北师大版九年级数学上图形的相似单元测试题.docx
北师大版九年级数学上册 第四章 图形的相似 单元测试题(有答案)
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似单元测试题一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如果2x＝3y，那么下列比例式中正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝2．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，则AC的长为（）A．6B．7C．8D．93．自然界中存在很多自相似现象，如树木的生长，雪花的形成，土地干旱形成的地面裂纹．分形几何就是专门研究像雪花形状这样的自相似图形（即图形的局部与它的整体具有一定程度的相似关系）的一个数学分支．下列自相似图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，点P为AB上一点连接CP．若再添加一个条件使△APC与△ACB相似，则下列选项中不能作为添加条件的是（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACBC．AP：AC＝AC：AB D．AP：AB＝PC：BC5．如图，在△ABC中，D，E分别为AB、AC边上的中点，则△ADE与△ABC的面积之比是（）A．1：4B．1：3C．1：2D．2：16．在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（）A．①处B．②处C．③处D．④处7．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S 在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS＝60m，ST＝120m，QR＝80m，则河的宽度PQ为（）A．40m B．60m C．120m D．180m8．若△ABC∽△DEF且面积比为9：25，则△ABC与△DEF的周长之比为（）A．9：25B．3：25C．3：5D．2：59．如图，△OA1B1与△OAB的形状相同，大小不同，△OA1B1是由△OAB的各顶点变化得到的，则各顶点变化情况是（）A．横坐标和纵坐标都乘以2B．横坐标和纵坐标都加2C．横坐标和纵坐标都除以2D．横坐标和纵坐标都减210．在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2cm 变成了6cm ，则复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（ ）A ．3倍B ．6倍C ．9倍D ．12倍二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．已知，＝，则＝ ．12．如图，已知l 1∥l 2∥l 3，直线l 4、l 5被这组平行线所截，且直线l 4、l 5相交于点E ，已知AE ＝EF＝1，FB ＝3，则＝ ．13．如图，四边形ABCD ∽四边形EFGH ，∠A ＝∠D ＝100°，∠G ＝65°，则∠F ＝ ．14．如图，已知∠BAC ＝∠DAE ，请你再补充一个条件 ，使得△ABC ∽△ADE ．15．如图，在平行四边形ABCD 中，P 是AD 边上的一个点，连接PB ，PC ，M ，N 分别是PB ，PC 的中点；已知S ▱ABCD ＝16，则S △PMN ＝ ．16．如图是小孔成像原理的示意图，点O 与物体AB 的距离为45厘米，与像CD 的距离是30厘米，AB ∥CD ．若物体AB 的高度为27厘米，那么像CD 的高度是 厘米．17．已知两个相似三角形的相似比为4：3，则这两个三角形的对应高的比为．18．如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A （﹣2，﹣1），B（﹣2，﹣3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，﹣1），B1（1，﹣5），O1（5，1），△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为．三．解答题（共7小题，共66分）19．已知4：x＝1：75%，求x的值．20．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，点D在直线AB上，过点D作DE∥BC交直线AC与点E．如果BD＝4，求AE的长．21．如图，矩形ABCD中，AB＝4，点E，F分别在AD，BC边上，且EF⊥BC，若矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，求AD的长．22．（1）解方程x2﹣3x﹣18＝0；（2）如图，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1＝∠2，求证：△ADP∽△BCP．23．如图，BD、AC相交于点P，连接AB、BC、CD、DA，∠1＝∠2（1）求证：△ADP∽△BCP；（2）若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的长．24．如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝280cm，AB＝140cm，球目前在E点位置，AE＝35cm，如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．（1）求证：△BEF∽△CDF；（2）求CF的长．25．先阅读下列材料，然后解答问题．材料：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线例如：如图①，AD把△ABC分成△ABD与△ADC，若△ABD是等腰三角形，且△ADC∽△BAC，那么AD就是△ABC的完美分割线．解答下列问题：（1）如图②，在△ABC中，∠B＝40°，AD是△ABC的完美分割线，且△ABD是以AD为底边的等腰三角形，则∠CAD＝度．（2）在△ABC中，∠B＝42°，AD是△ABC的完美分割线，且△ABD是等腰三角形，求∠BAC 的度数．参考答案一．选择题1．解：∵2x＝3y，∴＝或＝或＝．故选：C．2．解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，∴AE＝6，∴AC＝AE+EC＝6+2＝8．故选：C．3．解：A、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不合题意；B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不合题意；C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不合题意；D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，符合题意．故选：D．4．解：A、当∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，可得△APC∽△ACB，故该选项不符合题意；B、当∠APC＝∠ACB，∠A＝∠A，可得△APC∽△ACB，故该选项不符合题意；C、当AP：AC＝AC：AB，∠A＝∠A，可得△APC∽△ACB，故该选项不符合题意；D、当AP：AB＝PC：BC，∠A＝∠A，无法证明△APC∽△ACB，故该选项符合题意；故选：D．5．解：由题意可知：DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，故选：A．6．解：帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为2、2、4；“车”、“炮”之间的距离为1，“炮”②之间的距离为，“车”②之间的距离为2，∵＝＝，∴马应该落在②的位置，故选：B．7．解：∵RQ⊥PS，TS⊥PS，∴RQ∥TS，∴△PQR∽△PST，∴＝，即＝，∴PQ＝120（m）．故选：C．8．解：∵相似三角形△ABC与△DEF面积的比为9：25，∴它们的相似比为3：5，∴△ABC与△DEF的周长比为3：5．故选：C．9．解：由直角平面坐标系得出A（2，1），A1（4，2），B（1，3），B1（2，6），故对应点的横坐标和纵坐标都乘以2．故选：A．10．解：由题意可知，相似多边形的边长之比＝相似比＝2：6＝1：3，所以面积之比＝（1：3）2＝1：9．所以复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的9倍．故选：C．二．填空题11．解：∵＝，∴＝＝﹣5．故答案是：﹣5．12．解：∵l1∥l2，AE＝EF＝1，∴＝＝1，∴FG＝AC；∵l 2∥l 3，∴＝＝，∴＝＝，故答案为．13．解：∵四边形ABCD ∽四边形EFGH ， ∴∠A ＝∠D ＝∠E ＝∠H ＝100°，∴∠F ＝360°﹣∠E ﹣∠H ﹣∠G ＝360°﹣100°﹣100°﹣65°＝95°．故答案为95°．14．解：∵∠BAC ＝∠DAE ，∠B ＝∠D ，∴△ABC ∽△ADE ，故答案为：∠B ＝∠D 等15．