第二章二次函数
北师大版九年级数学下册件 2.2 第3课时 二次函数y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k课
A．（-3，-2） B．（-2，0） C．（-5，0） D．（-3，0）
C
）
三、即学即练，应用知识
1
5.抛物线 y ( x 2)2 7 的对称轴是________
直线x=2，顶点坐标是________；
（2，7）
3
减小
当x＞2时，y随x的增大而_______；当x＜2时，y随x的增大而_______；
顶点(0,− ）
顶点(-3，− ）
二、自主合作，探究新知
议一议：二次函数y=a（x-h）2+k与y=ax2的图象有什么关系？
一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a (x-h)2+k的
图象.因此，二次函数y=a (x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的开口方
向、对称轴和顶点坐标与a，h， k的值有关.
北师大版 数学 九年级下册
第二章 二次函数
2
二次函数的图象与性质
第3课时
学习目标
1.能够画出函数y＝a(x－h)2和函数y＝a(x－h)2＋k的图象，并能
理解它们与y＝ax2的图象的关系，理解a，h和k对二次函数图象
的影响．(重点)2.能正确说出y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、
对称轴和顶点坐标．3.探索函数y＝a(x－h)2和函数y＝a(x－h)2
而减小；当x>0时，y
随x增大而增大.
最值
x=0时，y最小值=k
向下
y轴（直线x=0）
（0,k）
当x<0时，y随x增大
而增大；当x>0时，
y随x增大而减小.
x=0时，y最大值=k
一、创设情境，引入新知
第二章 二元二次函数、方程和不等式
第二章二元二次函数、方程和不等式本章主要介绍二元二次函数、方程和不等式的基本性质和解法。
二元二次函数二元二次函数是由两个变量的二次函数构成的，其一般形式为：$f(x, y) = ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + f$，其中$a, b, c, d, e, f$为常数。
二元二次函数的图像通常为二次曲线，例如椭圆、双曲线和抛物线。
它们可以描述二维空间中的各种现象和关系。
二元二次方程二元二次方程是由两个变量的二次方程构成的，一般形式为：$ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + f = 0$，其中$a, b, c, d, e, f$为已知常数，$x$和$y$为未知变量。
求解二元二次方程可以采用配方法、提公因式法、三角函数法等多种方法。
通过求解方程，我们可以找到方程的解集，进一步研究问题的解和特性。
二元二次不等式二元二次不等式是由两个变量的二次不等式构成的，其一般形式为：$ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + f > 0$（或$<$、$\ge$、$\le$等），其中$a, b, c, d, e, f$为已知常数，$x$和$y$为未知变量。
解二元二次不等式的方法与解方程类似，通过找到不等式的解集，可以确定不等式的满足条件以及在二维平面上的区域。
总结在本章中，我们介绍了二元二次函数、方程和不等式的基本概念和解法。
二元二次函数和方程可以用来描述二维空间中的各种现象和关系，而不等式则可以用来表示不同条件下的区域。
对于二元二次函数、方程和不等式的解法，我们可以根据具体情况选择不同的方法和策略。
通过深入学习和应用这些知识，我们能够更好地理解和解决相关问题。
9年级上册数学第二章《二次函数1》讲义
第一部分: 基础知识1、定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2、二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.① 当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；② 当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a . 3、二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线. 4、二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.② 平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7、顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全 相同，只是顶点的位置不同. 8、求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的 对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9、抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线ab x 2-=， 故：① 0=b 时，对称轴为y 轴； ② 0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧； ③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. （3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：① 0=c ，抛物线经过原点; ② 0>c ,与y 轴交于正半轴； ③ 0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab. 10、几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向 对称轴顶点坐标2ax y =当0>a 时 开口向上 当0<a 时开口向下0=x （y 轴） （0,0） k ax y +=20=x （y 轴） (0, k ) ()2h x a y -=h x = (h ,0) ()k h x a y +-=2h x = (h ,k )c bx ax y ++=2ab x 2-= (ab ac a b 4422--，) 11、用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12、直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). （3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：① 有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；② 有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③ 没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ， 则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2 的解的数目来确定： ① 方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;② 方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点； ③ 方程组无解时⇔l 与G 没有交点. （6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121, ()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=--=-=-=444222122122121第二部分：典型习题1、抛物线y ＝x 2＋2x －2的顶点坐标是（ ）A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3） 2、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）Ａ．