绝对值不等式检测题与详解答案

绝对值不等式检测题与详解答案
1．求不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集．
解：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x <－12，1－2x －2x －1≤6
或 ⎩⎪⎨⎪⎧ －12
≤x ≤12，1－2x ＋2x ＋1≤6
或⎩⎪⎨⎪⎧ x >12，2x －1＋2x ＋1≤6. 解得－32≤x ≤32
， 即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －32≤x ≤32. 2．已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a ∈R)的最小值为a .
(1)求实数a 的值；
(2)解不等式f (x )≤5.
解：(1)f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|a －4|＝a ，
从而解得a ＝2.
(2)由(1)知，f (x )＝|x －4|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ≤4，
2x －6，x ＞4.
故当x ≤2时，由－2x ＋6≤5，得12
≤x ≤2； 当2<x ≤4时，显然不等式成立；
当x >4时，由2x －6≤5，得4<x ≤112
， 故不等式f (x )≤5的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12≤x ≤112. 3．(2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|.
(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；
(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立，求a 的取值范围．
解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，
即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2，x ≤－1，2x ，－1<x <1，
2，x ≥1.
故不等式f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >12. (2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|<1成立．
若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1；
若a >0，则|ax －1|<1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 0<x <2a ， 所以2a
≥1，故0<a ≤2. 综上，a 的取值范围为(0,2]．
4．设函数f (x )＝|3x －1|＋ax ＋3.
(1)若a ＝1，解不等式f (x )≤4；
(2)若f (x )有最小值，求实数a 的取值范围．
解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|3x －1|＋x ＋3≤4，
即|3x －1|≤1－x ，
x －1≤3x －1≤1－x ，解得0≤x ≤12
， 所以f (x )≤4的解集为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，12. (2)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋a x ＋2，x ≥13，a －3x ＋4，x <13，
所以f (x )有最小值的充要条件为⎩⎪⎨⎪
⎧ a ＋3≥0，a －3≤0，解得－3≤a ≤3，
即实数a 的取值范围是[－3,3]．
5．(2019·贵阳适应性考试)已知函数f (x )＝|x －2|－|x ＋1|.
(1)解不等式f (x )>－x ；
(2)若关于x 的不等式f (x )≤a 2
－2a 的解集为R ，求实数a 的取值范围．
解：(1)原不等式等价于f (x )＋x ＞0，不等式f (x )＋x >0可化为|x －2|＋x >|x ＋1|， 当x <－1时，－(x －2)＋x >－(x ＋1)，解得x >－3，即－3<x <－1；
当－1≤x ≤2时，－(x －2)＋x >x ＋1，解得x <1，即－1≤x <1；
当x >2时，x －2＋x >x ＋1，解得x >3，即x >3，
综上所述，不等式f (x )＋x >0的解集为{x |－3<x <1或x >3}．
(2)由不等式f (x )≤a 2－2a 可得|x －2|－|x ＋1|≤a 2－2a ，
∵|x －2|－|x ＋1|≤|x －2－x －1|＝3，当且仅当x ∈(－∞，－1]时等号成立，
∴a 2－2a ≥3，即a 2－2a －3≥0，解得a ≤－1或a ≥3.
∴实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
6．已知函数f (x )＝|x －a |＋|x ＋1|.
(1)若a ＝2，求不等式f (x )＞x ＋2的解集；
(2)如果关于x 的不等式f (x )＜2的解集不是空集，求实数a 的取值范围．
解：(1)当a ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋1，x ＜－1，3，－1≤x ＜2，
2x －1，x ≥2，
不等式f (x )＞x ＋2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜－1，－2x ＋1＞x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ＜2，3＞x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，2x －1＞x ＋2，
解得x ＜1或x ＞3，
故原不等式的解集为{x |x ＜1或x ＞3}．
(2)∵f (x )＝|x －a |＋|x ＋1|≥|(x －a )－(x ＋1)|＝|a ＋1|，当(x －a )(x ＋1)≤0时取等号． ∴若关于x 的不等式f (x )＜2的解集不是空集，只需|a ＋1|＜2，
解得－3＜a ＜1，即实数a 的取值范围是(－3,1)．
7．已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .
(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；
(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．
解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.
解不等式|2x －2|＋2≤6，得－1≤x ≤3.
因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．
(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥3，
即⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪
⎪⎪12－x ≥3－a 2. 又⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－x min ＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪12－a 2， 所以⎪⎪⎪⎪
⎪⎪12－a 2≥3－a 2，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞)．
8．(2018·福州质检)设函数f (x )＝|x －1|，x ∈R.
(1)求不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集；
(2)已知关于x 的不等式f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |的解集为M ，若⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32⊆M ，求实数a 的取值范围．
解：(1)因为f (x )≤3－f (x －1)，
所以|x －1|≤3－|x －2|⇔|x －1|＋|x －2|≤3⇔⎩
⎪⎨⎪⎧ x <1，3－2x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x ≤2，1≤3或 ⎩⎪⎨⎪⎧ x >2，2x －3≤3，
解得0≤x <1或1≤x ≤2或2<x ≤3，
所以0≤x ≤3，
故不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集为[0,3]．
(2)因为⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32⊆M ， 所以当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32时，f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |恒成立， 而f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |⇔|x －1|－|x |＋|x －a |≤0⇔|x －a |≤|x |－|x －1|，
因为x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32，所以|x －a |≤1，即x －1≤a ≤x ＋1， 由题意，知x －1≤a ≤x ＋1对于任意的x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32恒成立， 所以12≤a ≤2，故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2.。