解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴S △PBC ＝S ▱ABCD ＝×16＝8，∵M ，N 分别是PB ，PC 的中点，∴MN ∥BC ，MN ＝BC ，∴△PMN ∽△PBC ，∴＝（）2＝，∴S △PMN ＝×8＝2．故答案为2．16．解：∵AB ∥CD∴△ABO ∽△CDO∴＝又∵AB ＝27∴CD ＝18．故答案为：18．17．解：因为两个相似三角形的相似比为4：3，所以则这两个三角形的对应高的比为4：3．故答案为4：3．18．解：如图，P点坐标为（﹣5，﹣1）．故答案为（﹣5，﹣1）．三．解答题19．解：4：x＝1：75%，x＝4×75%，解得：x＝2．20．解：∵DE∥BC，∴＝，∵AB＝10，AC＝8，BD＝4，∴＝，∴AE＝．21．解：∵矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，∴＝＝，∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝4∴＝＝，∴DE ＝8，AE ＝2，∴AD ＝AE +DE ＝2+8＝10．22．解：（1）（x ﹣6）（x +3）＝0， ∴x ＝6或x ＝﹣3；（2）∵∠1＝∠2，∠DPA ＝∠CPB ，∴△ADP ∽△BCP ；23．解：（1）证明：∵∠1＝∠2，∠DPA ＝∠CPB∴△ADP ∽△BCP（2）∵△ADP ∽△BCP ，∴＝，∵∠APB ＝∠DPC∴△APB ∽△DPC∴＝＝，∴AP ＝624．（1）证明：∵∠EFG ＝∠DFG ， ∴∠EFB ＝∠DFC ，又∵∠B ＝∠C ，∴△BEF ∽△CDF ；（2）解：∵△BEF ∽△CDF ，∴＝，设FC ＝xcm ，则＝， 解得：x ＝160，答：CF 的长为160cm ．25．解：（1）∵AD是△ABC的完美分割线，∴△DAC∽△ABC∴∠CAD＝∠B＝40°故答案为：40（2）若BD＝AD，∵AD是△ABC的完美分割线，∴△DAC∽△ABC∴∠CAD＝∠B＝42°∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠BAD＝42°∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝84°若AB＝BD，∴∠BAD＝69°＝∠BDA∵∵AD是△ABC的完美分割线，∴△DAC∽△ABC∴∠CAD＝∠B＝42°∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝42°+69°＝111°若AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝42°∵AD是△ABC的完美分割线，∴△DAC∽△ABC∴∠CAD＝∠B＝42°∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝42°+∠C≠42°∴不存在AB＝AD，综上所述：∠BAC的度数为84°或111°。
2024-2025北师大九年级数学(上)第四章图形的相似单元测试卷(含答案)
第四章测试卷(时间:100分钟 满分:120分)一、选择题(每小题3分，共30分，)题号12345678910答案B C A D B C C C A C1.下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是( )2.在比例尺为1：500000的交通地图上，玉林到灵山的长度约为 23.6cm ，则它的实际长度约为( )A.0.118km B.1.18km C.118km D.1180km3.如图，以A ，B ，C 为顶点的三角形与以D ，E ，F 为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为( )A.2:1B.3:1C.4:3D.3:24.在△ABC 中,D 是AB 中点,E 是AC 中点,若△ADE 的面积是3，则△ABC 的面积是 ( )A.3 B.6 C.9 D.125.如图,在△ABC 中,点D 在AB 边上,过点 D 作DE ∥BC 交AC 于点E,DF ∥AC 交BC 于F,若AE:DF=2:3,则BF:BC 的值是 ( )A. 23 B. 35 C. 12D. 256.如图,在四边形ABCD 中,如果∠ADC=∠BAC,那么下列条件中不能判定△ADC 和△BAC 相似的是 ( )A.∠DAC=∠ABC B. AC 是∠BCD 的平分线 C.AC²=BC ⋅CD D.ADAB =DCAC7. 若△ABC 的各 边都分别扩大到原来的 2 倍，得到△A ₁B ₁C ₁，下列结论正确的是 ( )A.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的对应角不相等 B.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁不一定相似C.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的相似比为1:2 D.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的相似比为2:18.如图,点 E 是▱ABCD 的边 BC 延长线上的一点,AE 和CD 交于点G ，AC 是▱ABCD 的对角线，则图中相似三角形共有 ( )A.2 对B.3 对C.4 对D.5 对9.如图,已知E(-4,2),F(--2,--2),以O 为位似中心,把△EFO 缩小到原来的 12，则点E 的对应点的坐标为( )A.(2,一1)或(-2,1)B.(8,一4)或(一8,4)C.(2,-1)D.(8,-4)10.如图,在正方形 ABCD 中,点 E 、F 分别在边AD 和CD 上,AF ⊥BE,垂足为G,若 AEED =2,则 AGGF 的值为( )A. 45B. 56C.67D.78二、填空题(每小题3分，共15分)11.若△ABC ∽△A'B'C',且相似比为3:5,已知△ABC 的周长为21,则△A'B'C'的周长为 .12.如图是一架梯子的示意图，其中 AA₁‖BB₁‖CC₁‖DD₁,且AB=BC=CD.为使其更稳固，在A ，D ₁间加绑一条安全绳( 线段AD ₁),量得 AE=0.4m,则 AD₁= m13.如图，阳光通过窗口照到室内，在地上留下3m 宽的亮区.已知亮区一边到窗下的墙角的距离CE=7m ，窗口高AB=1.8m,那么窗口底边离地面的高BC 等于 m.14.如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC 与△CDE 的面积比为 .15.如图,在正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,F 是CD 上一点，且 CF =14CD,下列结论:①∠BAE=30°,②△ABE ∽△ECF,③AE ⊥EF,④△ADF ∽△ECF.其中正确的结论是 (填序号).三、解答题(本大题8个小题，共75 分)16.(8分)根据下列条件,判断△ABC 与△A'B'C'是否相似,并说明理由. AB =3,BC =4,AC =5,A 'B '=12,B 'C '=16,C 'A '=2017.(9分)如图,D 是△ABC 的边AC 上的一点,连接BD,已知∠ABD=∠C,BC=6,BD=4,如果△ABD 的面积为4,求△BC D 的面积.18.(9分)在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(1，3)，B(4,1),C(1,1).(1)画出△ABC 关于x 轴成轴对称的△A ₁B ₁C ₁;(2)画出△ABC 以点O 为位似中心,相似比为 1:2的△A ₂B ₂C ₂.19.(9分)如图,四边形ABCD 是菱形,AF ⊥BC 交BD 于E,交 BC 于F.求证: AD 2=12DE ⋅DB.20.(10分)周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸边的一颗大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了 B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB 的延长线上选择点 D 竖起标杆DE，使得点 E 与点C、A共线.已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得 BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m，测量示意图如图所示.请根据相关测量信息，求河宽 AB.21.(10分)如图,E是平行四边形ABCD的边 DA 延长线上一点,连结 EC 交AB 于 P.(1)写出图中的三对相似三角形(不添加辅助线)；(2)请在你所写的相似三角形中选一对，说明相似的理由.22.(10分)阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题.角平分线分线段成比例定理：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC,则ABAC =BDCD.下面是这个定理的部分证明过程.