整数的整除性
第一讲整数的整除性
第一讲 整数的整除性一、整除的概念·带余除法我们知道两个整数的和、差、积仍然是整数，但是用一不等于零的整数去除另一个整数所得的商却不一定是整数，因此我们引入整除的概念：定义1 设a ，b 是整数，b ≠ 0，如果存在整数q ，使得a = bq成立，则称b 整除a （或a 能被b 整除），记作a ∣b 。
此时，称a 是b 的倍数，b 是a 的约数（或因数）。
如果上述q 不存在，我们就说b 不整除a 或a 不能被b 整除，记作|b a /。
显然每个非零整数a 都有约数 ±1，±a ，称这四个数为a 的平凡约数，a 的另外的约数称为非平凡约数。
下面我们来讨论关于整除的基本性质.定理1（传递性） 如果a ，b 和c 是整数，且a ∣b ，b ∣c ，则a|c.证明因为a ∣b ，b ∣c ，所以存在整数e 和f ，使得b=ae ，c=bf .因此c=bf=(ae )f=a (ef ),从而得到a|c.例如，11|66而66|198，由上述定理可知11|198.定理2 如果a, b, c ,m ,n 为整数且c ∣a,c ∣b,则c ∣（ma+nb ）证明 因为c ∣a ，c ∣b ，所以存在整数e 和f ，使得a=ce ，b=cf .因此 ma+nb=m (ce )+n (cf )=c (me+nf ),从而得到c ∣（ma+nb ）定理3 如果a|b,c|d, 则ac|bd .下面的定理是关于整除性的一个重要结论.定理4（带余除法）如果a 、b 是整数且b≠0，则存在唯一的整数q 和r ，使得a=bq+r ,(0||r b ≤<).证明 (存在性)(i)当b>0时，作整数序列…，-3b,-2b,-b ,0,b ,2b ,3b, …若a 与上面序列中的某一项相等，则a=bq ，即a=bq+r,r=0.若a 与上面序列中的任一项都不相等，则a 必在此序列的某相邻两项之间，即有确定的整数q ，使bq<a<b(q+1).令r a bq =-,则0r b ≤<（ii ）若0b <，则||0b >.由(i)知，存在整数s,t 满足||a b s t =+且0||t b ≤<.又因||b b =-，所以a bs t =-+.取q s =-，r t =，则有a bq r =+且0||r b ≤<.（惟一性）假设有两对整数q '、r '与q ''、r ''满足a = q ''b + r '' = q 'b + r '，0 ≤ r ', r '' < |b |，则 (q '' - q ')b = r ' - r ''，因0 ≤ r ', r '' < |b |，所以|r ' - r ''| < |b |， 从而| (q '' - q ')b|= |q '' - q '||b|< |b|, 即|q '' - q '|<1,故|q '' - q '|=0 即q '' = q ' 从而r ' = r ''。
整除的性质和特征
整除的性质和特征整除是数论中的一个重要概念，它描述了一个整数能够被另一个整数整除，也就是除法运算的结果是整数。
整除有着许多重要的性质和特征，下面将详细介绍。
1.定义：整数a能够被整数b整除，即b是a的因数，记作b，a，当且仅当存在一个整数c，使得a=b·c。
其中，c称为a除以b的商，b称为a的约数，a称为b的倍数。
2.可加性：如果c是a的一个约数，那么c也是a的倍数。
换句话说，如果一个整数能够整除a，那么它也能够整除a的倍数。
3.可乘性：如果b，a且c，a，那么b·c也，a。
换句话说，如果一个整数能够整除a和b，那么它也能够整除a与b的乘积。
4.整除的传递性：如果b，a且c，b，那么c，a。
换句话说，如果一个整数能够整除a和b，那么它也能够整除a。
5.算术基本定理：任意一个大于1的整数，都可以表达为多个质数的积。
这意味着，如果一个整数可以整除另一个整数，那么它必然可以整除这个整数的所有质因数。
6. 两个非零整数的最大公约数和最小公倍数：两个非零整数a和b的最大公约数（记作gcd(a,b)）是能够同时整除a和b的最大正整数。
两个非零整数a和b的最小公倍数（记作lcm(a,b)）是能够同时被a和b整除的最小正整数。
于是有gcd(a,b)·lcm(a,b)=a·b。
7.唯一分解定理：任何一个整数都能够唯一地分解为几个质数的乘积。
这个定理也说明了一个数的因数有限，不会无限增多。
