积为8，求点B的坐标。
20.(本小题满分14分)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝2BB1，AD＝DC试证明：(1)AB1//面BC1D；(2)AB1⊥BC1。
21.(本小题满分14分)在底面是菱形的四棱锥S－ABCD中，已知AB＝AS＝5，BS＝4，过D作侧面SAB的垂线，垂足O恰为棱BS的中点。
(1)证明在棱AD上存在一点E，使得OE⊥侧面SBC，并求DE的长；(2)求二面角B－SC－D的平面角的余弦值。
22.(本小题满分14分)椭圆E：22221(0)x ya ba b+=>>62(1)求椭圆E的标准方程；(2)设G(m，n)是椭圆E上的动点，过原点O作圆G：(x－m)2＋(y－n)2＝34的两条斜率存在的切线分别与椭圆E交②点A，B，求|OA|＋|OB|的最大值。
2020学年第一学期期末学业水平测试高二 数学参考答案及评分标准题号1 2345678 9 10 1112答案 ABDAACCCDCBA（15~17题每空3分，18~20题每空4分，满分30分，）13． 5；210x y +-=．14．(5,0)±；221169x y -=.15．45 ；30. 16． 1283+．[0,2]. 183三、解答题（满分54分） 19．（本小题满分12分）解：（1）依题意得 242p+=，所以 4p =， （2分）将(2,)A m 代入 2y 8x =，得4m =. （2分） （2）设2(2,4)B t t ，直线OA 的方程为20x y -=， （2分）则点B 到直线OA 的距离2445t t d -=，又25OA =， （2分）由题意得 244125825t t -⋅= ， （2分）解得12t t =-=或，所以点B 的坐标是(2,4)-或(8,8). （2分） 20．（本小题满分14分）证明：（1）连1B C 交1BC 于点E ，连DE , （2分） 则在1AB C ∆中，,D E 是中点，所以1//AB DE , （2分） 又 1AB ⊄平面1BC D ，所以1//AB 面1BC D ； （2分） （2）方法一：取BC 中点F ，连1,AF B F , 由正三棱柱的性质知AF ⊥侧面11BCC B ，所以1AF BC ⊥, ┄┄① （3分）在侧面11BCC B 中，12,BC BB =F 是中点，则11Rt BB C ∆∽1Rt FBB ∆所以11BC B F ⊥ ┄┄②, （3分）由①②知1BC ⊥面1AB F ，所以11BC AB ⊥. （2分） （2）方法二：在正三棱柱中，11110,0AB BB BB B C ⋅=⋅=,21cos1202AB BC AB BC AB ⋅=⋅⋅=- （4分）所以，2111111111()()0+0AB BC AB BB BB B C AB B C BB ⋅=+⋅+=⋅++22211102AB BC BB AB BB =⋅+=-+= （2分）所以，11AB BC ⊥． （2分） 21．（本小题满分14分） （1）解：连AO ,,AB AS O =是BS 的中点， ∴BS AO ⊥,又DO ⊥面ABS ,∴DO BS ⊥, ∴ BS ⊥面AOD , 过O 作OE AD ⊥于E ，（2分）则BS OE ⊥， 又//AD BC ,∴OE BC ⊥， 所以OE ⊥面SBC . （2分） 在Rt AOD ∆中，1,2,5AO DO EO ===所以5DE =. （2分） （2）分别以OA ，OB ，所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，（2分） 则 (1,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,2)A B S D -， （1分）由15AE AD =得点E 的坐标是42,0,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，由（1）知面SBC 的法向量1(2,0,1)n =，（1分）设面SCD 的法向量是2(,,)n x y z =，而(1,2,0),(0,2,2)DC AB DS ==-=--，由 220n DS n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得22020y z x y --=⎧⎨-+=⎩ 令，得，， 即 2(2,1,1)n =-， （1分） 所以12121230cos ,10n n n n n n ⋅<>==， （2分） F从而二面角B SC D --的平面角的余弦值为10-． (1分) 22．（本小题满分14分）解：（1）2c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以1a c b ===，所以椭圆E 的标准方程为2213x y += （4分） （2）设圆223()()4x m y n -+-=的切线()OA OB 的方程为y kx =，2=（2分） 整理得 222(34)8340m k mnk n -++-=，其两根12,k k 满足212234=34n k k m --┄┄①这里12=,OA OB k k k k =，且2213m n += ┄┄② （1分） 设1122(,),(,)A x kx B x kx，则12,OA OB ==,这里 22211113x k x +=， 22222213x k x +=， （1分） 所以 2222222212112222123(13(11=,11313k k OA k x OB k x k k ++=+=+=++))（）（） (1分) 由①②得 12=k k 13-， (1分)则 22221222222212121223322222413131339k k OA OB k k k k k k +++=++=+=+++++， (2分)所以+OA OB ≤=OA OB 时取等号.即max (+)OA OB (2分)注：考虑到椭圆的对称性，只需研究点G 在第一象限的情况，当G在椭圆顶点处时，易得+OA OB （4分）。
人教版2020-2021学年度上学期期末考试数学试卷(Word版 含解析)
人教版2020-2021学年度上学期期末考试数学试卷（全册）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（ ）A. 事件：“在地面，向上抛石子后落在地上”，该事件是随机事件B. 体育彩票的中奖率为10%，则买100张彩票必有10张中奖C. 在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品D. 掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为 132.下列四个银行标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )． A. B. C. D.3.关于 x 的一元二次方程 x 2−5x +2p =0 的一个根为 1 ，则另一根为（ ）.A. -6B. 2C. 4D. 14.下列关于二次函数 y =2x 2+3 ，下列说法正确的是（ ）.A. 它的开口方向向下B. 它的顶点坐标是 (2,3)C. 当 x <−1 时， y 随 x 的增大而增大D. 当 x =0 时， y 有最小值是35.如图，AB 为⊙O 的直径，点D 是弧AC 的中点，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，延长DE 交⊙OO 于点F ，若AC = 12，AE = 3，则⊙O 的直径长为（ ）A. 10B. 13C. 15D. 166.某校食堂每天中午为学生提供A 、 B 两种套餐，甲乙两人同去该食堂打饭，那么甲乙两人选择同款套餐的概率为（ ）A. 12B. 13C. 14D. 237.如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A 用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型(抛物线所在平面与墙面垂直)，如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面3米，则水流下落点B 离墙的距离OB 是( )A. 2.5米B. 3米C. 3.5米D. 4米8.小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·哧壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物。
而立之年督东吴，早逝英年两位数。
浙江省杭州市七县市2020-2021学年高二上学期期末数学试卷 (含解析)
数学试卷
一、选择题（共 12 小题）.
1．倾斜角为 的直线的方程可以是（ ）
A．x﹣1＝0
B．y﹣1＝0
C．x﹣y＝0
D．x+y﹣2＝0
2．直线 l1：ax﹣4y+2＝0 与直线 l2：x﹣ay﹣1＝0 平行，则 a 的值为（ ）
A．a＝±2
B．a＝2
C．a＝﹣2
D．a＝﹣1
3．圆 x2+y2+2ax﹣2
＝0 的圆心坐标和半径长依次为（ ）
A．
，a B．
，a C．
，|a| D．
，|a|
4．“n＞m＞0”是“方程
表示焦点在 y 轴上的双曲线”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知直线 a，b，平面 α，β，下列命题（ ）
角线 BC1 与体对角面 ACC1A1 所成角的大小是
．
2
；面对
16．设 F1、F2 为双曲线
左、右焦点，点 A 在双曲线 C 上，若 AF1⊥AF2，且
∠AF1F2＝30°，则 b＝
．
17．设动点 P 在直线 x+y﹣2＝0 上，若在圆 O：x2+y2＝3 上存在点 M，使得∠OPM＝60°，
则点 P 横坐标的取值范围是
＝0，即（x+a）2+（y﹣ a）2＝a2，
其圆心为（﹣a， a），半径 r＝|a|， 故选：D．
4．“n＞m＞0”是“方程
表示焦点在 y 轴上的双曲线”的（ ）
A．充分而不必要条件 C．充要条件
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
浙江省杭州二中2020至2021高二上学期期末数学文试卷
浙江省杭州二中2020-2021学年高二上学期期末数学文试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．直线31x y +=的倾斜角为（ ） （A ）3π （B ）23π （C ）6π（D ）56π2．已知实数,a b ，则0a b +>是0a >且0b >的（ ）条件（A ）充分不必要 （B ）必要不充分 （C ）充要 （D ）既不充分也不必要 3．直线1x y +=与圆222x y +=的位置关系是（ ）（A ）相切 （B ）相交 （C ）相离 （D ）不能确定4．一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 5．已知实数,x y 满足：221x y +=，则x y +的取值范围是（ ） （A ）2,2⎡⎤-⎣⎦ （B ）[]1,1- （C ）1,2⎡⎤⎣⎦（D ）(1,2⎤⎦6．对于平面α和两条不同的直线m 、n ,下列命题是真命题的是（ ） （A ）若αα⊥⊥n m ,,则n m // （B ）若,//,//ααn m 则n m //（C ）若n m m ⊥⊥,α,则α//n （D ）若n m ,与α所成的角相等,则n m // 7．过点()2,1P 的直线l 与坐标轴分别交,A B 两点，如果三角形OAB 的面积为5，则满足条件的直线l 最多有（ ）条（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）48．已知双曲线2221x y a -=(0)a >的一个焦点与抛物线218x y =的焦点重合,则此双曲线的离心率为（ ） （A ）332（B ）3 （C ）233 （D ）4339．已知椭圆：2221(03)9x y b b+=<<，左右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线l 交椭圆于A B，两点，若22BF AF +的最大值为8，则b 的值是 （ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）610．一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为（ ）（A ）1 （B ）2 （C（D ）3二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.把答案填写在题中的横线上. 11．命题P ：直线2y x =与直线20x y +=垂直；命题Q ：异面直线在同一个平面上的射影可能为两条平行直线.则命题P Q ∧为 命题（填真或假）.12．若圆C 以抛物线24y x =的焦点为圆心, 且与抛物线的准线相切,则该圆的标准方程是__ .13．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，截去三个角1A BDA -，1C BDC -，111B BAC -后形成的几何体的体积与原正方体的体积之比值为 . 14．椭圆2214x y m +=的离心率为12，则实数m 的值为 . 15.沿矩形ABCD 的对角线AC 折起，形成空间四边形ABCD ，使得二面角B AC D --为120，若2,1AB BC ==，则此时四面体ABCD 的外接球的体积为 .16. 已知空间中动平面,αβ与半径为5的定球相交所得的截面的面积为4π与9π，其截面圆心分别为,M N ，则线段MN 的长度最大值为 .17. 过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,则AF BF 的最小值是_ .112013学年第一学期杭州二中高二年级数学（文科）期末答卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.把答案填写在题中的横线上11. 12. 13.14. 15 16.17.三、解答题：本大题共4小题，共42分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 18. （本大题满分10分）已知直线:0l ax by c ++=.（Ⅰ）求证：直线0ax by c ++=通过定点()1,1的充要条件是0a b c ++=（,,a b c 不全为0）；（Ⅱ）若直线:0l ax by c ++=与直线230x y ++=平行，求3a ba b-+的值.19．（本大题满分10分）已知直线():210l mx y m +-+=与曲线:C y =. （Ⅰ）若直线l 与直线1:210l x y -+=垂直，求实数m 的值； （Ⅱ） 若直线l 与曲线C 有且仅有两个交点，求实数m 的取值范围.20．