数的整除特性1讲义
竞赛讲义——整数的整除性
整数的整除性整数的整除性问题，是数论中的最基本问题，也是国内外数学竞赛中最常出现的内容之一．由于整数性质的论证是具体、严格、富有技巧，它既容易使学生接受，又是培养学生逻辑思维和推理能力的一个有效课题，因此，了解一些整数的性质和整除性问题的解法是很有必要的．1．整除的基本概念与性质所谓整除，就是一个整数被另一个整数除尽，其数学定义如下．定义设a，b是整数，b≠0．如果有一个整数q，使得a=bq，那么称a能被b整除，或称b整除a，并记作b｜a．如果不存在这样的整数q，使得a=bq，则称a不能被b整除，或称b不整除a，记作b a．关于整数的整除，有如下一些基本性质：性质1 若b｜a，c｜b，则c｜a．性质2 若c｜a，c｜b，则c｜(a±b)．性质3 若c｜a，c b，则c(a±b)．性质4 若b｜a，d｜c，则bd｜ac．性质5 若a=b＋c，且m｜a，m｜b，则m｜c．性质6 若b｜a，c｜a，则[b，c]｜a(此处[b，c]为b，c的最小公倍数)．特别地，当(b，c)=1时，bc｜a(此处(b，c)为b，c的最大公约数)．性质7 若c｜ab，且(c，a)=1，则c｜b．特别地，若p是质数，且p｜ab，则p｜a或p｜b．性质8 若a≠b，n是自然数，则(a-b)｜(a n-b n)．性质9 若a≠-b，n是正偶数，则(a＋b)｜(a n-b n)．性质10 若a≠-b，n是正奇数，则(a＋b)｜(a n＋b n)．2．证明整除的基本方法证明整除常用下列几种方法：(1)利用基本性质法；(2)分解因式法；(3)按模分类法；(4)反证法．下面举例说明．例1. 证明：三个连续奇数的平方和加1，能被12整除，但不能被24整除．分析要证明一个数能被12整除但不能被24整除，只需证明此数等于12乘上一个奇数即可．证设三个连续的奇数分别为2n-1，2n＋1，2n+3(其中n是整数)，于是(2n-1)2+(2n+1)2+(2n+3)2＋1=12(n2＋n＋1)．所以,12｜[(2n-1)2＋(2n＋1)2＋(2n＋3)2]．又n2+n＋1=n(n＋1)+1，而n，n+1是相邻的两个整数，必定一奇一偶，所以n(n+1)是偶数，从而n2＋n+1是奇数，故24 [(2n-1)2+(2n+1)2＋(2n＋3)2]．例2. 若x，y为整数，且2x+3y，9x＋5y之一能被17整除，那么另一个也能被17整除．证设u=2x＋3y，v=9x＋5y．若17｜u，从上面两式中消去y，得3v-5u=17x．①所以 17｜3v．因为(17，3)=1，所以17｜v，即17｜9x＋5y．若17｜v，同样从①式可知17｜5u．因为(17，5)=1，所以17｜u，即17｜2x＋3y．例3．若2121,,,p qp qq p--都是整数，并且p＞1，q＞1．求pq的值．解若p=q，则不是整数，所以p≠q．不妨设p＜q，于是是整数，所以p只能为3，从而q=5．所以pq=3×5=15．例4. 试求出两两互质的不同的三个自然数x，y，z，使得其中任意两个的和能被第三个数整除．分析题中有三个未知数，我们设法得到一些方程，然后从中解出这些未知数．最小的一个：y｜(y＋2x)，所以y｜2x，于是数两两互质，所以x=1．所求的三个数为1，2，3．例5. 设n是奇数，求证： 60｜6n-3n-2n-1．分析因为60=22×3×5，22，3，5是两两互质的，所以由性质6，只需证明22，3，5能被6n-3n-2n-1整除即可．对于幂的形式，我们常常利用性质8～性质10，其本质是因式分解．证 60=22×3×5．由于n是奇数，利用性质8和性质10，有22｜6n-2n，22｜3n＋1，所以22｜6n-2n-3n-1， 3｜6n-3n， 3｜2n+1，所以3｜6n-3n-2n-1，5｜6n-1，5｜3n+2n，所以5｜6n-1-3n-2n．由于22，3，5两两互质，所以60｜6n-3n-2n-1．我们通常把整数分成奇数和偶数两类，即被2除余数为0的是偶数，余数为1的是奇数．偶数常用2k表示，奇数常用2k+1表示，其实这就是按模2分类．又如，一个整数a被3除时，余数只能是0，1，2这三种可能，因此，全体整数可以分为3k，3k＋1，3k＋2这三类形式，这是按模3分类．有时为了解题方便，还常把整数按模4、模5、模6、模8等分类，但这要具体问题具体处理．例6. 若整数a不被2和3整除，求证：24｜(a2-1)．分析因为a既不能被2整除，也不能被3整除，所以，按模2分类与按模3分类都是不合适的．较好的想法是按模6分类，把整数分成6k，6k＋1，6k＋2，6k＋3，6k＋4，6k＋5这六类．由于6k，6k＋2，6k＋4是2的倍数，6k＋3是3的倍数，所以a只能具有6k＋1或6k＋5的形式，有时候为了方便起见，也常把6k＋5写成6k-1(它们除以6余数均为5)．