数列求和方法(带例题和练习题)

数列的求和数列求和主要思路：1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用； 数列求和的常用方法一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 11123(1)2nn k S k n n n ===+++++=+∑… 4、2222211123(1)(21)6nn k S k n n n n ===++++=++∑5、 2333331(1)1232nn k n n S kn =+⎡⎤===++++=⎢⎥⎣⎦∑ 公式法求和注意事项 （1）弄准求和项数n 的值；（2）等比数列公比q 未知时，运用前n 项和公式要分类。

例1．求和221-++++n xx x (0,2≠≥x n )二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.例2．求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S例3．求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 三、倒序相加法如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列前n 项和即可用倒序相加发，如等差数列的前n 项和就是此法推导的例4．求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值例4变式训练1：求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值. 例4变式训练2： 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.例4变式训练3：在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例5．已知数列{}n a 的通项公式321nn a n =+-，求数列{}n a 的前n 项和n S 。

例5变式训练1： 求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 例5变式训练2：求数列的前n 项和：13,24,35,,(2),n n ⨯⨯⨯+；例6．求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，…五、裂项相消法：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1）111)1(1+-=+n n n n（2）1111()(2)22n n n n =-++ （3）)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n若为等差数列，公差为d ，则；（411n nn n =+++（5）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n (6) ])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(7) nn n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则)()1(n f n f a n -+=例7．求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,1,,321,211n n 的前n .例8．在数列{a n }中，1211++⋅⋅⋅++=n nn a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.例8变式训练1：求数列的前n 项和：1111,,,,,132435(2)n n ⨯⨯⨯+；参考答案：例2解：1x ≠时132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位）①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=--∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+1x =时 略例3解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积 设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S例4．解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （倒序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5例4变式训练1：解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°∵ )180cos(cosn n --= （找特殊性质项） ∴S n ＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）＝ 0例4变式训练2：解：设S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得,2,3,1654-=-=-=a a a,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a……2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性质项） ∴ S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++ （合并求和） ＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+＝2002200120001999a a a a +++ ＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5例4变式训练3：解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =⇒+=+ （找特殊性质项） 和对数的运算性质 N M N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++= （合并求和）＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅ ＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++＝10例5．略例5变式训练1：解：由于)110(91999991111111-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅kk k个个 （找通项及特征）∴11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++＝)110(91)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n （分组求和） ＝)1111(91)10101010(911321 个n n +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++ ＝9110)110(1091nn ---⋅＝)91010(8111n n --+ 例5变式训练2：∵2(2)2n n n n +=+，∴n S 222(123=+++ (2))2(123n ++⨯+++…)n +(1)(27)6n n n ++=例6．解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n 将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- 例7．解：设n n n n a n -+=++=111 （裂项） 则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n例8．解： ∵ 211211n n n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和） ＝)111(8+-n ＝ 18+n n例8变式训练1：∵1111()(2)22n n n n =-++，∴11111111[(1)()()()]2324352n S n n =-+-+-++-+1111(1)2212n n =+--++．数列求和练习一、选择题 1 ．设{}n a 是公差不为0的等差数列,12a =且136,,a a a 成等比数列,则{}n a 的前n 项和n S =（ ）A ．2744n n+ B ．2533n n+ C ．2324n n+ D ．2n n +2 ．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且41a ,22a ,3a 成等差数列｡若1a =1,则4S =（ ）A ．7B ．8C ．15D ．163 ．数列11111,2,3,424816，……的前n 项和为（ ）A ．2122n n n ++B ．2122n n n +-+C ．21122n n n +-++D ．21122n n n ++-+4 ．已知等差数列{}n a 中,10795=-+a a a ,记n n a a a S +++= 21,则13S 的值为（ ）A ．130B ．260C ．156D ．1685 ．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知2110m m ma a a -++-=,2138m S -=,则m = （ ）A ．38B ．20C ．10D ．96 ．等差数列是5, 743,724中,第n 项到n +6项的和为n T ,则当n T 最小时,n 的值为 （ ）A ．6B ．4C ．5D ．37 ．等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，12008a =，20072005220072005S S -=，则2008S 的值为 ()2006A - ()2006B ()2008C - ()2008D8 ．将二进制数()1611112转换成十进制是 （ ）A ．1722-B ．1622-C ．1621-D ．1521-9 ．设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ,且0n S ≠*()n N ∈, 则下列等式成立的是（ ）A ．23n n n S S S +=B ．223n nn nS S S S = C ．D ．2232n n nn n n nS S S S S S S -=--10．已知二次函数1)12()1(2++-+=x n x n n y ，当n 依次取10,,4,3,2,1•••时，其图像在x 轴上所截得的线段的长度的总和为 （ ）A ．1B ．1110 C ．1112 D ．1211 11．数列⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++,2221,,221,21,122n的前n 项和=n S（ ）A ．n 2B ．n n -2C ．n n -+12D ．221--+n n12．等差数列｛a n ｝和｛b n ｝的前n 项和分别为S n 与Ｔn ，对一切自然数n ，都有n n T S =132+n n，则55b a 等于( ) A ．32B ．149 C ．3120 D ．1711 13．数列{}n a 的通项公式是11++=n n a n ，若前n 项的和为10，则项数n 为（ ）A ．11B ．99C ．120D ．121 14．已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q ，则q 的取值范围是（ ）A ．)251,0(+ B ．]1,215(- C ．)251,1[+ D ．)251,215(+- 15．数列{2312++n n }的前n 项和为 （ ）A ．4212++n nB ．2212+-n nC ．42+n nD ．221+-n n二、填空题16．等差数列{n a }前n 项和为n S ｡已知1m a -+1m a +-2ma=0,21m S -=38,则m=_______17．已知1)1 1(=，f ，且对任意正整数n m 、若k n m f =) (，，则1)1 (+=+k n m f ，，则=)1000 1(，f _____________。