ab ＞0，c ＞0 Ｂ．ab ＞0，c ＜0 Ｃ．ab ＜0，c ＞0 Ｄ．ab ＜0，c ＜0CA EF BD第２,３题图 第4题图3、二次函数c bx ax y ＋＋＝2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0 D ．a ＜0，b ＞0，c ＞04、如图，已知∆ABC 中，BC=8，BC 上的高h =4，D 为BC 上一点，EF BC //，交AB 于点E ，交AC 于点F （EF 不过 A 、B ），设E 到BC 的距离为x ，则∆DEF 的面积y 关于x 的函数的图象大致为（ ）DO 424O424O 424O 424AyxBC5、抛物线322--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为 ．6、已知二次函数11)(2k 2－－＋＝x kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x （21x x ＜），则对于下列结论： ① 当x ＝－2时，y ＝1；② 当2x x ＞时，y ＞0；③ 方程011)(22＝－＋-x k kx 有两个不相等的实数根1x 、2x ；④ 11-＜x ，12＞－x ； ⑤22114k x x k＋－＝，其中所有正确的结论是 （只需填写序号）． 7、已知直线()02≠+-=b b x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；一抛物线的解析式为()c x b x y ++-=102.（1）若该抛物线过点B ，且它的顶点P 在直线b x y +-=2上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ，若抛物线的对称轴恰好过C 点，试确定直线b x y +-=2的解析式.8、有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y ，且y 是x 的二次函数，已知输入值为2-,0,1时, 相应的输出 值分别为5,3-,4-． （1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y 为正数时输入值x 的取值范围.9、某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的 体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答： ⑴ 第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间?yOx第9题⑵ 第三天12时这头骆驼的体温是多少?⑶ 兴趣小组又在研究中发现，图中10时到22时的曲线是抛物线， 求该抛物线的解析式．10、已知抛物线4)334(2+++=x a ax y 与x 轴交于A 、 B 两点，与y 轴交于点C ．是否存在实数a ，使得△ABC 为直 角三角形．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．11、已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2.（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且AB ＝5，试求m 的值；（2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于27， 试求m 的值.12、已知：抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0）． （1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式； （3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点，如果点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线 对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．14、已知二次函数22－＝ax y 的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x 轴的交点 的个数．15、卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB ＝5 cm ，拱高OC ＝0.9 cm ， 线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB ，如图（1）．在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果DE 与AB 的距离OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.12 ，计算结果精确到1米）．16、已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点A 在点B 的左侧，如图．二次函数c bx ax y ＋＋＝2（a ≠0）的图象经过点A 、B ，与y 轴相交于点C ． （1）a 、c 的符号之间有何关系?（2）如果线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的比例中项，试证a 、c 互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果b ＝－4，34＝AB ，求a 、c 的值．。
北师大版九年级数学下册课件 2.3 第2课时 由三点确定二次函数的表达式
解这个方程组，得
3
a , b 3.
2
2
3 2 3
∴所求的二次函数的表达式是 y 2 x 2 x 1.
五、当堂达标检测
6.若抛物线经过(0，1)，(一1，0)，(1，0)三点，求此抛物线的表达式.
解: 由抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y=a(x+1)(x-1).
知识要点
一般式法求二次函数表达式的方法
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
其步骤是：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
二、自主合作，探究新知
典型例题
例1：已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个
（-2，13），求这个二次函数的表达式.
