高中数学 第五节 解斜三角形习题
高一数学解斜三角形试题答案及解析
高一数学解斜三角形试题答案及解析1.在△ABC中，若＝＝，则△ABC是( )．A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由正弦定理得，由得，即，由于为三角形的内角，故，即，因此三角形为等边三角形.【考点】判定三角形的形状.2.海事救护船在基地的北偏东，与基地相距海里，渔船被困海面，已知距离基地海里，而且在救护船正西方，则渔船与救护船的距离是()．A．海里B．海里C．海里或海里D．海里【答案】C【解析】在中，,，,，当;当；渔船B与救护船A的距离是100海里或200海里．【考点】解三角形的应用．3.在中，角所对的边分别为，且是方程的两个根，且，求：（1）的度数；（2）边的长度．【答案】(1),(2)【解析】解题思路：（1）利用三角形三角和定理求角C;(2)根据方程的根与系数的关系求两根之和与积；利用余弦定理求边c．规律总结：解三角形问题，要分析题意，寻找边角关系，选择合适的定理．注意点：在利用余弦定理求解时，要注意利用“整体思想”，减少计算量．试题解析：（1）,;故．是方程的两根，，由余弦定理，得，．【考点】1．三角形三角和定理；2．方程的根与系数的关系；3．余弦定理．4.在中，边上的中线长为3，且，，则边长为（）. A．B．C．D．【答案】A.【解析】如图，因为与互补，所以当时，，则，又，则，所以，在三角形BAD中，由正弦定理有：，从而，所以，在三角形ADC中，由余弦定理有：，所以，故选A.【考点】三角函数的基本关系：平方关系，正弦定理与余弦定理，两角和的正弦公式，化归思想.5.边长为2的等边三角形，求它水平放置时的直观图的面积 .【答案】【解析】等边三角形ABC的边长为2，故面积为，而原图和直观图面积之间的关系故直观图△A/B/C/的面积为.【考点】斜二测画法，直观图6.中，若，则的面积为A．B．C．1D．【答案】A【解析】解：△ABC的面积=AB•BC•sin60°=×2×1×＝．故选C．.【考点】三角形的面积公式．.7.在中，角所对的边分别为，若，且，则下列关系一定不成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将代入可得，所以或，当时有有.【考点】解三角形.8.已知为的内角，且，则 .【答案】或【解析】依题意可知，且在单调递增，所以当时，，当时，，所以，即，综上可知或.【考点】1.三角形内角的取值范围；2.正弦函数的单调性.9.已知的周长为，且，（Ⅰ）求边AB的长；（Ⅱ）若的面积为，求角C的度数。
解斜三角形的应用题目
解斜三角形的应用题目1. 已知直角三角形中，一个锐角为30度，斜边长为10，求另一个锐角的度数。
2. 已知直角三角形中，两个锐角分别为45度和45度，斜边长为5，求此三角形的两条直角边长。
3. 已知直角三角形中，一条直角边长为3，斜边长为5，求另一条直角边的长。
4. 已知直角三角形中，斜边长为10，一条直角边长为5，求另一条直角边的长。
5. 已知直角三角形中，一个锐角为60度，斜边长为8，求另一条直角边的长。
6. 已知直角三角形中，两条直角边长分别为3和4，求斜边长。
7. 已知直角三角形中，一条直角边长为5，斜边长为13，求另一条直角边的长。
8. 已知直角三角形中，一个锐角为30度，斜边长为10，求另一条直角边的长。
9. 已知直角三角形中，一条直角边长为6，斜边长为8，求另一条直角边的长。
10. 已知直角三角形中，一个锐角为45度，斜边长为5，求另一条直角边的长。
11. 已知直角三角形中，一条直角边长为3，斜边长为4，求另一条直角边的长。
12. 已知直角三角形中，一个锐角为60度，斜边长为8，求另一条直角边的长。
13. 已知直角三角形中，一条直角边长为4，斜边长为7，求另一条直角边的长。
14. 已知直角三角形中，一个锐角为45度，斜边长为5，求另一条直角边的长。
15. 已知直角三角形中，一条直角边长为5，斜边长为12，求另一条直角边的长。
16. 已知直角三角形中，一个锐角为30度，斜边长为10，求另一条直角边的长。
17. 已知直角三角形中，一条直角边长为6，斜边长为8，求另一条直角边的长。
18. 已知直角三角形中，一个锐角为45度，斜边长为5，求另一条直角边的长。
19. 已知直角三角形中，一条直角边长为3，斜边长为4，求另一条直角边的长。
20. 已知直角三角形中，一个锐角为60度，斜边长为8，求另一条直角边的长。
21. 已知直角三角形中，一条直角边长为4，斜边长为7，求另一条直角边的长。
22. 已知直角三角形中，一个锐角为45度，斜边长为5，求另一条直角边的长。
高三数学解斜三角形试题答案及解析