（本大题满分10分）已知四面体ABCD ，AD CD =，120ADB CDB ∠=∠=，且平面ABD ⊥平面BCD . （Ⅰ）求证：BD AC ⊥；（Ⅱ）求直线CA 与平面ABD 所成角的大小.21. （本大题满分12分）已知O 为坐标原点，F 是抛物线2:4E y x =的焦点. （Ⅰ）过F 作直线l 交抛物线E 于,P Q 两点，求OP OQ 的值；（Ⅱ）过点(),0T t 作两条互相垂直的直线分别交抛物线E 于,,,A B C D 四点，且,M N 分别为线段,AB CD 的中点，求TMN ∆的面积最小值.B高二数学文科答案1．D 2．B 3．B 4．B 5．A 6．A 7．D 8．C 9．D 10．C 11．真12．()2214x y -+=13．12 14．163或31516．4+ 17．418．（Ⅰ）充分性：若0a b c ++=，则110a b c ++=，即点()1,1满足方程ax by c ++=，即直线ax by c ++=过定点()1,13分必要性：若直线0ax by c ++=过定点()1,1，则坐标()1,1满足方程0ax by c ++=，即110a b c ++=，即0a b c ++= 6分（Ⅱ）∵直线:0l ax by c ++=与直线230x y ++=平行，∴221a b ab=⇒= 8分 ∴33131aa b b a a b b--==-++ 10分19．（Ⅰ）直线l 的斜率k m =-，直线1l 的斜率1'22k k =⇒=-∴12m = 4分（Ⅱ）∵:(2)20l m x y -+-=，∴l 恒过点()2,2P又∵曲线:C y =是单位圆在x 轴的上方部分且直线l 与曲线C 有且仅有两个交点，先求直线l 与曲线C 相切时的斜率与点()2,2P 与点()1,0Q -连线的斜率当直线l 与曲线C24138303m m m -=⇒++=⇒=经检验知43m -=而23PQk =，所以23m ⎡∈-⎢⎣⎭10分 20．（Ⅰ）∵,120,AD DC ADB CDB BD BD =∠=∠==∴ADB CDB ∆≅∆∴AB BC =，取AC 中点M ， 则,MB AC DM AC ⊥⊥∴AC ⊥平面BDM ，∴AC BD ⊥ 4分（Ⅱ）过点C 作CH BD ⊥交BD 延长线于H ，连结HA∵平面ABD ⊥平面BCD ，∴CH ⊥平面BAD ，∴CAH ∠为CA 与平面BAD 所成角∵DC AD =，60ADH CDH ∠=∠=，DH DH =∴HAD CDH ∆≅∆ ∴AH HC =∴在Rt HAC ∆中，45HAC ∠=∴直线CA 与平面ABD 所成角的大小为45 21．（Ⅰ）设直线l 的方程为:1l x ty =+，()()1122,,,P x y Q x y由2214404x ty y ty y x=+⎧⇒--=⎨=⎩ ∴121241y y x x =-⇒=BB∴OP OQ 12123x x y y =+=- 4分 （Ⅱ）根据题意得,AB CD 斜率存在 故设1:,:AB x my t CD x y t m=+=-+，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y 由224404x my t y my t y x=+⎧⇒--=⎨=⎩ ∴()221212222,222y y x xm m t M m t m ++=⇒=+⇒+ 同理可得222,N t m m ⎛⎫+-⎪⎝⎭所以TN ==2TM ==∴11242TMNS TM TN m m ∆⎛⎫==+≥ ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当1m =时，面积取到最小值4. 12分。
浙江省杭州市西湖高级中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题(解析版)
2020学年第一学期高二期末考试数学试题卷考生须知：1.全卷分试卷和答题卷，考试结束后，将答题卷上交.2.试卷共4页，有3大题，22小题.满分150分，考试时间120分钟.3.答题前，请务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上.4.请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效.作图时先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在下列命题中，不是公理的是（ ）A. 平行于同一个平面的两个平面平行B. 过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C. 如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A【解析】试题分析：选项A 是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．B,C,D 四个命题是平面性质的三个公理，所以选A ．考点：点，线，面的位置关系．2. “21a =”是“直线0x y +=和直线0x ay -=互相垂直”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先求出两条直线垂直的充要条件，再根据所得条件和已知条件的关系可得两者的条件关系.【详解】直线0x y +=和直线0x ay -=的充要条件为()1110a ⨯+⨯-=即1a =，1a =可以推出21a =，但21a =推不出1a =，故“21a =”是“直线0x y +=和直线0x ay -=互相垂直”的必要而不充分条件，故选：B.3. 已知坐标平面上的两点()1,0A -和()10B ,，动点P 到A 、B 两点距离之和为常数2，则动点P 的轨迹是（ ）A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 线段【答案】D【解析】 【分析】依题意得到2PA PB AB +==，即判断动点P 在线段AB 上运动，即得结果. 【详解】由题意可知，()1,0A -与()10B ,的距离为2AB =，而动点P 到A 、B 两点距离之和为常数2，即2PA PB AB +==，故动点P 在线段AB 上运动，即动点P 的轨迹是线段.故选：D.4. 在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是正方形ABCD 的中心，则直线1A D 与直线1B M 所成角大小为（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】A【解析】【分析】如图，连接1B C ，MC ，MB ，利用余弦定理可求1CB M ∠的值，从而可得直线1A D 与直线1B M 所成角大小.【详解】设正方体的棱长为2a ，连接1B C ，MC ，MB ，因为11//B C A D ，故1CB M ∠或其补角为直线1A D 与直线1B M 所成角.而1B C =，MC =，1B M ===，故22211B C B M CM =+，所以1MB CM ⊥， 所以163cos 22a CB M a∠==，因为1CB M ∠为锐角，故130CB M ∠=︒， 故选：A.5. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】【详解】试题分析：由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx 平面为投影面，则得到正视图即可．解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O ﹣xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx 平面为投影面，则得到正视图为：故选A ．6. 已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若3,4,AB AC AB ==⊥1,12,AC AA =则球O 的表面积为A. 153πB. 160πC. 169πD. 360π【答案】C【解析】【分析】 由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱补成直四棱柱，其体对角线就是外接球的直径，求得球的半径，利用球的表面积公式，即可求解.【详解】由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱补成直四棱柱，其体对角线就是外接球的直径，所以2221133+4+1222R =，由球的表面积公式得2134()1692S ππ==，故选C ． 【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径.7. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.下列命题中正确的是（ ）A. 若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥B. 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC. 若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D. 若m α⊥，//m n ，βn//，则αβ⊥【答案】D【解析】 【分析】以正方体为模型可判断ABC 错误，利用面面垂直的判断定理可判断D 正确.【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，平面1111A B C D ⊥平面11A D DA ，11B C ⊂平面1111D C B A ，AD ⊂平面11A D DA ，但11//B C AD ， 故A 错误.平面1111//A B C D 平面ABCD ，11B C ⊂平面1111D C B A ，AB 平面ABCD ，但11B C AB ⊥，故B 错误.11B C ⊂平面1111D C B A ，AB 平面ABCD ，11B C AB ⊥，但平面1111//A B C D 平面ABCD ，故C 错误.对于D ，如图所示，过n 作平面γ，使得a γβ⋂=，因为βn//，故//n a ，故//m a ，所以a α⊥，而a β⊂，故αβ⊥.故选：D.8. 设F 是双曲线22:1169x y C -=的右焦点，l 是双曲线C 的一条渐近线，过F 作一条直线垂直与l ，垂足为P ，则sin OFP ∠的值为（ ）A. 35B. 45C. 54D. 53【答案】B【解析】【分析】作出图像，由双曲线方程求出渐近线斜率即可. 【详解】由题知双曲线4,3,5a b c ===如图做出双曲线C 的一条渐近线l ，则34l b k a ==，即3tan 4FOP ∠=，又5OF c ==，所以4,3OP PF ==，4sin 5OP OFP OF ∠==. 故选：B. 9. 设O 为坐标原点，1F ，2F 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）左、右焦点，若在椭圆上存在点P 满足123F PF π∠=，且3OP =，则该椭圆的离心率为（ ）A. 12B. 14C. 312-D. 22 【答案】A 【解析】 【分析】根据中线向量可得()1212PO PF PF =+，平方后结合椭圆的定义可得212PF PF a ⋅=，在焦点三角形中再利用余弦定理可得224c a =，从而可求离心率.【详解】因为O 为12F F 的中点，故()1212PO PF PF =+， 所以()2221212124PO PF PF PF PF =++⋅，故22212123112442a PF PF PF PF ⎛⎫=++⋅⋅ ⎪⎝⎭， 故()2222121212123a PF PF PF PF PF PF PF PF =++⋅=+-⋅，所以212PF PF a ⋅=， 又22212121422c PF PF PF PF =+-⋅⋅， 故()2222212124343c PF PF PF PF a a a =+-⋅=-=，故12e =. 故选：A. 【点睛】方法点睛：与焦点三角形有关的计算问题，注意利用椭圆的定义来转化，还要注意利用余弦定理和向量的有关方法来计算长度、角度等.10. 已知直线和曲线22:2220M x y x y +---=，点A 在直线l 上，若直线AC 与曲线M 至少有一个公共点C ，且030MAC ∠=，则点A 的横坐标的取值范围是（ ）A. 0,5B. []1,5C. []1,3D. (]03, 【答案】B【解析】【分析】【详解】试题分析：设()00,6A x x -，依题意有圆心到直线的距离sin302d AM =≤，即()()22001516x x -+-≤，解得[]01,5x ∈.考点：直线与圆的位置关系.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. 在空间直角坐标系O xyz -中，点(1,2,2)A ，则||=OA __________；点A 到坐标平面yoz 的距离是__________．【答案】 (1). 3 (2). 1【解析】根据空间坐标系中两点间的距离公式，得：()()()222102020＋＋---． ∵A （1，2，2），∴点A 到平面yoz 的距离=|1|=1．故答案为3，1点睛: 点A （x ，y ，z ）到坐标平面yoz 的距离=|x|;点A （x ，y ，z ）到坐标平面xoz 的距离=|y|;点A （x ，y ，z ）到坐标平面yox 的距离=|z|.12. 直线l 与直线1y =，直线7x =分别交于P 、Q 两点，PQ 中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率是_____．【答案】13-【解析】试题分析：设直线l 与直线1y =，直线7x =交点P 、Q 的坐标为P （x ，1），Q(7，y)，然后由中点坐标公式即可求出x=-5，y=-3，即P （-5，1）Q (7，-3)，则由斜率计算公式得，．考点： 直线相交问题； 由直线上两点坐标求直线斜率． 13. 直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点到y 轴的距离是2，则AB =______.【答案】8.【解析】【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，再表达出M 的坐标，再利用抛物线的弦长公式求解即可.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则利用中点坐标公式知1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭， 又点M 到y 轴的距离为2，故1222x x +=,即124x x +=, 又28,4p p ==，故利用过抛物线焦点的弦长公式12448AB x x p =++=+=.故答案为：8【点睛】方法点睛：本题主要考查了过抛物线焦点的弦长公式，有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式12AB x x p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式，考查学生的运算能力与转化思想，属于一般题.14. 