8. 整除与除法的关系：一个整数a能够被b整除，相当于a除以b 的余数为0。
对于任意的整数a和b，总能够找到唯一的两个整数商q和余数r，使得a=bq+r，其中r满足0≤r<，b。
9. 整除与模运算的关系：一个整数a能够被b整除，等价于a除以b的余数为0，即a mod b = 0。
在模运算中，a mod b表示a除以b的余数。
10. 除法的消去律：如果一个整数a能够被b整除，那么对于任意的整数c，ac也能够被bc整除。
整数整除的概念和性质
综合创新
24．重排任一个三位数三个位上的数字，得到 一个最大的数和一个最小的数，它们的差构 成另一个三位数(允许百位数字为0)，再重复 以上的过程，问重复2003次后所得的数是多 少?证明你的结论． (2 0 0 4年武汉市选拔赛试题)
一.求被除数类
1. 同余加余，同差减差 例1.某数被7除余6，被5除余3，被3除余3，求此数最小是多少？ 解：因为"被5除余3，被3除余3"中余数相同，即都是3（同余），所以要先求满足5和 3的最小数，[5、3]=15， 15+3=18， 18÷7=2……4不余6，（不对） 15×2=30 （30+3）÷7=4……5不余6（不对） （15×3+3）÷7=6……6（对） 所以满足条件的最小数是48。
能力拓展
21．将分别写有数码1，2，3，4，5，6，7，8， 9的九张正方形卡片排成一排，发现恰是一个 能被11整除的最大的九位数。请你写出这九 张卡片的排列顺序，并简述推理过程。 22．将糖果300粒、饼干210块和苹果163个平 均分给某班同学，余下的糖果、饼干和苹果 的数量之比是1：3：2．问该班有多少名同学? 23．已知质数p、q使得表达式(2p+1)/q及(2q3)/p都是自然数，试确定p2q的值。
练习题：
1. 一个三位数被37除余17，被36除余3，那么这个三位数是多少？ 2. 已知整数n除以3余2，求n除以12的余数？ 3. 某数除以13余5，除以17余8，除以21余4，求此数最小是多少？ 4. 号码分别为101，126，173，193的四个运动员进行乒乓球比赛，规定每 两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数。那么，打球盘数最多的运动 员打了多少盘？ 5. 求21000除以13的余数是多少？ 6. 当n是1到1992之间的一个自然数时，把它的各位数字相加，如果它的和 不是一个一位数，那么把它的各位数再相加，如此继续下去，直到得到一个从1 到9的一位数为止（例如：468→18→9）。问在1到1992这1992个自然数经过上 述方法处理后所得的1992个一位数中，3多还是4多？多几个？ 7. 由2000个2组成的数除以13，所得的余数是几？
初中数学竞赛讲座-数论部分2(整数的整除性)
初中数学竞赛讲座-数论部分2（整数的整除性）第二讲整数的整除性一、基础知识：1．整除的基本概念与性质所谓整除，就是一个整数被另一个整数除尽，其数学定义如下．定义：设a，b是整数，b≠0．如果有一个整数q，使得a=bq，那么称a能被b整除，或称b整除a，并记作b｜a．也称b是a的约数，a是b的倍数。
如果不存在这样的整数q，使得a=bq，则称a不能被b整除，或称b不整除a，记作b｜a．关于整数的整除，有如下一些基本性质：性质1若a|b,b|c，则a|c证明：∵a|b,b|c，∴bap,cbq（p,q是整数），∴c(ap)q(pq)a，∴a|c性质2若a｜b，b｜a，则|a|=|b|．性质3若c｜a，c｜b，则c｜(a±b)，且对任意整数m，n，有c｜(ma±nb)．证明：∵a|b,a|c，∴bap,caq(b,q是整数），∴bcapaqa(pq)，∴a|(bc)性质4若b｜a，d｜c，则bd｜ac．特别地，对于任意的非零整数m，有bm｜am性质5若a=b＋c，且m｜a，m｜b，则m｜c．性质6若b｜a，c｜a，则[b，c]｜a．特别地，当(b，c)=1时，bc｜a【此处[b，c]为b，c的最小公倍数；(b，c)为b，c的最大公约数】．性质7若c｜ab，且(c，a)=1，则c｜b．特别地，若p是质数，且p｜ab，则p｜a或p｜b．性质8n个连续整数中，必有一个能被n整除．【特别地：两个连续整数必有一偶数；三个连续整数必有一个被3整除，如11，12，13中有3|12；41，42，43，44中有4|44；77，78，79，80，81中5|80．】