想一想：除了上节课的解法，还有没有其他解法呢？
分析：因为二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，即函数图象过点
（0，1），因此知道三个点的坐标，设y＝ax2+bx+c，能不能确定这个
二次函数的表达式呢？
将三个点代入y＝
ax2+bx+c后，会得
到一个什么样的方
程组呢？
∴ 4=a+b+c
解得 b=-3，
你会解三元一
c=5.
7=4a+2b+c，
次方程组吗？
2
∴所求二次函数表达式为 y=2x -3x+5.
2
3 31
y 2 x 3x 5 2 x ,
北师版九年级数学下册教学课件 第二章 二次函数 第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
B．b≤－1
C．b≥1
D．b≤1
解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的 值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小， ∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋ 2bx＋c的对称轴 x 2b ，b 即b≤1，故选择D .
c=0 c＞0 c＜0
图象的特征
开口__________向__上_________ 开口__________向__下_________
对称轴为___y__轴 对称轴在y轴的_左___侧 对称轴在y轴的_右___侧
经过原点
与y轴交于__正___半轴 与y轴交于__负___半轴
例4 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：
2
2
移得到的？
答：平移方法1： 先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的； 平移方法2： 先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.
问题4 如何用描点法画二次函数 y 1 x2 6x 21的图象？ 2
解: 先利用图形的对称性列表
x
… 3 4 5 6 7 8 9…
y 1 (x 6)2 3 2
…
7.5
5 3.5 y 3 3.5 5 7.5 …
然后描点画图，
10
得到图象如右图.
5
O
5
10
x
问题5 结合二次函数 y 1 x2 6x 21 的图象，说出其增减性. 2
y
x=6
当x<6时，y随x的增大而减小；
10
当x>6时，y随x的增大而增大.
5
试一试
O
5
10
x
第二章二次函数单元小结课件
b2－4ac
b2－4ac＝0
b2－4ac＞0 b2－4ac＜0
与x轴有唯一交点(顶点)
与x轴有两个交点 与x轴没有交点
知识专题
知识点5：二次函数解析式的三种表示方式 1.已知抛物线上的三点，通常设解析式为_y_=_a_x_2_+_b_x_+_c_(_a_≠_0_) _.
作业布置
1.布置作业：教材“复习题”中第2、3、4、8、13 题 2.完成练习册中本课时的练习.
知识点6.二次函数的实际应用
最大面积应用题的解题步骤 1.根据要求设出自变量x，因变量y是面积； 2.列出二次函数的解析式，写出自变量取值范围； 3.运用顶点公式或利用配方把解析式化为顶点式求出
面积的最大值。
知识专题
最大利润应用题的解题步骤 1.总利润=单利润×销售数量； 2.设价格为自变量x，总利润为因变量y，列出关系式； 3.运用公式法或配方化为顶点式求出利润的最大值.
开口方向
a＞0 a＜0
向上 向下
对称轴 x=h
顶点坐标 （h，0）
知识专题
知识点3：抛物线的平移
1.平移关系
当h>0时，向右平移 y=ax2
当h<0时，向左平移
y=a(x-h)2
当k>0时，向上平移 当k<0时，向下平移
y=a(x-h)2+k
2.顶点变化 (0，0)
(h，0)
(h，k)
知识专题
知识点4：二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) 的图象和性质
考点专练
【要点指点】 解决这类问题常用待定系数法. 设二次函 数表达式时常见的有三种情势：一般式y=ax2+bx+c(a≠0)； 顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0), 其中(h, k)是二次函数图像的顶 点坐标；交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0), 其中x1, x2是抛物 线 与x轴交点的横坐标.
第二章 §2.3 二次函数与幂函数
6
=
9 2
2
,则 (3
a)(6
a)
(-6≤a≤3)的最大值为 9 ,选B.
2
栏目索引
5.(2013辽宁,12,5分)已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)}, H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值).记H1(x)的最小 值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B= ( ) A.a2-2a-16 B.a2+2a-16
故0<a<2,此时,在y轴右侧,两函数图象有两个公共点,
若满足条件,则-a<-1,即a>1.故1<a<2.