已知a R ∈，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______． 【答案】 (1). (2,4)--； (2). 5．【解析】【分析】【详解】试题分析：由题意，知22a a =+，12a =-或，当1a =-时，方程为224850x y x y +++-=，即22(2)(4)25x y +++=，圆心为(2,4)--，半径为5，当2a =时，方程为224448100x y x y ++++=，2215()(1)24x y +++=-不表示圆． 圆的标准方程.由方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆可得a 的方程，解得a 的值，一定要注意检验a 的值是否符合题意，否则很容易出现错误．15. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是_____cm 2，体积是____cm 3.【答案】 (1). 72 (2). 32【解析】【分析】根据给定的几何体的三视图，得到该几何体是由4个棱长为2的小正方体组成，代入体积公式和面积公式计算，即可求解.【详解】根据给定的几何体的三视图，可得该几何体是由四个棱长为2的小正方体组成的组合体， 如图所示，所以体积为32(224)32cm ⨯⨯⨯=，由于两个长方体重叠的部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为22(222244)2(22)72cm ⨯⨯⨯+⨯⨯-⨯=. 故答案为：72，32.16. 已知直线l ：()22110mx m y m +---=，到当实数m 变化时，原点O 到直线l 距离的最大值为______；平面内所有恒不在l 上的点(),x y 所形成的图形面积为______.【答案】 (1).212 (2). 4π 【解析】【分析】根据点到直线距离公式，求出原点O 到直线l 的距离d ，得到d 关于m 的函数，根据函数特征求出其最大值；将直线l 方程看成关于m 的方程，由于平面内所有点(),x y 恒不在l 上的，因此关于m 的方程无实根，由判别式∆<0，得出图形，即可求出面积.【详解】依题意，原点O 到直线l 的距离为d ，2|1|1m d m +==+要距离最大值，则0m >， 2112(1)2(1)2(1)21m d m m m m +==+-++++-+12≤=，当且仅当1m =，等号成立， 所以原点O 到直线l； ()22110mx m y m +---=，平面内所有点(),x y 恒不在l 上，∴关于m 的方程2(12)10ym m x y +--+=无解， 显然1(0,)2不是直线l 的点 20,(12)4(1)0y x y y ∴≠∆=---+<， 即22111()(),0224x y y -+-<≠和点1(0,)2， 为(,)x y 所围成的图形，面积为4π. 故答案为:12；4π. 【点睛】本题考查求点到直线距离、直线的一般式方程和圆的知识，转化为基本不等式求最值和关于m 的方程无实根是解决问题的关键，属于中档题.17. 已知正ABC 的顶点A 在平面α上，顶点B 、C 在平面α的同一侧，D 为BC 的中点，若ABC 在平面α上的投影是以A 为直角顶点的三角形，则直线AD 与平面α所成角的正弦值的最小值为______.【答案】6 3.【解析】【分析】本题首先可结合题意绘出图像，设BE a=、CF b=以及2AB AC BC===，然后根据投影的相关性质得出2a bDG以及12GA EF，结合线面角的相关性质得出DAG∠即直线AD 与平面α所成角，再然后根据222EF AE AF=+得出2228EF a b，根据222AG AD DG得出2212EF a b ，从而求出2ab=，最后根据sinDGDAGAD以及基本不等式即可求出最小值. 【详解】如图，结合题意绘出图像，AEF即ABC在平面α上的投影，作DG ⊥平面α于点G，连接AG，设BE a=，CF b=，2AB AC BC===，则3AD=，因为AEF即ABC在平面α上的投影，D为BC的中点，所以点G在线段EF上且点G 是线段EF 的中点，22BE FC a bDG，因为AEF是以A为直角顶点的三角形，所以12GA EF，因为DG⊥平面α于点G，所以DG AG⊥，DAG∠即直线AD与平面α所成角，因为22224AE AB BE a，22224AF AC CF b，222EF AE AF=+，所以222228EF AE AF a b，因为22222322EF a bAG AD DG，即2212EF a b，联立()22222128EF a bEF a b⎧=-+⎪⎨=--⎪⎩，解得2ab=，则323262sin 263a b DGDAG a a AD aa ，当且仅当a b ==AD 与平面α， . 【点睛】关键点点睛：本题考查线面角的正弦值的求法，能否结合线面角的性质确定线面所成角是解决本题的关键，考查勾股定理的灵活应用，考查通过基本不等式求最值，考查计算能力，考查数形结合思想，是较难题.三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. 已知直线:30l kx y k --=与圆22:8290M x y x y +--+=.（Ⅰ）求证：直线l 必过定点，并求该定点；（Ⅱ）当圆M 截直线l 所得弦长最小时，求k 的值.【答案】（Ⅰ）证明见解析，()3,0；（Ⅱ）1k =-.【解析】【分析】（Ⅰ）直线l 可化为()30k x y --=，可知直线恒过点()3,0A ；（Ⅱ）当圆M 截直线l 所得弦长最小时，可知MA l ⊥，根据,M A 点坐标求出MA 的斜率，利用两直线垂直斜率的关系可求出k 的值.【详解】（Ⅰ）证明：直线l 方程可化为：()30k x y --=，对上式中,当3,0x y ==时，不论k 取何值，等式恒成立，所以直线l 恒过点()3,0A（Ⅱ）将圆M 的方程化为：()()22418x y -+-=，圆心为()4,1M ，半径r =由（Ⅰ）知，直线l 恒过点()3,0A ，当圆M 截直线l 所得弦长最小时，则MA 垂直于直线l ，即1MA k k ⋅=- ()4,1M ，()3,0A ，10143MA k -∴==-，1k ∴=- 所以当圆M 截直线l 所得弦长最小时，k 的值为1-【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆位置关系的证明、根据直线被圆截得的弦长求解参数值的问题；解题关键是能够明确直线被圆截得的弦所在的直线与直线垂直时,截取的弦长最短，利用两直线垂直求斜率，考查学生的运算能力，属于一般题.19. 已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的菱形，且60ABC ∠=︒，2PA PC ==，PB PD =.（Ⅰ）若O 是AC 与BD 的交点，求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若点M 是PD 的中点，求异面直线AD 与CM 所成角的余弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；10【解析】【分析】（1）连接AC 与BD 交于点O ，可证得PO AC ⊥，PO BD ⊥,从而得证；（2）取PA 的中点N ，连接MN ，则//MN AD ，则NMC ∠就是所求的角（或其补角），根据边长，利用余弦定理求解即可.【详解】（1）连接AC 与BD 交于点O ，连OP . PA PC =，PD PB =，且O 是AC 和BD 的中点，PO AC ∴⊥，PO BD ⊥,AC 和BD 为平面ABCD 内的两条相交直线，PO ∴⊥平面ABCD .（2）取PA 的中点N ，连接MN ，则//MN AD ，则NMC ∠就是所求的角（或其补角）， 根据题意得2,3PA PC AC AB AD PO OD =======所以112MN AD ==，3NC =6PD =所以，2261044MC PC PM =--故22210cos 2MN MC NC NMC MN MC +-∠==⋅20. 设动点(),M x y （0x ≥）到定点()2,0F 的距离比它到y 轴的距离大2.（Ⅰ）求动点M 的轨迹方程C ；（Ⅱ）设过点F 的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，求AOB 面积的最小值.【答案】（Ⅰ）28y x =；（Ⅱ）8.【解析】【分析】（Ⅰ）根据M 的几何性质可得())22220x x y x +=-+≥，化简后可得抛物线的方程.（Ⅱ）设:2l x ty =+，联立直线方程和抛物线方程，消元后可得面积的表达式，从而可求面积的最小值.【详解】（Ⅰ）由题设可得())22220x x y x +=-+≥，整理可得()280y x x =≥.（Ⅱ）设:2l x ty =+， 由228x ty y x=+⎧⎨=⎩可得28160y ty --=，故2212646481y y t t -=+=+ 又2212818182OAB S t t =⨯⨯+=+≥，当且仅当0t =时等号成立， 故AOB 面积的最小值为8.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题，往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式，自变量可以斜率、斜率的倒数或点的横、纵坐标等.而目标函数的最值可以通过常见函数的性质、基本不等式或导数等求得.21. 如图，Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，2BA BC ==，分别过A ，C 作平面ABC 的垂线1A A 和1C C ，12AA =，1CC h =，连结1A C 和1AC 交于点P .（Ⅰ）设点M 为BC 中点，若2h =，求证：直线PM 与平面1A AB 平行；（Ⅱ）设O 为AC 中点，二面角11A AC B --等于45°，求直线OP 与平面1A BP 所成角的大小. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）60︒.【解析】【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判断定理可证明//PM 面1A AB .（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面11AA C 的法向量和平面11A C B 的法向量后利用已知二面角可得2h 的值，再求出OP 和平面1A BP 的法向量后可得线面角的正弦值，从而可求角的大小.【详解】解：（Ⅰ）若2h =，因为1A A ⊥平面ABC ，1C C ⊥平面ABC ，故11//A A C C ，因为112AA CC ==，故P 为1A C 的中点，由中位线知：1//PM A B ，而PM ⊄面1A AB ，1A B ⊂面1A AB ，//PM ∴面1A AB（Ⅱ）以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，过O 与平面ABC 垂直的直线为z 轴建立空间直角坐标系， 则()2,0,0B ，()10,2,2A -，()122,C h ，()2,0C ， ()12,2,2BA =--，()122,2,BC h =-. 设平面11A C A 的法向量为1n ，易得()11,0,0n =，设平面11A C B 的法向量为()2,,n x y z =，由12120,0,BA n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得22220,220,x z x h z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩取1z =，得222,,12222n ⎫=⎪⎝⎭， 12221222cos45162n n n n h ⋅∴︒===+，得21h =. 12A P PC ∴=，1222210,,333OP OA OC ⎛⎫⎛⎫∴=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 设平面1A PB 的法向量，即平面1A BC 的法向量为()3111,,n x y z =，又()2,2,0BC =-. 由13130,0,BA n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得111112220,220,x y z x y ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩取11x =得()31,1,2n =. 设直线OP 与平面1A BP 所成的角为α，02πα<<. 则3323sin 26OP n OP n α⋅===，则60α=︒. 所以直线OP 与平面1A BP 所成的角为60︒.【点睛】方法点睛：.线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.22. 已知椭圆1C 、抛物线2C 的焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 的顶点均为原点O ，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中： x3 -24 y0 -4 （Ⅰ）求12C C 、的标准方程；（Ⅱ）请问是否存在直线l 满足条件：①过2C 的焦点F ；②与1C 交不同两点,M N 、且满足OM ON ⊥？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ），1C ：；（Ⅱ） 22y x =-或22y x =-+ 【解析】【分析】【详解】（Ⅰ）设抛物线，则有，据此验证4个点知（3，）、（4，-4）在抛物线上，易求设1C ：，把点（-2，0）（，）代入得：解得∴1C 方程为（Ⅱ）假设存在这样的直线过抛物线焦点(1,0)F ，设直线的方程为两交点坐标为，由消去，得 ∴①212121212(1)(1)1()x x my my m y y m y y =++=+++② 由OM ON ⊥，即，得 将①②代入（*）式，得，解得 所以假设成立，即存在直线满足条件，且的方程为：22y x =-或22y x =-+ 法二：容易验证直线的斜率不存在时，不满足题意； 当直线斜率存在时，假设存在直线过抛物线焦点(1,0)F ，设其方程为(1)y k x =-，与1C的交点坐标为由221{4(1)x y y k x +==-消掉y ，得2222(14)84(1)0k x k x k +-+-=，于是2122814k x x k +=+，21224(1)14k x x k-=+① 212111212(1)(1)[()1]y y k x k x k x x x x =-⨯-=-++即2222122224(1)83(1)141414k k k y y k k k k -=-+=-+++② 由OM ON ⊥，即，得将①、②代入（*）式，得2222224(1)340141414k k k k k k---==+++，解得2k =±； 所以存在直线满足条件，且的方程为：22y x =-或22y x =-+．。
