人教版高一数学必修四第一章诱导公式五、六
高一数学(三角函数的诱导公式 2)
3p 3p sin( - a ), cos( - a ), 2 2 3p 3π sin( + a ), cos( +α) 2 2
公式五： 公式五：
sin (
π
2
−α) = cosα −α) = sin α
cos(
π
2
sin(
π
2
+α) = cosα +α) = −sin α
公式六： 公式六：
cos(
π
2
形成结论
kπ 所有诱导公式可统一为 ±α(k ∈Z) 2 的三角函数与α的三角函数之间的关系 的三角函数之间的关系. 的三角函数与 的三角函数之间的关系
它们之间的关系归纳为： 它们之间的关系归纳为：
奇变偶不变，符号看象限. 奇变偶不变，符号看象限.
典例讲解
化简： 例1 化简：
11 π sin(2π -α)cos(π +α)cos( +α)cos( -α) 2 2 9π cos(π -α)sin(3π -α)sin(- π -α)sin( +α) 2
y
π
2 −α 的终边
π
y=x
α的终边
O
x
y
π
2
−α 的终边
(y， P2(y，x) α的终边
O
P1(x ，y) x
），则关 设角α的终边上有一点P1（x，y），则关 π 于直线y=x y=x对称的角 的终边上的点P 于直线y=x对称的角 −α 的终边上的点P2的 2 坐标如何？ 坐标如何？
形成结论
2
cos(180 +α) ⋅ sin(α + 360 ) 2. o o sin(-α-180 ) ⋅ cos(-180 -α)
人教A版高中数学必修四1 诱导公式五、六牛老师
式时,一定要注意函数名与符号.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 3】 求证:
sin + cos
=
sin-cos
2sin -
3π cos + π -1
2
2
1-2sin2 (π +
)
.
3π
证明:∵右边 =
-2sin 2 - (-sin)-1
►So let us seize it, not in fear, but in gladness. ·
命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。
因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
►If I had not been born Napoleon, I would have liked to have been born Alexander.
3π
sin +3π
cos
+
2
2
= −tan .
分析:解答本题可直接利用诱导公式对等式左边进行化简,推出
右边.
证明:左边 =
=
tan(-)(-sin)cos(-)
-cossin
(-tan)(-sin)cos
-cossin
= −tan α=右边,
故原等式成立.
反思三角函数式的化简与证明实质是一样的,就是正确利用诱导
面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号.简记为“函数名改变
(正余互变),符号看象限”.
(2)把 α 看成锐角,实际上 α 可以为任意角.
(3)运用公式五或公式六,可以实现正弦函数与余弦函数的转化,
在三角恒等变形中,起到改变函数名称的作用.
高中数学 人教A版必修4 第1章 1.3三角函数的诱导公式(二)
研一研·问题探究、课堂更高效 (2)诱导公式五的推导：
§1.3（二）
π 问题 1 若 α 为任意角，那么 －α 的终边与角 α 的终边有怎 2 样的对称关系？ 本 课 π 时 答 角 α 的终边与 －α 的终边关于直线 y＝x 对称． 栏 2 目 π 开 问题 2 设角 α 与单位圆交于点 P(x， y)， 则 － 2 关
y.
所以，对任意角 α
sin α .
π 都有：sin2－α＝
cos α
π ，cos2－α＝
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点二 诱导公式六
π ，cos2＋α＝
§1.3（二）
(1)诱导公式六： π sin2 ＋α＝ cos α
本 课 时 栏 目 开 关
填一填·知识要点、记下疑难点
§1.3（二）
2．诱导公式五～六的记忆 π π －α， ＋α 的三角函数值，等于 α 的异名三角函数值， 2 2 本
课 时 栏 目 开 关
前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号， 记忆口诀 为“函数名改变，符号看象限”.
