第4节 广义积分敛散性的判别
广义积分敛散性的判别
比较判别法
比较判别法是一种通过比较被积函数与已知收敛或发散的函数来判定广义积分敛散性的方法。如果被 积函数小于已知收敛的函数，则该广义积分收敛；如果被积函数大于已知发散的函数，则该广义积分 发散。
应用比较判别法时，需要选择合适的已知函数作为比较对象，以便准确判断被积函数的敛散性。
拉贝判别法
拉贝判别法是一种通过判断被积函数 的单调性和无界性来判定广义积分敛 散性的方法。如果被积函数在积分区 间上单调递减且无界，则该广义积分 收敛；如果被积函数在积分区间上单 调递增或无界，则该广义积分发散。
VS
应用拉贝判别法时，需要准确判断被 积函数的单调性和无界性，以便准确 判断该广义积分的敛散性。
06
广义积分的计算方法
分部积分法
总结词
分部积分法是一种通过将积分拆分为两个或 更多部分来简化积分的方法。
详细描述
分部积分法是将一个积分转换为两个或更多 个积分的和或差，以便更容易地计算每个积 分。这种方法通常用于处理难以直接积分的 函数。
柯西准则
如果存在某个正数$T$，使得在区间$(-infty, T]$和$[T, +infty)$上，函数$f(x)$均收敛，则函数$f(x)$的广义积 分收敛。
04
广义积分的应用
在物理中的应用
描述连续介质性质
01
广义积分可以用来描述连续介质在时间和空间上的性质，例如
温度分布、电荷密度等。
解决物理问题
换元积分法
总结词
换元积分法是一种通过引入新的变量来简化积分的方法。
详细描述
换元积分法是通过引入新的变量来简化积分的计算。这种方法通常用于处理具有复杂或 难以处理的边界条件的积分。通过引入新的变量，可以将原始积分转换为更易于处理的
广义积分敛散性判别探讨
摘要广义积分是定积分的突破被积区间有界性与被积函数无界性的束缚得到的推广形式.在实际应用中，大部分的广义积分不能直接运算，有的积分虽然可以计算，但是过程太复杂，不方便我们的应用，而对广义积分而言，求其值的一个先决条件就是广义积分收敛，否则毫无意义，因此，广义积分的敛散性判别显得十分重要.本文主要论述了广义积分的两种形式：无穷积分和瑕积分.首先简述了无穷积分和瑕积分的定义，性质；其次，重点讨论了无穷积分与瑕积分的收敛与发散的判别，讨论了几种常用的判别方法，并用例题加以说明；最后，讨论了一下无穷积分与瑕积分混合时的反常积分的收敛与发散的判别.关键词：广义积分;无穷积分;瑕积分;收敛;发散.ABSTRACTGeneralized integrals is definite integral breakthrough was integrated interval bounded ness and integrand unbounded sexual ties get promotion form. In practical applications, most of the generalized integrals cannot direct operations, some integral although can calculate, but process is too complex, it is not convenient to our application, and the generalized integrals, let their value as a precondition is generalized integrals convergence, otherwise has no purpose, therefore, the generalized integral scattered sex discrimination folding is extremely important. This article mainly discusses the generalized integral in two forms: infinite integrals and flaw points. First, this paper expounds the infinite integrals and flaw integral definition, properties; Secondly, this paper discusses infinite integrals and the convergence and divergent flaw integral, discussed several discriminate criterion method commonly used instructions, and binders; Finally, discussed the infinite integrals when mixed with a flaw points of convergence in divergent discrimination.Keywords: Generalized integrals; Infinite integrals; Flaw integral; Convergence; Divergent;目录第一章前言 ........................................................................................ - 1 -第二章无穷积分 ...................................................................................... - 3 -2.1 无穷积分的概念与性质............................................ - 3 -2.2 无穷积分的敛散性判别............................................ - 4 -第三章瑕积分......................................................................................... - 15 -3.1瑕积分的概念与性质 ............................................. - 15 -3.2 瑕积分的敛散性判别............................................. - 16 -第四章混合型反常积分.......................................................................... - 23 -第五章结论............................................................................................. - 27 -参考文献............................................................................................. - 29 -致谢 .................................................................................................. - 31 -第一章前言无限区间上的积分或无界函数这两类积分叫作广义积分,又名反常积分.在讨论定积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性。
广义积分敛散性判别法的应用
证明
一imsnrxA}r(x)!~d>0,且入成l,则,~+.
