2021年高三上学期第一次月考数学理试题

2019年高三上学期第一次月考数学理试题一、选择题（每小题4分，共80分）1．（4分）cos300°=（）A．B．﹣C．D．考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：利用三角函数的诱导公式，将300°角的三角函数化成锐角三角函数求值．解答：解：∵．故选C．点评：本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识．2．（4分）（xx•浙江）设P={x|x＜1}，Q={x|x2＜4}，则P∩Q（）A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|﹣3＜x＜﹣1} C．{x|1＜x＜﹣4} D．{x|﹣2＜x＜1} 考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：欲求两个集合的交集，先得化简集合Q，为了求集合Q，必须考虑二次不等式的解法，最后再根据交集的定义求解即可．解答：解：∵x2＜4得﹣2＜x＜2，∴Q={x|﹣2＜x＜2}，∴P∩Q={x|﹣2＜x＜1}．故答案选D．点评：本题主要考查了集合的基本运算，属容易题．3．（4分）（xx•山东）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：要求曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求∫01（x2﹣x3）dx即可．解答：解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是[0，1]所求封闭图形的面积为∫01（x2﹣x3）dx═，故选A．点评：本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积．4．（4分）（xx•上海）“”是“tanx=1”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；正切函数的值域．专题：计算题．分析：得出，“”是“tanx=1”成立的充分条件；举反例推出“”是“tanx=1”成立的不必要条件．解答：解：，所以充分；但反之不成立，如．故选A点评：本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断．充分条件与必要条件是中学数学最重要的数学概念之一，要理解好其中的概念．5．（4分）（xx•陕西）复数z=在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母根据平方差公式得到一个实数，分子进行复数的乘法运算，得到最简结果，写出对应的点的坐标，得到位置．解答：解：∵z===+i，∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．故选A．点评：本题考查复数的乘除运算，考查复数与复平面上的点的对应，是一个基础题，在解题过程中，注意复数是数形结合的典型工具．6．（4分）（xx•南充一模）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin（2x+）的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：常规题型．分析：先将2提出来，再由左加右减的原则进行平移即可．解答：解：y=sin（2x+）=sin2（x+），y=sin（2x﹣）=sin2（x﹣），所以将y=sin（2x+）的图象向右平移个长度单位得到y=sin（2x﹣）的图象，故选B．点评：本试题主要考查三角函数图象的平移．平移都是对单个的x来说的．7．（4分）（xx•湖北）函数f（x）=的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．4π考点：三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：直接利用正弦函数的周期公式T=，求出它的最小正周期即可．解答：解：函数f（x）=由T==||=4π，故D正确．故选D．点评：本题是基础题，考查三角函数的周期的求法，考查计算能力．8．（4分）（xx•福建）函数f（x）=x3+sinx+1（x∈R），若f（a）=2，则f（﹣a）的值为（）A．3B．0C．﹣1 D．﹣2考点：函数奇偶性的性质．分析：把α和﹣α分别代入函数式，可得出答案．解答：解：∵由f（a）=2∴f（a）=a3+sina+1=2，a3+sina=1，又∵f（﹣a）=（﹣a）3+sin（﹣a）+1=﹣（a3+sina）+1=﹣1+1=0．故选B点评：本题主要考查函数奇偶性的运用．属基础题．9．（4分）（xx•湖南）下列命题中的假命题是（）A．∃x∈R，lgx=0 B．∃x∈R，tanx=1 C．∀x∈R，x3＞0 D．∀x∈R，2x＞0考点：命题的真假判断与应用．分析：A、B、C可通过取特殊值法来判断；D、由指数函数的值域来判断．解答：解：A、x=1成立；B、x=成立；D、由指数函数的值域来判断．对于C选项x=﹣1时，（﹣1）3=﹣1＜0，不正确．故选C点评：本题考查逻辑语言与指数数、二次函数、对数函数、正切函数的值域，属容易题．10．（4分）（xx•安徽）设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a考点：幂函数图象及其与指数的关系．分析：根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来．解答：解：∵在x＞0时是增函数∴a＞c又∵在x＞0时是减函数，所以c＞b 故答案选A点评：本题主要考查幂函数与指数的关系．要充分利用函数图象、函数的单调性来解决问题．11．（4分）已知sina=，则cos（π﹣2a）=（）A．﹣B．﹣C．D．