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷(含解析)
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。
浙江省杭州市高级中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题
浙江省杭州市高级中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知直线:20l ax y +-=在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是（ ） A ．1 B ．-1 C ．-2 D ．22．边长为 ）A．4 B ．1 C．D ．83．已知方程22(1)(3)(1)(3)m x m y m m -+-=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（ ）A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(,1)-∞D ．(3,)+∞4．若实数x ，y 满足约束条件22022x y x y y +-≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则x y -的最大值等于（ ）A ．2B ．1C ．-2D ．-4 5．与直线x+y+3=0平行，且它们之间的距离为的直线方程为（ ）A ．x ﹣y+8=0或x ﹣y ﹣1=0B ．x+y+8=0或x+y ﹣1=0C ．x+y ﹣3=0或x+y+3=0D ．x+y ﹣3=0或x+y+9=06．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>一条渐近线与直线2420x y -+=垂直，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD．7．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 成60°的角；③EF 与MN 是异面直线；④MN ∥CD .其中正确的是( )A ．①②B ．③④C ．②③D ．①③8．过抛物线2:4C y x =的焦点F 作直线l 交抛物线C 于,A B ，若，则l 的斜率是（ ）A B ． C ．D ．9．如图，已知三棱锥D ABC -，记二面角C AB D --的平面角为α，直线DA 与平面ABC 所成的角为β，直线DA 与BC 所成的角为，则（ ）A ．αβ≥B ．αβ≤C ．αγ≥D ．αγ≤10．已知,,A B C 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的三个点，直线AB 经过原点O ，直线AC 经过椭圆右焦点F ，若BF AC ⊥，且4BF CF =，则椭圆的离心率是（ ）A ．2BC D二、填空题11．边长为2的等边三角形绕其一边所在的直线旋转一周得到一个几何体，该几何体的体积是________，该几何体的表面积是________．12．设P 、A 、B 、C 是一个球面上的四个点，P A 、PB 、PC 两两垂直，且1,2PA PB PC ===，则该球的体积为_____.13．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，,,M E F 分别为,,PQ AB BC 的中点，则直线ME 与平面ABCD 所成角的正切值为________；异面直线EM 与AF 所成角的余弦值是________．14．定长是3的线段AB 的两端点在抛物线2y x =上移动，M 是线段AB 的中点，则M 到y 轴距离的最小值是________.15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是AB 中点，F 在1CC 上，且12CF FC =，点P 是侧面11AA D D （包括边界）上一动点，且1//PB 平面DEF ，则tan ABP ∠的取值范围是________.三、双空题16．已知点(),m n 在曲线y =上，则23n m --的取值范围是________，2m n +的最小值为________. 17．若12F F ，是双曲线()22y C :x 1y 024-=≠的左，右焦点，点P 是双曲线C 上一点，若1|PF |6=，则2|PF |=_____，12ΔPFF 的面积12ΔPF F S =______.四、解答题18．已知直线:230m x y --=与直线:30n x y +-=的交点为P ．（1）直线l 过点P ，且点(1,3)A 和点(3,2)B 到直线l 的距离相等，求直线l 的方程； （2）直线1l 过点P 且与,x y 正半轴交于A B 、两点，ABO ∆的面积为4，求直线1l 的方程．19．如图，在三棱锥P ABC -中，BC ⊥平面APC ，AB =2AP PC CB ===.（1）求证：AP ⊥平面PBC ；（2）求二面角P AB C 的大小.20．已知圆M 的半径为3，圆心在x 轴正半轴上，直线3490x y -+=与圆M 相切.（1）求圆M 的标准方程；（2）过点(0,3)N -的直线L 与圆M 交于不同的两点1122(,),(,)A x y B x y ，而且满足221212212x x x x +=，求直线L 的方程. 21．已知等腰梯形ABCD 中（如图1），4AB =，2BC CD DA ===，F 为线段CD 的中点，E 、M 为线段AB 上的点，1AE EM ==，现将四边形AEFD 沿EF 折起（如图2）（1）求证：//AM 平面BCD ；（2）在图2中，若BD =，求直线CD 与平面BCFE 所成角的正弦值.22．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，右焦点为F ，AB 是斜率为(0)k k ≠的弦，AB的中点为E ，AB 的垂直平分线交椭圆于C ，D 两点，CD 的中点为N .当1k =时，直线OE 的斜率为14-（O 为坐标原点）.（1）求椭圆的标准方程；（2）设原点O 到直线AB 的距离为d ，求EN d的取值范围； （3）若直线OA ，直线OB 的斜率满足2(0)OA OB k k k k =⋅>，判断并证明22175AB EN ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是否为定值.参考答案1．A【解析】 试题分析：由题意得，直线的截距式方程为122x y a+=，所以221a a =⇒=，故选A ． 考点：直线的截距式方程的应用．2．C【解析】正方形的边长为故面积为8，而原图和直观图面积之间的关系4S S =直观图原图， 故直观图的面积为= 故选C ．3．B【解析】 方程()()()()221313m x m y m m -+-=--，化为22131x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，可得130m m ->->，解得23m <<，实数m 的取值范围为(2,3），故选B. 4．A【解析】【分析】作出可行域，平移目标函数，找到取最大值的点，然后可求最大值.【详解】根据题意作出可行域如图：平移直线:0l x y -=可得在点A 处取到最大值，联立22020x y x y +-=⎧⎨+-=⎩可得(2,0)A ,代入x y -可得最大值为2，故选A.【点睛】本题主要考查线性规划，作出可行域，平移目标函数，求出最值点是主要步骤，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.5．D【解析】试题分析：设所求直线方程为x+y+m=0，运用两平行直线的距离公式，解关于m 的方程，即可得到所求方程．解：设所求直线方程为x+y+m=0，则由两平行直线的距离公式可得d==3，解得m=9或﹣3．则所求直线方程为x+y ﹣3=0或x+y+9=0，故选D ．考点：两条平行直线间的距离．6．A【解析】【分析】先求得渐近线的方程，利用两条直线垂直斜率相乘等于1-列方程，结合222c a b =+求得双曲线离心率.【详解】由题可知双曲线的渐近线方程为b y x a =±，则112b a -⨯=-，即2b a=，又，所以e ==故选A.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线以及离心率的求法，考查两条有斜率的直线相互垂直时，斜率相乘等于1-，属于基础题.7．D【详解】将展开图还原为正方体，由于EF ∥ND ，而ND ⊥AB ，∴EF ⊥AB ；显然AB 与CM 平行；EF 与MN是异面直线，MN 与CD 也是异面直线，故①③正确，②④错误.8．C【解析】试题分析：由题意得，抛物线2:4C y x =准线方程为:1l x =-，如图所示，当直线AB 的倾斜角为锐角时，分别作点,A B 作,AM l AN l ⊥⊥，垂足为,M N ，过点B 作BC AM ⊥交于点C ，则,AM AF BN BF ==，因为334AF BF AB ==，所以12AM BN AC AF BF AB -==-=，在Rt ABC ∆中，由12AC AB =，可得60BAC ∠=，因为//AM x 轴，所以60BAC AFx ∠=∠=，此时AB k =当直线AB的倾斜角为钝角时，可得AB k =C ．考点：直线与抛物线的综合应用．9．A【分析】不妨设三棱锥D ABC -是棱长为2的正四面体，取AB 中点E ,DC 中点M ,AC 中点N ，连结,,,DE CE MN EN ，过D 作DO CE ⊥，交CE 于O ，连结AO ，则DEC DAO MNE αβγ∠=∠=∠=，，，计算求得其余弦值或者直接求得角的度数，由此能求出结果．【详解】不妨设三棱锥D ABC -是棱长为2的正四面体，取AB 中点E ，DC 中点M ，AC 中点N ，连结DE CE MN EN 、、、，过D 作DO CE ⊥，交CE 于O ，连结AO ，则,,,DEC DAO MNE αβγ∠=∠=∠=2DE CE DC ===，∴13cos α== ，23AO CO CE ===，∴32AO cos AD β===， 取BC 中点F ，连结DF AF 、，则DF BC AF BC ⊥⊥，，又DF AF F ⋂=，BC ∴⊥平面AFD ，90BC AD γ∴⊥∴=︒，． γαβ∴≥≥．一般的，DO DOsin sin DEO sin DAO sin DE DAαβ=∠=≥=∠=， 当α为锐角时，由正弦函数的单调性可得αβ≥，当α为钝角或直角时，由于异面直线所成的角是锐角或直角，此时显然有αβ≥. 由直线DA 与平面ABC 所成的角是与平面内所有直线所成的角中的最小角，可得βγ≤， 由于γ的范围是在β和90︒之间变化，因此α和γ的大小关系不确定. 故A 正确，B,C,D 错误. 故选：A ． 【点睛】本题考查二面角、线面角、异面直线所成角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题． 10．B 【解析】设椭圆的另一个焦点为E ，令|CF|=m ，|BF|=|AE|=4m ， |AF|=2a-4m ，在直角三角形EAC 中，4m 2+（2a-4m +m ）2=（2a-m ）2， 化简可得a=3m ，在直角三角形EAF 中，4m 2+（2a-4m ）2=（2c ）2，即为5a 2=9c 2，可得e=3故选B ．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.11．2π， 【解析】 【详解】试题分析：如图所示，绕AB 所在的直线旋转一周，得到两个相同的圆锥，因为等边三角形的边长为2，所以圆锥的高为1h =，底面半径为r =2l =．所以该几何体的表面积为222S rl ππ=⨯=⨯=；该几何体的体积为2211221233V r h πππ=⨯=⨯⨯⨯=．考点：旋转体的定义及表面积与体积的计算．12 【分析】将三棱锥补成长方体，从而得到外接球的球心为长方体的中心，再利用长方体的体对角线的平方等于三条棱的平方和，即可求得球的半径，从而得到球的体积. 【详解】P 、A 、B 、C 是一个球面上的四个点，P A 、PB 、PC 两两垂直，将三棱锥P ABC -补成长方体，则三棱锥的外接球的球心与长方体的球心为同一个， 都是长方体体对角线的中点，设球的半径为R ，∴222223(2)62R PA PB PC R =++=⇒=，∴3443332V R ππ=⋅⋅=⋅⋅=.. 【点睛】本题考查三棱锥与球的切接问题、球的体积计算，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意补形法的应用. 13【详解】试题分析：由,,AB AD AQ 两两垂直，分别以,,AB AD AQ 所在的直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设2AB =，则(0,0,0),(1,0,0),(2,1,0),(0,1,2)A E F M ，所以(1,1,2),(2,1,0)EM AF =-=，其中平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)n =，所以ME 与平面ABCD 所成角的正弦值为6sin 3EM nEM nα⋅==⋅，所以tan α=EM与AF 所成角的余弦值为cos EM AF EM AFβ⋅=⋅30=-，又(0,]2πβ∈，所以异面直线EM 与AF 所成角的余弦值是30．考点：空间向量的运算及空间角的求解． 14．54【分析】由抛物线定义可求得1212AF BF x x +=++，根据AF BF AB +≥可求得12x x +的最小值，由所求距离为122x x +可确定所求距离的最小值. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y由抛物线方程知焦点1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为：14x =-由抛物线定义知：114AF x =+，214BF x =+ 3AF BF AB +≥=（当且仅当,,A F B 三点共线时取等号） 即12132x x ++≥，解得：1252x x +≥ AB 中点M 到y 轴距离为12524x x d +=≥，故所求最小值为54 故答案为：54【点睛】本题考查直线与抛物线综合应用中的距离最值问题的求解，关键是能够熟练应用抛物线的定义得到,AF BF 的长，根据三角形两边之和大于第三边可确定三点共线时取最小值.15．13⎡⎢⎣⎦【分析】先作出平面1//MNQB 平面DEF ，结合题意，得到点P 的轨迹是线段QN ，分别求出点P 与点Q ，点N 重合时，tan ABP ∠的值，即可得出结果. 【详解】作出平面1//MNQB 平面DEF ，则12AQ AQ =，12DN D N =， 因为1//PB 平面DEF ，所以点P 的轨迹是线段QN ，因此，当点P 运动到点Q 处时，tan ABP ∠取得最小值，此时1tan 3AQ ABP AB ∠==； 当点P 运动到点N 处时，tan ABP ∠取得最大值，此时tan 3ANABP AB∠===； 所以tan ABP ∠的取值范围是1,33⎡⎢⎣⎦.