l)已知lim
犷一,“·,,‘X发散·
supx入if(x)一J<co,且入>l,则V。>o,日x。>a,Vx>x。,有x‘.f
(·).<科￡,即.f(x),<宁,记M一升￡,则M>0,而厂一令当。1时收敛,由比较判别法
可知,犷一f(·)dX绝对收敛;
确定积分的敛散性·但用定义可得犷一蔽备一‘呱广蔽器歹一‘呱户豁
t工一
易不石
InA+co,0<a(1
0,a>l
于是,当a>1时,原积分收敛,当O<a(1时,原积分发散。
二、对判别法的进一步讨论
l、柯西极限判别法适用于非负函数的广义积分,对其敛散性判别有一定效果.但对变号函
数的广义积分,只能判别其是否绝对收敛,在使用过程中,必须对被积函数加绝对值,否则,d
时,f(x)一+,的速度:
大时,积分发散;
当它的阶比,2二(、<;)小时,积分收敛;当它的阶比7牛认(、)1)火义一己产气汽一砚少
例5判别积.,.
-丁二二一-‘日可叙欲任
VxInx
一l
一,X
.nU
广、厂干!nx+几岸绎,;盯2VXjnX
解八|抑
安.一t攀报‘自价科攀版”9.5年结‘翔
2)已知土乳i”fx‘Ir(x)}=d>0,且入镇l,则v“>o,,.’竺>0,可限制￡,使得0<‘飞,
于是“x。>一使得Vx>x。,有X、,,‘·,,>。一>“,即.,‘·).>宁,而犷一令当、、,
广义积分敛散性判别法的应用
广义积分敛散性判别法的应用主要的广义积分敛散性证明方法如下：套定义验证比较判别法、等价无穷小Cauchy准则Dirichlet判别法Abel判别法另外本文还有用Cauchy准则来处理广义积分有关的证明题的例题总结.1 广义积分的定义定义1.1[无穷积分]如果 f(x) 在任意有限区间 [a,A] 都是Riemann可积, 且极限 limA→+∞∫aAf(x)dx 存在, 则把无穷积分定义为∫a+∞f(x)dx=limA→+∞∫aAf(x)dx.否则称无穷积分是发散的.此外,∫−∞+∞f(x)dx=∫a+∞f(x)dx+∫−∞af(x)dx.这与Cauchy主值积分不同:(V.P.)∫−∞+∞f(x)dx=limA→+∞∫−AAf(x)dx.广义积分与Riemann积分有类似性质, 运算法则（分部积分、变量替换等）可以推广过来.定义1.2 [瑕积分]如果 f(x) 在任意有限区间 [a′,b],(a<a′<b) 都是Riemann可积, 且极限 lima′→a+∫a′bf(x)dx 存在, 则把瑕积分定义为∫abf(x)dx=lima′→a+∫a′bf(x)dx.否则称无穷积分发散.例1.1 无穷积分∫1+∞1xpdx 当 p>1 时, 该无穷积分收敛;当 p≤1 时, 该无穷积分发散.例1.2 瑕积分∫011xpdx. 当 p<1 时, 该瑕积分收敛; 当 p≥1 时, 该瑕积分发散.例1.3 ∫−∞+∞11+x2dx=arctanx|−∞0+arctanx|0+∞=π例1.4 ∫−1111−x2dx=arcsinx|−10+arcsinx|01=π.如果被积函数 f(x) 恒大于0, 我们有如下结论.定理1.5 设 f≥0, 则无穷积分∫a+∞f(x)dx 收敛当且仅当 F(A)=∫aAf(x)dx 是 A∈[a,+∞) 的有界函数.2 比较判别法与等价无穷小定理2.1 设 0≤f≤Mg,M>0 为常数,(这个不等式对充分大的x都成立就行了). 则当无穷积分∫a+∞g(x)dx 收敛时, 无穷积分∫a+∞fdx 也收敛. 当无穷积分∫a+∞fdx 发散时, 无穷积分∫a+∞g(x)dx 发散. 瑕积分的结果类似.在比较判别法中, M的寻找可以用极限去找. 