二．证明整除的基本方法证明整除常用下列几种方法：(1)利用基本性质法；(2)分解因式法；(3)按模分类法；(4)反证法等．下面举例说明．例1若a｜n，b｜n，且存在整数某，y，使得a某+by=1，证明：ab|n．初中数学兴趣班系列讲座——数论部分唐一良数学工作室证明：由条件，可设n=au，n=bv，u，v为整数，于是n=n(a某+by)=na某+nby=abv某+abuy=ab(v某+uy)所以n|ab例2证明：三个连续奇数的平方和加1，能被12整除，但不能被24整除．分析要证明一个数能被12整除但不能被24整除，只需证明此数等于12乘上一个奇数即可．证明：设三个连续的奇数分别为2n-1，2n＋1，2n+3(其中n是整数)，于是(2n-1)2+(2n+1)2+(2n+3)2＋1=12(n2＋n＋1)．所以12｜[(2n-1)2＋(2n＋1)2＋(2n＋3)2]．又n2+n＋1=n(n＋1)+1，而n，n+1是相邻的两个整数，必定一奇一偶，所以n(n+1)是偶数，从而n2＋n+1是奇数，故24|[(2n-1)2+(2n+1)2＋(2n＋3)2]．例3若整数a不被2和3整除，求证：24｜(a2-1)．分析因为a既不能被2整除，也不能被3整除，所以，按模2分类与按模3分类都是不合适的．较好的想法是按模6分类，把整数分成6k，6k＋1，6k＋2，6k＋3，6k＋4，6k＋5这六类．由于6k，6k＋2，6k＋4是2的倍数，6k＋3是3的倍数，所以a只能具有6k＋1或6k＋5的形式，有时候为了方便起见，也常把6k＋5写成6k-1(它们除以6余数均为5)．证明因为a不被2和3整除，故a具有6k±1的形式，其中k是自然数，所以a2-1=(6k±1)2-1=36k2±12k=12k(3k±1)．由于k与3k±1为一奇一偶(若k为奇数，则3k±1为偶数，若k为偶数，则3k±1为奇数)，所以2｜k(3k±1)，于是便有24｜(a2-1)．例4若某，y为整数，且2某+3y，9某＋5y之一能被17整除，那么另一个也能被17整除．证明：设u=2某＋3y，v=9某＋5y．若17｜u，从上面两式中消去y，得3v-5u=17某．①所以17｜3v．因为(17，3)=1，所以17｜v，即17｜9某＋5y．若17｜v，同样从①式可知17｜5u．因为(17，5)=1，所以17｜u，即17｜2某＋3y．例5已知a，b是自然数，13a＋8b能被7整除，求证：9a+5b都能被7整除．分析：考虑13a＋8b的若干倍与9a+5b的若干倍的和能被7整除，证明13a＋8b+4（9a+5b）=7（7a+4b）是7的倍数，又已知13a+8b是7的倍数，所以4（9a+5b）是7的倍数，因为4与7互质，由性质7|（9a+5b）例6已知a，b是整数，a2＋b2能被3整除，求证：a和b都能被3整除．初中数学兴趣班系列讲座——数论部分唐一良数学工作室证明用反证法．如果a，b不都能被3整除，那么有如下两种情况：(1)a，b两数中恰有一个能被3整除，不妨设3｜a，3b．令a=3m，b=3n±1(m，n都是整数)，于是a2+b2=9m2+9n2±6n+1=3(3m2＋3n2±2n)+1，不是3的倍数，矛盾．(2)a，b两数都不能被3整除．令a=3m±1，b=3n±1，则a2＋b2=(3m±1)2+(3n±1)2=9m2±6m+1+9n2±6n＋1=3(3m2+3n2±2m±2n)＋2，不能被3整除，矛盾．由此可知，a，b都是3的倍数．例7已知a，b是正整数，并且a2＋b2能被ab整除，求证：a=b．先考虑a，b互质的情况，再考虑一般情况。
整除性和同余性的定义和性质
整除性和同余性的定义和性质整除性和同余性是数学中非常重要的概念。
它们在代数、数论以及计算机科学等众多学科中有着广泛的应用。
本文将从定义、性质等方面对整除性和同余性进行详细的介绍。
一、整除性的定义和性质1.1 定义整除性是指对于两个整数a和b，若存在另外一个整数k，使得a=k×b，则称a可以被b整除，b是a的因数，a是b的倍数。
通常记为b|a。
1.2 性质①任何整数都可以被1和其本身整除。
②如果b|a，且c|b，则c|a。
③如果b|a，且a|c，则b|c。
④如果b|a，且a|b，则a=b或a=-b。
⑤如果b|a且b≠0，则|b|≤|a|，并且|a|/|b|是一个整数。