证因为a不被2和3整除，故a具有6k±1的形式，其中k是自然数，所以a2-1=(6k±1)2-1=36k2±12k=12k(3k±1)．由于k与3k±1为一奇一偶(若k为奇数，则3k±1为偶数，若k为偶数，则3k±1为奇数)，所以2｜k(3k±1)，于是便有24｜(a2-1)．例7. 求证：3n+1(n为正整数)能被2或22整除，但不能被2的更高次幂整除．证按模2分类．若n=2k为偶数，k为正整数，则3n＋1=32k＋1=(3k)2＋1．由3k是奇数，(3k)2是奇数的平方，奇数的平方除以8余1，故可设(3k)2=8x ＋1，于是3n＋1=8x＋2=2(4x＋1)．4x＋1是奇数，不含有2的因数，所以3n＋1能被2整除，但不能被2的更高次幂整除．若n=2k＋1为奇数，k为非负整数，则3n+1=32k＋1+1=3·(3k)2＋1=3(8x＋1)＋1=4(6x＋1)．由于6x＋1是奇数，所以此时3n+1能被22整除，但不能被2的更高次幂整除．在解决有些整除性问题时，直接证明较为困难，可以用反证法来证．例8. 已知a，b是整数，a2＋b2能被3整除，求证：a和b都能被3整除．证用反证法．如果a，b不都能被3整除，那么有如下两种情况：(1)a，b两数中恰有一个能被3整除，不妨设3｜a，3b．令a=3m，b=3n±1(m，n都是整数)，于是a2+b2=9m2+9n2±6n+1=3(3m2＋3n2±2n)+1，不是3的倍数，矛盾．(2)a，b两数都不能被3整除．令a=3m±1，b=3n±1，则a2＋b2=(3m±1)2+(3n±1)2=9m2±6m+1+9n2±6n＋1=3(3m2+3n2±2m±2n)＋2，不能被3整除，矛盾．由此可知，a，b都是3的倍数．例9. 设p是质数，证明：满足a2=pb2的正整数a，b不存在．证用反证法．假定存在正整数a，b，使得a2=pb2令(a，b)=d，a=a1d，b=b1d，则(a1，b1)=1．所以与(a1，b1)=1矛盾．练习三1.求证：对任意自然数n，2×7n＋1能被3整除．2．证明：当a是奇数时，a(a2-1)能被24整除．3．已知整数x，y，使得7｜(13x+8y)，求证： 7｜(9x＋5y)．4．设p是大于3的质数，求证：24｜(p2-1)．5．求证：对任意自然数n，n(n-1)(2n-1)能被6整除．6．求证：三个连续自然数的立方和能被9整除．7．已知a，b，c，d为整数，ab＋cd能被a-c整除，求证：ad＋bc也能被a-c整除．。
数的整除特征(一)教案
数的整除特征（一）新课引入：数的整除问题是整数的内容中最基本的问题。
常见数的整除特征如下：（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
（4）若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
（10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！如121，1375。
（12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
如312。
新课讲授：例1．在能被2,3,5整除。
能被2,3,5和5整除的数的特征是个位上的数字必须是0，里填能被3+9+0的和能被3整除，那有几种呢？填1,4,7.符合条件的有2190,2490,2790。
六年级上册第18讲 数的整除特征 1讲义
【知识与方法】
【经典例题】
【例1】在下面的□里填上一个适当的数字，使得：
（1）
3的倍数，又是5
的倍数； （2）2的倍数，又是3的倍数。
【例2】从0、3、5、7四个数字中任选3个，排成能同时被2、3、5整除的三位
数。
这样的三位数共有哪几个？
练一练：既能被2整除，又是3的倍数，还有约数5的最小两位数是（ ），
最大两位数是（ ）
【例3】首位数字是9，各位上的数字互不相同，并且能同时被2、3整除的七位数
中，最小是几？
【例4】在□里填上适当的数字，使既能被9整除，又能被2整除。
【例5】六位数865abc 能被3、4、5整除，要使865abc 尽可能小，a 、b 、c 之和
是多少？
【例6】四位数2□□□是45的倍数，符合这一要求的四位数共有多少个？
练一练：五位数5A69B 能同时被4和9整除，求符合要求的五位数。
【例7】有一个四位数是45ab ，同时能被2、3、4、5、9整除，求出这个四位数。
【例8】已知a 、b 、c 、d 是各不相同的数字，a ＋b ＋c ＝18，b ＋c ＋d ＝23，四位
数badc 被5除余3，四位数abcd abcd 是多少？
练一练：在8264的左右各添一个数码，使新得到的六位数能被45整除。
数的整除知识点总结
数的整除知识点总结数的整除是数论中的一个基本概念，也是初等数学中的重要内容。
