数值分析第一次作业
数值分析
数值分析第一次作业信计2 20121314044 王峥虹一、实验内容：1、已知函数在下列各点的值为：38.064.081.092.098.0|0.18.06.04.02.0|y x -------------------试用4次牛顿插值多项式)(4x P 及三次样条函数)(x S （自然边界条件）对数据进行插值，用图给出(){}10,11,1,008.02.0,=+=i i x y x i i i ，，，)(4x P 及)(x S 。
分析：先求4次插值多项式:根据差分形式的牛顿差值公式：))...(](,...,,[...))(](,,[)](,[)()(1010102100100---++--+-+=n n n x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x Px=[0.2,0.4,0.6,0.8,1.0];y=[0.98,0.92,0.81,0.64,0.38];n=length(y);z=zeros(n,n);for i=1:nz(i,1)=y(i);endfor k=2:nfor l=k:nz(l,k)=(z(l,k-1)-z(l-1,k-1))/(x(l)-x(l-k+1));endendz结果：4次牛顿插值多项式为：)6.0)(4.0)(2.0(2083.0)4.0)(2.0(625.0)2.0(3.098.04---------=x x x x x x P )8.0)(6.0)(4.0)(2.0(5208.0-----x x x x再求三次样条插值函数：由上面及已知的：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡075.65.475.30200005.025.00005.025.00005.025.00000243210M M M M M 程序如下：A=[2,0,0,0,0;0.5,2,0.5,0,0;0,0.5,2,0.5,0;0,0,0.5,2,0.5;0,0,0,0,2];B=[0,-3.75,-4.5,-6.75,0]';M=inv(A)*B结果：则由表达式：j j j j j j j j j j j j j j j j h x x h M y h x x h M y h x x M h x x M x S -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-=+++++666)(6)()(2111231311,...,1,0-=n j得，三次样条插值多项式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-+-+----∈-+-+----∈-+-+----∈-+-+---=]0.1,8.0[),8.0(9.1)0.1(3036.3)8.0(0)0.1(5893.2]8.0,6.0[),6.0(3036.3)8.0(0857.4)6.0(5893.2)8.0(8929.0]6.0,4.0[),4.0(0857.4)6.0(6536.4)4.0(8929.0)6.0(3393.1]4.0,2.0[),2.0(6536.4)4.0(9.4)2.0(3393.1)4.0(0)(3333333x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x S 绘制4次插值多项式及三次样条插值多项式的图像：代码：x=[0.2,0.4,0.6,0.8,1.0];y=[0.98,0.92,0.81,0.64,0.38];plot(x,y)hold onfor i=1:1:5y(i)=0.98-0.3*(x(i)-0.2)-0.625*(x(i)-0.2)*(x(i)-0.4)-0.20833*(x(i)-0.2)*(x(i)-0.4)*(x(i)-0.6)-0.5 2083*(x(i)-0.2)*(x(i)-0.4)*(x(i)-0.6)*(x(i)-0.8)endk=[0 1 10 11];x0=0.2+0.08*k;y0=zeros(4);for i=1:1:4y0(i)=0.98-0.3*(x(i)-0.2)-0.625*(x(i)-0.2)*(x(i)-0.4)-0.20833*(x(i)-0.2)*(x(i)-0.4)*(x(i)-0.6)-0. 52083*(x(i)-0.2)*(x(i)-0.4)*(x(i)-0.6)*(x(i)-0.8)endplot(x0,y0,'o',x0,y0)hold ony1=spline(x,y,x0)plot(x0,y1,'o')hold ons=csape(x,y,'variational')fnplt(x,'r')hold ongtext('原图像')gtext('三次样条自然边界')gtext('4次牛顿插值')一、实验内容：2、在区间[]11，-上分别取20,10=n 用两组等距节点对龙格函数22511)(x x f +=作多项式插值及三次样条插值，对每个n 值，分别画出插值函数及)(x f 的图形。
