第8讲 简单的幂函数(基础)

简单的幂函数【学习目标】1．通过实例，了解幂函数的概念；结合幂函数的图象，了解它们的变化情况.2．掌握幂函数的图象和性质，并能熟练运用图象和性质去解题。

3.理解函数的奇偶性定义，会利用图象和定义判断函数的奇偶性；4.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.【要点梳理】要点一、幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中α为常数.要点诠释：幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1，指数为常数.例如：()2423,1,2y x y x y x==+=-等都不是幂函数.要点二、幂函数的图象及性质1.作出下列函数的图象：(1)xy=；(2)21xy=；(3)2xy=；(4)1-=xy；(5)3xy=．要点诠释：幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；(2)0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；(3)0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于∞+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．2.作幂函数图象的步骤如下:(1)先作出第一象限内的图象；(2)若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成；若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象；如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象.3.幂函数解析式的确定(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．(2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．()y x Rαα=∈()y x Rαα=∈(3)如函数()a f x k x =⋅是幂函数，求()f x 的表达式，就应由定义知必有1k =，即()af x x =． 4.幂函数值大小的比较(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． (3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 要点三、函数的奇偶性概念及判断步骤 1．函数奇偶性的概念偶函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释：（1）奇偶性是整体性质； （2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；（3）f(-x)=f(x)的等价形式为：()()()0,1(()0)()f x f x f x f x f x ---==≠， f(-x)=-f(x)的等价形式为：()()()01(()0)()f x f x f x f x f x -+-==-≠，； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0； （5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数.3.用定义判断函数奇偶性的步骤（1）求函数()f x 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；（2）结合函数()f x 的定义域，化简函数()f x 的解析式；（3）求()f x -，可根据()f x -与()f x 之间的关系，判断函数()f x 的奇偶性.若()f x -=-()f x ，则()f x 是奇函数； 若()f x -=()f x ，则()f x 是偶函数；若()f x -()f x ≠±，则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数；若()f x -()f x =且()f x -=-()f x ，则()f x 既是奇函数，又是偶函数要点四、判断函数奇偶性的常用方法（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x -与()f x ±之一是否相等.（2）验证法：在判断()f x -与()f x 的关系时，只需验证()f x -()f x ±=0及()1()f x f x -=±是否成立即可.（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.（5）分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x -与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x -的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x -对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.要点五、关于函数奇偶性的常见结论奇函数在其对称区间[a,b]和[-b ，-a]上具有相同的单调性，即已知()f x 是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则()f x 在区间[-b ，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b ，-a]上具有相反的单调性，即已知()f x 是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则()f x 在区间[-b ，-a]上也是减函数（增函数）.【典型例题】类型一、求函数解析式例1.已知()21212223my m m x n -=+-⋅+-是幂函数，求m 、n 的值．举一反三：【变式一】判断下列函数有哪些是幂函数？（1）y =（2）23y x =；（3）3y x x =-；（4）23y x -=；（5）21y x =；（6）3y =．类型二、幂函数的图象例2.给定一组函数的解析式和相应的函数图象：(1)y x =；(2)2y x =；(3)3y x =；(4)1y x -=；(5)12y x =．请把解析式对应的图象序号按照解析式的顺序填在括号里（ ）．举一反三：【变式1】函数13y x =的图象是（ ）类型三、幂函数的性质例3.比较下列各组数的大小.(1)523.14-与52π-； (2)35(-与35(-.举一反三：【变式1】比较0.50.8，0.50.9，0.50.9-的大小.类型四、判断函数的奇偶性例4. 判断下列函数的奇偶性：(1)()(f x x =+ (2)f(x)=x 2-4|x|+3 ；(3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4)()|2|-2f x x =+；(5)22-(0)()(0)x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩； (6)1()[()-()]()2f x g x g x x R =-∈．【变式1】判断下列函数的奇偶性：(1)23()3xf x x =+；(2)()|1||1|f x x x =++-；(3)222()1x xf x x +=+；(4)22x 2x 1(x 0)f (x)0(x 0)x 2x 1(x 0)⎧+-<⎪==⎨⎪-++>⎩.【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数. 【变式3】设函数()f x 和g(x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论 恒成立的是 （ ）.A ．()f x +|g(x)|是偶函数B ．()f x -|g(x)|是奇函数C ．|()f x | +g(x)是偶函数D ．|()f x |- g(x)是奇函数 类型五、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)例5.已知f(x)=x 5+ax 3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).举一反三：【变式1】已知()f x 为奇函数，()()9,(2)3g x f x g =+-=，则(2)f 为（ ）．例6.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()31f x x x =+-，求()f x 的解析式．【变式1】（1）已知偶函数()f x 的定义域是R ，当0x ≤时2()31f x x x =--，求()f x 的解析式.（2）已知奇函数()g x 的定义域是R ，当0x >时，2()21g x x x =+-，求()g x 的解析式.例7.设定义在[-2，2]上的偶函数f(x)在[0，2]上是单调递增，当(1)()f a f a +<时，求a 的取值范围.类型六、函数奇偶性的综合问题例8．设a 为实数，函数f(x)=x 2+|x-a|+1，x ∈R ，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.举一反三：【变式1】 判断()||||()f x x a x a a R =+--∈的奇偶性．例9. 已知()y f x =是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，求函数2(1)f x -的单调递增区间．【巩固练习】1.下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,+∞上单调递减的函数是( ) A.2y x -= B. 1y x -= C. 2y x = D. 13y x = 2．若函数2y x bx c =++是偶函数，则有 ( )A.,b R c R ∈∈B. ,0b R c ∈=C. 0,0b c ==D. 0,b c R =∈ 3．设函数3()21f x ax bx =+-，且(1)3,f -=则(1)f 等于（ ） A.-3 B.3 C.-5 D. 54．若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是( )A ．)2()1()23(f f f <-<- B ．)2()23()1(f f f <-<-C ．)23()1()2(-<-<f f fD ．)1()23()2(-<-<f f f5．如果奇函数)(x f 在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]3,7--上是( ) A ．增函数且最小值是5- B ．增函数且最大值是5-C ．减函数且最大值是5-D ．减函数且最小值是5-6．设)(x f 是定义在R 上的一个函数，则函数)()()(x f x f x F --=，在R 上一定是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数.7.若幂函数y x α=的图象在0<x<1时位于直线y=x 的下方，则实数α的取值范围是( ) A.α<1 B.α>1 C.0<α<1 D.α<08. 三个数121.2a =，120.9b -=，c =的大小顺序是( ) A.c<a<b B.c<b<a C. b<a<c D.a<c<b9．设函数()f x 的图象关于y 轴对称，且()f a b =，则()f a -= . 10．如果函数2()f x x a x=-+为奇函数，那么a = . 11．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)0f =，()f x 在[]0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递减，则不等式()0f x ≥的解集为 ．12．若函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则)(x f 的递减区间是____________. 13．函数)(x f 在R 上为奇函数，且0,1)(>+=x x x f ，则当0<x ，=)(x f ____________.14．已知函数()()0f x x a x a a =+--≠，()()()2200x x x h x x x x ⎧-+>⎪=⎨+≤⎪⎩，试判断()(),f x h x 的奇偶性.15．设函数)(x f 是偶函数，且在(),0-∞上是增函数，判断)(x f 在()0,+∞上的单调性，并加以证明.16．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意[)1212,0,()x x x x ∈+∞≠ ，有2121()()0f x f x x x -<-成立，试比较(2),(1),(3)f f f -的大小.。