浙教版-数学-九年级上册-拓展延伸：圆周角定理

拓展延伸：圆周角定理
综合运用
一、利用圆周角定理计算线段的长度，证明线段相等或线段成比例
有关圆的题目中，圆周角与它所对的弧常相互转化，即欲证圆周角相等，可转化为证明它们所对的弧相等，要证线段相等可以转化为证明它们所对的弧相等，要证线段成比例可以利用圆周角定理将其转化为证明三角形相似，这是重要的解题思路．
例如，如图，AB 是半圆的直径，C为弧AE的中
点，CD⊥AB 于D交AE于F，求证：AF＝CF.
方法一：欲证AF＝CF，只需证∠ACD＝∠CAE，所以只需证这两个角所对的弧相等即可．又因为∠CAE 所对的弧为CE，所以只要画出整个圆找到∠ACD 所对的弧即可．
如图，延长CD 交⊙O 于H，连接AC，BC.
∵CD⊥AB，AB 是直径，
∴∠ACD＝∠ABC.
=
∴AC AH
∵C为AE的中点
=
∴CE AC
∴CE AH
=
∴∠CAE＝∠ACD.
∴AF＝CF.
方法二：如图，欲证∠CAE＝∠ACD，连接OC后，得到
∠CAO＝∠ACO(因为OC＝OA)，故只需证∠EAO＝∠OCD，
因CD⊥AB，只需证OC⊥AE，由C为AE的中点，便有
OC⊥AE.
再如：已知△ABC 是圆内接正三角形，M是弧BC上的一点(如图)．求证：
MA=MB ＋MC.
要证明一条线段MA 等于两条线段 MB 和 MC 之和， 可将 MA 分为两段， 其中一段 MD 等于已知线段 MC ，再去证明另一段 AD 等于已知线段 MB.
如图，在 MA 上取点D ，使 MD ＝MC.
∵△ABC 为正三角形，
∴∠1＝∠2＝60°.∴△MDC 是正三角形．∴CD ＝MC.
在△ADC 和△BMC 中，
34120AC BC
ADC BMC ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠=⎩
∴△ADC ≌△BMC.
∴AD ＝BM.∴MA ＝MB ＋MC.
二、圆周角的性质的灵活运用
本节的探索性问题以考查我们对圆周角的性质的灵活运用为主，有利于培养我们的探索能力，解决这类问题要善于把握住本质，采用各种变通的方式来探索和分析．
例如，如图，已知直线AB 交圆于A 、B 两点，点M 在圆上，点P 在圆外，且点M 、P 在AB 的同侧，∠AMB ＝35°，设∠P ＝x ，当点 P 移动时，求 x 的变换范围，并说明 理由．
0°<x<35°，∵P 在⊙O 外，设 AP 与⊙O 交于点 E ，连接 BE ，则∠AEB ＝ ∠AMB ＝35°.
又∠AEB>∠P ，
∴∠P<35°.∵P 、M 在 AB 的同侧，
∴∠P>0°.∴0°<x<35°.
再如：为了保证船只安全，在暗礁区附近设两个灯塔A 、B(如图)，海港工人把灯 塔 A 、B 对暗礁区所张的角 AMB(称为危险角)的大小通知船只 S ，航行船只只要保证对灯塔 A 、B 所张的视角∠ASB 小于∠AMB ，就可保证安全．这是为什么？
如图，连接 BE ，由圆周角定理的推论可知∠AEB ＝
∠AMB，且由图可得
∠ASB<∠AEB，即∠ASB<∠AMB.所以当船
只到达暗礁区的边缘(圆弧AMB)上时，船只对灯
塔的视角等于∠AMB；当船只进入暗礁区时，由圆
周角定理可推出，船只对灯塔的视角大于
∠AMB.∴当船只对灯塔的视角小于∠AMB 时，船
只必在暗礁区的外面，因而可以保证安全．
思考发现：
1．学习本部分内容时应注意圆周角、弧、弦之间的相互转化．
2．圆心角定理、圆周角定理及其推论，给出了圆心角、圆周角和它们所对的弧以及所对弦之间的关系，可应用于求角、求弦、求弧长等有关问题．
3．应用圆周角定理解题时，在图形中常需添加辅助线，同时要注意数形结合．4．确定点、线的位置关系时，要注意应用分类讨论的思想．
5．圆心角定理、圆周角定理及其推论是进一步推导圆的其他重要性质的理论根据，而且为角的计算，推证角相等、弧相等、弦相等，判定相似三角形、直角三角形等平面几何中的常见问题提供了十分简便的解决方法，学习中要注意体会．。