第三章液体的表面现象

解：设球形泡内部压强先后分别为 P1，P2，由于泡内气体在等温情况下，半径变为原来的
二倍，则V2 8V1 即 P1 8P2 。
设周围大气压强为 P 时，才可能使泡的半径增加为 2.0×10-2m，则根据附加压公式：
P1

1.136
103

4 R1
4 P2 P R2
P1 8P2
解：由于管内气压比大气压大，所以在密封玻璃管内水银上升；根据压强平衡
P内

2 cos r

gh

P0
P0 P内 30 102 Pa
h 1.7cm
3.7 一株高 5m 的树，外层木质管子(树液输管)为均匀毛细管，半径为 2×10-4mm；设树液的 表面张力系数α＝0.05N.m-1，接触角为 45°，问树的根部最小压强为多少，才能使树液上升 到树的顶端(树液的密度近似取水的密度)？
即： P1R13 P2R23
而由气体附加压强可得，
2 p1 p0 gh R1
2 p2 p0 R2
根据以上等式可得： R2= 3.10 半径为 1.0×10-2m 的球形泡压强为 1.136×103Pa 的大气中吹成，如泡膜的表面张力系数α ＝5.0×10-2N.m-1，问周围大气压强为多大，才可能使泡的半径增加为 2.0×10-2m？设这种变化 是在等温情况下进行的。
解：插入水中半径的玻璃毛细管水上升的高度 h
2 cos gr
2 7.3102 1.0 103 9.8r
插入水中半径的玻璃毛细管水上升的高度 h 2 cos 2 4.7 101 gr 13.6 103 9.8r
3.15 移液管中有 1ml 农用杀虫药物，其密度为ρ水=0.095×103kg·m-3，今令其从移液管中缓慢 滴出，共分 30 滴全部滴完。经过测定，已知药物将要下落时，其颈部的直径为 0.189cm， 求药液的表面张力系数。
2 P0 R
1.0135105 Pa
3.18 将一充满水银的气压计下端浸在宽大盛水银的容器中，读数为 95×104Pa，(1)求水银的 高度；(2)考虑到毛细现象，真正的大气压强为多大？一只毛细管的直径为 d=2.0×10-3m，接 触角θ＝π，α水银=4.9×10-1N·m-1。
解：(1)由已知可得 gh 9.5 105 ，则水银的高度 h 0.71m
第三章 液体的表面现象
3.1 一矩形框被可移动的横杆分成两部分，这两部分分别蒙以表面张力系数位 40×10-3 和 70×10-3N.m-1 的液膜，横杆与框的一边平行，长度位 0.1m，求横杆所受的力。
解：根据液体表面张力 F=αL，得出横杆所受的力： F＝(α1－α2)L=(70×10-3－40×10-3) ×0.1=3×10-3N
B
PA P0
PB

P0

2 R
2 PC P0 R gh
PD PC
D C
图3.12 题3.3图
3.4 等温的吹出一个直径 d=5.0×10-2m 的肥皂泡需做多少功？这是肥皂泡内外压强差是多少 (肥皂泡的表面张力系数为α＝2.5×10-2N.m-1)
解：吹出一个直径 d=5.0×10-2m 的肥皂泡需做的功为：
解：由已知可知 m 4 R3 ，则油的半径为 R 1.74 103 m 。 3
设小油滴的半径为 r，则 4 R3 n 4 r3
3
3
R3 n r3
由 W 可知， S
W (n4r 2 4R2 ) 4R2 ( R 1) r
0.24

4 3.14 0.018 (1.74 103)2
解：根据毛细现象，水上升的高度为 h 2 cos gr
而水柱的重量 G
gh
2 cos r

2 7.3102 105
1.46 104 N
3.14 在插入水中半径的玻璃毛细管内，水上升多高？如果由插入水银中，同样管径的管内 水银 面 下 降 多 少 ？ ( 已知 α 水 =7.3×10-2N·m-1 ， α 银 =4.7×10-1N·m-1 ， ρ 水 =1.0×103kg·m-3 ， ρ 水银 =13.6×103kg·m-3)
2.0 103
1)

2.7 102J
3.9 深为 2m 的水池底部产生直径为 d=5.0×10-5m 的气泡，等温的上升到水面上时，直径是 多大？水的表面张力系数为α＝7.3×10-2N.m-1。
解：设在水池底部气泡内的压强为 P1，半径为 R1，上升到水面上气泡内的压强为 P2，半径
为 R2，由于等温上升到水面，所以内部气体遵循气体状态方程 P1V1 P2V2
解：由毛细现象可得液体上升的高度 h