证明:如图2,过点C作CE∥DA,交 BA的延长线于点 E⋯任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；(2)如图3,在△ABC中,AD是角平分线,AB=5cm ,AC=4 cm,BC=7 cm.求 BD的长.23.(10分)在矩形 ABCD中,点 E 是对角线AC 上一动点,连接 DE,过点 E 作EF⊥DE 交AB 于点 F.(1)如图1,当DE=DA时,求证:AF=EF;(2)如图2，点E 在运动过程中，DEEF的值是否发生变化?请说明理由.第四章测试卷答案一、选择题1、B2、C3、A4、D5、B6、C7、C8、C9、A 10、C 二、填空题11、35 12、1.2m 13、2.4m 14、4:1 15、②③三、解答题16、解：相似，理由： ∵AB A 'B '=312=14,BC B 'C '=416=14,AC A 'C '=520=14,∴ABA 'B'=BCB 'C '=ACA 'C ',∴ABC ∽A 'B 'C '.17、解:∵∠ABD=∠C,又∠A=∠A,∴△ABD ∽△ACB,S ABD S ACB=(BD CB )2=(46)2=49,18、解：如图所示19、证明:连接AC 交 BD 于点O,∵四边形ABCD 为菱形,∴AC ⊥BD,BO=OD,∵AE ⊥AD,∴△AOD ∽△EAD, ∴AD OD=ED AD,∴A D 2=ED ⋅OD,即 A D 2=12DE ⋅DB.20、解:∵CB ⊥AD,ED ⊥AD, ∴∠CBA =∠EDA =90°.∵∠CAB=∠EAD, ∴ABCOADE,∴AB AD=BC DE,∴AB AB +8.5=11.5,∴AB =17,.∴河宽为17m.21、解:(1)△EAP ∽△CBP,△AEP ∽△DEC,△BCP ∽△DEC.(2)选. △EAPO △CBP,理由如下:在▱ABCD 中AD ∥BC,∴∠EAP=∠B.又∵∠APE=∠BPC,∴△EAP ∽△CBP.22、解:(1)证明:如图2,过点C作CE∥DA,交BA的延长线于点E, ∵CEDA,∴BDCD =BAEA,∠CAD=∠ACE,∠BAD=∠E,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD, ∠ACE=∠E,∴AE=AC,∴ABAC =BDCD；(2)∵AD是角平分线, ∴ABAC =BDCD,AB=5 cm,AC=4 cm,BC=7 cm, C.54=BD7−BD,解得BD=359cm.23、解:(1)证明:如图,连接 DF，在矩形ABCD 中,∠DAF=90°,又∵DE⊥EF,∴∠DEF=90°,∵AD=DE,DF=DF,∴Rt△DAF≌Rt△DEF(HL),∴AF=EF;(2)DEEF 的值不变.如图,过点E作EM⊥AD于点M,过点E 作EN⊥AB 于点 N,∵EM∥CD,EN∥BC,∴EMCD =AEAC,ENBC=AEAC,∴EMEN=CDBC,∵∠DEF=∠MEN=90°,∴∠DEM=∠FEN,又·∴∠DME=∠ENF=90°,∴△DME⊗△FNE,∴DEEF =EMEN,∴DEEF=CDBC,∵CD 与BC 的长度不变, ∴DEFF的长度不变.。
最新北师大版九年级数学上册《图形的相似》综合测试题及答案解析(精品试卷).docx
《第4章图形的相似》一、选择题1．如图，A，B，C，D，E，G，H，M，N都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF 与△ABC相似，则点F应是G，H，M，N四点中的（）A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M2．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：163．如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（）A．B．C．D．4．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（）A．两人都对 B．两人都不对C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对5．如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP•AB；④AB•CP=AP•CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③6．如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：27．四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，O为位似中心，若OA：OA′=1：3，则S四边形ABCD：S 四边形A´B´C´D´=（）A．1：9 B．1：3 C．1：4 D．1：58．小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为1.1m，那么小刚举起手臂超出头顶（）A．0.5 m B．0.55 m C．0.6 m D．2.2 m9．如图，在△ABC中，DE∥BC，=，则下列结论中正确的是（）A．=B．=C．=D．=10．如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF 的长是（）A．B．C．D．二、填空题11．若，则= ．12．如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k= ．13．已知一个三角形的三边长分别为6，8和10，与其相似的一个三角形的最短边长为18，则较小三角形与较大三角形的相似比k= ．14．在△ABC中，AB=12cm，BC=18cm，AC=24cm，另一个与它相似的△A′B′C′的周长为18cm，则△A′B′C各边长分别为．15．如图，一束光线从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反射后经过点B（1，0），则光线从点A到点B经过的路径长为．16．如图，AB、CD相交于点O，OC=2，OD=3，AC∥BD，EF是△ODB的中位线，且EF=2，则AC的长为．17．如图，在△ABC中，DE∥BC，=，△ADE的面积是8，则△ABC的面积为．18．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE：EC=2：1，AE与BD交于点F，则△AFD与四边形DEFC的面积之比是．三、解答题19．已知线段a，b，c，d成比例，且a=6dm，b=3dm，d=dm，求线段c的长度．20．若=，求的值．21．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，且a+b+c=12，请你探索△ABC的形状．22．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．23．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．24．某小区居民筹集资金1600元，计划在两底分别为10m、20m梯形空地上种植种植花木，如图：（1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2，当△AMD地带种满花后（图中阴影部分），共花了160元，计算种满△BMC地带所需费用．（2）若其余地带有玫瑰、茉莉两种可供选择，单价分别为12元/m2、10元/m2，应选哪种花木，刚好用完所筹资金？25．如图，已知在△ABC和△EBD中，．（1）若△ABC与△EBD的周长之差为60cm，求这两个三角形的周长．（2）若△ABC与△EBD的面积之和为812cm2，求这两个三角形的面积．26．某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B（点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸）．①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米．根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？《第4章图形的相似》参考答案与试题解析一、选择题1．如图，A，B，C，D，E，G，H，M，N都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF 与△ABC相似，则点F应是G，H，M，N四点中的（）A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M【考点】相似三角形的判定．【专题】压轴题；网格型；数形结合．【分析】根据两三角形三条边对应成比例，两三角形相似进行解答．【解答】解：设小正方形的边长为1，则△ABC的各边分别为3、、，只能F是M或N时，其各边是6、2，2．与△ABC各边对应成比例，故选C．【点评】此题考查三边对应成比例，两三角形相似判定定理的应用．2．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16【考点】相似三角形的性质．【分析】由相似三角形周长的比等于相似比即可得出结果．