如果极限 l=limx→∞f(x)g(x) 存在, 则(1) 当 0<l<∞时, 积分∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散.(2) 当 l=0 时, 如果∫a+∞g(x)dx 收敛, 则∫a+∞f(x)dx 也收敛.(3) 当 l=+∞时, 如果∫a+∞g(x)dx 发散, 则∫a+∞f(x)dx 也发散.注：对瑕积分有类似结论..例2.2 判断积分∫0+∞dxexx 的敛散性.提示：无. \QED例2.3 积分∫01dxlnx 是发散的.证明：注意到 limx→0+1lnx=0, 于是0不是瑕点, 1是瑕点. 我们只需要考虑∫1/21dxlnx. 由于∫1/21dxlnx=∫01/2dtln(1−t),且 ln(1−t)∼−t(t→0), 则积分∫1/21dxlnx 与−∫01/2dtt 同敛散. 则原积分是发散的. \QED例2.4 积分∫01lnx1−xdx 是收敛的.证明： 0,1 都是瑕点. 把积分区间拆成 (0,1/2) 与 (1/2,1). (在 (0,1/2) 区间内, 出现瑕点的地方是 lnx, 而在 (1/2,1) 区间内, 出现瑕点的地方是 11−x, 没出现瑕点的地方可以视作有限数)注意0>∫01/2lnx1−xdx>2∫01/2lnxdx,而∫01/2lnxdx=xlnx|01/2−∫01/2dx=12(ln12−1),则∫01/2lnx1−xdx 收敛. 另一方面,∫1/21lnx1−xdx=∫01/2ln(1−t)tdt,并注意到 limt→0+ln(1−t)t=−1, 则∫1/21lnx1−xdx 收敛. \QED3 用Cauchy准则验证收敛性定理3.1 [Cauchy准则] f(x) 在 [a,+∞) 上的积分收敛的充分必要条件是: ∀ε>0,∃M=M(ε),当 B>A>M 时, |∫abf(x)dx|<ε.例3.2 积分∫0+∞cosx2dx 是收敛的.证明：我们只需要看被积函数在 [1,+∞) 的积分即可. 作变量代换 x=t, 则∫1+∞cosx2dx=12∫1+∞costtdt.则|∫ABcosttdt|=|sintt|AB+12sintt3/2dt|≤1A+1B+12∫ABt −3/2dt=2A→0(B>A→+∞).因此积分是收敛的. \QED注：f在 [a,+∞) 积分存在不能推出 f(x)→0(x→+∞). 需要添加条件. 详见第6小节.例3.3 积分∫0+∞|cosx2|dx 是发散的.证明：【方法一】只需要考虑 cost 的一个周期. 由于∫(mπ)2(mπ+π)2|cosx2|dx=12∫mπ(m+1)π|cost|tdt>12(m+1)π∫mπ(m+1)π|cost|dt=22(m+1)π>2π1m+1+m+2=2π(m+2−m+1).固定m, 取 n>m, 则∫(mπ)2(nπ)2|cosx2|dx>2π(n+1−m+1)→∞(n→∞).因此原积分是发散的. \QED【方法二】(比较判别法). 由于 |cosx2|≥cos2x2=12(1+cos2x2), 由例3.2, 积分∫1+∞cos(2x2)dx 是收敛的, 但是积分 \int_1^{+\infty}1dx 发散, 则原积分发散. \QED注：方法二的技巧在例4.3、例6.5也用到了. 也就是说当 |x|≤1 时, 根据幂函数 y=xα的性质, 必有 x2≤|x|≤1. 利用这个技巧可以去掉绝对值.。
微积分学广义积分敛散性判别
故 0xpf(x) 1 b M ,
即有 0 f(x ) M x p (x 1 x ) .
