必修五-解三角形-题型归纳
(完整版)解三角形专题题型归纳
《解三角形》知识点、题型与方法归纳、知识点归纳(★☆注重细节，熟记考点☆★)1正弦定理及其变形a sin A变式： b c —— — 2R (R 为三角形外接圆半径)sin B sin C (1 a 2RsinA,b 2Rsin B,c 2RsinC (边化角公式) (2) si nA,si nB ,si nC (角化边公式)2R 2R2R(3 a: b: c sin A:si nB:si nC一、a sin A a sin A b sin Bb sin Bc sin C c sin C2 •正弦定理适用情况：(1) 已知两角及任一边；(2) 已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况) 3 •余弦定理及其推论2 22ab c 2bccosAb ac 2accosB 222cab 2abcosC4.余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角;注.解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作 用)，统一成边的形式或角的形式•7. 实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角b 22c 2 a2bc222ac b2ac2.22ab c (2)已知三边.5. 常用的三角形面积公式1(1) S ABC 底2 1(2) S 二一 absi nC26. 三角形中常用结论 1 1 acsin B bcsin A 24c R 为ABC 外接圆半径(两边夹一角)；(1) a b c, b c (2) 在 ABC 中, A (3) 在 ABC 中，A Ba, a ③ tan A B tanC ；b(即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边) b si nA si n B(即大边对大角，大角对大边) ，所以 ① sin A B sinC :② cos A B cosC ；A B C AB. C ④ sin cos ,⑤ cos sin2 2 2 2cos AcosB cosC 2ab在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图 ①）从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为a （如图②） 注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。
数学必修五知识点与题型
高中数学必修5知识点第一章 解三角形1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有 正弦定理的变形公式：①a=_________，b=_________，c=_________； ②sinA=_________，sinB=_________，sinC=_________； ③::_________a b c =； ④_________sin sin sin a b cC++=A +B +．在正弦定理中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角。
注明：正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中，注意三角形中其他条件的应用：(1)三内角和为180° (2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边(3)面积公式：S=21absinC=Rabc 4=2R 2sinAsinBsinC (4)三角函数的恒等变形。
如：sin(A+B)=sinC ，cos(A+B)=-cosC ，sin2B A +=cos 2C ，cos 2BA +=sin 2C 使用正弦定理解三角形共有三种题型题型1 利用正弦定理公式原型解三角形 题型2 利用正弦定理公式的变形(边角互化)解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化。
例如：22sin 3s iA B C a +=⇒+题型3 三角形解的个数的讨论 方法一：画图看方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果是否符合实际意义，从而确定解的个数。
2、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．3、余弦定理：在C ∆A B 中，有2_________a =，2_________b =， 2_________c =．4、余弦定理的推论：cos _________A =，cos _________B =，cos _________C =．使用余弦定理解三角形共有三种现象的题型题型1 利用余弦定理公式的原型解三角形 题型2 利用余弦定理公式的变形(边角互换)解三角形：凡在同一式子中既有角又有边的题，要将所有角转化成边或所有边转化成角，在转化过程中需要构造公式形式。
(完整版)必修五-解三角形-题型归纳
构成三角形个数问题1在 ABC 中，已知a x,b 2,B 45°，如果三角形有两解，则x 的取值范围是( )A.2 x 2\f2 B. X 2 血 C . V2 x 2 D. 0x22 •如果满足 ABC 60 , AC 12 , BC k 的厶ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是3.在 ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A* CJ = S J fr = 10^ A = 45" E ・ 口 = 60 r £* = S1 B = 6（T * C. a — 7 > £> = 5 ? A - &0=D ・ 口二 14# 6 - 20 , -4-45"心求边长问题A. 5 B5•在△ ABC 中, a 1,B 450, S ABC 2，则 b = _________________三. 求夹角问题6.在ABC中， ABC -, AB 2,BC 3，则 sin BAC （） 410 103 10 5 A. 10B 5C 10D57 .在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别a,b,C,S 为表示△ ABC 的面积，若4.在 ABC 中，角 A, B,C 所对边 a,b,c ，若 a 3,C1200,ABC的面积S15 3 41 2 2 2 acosB bcosA csinC, S -(b c a )，则/ B=()4A. 90° B . 60° C . 45° D . 30°四.求面积问题&已知△ ABC中，内角A，B, C所对的边长分别为a,b,c.若a 2bcosA, B -,c 1，则3 △ ABC的面积等于( )书书书书A B------B ■C iD i +118 6 4 2A9.锐角ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知cos2C j(i)求sinC的值；(n)当a 2, 2si nA si nC时，求b的长及| ABC的面积.10•如图，在四边形ABCD 中，AB 3,BC 7J3,CD 14, BD 7, BAD 120(1 )求AD边的长;(2)求ABC的面积.11.（本小题满分12分）已知ABC中，角A, B,C对边分别为a,b,c,已知c 2,C(1 )若ABC的面积等于3 ,求a,b(2)若si nC si n( B A) 2 si n2A,求ABC 的面积.12 .在ABC中，角A, B,C对边分别为a,b,c已知C 一 .3外接圆的面积；五.判定三角形形状问题若a 2,b 3，求ABC的13.在ABC中，a, b , c分别为角A, B , C所对边, a 2bcosC，则此三角形一定是（）A.