【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：4，∴△ABC与△DEF的周长比为1：4；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的性质；熟记相似三角形周长的比等于相似比是解决问题的关键．3．如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（）A．B．C．D．【考点】平行线分线段成比例．【分析】直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴==，故选C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答本题的关键，属于基础定义或定理，难度不大．4．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（）A．两人都对 B．两人都不对C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对【考点】相似三角形的判定；相似多边形的性质．【专题】数形结合．【分析】甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，即可证得∠A=∠A′，∠B=∠B′，可得△ABC ∽△A′B′C′；乙：根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，则可得，即新矩形与原矩形不相似．【解答】解：甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′，∴甲说法正确；乙：∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，∴，，∴，∴新矩形与原矩形不相似．∴乙说法正确．故选：A．【点评】此题考查了相似三角形以及相似多边形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．5．如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP•AB；④AB•CP=AP•CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③【考点】相似三角形的判定．【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．【解答】解：当∠ACP=∠B，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当∠APC=∠ACB，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当AC2=AP•AB，即AC：AB=AP：AC，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当AB•CP=AP•CB，即=，而∠PAC=∠CAB，所以不能判断△APC和△ACB相似．故选D．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．6．如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】几何图形问题．【分析】根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出=，利用点E是边AD的中点得出答案即可．【解答】解：∵▱ABCD，故AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴=，∵点E是边AD的中点，∴AE=DE=AD，∴=．故选：D．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出△DEF∽△BCF 是解题关键．7．四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，O为位似中心，若OA：OA′=1：3，则S四边形ABCD：S 四边形A´B´C´D´=（）A．1：9 B．1：3 C．1：4 D．1：5【考点】位似变换．【分析】四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，可知AD∥A′D′，△OAD∽△OA′D′，求出相似比从而求得S四边形ABCD：S四边形A´B´C´D´的值．【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，∴四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴AD∥A′D′，∴△OAD∽△OA′D′，∴OA：O′A′=AD：A′D′=1：3，∴S四边形ABCD：S四边形A´B´C´D´=1：9．故选：A．【点评】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．8．小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为1.1m，那么小刚举起手臂超出头顶（）A．0.5 m B．0.55 m C．0.6 m D．2.2 m【考点】相似三角形的应用．【分析】根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出手臂竖直举起时总高度x，即可列方程解出x 的值，再减去身高即可得出小刚举起的手臂超出头顶的高度．【解答】解：设手臂竖直举起时总高度xm，列方程得：=，解得x=2.2，2.2﹣1.7=0.5m，所以小刚举起的手臂超出头顶的高度为0.5m．故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的应用，解答此题的关键是明确在同一时刻物体的高度和影长成正比．9．如图，在△ABC中，DE∥BC，=，则下列结论中正确的是（）A ．= B ． =C ． =D ． =【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由DE ∥BC ，可得△ADE ∽△ABC ，然后由相似三角形的对应边成比例可得，然后由=，即可判断A 、B 的正误，然后根据相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方即可判断C 、D 的正误．【解答】解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴，∵=，∵=， 故A 、B 选项均错误；∵△ADE ∽△ABC ，∴==， =（）2=，故C 选项正确，D 选项错误．故选C ．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的对应边之比等于相似比；相似三角形的周长之比等于相似比；相似三角形的面积之比等于相似比的平方．10．如图，已知AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且AB=1，CD=3，那么EF 的长是（ ）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】易证△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得=，=，从而可得+=+=1．然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF的值．【解答】解：∵AB、CD、EF都与BD垂直，∴AB∥CD∥EF，∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，∴=，=，∴+=+==1．∵AB=1，CD=3，∴+=1，∴EF=．故选C．【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，发现+=1是解决本题的关键．二、填空题11．若，则= ．【考点】比例的性质．【专题】常规题型．【分析】根据比例的性质求出的值，然后两边加1进行计算即可得解．【解答】解：∵，∴﹣2=，=2+=，∴+1=+1，即=．故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，根据已知条件求出的值是解题的关键．12．如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k= 3 ．【考点】比例的性质．【分析】根据等比性质，可得答案．【解答】解：由等比性质，得k===3，故答案为：3．【点评】本题考查了比例的性质，利用了等比性质：===k⇒k==．13．已知一个三角形的三边长分别为6，8和10，与其相似的一个三角形的最短边长为18，则较小三角形与较大三角形的相似比k= ．【考点】相似三角形的性质．【分析】由一个三角形的三边长分别为6，8和10，与其相似的一个三角形的最短边长为18，根据相似比等于对应边的比，即可求得答案．【解答】解：∵一个三角形的三边长分别为6，8和10，与其相似的一个三角形的最短边长为18，∴较小三角形与较大三角形的相似比k==．故答案为：． 【点评】此题考查了相似比的定义．此题比较简单，解题的关键是熟记定义．14．