高三数学解斜三角形试题答案及解析1.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度BC约等于.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：，，，，）【答案】60【解析】，，.【考点】解三角形.2.在中，内角所对边长分别为，，．（1）求；（2）若的面积是１，求．【答案】（1）（2）【解析】（1）由，，可得，；，由正弦定理，，则，故，．由，．（2）由的面积是１，可得，得．．3.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2h追上，此时到达C处．(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．【答案】（1）14海里/小时（2）【解析】(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12海里，AC＝10×2＝20海里，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784，解得BC＝28海里．所以渔船甲的速度为＝14海里/小时．(2)在△ABC中，因为AB＝12海里，∠BAC＝120°，BC＝28海里，∠BCA＝α，由正弦定理，得.即sinα＝.4.一人在海面某处测得某山顶C的仰角为α(0°＜α＜45°)，在海面上向山顶的方向行进mm后，测得山顶C的仰角为90°－α，则该山的高度为________m．(结果化简)【答案】mtan2α【解析】由题意知∠CAB＝α，∠CDB＝90°－α，∠CDA＝90°＋α，且AD＝m，则∠ACD＝90°－2α.由正弦定理得，即，即AC＝，所以山高BC＝ACsinα＝＝mtan2α5.在△ABC中，∠A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为()．A．B．3C．D．7【答案】A【解析】S＝×AB·AC sin 60°＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos 60°＝3，所以BC＝.6.在所对的边分别为且.（1）求；（2）若,求面积的最大值.【答案】（1）；（2）面积的最大值为．【解析】（1）求，首先利用三角形内角和等于对其转化成单角，再利用倍角公式进行恒等变化得，由已知，带入即可；（2）若,求面积的最大值，由已知，可求出，可利用，因此求即可，又因为，可想到利用余弦定理来解，由余弦定理得，，利用基本不等式可求出的最大值，从而得面积的最大值．试题解析：（1）6分（2）即，，面积的最大值为 12分【考点】三角恒等变换，解三角形7.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且。
高一数学解斜三角形 试题
解 斜 三 角 形一、根本知识：〔1〕掌握正弦定理、余弦定理，能根据条件，灵敏选用正弦定理、余弦定理解斜三角形． 〔2〕能根据确定三角形的条件，三角形中边、角间的大小关系，确定解的个数． 〔3〕能运用解斜三角形的有关知识，解决简单的实际问题． 二、例题分析：例1 在△ABC 中，a=3，c=3 3 ，∠A=30°，求∠C 及b分析 两边及一边的对角，求另一边的对角，用正弦定理．注意两边和一边的对角所对应的三角形是不确定的，所以要讨论．解 ∵∠A=30°，a ＜c ，c ·sinA=3 3 2＜a ， ∴此题有两解．sinC=csinA a = 33×123 = 32 ， ∴∠C=60°，或者∠C=120°．∴当∠C=60°时，∠B=90°，b=a 2+b 2 =6． 当∠C=120°时，∠B=30°，b=a=3．点评 两边和一边的对角的三角形是不确定的，解答时要注意讨论． 例2 在△ABC 中，acosA=bcosB ，判断△ABC 的形状．分析 欲判断△ABC 的形状，需将式变形．式中既含有边也含有角，直接变形难以进展，假设将三角函数换成边，那么可进展代数变形，或者将边换成三角函数，那么可进展三角变换．解 方法一：由余弦定理，得 a ·〔b 2+c 2—a 22bc 〕=b ·〔a 2+c 2—b 22ac 〕，∴a 2c 2－a 4－b 2c 2+b 4=0 ． ∴(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)=0 ． ∴a 2－b 2=0，或者c 2－a 2－b 2=0． ∴a=b ，或者c 2=a 2+b 2．∴△ABC 是等腰三角形或者直角三角形． 方法二：由acosA=bcosB ，得 2RsinAcosA=2RsinBcosB ．∴sin2A=sin2B ． ∴2A=2B ，或者2A=π－2B ． ∴A=B ，或者A+B=π2．∴△ABC 为等腰三角形或者直角三角形．点评 假设式中既含有边又含有角，往往运用余弦定理或者正弦定理，将角换成边或者将边换成角，然后进展代数或者三角恒等变换．例3 圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD 的面积．分析 四边形ABCD 的面积等于△ABD 和△BCD 的 面积之和，由三角形面积公式及∠A+∠C=π可知，只需求出∠A 即可．所以，只需寻找∠A 的方程． 解 连结BD ，那么有四边形ABCD 的面积S=S △ABD +S △CDB =12AB ·AD ·sinA+12BC ·CD ·sinC ．·ABCDO∵A+C=180°，∴sinA=sinC．故S=12〔2×4+6×4〕sinA=16sinA．在△ABD中，由余弦定理，得BD2=AB2+AD2－2AB·ADcosA=20－16cosA ．在△CDB中，由余弦定理，得BD2=CB2+CD2－2CB·CD·cosC=52－48cosC．∴20－16cosA=52－48cosC．