它与因数、倍数和约数等概念密切相关，对于解题和推理都有着重要的作用。
下面将对数的整除进行详细总结。
一、定义：如果整数a能够被整数b整除，即a/b是整数，那么称a是b的倍数，b是a的因数。
可以用数学表达式a=b*k来表示，其中k是整数。
二、性质：1.任何一个整数都是它自身的倍数，也是它自身的因数，即a是a的倍数，a是a的因数。
2.任何一个正整数都是1的倍数，即对于任何整数a，都有a是1的倍数。
3.任何一个整数都是它自身的因数，即对于任何整数a，都有a是a的因数。
4.如果a是b的倍数，b是c的倍数，那么a也是c的倍数，即若a是b的倍数且b是c的倍数，则a是c的倍数。
5.如果a是b的倍数，b是a的倍数，那么a和b是互为倍数，即a是b的倍数且b是a的倍数，则a和b互为倍数。
6.如果a是b的因数，b是c的因数，那么a也是c的因数，即若a是b的因数且b是c的因数，则a是c的因数。
三、判断一个数能否整除另一个数的方法：1.因式分解法：将被除数和除数都分解成质因数的乘积形式，然后进行比较。
如果被除数的质因数包含除数的质因数，并且对应质因数的指数均大于等于相应的质因数的指数，则被除数能够整除除数。
2.试商法：用除数去除被除数，如果商是整数且余数为0，则被除数能够整除除数，否则不能整除。
四、整除的性质：1.整除关系具有传递性，即如果a能够整除b，b能够整除c，则a 能够整除c。
2.整除关系具有反对称性，即如果a能够整除b，b能够整除a，则a 和b相等或互为相反数。
3.整除关系具有自反性，即任何一个数都能整除它本身。
4.整除关系具有非传递性，即如果a能够整除b，b能够整除c，但a 不能整除c。
例如：2能整除4，4能整除8，但2不能整除8五、整数的混合运算与整除的关系：1.若a整除b，b整除c，则a整除c。
2. 若a整除b，b整除c，则a整除bc。
2019数的整除性讲解(一)
2019数的整除性讲解（一）我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。
数的整除具有如下性质：性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。
例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。
性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。
例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。
性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。
例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。
利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。
为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。
（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。
（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。
（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。
（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。
（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。
其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。
因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除。
因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。
这就证明了（4）。
类似地可以证明（5）。
（6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。
数论讲义一：整除
数论讲义一：整除整除是整数的一个重要内容，这里仅介绍其中的几个方面：整数的整除性、最大公约数、最小公倍数、方幂问题。
Ⅰ.整数的整除性初等数论的基本研究对象是自然数集合及整数集合。
我们知道，整数集合中可以作加、减、乘法运算，并且这些运算满足一些规律（即加法和乘法的结合律和交换律，加法与乘法的分配律），但一般不能做除法，即，如是整除，，则不一定是整数。