数值分析作业及参考答案
数值分析第一次作业及参考答案1. 设212S gt =，假定g 是准确的，而对t 的测量有0.1±秒的误差，证明当t 增加时S 的绝对误差增加，而相对误差却减少。
解：2**22211()0.122()0.10.2()1122,(),().r r e S S S gt gt gt e S gt e S t gt gt t e S e S =-=-====∴↑↑↓2. 设2()[,]f x C a b ∈且()()0f a f b ==，求证2''1max ()()max ().8a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-解：由112,0),(,0)()()0()00.a b L x l x l x =⨯+⨯=（两点线性插值 插值余项为"111()()()()()()[,]2R x f x L x f x a x b a b ξξ=-=--∈ [,].x a b ∴∀∈有12211()()"()()()max "()[()()]221()()1max "()[]()max "().228a x ba xb a x b f x R x f x a x b f x x a b x x a b x f x b a f x ξ≤≤≤≤≤≤==--≤---+-≤=-21max ()()max "()8a xb a x b f x b a f x ≤≤≤≤∴≤-3. 已测得函数()y f x =的三对数据：（0，1），（－1，5），（2，－1），（1）用Lagrange 插值求二次插值多项式。
（2）构造差商表。
（3）用Newton 插值求二次插值多项式。
解：(1)Lagrange 插值基函数为0(1)(2)1()(1)(2)(01)(02)2x x l x x x +-==-+-+-同理 1211()(2),()(1)36l x x x l x x x =-=+ 故2202151()()(1)(2)(2)(1)23631i i i p x y l x x x x x x x x x =-==-+-+-++=-+∑（2）令0120,1,2x x x ==-=，则一阶差商、二阶差商为0112155(1)[,]4,[,]20(1)12f x x f x x ---==-==-----0124(2)[,,]102f x x x ---==-22()1(4)(0)1*(0)(1)31P x x x x x x =+--+-+=-+4. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表，若用二次插值求x e 的近似值，要使截断误差不超过610-，问使用函数表的步长h 应取多少？解：()40000(),(),[4,4],,,, 1.x k x f x e f x e e x x h x x h x x th t ==≤∈--+=+≤考察点及(3)200044343()()[(()]()[()]3!(1)(1)(1)(1)3!3!.(4,4).6f R x x x h x x x x h t t t e t h th t h e h e ξξ=----+-+≤+⋅⋅-=≤∈-则436((1)(1)100.006.t t t h --+±<< 在点 得5. 求2()f x x =在［a,b ］上的分段线性插值函数()h I x ，并估计误差。
数值分析课第一次作业答案answer1
计算机习题： 1. 作多项式 p，以 −1，0，1 为零点，首项系数为 2，并计算 p(3)。 4
答案：p = poly ([−1, 0, 1])，s = polyval(p, 3)。 2. 已知函数在下列各点的值为 xi 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
2
a 6 6e+154 0 1 1
b 10 10e+154 1 -1e+5 -4
c -4 -4e+154 1 1 3.999999
-1e+155 -7e+155 1e+155 答案：第二种方法更准确，因为第一种方法是一个累加的过程。 matlab 的 x = a : h : b 和 x = a + (0 : n) ∗ h 是第二种方法实现的。 代码： format long e a = 0; b = 8; n = 9; h = (b-a)/n; x(1) = a; y(1) = a; for j = 1:n, x(j+1) = x(j) + h; y(j+1) = y(1) + j*h; end [x',y',(a:h:b)',a+(0:n)’*h] 第二章 插值法 1. 当 x = 1, −1, 2 时，f (x) = 0, −3, 4，求 f (x) 的二次插值多项式。 （计算两遍，分别用拉格朗日插值和牛顿插值）
5