∵cosC=－cosA，∴64cosA=－32，cosA=－1 2．又∵0°＜A＜180°，∴A=120°．故S=16sin120°=8 3 ．点评注意两个三角形的公用边在解题中的运用．例4墙壁上一幅图画，上端距观察者程度视线b下端距程度视线a米，问观察者距墙壁多少米时，才能使观察者上、下视角最大．分析如图，使观察者上下视角最大，即使∠APB最大，所以需寻找∠APB的目的函数．由于有关边长，所以考虑运用三角函数解之．解设观察者距墙壁x米的P处观察，PC⊥AB，AC=b，BC=a(0＜a＜b)，那么∠APB=θ为视角．y=tan θ=tan(∠APC －∠BPC)= tan ∠APC —tan ∠BPC 1+ tan ∠APC ·tan ∠BPC =xax b x a x b ⋅+-1 =b —a x+ab x≤b —a 2ab ， 当且仅当x= abx , 即x=ab 时，y 最大．由θ∈〔0，π2〕且y=tan θ在〔0，π2〕上为增函数，故当且仅当x=ab 时视角最大．点评 注意运用直角三角形中三角函数的定义解决解三角形的有关问题． 三、训练反应：1．在△ABC 中，a= 2 ，b=2，∠B=45°，那么∠A 等于 〔 A 〕A ．30°B ．60°C ．60°或者120°D ．30°或者150° 2．假设三角形三边之比为3∶5∶7，那么这个三角形的最大内角为 〔 C 〕 A ．60° B ． 90° C ． 120° D ． 150° 3．货轮在海上以40千米/小时的速度由B 到C 航行，航向的方位角∠NBC=140°，A 处有，其方位角∠NBA=110°，在C 处观测A 的方位角∠N ′CA=35°，由B 到C 需 航行半小时，那么C 到A 的间隔 是 〔 C 〕 A ．10 6 km B ．10 2 kmC ．10( 6 － 2 ) kmD ．10〔 6 ＋ 2 〕km 4．△ABC 中，tanA+tanB+ 3 = 3 tanAtanB ，sinAcosA= 34，那么该三角形是 〔 A 〕 A ．等边三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形或者直角三角形5．在△ABC 中，〔b+c 〕∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，那么此三角形的最大内角为 〔 A 〕 A ．120° B ．150° C ．60° D ．90°6．假设A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，那么点P 〔cosB －sinA ，sinB －cosA 〕在 〔 B 〕 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限7．△ABC 中，假设sinAsinB ＜cosAcosB ，那么△ABC 的形状为 ．钝角三角形8．在△ABC 中，c=10，A=45°，C=30°，那么b= ．5〔 6 + 2 〕9．在△ABC 中，假设sinA ∶sinB ∶sinC=5∶12∶13，那么cosA= ．121310．在△ABC 中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，那么∠C 的大小为 ．π611．a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积，假设a=4，b=5，s=5 3 ，求c 的长度．21 或者6112．在△ABC 中，sin 2A －sin 2B+sin 2C=sinAsinC ，试求角B 的大小． π313．半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上一点，且OA=2B 为半圆上任意一点，以AB 为边向外作等边△ABC点在什么位置时，四边形OACB 的面积最大，并求出这个最 大面积．设∠AOB=θ，θ= 5π6 时，S 最大值 =2+5 34励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
高一数学解斜三角形试题答案及解析
高一数学解斜三角形试题答案及解析1.在△ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为、、，、、成等比数列，且，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B.【解析】由于、、成等比数列，，由正弦定理得. 由于，，由余弦定理推论得.【考点】余弦定理的应用.2.在△ABC中，a＝4，b＝4，角A＝30°，则角B等于 ()．A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°【解析】D由正弦定理得，由于，，符合大边对大角.【考点】正弦定理的应用.3.已知中，的对边分别为且.（1）判断△的形状，并求的取值范围；（2）如图，三角形的顶点分别在上运动，，若直线直线，且相交于点，求间距离的取值范围.【答案】（1）为直角三角形，；（2）.