1.3 应用整除性在代数学和数论中都有广泛的应用。
以代数为例，整除性是求最大公因数和最小公倍数的基本工具。
对于给定的两个整数a和b，可以通过求解它们的公共因子（即两者都能够整除的整数）的最大值来得到它们的最大公因数。
而最小公倍数则可以通过求解a和b之间的联通代数条件来得到。
二、同余性的定义和性质2.1 定义同余性是指对于任意的整数a和b，若它们的差a-b能够被某一个正整数m整除，则称a和b在模m意义下同余，记为a≡b(mod m)。
2.2 性质① (自反性) a≡a(mod m)。
② (对称性) 若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。
③ (传递性) 若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
④ (加减法性) 若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a±c≡b±d(mod m)。
⑤ (乘法性) 若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd(mod m)。
2.3 应用同余性在计算机科学中有广泛的应用。
由于计算机只能计算有限集合中的元素，因此需要在有限范围内的数据上进行运算。
同余性可以将数据限制在一个固定的范围内，并保证运算后的结果还在这个范围内，从而避免了数据溢出或越界的问题。
数论讲义一：整除
数论讲义一：整除整除是整数的一个重要内容，这里仅介绍其中的几个方面：整数的整除性、最大公约数、最小公倍数、方幂问题。
Ⅰ.整数的整除性初等数论的基本研究对象是自然数集合及整数集合。
我们知道，整数集合中可以作加、减、乘法运算，并且这些运算满足一些规律（即加法和乘法的结合律和交换律，加法与乘法的分配律），但一般不能做除法，即，如是整除，，则不一定是整数。
由此引出初等数论中第一个基本概念：整数的整除性。
定理一：（带余除法）对于任一整数和任一整数，必有惟一的一对整数，使得，，并且整数和由上述条件惟一确定，则称为除的不完全商，称为除的余数。
若，则称整除，或被整除，或称的倍数，或称的约数（又叫因子），记为。
否则，| 。
任何的非的约数，叫做的真约数。
0是任何整数的倍数，1是任何整数的约数。
任一非零的整数是其本身的约数，也是其本身的倍数。
由整除的定义，不难得出整除的如下性质：（1）若（2）若（3）若，则反之，亦成立。
（4）若。
因此，若。
（5）、互质，若（6）为质数，若则必能整除中的某一个。
特别地，若为质数，（7）如在等式中除开某一项外，其余各项都是的倍数，则这一项也是的倍数。
（8）n个连续整数中有且只有一个是n的倍数。
（9）任何n个连续整数之积一定是n的倍数。
（10）二项式定理：；；经典例题：一、带余除法1．若是形如的数中最小的正整数，求证：；分析：利用带余除法，设2．为质数，，证明：被整除；分析：利用带余除法处理，可以设，再来表示二．若3．设和为自然数，使得被整除，证明：分析：根据恒等式4．为给定正整数，对任意，都有，证明：；分析：注意到，对任意，有三、利用牛顿二项式定理；；5．设都是正整数，，且，证明：；分析：首先由，而，讨论的奇偶性6．已知，定义，证明：；分析：当时，四、配对思想7．设为奇数，证明：；分析：由于，这些数的分子都是，分母都小于，因此想到用配对法做此题；五．反证法8．设，，而是一个不小于的正整数，证明：存在整数，使得；整除作业一1．设为有理数，为最小正整数，使得是整数，如果与是整数，证明：。
106 整数的整除性
整数的整除性Division in the Integers定理（带余除法）设n和m都是整数且n≠0，则可以唯一地将m写为m = q⋅n + r，其中q和r是整数，且0 ≤r < |n|。
q称作商（quotient），r称作余数（remainder），记作r = m mod n。
☐例：⏹-29 = (-6)⋅5+1 ⏹143 = 11⋅13+0 ⏹915 = 11⋅78+57☐若余数r =0，则称m 能被n 整除（m is dividable by n），或n 整除m（n divides m），记作n|m。
☐此时，称m是n的一个倍数(multiple)，称n是m的一个约数或因子（divisor）。