故答案为：133⎡⎢⎣⎦.【点睛】本题主要考查由线面平行求角的问题，熟记线面平行的性质即可，属于常考题型. 16．[]0,2； 2-. 【分析】根据题意，得到曲线表示圆224x y +=的一半，画出图形，根据23n m --表示点(3,2)与点(),m n 连线的斜率，结合图形即可得出结果；记(,)x y是曲线y =2t x y =+，根据图像求出最小值，即可得出2m n +的最小值.【详解】因为曲线y =224(0)x y y +=≥，表示圆224x y +=的一半，画出图形如下：式子23n m --表示点(3,2)与点(),m n 连线的斜率， 根据图像可得：半圆上的点(0,2)与点(3,2)连线的斜率最小为0， 半圆上的点(2,0)与点(3,2)连线的斜率最大为2； 所以23n m --的取值范围是[]0,2；记(,)x y 是曲线y =2t x y =+，则122t y x =-+， 所以2t x y =+表示直线122ty x =-+在y 轴截距的2倍， 由图像可得：当直线122ty x =-+经过点(2,0)-时，该直线在y 轴截距最小，此时min 2t =-；又点(),m n 在曲线y =上，所以2m n +的最小值等于min 2t =-.故答案为：[]0,2；2-. 【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，只需结合图像，以及所求式子的几何意义即可求解，属于常考题型. 17．8 24 【解析】根据双曲线的概念得到若1|PF |6=，则122||PF |PF 2a 2|PF 48-==⇒=或，因为y 0≠，而当P 点落在ｙ轴上时才会有2|PF |4=，故舍掉．最终2|PF |8=．因为三角形12PF F 是直角三角形，故12ΔPF F S =16824.2⨯⨯= 故答案为(1). 8 (2). 24.18．（1）240x y +-=或2x =；（2）122y x =-+． 【详解】试题分析：首先解方程组得到交点P 的坐标，由点(1,3)A 和点(3,2)B 到直线l 的距离相等可知直线AB 与直线l 平行或l 过AB 中点，由此可求得直线l 方程；（2）设出直线的截距式方程，由点的坐标和三角形面积可求得关于截距的方程组，解方程组求得截距值，从而得到直线方程试题解析：（1）直线:230m x y --=与直线:30n x y +-=联立方程可得交点()2,1P ；点(1,3)A 和点(3,2)B 到直线l 的距离相等，所以321132AB l k k -===--或直线l 过AB 中点52,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以直线l 方程为240x y +-=或2x = （2）由题可知，直线1l 的横、纵截距a b 、存在，且00a b >>、，则1:1x yl a b+=，又1l 过点(2,1)，ABO ∆的面积为4，∴211{142a bab +==，解得4{2a b ==，故1l 方程为142x y +=，即122y x =-+．考点：直线方程 19．（1）见解析；（2）3π. 【分析】（1）根据题中条件，证明BC AP ⊥，AP PC ⊥，再由线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；（2）在平面APC 内作PQ AC ⊥于Q ，过点Q 作QR AB ⊥于R ，连结PR ，根据线面垂直的判定定理与性质定理，得到AB PR ⊥，推出PRQ ∠即为二面角P AB C ，再由题中数据，即可求解. 【详解】（1）因为BC ⊥平面APC ，所以BC AC ⊥，BC AP ⊥，因为2CB =，AB =AC ==； 又2AP PC ==，所以222AP PC AC +=，即AP PC ⊥； 又BC PC C ⋂=，且PC ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以AP ⊥平面PBC ；（2）因为BC ⊥平面APC ，所以平面ABC ⊥平面APC ，在平面APC 内作PQ AC ⊥于Q ，则PQ ⊥平面ABC ，所以PQ AB ⊥； 过点Q 作QR AB ⊥于R ，连结PR ，因为QR PQ Q ⋂=，且PQ ⊂平面PQR ，RQ ⊂平面PQR ， 所以AB ⊥平面PQR ，因此AB PR ⊥， 则PRQ ∠即为二面角P AB C ，在RT APC 中，AP PC PQ AC ⋅==RT ABC 中，BC AQ QR AB ⋅== 所以tan 3PQPRQ QR∠==， 从而二面角PAB C 的大小为3π.【点睛】本题主要考查证明线面垂直，求二面角的大小，熟记线面垂直的判定定理与性质定理，以及二面角的几何求法即可，属于常考题型.20．(1) （x ﹣2）2+y 2=9 (2) x ﹣y ﹣3=0，17x ﹣7y ﹣21=0，x=0 【解析】 试题分析：（1）可设圆心坐标为(,0)(0)a a >，由直线与圆相切，知圆心M 到切线的距离等于半径，可求得a ，从而得圆的标准方程；（2）注意分类讨论，当直线l 斜率不存在时，代入求出A 、B 两点坐标，检验是否符合题意；当直线l 斜率存在时，设斜率为k ，得直线方程为3y kx =-，代入圆的方程，由韦达定理得1212,x x x x +，代入已知等式221212212x x x x +=可求得k 的值，从而得直线方程． 试题解析：（I ）设圆心为M （a ，0）（a ＞0）， ∵直线3x ﹣4y +9=0与圆M 相切 ∴=3．解得a=2，或a=﹣8（舍去），所以圆的方程为：（x ﹣2）2+y 2=9（II ）当直线L 的斜率不存在时，直线L ：x=0，与圆M 交于A （0，），B （0，﹣）， 此时+=x 1x 2=0，所以x=0符合题意 当直线L 的斜率存在时，设直线L ：y=kx ﹣3， 由消去y ，得（x ﹣2）2+（kx ﹣3）2=9，整理得：（1+k 2）x 2﹣（4+6k ）x +4=0.........................................................（1） 所以由已知得：整理得：7k 2﹣24k +17=0，∴把k 值代入到方程（1）中的判别式△=（4+6k ）2﹣16（1+k 2）=48k +20k 2中，判别式的值都为正数，所以，所以直线L 为：，即x ﹣y ﹣3=0，17x ﹣7y ﹣21=0综上：直线L 为：x ﹣y ﹣3=0，17x ﹣7y ﹣21=0，x=0点睛：在直线与圆相切时，一般都用圆心到切线的距离等于圆的半径来求解，这样可以简化计算．在解决直线与圆（二次曲线）相交问题时，一般设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，把直线方程与圆的方程联立后得一元二次方程，然后利用韦达定理得出1212,x x x x +，再由交点满足的条件得出坐标的关系，代入1212,x x x x +可得参数值．这就是解析几何中的“设而不求”思想．21．（1）见解析；（2【分析】（1）先连接CM ，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；（2）在图2中，过点D 作DO EF ⊥，垂足为O ，连接OB ，OC ，证明平面BCFE ⊥平面BOD ，得到点D 在底面BCFE 上的投影必落在直线OB 上，记H 为点D 在底面BCFE 上的投影，连接DH ，HC ，得出DCH ∠即是直线CD 与平面BCFE 所成角，再由题中数据求解，即可得出结果. 【详解】（1）连接CM ，因为等腰梯形ABCD 中（如图1），2AM AE EM CD =+==，//AB CD ， 所以AM 与CD 平行且相等，即四边形AMCD 为平行四边形；所以//AD CM ； 又F 为线段CD 的中点，E 为AM 中点，易得：四边形AEFD 也为平行四边形，所以//AD EF ；将四边形AEFD 沿EF 折起后，平行关系没有变化，仍有：//AD CM ，且AD CM =， 所以翻折后四边形AMCD 也为平行四边形；故//AM CD ； 因为AM ⊄平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 所以//AM 平面BCD ；（2）在图2中，过点D 作DO EF ⊥，垂足为O ，连接OB ，OC ，因为2AD =，1AE =，翻折前梯形ABCD 的高为FM DE ==所以60DAE DFE ∠=∠=，则3sin 60DO DF =⋅=，1cos602OF DF =⋅=；所以32OE EF OF =-=； 又3BE EM MB =+=，60FEM DFE ∠=∠=，所以360BO ==222BO OE BE +=，所以BO OE ⊥； 又DO BO O ⋂=，且DO ⊂平面BOD ，BO ⊂平面BOD ， 所以EO ⊥平面BOD ；因此，平面BCFE ⊥平面BOD ； 所以点D 在底面BCFE 上的投影必落在直线OB 上； 记H 为点D 在底面BCFE 上的投影，连接DH ，HC ， 则DH ⊥平面BCFE ；所以DCH ∠即是直线CD 与平面BCFE 所成角，因为BD =2221cos 23OB OD BD BOD OB OD +-∠==⋅，因此sin DH DO DOB =⋅∠=，1cos 3OH DO DOB =⋅∠=故BH BO OH =-=； 因为120OFC EFC FCB ∠=∠=∠=，所以3601201209030HBC OBC ∠=∠=---=，因此CH =，故CD ==所以sin DH DCH CD ∠==.即直线CD 与平面BCFE 所成角的正弦值为3.【点睛】本题主要考查证明线面平行，以及求直线与平面所成的角，熟记线面平行的判定定理，以及线面角的求法即可，属于常考题型.22．（1）2214x y +=；（2）16,125⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（3）是定值，证明过程见解析. 【分析】（1）先设11(,)A x y ，22(,)B x y ，根据题意，得到22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差，根据弦中点的坐标，由题意，求出224a b =，再根据焦点坐标，得到c =即可求出结果；（2）先设直线AB 的方程为：y kx m =+，与椭圆方程联立，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 根据韦达定理，求出224,1414mkm k k E ⎛-++⎫⎪⎝⎭，得到CD 的方程为：22141414m mkyx k k k，与椭圆方程联立，设33(,)C x y ，44(,)D x y ， 求出22222123,144144mkmk Nk k kk ，表示出(()()22241144m k EN kk +=++，根据点到直线距离公式，表示出d ，进而可根据换元法求取值范围；（3）根据（2）的结果，由2(0)OA OB k k k k =⋅>，求出214k =，再由弦长公式，分别求出AB 与EN ，进而可得出结果.【详解】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由题意，22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差，得22221212220x x y y a b --+=， 整理得：2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，又AB 是斜率为(0)k k ≠的弦，AB 的中点为E ，当1k =时，直线OE 的斜率为14-， 所以212212N N x y y b y k x x a =⋅--=-，即222222141N N OE x b b b a a k ay -⋅=-⋅==，即224a b =①，又椭圆右焦点为F，所以c = 由①②解得：24a =，21b =，因此，椭圆的标准方程为2214x y +=；（2）设直线AB 的方程为：y kx m =+，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得，222(14)8440k x kmx m +++-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12221228144414mk x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以212228221414mk my y mk k ，故224,1414mk m k k E ⎛-++⎫ ⎪⎝⎭， 因为CD 是AB 的垂直平分线，所以CD 的方程为：22141414m mkyx k kk ，即21314myx k k，由222131414m y x k k x y ⎧=--⎪⎪+⎨⎪+=⎪⎩消去y 得，()()22222242436(1)401414m m x x k k k k +++-=++， 设33(,)C x y ，44(,)D x y ， 则342224144mkx x k k ，所以23422222246614144144m m mk y y k k k k k ，即CD 的中点N 的坐标为22222123,144144mk mk k k k k ，因此()()2222412141144E N EN x mk m x k k k k k =-=+-++++ (()()22241144m k kk +++=又原点O 到直线AB 的距离d =所以()()()222241144k k kEN d+=++，令21(1)t k t =+>，则()()22244416,1994332511254924t t t t t t ENd ⎡⎫==∈⎪⎢-+⎣⎭⎛⎫-++--+ ⎪⎝⎭=；（3）由（2）可得：2222121212122414m k y y kx m kx mk x x km x x mk ，所以2222212221224414444414OA OBm k m k k m m k y y k k x x ⋅===--+--+， 因为直线OA ，直线OB 的斜率满足2(0)OA OB k k k k =⋅>，所以2222444m k m k -=-，整理得：214k =，所以12212422x x mk x x m +=-⎧⎨=-⎩，所以2222212125114168810544ABk x x x x m mm ，(()()()222411441144m E k k k N +==++++ ⎪⎝⎭=， 因此222222105105510171755m m AB m EN ⎛=-+=-⎛⎫++ ⎪ ⎝⎭=⎭⎝. 即22175AB EN ⎛⎫+ ⎪⎝⎭取定值10.【点睛】本题主要考查求椭圆的方程，椭圆中的范围，以及定值问题，熟记椭圆的标准方程的求法，中点弦问题，椭圆的性质，根据韦达定理，弦长公式等即可求解，难度较大.。
浙江省杭州市七县区2021-2022高二数学上学期期末考试试题.doc