【解析】（1）法一，根据数量积的运算法则及平面向量的线性运算化简得到，从而可确定，为直角三角形；法二：用数量积的定义，将数量积的问题转化为三角形的边角关系，进而由余弦定理化简得到，从而可确定为直角，为直角三角形；（2）先引入，并设，根据三角函数的定义得到，进而得到，利用三角函数的图像与性质即可得到的取值范围，从而可确定两点间的距离的取值范围.试题解析：(1)法一：因为所以即所以，所以所以是以为直角的直角三角形法二：因为所以是以为直角的直角三角形即(2)不仿设，所以所以.【考点】1.平面向量的数量积；2.余弦定理；3.三角函数的应用.4.边长为2的等边三角形，求它水平放置时的直观图的面积 .【答案】【解析】等边三角形ABC的边长为2，故面积为，而原图和直观图面积之间的关系故直观图△A/B/C/的面积为.【考点】斜二测画法，直观图5.座落于我市红梅公园边的天宁宝塔堪称中华之最，也堪称佛塔世界之最．如图，已知天宁宝塔AB高度为150米，某大楼CD高度为90米，从大楼CD顶部C看天宁宝塔AB的张角，求天宁宝塔AB与大楼CD底部之间的距离BD．【答案】180米．【解析】本题难点在于选择函数解析式模型,是用余弦定理解三角形,还是取直角三角形表示边.如用余弦定理解三角形,则得,解此方程成为难点;如构造直角三角形就会减少运算量,即作CE AB于E,构造直角三角形CBE和直角三角形CAE,利用两角和的正切公式得到关于BD的方程,解此方程的运算量要少得多.将一个已知角分为两个角的和,这种思维不常见,须多加注意,深刻体会.试题解析：解：如图作CE AB于E．因为AB∥CD，AB=150，CD=90，所以BE=90，AE=60．设CE=，，则． 2分在和中，， 4分因为，所以． 8分化简得，解得或（舍去）． 10分答：天宁宝塔AB与大楼CD底部之间的距离为180米． 12分【考点】两角和的正切公式,函数与方程.6.已知为的内角，且，则 .【答案】或【解析】依题意可知，且在单调递增，所以当时，，当时，，所以，即，综上可知或.【考点】1.三角形内角的取值范围；2.正弦函数的单调性.7.已知的周长为，且，（Ⅰ）求边AB的长；（Ⅱ）若的面积为，求角C的度数。
(完整版)解斜三角形
解斜三角形一、基本知识 1. 正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 是△ABC 外接圆半径） 2.余弦定理A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+= C ab b a c cos 2222-+=bc a c b A 2cos 222-+=ac b c a B 2cos 222-+=abc b a C 2cos 222-+=3. C ab S ABC sin 21=∆ r c b a S ABC)(21++=∆（r 是△ABC 内接圆半径） 4. 重要结论（1） C B A sin )sin(=+C B A cos )cos(-=+ C B A tan )tan(-=+（2） 2cos 2sinCB A =+ 2sin 2cos C B A =+（3） =++C B A tan tan tan C B A tan tan tan ••5. 考题分类题型一: 求解斜三角形中的基本元素 题型二：判断三角形的形状 题型三：解决与面积有关问题 题型四：三角形中求值问题题型五：实际应用二、例题解析【例1】已知△ABC 中，,sin )()sin (sin 2222B b a C A -=-外接圆半径为2，求角C 。
分析： 由,sin )()sin (sin 2222B b a C A -=-得Rbb a Rc R a 2)()44(222222-=- 由于，2=R ，代入并整理，得ab c b a =-+222所以，2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C 所以，3π=C 。
【例2】设ABC ∆的内角..A B C 所对的边分别为..a b c ，已知11. 2.cos .4a b C === （Ⅰ）求ABC ∆的周长 （Ⅱ）求()cos A C -的值本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力解析：（Ⅰ）∵441441cos 2222=⨯-+=-+=C ab b a c ∴2=c∴ABC ∆的周长为5221=++=++c b a .（Ⅱ）∵41cos =C ，∴415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C C ，∴8152415sin sin ===c C a A ∵b a <，∴B A <,故A 为锐角，∴878151sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +=16114158154187=⨯+⨯=. 【例3】在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若AB，求BC 边的长 解：（Ⅰ）π()C A B =-+，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯． 又0πC <<，3π4C ∴=．（Ⅱ）由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin 17A =．