☐若n|m，则存在整数q 使得m=q n，且有n≤|m| 。
☐例⏹3|12⏹3|(-15)⏹12 的所有因子是{±1, ±2, ±3, ±4, ±6,±12}定理假设a, b, c 是整数，a≠0，则(a) 若a|b且a|c，则对于任意的整数x, y，有a|(xb+yc)；(b) 若b≠0，a|b且b|c，则a|c；(c) 若b≠0，a|b且b|a，则a=±b。
☐证明若a|b且a|c，则对于任意的整数x, y，有a|(xb+yc)⏹若a|b且a|c，则存在整数k1及k2使a及c = k2a得b = k1⏹于是xb+yc = xk1a+yk2a = (xk1+yk2)a⏹即a|(xb+yc)定理对于任意正整数a，有a|a及1|a。
☐若大于1 的整数p的所有正因子只有p和1，则称其为质数或素数（prime）；否则称其为合数（composite number）。
☐例⏹2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19都是素数⏹而4, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18都是合数☐定理有无穷多个素数。
☐证明.（反证法）⏹假设只有有穷多个素数，设为p1,p2,…,p n ⏹令m=p1p2…p n+1，显然有p i∤m，1 ≤i ≤n⏹因此要么m本身是素数，要么存在大于p n 的素数整除m，与假设产生矛盾。
整数的运算和性质
整数的运算和性质整数是数学中的基础概念之一，其运算规则和性质在数学中有着重要的地位。
本文将围绕整数的运算和性质展开论述，包括整数的四则运算、整数的质数与合数性质、整数的奇偶性质以及整数的整除性质等。
通过深入探讨，我们将更好地理解和应用整数的运算和性质。
一、整数的四则运算整数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
具体规则如下：1. 加法：整数相加遵循“正+正为正，负+负为负”的原则。
例如，2+3=5，(-2)+(-3)=-5。
2. 减法：整数相减可以转化为加法运算。
当减数为正整数，被减数为负整数时，减法可以转化为整数的加法。
例如，7-(-2)=7+2=9。
3. 乘法：整数相乘遵循“异号相乘得负，同号相乘得正”的原则。
例如，(-3)×(-4)=12，2×3=6。
4. 除法：整数之间的除法需要注意取整规则。
当除数和被除数同号时，商为正整数；当除数和被除数异号时，商为负整数。
例如，8÷(-2)=-4，(-6)÷2=-3。
二、整数的质数与合数性质质数是只能被1和自身整除的正整数，而合数是能够被其他正整数整除的正整数。
我们可以根据这一定义来判断一个整数是质数还是合数。
1. 质数：质数只有两个正因数，即1和自身。
例如，2、3、5、7等都是质数。
2. 合数：合数可以分解为两个以上的正整数相乘的形式。
例如，4=2×2，6=2×3，8=2×2×2等都是合数。
三、整数的奇偶性质整数可以分为奇数和偶数两类。
1. 奇数：奇数是不能被2整除的整数，其个位数字只能是1、3、5、7或9。
例如，1、3、5、7等都是奇数。
2. 偶数：偶数是能够被2整除的整数，其个位数字只能是0、2、4、6或8。
例如，2、4、6、8等都是偶数。
奇数和偶数之间有一些特殊的性质。
例如，两个奇数相加的结果是偶数，奇数与偶数相乘的结果是偶数，偶数与偶数相乘的结果是偶数等。
四、整数的整除性质整数的整除性质是指一个整数能否被另一个整数整除的规律。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
整数的整除性
竞赛讲座02
－
．的有关概念、性质
整除的定义：对于两个整数a、d，若存在一个整数p，使得成立，则称d整除a，或a被d整除，记作d|a。
若d不能整除a，则记作da，如2|6，46。
性质
）若b|a，则b|，且对任意的非零整数有b|a
）若a|b，b|a，则|a|=|b|;
）若b|a，c|b，则c|a
）若b|ac，而=1=1表示a、b互质，则b|c；
）若b|ac，而b为质数，则b|a，或b|c；
）若c|a，c|b，则c|，其中、n为任意整数
例1x，y，z均为整数，若11｜，求证：11｜。
证明∵4+3=11
而11｜11,
且11｜,
∴11｜4
又=1
∴11｜.