浙江省杭州市七县区2021-2022高二数学上学期期末考试试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知平面中的两点F1(－2，0)，F2(2，0)，则满足{M|121MF MF-=}的点M的轨迹是A.椭圆B.双曲线C.一条线段D.两条射线2.在空间直角坐标系中，与点A(1，2，3)关于平面xoy对称的点的坐标是A.(1，2，－3)B.(－1，－2，－3)C.(－1，－2，3)D.(1，－2，3)3.直线y＝x＋1被圆x2＋y2＝2截得的弦长为A.2B.22C.6D.264.某四棱锥的三视图如图1所示，则该几何体的体积为A.643B.323C.163D.835.已知直线l和平面α内的两条直线m，n，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知P，Q分别为直线l1：3x＋4y－4＝0与l2：3x＋4y＋1＝0上的两个动点，则线段PQ的长度的最小值为A.35B.1C.65D.27.如图2，在正四面体OABC中，D是OA的中点，则BD与OC所成角的余弦值是A.12B.36C.22D.3368.棱长都相等的正三棱柱ABC－A'B'C'中，P是侧棱AA'上的点(不含端点)。
记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与底面ABC所成的角为β，二面角P－B'B－C的平面角为γ，则A.γ<β<αB.γ<α<βC.β<γ<αD.α<β<γ9.在平面直角坐标系中，Q是圆O：x2＋y2＝9上的动点，满足条件|MO|＝2|MQ|的动点M构成集合D，则集合D中任意两点间的距离d的最大值为A.4B.4210.已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆4x2＋y2＝1上两个不同点，且满足4x1x2＋y1y2＝12，则|2x1＋y1－1|＋|2x2＋y2－1|的最大值为6－6＋6二、填空题(单空题每题4分，双空题每题6分，共28分)11.双曲线22197x y+=的离心率为，渐近线方程为。
2020-2021学年浙江省杭州市西湖高级中学高二上学期期末考试数学试题 Word版
杭州市西湖高级中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题卷考生须知：1．全卷分试卷和答题卷，考试结束后，将答题卷上交。
2．试卷共4页，有3大题，22小题。
满分150分，考试时间120分钟。
3．答题前，请务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
4．请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效。
作图时先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。
选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在下列命题中,不是．．公理的是( ▲ ) A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 2.“21a =”是“直线0=+y x 和直线0x ay -=互相垂直”的 （▲） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知坐标平面上的两点)0,1(-A 和)0,1(B ，动点P 到A 、B 两点距离之和为常数2,则 动点P 的轨迹是（▲）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 是正方形ABCD 的中心,则直线A 1D 与直线B 1M 所成角大小为（▲） A ．300 B ． 450 C ． 600 D ．900 5.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0) 画该四面体三视图中的正视图时,以z O x 平面为投影面,则得到的正视图可以为( ▲ )6.已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上.若AB=3,AC=4,AB ⊥AC,AA 1=12,则球O 的表面积为( ▲ ) A. π153B. π160C. π169D. π3607.设n m ,是两条不同的直线, βα,是两个不同的平面.下列命题中正确的是( ▲ ) A.若βn αm βα⊂,⊂,⊥,则n m ⊥ B.若βn αm βα⊂,⊂,//,则n m // C.若βn αm n m ⊂,⊂,⊥,则βα⊥ D.若βn n m αm //,//,⊥,则βα⊥8．设F 是双曲线C ：221169x y -=的右焦点,l 是双曲线C 的一条渐近线,过F 作一条直线垂直与l ,垂足为P ,则sin OFP ∠的值为（▲） A ．53 B ．54 C ．45 D ．35 9．设O 为坐标原点,12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,若在椭圆上存在点P 满足123F PF π∠=,且3||OP a =,则该椭圆的离心率为（▲） A ．12 B ．14 C ．31- D ．2 10．已知直线:60l x y +-=和圆M ：222220x y x y +---=,点A 在直线l 上,若直 线AC 与圆M 至少有一个公共点C ,且30MAC ∠=,则点A 的横坐标的取值范围是（▲） A ．(0,5) B ．[1,5] C ． [1,3] D ．(0,3]非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．在空间直角坐标系O-XYZ 中,点A （1,2,2）,则|OA|= ▲ ,点A 到坐标平面YOZ 的距离 ▲. 12．若直线l 与直线7,1==x y 分别交于点Q P ,,且线段PQ 的中点坐标为)1,1(-,则直线l 的斜率为_▲_.13.直线l 过抛物线28y x =的焦点F ,且与抛物线交于,A B 两点,若线段AB 的中点到y 轴的距离是2,则||AB =__ ▲ __.14．已知a ∈R ,方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆,则圆心坐标是__▲_,半径是__▲__． 15．某几何体的三视图如图1-2所示(单位：cm),则该几何体的表面积是__▲__cm 2,体积是__▲__cm 3.图1-216.已知直线l :2mx+(1-m 2)y-m-1=0,当实数m 变化时,原点O 到直线距离的最大值为 ▲ ；平面内所有恒不在l 上的点(x,y)所形成的图形面积为 ▲ .17．已知正ABC ∆的顶点A 在平面α上,顶点B 、C 在平面α的同一侧,D 为BC 的中点,若ABC ∆在平面α上的投影是以A 为直角顶点的三角形,则直线AD 与平面α所成角的正弦值的最小值为___▲__．三、解答题:本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．(本题满分14分）已知直线03:=--k y kx l 与圆M ：092822=+--+y x y x . （I ）求证：直线l 必过定点,并求该定点；（II ）当圆M 截直线l 所得弦长最小时,求k 的值. 19．(本题满分15分）已知四棱锥P ABCD -的底面是边长 为2的菱形,且060,2,ABC PA PC ∠===PB PD =． （I ）若O 是AC 与BD 的交点,求证：PO ⊥平面ABCD ； （II ）若点M 是PD 的中点,求异面直线AD 与CM 所成角的 余弦值．20．(本题满分15分）设动点()()0,≥x y x M 到定点()0,2F 的距离比它到y 轴的距离大2. （Ⅰ）求动点M 的轨迹方程C ；（Ⅱ）设过点F 的直线l 交曲线C 于B A ,两点,O 为坐标原点,求AOB ∆面积的最小值.21．(本题满分15分）如图,Rt ABC ∆中,90,2ABC BA BC ∠=︒==,分别过,A C 作平面ABC 的垂线A 1A 和C 1C,AA 1=2,CC 1=h,连结A 1C 和AC 1交于点P .（Ⅰ）设点M 为BC 中点,若2h =,求证：直线PM 与平面A 1AB 平行；（Ⅱ）设O 为AC 中点,二面角A-A 1C 1-B 等于45︒,求直线OP 与平面A 1BP 所成角的大小.22．（本小题满分15分）已知椭圆1C 、抛物线2C 的焦点均在x 轴上,1C 的中心和2C 的顶点均为原点O ,从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中：x3-242y32--422（Ⅰ）求12C C 、的标准方程； （Ⅱ）请问是否存在直线l 满足条件：①过2C 的焦点F ；②与1C 交不同两点,M N 、且满足OM ON ⊥？ 若存在,求出直线l 的方程；若不存在,说明理由．2020学年第一学期高二期末考试数学答案数学答案及评分标准一、选择题：（本大题有10小题，每小题4分，共40分。
2020-2021杭州市高二数学上期末模拟试题带答案
2020-2021杭州市高二数学上期末模拟试题带答案一、选择题1．口袋里装有大小相同的5个小球，其中2个白球，3个红球，现一次性从中任意取出3个，则其中至少有1个白球的概率为（ ） A ．910B ．710C ．310D ．1102．执行如图的程序框图，如果输入72m =，输出的6n =，则输入的n 是（ ）A ．30B ．20C ．12D ．83．如果数据121x +、221x +、L 、21n x +的平均值为5，方差为16，则数据：153x -、253x -、L 、53n x -的平均值和方差分别为（ ）A ．1-，36B ．1-，41C ．1，72D ．10-，1444．某市委积极响应十九大报告提出的“到2020年全面建成小康社会”的目标，鼓励各县积极脱贫，计划表彰在农村脱贫攻坚战中的杰出村代表，已知A ，B 两个贫困县各有15名村代表，最终A 县有5人表现突出，B 县有3人表现突出，现分别从A ，B 两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是（ ） A ．13B ．47C ．23D ．565．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A．1B．-1C．0D．-26．设A为定圆C圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A2倍的概率（）A．34B．35C．13D．127．在长为10cm的线段AB上任取一点C，作一矩形，邻边长分別等于线段AC、CB的长，则该矩形面积小于216cm的概率为（）A．23B．34C．25D．138．已知线段MN的长度为6，在线段MN上随机取一点P，则点P到点M，N的距离都大于2的概率为()A．34B．23C．12D．139．甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面，并约定甲若早到应等乙半小时，而乙还有其他安排，若他早到则不需等待，则甲、乙两人能见面的概率（）A．38B．34C．35D．4510．执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A．10 B．17 C．19 D．3611．已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为( )A．92，94B．92，86C．99，86D．95，9112．有一个容量为200的样本，样本数据分组为[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150)，其频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在区间[90,110)内的频数为（）A．48B．60C．64D．72二、填空题13．执行如图所示的程序框图若输人x的值为3，则输出y的值为______．14．农历戊戌年即将结束，为了迎接新年，小康、小梁、小谭、小刘、小林每人写了一张心愿卡，设计了一个与此心愿卡对应的漂流瓶.现每人随机的选择一个漂流瓶将心愿卡放入，则事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”的概率为___15．为调查某校学生每天用于课外阅读的时间，现从该校名学生中随机抽取名学生进行问卷调查，所得数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示，则估计该校学生中每天用于阅读的时间在(单位：分钟)内的学生人数为____．16．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为_____．17．变量X与Y相对应的5组数据和变量U与V相对应的5组数据统计如表：X1011.311.812.513U1011.311.812.513 Y12345V54321用b 1表示变量Y 与X 之间的回归系数，b 2表示变量V 与U 之间的回归系数，则b 1与b 2的大小关系是___．18．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为______．19．在区间[]0,2中随机地取出一个数x ，则sin 6x π>的概率是__________．20．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程ˆ35yx =-，若变量x 增加一个单位时，则y 平均增加5个单位； ③线性回归方程^^^y b x a =+所在直线必过(),x y ； ④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；⑤在一个22⨯列联表中，由计算得213.079K =，则其两个变量之间有关系的可能性是0090.其中错误的是________．三、解答题21．某电子科技公司由于产品采用最新技术，销售额不断增长，最近5个季度的销售额数据统计如下表（其中20181Q 表示2018年第一季度，以此类推）： 季度 20181Q 20182Q 20183Q 20184Q 20191Q季度编号x 1 2345销售额y （百万元）4656 67 86 96（1）公司市场部从中任选2个季度的数据进行对比分析，求这2个季度的销售额都超过6千万元的概率；（2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司20193Q 的销售额.附：线性回归方程：y bx a =+$$$其中()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---⋅==--∑∑∑∑$，$$a y bx=-$ 参考数据：511183i ii x y==∑.22．随着经济的发展，轿车已成为人们上班代步的一种重要工具.现将某人三年以来每周开车从家到公司的时间之和统计如图所示.