研一研·问题探究、课堂更高效
§1.3（二）
α 与单位圆交于点 P′，写出点 P′的坐标．
答 P′(y，x)．
研一研·问题探究、课堂更高效
§1.3（二）
问题 3 根据任意角三角函数的定义，完成下列填空：
本 课 时 栏 目 开 关
sin α＝ y ，cos α＝ x ；
π sin2 －α＝
x
π ，cos2－α＝
§1.3（二）
本 课 时 栏 目 开 关
§1.3（二）
【学习要求】 1．掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化 简与证明问题． 本 课 时 2．对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与 栏 目 个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力． 开 关 现问题、解决问题的能力．
高一数学必修4三角函数诱导公式
高一数学必修4三角函数诱导公式诱导公式是高一数学必修四三角函数知识点只必考的公式，我们在考前一定要掌握好这些公式的应用。
下面是店铺为大家整理的高一数学必修4三角函数诱导公式，希望对大家有所帮助!高一数学必修4三角函数诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z)公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαco t(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)高一数学函数复习资料一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式课件新人教A版必修4
sin
2
cos
,
cos
2
sin .
sin
2
cos
,
cos
2
sin
.
cos180 cos
原式=
cos
sin
sin cos
1
练习 利用公式求下列三角函数值:
1 cos 420 cos60 cos 60 1 2
2 sin
7 6
sin
5 6
sin
6
1 2
3sin 1300
4
cos
79 6
cos
5 6
cos
6
3 2
练习
化简 1sin 180 cos sin 180
4 tan 324 32 __ta_n__3_5_2_8_;
化简11scio原ns式52=cs2ions•22sin•2sin •c•osco2s
;
= sin • sin • cos
cos
= sin2
化简
2 cos2
tan 360
sin .
原式=cos2 tan sin
1.思考
给定一个角α (1)终边与角α的终边关于原点对称的角 与α有什么关系?它们的三角函数之间有 什么关系?
公式二
y
P(x,y)
sin(π+α)=－sinα cos(π+α)=－cosα
π +α α
O
x
tan(π+α)=tanα
P(-x,-y)
(2)终边与角α的终边关于x轴对称的角与α 有什么关系?它们的三角函数之间有什么 关系?
y
P(-x,y)
π-α P(x,y)
人教A版高中数学必修4课后习题 第一章 1.3 第2课时 诱导公式五、六
第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式第2课时诱导公式五、六课后篇巩固探究基础巩固1.若α∈(π,3π2),则√1-sin2(3π2-α)=( )A.sin αB.-sin αC.cos αD.-cos α(π,3π2),∴sinα<0.∴√1-sin2(3π2-α)=√1-cos2α=√sin2α=-sinα.2.已知P(sin 40°,-cos 140°)为锐角α终边上的点,则α=( )A.40°B.50°C.70°D.80°-cos140°)为角α终边上的点,因而tanα=-cos140°sin40°=-cos(90°+50°) sin(90°-50°)=sin50°cos50°=tan50°,又α为锐角,则α=50°,故选B.3.已知sin(π-α)=-2sin(π2+α),则sin αcos α=()A.25B.-25C.25或-25D.-15-α)=-2sin(π2+α),∴sinα=-2cosα.再由sin 2α+cos 2α=1可得sinα=2√55,cosα=-√55,或sinα=-2√55,cosα=√55,∴sinαcosα=-25.故选B.4.在△ABC 中,若sin A+B 2=45,则cos C2=( )A.-35B.-45C.35D.45解析∵A+B+C=π,∴A+B 2=π2−C2.∴sin A+B 2=sin (π2-C2)=cos C2=45.5.已知cos(60°+α)=13,且-180°<α<-90°,则cos(30°-α)的值为( ) A.-2√23B.2√23C.-√23D.√23-180°<α<-90°,得-120°<60°+α<-30°.又cos(60°+α)=13>0,所以-90°<60°+α<-30°,即-150°<α<-90°,所以120°<30°-α<180°,cos(30°-α)<0,所以cos(30°-α)=sin(60°+α)=-√1-cos 2(60°+α)=-√1-(13) 2=-2√23.6.若cos α=13,且α是第四象限的角,则cos (α+3π2)= .α是第四象限的角,所以sinα=-√1-cos 2α=-2√23. 于是cos (α+3π2)=-cos (α+π2)=sinα=-2√23. -2√237.若sin (π2+θ)=37,则cos 2(π2-θ)= .(π2+θ)=cosθ=37,则cos 2(π2-θ)=sin 2θ=1-cos 2θ=1-949=4049.8.求值:sin 2(π4-α)+sin 2(π4+α)= .解析∵π4-α+π4+α=π2,∴sin 2(π4+α)=sin 2[π2-(π4-α)]=cos 2(π4-α).∴sin 2(π4-α)+sin 2(π4+α)=sin 2(π4-α)+cos 2(π4-α)=1.9.