sin sin AB BC C A=，sin sin A BC AB C∴=⨯= 例4 根据下列条件判断三角形ABC 的形状：(1)若22tan tan a B =b A ；(2)b 2sin 2C + c 2sin 2B =2bc cos B cosC ;解（1）由已知及正弦定理得(2RsinA)2B cos B sin = (2RsinB)2⇒Acos A sin 2sinAcosA=2sinBcosB ⇒sin2A=sin2B ⇒2cos(A + B)sin(A – B)=0 ∴ A + B=90o或 A – B=0所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 解（1）由正弦定理得sin 2Bsin 2C=sinBsinCcosBcosC∵ sin B sin C ≠0, ∴ sin B sin C =cos B cos C , 即 cos(B + C )=0, ∴ B + C =90o, A =90o, 故△ABC 是直角三角形.【例5】如图，海中小岛A 周围20海里内有暗礁，一船向南航行，在B 处BC测得小岛A 在船的南偏东30º；航行30海里后，在C 处测得小岛A 在船的南偏东60º。
高一数学解斜三角形试题答案及解析
高一数学解斜三角形试题答案及解析1.在△ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为、、，、、成等比数列，且，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B.【解析】由于、、成等比数列，，由正弦定理得.由于，，由余弦定理推论得.【考点】余弦定理的应用.2.△ABC中，若，则△ABC的形状为（）.A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．锐角三角形【答案】B【解析】由正弦定理及,得;则，即;又因为A,B是三角形的内角，,即三角形为等腰三角形.【考点】正弦定理、三角形形状的判定.3.在△ABC中，a＝4，b＝4，角A＝30°，则角B等于 ()．A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°【解析】D由正弦定理得，由于，，符合大边对大角.【考点】正弦定理的应用.4.在中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则 = ．【答案】【解析】由三角形内角和定理可知,又∠A：∠B：∠C=1：2：3,所以,由正弦定理可知,因此答案为.【考点】内角和定理与正弦定理5.如图，小岛A的周围3.8海里内有暗礁.一艘渔船从B地出发由西向东航行，观测到小岛A在北偏东75°，继续航行8海里到达C处，观测到小岛A在北偏东60°.若此船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险？【答案】此船继续前行没有触礁的危险【解析】根据已知条件可知，，可得边长，构造直角三角形用三角函数即可求得点到的距离，若此距离大于就没有触礁的危险，否则就会有触礁的危险。
试题解析：解法1在中，,所以. 4分又已知，所以=8. 8分过点作⊥BC,垂足为D,在直角三角形中，＞3.8 11分所以此船继续前行没有触礁的危险 12分解法2 过点A作AD ⊥,垂足为D,由已知，BC=8，∠BAD=75°, ∠CAD=60° 4分在直角三角形ABD中，，在直角三角形ACD中，同法可得, 8分所以BC=BD-CD=，所以＞3.8 11分所以此船继续前行没有触礁的危险 . 12分【考点】解三角形问题。
高二数学解斜三角形试题答案及解析
高二数学解斜三角形试题答案及解析1.△ABC中，如果＝＝，那么△ABC是( )．A．直角三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形【答案】B【解析】＝＝，＝＝，＝＝，A=B=C△ABC是等边三角形. 故选B.【考点】正弦定理.2.在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为，由此点向塔沿直线行走米，测得塔顶的仰角为，则塔高是米.【答案】【解析】如下图，是塔高，则由，由，所以，解得.【考点】解三角形.3.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，为，的等差中项.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c的值.【答案】(1) A＝；(2) b＝c＝2.【解析】(1)利用等差中项建立方程，三角形三角形内角和定理建立方程即得A＝；(2)由已知利用三角形面积公式S＝bcsinA和余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA建立方程组，解方程组即可.试题解析：解：(1)∵为，的等差中项，，2分∵,∴A＝.4分(2)△ABC的面积S＝bcsinA＝，故bc＝4.6分而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.8分解得b＝c＝2.10分【考点】1.等差中项；2.内角和定理；3.三角形面积公式；4.