考点：二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：先根据诱导公式求得cos（π﹣2a）=﹣cos2a进而根据二倍角公式把sinα的值代入即可求得答案．解答：解：∵sina=，∴cos（π﹣2a）=﹣cos2a=﹣（1﹣2sin2a）=﹣．故选B．点评：本题考查了二倍角公式及诱导公式．考查了学生对三角函数基础公式的记忆．12．（4分）（xx•天津）函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）考函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理．点：专题：计算题．分析：函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通可采用代入排除的方法求解．解答：解：由及零点定理知f（x）的零点在区间（﹣1，0）上，故选B．点评：本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．13．（4分）（xx•天津）设a=log54，b=（log53）2，c=log45则（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c考点：对数的运算性质；对数函数的单调性与特殊点；不等式比较大小．分析：因为a=log54＜log55=1，b=（log53）2＜（log55）2，c=log45＞log44=1，所以c最大，排除A、B；又因为a、b∈（0，1），所以a＞b，排除C．解答：解：∵a=log54＜log55=1，b=（log53）2＜（log55）2，c=log45＞log44=1，∴c最大，排除A、B；又因为a、b∈（0，1），所以a＞b，故选D．点评：本题考查对数函数的单调性，属基础题．14．（4分）（xx•重庆）下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的单调性；余弦函数的单调性．专题：分析法．分析：先根据周期排除C，D，再由x的范围求出2x+的范围，再由正余弦函数的单调性可判断A和B，从而得到答案．解答：解：C、D中函数周期为2π，所以错误当时，，函数为减函数而函数为增函数，故选A．点评：本题主要考查三角函数的基本性质﹣﹣周期性、单调性．属基础题．三角函数的基础知识的熟练掌握是解题的关键．15．（4分）（xx•济南一模）图是函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R）在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：综合题．分析：先根据函数的周期和振幅确定w和A的值，再代入特殊点可确定φ的一个值，进而得到函数的解析式，再进行平移变换即可．解答：解：由图象可知函数的周期为π，振幅为1，所以函数的表达式可以是y=sin（2x+φ）．代入（﹣，0）可得φ的一个值为，故图象中函数的一个表达式是y=sin（2x+），即y=sin2（x+），所以只需将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变．故选A．点评：本题主要考查三角函数的图象与图象变换的基础知识，属于基础题题．根据图象求函数的表达式时，一般先求周期、振幅，最后求φ．三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的16．（4分）（xx•北京）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（）A．A88A92B．A88C92C．A88A72D．A88C72考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题．分析：本题要求两个教师不相邻，用插空法来解决问题，将所有学生先排列，有A88种排法，再将两位老师插入9个空中，共有A92种排法，根据分步计数原理得到结果．解答：解：用插空法解决的排列组合问题，将所有学生先排列，有A88种排法，然后将两位老师插入9个空中，共有A92种排法，∴一共有A88A92种排法．故选A．点评：本题考查排列组合的实际应用，考查分步计数原理，是一个典型的排列组合问题，对于不相邻的问题，一般采用插空法来解．17．（4分）函数y=的定义域为（）A．（，1）B．（，∞）C．（1，+∞）D．（，1）∪（1，+∞）考点：函数的定义域及其求法．分析：题目给出的是分式函数，同时分母中含有根式和对数式，既保证分母不等于0，还要根式内部的代数式大于等于0，还要保证对数的真数大于0．解答：解：要使原式有意义，需要log0.54x﹣3＞0，即0＜4x﹣3＜1，解得：，所以原函数的定义域为（，1）．故选A．点评：本题考查了函数的定义域及其解法，解答此题的关键是要保证构成函数的各个部分都有意义，是取交集问题．18．（4分）（xx•湖北）现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）A．152 B．126 C．90 D．54考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题．分析：根据题意，按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一，②甲乙不同时参加一项工作；分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算可得答案．解答：解：根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C31×A32=18种；②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；1°丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作，有A32×C32×A22=3×2×3×2=36种；2°甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作：A32×C31×C21×A22=72种；由分类计数原理，可得共有18+36+72=126种，故选B．