由 p 1 于 的 P 积x 1 分 M x pd x收 , 故 敛
无穷 积 f(x)分 dx收.敛 x1
由 f( x ) d x x 1 f( x ) d x f( x ) d x 可 f( x 知 ) d x 收 .
a
a
由比较判 P积 别分 法综 与合
定理 （柯西极限判别法）
设 f ( x ) C ( [ a , ) ) ( a 0 ) , 且 f ( x ) 0 .
若存 p 1 ,使 在 li得 常 x m p f(x )存 数 ,则 在 x
无穷 积 f(x)d 分 x收;敛 a
a
a
收敛, 或同时发.散
( 2 ) 当 0 时 ,无 穷 g ( x ) d x 收 , 积 则 敛 f ( x ) d 分 x 收 .
a
a
( 3 ) 当 时 , 无 g 穷 ( x ) d x 发 , 积 则 f 散 ( x ) d x 分 发 .
x
F(x)af(t)dt
在 [a,)上单调增加 .由 且 极 有 限 上 存 界 在准
可知 liF m ( 极 x ) li限 m xf(t)d t存 . 在 x x a
即无穷 f(x积 )dx收 分 .敛 a
定理 （ 比较判别法 ）
设 f( x ) 函 ,g ( x ) 在 [ a ,数 ) 上 , A 有 R ,A a , 界
|F ( t ) | |t s u d i u | n | c u t o | |c 1 s c o t | o 2 s ,( s t 1 ) .
高等数学教学资料微积分学广义积分敛散性判别
a
g ( x) d x 收敛 ,
则由 (1) 立即可得出矛盾 :
a
f ( x) d x 收敛 .
定理
（比较判别法的极限形式法）
设 f ( x) , g ( x) 为定义在 [a, ) 上的非负函数 , A [a, ) ,
f ( x) , g ( x) R( [a, A] ) . 若有极限 lim
0 f (t ) d t g (t ) d t ,
a a
x
x
从而, 积分上限函数
F ( x) f (t ) d t 在 [a, ) 上有上界 ,
a x
故积分
a
f ( x) d x 收敛 .
(2) 运用反证法.
如果
a
f ( x) d x 发散时 , 积分
(3) 当 时 , 无穷积分
a
g ( x) d x 发散 , 则
a
例1 解
判别无穷积分
1
arctan x d x 的敛散性. x
因为
arctan x lim x lim arctan x , x x x 2
故无穷积分
b
f ( x) d x lim
b x
x
这样可以利用积分上限 函数来进行有关的讨论 .
定理
设函数 f ( x) C( [a, ) ) , 且 f ( x) 0 .
若积分上限函数 F ( x) f (t ) d t 在 [a, )
a x
上有上界 , 则无穷积分
f ( x), g ( x) R( [a, A] ) , 且满足
广义积分的收敛性与发散性
广义积分的收敛性与发散性广义积分是高等数学中一种重要的积分形式，其定义方式与普通积分有很大的不同。
与普通积分只能在有限区间上进行不同，广义积分可以在整个实数轴上进行积分计算。
然而，广义积分的收敛性与发散性问题也是需要引起我们的高度关注的。
一. 广义积分的概念与定义广义积分的概念是在普通积分的基础上扩充而来的，它的定义如下：设函数 $f(x)$ 是区间 $(a,+\infty)$ 上的连续函数，那么称限定积分 $\int_{a}^{+\infty}{f(x)dx}$ 为广义积分。
同样地，若$f(x)$ 是区间 $(-\infty,b)$ 上的连续函数，那么称限定积分$ \int_{-\infty}^{b}{f(x)dx}$ 为广义积分。
需要注意的是，广义积分在定义时通常会采用极限的方法，即对于极限 $\lim_{t\rightarrow +\infty}\int_a^t{f(x)dx}$ 与$\lim_{t\rightarrow -\infty}\int_t^b{f(x)dx}$ 分别进行计算。