等腰直角三角形B.C.等腰三角形D.直角三角形等腰或直角三角形1 1 114. ABC中三边上的高依次为丄，丄，丄，贝U ABC为（13 5 11A.锐角三角形 B •直角三角形 C •钝角三角形D）•不存在这样的三角形19.在锐角 ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且2asi nB ..3b . (1)求角A 的大小；(2 )若a 4,b c 8，求 ABC 的面积.15.在 ABC 中，若 0 tanA tanB A.锐角三角形B .钝角三角形那么 ABC 一定是 •直角三角形 D) .形状不确定16.在△ ABC 中, 2B a c cos ----------- 2 2c(a , b , c 分别为角A , B , C 的对边)，则△ ABC 勺形状 为 A.正三角形B .直角三角形()等腰三角形或直角三角形D •等腰直角三角形17•在 ABC 中，如果工一cosB.直角三角形A.等腰三角形bcosA'C则该三角形是.等腰或直角三角形D .以上答案均不正确六. 综合问题 18.在锐角厶ABC 中, a, b, c 是角 A , B , C 的对边，且，3a 2csin A .(1)求角C 的度数;(2)若 C .7，且△ ABC 的面积为3 3，求a b 的值。
必修5解三角形知识点归纳总结
第一章解三角形一.正弦定理: 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 —=—=—=2R （其中R 是三角形外接圆的半径） sin A sin B sinC a + b + c a b c = = = . sin A + sin B + sin Csin A sin B sin C 2）化边为角： a : b : c = sin A : sin B : sin C . a sin A b sin B a sin Ab sin B ，c sin C ，csin C 3）化边为角：a = 2R sin A , b = 2R sin B , c = 2R sin Csin A a sin B b sin A a • —— •sin B b ' sin C c ' sin C c 'abc sin A =——, sin B =——, sin C =—— 2 R 2 R 2 R3.利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题:①已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a,解法：由A+B+C=180o ,求角A,由正弦定理a =空A ;-=把B b sin B c sin C a sin A = ------- ;求出b 与c c sin C②已知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理a =竺4求出角B,由A+B+C=180o 求出角C,再使用正 b sin B弦定理a = sn A 求出c 边 c sin C 4.△ABC 中，已知锐角A,边b,则①a < b sin A 时，B 无解;②a = b sin A 或a > b 时，B 有—个解③b sin A < a < b 时，B 有两个解。
2.变形：1） 4）化角为边: 5）化角为边:如：①已知A :60。
必修五-解三角形-题型归纳
一.构成三角形个数问题1.在AABC中，已知a二x,b二2,B=45°,如果三角形有两解，则x的取值范围是（）A2<x<2^2B x<2迈C近<x<2D.<x<22.如果满足ZABC二60，AC=12，BC=k的厶ABC恰有一个，那么k的取值范围是3.在AABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A.£?=Sj£i=10;A.=45^B.£?=60;i=S1；B=60=+-1C.a=l b=5?,4=8D=D.£7=14,h二20,卫二心二.求边长问题4.在A ABC中，角A,B,C所对边a,b,c，若a二3,C二1200，A ABC的面积S二，贝产=()4A.5B.6C.©39D.75.在△ABC中，a二1,B二45o,S二2，则b=A ABC三.求夹角问题6.在AABC中，ZABC二上,AB42BC二3，则sinZBAC=()v10<103帀A.10B.5C.10D.57.在△ABC中，角A,B，C所对的边分别a,b,c,S为表示△ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC, S二(b2+c2-a2)，贝yZB=()4A.90°B.60°C.45D.30°四.求8.已知△ABC中，内角A,B,兀C所对的边长分别为a,b,c•若a=2b cosA,B=—△ABC的面积等于(A.—8B.—619.锐角AABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c,已知cos2C二—「4 (I)求sin C的值；(II)当a=2,2sin A=sin C时，求b的长及AABC的面积.10.如图，在(1)求AD边的长；(2)求AABC的面积.兀11.(本小题满分12分)已知A ABC中，角A,B,C对边分别为a,b,c,已知c=2,C=丁.(1)若AABC的面积等于j3，求a,b(2)若sinC+sin(B一A)=2sin2A，求AABC的面积.A.等腰直角三角形 C.等腰三角形B.直角三角形 D.等腰或直角三角形兀12.在AABC 中，角A,B,C 对边分别为a,b,c 已知C =-.若a=2,b =3,求AABC 的外接圆的面积;五．判定三角形形状问题13.在A ABC中，a，b，c分别为角A ，B ，C所对边，若a=2b cos C，则此三角形一定是（111 14.A A BC 中三边上的高依次为右，：，则A ABC 为（）13511A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不存在这样的三角形15.在AABC 中，若0<tan A-tan B <1，那么AABC 一定是（） A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.形状不确定Ba +c16. 在△ABC 中，cos 2二，（a,b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边），则△ABC 的形状为22c（）A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形word 格式-可编辑-感谢下载支持321.如图，在AABC 中,血Z B =一，AB =8，点D 在BC 边上，且CD =2cos Z ADC =1.7ab17.在AABC 中，如果=，则该三角形是cosBcosAA.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.以上答案均不正确六．综合问题18.在锐角厶ABC 中，a,b,c 是角A,B,C 的对边，且J3a =2csin A . (1)求角C 的度数；_.3：'3 (2)若c=、门，且△ABC 的面积为一-—，求a +b 的值。
必修五解三角形高考题型总结复习
解三角形一．选择题。
1. ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==75A ∠=，则b =( )A.2 B ．4＋．4—2．在△ABC 中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，那么△ABC 一定是 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形3．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）A ．A sinB ．A cosC ．A tanD ．Atan 14．关于x 的方程02cos cos cos 22=-⋅⋅-CB A x x 有一个根为1，则△ABC 一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形5.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．01506．在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::b c 等于（ ）A ．1:2:3B ．3:2:1C ．2D ．2:7．在△ABC 中，090C ∠=，00450<<A ，则下列各式中正确的是（ ） A ．sin cos A A > B ．sin cos B A > C ．sin cos A B > D ．sin cos B B >. 8. （海南）如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）A. 5/18B. 3/4 D. 7/8二．填空题。
9.（北京）. 若错误！未找到引用源。
的内角错误！未找到引用源。
、错误！未找到引用源。
、错误！未找到引用源。
满足错误！未找到引用源。
,则错误！未找到引用源。
10.（江苏）在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝ 11.（北京）在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB =12.在△ABC 中，若,12,10,9===c b a 则△ABC 的形状是_________13.（湖南文）在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，c =π3C =，则A = ． 14.（重庆文）在△ABC 中，AB =1, B C =2, B =60°，则AC ＝15. （江苏）若，则ABC S ∆的最大值 ．16. （湖北）在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===,则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 .17. （浙江）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()C a A c b cos cos 3=-，则=A cos _________________。
高一数学必修五解三角形基本知识点及练习
解三角形一、知识点复习1.正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径）12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（）sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C=== 3.余弦定理及其推论2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab+-=+-=+-= 5.常用的三角形面积公式（1）高底⨯⨯=∆21ABC S ； （2）B ca A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆（两边夹一角）； 6.三角形中常用结论（1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）（2）sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）（3）在△ABC 中, A+B+C=π, 所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。
二、典型例题（1）用正、余弦定理解三角形例1.已知在练习：C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆（2）三角形解的个数1.知道3边、3角, 2角1边, 2边及其夹角时不会出现两解,2、两边及一边的对角时:A 为锐角A 为钝角或直角图形关系A<bsinA A=bsinA bsinA<a<b a ≥b a ≤b 解无解 一解 两解 一解 无解例1: 在 中, 分别根据下列条件解三角形, 其中有两解的是【 】A. , , ；B. , , ； C 、 , , ；D 、 , , 。
必修五解三角形常考题型
必修五解三角形常考题型1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理【典型题剖析】考察点1：利用正弦定理解三角形例1在ABC 中，已知A:B:C=1:2:3, 求a :b :c.例2在ABC 中，已知c= 2+ 6 ，C=30°，求a+b 的取值范围。
考察点2：利用正弦定理判断三角形形状例3 在△ABC中， 2a ·tanB=2b ·tanA ，判断三角形ABC的形状。
例 4 在△ABC中，如果lg a lgc lgsin B lg 2 ，并且B 为锐角，试判断此三角形的形状。
考察点 3：利用正弦定理证明三角恒等式 例 5 在△ABC 中，求证222222a b b c c acos A cos B cos B cos C cos C cos A0 .例 6 在△ABC 中，a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边， C=2B ，求证2 2c b ab .考察点 4：求三角形的面积例 7 在△ABC 中，a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边，若B 2 5a 2,C,cos , 求425△ABC 的面积 S.例 8已知△ ABC 中a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边，△ABC 的外接圆半径为 12，且求△ABC 的面积 S 的最大值。
C,3考察点5：与正弦定理有关的综合问题例9 已知△ABC的内角A,B 极其对边a,b 满足a b a cot A b c ot B, 求内角 C例10 在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a,b,c, 且c=10, 的内切圆半径。
c os A b 4cos B a 3，求a,b 及△ABC『易错疑难辨析』易错点利用正弦定理解题时，出现漏解或增解【易错点辨析】本节知识在理解与运用中常出现的错误有：（1）已知两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，出现漏解或增解；（2）在判断三角形的形状时，出现漏解的情况。
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一． 构成三角形个数问题
1．在ABC ∆中，已知,2,45a x b B ===，如果三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A ． 222x << B. 22x < C ． 22x << D.02x <<
2．如果满足 60=∠ABC ，12=AC ，k BC =的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是__________．
3．在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ）
二．
求边长问题
4．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边,,a b c ，若0
3,120a C ==，ABC ∆的面积153
4
S =，则c =（ ）
A ．5
B ．6
C ．39
D ．7
5．在△ABC 中，0
1,45,2ABC a B S ∆===，则b =_______________.