整除性问题的证明方法
利用数的整除性特征
例2设72｜的值。
解72=8×9，且=1，所以只需讨论8、9都整除的值。
若8｜，则8｜，由除法可得ｂ＝２。
若9｜，则9｜，得a=3。
利用连续整数之积的性质
①任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之一积，因此一定可被2整除。
②任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除。
这个性质可以推广到任意个整数连续之积。
例3证明：对任何整数n都为整数，且用3除时余2。
证明
∵为连续二整数的积,必可被2整除.
∴对任何整数n均为整数,
∵为整数,即原式为整数.
又∵
n、2n+1、2n+2为三个连续整数，其积必是3的倍数，而2与3互质，
∴是能被3整除的整数.
故被3除时余2.
例4一整数a若不能被2和3整除，则a2+23必能被24整除.
证明∵a2+23=+24，只需证a2-1可以被24整除即可.
∵2.∴a为奇数.设a=2+1,
则a2-1=2-1=42+4=4.
∵、+1为二个连续整数，故必能被2整除，
∴8|4，即8|.
又∵，a，为三个连续整数，其积必被3整除，即3|a=a，∵3a，∴3|.3与8互质,∴24|,即a2+23能被24整除.
利用整数的奇偶性
下面我们应用第三讲介绍的整数奇偶性的有关知识来解几个整数问题.
例5求证:不存在这样的整数a、b、c、d使：
a•b•c•d-a=①
a•b•c•d-b=②
a•b•c•d-c=③
a•b•c•d-d=④
证明由①，a=.
∵右端是奇数，∴左端a为奇数，bcd-1为奇数.
同理,由②、③、④知b、c、d必为奇数，那么bcd为奇数，bcd-1必为偶数，则a必为偶数，与①式右端为奇数
矛盾.所以命题得证.
例6设有n个实数x1,x2,…，xn，其中每一个不是+1就是-1，
且
试证n是4的倍数.
证明设，
则yi不是+1就是-1，但y1+y2+…+yn=0，故其中+1与-1的个数相同，设为，于是n=2.又y1y2y3…yn=1，即=1，故为偶数，
∴n是4的倍数.
其他方法：
整数a整除整数b，即b含有因子a.这样,要证明a整除b,采用各种公式和变形手段从b中分解出因子a就成了一条极自然的思路.
例7使n3+100能被n+10整除的正整数n的最大值是多少?
解n3+100=-900.
若n+100能被n+10整除,则900也能被n+10整除.而且,当n+10的值为最大时,相应地n的值为最大.因为900的最大因子是900.所以,n+10=900,n=890.
例8设a、b、c为满足不等式1＜a＜b＜c的整数，且能被abc整除，求所有可能数组.
解∵
=a2b2c2-abc+ab+ac+bc-1，①
∵abc|.
∴存在正整数,使
ab+ac+bc-1=abc,②
=＜＜＜＜
∴=1.
若a≥3，此时
=-＜矛盾.
已知a＞1.∴只有a=2.
当a=2时，代入②中得2b+2c-1=bc，
即1=＜
∴0＜b＜4，知b=3，从而易得c=5.
说明：在此例中通过对因数的范围讨论，从而逐步确定a、b、c是一项重要解题技巧.