f (xi ) 0.98 0.92 0.81 0.64 0.38 求 4 次牛顿插值多项式 P4 (x) 并画图。 答案： 代码： x=0.2:0.2:1.0; y=[0.98,0.92,0.81,0.64,0.38]; n = length(y); if length(x)~=n, error('x and y are not compatible'); end D = zeros(n,n); D(:,1)=y(:); for j=2:n for i=j:n D(i,j) = (D(i,j-1)-D(i-1,j-1))/(x(i)-x(i-j+1)); end end p=D(1,1)*[zeros(1,n-1),1]; for k=2:n p=p+D(k,k)*[zeros(1,n-k),poly(x(1:k-1))]; end x=0.2:0.01:1.0; z=polyval(p,x); plot(x,z) 比较：p = polyf it(x, y, 4)。
(完整版)数值分析第一次作业
问题1：20.给定数据如下表：试求三次样条插值S(x)，并满足条件 (1)S`(0.25)=1.0000，S`(0.53)=0.6868； （2）S ’’(0.25)=S ’’(0.53)=0。
分析：本问题是已知五个点，由这五个点求一三次样条插值函数。
边界条件有两种，（1）是已知一阶倒数，（2）是已知自然边界条件。
对于第一种边界(已知边界的一阶倒数值)，可写出下面的矩阵方程。
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡432104321034322110d M M M M M 200020000020022d d d d λμμλμλμλ其中μj =j1-j 1-j h h h +，λi=j1-j j h h h +，dj=6f[x j-1,x j ,x j+1]， μn =1，λ0=1对于第一种边界条件d 0=0h 6（f[x 0,x 1]-f 0`），d n =1-n h 6（f`n-f `[x n-1,x n ]） 解：由matlab 计算得：由此得矩阵形式的线性方程组为：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ 2.1150-2.4286-3.2667-4.3143-5.5200-M M M M M 25714.00001204286.000004000.026000.0006429.023571.0001243210解得 M 0=-2.0286;M 1=-1.4627;M 2= -1.0333; M 3= -0.8058; M 4=-0.6546S(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-+-+-∈-+-+-∈-+-+-∈-+-+-]53.0,45.0[x 5.40x 9.1087x 35.03956.8.450-x 1.3637-x .5301.67881- ]45.0,39.0[x 9.30x 11.188x 54.010.418793.0-x 2.2384-x .450(2.87040-]39.0,30.0[x 03.0x 6.9544x 9.30 6.107503.0-x 1.9136-x .3902.708779-]30.0,25.0[x 5.20x 10.9662x 0.3010.01695.20-x 4.8758-x .3006.76209-33333333），（）（）（）（），（）（）（）），（）（）（）（），（）（）（）（Matlab 程序代码如下：function tgsanci(n,s,t) %n代表元素数，s,t代表端点的一阶导。
JZX高等数值分析第一次实验作业
相对残差 6.1302e-16 8.7797e-09 8.0295e-09 8.5677e-09 9.1433e-09
a、 m=1 (左为相对残差，右为取对数情况)
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 1
1.5
0
-5
-10
-15
-20
-25
-30
-35
-40
1000
4.761361
2.9675e-11
5.7069e-04
3.5336e+11
1500
15.646571
1.0778e-11
6.8236e-04
2.3672e+10
3000
132.198513
6.3164e-13
1.1700e-04
2.8110e+11
a、n=1000 时步数与相对残差关系图：（上为相对残差，下为取对数情况下结果）
（2）当 A 最大特征值远大于第二个特征值，最小特征值远小于第二个最小特征值时收敛
性情况。
思路：构造题目要求的矩阵 A。首先随机生成 n 阶矩阵 B，B 不满秩，构造对角阵 A1（最
大特征值远大于第二个最大特征值，最小特征值远小于第二个最小特征值），则由此构
造出对称正定矩阵 A： b1=B’*B; A=b1’*A1*b1。同样设定精确解 Xj 为元素全部为 1 的 n
5、 构造对称不定的矩阵，验证 Lanczos 方法的近似中断，观察收敛曲线中的峰点个数和特