栏目索引
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
考点一 二次函数
1.(2017浙江,5,4分)若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m ( ) A.与a有关,且与b有关 B.与a有关,但与b无关 C.与a无关,且与b无关 D.与a无关,但与b有关
A.16 B.18 C.25 D. 81 2
栏目索引
答案 B 当m=2时, f(x)=(n-8)x+1在区间 12 , 2 上单调递减,则n-8<0⇒n<8,于是mn<16,则mn无
最大值.
当m∈[0,2)时,
f(x)的图象开口向下,要使f(x)在区间 12 , 2
上单调递减,需- n 8
栏目索引
疑难突破 能够将原绝对值不等式化繁为简,将问题简化为一元二次不等式有解问题,再进一 步转化为值域交集非空是求解本题的关键.
北师大版九年级数学下册课件 2.2 第4课时 二次函数y=ax^2+bx+c的图象与性质
∴ 当x＞－2时，y随x的增大而减小．
四、课堂小结
配方法
b 2 4ac b 2
y a( x )
2a
4a
y=ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式)
(顶点式)
公式法
b 4ac b2
顶点： ( ,
)
2a
4a
b
对称轴： x
2a
五、当堂达标检测
议一议：二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质是怎样的？
2
b
4
ac
b
)
二次函数y=ax2+bx+c的图象：顶点坐标(- ，
2a
4a
（a>0）
O
y
x b
2a
（a<0）
最大值
x
最小值
O
y x b
2a
x
二、自主合作，探究新知
知识要点
函数
开口方向
对称轴
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
= + + (＞0)
轴是直线=1，顶点坐标为(1,4).
(2) y=2x2-12x+8；
(2) y = 2x2－12x+8
= 2(x2－6x)+8
= 2(x2－6x+9-9)+8
= 2(x2－6x+9)－18+8
= 2(x－3)2－10
∴二次函数y=2x2－12x+8的对称轴
是直线=3，顶点坐标为(3,-10).
二、自主合作，探究新知
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第二章《二次函数》基础性测试卷1
班级 姓名 学号 成绩
一、填空选择题（1、7、8、9、10每小题3分，其他每空1分，共42分）
1．下列函数：y ＝x （8－x ），y ＝1－221x ，y ＝42-x ，y ＝x x 62-
，其中以x 为自变量的二次函数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个
D ．4个 2.抛物线y ＝－3x 2的开口向 ;对称轴是 _____;顶点坐标是 ，当x 时，y 的值随x 的增大而减小。
3.抛物线y ＝2（3-x ）2 的开口 ,向对称轴是 __；顶点坐标
是 ，当x>0时，y 的值随x 的增大而 。
4.抛物线y ＝-3（5+x ）2 +3的开口向 ,对称轴是 _____;顶点坐标
是 ，当x 时，y 有______值_____________。
5.二次函数y=—5(x-4)2—1由y=-—5x 2向_____平移_______
个单位，再向_____平移______个单位得到。
6.二次函数y=3(x-7)2+1由y=3(x-5)2+3向_____平移_______
个单位，再向_____平移_______个单位得到。
7.如图所示的是一个二次函数的图象与x 轴交于两点，则它的对称轴是 ______；
8.从地面垂直向上跑出一小球，小球的高度26.52.11t h -=,那么小球运动中的最大高度为________米。
9.二次函数y=a(x+5)(x-1)的(a 不为零）的对称轴是直线（ )
A.x=2
B.x=3
C.x=—2,
D.x=—3 10.抛物线232y x x =-+不经过第 象限.
二、解答题
11求抛物线的对称轴与顶点坐标(每题10分）
配方法）(1124)1(2
++=x x y
7题
)123122
（公式法）（-+-=x x y
)9)(3(33-+=x x -y ）（
3
738
31
122-+-=x x y 已知抛物线.
（1）求抛物线的顶点M
（2）若抛物线与x 轴交于A 、B 两点，A 的横坐标小于B 的横坐标，y 轴交于C 点，求△MAB 和△MBC 的面积。