二. 广义积分的收敛性与发散性与普通积分不同，广义积分的定义中并不包含区间的限制，因此在进行广义积分计算时，需要关注其收敛性与发散性问题。
1. 收敛性若广义积分 $\int_{a}^{+\infty}{f(x)dx}$ 或 $\int_{-\infty}^{b}{f(x)dx}$ 存在一个有限的极限，即 $\lim_{t\rightarrow+\infty}\int_a^t{f(x)dx}$ 或 $\lim_{t\rightarrow -\infty}\int_t^b{f(x)dx}$ 存在，则称该广义积分收敛。
例如，对于函数 $f(x)=\frac{1}{x^p}\,(p>0)$，当 $p>1$ 时，$\int_1^{+\infty}{\frac{1}{x^p}dx}$ 收敛，而当 $p \le 1$ 时，则发散。
广义积分敛散性的一个判别准则
［ 关键 词］ 无 穷小 ； 穷 大； 穷积分 ； 无 无 瑕积 分 ； 敛散 性 ［ 中图分 类号］ Ｏ１ ２ ２ ［ ７． 文献 标识 码］ Ａ ［ 文章 编号］ １０ —７ ８ ２ １ ） １０ ９ —３ ０ ８４ ３ （ ０ ２ ０ —０ ５０
韩建 玲
（ 闽南理 工学 院 信息 管理 系 ，福建 石 狮 ３ ２ ０ ） ６ ７ ０
［ 摘
要］ 运 用定 义及 比较 审敛 法在判 断 广义 积分 的 敛散 性 时 ， 由于被 积 函数 不存 在初 等 函 会
数 的原 函数或 用 来比小与 无 穷大 出发 ， 从 研
韩 建玲 ： 义积 分敛 散性 的一 个判 别准 则 广 由于 ． ｚ 厂 ）是 一 。 （ × 的无 穷小 ， ｉ 厂ｚ 。时 ｌ （ ）一 ｍ
０且 ｌ ｆ（ ｉ ｍｘ ）一 ０ 因此 ｌ 厂（ ）一 ０， ｉ 厂 ｉ ａ ｒ ｌ ａ ｒ （ ）一 ０ （） ３
广义 积 分包 括 两类 ， 一类 为 无穷 积 分， 第 如 无穷 大 ） 。
ｒ ∞ ． ＋ ｔ ＇ ｂ
Ｉ ｆ ｘ ｄ 第 二 类 为 瑕 积 分， Ｉ （ ）ｘ， （）ｘ； 如 ｘｄ 且 ｆ
Ｊ ｄ Ｊｎ
１ ２ 无 穷 积 分 敛 散 性 的判 定 嘲 ．
设 函数 ， ｚ 在 区 间［ ， 。 连续 ， ｆ ｘ ≥ （） ｎ ＋。 ） 且 ｉ） ０ 若 ｚ一 。 。 。时 ｆ ｘ ｉ ）是 的 高 阶无 穷 小 ， 积 分 则
无穷大） ， ｆｘ 时 称 ｉ ）与 ｇ ） 同 阶无穷 小 （ 同阶 （ 是 或
ｌ （ 一ｂ ］ ｉ ｍ［ ｆ（）
因为 ｂ ＜ ＜ Ｃ Ｃ ＋ 。 ， 是 一 ＋ ∞ 。 ，一 。于
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定理(极限判别法)
设函数 f ( x ) 在( a , b ] 上连续，且 lim f ( x ) ，
x a
如果
x a
lim ( x a ) p f ( x ) A
b
则当 0 p 1 时，瑕积分 f ( x ) dx 收敛； a
当 p 1 且 A 0 时， f ( x ) dx 发散.
lim x 1 p f ( x ) lim (1 x )q 1 1 , 1 p 1 , p 0 ;
x 0
若 q 1 ，则 x 1 是瑕点，
x0
lim x 1 q f ( x ) lim (1 x ) p 1 1 , 1 q 1 , q 0 ;
* 第四节
1
一、无穷限积分敛散性的判别
对于级数 un ，在无穷区间[1, ) 上定义函数
n1
n f ( x) un ， x [n, n 1) ， N ，
则级数的部分和可表示为
n1 1
S n u1 u2 un
n 1
f ( x ) dx
则当无穷限积分
当
a
a
g( x) dx 收敛时，
a
a
f ( x) dx 也收敛；
f ( x ) dx 发散时，
g( x ) dx 也发散.