征值的分布关系；观察当出现峰点时，MINRES 方法的收敛性态怎样。
解：思路：类似前两题，首先构造出一个 n 阶对角阵 D，其对角线上有 m 个负值，再对随
数值分析第一次作业
《数值分析》计算作业院系：航空科学与工程学院学号： SY1005512姓名：王天龙日期： 2010年10月31日计算实习说明书目的：训练运用计算机进行科学与工程计算的能力。
要求：1．独立进行算法设计、程序设计和上机运算，并得出正确的结果。
2．编制程序时全部采用双精度，要求按题目的要求设计输出，并执行打印。
3．只能根据题目给出的信息并且只允许一次计算得出全部结果。
题目：第一题 设有501×501的矩阵123499500501a b c b a b cc b a b c A c b a b c c b a b c ba ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中0.1(1.640.024)s i n (0.2)0.64 (125i i a i i e i =--= ，，，；0.16b =；0.064c =-。
矩阵A 的特征值12501()ii λ= ，，，满足 125011501||min ||S i i λλλλλ≤≤<<<= ，试求：1.1λ，501λ和S λ的值。
2.A 的与数5011140k kλλμλ-=+最接近的特征值(1239)ik k λ= ，，，。
3.A 的（谱范数）条件数2()cond A 和行列式det A 。
说明：1．在所有的算法中，凡是要给出精度水平ε的，都取1210ε-=。
2．选择算法时，应使A 的所有零元素都不存储。
3．打印以下内容： （1）算法的设计方案。
（2）全部源程序（要求注明主程序和每个子程序的功能）。
（3）特征值1λ，501λ，S λ和(1239)ik k λ= ，，，以及2()cond A ，det A 的值。
4.采用e 型输出所有计算结果，并至少显示12位有效数字。
一、程序算法的设计算法设计方案如下：二、全部源程序编程软件：Fortran：三、计算结果1.特征值1λ，501λ，S λ1-.107001135582E+02λ=，501 .972463398616E+01λ=，-.555823879237E-02S λ=2. (1239)ik k λ= ，，，如下表所示（ZK 代表ik λ）3.A 的条件数2()cond A 和行列式det A 的值2() .192509100000E+04cond A =，det .277059968428+119A =五、讨论这里选取的初始向量为X(i)=1,X={x1,x2,x3,,,,,,,x501},当初始向量与特征向量较近时，收敛较快，若初始向量与特征向量正交，则求解可能失真。
西南交大数值分析第一次大作业答案
数值分析大作业1、证明：1-x-sinx=0在[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不大于0.5*10^-4的根要迭代多少次，并输出每一步的迭代解和迭代误差证明：令f(x)= 1-x-sinx;f(0)=1,f(1)=-sin1f(0)*f(1)<0f’(x)=1-cosx<0在[0,1]内恒成立所以1-x-sinx=0在[0,1]内恒有一个根程序：function chap2bisecta = 0;b = 1;fprintf('n || a || b || c || r \n')for k=1:15c = (a+b)/2;r=(b-a)/2;fa =1-a-sin(a);fb =1-b-sin(b);fc =1-c-sin(c);fprintf('%d || %f || %f || %f \n',k,a,b,c,r);if abs(fc)<0.5*10^(-4) r=c; sprintf('the root is: %d' , r);elseif fa*fc<0 b=c;elseif fb*fc<0 a=c;endendroot = (a+b)/2结果：n || a || b || c || r1 || 0.000000 || 1.000000 || 0.500000 ||5.000000e-001 ||2 || 0.500000 || 1.000000 || 0.750000 ||2.500000e-001 ||3 || 0.500000 || 0.750000 || 0.625000 ||1.250000e-001 ||4 || 0.500000 || 0.625000 || 0.562500 ||6.250000e-002 ||125 || 0.500000 || 0.562500 || 0.531250 ||3.125000e-002 ||6 || 0.500000 || 0.531250 || 0.515625 ||1.562500e-002 ||7 || 0.500000 || 0.515625 || 0.507813 ||7.812500e-003 ||8 || 0.507813 || 0.515625 || 0.511719 ||3.906250e-003 || 9 || 0.507813 || 0.511719 || 0.509766 ||1.953125e-003 || 10 || 0.509766 || 0.511719 || 0.510742 ||9.765625e-004 || 11 || 0.510742 || 0.511719 || 0.511230 ||4.882813e-004 || 12 || 0.510742 || 0.511230 || 0.510986 ||2.441406e-004 || 13 || 0.510742 || 0.511230 || 0.510986 ||2.441406e-004 || 14 || 0.510742 || 0.511230 || 0.510986 ||2.441406e-004 || 15 || 0.510742 || 0.511230 || 0.510986 ||2.441406e-004 || root =0.510986328125000。
数值分析第一次作业解答
数值分析第一次作业解答1：(a) —个问题的病态性如何，与求解它的算法有关系。
x ;(b) 无论问题是否病态，好的算法都会得到它好的近似解。
x ；(C)计算中使用更高的精度，可以改善问题的病态性。
X ；(d) 用一个稳定的算法计算一个良态问题，一定会得到他好的近似解。
V;(e) 浮点数在整个数轴上是均匀分布。
x ;(f) 浮点数的加法满足结合律。
x(g) 浮点数的加法满足交换律。
X ;(h) 浮点数构成有效集合。
V;(i) 用一个收敛的算法计算一个良态问题，一定得到它好的近似解2: 程序t=0.1;n=1:10;e=n/10-n*te = 1.0e-015 *[ 0 0 -0.0555 0 0-0.1110 -0.1110 0 0 0] 由舍人误差造成n=3，6，7 时的结果不为零。
4:两种等价的一元二次方程求解公式-b - Pb2 - 4acx =2a2cx 二-b b2 - 4ac对a=1, b=-100000000, c=1，应采用哪种算法?A二[1,-100000000,1];roots(A);可得：X1 = 100000000;x2=0a=1;b=-100000000;c=1;x1仁(-b-sqrt(b*b-4*a*c))/(2*a)x12=(-b+sqrt(b*b-4*a*c))/(2*a)x2仁2*c/(-b-sqrt(b*b-4*a*c))x22=2*c/(-b+sqrt(b*b-4*a*c))由第一种算法：X1 = 100000000;x2=7.45058 X10由第二种算法：X1 = 13417728;x2=-1.0 X108原因：太小的数作分母。
5:程序:fun cti on y=tt(x)s=0;t=x;n=1;while s+t~=s;s=s+t;t=-x A2/(( n+1)*( n+2))*tn=n+2;endntt(2n 1)eps)(a)t小于计算机的计算精度。
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问题1：20.给定数据如下表：试求三次样条插值S(x)，并满足条件(1)S`(0.25)=1.0000，S`(0.53)=0.6868； （2）S ’’(0.25)=S ’’(0.53)=0。
分析：本问题是已知五个点，由这五个点求一三次样条插值函数。
边界条件有两种，（1）是已知一阶倒数，（2）是已知自然边界条件。
对于第一种边界(已知边界的一阶倒数值)，可写出下面的矩阵方程。
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡432104321034322110d M M M M M 200020000020022d d d d λμμλμλμλ其中μj =j1-j 1-j h h h +，λi=j1-j j h h h +，dj=6f[x j-1,x j ,x j+1]， μn =1，λ0=1对于第一种边界条件d 0=0h 6（f[x 0,x 1]-f 0`），d n =1-n h 6（f`n-f `[x n-1,x n ]） 解：由matlab 计算得：由此得矩阵形式的线性方程组为：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ 2.1150-2.4286-3.2667-4.3143-5.5200-M M M M M 25714.00001204286.000004000.026000.0006429.023571.0001243210解得 M 0=-2.0286;M 1=-1.4627;M 2= -1.0333; M 3= -0.8058; M 4=-0.6546S(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-+-+-∈-+-+-∈-+-+-∈-+-+-]53.0,45.0[x 