在△ABC 中，AB=12cm ，BC=18cm ，AC=24cm ，另一个与它相似的△A ′B ′C ′的周长为18cm ，则△A ′B ′C 各边长分别为 4cm ，6cm ，8cm ．【考点】相似三角形的性质．【分析】由△A ′B ′C ′∽△ABC ，根据相似三角形周长的比等于相似比，即可求得答案．【解答】解：∵△A ′B ′C ′∽△ABC ，∴△A ′B ′C ′的周长：△ABC 的周长=A ′B ′：AB ，∵在△ABC 中，AB=12cm ，BC=18cm ，AC=24cm ，∴△ABC 的周长为：54cm ，∵△A ′B ′C ′的周长为18cm ，∴A ′B ′：AB=A ′C ′：AC=B ′C ′：BC=，∴A ′B ′=4cm ，B ′C ′=6cm ，A ′C ′=8cm ．故答案为：4cm ，6cm ，8cm ．【点评】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．15．如图，一束光线从点A （3，3）出发，经过y 轴上点C 反射后经过点B （1，0），则光线从点A 到点B 经过的路径长为 5 ．【考点】解直角三角形的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】延长AC交x轴于B′．根据光的反射原理，点B、B′关于y轴对称，CB=CB′．路径长就是AB′的长度．结合A点坐标，运用勾股定理求解．【解答】解：如图所示，延长AC交x轴于B′．则点B、B′关于y轴对称，CB=CB′．作AD⊥x轴于D点．则AD=3，DB′=3+1=4．∴AB′=AC+CB′=AC+CB=5．即光线从点A到点B经过的路径长为5．【点评】本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，构造直角三角形是解决本题关键．16．如图，AB 、CD 相交于点O ，OC=2，OD=3，AC ∥BD ，EF 是△ODB 的中位线，且EF=2，则AC 的长为 ．【考点】三角形中位线定理．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DB ，再根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．【解答】解：∵EF 是△ODB 的中位线，∴DB=2EF=2×2=4，∵AC ∥BD ，∴△AOC ∽△BOD ，∴=，即=，解得AC=．故答案为：．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定与性质，熟记定理与性质是解题的关键．17．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ， =，△ADE 的面积是8，则△ABC 的面积为 18 ．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据相似三角形的判定，可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质，可得答案．【解答】解；∵在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∵=，∴=（）2=，，∴S△ABC=18，故答案为：18．【点评】本题考查了相似三角形判定与性质，利用了相似三角形的判定与性质．18．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE：EC=2：1，AE与BD交于点F，则△AFD与四边形DEFC的面积之比是9：11 ．【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】根据题意，先设CE=x，S△BEF=a，再求出S△ADF的表达式，利用四部分的面积和等于正方形的面积，得到x与a的关系，那么两部分的面积比就可以求出来．【解答】解：设CE=x，S△BEF=a，∵CE=x，BE：CE=2：1，∴BE=2x，AD=BC=CD=AD=3x；∵BC∥AD∴∠EBF=∠ADF，又∵∠BFE=∠DFA；∴△EBF∽△ADF∴S△BEF：S△ADF===，那么S△ADF=a．∵S△BCD﹣S△BEF=S四边形EFDC=S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF，∴x2﹣a=9x2﹣×3x•2x﹣，化简可求出x2=；∴S△AFD：S四边形DEFC=：=：=9：11，故答案为9：11．【点评】此题运用了相似三角形的判定和性质，还用到了相似三角形的面积比等于相似比的平方．三、解答题19．已知线段a，b，c，d成比例，且a=6dm，b=3dm，d=dm，求线段c的长度．【考点】比例线段．【分析】根据比例线段的定义得出=，即=，解之可得c．【解答】解：根据题意，=，即=，解得：c=3，答：线段c的长度为3dm．【点评】本题主要考查比例线段，掌握比例线段的定义是关键．20．若=，求的值．【考点】比例的性质．【分析】首先由已知条件可得x=，然后再代入即可求值．【解答】解：∵=，∴8x﹣6y=x﹣y，x=，∴==．【点评】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握内项之积等于外项之积．21．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，且a+b+c=12，请你探索△ABC的形状．【考点】勾股定理的逆定理．【专题】探究型．【分析】令=k．根据a+b+c=12，得到关于k的方程，求得k值，再进一步求得a，b，c的值，从而判定三角形的形状．【解答】解：令=k．∴a+4=3k，b+3=2k，c+8=4k，∴a=3k﹣4，b=2k﹣3，c=4k﹣8．又∵a+b+c=12，∴（3k﹣4）+（2k﹣3）+（4k﹣8）=12，∴k=3．∴a=5，b=3，c=4．∴△ABC是直角三角形．【点评】此题能够利用方程求得k的值，进一步求得三角形的三边长，根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状．22．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【解答】（1）证明：∵CD是边AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵=．∴△ACD∽△CBD；（2）解：∵△ACD∽△CBD，∴∠A=∠BCD，在△ACD中，∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的判定定理与性质定理．23．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．【考点】相似三角形的判定；正方形的性质；平行线分线段成比例．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．【解答】（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴，∵DF=DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴，又∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．【点评】此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．24．（10分）（2012•富顺县校级模拟）某小区居民筹集资金1600元，计划在两底分别为10m、20m梯形空地上种植种植花木，如图：（1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2，当△AMD地带种满花后（图中阴影部分），共花了160元，计算种满△BMC地带所需费用．（2）若其余地带有玫瑰、茉莉两种可供选择，单价分别为12元/m2、10元/m2，应选哪种花木，刚好用完所筹资金？【考点】相似三角形的应用．【专题】应用题．【分析】（1）易得△AMD∽△BMC，根据BC=2AD可得S△BMC=4S△AMD，据此可得种满△BMC的花费；（2）根据每平方米8元来看，△AMD面积为20平米方米，△BMC面积为80平方米，因此可以得出梯形的高也就是两三角形高的和为12米，那么可得梯形面积为180平方米，还有80平方米未种，800元未用，所以要选择每平方米十元的茉莉花．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是梯形，∴AD∥BC，∴∠MAD=∠MCB，∠MDA=∠MBC，∴△AMD∽△CMB，∴S△AMD：S△BMC=（10：20 ）2=1：4．∵种植△AMD地带花费160元，单价为8元/m2，∴S△AMD=20m2，∴S△CMB=80m2，∴△BMC地带所需的费用为8×80=640（元）；（2）设△AMD的高为h1，△BMC的高为h2，梯形ABCD的高为h．∵S△AMD=×10h1=20，∴h1=4，∵S△BCM=×20h2=80，∴h2=8，∴S梯形ABCD=（AD+BC）•h=×（10+20）×（4+8）=180．∴S△AMB+S△DMC=180﹣20﹣80=80（m2），∵160+640+80×12=1760（元），160+640+80×10=1600（元），∴应种植茉莉花刚好用完所筹集的资金．