余弦定理.4.如图，从高为米的气球上测量铁桥()的长，如果测得桥头的俯角是，桥头的俯角是，则桥长为米.【答案】【解析】如下图，设于点，则依题意有，则有即，由，得，所以.【考点】解斜三角形.5.在中，已知，求边的长及的面积.【答案】，.【解析】根据题意，由余弦定理，可求出的值，再由三角形面积公式，可求得的面积.试题解析：在中,由余弦定理得: 3分∴ 6分由三角形的面积公式得： 9分12分【考点】1.余弦定理；2.三角形面积.6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为,若.(1)求角B;(2)若的面积为,求函数的单调增区间【答案】(1)； (2)单调增区间【解析】(1)∵∴又∵∴∴(2)∴∴∴令得单调增区间【考点】余弦定理的应用，和差倍半的三角函数公式。
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第五节解斜三角形【例1】根据下列条件，解三角形ABC （1）已知 30,8,4===B c b ，求C 、A 、a ； （2）已知2,2,30===c b B ，求A 、C 、a ； （3）已知 45,9,6===B c b ，求C 、a 、A【例2】解答下列各题：（1）已知在△ABC 中，)15(4,4,18+===b a A ，求另一边及另两个角。
（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且10=c ，又知34cos cos ==a b B A ，求a 、b 及△ABC 的内切圆的半径。
【例3】在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果)(22b a +·)sin(·)()sin(22B A b a B A +-=-，且B A ≠，求证：△ABC 是直角三角形。
【例4】在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，证明：C B A cb a sin )sin(222-=-【例5】已知，钝角三角形ABC 中，4,1,52,90=+=-=>c x b x a B ，求x 的取值范围。
【例6】在△ABC ，如果baB A =--cos 1cos 1，试判定△ABC 的形状。
【例7】如图，为了测量河对岸A ，B 两点间的距离，在河的这边测定,23km CD = 30,60,45ACB DCB ADC ADB ∠=∠=∠=∠=，求A 、B 两点的距离。
【例8】如图，海中小岛A 周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东45°，航行30海里后，C 处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？双基训练1、满足条件 45,23,4===A b a 的△ABC 的个数是（ ） A 、一个B 、两个C 、无数个D 、不存在2、在△ABC 中， 30,15,5===A b a ，则c 等于（ ） A 、52B 、5C 、52或5D 、以上都不对3、若B b A a cos cos =，则△ABC 一定是（ ） A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、等腰直角三角形 D 、等腰或直角三角形4、在△ABC 中，其周长为7.5cm ，且A sin ：B sin ：C sin =4：5：6，则下列成立的个数是（ ） ①a ：b ：4=c ：5：6②a ：b ：2=c ：5：6 ③cm c cm b cm a 3,5.2,2=== ④A ：B ：C = 4：5：6 A 、0B 、1C 、2D 、35、在△ABC 中，已知 45,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A 、222<<xB 、222≤<xC 、2>xD 、2<x6、在△ABC 中，已知 120,30,10===B A a ，则=∆S 。
7、设A 是△ABC 中的最小角，且11cos +-=a a A ，则a 的取值范围是 。
8、在ABC ∆中，5,10922cos 2==+=c c c b A ，求△ABC 的内切圆的半径长。
9、在△ABC 中，已知bc a c b c b a 3)()(=-+++，且C B A cos sin 2sin =，试确定 △ABC 的形状。
10、已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB =2，BC =6，CD=DA =4，求四边形ABCD 的面积。