5.40x 9.1087x 35.03956.8.450-x 1.3637-x .5301.67881- ]45.0,39.0[x 9.30x 11.188x 54.010.418793.0-x 2.2384-x .450(2.87040-]39.0,30.0[x 03.0x 6.9544x 9.30 6.107503.0-x 1.9136-x .3902.708779-]30.0,25.0[x 5.20x 10.9662x 0.3010.01695.20-x 4.8758-x .3006.76209-33333333），（）（）（）（），（）（）（）），（）（）（）（），（）（）（）（Matlab 程序代码如下：function tgsanci(n,s,t) %n代表元素数，s,t代表端点的一阶导。
x=[0.25 0.30 0.39 0.45 0.53];y=[0.5 0.5477 0.6245 0.6708 0.7280];n=5,s=1.0,t=0.6868for j=1:1:n-1h(j)=x(j+1)-x(j);endfor j=2:1:n-1r(j)=h(j)/(h(j)+h(j-1));endfor j=1:1:n-1u(j)=1-r(j);endfor j=1:1:n-1f(j)=(y(j+1)-y(j))/h(j);endfor j=2:1:n-1d(j)=6*(f(j)-f(j-1))/(h(j-1)+h(j));endd(1)=6*(f(1)-s)/h(1)d(n)=6*(t-f(n-1))/h(n-1)a=zeros(n,n);for j=1:1:na(j,j)=2;endr(1)=1;u(n)=1;for j=1:1:n-1a(j+1,j)=u(j+1);a(j,j+1)=r(j);endb=inv(a)m=b*d'p=zeros(n-1,4); %p矩阵为S(x)函数的系数矩阵for j=1:1:n-1p(j,1)=m(j)/(6*h(j));p(j,2)=m(j+1)/(6*h(j));p(j,3)=(y(j)-m(j)*(h(j)^2/6))/h(j);p(j,4)=(y(j+1)-m(j+1)*(h(j)^2/6))/h(j);end对于第二中边界，已知边界二阶倒数，可写出下面的矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡432104321034322110d M M M M M 2000200002002002d d d d λμμλμλμλ 其中μj =j1-j 1-j h h h +，λi=j1-j j h h h +，dj=6f[x j-1,x j ,x j+1]，μn =λ0=0 d 0=d n =0解：由matlab 计算得：由此得矩阵形式的线性方程组为：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0 2.4286-3.2667-4.3143-0M M M M M 25714.00000204286.000004000.026000.0006429.023571.000243210解得M 0=0 ;M 1= -1.8795;M 2= -0.8636; M 3= -1.0292; M 4=0S(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-+-+--∈-+-+---∈-+-+---∈-+-+--]53.0,45.0[x )45.0(1000.953.03987.845.00-x .5302.1442-]45.0,39.0[x 9.30x 1903.11x 54.0417.1093.0-x 8590.2x .4503990.2]39.0,30.0[x 03.0x 9518.6x 9.301137.603.0-x 5993.1x .3904806.3]30.0,25.0[x )25.0(9697.1030.0 010.25-x 2652.6x 0.30 033333333，）（）（）（），（）（）（）（），（）（）（）（，）（）（）（x x x x x matlab 程序代码如下：function tgsanci(n,s,t) %n 代表元素数， x=[0.25 0.30 0.39 0.45 0.53];y=[0.5 0.5477 0.6245 0.6708 0.7280];n=5for j=1:1:n-1h(j)=x(j+1)-x(j);endfor j=2:1:n-1r(j)=h(j)/(h(j)+h(j-1));endfor j=1:1:n-1u(j)=1-r(j);endfor j=1:1:n-1f(j)=(y(j+1)-y(j))/h(j);endfor j=2:1:n-1d(j)=6*(f(j)-f(j-1))/(h(j-1)+h(j));endd(1)=0d(n)=0a=zeros(n,n);for j=1:1:na(j,j)=2;endr(1)=0;u(n)=0;for