由此引出初等数论中第一个基本概念：整数的整除性。
定理一：（带余除法）对于任一整数和任一整数，必有惟一的一对整数，使得，，并且整数和由上述条件惟一确定，则称为除的不完全商，称为除的余数。
若，则称整除，或被整除，或称的倍数，或称的约数（又叫因子），记为。
否则，| 。
任何的非的约数，叫做的真约数。
0是任何整数的倍数，1是任何整数的约数。
任一非零的整数是其本身的约数，也是其本身的倍数。
由整除的定义，不难得出整除的如下性质：（1）若（2）若（3）若，则反之，亦成立。
（4）若。
因此，若。
（5）、互质，若（6）为质数，若则必能整除中的某一个。
特别地，若为质数，（7）如在等式中除开某一项外，其余各项都是的倍数，则这一项也是的倍数。
（8）n个连续整数中有且只有一个是n的倍数。
（9）任何n个连续整数之积一定是n的倍数。
（10）二项式定理：；；经典例题：一、带余除法1．若是形如的数中最小的正整数，求证：；分析：利用带余除法，设2．为质数，，证明：被整除；分析：利用带余除法处理，可以设，再来表示二．若3．设和为自然数，使得被整除，证明：分析：根据恒等式4．为给定正整数，对任意，都有，证明：；分析：注意到，对任意，有三、利用牛顿二项式定理；；5．设都是正整数，，且，证明：；分析：首先由，而，讨论的奇偶性6．已知，定义，证明：；分析：当时，四、配对思想7．设为奇数，证明：；分析：由于，这些数的分子都是，分母都小于，因此想到用配对法做此题；五．反证法8．设，，而是一个不小于的正整数，证明：存在整数，使得；整除作业一1．设为有理数，为最小正整数，使得是整数，如果与是整数，证明：。
数的整除(一)
数的整除特性（一）【知识要点】在自然数范围内，如果数a除以数b商是整数没有余数，我们就说数a能被数b整除。
如果数a能被数b整除，那么数a叫做数b的倍数，数b叫做数a的约数。
能被2整除数的特征，个位是02468的数能被2整除。
能被5整除数的特征，个位是0或5的数能被5整除。
能被3（或9）整除数的特征，个位数字之和能被3（或9）整除，这个数就能被3（或9）整除。
能被4（或25）整除数的特征，一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。
能被8（或125）整除数的特征，一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。
如果要判断Ａ能否被Ｂ整除（Ｂ的数值较大），我们可以把Ｂ分解为Ｃ×Ｄ（Ｂ＝Ｃ×Ｄ），Ａ如果能被Ｃ整除，也能被Ｄ整除，那么Ａ能被Ｂ整除。
【典型例题】例1、四位数7A2B能被2.3.5整除，这个四位数是多少？练1、．一个五位数６Ａ５８Ｂ，既能被３整除，有含有因数５，同时又是２的倍数，这样的五位数有哪几个？例2、有一个三位数8A7能被9整除，这个数是多少？练2. 有一个四位数7AA1能被9整除，A代表什么数？这个四位数是多少？例3.把2000个苹果平均分成四堆（或25堆），能否正好分完？例4.一个五位数865□□能分别被3，4，5，整除，这样的五位数中最小的一个是多少？练4、在568后补上三个数字，组成一个六为数，使它分别能被3，4，5，整除，且使该数尽可能小？练4、在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3.4.5.整除，且使这个数值尽可能的小。
例5、.一个三位数５Ａ６，它能同时被４和９整除，这个三位数是多少？例6、在97538（）（）的（）中填上什么数字，就能被１５整除？填上什么数字就能被４５整除？练6、87654321AB这个十位数能被36整除，那么这个数个位上的数最小是几？【课堂练习】1.按要求填空。
在1278，4632，5468，119375，37625，93648，87615，1548764中，能被9整除的数有（），能被4整除的数有（），能被25整除的数有（），能被8整除的数有（），能被125整除的数有（）。
第一讲 数的整除
第一讲数的整除一、基础知识：1、能被4（25）、8（125）、3（9）、7（11）（13）整除的数的特征；4（25）：；8（125）：；3（9）：；7（11）（13）：。
2、分解质因数：。
二、例题：例1、一个六位数568abc分别能被3、4、5整除，这个六位数最小是多少？例2、六年级有72名学生捐款（处辨认不清），每人捐款例3、六位数能被66整除，找出所有这样的六位数；例4、一个2004位数A能被9整除，它的各位数字之和为a，a的各位数字之和为b，b的各位数字之和为c，求c是多少？例5、要使932×975×995×（）的积的最后五个数字都是0，那么在括号内最小应该填几？例6、四个班分一批图书，他们所得的本数一个班比一个班多3本，四个班分得图书本数之积是68040。