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质以及应用；求得梯形的高是解决本题的难点；用到的知识点为：相似三角形的面积比等于相似比的平方．25．如图，已知在△ABC和△EBD中，．（1）若△ABC与△EBD的周长之差为60cm，求这两个三角形的周长．（2）若△ABC与△EBD的面积之和为812cm2，求这两个三角形的面积．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据已知条件得到△ABC∽△DBE，根据相似三角形的性质：相似三角形周长的比等于相似比即可得到结论；（2）根据已知条件得到△ABC∽△DBE，根据相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得到结论；【解答】解：（1）∵，∴△ABC∽△DBE，∴△ABC的周长：△EBD的周长=，设△ABC的周长为5k，△EBD的周长为2k，∴5k﹣2k=60，∴k=20，∴△ABC的周长=100cm，△EBD的周长=40cm；（2）∵，∴△ABC∽△DBE，∴=（）2=，∵△ABC与△EBD的面积之和为812cm2，∴S△ABC=812×=700．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的面积和周长，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．26．某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B（点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸）．①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米．根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？【考点】相似三角形的应用．【专题】几何图形问题．【分析】根据题意求出∠BAD=∠BCE，然后根据两组角对应相等，两三角形相似求出△BAD和△BCE 相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：由题意得，∠BAD=∠BCE，∵∠ABD=∠CBE=90°，∴△BAD∽△BCE，∴=，∴=，解得BD=13.6．答：河宽BD是13.6米．【点评】本题考查了相似三角形的应用，读懂题目信息得到两三角形相等的角并确定出相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．。
北师大版九年级数学上图形的相似1—18题测试.docx
初中数学试卷马鸣风萧萧图形的相似1—18题测试（时间：40分钟）姓名：班级：总分：1、如图，平行于BC的直线DE把△ABC 分成的两部分面积相等，则= ．2、如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C ．=D ．=3、如图，∥∥，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知，则的值为（）A ．B ．C ．D ．4、如图所示，△ABC中，DE∥BC ，若，则下列结论中正确的是（）A ．B ．C ．D ．5、若，则的值为（）A．1 B ．C ．D ．6、如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）A．2 5 B．3 5 C．5 D．67、△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是（）A．3 B．6 C．9 D．128、如图，边长为1的正方形ABCD中，点E在CB延长线上，连接ED交AB于点F，AF=x（0.2≤x≤0.8），EC=y．则在下面函数图象中，大致能反映y与x之闻函数关系的是（）A．B．C．D．9、下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．其中正确命题的序号是（ ） A ．②③ B ． ①②C ． ③④D ． ②③④10、如图，在直角坐标系中，有两点A (6，3)、B (6，0)．以原点 O 为位似中心，相似比为31，在第一象限内把线段AB 缩小后 得到线段CD ，则点C 的坐标为（ ）A ．(2，1)B ．(2，0)C ．(3，3)D ．(3，1)11、如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB =AD ，CD =AB ，点E 、F 分别为AB 、AD 的中点，则△AEF 与多边形BCDFE 的面积之比为（ ）A ．B ．C ．D ．12、如图6，在△ABC 中，∠ACB =90º，AC =BC =1，E 、F 为线段AB 上两动点，且∠ECF =45°，过点E 、F 分别作BC 、AC 的垂线相交于点M ，垂足分别 为H 、G ．现有以下结论：①AB =2；②当点E 与点B 重合时，MH =12； ③AF+BE=EF ；④MG•MH =12，其中正确结论为 （ ） A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．①②二、填空题 13、已知0654≠==ab c ，则a c b +的值为14、如图，将边长为6cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在 AB 边的中点E 处，折痕为FH ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，则△EBG 的周长是 cm15、如图，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成的两部分面积相等， 则=第14题图QH GFE DCBA16、如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，AC=10．四边形BDEF是△ABC的内接正方形（点D、E、F在三角形的边上）．则此正方形的面积是．三、解答题17、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC、BD相交于点F，点E是边BC延长线上一点，且∠CDE=∠ABD．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）联结AE，交BD于点G，求证：=．18、菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA、BC的延长线于点E、F，连接BE、DF．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若EF⊥AB，垂足为M，tan∠MBO=，求EM：MF的值．。
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似测试卷
北师大版九年级数学测试卷（考试题）第四章 图形的相似周周测3一、选择题(每小题5分，共30分)1．(贵阳中考)如果两个相似三角形对应边的比为2∶3，那么这两个相似三角形面积的比是( )A ．2∶3 B.2∶ 3 C ．4∶9 D ．8∶272．如图，两个三角形是位似图形，它们的位似中心是( )A ．点PB ．点OC ．点MD ．点N3．如图，测得BD ＝120 m ，DC ＝60 m ，EC ＝50 m ，则河宽AB 为( )A ．120 mB ．100 mC ．75 mD ．25 m4．(武汉中考)如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)，以原点O 为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB 缩小后得到CD ，则C 的坐标为( ) A ．(2，1) B ．(2，0) C ．(3，3) D ．(3，1)5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，C D ⊥AB 于D ，且AD ∶BD ＝9∶4，则AC ∶BC 的值为( )A ．9∶4B ．9∶2C ．3∶4D ．3∶26．如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF 测量树AB 的高度，测量时，使直角边DF 保持水平状态，其延长线交AB 于点G ；使斜边DE 所在的直线经过点A.测得边DF 离地面的高度为1 m ，点D 到AB 的距离等于7.5 m ．已知DF ＝1.5 m ，EF ＝0.6 m ，那么树AB 的高度等于( )A ．4 mB ．4.5 mC ．4.6 mD ．4.8 m二、填空题(每小题5分，共20分)7．若两个相似三角形的面积之比为1∶9，则它们的周长之比为________．8．如图，在平面直角坐标系中，△A′B′C′是△ABC的以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1∶2，若A的坐标为(－3，4)，则A′的坐标为________．9．两千多年前，我国的学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验．