j=1:1:n-1a(j+1,j)=u(j+1);a(j,j+1)=r(j);endb=inv(a)k=am=b*d'p=zeros(n-1,4); %p矩阵为S(x)函数的系数矩阵for j=1:1:n-1p(j,1)=m(j)/(6*h(j));p(j,2)=m(j+1)/(6*h(j));p(j,3)=(y(j)-m(j)*(h(j)^2/6))/h(j);p(j,4)=(y(j+1)-m(j+1)*(h(j)^2/6))/h(j);endp由下面的一段程序，画出自然边界与第一边界的图形：程序代码如下：x=[0.25 0.30 0.39 0.45 0.53];y=[0.5 0.5477 0.6245 0.6708 0.7280];s=csape(x,y,'variational')fnplt(s,'r')hold onxlabel('x')ylabel('y')gtext('三次样条自然边界')plot(x,y,'o',x,y,':g')hold ons.coefsr=csape(x,y,'complete',[1.0 0.6868])fnplt(r,'b')gtext('三次样条第一边界')hold on r.coefs图中的三条线几乎重合。
xy图20-1 在一小段区间内的图形xy图20-2 在整个给出的区间的图形问题2：1已知函数在下列各点的值为试用4次牛顿插值多项式P 4（x ）及三次样条函数S （x ）（自然边界条件）对数据进行插值。
用图给出{（x i ，y i ），x i =0.2+0.08i ，i=0，1, 11, 10}，P 4（x ）及S （x ）。
分析：（1）要用4次牛顿插值多项式处理数据，P n =f(x 0)+f[x 0,x 1](x-x 0)+ f[x 0,x 1,x 2](x-x 0) (x-x 1)+···+f[x 0,x 1，···x n ](x-x 0) ···(x-x n-1)首先我们要知道牛顿插值多项式的系数，即均差表中得部分均差。
解：由matlab 计算得：P 4（x ）=0.98-0.3(x-0.2)-0.62500 (x-0.2)(x-0.4) -0.20833(x-0.2)(x-0.4)(x-0.6)-0.52083 (x-0.2)(x-0.4)(x-0.6)（x-0.8）计算牛顿插值中多项式系数的程序如下： function varargout=newtonliu(varargin) clear,clcx=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0];fx=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38]; newtonchzh(x,fx);function newtonchzh(x,fx) %由此函数可得差分表 n=length(x);fprintf('*****************差分表*****************************\n'); FF=ones(n,n); FF(:,1)=fx'; for i=2:nfor j=i:nFF(j,i)=(FF(j,i-1)-FF(j-1,i-1))/(x(j)-x(j-i+1)); end endfor i=1:nfprintf('%4.2f',x(i)); for j=1:ifprintf('%10.5f',FF(i,j)); endfprintf('\n'); end（2）用三次样条插值函数由上题分析知,要求各点的M 值： 有matlab 编程计算求出个三次样条函数：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡06.7500-4.5000-3.7500-0M M M M M 2.5000000020.50000000.50002.500000.50002.5000000 243210 解得：M 0=0 ;M 1= -1.6071;M 2= -1.0714; M 3= -3.1071; M 4=0⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-+-+--∈-+-+-∈-+-+--∈-+-+---]0.1,8.0[x )8.0(9.10.1 3036.38.00-x 0.12.5893-]8.0,6.0[x 6.0x 3036.3x 8.00857.4.60-x 5893.2-x .800.8929-]6.0,4.0[x 4.0x 7508.4x 6.04.6536 .40-x 8929.0x .601.3393- ]4.0,2.0[x )2.0(6536.44.0900.42.0 1.33934.00 3333333，）（）（）（），（）（）（）（），（）（）（）（，）（）（）（x x x x x x x 三次样条插值函数计算的程序如下：function tgsanci(n,s,t) %n 代表元素数，s,t 代表端点的一阶导。