（1）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在[)6.5,7.5（时）内的频率； （2）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和的平均数（每组取该组的中间值作代表）；（3）以频率估计概率，记此人在接下来的四周内每周开车从家到公司的时间之和在[)4.5,6.5（时）内的周数为X ，求X 的分布列以及数学期望.23．2018年中秋节到来之际，某超市为了解中秋节期间月饼的销售量，对其所在销售范围内的1000名消费者在中秋节期间的月饼购买量(单位：g)进行了问卷调查，得到如下频率分布直方图：()1求频率分布直方图中a 的值；()2以频率作为概率，试求消费者月饼购买量在600g 1400g ～的概率；()3已知该超市所在销售范围内有20万人，并且该超市每年的销售份额约占该市场总量的5%，请根据这1000名消费者的人均月饼购买量估计该超市应准备多少吨月饼恰好能满足市场需求(频率分布直方图中同一组的数据用该组区间的中点值作代表)？24．某中学随机选取了40名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．观察图中数据，完成下列问题．（Ⅰ）求a 的值及样本中男生身高在[]185,195（单位:cm ）的人数；（Ⅱ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高；（Ⅲ）在样本中，从身高在[)145,155和[]185,195（单位:cm ）内的男生中任选两人，求这两人的身高都不低于185cm 的概率．25．在最强大脑的舞台上，为了与国际X 战队PK ，假设某季Dr.魏要从三名擅长速算的选手A 1,A 2,A 3，三名擅长数独的选手B 1,B 2,B 3，两名擅长魔方的选手C 1,C 2中各选一名组成中国战队.假定两名魔方选手中更擅长盲拧的选手C 1已确定入选，而擅长速算与数独的选手入选的可能性相等. (Ⅰ)求A 1被选中的概率； (Ⅱ)求A 1,B 1不全被选中的概率.26．一个盒子中有5只同型号的灯泡，其中有3只一等品，2只二等品，现在从中依次取出2只，设每只灯泡被取到的可能性都相同，请用“列举法”解答下列问题： （Ⅰ）求第一次取到二等品，且第二次取到的是一等品的概率； （Ⅱ）求至少有一次取到二等品的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】根据题意,求出总的基本事件数和至少有1个白球包含的基本事件数,然后利用古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】由题意可知,从5个大小相同的小球中,一次性任意取出3个小球包含的总的基本事件数为n =35C 10=,一次性任意取出的3个小球中,至少有1个白球包含的基本事件数为122123239m C C C C =+=,由古典概型的概率计算公式得,一次性任意取出的3个小球中,至少有1个白球的概率为910m P n ==. 故选:A 【点睛】本题考查利用组合数公式和古典概型的概率计算公式求随机事件的概率；正确求出总的基本事件数和至少有1个白球包含的基本事件数是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.2．A解析：A 【解析】从流程图看，该程序是利用辗转相除法计算,m n 的最大公约数.题设中已知72m =，输入的数为n ，程序给出了它们的最大公约数为6，比较四个数，只有72,30的最大公约数为6，故输入的数n 的值为30，选A. 3．A解析：A 【解析】 【分析】计算出数据1x 、2x 、L 、n x 的平均值x 和方差2s 的值，然后利用平均数和方差公式计算出数据153x -、253x -、L 、53n x -的平均值和方差. 【详解】设数据1x 、2x 、L 、n x 的平均值为x ，方差为2s ， 由题意()()()()121221212121215n n x x x x x x x nn++++++++=+=+=L L，得2x =，由方差公式得()()()()()()22212212121212121n x x x x x x n⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-+++-++++-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦L ()()()2221224416n x x x x x x s n⎡⎤-+-++-⎢⎥⎣⎦===L ，24s ∴=. 所以，数据153x -、253x -、L 、53n x -的平均值为()()()12535353n x x x n-+-+-L ()1235535321n x x x x n+++=-=-=-⨯=-L，方差为()()()()()()22212535353535353n x x x x x x n⎡⎤⎡⎤⎡⎤---+---++---⎣⎦⎣⎦⎣⎦L ()()()2221229936n x x x x x x s n⎡⎤-+-++-⎢⎥⎣⎦===L . 故选：A. 【点睛】本题考查平均数与方差的计算，熟练利用平均数与方差的公式计算是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.4．B解析：B 【解析】 【分析】由古典概型及其概率计算公式得：有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是6041057=，得解． 【详解】由已知有分别从A ，B 两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则共有111115*********C C C C ⋅-⋅=种不同的选法，又已知有人表现突出，且B 县选取的人表现不突出，则共有1151260C C ⋅=种不同的选法，已知有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是6041057=. 故选：B ． 【点睛】本题考查条件概率的计算，考查运算求解能力，求解时注意与古典概率模型的联系.5．B解析：B 【解析】【分析】由题意结合流程图运行程序，考查5i >是否成立来决定输出的数值即可. 【详解】结合流程图可知程序运行过程如下： 首先初始化数据：1,2i S ==， 此时不满足5i >，执行循环：111,122S i i S =-==+=； 此时不满足5i >，执行循环：111,13S i i S=-=-=+=； 此时不满足5i >，执行循环：112,14S i i S=-==+=； 此时不满足5i >，执行循环：111,152S i i S =-==+=； 此时不满足5i >，执行循环：111,16S i i S=-=-=+=； 此时满足5i >，输出1S =-. 本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查循环结构流程图的识别与运行过程，属于中等题.6．D解析：D 【解析】 【分析】先找出满足条件弦的长度超过2R 的图象的测度，再代入几何概型计算公式求解，即可得到答案． 【详解】根据题意可得，满足条件：“弦的长度超过2R 对应的弧”，其构成的区域为半圆»NP, 则弦长超过半径2倍的概率»12NP P ==圆的周长，【点睛】本题主要考查了几何概型的概率计算中的“几何度量”，对于几何概型的“几何度量”可以线段的长度比、图形的面积比、几何体的体积比等，且这个“几何度量”只与“大小”有关，与形状和位置无关，着重考查了分析问题和解答问题的能力．7．C解析：C 【解析】 【分析】根据几何概型的概率公式，设AC ＝x ，则BC ＝10﹣x ，由矩形的面积S ＝x （10﹣x ）＜16可求x 的范围，利用几何概率的求解公式求解． 【详解】设线段AC 的长为xcm ，则线段CB 长为(10)cm x -， 那么矩形面积为(10)16x x -<，2x <或8x >，又010x <<， 所以该矩形面积小于216cm 的概率为42105=. 故选：C 【点睛】本题考查几何概型，考查了一元二次不等式的解法，明确测度比为长度比是关键，是中档题．8．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意画出图形，结合图形即可得出结论． 【详解】 如图所示，线段MN 的长度为6，在线段MN 上随机取一点P ， 则点P 到点M ，N 的距离都大于2的概率为2163P ==． 故选D ． 【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．9．A解析：A 【解析】设甲到达时刻为x ，乙到达时刻为y ，依题意列不等式组为{0.50,1y xx y x y ≥+≥≤≤，画出可行域如下图阴影部分，故概率为11138218--=.10．C解析：C 【解析】试题分析：该程序框图所表示的算法功能为：235919S =+++=，故选C ．考点：程序框图． 11．B解析：B 【解析】由茎叶图可知，中位数为92，众数为86. 故选B.12．B解析：B 【解析】 【分析】由(0.00500.00750.01000.0125)201a ++++⨯=，求出a ，计算出数据落在区间[90,110)内的频率，即可求解.【详解】由(0.00500.00750.01000.0125)201a ++++⨯=, 解得0.015a =，所以数据落在区间[90,110)内的频率为0.015200.3⨯=， 所以数据落在区间[90,110)内的频数2000.360⨯=， 故选B. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，频率、频数，属于中档题.二、填空题13．63【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y 的值模拟程序的运行过程分析循环中各变量值的变化情况可得答案【详解】解：模拟程序的运行可得x=3y=7不满足条件|解析：63 【解析】 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】解：模拟程序的运行，可得 x=3 y=7不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=7，y=15 不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=15，y=31 不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=31，y=63 此时，满足条件|x-y|＞31，退出循环，输出y 的值为63． 故答案为63． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．14．【解析】【分析】基本事件总数事件至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶包含的基本事件个数由此能求出事件至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶的概率【详解】为了迎接新年小康小梁小谭小刘小林每人写了一张心愿卡设计了 解析：31120【解析】 【分析】基本事件总数55n A =，事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”包含的基本事件个数21335255m C C C C =++，由此能求出事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”的概率．【详解】为了迎接新年，小康、小梁、小谭、小刘、小林每人写了一张心愿卡， 设计了一个与此心愿卡对应的漂流瓶．现每人随机的选择一个漂流瓶将心愿卡放入，基本事件总数55120n A ==，事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”包含的基本事件个数2133525531m C C C C =++=，∴事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”的概率为31120m p n ==，故答案为31120． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．900【解析】【分析】利用频率分布直方图中频率和为1求a 值根据7080）的频率求出在此区间的人数即可【详解】由1﹣005﹣035﹣02﹣01＝03故a ＝003故阅读的时间在7080）（单位：分钟）内 解析：【解析】 【分析】利用频率分布直方图中频率和为1求a 值，根据[70，80）的频率求出在此区间的人数即可． 【详解】由1﹣0.05﹣0.35﹣0.2﹣0.1＝0.3， 故a ＝0.03，故阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的学生人数为：0.3×3000＝900， 故答案为：900． 【点睛】本题考查频率分布直方图中的有关性质的应用，考查直方图中频率和频数的求法.16．8【解析】【分析】根据程序框图知该程序的功能是计算并输出变量的值模拟程序的运行过程即可求解【详解】当时满足循环条件当时满足循环条件当时满足循环条件；当时不满足循环条件跳出循环输出故填【点睛】本题主要解析：8 【解析】 【分析】根据程序框图知，该程序的功能是计算并输出变量s 的值，模拟程序的运行过程即可求解. 【详解】当2i =时，满足循环条件，2,4,2s i k ===， 当4i =时，满足循环条件，4,6,3s i k === ， 当6i =时，满足循环条件，8,8,4s i k ===； 当8i =时，不满足循环条件，跳出循环，输出8s =. 故填8. 【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题.17．【解析】分析：根据回归系数几何意义得详解：因为Y 与X 之间正增长所以因为V 与U 之间负增长所以因此点睛：函数关系是一种确定的关系相关关系是一种非确定的关系事实上函数关系是两个非随机变量的关系而相关关系是解析：12b b >. 【解析】分析：根据回归系数几何意义得120b b >> 详解：因为Y 与X 之间正增长，所以10b > 因为V 与U 之间负增长，所以20b < 因此120b b >>，点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求$,a b$，写出回归方程，回归直线方程恒过点(,)x y .b $的正负，决定正相关与负相关.18．【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值模拟程序的运行过程分析循环中各变量值的变化情况可得答案【详解】模拟程序的运行可得满足条件执行循环体满足条件执行循 解析：7【解析】 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】模拟程序的运行，可得1S =，1i =满足条件4i <，执行循环体，2S =，2i = 满足条件4i <，执行循环体，4S =，3i = 满足条件4i <，执行循环体，7S =，4i =此时，不满足条件4i <，退出循环，输出S 的值为7． 故答案为7． 