他的做法是，在一间黑暗的屋子里，一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像．小华在学习了小孔成像的原理后，利用如图装置来验证小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔20 cm，光屏在距小孔30 cm处，小华测量了蜡烛的火焰高度为2 cm，则光屏上火焰所成像的高度为________cm.10．如图，小明在墙上挂了一面镜子AB，调整好标杆CD，正好通过标杆顶部在镜子上边缘A处看到旗杆的顶端E的影子，已知AB＝2 m，CD＝1.5 m，BD＝2 m，BF＝20 m，则旗杆EF的高度为________．三、解答题(共50分)11．(10分)(漳州中考改编)如图，在10×10的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，以点A为位似中心画四边形AB′C′D′，使它与四边形ABCD位似，且相似比为2，在图中画出四边形AB′C′D′.12．(12分)已知△ABC∽△DEF，DEAB＝23，△ABC的周长是12 cm，面积是30 cm2.(1)求△DEF的周长；(2)求△DEF的面积．13．(14分)在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处(如图)，然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．14．(14分)(镇江中考改编)某兴趣小组开展课外活动．如图，A，B两地相距12米，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他(CD)在某一灯光下的影长为AD，继续按原速行走2秒到达点F，此时他在同一灯光下的影子(MF)仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H，此时他(GH)在同一灯光下的影长为BH(点C，E，G在一条直线上)．求小明原来的速度．参考答案 1．C 2.A 3.B 4.A 5.D 6.A 7.1∶3 8.(32，－2) 9.3 10.7 m 11.图略． 12.(1)∵DE AB ＝23，∴△DEF 的周长为12×23＝8(cm)．(2)∵DE AB ＝23，∴△DEF 的面积为30×(23)2＝1313(cm 2)． 13.这种测量方法可行．理由如下：设旗杆高AB ＝x.过F 作FG ⊥AB 于G ，交CE 于H.所以△AGF ∽△EHF.因为FD ＝1.5，GF ＝27＋3＝30，HF ＝3，所以EH ＝3.5－1.5＝2，AG ＝x －1.5.由△AGF ∽△EHF ，得AG EH ＝GF HF ，即x －1.52＝303.解得x ＝21.5.答：旗杆的高为21.5米． 14.设小明原来的速度为x m/s ，则CE ＝2x m ，AM ＝AF －MF ＝(4x －1.2)m ，EG ＝2×1.5x ＝3x(m)，BM ＝AB －AM ＝12－(4x －1.2)＝13.2－4x ，∵点C ，E ，G 在一条直线上，CG ∥AB ，∴△OCE ∽△OAM ，△OEG ∽△OMB.∴CE AM ＝OE OM，EG BM ＝OE OM .∴CE AM ＝EG BM ，即2x 4x －1.2＝3x 13.2－4x.解得x ＝1.5，经检验，x ＝1.5为方程的解．∴小明原来的速度为1.5 m/s.答：小明原来的速度为1.5 m/s.附赠材料：怎样提高答题效率直觉答题法相信自己的第一感觉厦门英才学校彭超老师说,“经验表明,从做题的过程来看,同学们要相信自己的第一感觉,不要轻易改动第一次做出的选择,第一感觉的正确率在80%以上。
北师大版九年级数学上册第4章《图形的相似》单元练习题(含答案)
北师大版九年级数学上册第4章《图形的相似》单元练习题（含答案）一、单选题1．在如图所示的网格中，以点O 为位似中心，四边形ABCD 的位似图形是（ ）A ．四边形NPMQB ．四边形NPMRC ．四边形NHMQD ．四边形NHMR2．如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC ，②△ADE ，③△AEF ，④△AFH ，⑤△AHG ，在②至⑤中，与①相似的三角形是（ ）A ．②④B ．②⑤C ．③④D ．④⑤ 3．生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a 与全身b 的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中b 为2米，则a 约为（ ）A ．1．24米B ．1．38米C ．1．42米D ．1．62米 4．如图，123l l l ∥∥，若23=AB BC ，15DF =，则EF =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．95．如图，点O 是四边形ABCD 内一点，A '、B '、C '、D 分别是OA 、OB 、OC 、OD 上的点，且::::2:1OA A A OB B B OC CC OD D D '''''''====，若四边形A B C D ''''的面积为12cm 2，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．18cm 2B ．27cm 2C ．36cm 2D ．54cm 26．已知△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比（ ）A ．1 ：3B ．1：6C ．1：9D ．3：17．如图，某零件的外径为10cm ，用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相等）可测量零件的内孔直径AB ．如果OA ：OC =OB ：OD =3，且量得CD =3cm ，则零件的厚度x 为（ ）A ．0.3cmB ．0.5cmC ．0.7cmD ．1cm8．下列图形中，不是相似图形的一组是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，下列条件不能满足△ADE ∽△ACB 的条件是（ ）A ．∠AED =∠BB ．AD AE AC AB = C ．AD ·BC = DE ·ACD ．DE //BC 10．已知23a b =，那么下列等式中成立的是（ ） A ．23a b = B ．1314a b +=+ C ．53a b b += D ．13a b b -=． 11．如图，在ABC ∆中，AB AC <，将ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE ，点D 在BC 边上，DE 交AC 于点F ．下列结论：①AFE DFC △△；②DA 平分BDE ∠；③CDF BAD ∠=∠，其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③ 12．如图，ABC 中，点D 是边BC 上一点，下列条件中，不能判定ABC 与ABD △相似的是（ ）A ．2AB BD BC =⋅B ．BDA BAC ∠=∠ C ．ADC C B ∠=∠+∠D ．AD BC AB AC ⋅=⋅二、填空题13．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做EF 将矩形窗框ABCD 分为上下两部分，其中E 为边AB 的黄金分割点，即2BE AE AB =⋅．已知AB 为2米，则线段BE 的长为______米．14．为了测量河宽AB ，某同学采用以下方法：如图，取一根标尺，把它横放，使CD ∥AB ，并使点B ，D ，O 和点A ，C ，O 分别在同一条直线上，量得CD ＝10米，OC ＝15米，OA ＝45米，则河宽AB ＝______米．15．如图，△ABC 与△A B C '''是位似图形，点O 是位似中心，若3OA AA '=，9ABC S =，则A B C S '''=________．16．如图，四边形ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ，2AO =，4=AD ，6OC =，8BC =，如果DAO CBO ∠=∠，那么ABCD ∶的值是___________．17．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点A 的坐标为（3，4），点B 的坐标为（7，0），D ，E 分别是线段AO ，AB 上的点，以DE 所在直线为对称轴，把△ADE 作轴对称变换得△A′DE ，点A′恰好在x 轴上，若△OA′D 与△OAB 相似，则OA′的长为________.（结果保留2个有效数字）18．如图所示，在ABC 中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =．（1）如图1，四边形DEFG 为ABC 的内接正方形，则正方形DEFG 的边长为_________；（2）如图2，若ABC 内有并排的n 个全等的正方形，它们组成的矩形内接于ABC ，则正方形的边长为_________．三、解答题19．如图，DA ⊥AB 于A ，EB ⊥AB 于B ，C 是AB 上的动点，若∠DCE =90°．