证略.
3
a
1 dx (a 0) ，当 p 1 时收敛；当 p 1 时发散. p x
定理(极限判别法)
a 设函数 f ( x ) 在 [a , ) 上连续，(其中 0 )， 且 f ( x ) 0 ，如果
x 0
因此，当 p 0 且q 0 时，该广义积分收敛；
当 p 0 或 q 0 时，该广义积分发散.
12
练习：
P251 习题七
13
x a
0 cf ( x ) g ( x ) ，其中 c 为正的常数，
则当瑕积分 g( x) dx 收敛时， f ( x ) dx 也收敛；
b b a a
当瑕积分 f ( x ) dx 发散时， g( x ) dx 也发散.
b b a a
证略.
8
1 a ( x a ) p dx ，当 0 p 1 时收敛；当 p 1 时发散.
1
于是级数 un 收敛等价于无穷限积分 收敛.
f ( x ) dx
2
定理(比较判别法)
设函数 f (x) 和g(x) 在 [a, ) 上连续，且有
0 cf ( x ) g( x ) ， x [a, ) ，
0 cf ( x) g( x) ，x [a, ) ，其中 c 为正的常数，
1 2
1
所以瑕积分
1 1
1 (1 x 2 )( 4 x 2 )
dx 收敛.
11
例6 判别广义积分
1 0x p1Fra bibliotek(1 x ) q1 dx 的敛散性，
其中 p, q 为常数.
解 显然，当 p 1 且q 1 时，是常义积分；
若 p 1 ，则 x 0 是瑕点，
x 0
a
a
f ( x ) dx 也收敛.
（此时称
f ( x) dx 绝对收敛）
0
证略.
例3
判别广义积分
x e
p x
sin x dx 的敛散性，
其中 p 0 ， 0 ， 0 .
解
由于 | x pex sin x | x pex , x [0, )
x lim arctanx , x 1 x 2
所以，当 1 时，该广义积分收敛；
当 1 时，该广义积分发散.
6
定理 设函数 f ( x ) 在 [a , ) 上连续( a 0 ). 如果广义
积分
a
| f ( x ) | dx 收敛，则广义积分
10
例5 判别瑕积分 1
1
1 (1 x 2 )( 4 x 2 )
dx 的敛散性.
解 易知 x 1 为瑕点， 由于
x ( 1)
lim (1 x ) f ( x ) lim
x ( 1 )
1 2
1 , 6 (1 x )(4 x 2 )
1
1 lim(1 x ) f ( x ) lim , x 1 x 1 6 (1 x )(4 x 2 )
1
由例 1 知
x p e x dx 收敛，
从而
0
x p e x sin x dx 绝对收敛.
7
二、瑕积分敛散性的判别
定理(比较判别法) 设函数 f ( x ) 和g ( x ) 在( a , b] 上连续，
x a
lim f ( x ) ， lim g( x ) ，且恒有
x
lim x f ( x ) A
p
a
则当 p 1 时，无穷限积分
f ( x) dx 收敛；
当 p 1 且 A 0 时，
a
f ( x ) dx 发散.
证略.
4
例1 判别广义积分
1
x e
p x
dx 的敛散性，其中
p , 为常数，且 0 .
解 由罗必塔法则，
x
lim x x e
2 p
1
x
x p 2 lim x 0 x e
故广义积分
x e
p x
dx ( 0) 收敛.
5
例2 判别广义积分
1
arctanx dx ( 0) 的敛散性. 1 x
解
arctanx 由于 lim x x 1 x
b a
证略.
9
例4 判别瑕积分
1 0
1 x (1 x 2 )
dx 的敛散性.
1 解 易知 x 0 为瑕点， 取 p 1 ， 2
x 0
l i m x f ( x ) lim
x 0
1 0
1 2
1 1 x2
1,
所以瑕积分
1 x (1 x )
2
dx 收敛.