2 cos gr
，设水上升的高度为 h1，酒精上升高度
为 h2，根据已知可得出：
h1

21 1gr
h2

2 2 2gr
即
h2

1 2 21
h1

30.9mm
3.13 水的表面张力系数为α=7.3×10-2N·m-1。求在半径为 0.01mm 毛细管中，由于表面张力 而能支持水柱的重量。
mg d gh r2
mg d 0.2 103 9.8 7.3102 3.14 2 0.14 102
h g r2
1.0103 9.8 3.14 (0.14102 )2
1cm
3.2 一个毛细管，水能在管内升高到 h ，假如把这个毛细管插入水中，露出水面的高度为 h/2，你能不能由此得到人造喷泉，为什么？水在管中上升的高度是多少，这时接触角是多 大？
解：得不到人造喷泉。
3.3 如图 3.12，半径为 r 的毛细管插入水中，图中 A、B、C、D 各点的压强是多少？
A
解：从图中我们可以看出：
解：由表面张力与重力平衡可得出： G D ，其中 G 为一滴水滴的重力。所以，
V D 30


V 30D

0.095 103 106 30 3.14 0.189 102
5.34 104 N / m
3.16 水和油边界的表面张力系数α=18×10-3N·m-1，为了使 0.2×10-3kg 质量的油在水内散步成 小油滴(当作球形)，需作功 24×10-2J，问小油滴的半径多大？散布过程可以认为是等温的， 油的密度ρ=900kg·m-3。
的高度为 h ，由已知得： S1 4 r 2n , S2 50km2
释放的能量为 E S (S1 S2 )
依质量守恒得

4 3

r3
n


S2
h
即 n 3S2h 4 r 3
故
E

3h S2 ( r
1)

7.3 102
3 50 103 50(
由此得出， P 1.345102 Pa
3.11 一个半径为 5cm 的金属圆环，从液体中刚能拉出时，测得在环的悬线上加 F=2.83×10-2N 的向上拉力，求该液体的表面张力系数(被拉出地液膜可视为很短地圆柱面)。
解：设该液体的表面张力系数为α，则在液体中刚能拉出时，表面张力和悬线上的拉力 F 平 衡，即：
(2)由于毛细现象水银下降的高度为 h

2 cos gr
2 0.49
13.6 103 9.8 103
0.007m
所以真正大气压 P 9.5 105 gh 9.6 105 Pa
3.19 一根横截面是圆形的管子，外半径是 0.14cm，一端封闭，在管的封闭端加以重物，并 使管的封闭端竖直向下地浮在水里。管和重物的总质量为 0.2g，如果接触角为零，问管的 封闭端低于水面多少？α水=7.3×10-2N·m-1。 解：由已知可得，管所受的重力、浮力以及水面给管的表面张力达到平衡达即
1.74 103 [
1]
r
则r
3.17 试计算直径为 2cm 的球形肥皂泡内气体的压强和球形肥皂泡内液体的压强(肥皂液的 α=2.5×10-2N·m-1)。
解：球形肥皂泡内气体的压强
内外压强差： P 4 R
P内

4 R

P0
1.014105 Pa
球形肥皂液滴内压强
P内 P0 PS
解：由接触角θ＝0，可得，
2 gh Ps R
d h
图3.13 R
3.6 一根内直径为 1.0mm 上端封口的玻璃管，竖直插入水银中，平衡后，管内气压比大气压
低 30×102Pa，求水银在管内变化的高度？接触角θ＝140°，α＝465×10-3N.m-1。
F d


F 2R

2.83 10 2 2 3.14 5 102
9.0 102 N / m
3.12 某灯芯能把水引到 80mm 的高度，问酒精在这灯芯中可以上升多高？水的表面张力系 数为α=73×10-3N·m-1，酒精的表面张力系数为α=22.3×10-3N·m-1，密度为 0.79×103kg·m-3，接 触角为 0º。
w S 2.5 102 2 4 ( d )2 3.92 104 J 2
肥皂泡内外压强差
P P0
4
R

2 2.5 102 2.5 102
4Pa
3.5 图 3.13，在水中平行而垂直地插入块间距为 0.5mm 玻璃板。求板间水面上升的高度？ 已知接触角θ＝0，水的α＝7.3×10-2N.m-1。
解：树液升到树顶的原因有两个：毛细现象和根部的压强。树液由于毛细现象上升的高度为 ：
2 cos
2 0.05 cos 45