点评：本题考查排列、组合的综合运用，注意要根据题意，进而按一定顺序分情况讨论．19．（4分）（xx•安徽）若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，则f（3）﹣f（4）=（）A．1B．2C．﹣2 D．﹣1考点：函数奇偶性的性质；函数的周期性．专题：计算题．分析：利用函数奇偶性以及周期性，将3或4的函数值问题转化为1或2的函数值问题求解即可．解答：解：∵若f（x）是R上周期为5的奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x），f（x+5）=f（x），∴f（3）=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2，f（4）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，∴f（3）﹣f（4）=﹣2﹣（﹣1）=﹣1．故选D．点评：本题考查函数奇偶性的应用，奇（偶）函数的定义：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（﹣x）=﹣f（x））（或f（﹣x）=f（x）），那么函数f（x）是奇（偶）函数．20．（4分）（2011•昌平区二模）已知函数F（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（）A．B．C．（3，+∞）D．[3，+∞）考点：对数的运算性质；函数的值域；函数的单调性及单调区间；基本不等式．专题：计算题；压轴题；转化思想．分析：由题意f（a）=f（b），求出ab的关系，然后利用“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数，确定a+2b的取值范围．解答：解：因为f（a）=f（b），所以|lga|=|lgb|，所以a=b（舍去），或，所以a+2b=又0＜a＜b，所以0＜a＜1＜b，令，由“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数，所以f（a）＞f（1）=1+=3，即a+2b的取值范围是（3，+∞）．故选C．点评：本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b=，从而错选A，这也是的用苦良心之处．二、填空题（每小题4分，共24分）21．（4分）（xx•安徽）命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是对任意x∈R，都有x2+2x+5≠0．考点：命题的否定．分根据命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特称命题，其否定为全称命题，将“存在”改析：为“任意”，“=“改为“≠”即可得答案．解答：解：∵命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特称命题∴命题的否定为：对任意x∈R，都有x2+2x+5≠0．故答案为：对任意x∈R，都有x2+2x+5≠0．点评：这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．22．（4分）（xx•广元二模）某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种．（用数字作答）考点：组合及组合数公式．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：由题意分类：（1）A类选修课选1门，B类选修课选2门，确定选法；（2）A类选修课选2门，B类选修课选1门，确定选法；然后求和即可．解答：解：分以下2种情况：（1）A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C31C42种不同的选法；（2）A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C32C41种不同的选法．所以不同的选法共有C31C42+C32C41=18+12=30种．故答案为：30点评：本小题主要考查分类计数原理、组合知识，以及分类讨论的数学思想．23．（4分）（xx•四川）（x﹣）4的展开式中的常数项为24（用数字作答）考点：二项式系数的性质．分析：利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的第r+1项，令x的指数为0得常数项．解答：解：展开式的通项公式为T r+1==（﹣2）r C4r x4﹣2r 令4﹣2r=0得r=2得常数项为C42（﹣2）2=24．故答案为24．点评：二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．24．（4分）（xx•宁夏）曲线y=xe x+2x+1在点（0，1）处的切线方程为y=3x+1．考点：导数的几何意义．专题：计算题．分析：根据导数的几何意义求出函数y在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可；解答：解：y′=e x+x•e x+2，y′|x=0=3，∴切线方程为y﹣1=3（x﹣0），∴y=3x+1．故答案为：y=3x+1点评：本题考查了导数的几何意义，同时考查了导数的运算法则，本题属于基础题．25．（4分）（xx•陕西）已知函数f（x）=若f（f（0））=4a，则实数a=2．考点：函数的值；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题．分析：本题考查的分段函数的函数值，由函数解析式，我们可以先计算f（0）的值，然后将其代入，由此可以得到一个关于a的一元一次方程，解方程即可得到a值．