三．
求夹角问题
6．在ABC ∆中，3,2,4
===
∠BC AB ABC π
，则=∠BAC sin （ ）
A ．1010
B ．510
C ．10103
D ．5
5
7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别S c b a ,,,为表示△ABC 的面积，若
,sin cos cos C c A b B a =+ )(4
1222
a c
b S -+=
，则∠B=( ) A ．90° B ．60° C ．45° D ．30° 四．
求面积问题
8．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为c b a ,,.若2cos ,,13
a b A B c π
===，则
△ABC 的面积等于 （ ）
9．锐角ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，已知4
12cos -=C . （Ⅰ）求C sin 的值；
（Ⅱ）当2=a ，C A sin sin 2=时，求b 的长及ABC ∆的面积．
10．如图，在四边形ABCD 中，3,73,14,7,120AB BC CD BD BAD ====∠=︒．
（1）求AD 边的长； （2）求ABC ∆的面积．
11．（本小题满分12分）已知ABC ∆中, 角C B A ,,对边分别为c b a ,,,
（1）若ABC ∆的面积等于求b a ,
（2）若A A B C 2sin 2)sin(sin =-+,求ABC ∆的面积．
12．在ABC ∆中，角C B A ,,对边分别为c b a ,,已知3
C π
=．若2,3a b ==，求ABC ∆的
外接圆的面积；
五． 判定三角形形状问题
13．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边，若C b a cos 2=，则此三角形一定是（ ）
A.等腰直角三角形
B. 直角三角形
C. 等腰三角形
D. 等腰或直角三角形
14．ABC ∆中三边上的高依次为
，则ABC ∆为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不存在这样的三角形
15．在ABC ∆中，若0tan tan 1A B <⋅<，那么ABC ∆一定是（ ）
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．形状不确定
16．在△ABC （a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边），则△ABC 的形状为 ( )
A ．正三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形或直角三角形
D ．等腰直角三角形
17．在ABC ∆中，如果
cos cos a b
B A
=
，则该三角形是 A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰或直角三角形 D ．以上答案均不正确
六．综合问题
18．在锐角△ABC 中，,,a b c 是角A ，B ，C （1）求角C 的度数；
（2ABC ，求a b +的值。
19.在锐角ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且 （1）求角A 的大小；
（2）若8,4=+=c b a ，求ABC ∆的面积.
20．在ABC 中，角,,A B C 对边分别是,,a b c ，且满足()2cos sin 2c b A a B π⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
. （1）求角A 的大小；
（2）若2a =，且ABC 的面积为3，求,b c .
21．如图，在ABC ∆中，=
3
B π
∠，8AB =，点D 在BC 边上，且2CD =，1
cos 7
ADC ∠=
.
（I ）求sin BAD ∠； （II ）求,BD AC 的长.
22．在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知()
222332b c a bc +=+. （1）求sin A 的值；
（2）若2,a ABC =的面积2
2
S =，且b c >，求b 和c 的值.
23．（12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2cosAcosC+1=2sinAsinC ． （Ⅰ）求B 的大小；
（Ⅱ）若a c b +==求△ABC 的面积．
24．（本小题满分12分）已知在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a b c ，，．且
（Ⅰ）求
sin sin C
A
的值； ，2b =，求ABC ∆的面积S 。
25．（本题满分15分）在ABC ∆中，内角A B C ，， 所对的边长分别为a b c ，，，
（Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）已知ABC ∆不是．．，,2sin 2)sin(sin A A B C =-+求ABC ∆的面积.
26．（本题满分13分）在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，1=c ．。