化简:sin(-α-3π2)·sin(3π2-α)·tan 2(2π-α)cos(π2-α)·cos(π2+α)·cos 2(π-α).=sin(-α+π2)·[-sin(π2-α)]·tan 2(2π-α)cos(π2-α)·cos(π2+α)·cos 2(π-α)=cosα·(-cosα)·tan 2αsinα·(-sinα)·cos 2α=tan 2αsin 2α=1cos 2α.10.已知角α的终边经过点P (45,-35).(1)求sin α的值; (2)求sin(π2-α)tan (α-π)sin (α+π)cos (3π-α)的值.∵P (45,-35),|OP|=1,∴sinα=-35.(2)sin(π2-α)tan (α-π)sin (α+π)cos (3π-α)=cosαtanα-sinα(-cosα)=1cosα,由三角函数定义知cosα=45,故所求式子的值为54.能力提升1.已知π<α<2π,cos(α-9π)=-35,则cos (α-11π2)的值为( )A.35B.-35C.-45D.45cos(α-9π)=-cosα=-35,所以cosα=35.又因为α∈(π,2π),所以sinα=-√1-cos 2α=-45,cos (α-11π2)=-sinα=45.2.已知角α的终边上有一点P(1,3),则sin (π-α)-sin(π2+α)cos(3π2-α)+2cos (-π+α)的值为( )A.-25B.-45C.-47D.-4=sinα-cosα-sinα-2cosα=tanα-1-tanα-2.因为角α终边上有一点P(1,3), 所以tanα=3,所以原式=3-1-3-2=-25.故选A.3.已知α为第二象限角,则cos α√1+tan 2α+sin α√1+1tan 2α= .√sin 2α+cos 2αcos 2α+sinα√sin 2α+cos 2αsin 2α=cosα1|cosα|+sinα1|sinα|.因为α是第二象限角,所以sinα>0,cosα<0, 所以cosα1|cosα|+sinα1|sinα|=-1+1=0,即原式等于0.4.sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°= .sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°=sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 245°+cos 244°+…+cos 21°=(sin 21°+cos 21°)+(sin 22°+cos 22°)+…+(s in 244°+cos 244°)+sin 245°=44+12=892.5.已知函数f(x)=√2cos x-π12,x ∈R.若cos θ=35,θ∈3π2,2π,则fθ-5π12= .解析f θ-5π12=√2cos θ-5π12−π12=√2cos θ-π2=√2cosπ2-θ=√2sinθ,由已知可得θ为第四象限角,所以sinθ<0,故sinθ=-√1-cos 2θ=-45,f θ-5π12=√2sinθ=√2×-45=-4√25.-4√256.是否存在角α,β,α∈(-π2,π2),β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=√2cos (π2-β),√3cos(-α)=-√2cos(π+β)同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由. ,得{sinα=√2sinβ,√3cosα=√2cosβ,①②①2+②2得sin 2α+3cos 2α=2,∴sin 2α=12.又α∈(-π2,π2),∴α=π4或α=-π4.将α=π4代入②,得cosβ=√32.又β∈(0,π),∴β=π6,代入①可知符合.将α=-π4代入②得cosβ=√32,又β∈(0,π),∴β=π6,代入①可知不符合.综上可知,存在α=π4,β=π6满足条件.。
高中数学人教A版必修4课件：1.3三角函数的诱导公式
x 2k
sin(x) sin sin sin sin cos(x) cos cos cos cos tan tan tan tan tan
例1.利用公式求下列三角函数值
(1) cos 225 0
(2) sin 11 3
(3) sin( 16) 3
1.3 三角函数的诱导公式(1)
一、复习 请你说说三角函数的定义（用单位圆）
请你说说关于x轴、y轴、坐标原点对称的点的 坐标之间有何关系？
请你说说三角函数的诱导公式一
公式一： sin(2k ) sin cos(2k ) cos
tan(2k ) tan
y P(x,y)
o Q(-x,-y)
x
公式二：
sin sin cos cos tan tan
公式三：
sin sin cos cos tan tan
P(-x,y)
y P(x,y)
O
x
公式四：
sin sin cos cos
tan( ) tan
函数名不变,符号看象限
Y=x
y Q(y,x)
P(x,y)
o
x
公式五： 公式六：
sin( ) cos
2
cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
cos(
) sin
2
奇变偶不变,符号看象限
y o
x
例3.证明： (1).sin 3 cos 2
(2).cos 3 sin
例4.化简
2
sin2
cos
c os
2
c
os
11
2
cos sin3 sin sin 9
第一章 诱导公式五、六
)
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1 π 2．若sin(π＋α)＝－3，则cos(2＋α)等于( 1 1 A.3 B．－3 2 2 2 2 C. 3 D．－ 3
)
答案：B
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3π π 3．化简：sin(π＋α)cos( 2 ＋α)＋sin( 2 ＋α)·cos(π＋α)＝ ________.