例9已知存在整数n，能使数被1987整除.求证数
都能被1987整除.
证明∵×××，且能被1987整除，∴p能被1987整除.
同样，
q=
且
∴
故、102、被除，余数分别为1000，100，10，于是q表示式中括号内的数被除，余数为1987，它可被1987整除，所以括号内的数能被1987整除，即q能被1987整除.
练习二
．选择题
若数n=20•30•40•50•60•70•80•90•100•110•120•130，则不是n的因数的最小质数是.
1713非上述答案
在整数0、1、2…、8、9中质数有x个，偶数有y个，完全平方数有z个，则x+y+z等于.
13121110
可除尽311+518的最小整数是.
35311+518以上都不是
．填空题
把100000表示为两个整数的乘积，使其中没有一个是10的整倍数的表达式为__________.
一个自然数与3的和是5的倍数,与3的差是6的倍数,这样的自然数中最小的是_________.
在十进制中,各位数码是0或1,并且能被225整除的最小自然数是________.
求使为整数的最小自然数a的值.
证明:对一切整数n,n2+2n+12不是121的倍数.
设是一个四位正整数,已知三位正整数与246的和是一位正整数d的111倍,又是18的倍数.求出这个四位数,并写出推理运算过程.
能否有正整数、n满足方程2+1954=n2.
证明：133|，其中n为非负整数.
若将中的11改为任意一个正整数a,则中的12,133将作何改动?证明改动后的结论.
设a、b、c是三个互不相等的正整数.求证:在a3b-ab3,b3c-bc3,c3a-ca3三个数中,至少有一个能被10整除.
100个正整数之和为101101,则它们的最大公约数的最大可能值是多少?证明你的结论.
练习参考答案
１．Ｂ．Ｂ．Ａ
２．２５•５５．２７．
３．由XXa为一整数平方可推出a=5．
４．反证法．若是１２１的倍数，设ｎ２＋２ｎ＋１２＝１２１ｋ２＝１１．∵１１是素数且除尽２，
∴１１除尽ｎ＋１１１２除尽２或１１｜１１ｋ－１，不可能．
５．由是ｄ的１１１倍，可能是１９８，３０９，４２０，５３１，６４２，７５３；又是１８的倍数，∴只能是
１９８．而１９８＋２４６＝４４４，∴ｄ＝４，是１９８４．
７．１１ｎ＋２＋１２２ｎ＋１＝１２１×１１ｎ＋１２×１４４ｎ＝１２１×１１ｎ＋１２×１１ｎ－１２×１１ｎ＋１２×１４４ｎ＝…＝１３３×１１ｎ＋１２×．项可被１３３整除．又１４４－１１｜１４４ｎ－１１ｎ，∴１３３｜１１ｎ＋２＋１２２ｎ＋１．
１１改为ａ．１２改为ａ＋１，１３３改为ａ＋１．改动后命题为ａ＋１｜ａｎ＋２＋２ｎ＋１，可仿上证明．８．∵ａ３ｂ－ａｂ３＝ａｂ；同理有ｂ；ｃａ．若ａｂ、ｃ中有偶数或均为奇数，以上三数总能被２整除．又∵在ａ、ｂ、ｃ中若有一个是５的倍数，则题中结论必成立．若均不能被５整除，则ａ２，ｂ２，ｃ２个位数只能是１，４，６，９，从而ａ２－ｂ２，ｂ２－ｃ２，ｃ２－ａ２的个位数是从１，４，６，９中，任取三个两两之差，其中必有０或±５，故题中三式表示的数至少有一个被５整除，又２、５互质．
９．设１００个正整数为ａ１，ａ２，…，ａ１００，最大公约数为ｄ，并令
则ａ１＋ａ¬２＋…＋ａ１００＝ｄ＝１０１１０１＝１０１×１００１，故知ａ１′，ａ２′，ａ′１００不可能都是１，从而ａ′１＋ａ′２＋…＋ａ′１００≥１×９
９＋２＝１０１，ｄ≤１００１；若取ａ１＝ａ２＝ａ９９＝１００１，ａ１００＝２００２，则满足ａ１＋ａ２＋…＋ａ１００＝１００１×１０１＝１０１１０１，且ｄ＝１００１，故ｄ的最大可能值为１００１。