解答：解：∵f（0）=2，∴f（f（0））=f（2）=4+2a=4a，所以a=2故答案为：2．点评：分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．26．（4分）（xx•天津）设函数f（x）=x﹣，对任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是m＜﹣1．考点：函数恒成立问题．专题：计算题；压轴题．分析：已知f（x）为增函数且m≠0，分当m＞0与当m＜0两种情况进行讨论即可得出答案．解答：解：已知f（x）为增函数且m≠0，当m＞0，由复合函数的单调性可知f（mx）和mf（x）均为增函数，此时不符合题意．当m＜0时，有因为y=2x2在x∈[1，+∞）上的最小值为2，所以1+，即m2＞1，解得m＜﹣1或m＞1（舍去）．故答案为：m＜﹣1．点评：本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解．三、解答题（共46分）27．（11分）（xx•湖南）已知函数f（x）=sin2x﹣2sin2x（I）求函数f（x）的最小正周期．（II）求函数f（x）的最大值及f（x）取最大值时x的集合．考点：三角函数的周期性及其求法．分析：（1）先将函数f（x）化简为f（x）=sin（2x+）﹣1，根据T=可得答案．（2）令2x+=2kπ+，可直接得到答案．解答：解：（1）因为f（x）=sin2x﹣（1﹣cos2x）=sin（2x+）﹣1所以函数f（x）的最小正周期为T==π（2）由（1）知，当2x+=2kπ+，即x=kπ（k∈Z）时，f（x）取最大值因此函数f（x）取最大值时x的集合为：{x|x=kπ+，k∈Z}点评：本题主要考查三角函数最小正周期合最值的求法．属基础题．28．（11分）（xx•四川）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ．考点：离散型随机变量及其分布列；随机事件．专题：计算题．分析：（1）甲、乙、丙三位同学每人是否中奖相互独立，可利用独立事件的概率求解，甲中奖概率为，乙、丙没有中奖的概率为，相乘即可．（2）中奖人数ξ的所有取值为0，1，2，3，是二项分布．ξ～B（3，）解答：解：（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么P（A）=P（B）=P（C）=，P（）=P（A）P（）P（）=，答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为．（2）ξ的可能值为0，1，2，3，P（ξ=k）=（k=0，1，2，3）所以中奖人数ξ的分布列为Eξ=0×+1×+2×+3×=．点本题考查相互独立事件、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列、二项分布及期评：望等知识．同时考查利用所学知识分析问题解决问题的能力．29．（12分）（xx•北京）设定函数，且方程f′（x）﹣9x=0的两个根分别为1，4．（Ⅰ）当a=3且曲线y=f（x）过原点时，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）在（﹣∞，+∞）无极值点，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：综合题．分析：先对函数f（x）进行求导，然后代入f′（x）﹣9x=0中，再由方程有两根1、4可得两等式；（1）将a的值代入即可求出b，c的值，再由f（0）=0可求d的值，进而确定函数解析式．（2）f（x）在（﹣∞，+∞）无极值点即函数f（x）是单调函数，且可判断是单调增函数，再由导函数大于等于0在R上恒成立可解．解答：解：由得f′（x）=ax2+2bx+c因为f′（x）﹣9x=ax2+2bx+c﹣9x=0的两个根分别为1，4，所以（*）（Ⅰ）当a=3时，又由（*）式得解得b=﹣3，c=12又因为曲线y=f（x）过原点，所以d=0故f（x）=x3﹣3x2+12x（Ⅱ）由于a＞0，所以“在（﹣∞，+∞）内无极值点”等价于“f′（x）=ax2+2bx+c≥0在（﹣∞，+∞）内恒成立”．由（*）式得2b=9﹣5a，c=4a．又△=（2b）2﹣4ac=9（a﹣1）（a﹣9）解得a∈[1，9]即a的取值范围[1，9]点评：本题主要考查函数的单调性、极值点与其导函数之间的关系．属基础题．30．（12分）已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣x+1（I）求曲线在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若xf′（x）≤x2+ax+1，求a的取值范围；（Ⅲ）证明：（x﹣1）f（x）≥0．考点：导数的运算；利用导数研究曲线上某点切线方程；其他不等式的解法．分析：（1）由导数在这点的函数值等于在这点处的切线斜率即得．（2）由恒成立的思想，化简后由a≥h（x）恒成立，只需要a≥h（x）max，从而证明之．（3）由上一题的结论加以运用，即可证明．解答：解：（I）所以f′（1）=1，所以切线方程y=x﹣1（Ⅱ）xf′（x）≤x2+ax+1⇔1+xlnx≤x2+ax+1，即：xlnx≤x2+ax，x＞0，则有lnx≤x+a，即要使a≥lnx﹣x成立．令g（x）=lnx﹣x，那么⇒x=1，可知当0＜x＜1时单调增，当x＞1时单调减．故g（x）=lnx﹣x 在x=1 处取最大值为g max=﹣1，那么要使得a≥lnx﹣x 成立，则有a≥﹣1．（Ⅲ）由（Ⅱ）可得：lnx﹣x≤﹣1，即lnx﹣x+1≤0 当0＜x＜1 时，f（x）=xlnx+lnx﹣x+1＜0，当x≥1时，f（x）=xlnx+lnx﹣x+1=lnx+（xlnx﹣x+1）=lnx+x（lnx+﹣1）=lnx﹣x（ln﹣+1）≥0．∴f（x）=xlnx+lnx﹣x+1=lnx+（xlnx﹣x+1）≥0综上所述，（x﹣1）f（x）≥0点评：本题是导数的深度考查的题目，综合性较强．属于比较难把握的题目，高考题中易出现在最后三题．。