知识升华1、在△ABC 中，A =60°，1=b ，3=∆ABC S ，则C B A cb a sin sin sin ++++等于（ ）A 、338 B 、3392 C 、3326 D 、322、在△ABC 中，a 、b 、c 为它的三边，且三角形的面积为4222c b a -+，则角C 等于（ ） A 、30° B 、45° C 、60° D 、90°3、已知在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，而2R 是△ABC 外接圆的直径，给定下列四个命题： （1）Rc C Rb B Ra A 2sin ,2sin ,2sin === （2）C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== （3）R C c R B b R A a 2sin ,2sin ,2sin === （4）C B A c b a sin :sin :sin ::= 其中正确命题的个数是 A 、1 B 、2C 、3D 、44、在ABC 中，a 、b 、c 为角A 、B 、C 的三对边，若∠C =60° ，则cb ac a b +++的值为（ ） A 、21B 、22 C 、1 D 、25、在半径为R 的圆内接四边形ABCD 中，下面四个结论中不正确的是（ ） A 、BC AB BC AB AC ·2222++= B 、D BC AB BC AB AC cos ||||2222++= C 、C AD AB AD AB BD cos ||·||2222++=D 、A CD CB CD CB C AD AB AD AB cos ·||2cos ||||22222-+=-+6、在△ABC 中，已知53sin ,135cos ==B A ，则C cos 的值为（ ） A 、6516 B 、6556 C 、65566516或 D 、6516-7、在△ABC 中，A 、B 、C 三个角的对边分别为a 、b 、c ，若 40,21,1=∠==C c a ，则符合题意的b 的值有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、0个8、有一长为1km 的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长 km 。
9、隔河看两目标A 与B ，但不能到达，在岸边选取相距3km 的C 、D 两点，同时，测得 45,30,45,70=∠=∠=∠=∠ADB ADC BCD ACB ，A 、B 、C 、D 在同一平面内，则两目标A 、B 之间的距离为 。
10、在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O 的东偏南θ)102(cos =θ方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大。
问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？11、如图，在△ABC 中任取一点O ，用C B A S S S ,,分别表示△BOC ，△COA ，△AOB的面积。
12、半圆O 的直径长为2，A 为直径延长线上的一点，OA =2，B 为半圆周上动点，以AB 为边，向外作等边三角形ABC ，问B 点在什么位置时，四边形OACB 的面积最大？并求这个最大面积。
挑战高考1、△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么=b （ ）A 、231+ B 、31+ C 、232+ D 、32+2、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别是a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列，那么△ABC 一定是（ ） A 、直角三角形 B 、等腰直角三角形 C 、等边三角形 D 、钝角三角形3、在△ABC 中，AB =3，BC =13，AC =4，则边AC 边上的高为（ ）A 、223 B 、323 C 、23D 、33 4、如图，一艘船上午在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距n 28mile ，此船的航速是 n mile/h 。
5、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且c a b C B +-=2cos cos （1）求角B 的大小；（2）若4,13=+=c a b ，求a 的值。
6、△ABC 中，三个内角分别是A 、B 、C ，向量a = )2cos,2cos 25(BA C -， 当91tan ·tan =B A 时，求||a7、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，设222224)()(c x b a x a x f ---= （1）若0)1(=f 且3π=-C B ，求角C 的大小；（2）若0)2(=f ，求角C 的取值范围。
8、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，且12cos 2sin 22=++C BA （1）求角C 的大小；（2）（理）若22221c b a +=，试求)sin(B A -的值。
（文）若3,522==+c b a ，试求b a ,的值。
9、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若=+)cos (cos sin 2C B A )sin (sin 3C B +（1）求角A 的大小； （2）若9,61=+=c b a ，求b 和c 的值。