每个班各分得图书多少本？例7、24有多少个约数？这些约数的和是多少?24=23×3 约数个数=（3+1）×（1+1）=-1 31+1–1×=3-1三、练习：a)四位数8A1B能被2、3、5整除，问这些四位数是多少？b)能同时被2、9整除，填出c)已知六位数19 能被35整除，那么这个六位数是多少？d)84×300×365×（），要使这个连乘积的最后五个数字都是0，在括号里最小应填什么数？e)五个连续奇数的积是135135，这五个奇数的和是多少？四、作业：1、数学考试结果，某班学生中有1/3得优，3/7得良，其余得中或差，已知全班人数在40与60之间，得中或差的学生有多少人？2、一个六位数能被11和13整除，这个六位数所有的质因数的和是多少？3、四个连续自然数的积是3024，这四个自然数分别是多少？4、求4500的约数个数及所有约数的和是多少？五、思考题：在3×3的方格图中填入几个互不相同的自然数，如果每行、每列三个数相乘所得的六个乘积都等于n，那么（1）n可以是1996、1997、1998、1999、2000、2001、2002、2003这八个数中的哪些数？（2）在下面方格中填出一n=第二讲余数问题一、基础知识：1、被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商2、余数要比除数小。
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【例1】(★) 自然数：14， 35， 80， 152， 650， 434， 4375， 9064， 24125中，请 问： (1) 能被2整除的有__________，能被4整除的有________，能被8整除 的有_______. 的有 (2) 能被5整除的有__________，能被25整除的有________，能被125整 除的有_____ 除的有_____.
【例3】(★★★) 四位偶数 64 能被11整除，求出所有满足条件的四位数.
【例4】(★★★)
四位数 29能被15整除，求所有满足条件的四位数.
【例5】(★★★) 两个四位数 A275 和 275 B 相乘，要使它们的乘积能被72整除，★★) 在所有各位数字互不相等的四位数中，能被45整除的数的最小是多少？ 【今日讲题】 例2 例3 例5 例2，例3，例5 【讲题心得】 _____________________________________________________________ 【家长评价】 _____________________________________________________________
数的整除特征（一）
本讲主线 1. 尾数系，和系的判定. 系 判 2. 差系的判定. 3. 因数分析法.
知识要点屋 1 尾数系 1. 尾数系: (2, (2 5)、(4, 5) (4 25) 25)、(8, (8 125) ⑴ 2: 0、2、4、6、8 ⑵ 5: 0、5 ⑶ 25: 25、50、75、00 ⑷ 125: 125、250、375、500、 625、750、875、000 2. 和系: 一个数的数字和能被3或9整除，那么原数就可以被3或9整除. 个数的数字和能被3或9整除 那么原数就可以被3或9整除
【例2】(★★) 有如下9个三位数：452、387、228、975、525、882、715、775、837.这 些数中哪些能被3整除？哪些能被9整除？哪些能同时被2和3整除？
【拓展】 ( (★★) ) 在□里填上适当的数，使得七位数 □7358□□能同时被8、9、25整除， 那么这个七位数是多少？
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知识要点屋 3 差系 3. 差系，7、11、13 7 11 13 如果一个数的末三位与其余数位的差能被7、11或13整除，那么原数能被7、 11或13整除. 11或13整除 4. 11的整除判断：如果一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和 的差能被11整除 那么原数能被11整除 的差能被11整除，那么原数能被11整除.
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知识大总结 1. 尾数系， ( (2, , 5) ) 、(4, ( , 25)、 ) ( (8, , 125) ) 2. 和系，3、9 ⑴ 数字和能否被3、9整除. ⑵ 划数法，划掉3、9的倍数. 划数法 划掉3 9的倍数 3. 差系，7、11、13 ⑴ 三位截断，做差 ⑵ 11，奇数位数字之和与偶数位数字之和的差. 4. 因数分拆： 72＝8×9 18＝2×9 72＝8×9，18＝2×9