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知识预览
1．诱导公式五 π π sin2－α＝cosα，cos2－α＝sinα. 2．诱导公式六 π π sin2＋α＝cosα，cos2＋α＝－sinα.
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5．若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)等于( A．3－cos2x B．3－sin2x C．3＋cos2x D．3＋sin2x π 解析：∵cosx＝sin(2kπ＋2－x)(k∈Z)，
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利用诱导公式五、六化简 【例2】 已知α是第三象限角，且f(α)＝ 3 sin(π－α)cos(2π－α)sin(－α＋2π) 7 cos(－α－π)·cos(－α＋2π) (1)化简f(α)； 3π 1 (2)若cos(α－ 2 )＝5，求f(α)； (3)若α＝－1860°，求f(α)．
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第2课时 诱导公式五、六
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【解】 (1)因为 cos(π＋α)＝－cosα＝－12，
所以 cosα＝12，又 α 为第一象限角．
则 cosπ2＋α＝－sinα＝－ 1－cos2α
＝－
1－122＝－
3 2.
(2)cosπ6＋α＝cosπ2－π3－α
＝sinπ3－α＝12.
第一章 三角函数
栏目 导引
第一章 三角函数
5
栏目 导引
利用诱导公式化简、证明
第一章 三角函数
化简：(1)cosc3o2πs－52πα－·sαin·sπ2in－－α3·2sπin－π2α＋ α； (2)sin（taπn－（α3）π－sinα3）2π－α＋ssiinn（ 32π2＋π－ααc）os（co2 (1)原式＝－（c－ossπ2in－α）α··scionsα32·πc＋osαα ＝－ssininααccoossα2α＝－cosα. (2)tan(3π－α)＝－tanα， sin(π－α)＝sinα， sin32π－α＝－cosα， sin(2π－α)＝－sinα， cosα－72π＝cosα＋π2＝－sinα，
[变设问]若本例(2)条件不变，如何求 cos56π－α的值． 解：cos56π－α ＝cosπ2＋π3－α ＝－sinπ3－α＝－12.
栏目 导引
(1)求值问题中角的转化方法
第一章 三角函数
(2)解答此类问题要学会发现它们的互余、互补关系：如π3－α 与π6＋ α，π3＋α 与π6－α，π4－α 与π4＋α 等互余，π3＋θ 与23π－θ，π4＋θ 与34π －θ 等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角 的变换来解决问题．
第一章 三角函数
栏目 导引
第一章 三角函数
sin32π＋α＝－cosα， cos(2π＋α)＝cosα， 所以原式＝sinα（－－tancoαsα）＋－si－nαc（osα－cosisnαα） ＝co1s2α－csoins22αα＝1－cossi2nα2α＝ccooss22αα＝1.