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.19．【解析】分析：根据几何概型的概率公式即可得到结论详解：区间的两端点间距离是2在区间内任取一点该点表示的数都大于故在区间中随机地取出一个数这个数大于的概率为故答案为：点睛：本题主要考查概率的计算根据几解析：34【解析】分析：根据几何概型的概率公式即可得到结论． 详解：区间[]0,2的两端点间距离是2，在区间1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦内任取一点，该点表示的数都大于1sin62π=， 故在区间中随机地取出一个数，这个数大于12的概率为 1232.204-=- ， 故答案为：34．点睛：本题主要考查概率的计算，根据几何概型的概率公式是解决本题的关键．20．②④⑤【解析】分析：根据方程性质回归方程性质及其含义卡方含义确定命题真假详解：由方差的性质知①正确；由线性回归方程的特点知③正确；回归方程若变量增加一个单位时则平均减少5个单位；曲线上的点与该点的坐解析：②④⑤ 【解析】分析：根据方程性质、回归方程性质及其含义、卡方含义确定命题真假. 详解：由方差的性质知①正确；由线性回归方程的特点知③正确；回归方程ˆ35yx =-中若变量x 增加一个单位时，则y 平均减少5个单位； 曲线上的点与该点的坐标之间不一定具有相关关系；在一个22⨯列联表中，由计算得213.079K =，只能确定两个变量之间有相关关系的可能性，所以②④⑤均错误．点睛：本题考查方程性质、回归方程性质及其含义、卡方含义，考查对基本概念理解与简单应用能力.三、解答题21．（1）310；（2）y 关于x 的线性回归方程为$13312．x y =+，预测该公司20193Q 的销售额为122.2百万元. 【解析】 【分析】（1）列举出所有的基本事件，并确定事件“这2个季度的销售额都超过6千万元”然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率；（2）计算出x 和y 的值，然后将表格中的数据代入最小二乘法公式，计算出b$和$a 的值，可得出y 关于x 的线性回归方程，然后将7x =代入回归直线方程即可得出该公司20193Q 的销售额的估计值.【详解】（1）从5个季度的数据中任选2个季度，这2个季度的销售额有10种情况：()4656,、()4667,、()4686,、()4696,、()5667,、()5686,、()5696,、()6786,、()6796,、()8696,设“这2个季度的销售额都超过6千万元”为事件A ，事件A 包含()6786,、()6796,、()8696,，3种情况，所以()310P A =； （2）1234535x ++++==，()1465667869670.25y =++++=，2222221462563674865965370.213013123455312b⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯===++++-⨯$，$$31.2a y bx∴=-=$. 所以y 关于x 的线性回归方程为$13312．x y =+， 令7x =，得$137312122.2．y =⨯+=（百万元） 所以预测该公司20193Q 的销售额为122.2百万元． 【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，同时也考查了利用最小二乘法求回归直线方程，同时也考查了回归直线方程的应用，考查计算能力，属于中等题. 22．（1）0.35；（2）7；（3）分布列见解析；数学期望65. 【解析】 【分析】（1）用1减去频率直方图中位于区间[)3.5,6.5和[]7.5,10.5的矩形的面积之和可得出结果；（2）将各区间的中点值乘以对应的频率，再将所得的积全部相加即可得出所求平均数； （3）由题意可知34,10X B ⎛⎫⎪⎝⎭:，利用二项分布可得出随机变量X 的概率分布列，并利用二项分布的均值可计算出随机变量X 的数学期望. 【详解】（1）依题意，此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在[)6.5,7.5（时）内的频率为10.030.10.20.190.090.040.35------=； （2）所求平均数为40.0350.160.270.3580.1990.09100.047x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（时）；（3）依题意，34,10X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:.()47240101010000P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()314371029*********P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()2224371323210105000P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()33437189310102500P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()438141010000P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 故X 的分布列为故()4105E X =⨯=. 【点睛】本题考查频率分布直方图中频率和平均数的计算，同时也考查了二项分布的概率分布列和数学期望的计算，考查计算能力，属于中等题. 23．（1）a 0.001=；（2）0.62；（3）12.08吨 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图列出方程能求出a ．（2）由频率分布直方图先求出满足题意的频率，即得概率．（3）由频率分布直方图先求出人均月饼购买量，由此能求出该超市应准备12.08吨月饼恰好能满足市场需求． 【详解】()1由()0.00020.00055a 0.00050.000254001++++⨯=，解得a 0.001=． ()2Q 消费者月饼购买量在600g 1400g ～的频率为： ()0.000550.0014000.62+⨯=，∴消费者月饼购买量在600g 1400g ～的概率为0.62．()3由频率分布直方图得人均月饼购买量为：()4000.00028000.0005512000.00116000.000520000.000254001208g⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，∴2012085%1208⨯⨯=万克12.08?=吨， ∴该超市应准备12.08吨月饼恰好能满足市场需求． 【点睛】本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力，求解的重点是对题设条件及直方图的理解，了解直方图中每个小矩形的面积的意义，是中档题． 24．（1）4（2）171.5?cm （3）25【解析】试题分析：（1）根据频率直方图的总面积为1，可求得a 0.010=,n=N*高*组距400.01104⨯⨯=．（2）平均数为，每个区间的中点值与频率乘积和．（3）学生身高在[]185,195内的人有4个，记这四人为a,b,c,d ．所以，身高在[)145,155和[]185,195内的男生共6人．采用枚举可得总共15个基本事件，满足的有6个．()62P M 155==． 试题解析：（Ⅰ）根据题意， ()0.005a 0.0200.0250.040101++++⨯=. 解得 a 0.010=．所以样本中学生身高在[]185,195内（单位:cm ）的人数为400.01104⨯⨯=． （Ⅱ）设样本中男生身高的平均值为x ，则x 1500.051600.21700.41800.251900.1=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 7.532684519171.5=++++= ．所以，该校男生的平均身高为171.5cm ．（Ⅲ）样本中男生身高在[)145,155内的人有400.005102⨯⨯=（个），记这两人为A,B ．由（Ⅰ）可知，学生身高在[]185,195内的人有4个，记这四人为a,b,c,d ． 所以，身高在[)145,155和[]185,195内的男生共6人．从这6人中任意选取2人，有b,ac,ad,aA,aB,bc,bd,bA,bB,cd,cA,cB,dA,dB,AB ， 共15种情况．设所选两人的身高都不低于185cm 为事件M ，事件M 包括ab,ac,ad,bc,bd,cd ，共6种情况．所以，所选两人的身高都不低于185cm 的概率为()62P M 155==． 25．（Ⅰ）13（Ⅱ） 89【解析】分析：(Ⅰ)利用古典概型概率公式求出A 1被选中的概率； (Ⅱ)利用对立事件概率公式求出求A 1,B 1不全被选中的概率.详解：(Ⅰ)从擅长速算、数独的6名选手中各选出1名与魔方选手C 1组成中国战队的一切可能的结果组成集合Ω＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 3，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 3，C 1)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 3，C 1)}， 由9个基本事件组成．由题知每一个基本事件被抽取的机会均等，用M 表示“A 1被选中”，则 M ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 1)}， 因而.(Ⅱ)用N 表示“A 1、B 1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“A 1、B 1全被选中”，由于＝{(A 1，B 1，C 1) }，∴，从而点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 26．（Ⅰ）310；（Ⅱ）710. 【解析】 【分析】列举出所有的基本事件,共有20个, （I ）从中查出第一次取到二等品,且第二次取到的是一等品的基本事件数共有6个,利用古典概型的概率公式可得结果；（II ）事件“至少有一次取到二等品”的对立事件是“取到的全是一等品”,“取到的全是一等品”包括了6个事件，“至少有一次取到二等品”取法有14种, 利用古典概型的概率公式可得结果. 【详解】（I ）令3只一等品灯泡分别为,,a b c ；2只二等品灯泡分别为,X Y . 从中取出2只灯泡，所有的取法有20种，分别为：()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a X a Y b a b c b X b Y c a ，，(),c X ，(),c Y ，(),X a ，(),X b ，(),X c ，(),X Y ，(),Y a ，(),Y b ，(),Y c ，(),Y X第一次取到二等品，且第二次取到的是一等品取法有6种， 分别为()()()()()(),,,,,,,,,,,X a X b X c Y a Y b Y c ，故概率是632010=； （II ）事件“至少有一次取到二等品”的对立事件是“取到的全是一等品”， “取到的全是一等品”包括了6种分别为()()()()()(),,,,,,,,,,,a b a c b a b c c a c b ， 故“至少有一次取到二等品”取法有14种,事件“至少有一次取到二等品”的概率是1472010. 【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 ，(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B …. 1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.。
2021-2022学年浙江省杭州市七县市、八县区高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2021-2022学年浙江省杭州市七县市、八县区高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知全集，集合，，则( )A.B.C.D.2.若复数z 满足其中i 为虚数单位，则z 的虚部是( )A. 2iB.C. 2D.3.已知与抛物线的准线相切，则( )A.B. 16C.D. 84.下列命题中，不正确的是( ) A. 若事件A ，B 互斥，则B. 若事件A ，B 为相互独立事件，则C. 若事件A ，B ，C 两两互斥，则D. 若事件A ，B ，C 两两独立，则5.如图所示，是某厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，其中，圆锥的底面和球的直径都是，圆锥的高是要对1000个这样的台灯表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，则共需胶克．( )A.B.C.D.6.已知函数，其图象关于点成中心对称，相邻两条对称轴的距离为，且对任意，都有，则在下列区间中，为单调递减函数的是( )A. B.C.D.7.已知函数的零点分别为a ，b ，c ，下列各式正确的是( )A.B.C.D.8.a为实数，函数在区间上的最大值记为当取得最小值时，( )A. B. C. D. 1二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9.若椭圆的焦点为，，长轴长为2a，则椭圆上的点满足( )A.B.C.D.10.设，为两个平面，则的必要不充分条件是( )A. 内有无数条直线与平行B. 内有两条相交直线与平行C. ，垂直于同一条直线D. ，垂直于同一平面11.已知点A、B、P在上，则下列命题中正确的是( )A. ，则的值是B. ，则的值是C. ，则的范围是D. ，且，则的范围是12.定义全集U的子集M的特征函数已知，，则以下结论中正确的是( )A. 若，则对于任意，都有B. 对于任意，都有C. 对于任意，都有D. 对于任意，都有三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.__________.14.已知，则__________.15.某地现有耕地10000公顷．规划10年后粮食单产比现在增加，人均粮食占有量比现在至少提高如果人口年增长率为3‰即千分之三，那么耕地平均每年至多只能减少__________公顷精确到小数点后一位，备注：粮食单产，人均粮食占有量16.过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在直线上，则的最大值是__________；若为正三角形，则其边长为__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。