栏目 导引
第一章 三角函数
(1)用诱导公式进行化简时的注意点 ①化简后项数尽可能的少； ②函数的种类尽可能的少； ③分母不含三角函数的符号； ④能求值的一定要求值； ⑤含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．
栏目 导引
第一章 三角函数
(2)证明三角恒等式的常用方法 ①由左边推至右边或由右边推至左边，遵循的是化繁为简的原 则；②证明左边＝A，右边＝A，则左边＝右边，这里的 A 起着
栏目 导引
第一章 三角函数
1．若 cos(α＋π)＝－23，则 sin(－α－32π)＝( )
A.23
B．－23
5 C. 3
D．－
5 3
解析：选 A.因为 cos(α＋π)＝－cosα＝－23，所以 cosα＝23.所以
sin－α－32π＝cosα＝23.
栏目 导引
第一章 三角函数
2．已知 cosα＋π6＝35，则 sinα＋23π的值为________． 解析：sinα＋23π＝sinπ2＋α＋π6 ＝cosα＋π6＝35. 答案：35
)
A.23
B．－23
5 C. 3
D．－
5 3
答案：A
第一章 三角函数
栏目 导引
第一章 三角函数
已知 sin(α＋π2)＝13，α∈(－π2，0)，则 sinα 等于( )
A．－2
2 5
22 B. 5
C．－2
2 3
D.2 3 2
解析：选 C.sin(α＋π2)＝sin(π2＋α)＝cosα＝13，
又 α∈(－π2，0)，
左边 桥梁的作用；③通过作差或作商证明，即左边－右边＝0 或右边 ＝1.
栏目 导引
第一章 三角函数
1．化简 cos2π4－α＋cos2π4＋α＝________． 解析：原式＝sin2π2－π4－α＋cos2π4＋α ＝sin2π4＋α＋cos2π4＋α＝1. 答案：1
所以 sinα＝－
1－cos2α＝－2
3
2 .
栏目 导引
第一章 三角函数
sin95°＋cos175°的值为________． 解析：sin95°＋cos175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°) ＝cos5°－cos5°＝0. 答案：0
栏目 导引
第一章 三角函数
利用诱导公式求值
(1)已知 cos(π＋α)＝－12，α 为第一象限角，求 cosπ2＋α 的值． (2)已知 sinπ3－α＝12，求 cosπ6＋α的值．
栏目 导引
1．公式五、六
第一章 三角函数
栏目 导引
第一章 三角函数
2．公式五、六的语言概括
π2±α 的正弦(余弦)函数值，分别等于 α 的__余__弦__(_正__弦__)_函数值，前 面加上一个把 α 看成_锐__角__时原函数值的符号．
公式一～六都叫做诱导公式． ■名师点拨 诱导公式五、六反映的是角π2±α 与 α 的三角函数值之间的关系．可 借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．
第一章 三角函数
第 2 课时 诱导公式五、六
第一章 三角函数
考点
学习目标
核心素养
掌握诱导公式五、六的推导 诱导公式五、六
过程
逻辑推理
能利用诱导公式解决简单 数学运算、逻辑推 诱导公式的应用
的求值、化简与证明问题 理
第一章 三角函数
问题导学 预习教材 P26－P27，并思考下列问题： 1.π2－α 的终边与 α 的终边有怎样的对称关系？ 2．诱导公式五、六的内容是什么？
栏目 导引
第一章 三角函数
3．已知角 α 的终边在第二象限，且与单位圆交于点 P(a，35)， 求sin（π2＋2cαos）（＋32π2－sinα（）π2－α）的值．
栏目 导引
第一章 三角函数
解：因为角 α 的终边在第二象限且与单位圆交于点 P(a，35)，所 以 a2＋295＝1(a＜0)， 所以 a＝－45， 所以 sinα＝35，cosα＝－45， 所以原式＝cos－α＋2s2incαosα＝－32·csoinsαα ＝－32×－345＝2.
栏目 导引
第一章 三角函数
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)诱导公式五、六中的角 α 只能是锐角．( )
(2)sinα－π2＝cosα.(
)
(3)若 α 为第二象限角，则 sinπ2＋α＝cosα.(
)
答案：(1)× (2)× (3)√
栏目 导引
已知 sinα＝23，则 cosπ2－α等于(