求证：△ACD ∽△BEC20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC 于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．(1)求线段DE的长；(2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求EF DF的值．21．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上、已知纸板的两条边DF＝0.5m，EF＝0.3m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．22．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足438324a b c+++==，且a+b+c=12，请你探索△ABC的形状．23．如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝5m，求围墙AB的高度．24．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE．点M，N分别是BD，CE的中点，连接AM，AN，MN．（1）求证：△CAE≌△BAD；（2）求证：△AMN∽△ABC；（3）若AC＝6，AE＝4，∠EAC＝60°，求AN的长．25．如图，小明同学为了测量路灯OP 的高度，先将长2m 的竹竿竖直立在水平地面上的B 处，测得竹竿的影长3m BE =，然后将竹竿向远离路灯的方向移动5m 到D 处，即5m BD =，测得竹竿的影长5m DF =（AB 、CD 为竹竿）．求路灯OP 的高度．26．如图，在ABC 中，90B ，12cm AB =，24cm BC =，动点P 从点A 开始沿着边AB 向点B 以2cm s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿着边BC 向点C 以4cm s 的速度移动（不与点C 重合）．若P 、Q 两点同时移动()s t ．(1)当移动几秒时，BPQ 的面积为232cm ．(2)设四边形APQC 的面积为()2cm S ，当移动几秒时，四边形APQC 的面积为2108cm ？(3)当移动几秒时，BPQ与ABC相似？27．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米，求旗杆的高度．28．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F．（1）求证：△AEB∽△CFB；EF ，BD＝6．求AD的长．（2）若CE＝5，25参考答案1．A2．A3．A4．D5．B6．C7．B8．D9．C10．C11．D12．D 13．(51)##1514．3015．1616．2317．2.0或3.318．6037602512n+19．证明：∵AD⊥AB，BE⊥AB，∴∠DAC=90°=∠EBC，∴∠D+∠ACD=90°，∠E+∠ECB=90°，∵∠DCE=90°，∴∠DCA+∠ECB=90°，∴∠D=∠ECB，∵∠DAC=90°=∠EBC，∴△ACD∽△BEC．20．解：∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝30°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，AC＝6，∴CD＝3在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，∴BC＝3∴BD＝BC－CD＝43∵DE∥CA，∴DECA23 BDBC==，∴DE＝4；（2）解：如图．∵点M 是线段AD 的中点，∴DM ＝AM ，∵DE ∥CA ， ∴DF AG ＝DM AM ． ∴DF ＝AG ．∵DE ∥CA ，∴EF AG ＝BF BG ，BF BG ＝BD BC ． ∴EF AG ＝BD BC ． ∵BD ＝43， BC ＝63， DF ＝AG ， ∴23EF DF =．21．解：∵∠DEF ＝∠BCD ＝90°，∠D ＝∠D ，∴△DEF ∽△DCB ， ∴BC DC EF DE=， ∵DF ＝0.5 m ，EF ＝0.3 m ，AC ＝1.5 m ，CD ＝10 m ，由勾股定理得DE 22DF EF -0.4 m ，∴100.30.4BC =， ∴BC ＝7.5m ，∴AB ＝AC +BC ＝1.5+7.5＝9（m ），答：树高AB 是9m ．22．解：令438324a b c +++===k ， ∴a +4=3k ，b +3=2k ，c +8=4k ，∴a =3k ﹣4，b =2k ﹣3，c =4k ﹣8，又∵a +b +c =12，∴（3k ﹣4）+（2k ﹣3）+（4k ﹣8）=12，∴k =3，∴a =5，b =3，c =4，∵32+42=52，∴△ABC 是直角三角形．23．解：延长OD ，∵DO ⊥BF ，∴∠DOE=90°，∵OD=1m ，OE=1m ，∴∠DEB=45°，∵AB ⊥BF ，∴∠BAE=45°，∴AB=BE ，设AB=EB=x m ，∵AB ⊥BF ，CO ⊥BF ，∴AB ∥CO ，∴△ABF ∽△COF ， ∴ABCOBF OF =，1.51(51)5x x +∴=+-，解得：x=4．经检验：x=4是原方程的解．答：围墙AB 的高度是4m ．24．（1）∵∠BAC=∠AE ，∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE ，∴∠EAC=∠DAB ，在△CAE 与△BAD 中，AB AC EAC DAB AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CAE ≌△BAD （SAS ）；（2）由（1）得△CAE ≌△BAD ，∴∠ACE=∠ABD ，CE=BD ，∵M 、N 分别是BD ，CE 的中点，∴CN=BM ，在△CAN 与△BAM 中，AC AB ACE ABD CN BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CAN ≌△BAM （SAS ），∴AN=AM ，∠CAN=∠BAM ，∴∠CAN+∠BAN=∠BAM+∠BAN ，即∠CAB=∠NAM ，∵AC=AB ，AN=AM ， ∴AN AM AC AB=， ∴△AMN ∽△ABC ；（3）取AC 的中点F ，连接FN ，过点点N 作NG ⊥AC 于点G ，∵点N 是CE 的中点，∴NF ∥AE ，NF=12AE=2，∴∠GFN=∠EAC=60°，∴∠FNG=30°，∴FG=12FN=1，∴AG=1+3=4，2221-3在Rt △ANG 中，根据勾股定理可知：1925．解：由已知得，2AB CD ==m ，3BE =m ，5BD =m ，5DF =m ， 90POE ABE CDF ∠=∠=∠=︒，AEB PEO ∠=∠，CFD PFO ∠=∠，∴在EAB ∆和EPO ∆中，AEB PEO ABE POE∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ∴EAB ∆∽EPO ∆ ∴AB OP BE OE =，即233OP OB =+， ∴263OB OP +=，在FCD ∆和FPO ∆中CFD PFO CDF POF ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ∴FCD ∆∽FPO ∆， ∴CD OP DF OF =，即2510OP OB =+， ∴2205OB OP +=，∴263OB OP +=，2205OB OP +=，∴7.5OB =，7OP =，即路灯OP 的高度为7m ．26．（1）求出运动时间为t 秒时PB 、BQ 的长度，根据三角形的面积公式结合△BPQ 的面积为32cm 2，即可得出关于t 的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）用△ABC 的面积减去△BPQ 的面积即可得出S ，令其等于108即可得出关于t 的一元二次方程，解之即可得出结论；（3）分两种情况：①当△BPQ ∽△BAC 时，②当△BPQ ∽△BCA 时，分别利用相似三角形的性质列式求解即可．（1）解：运动时间为t 秒时（0≤t ＜6），PB ＝12−2t ，BQ ＝4t ，由题意得：S △BPQ ＝12PB ·BQ ＝12（12−2t ）·4t ＝2244t t -＝32， 解得：t 1＝2，t 2＝4，答：当移动2秒或4秒时，△BPQ 的面积为32cm 2；（2） 由题意得：()2212444241441082ABC BPQ S S S AB BC t t t t =-=⋅--=-+=△△， 解得：t ＝3，答：当移动3秒时，四边形APQC 的面积为108cm 2；（3）分两种情况：①当△BPQ ∽△BAC 时， 则BP BQ BA BC=，即12241224t t -=， 解得：3t =，②当△BPQ ∽△BCA 时， 则BP BQ BC BA=，即12242412t t -=， 解得：65t =， 综上，当移动3秒或65秒时，BPQ 与ABC 相似． 27．解：由题意可得：△DEF ∽△DCA ， 则DE EF DC AC=， ∵DE ＝0.5米，EF ＝0.25米，DG ＝1.5m ，DC ＝20m ， ∴0.50.2520AC=， 解得：AC ＝10，故AB ＝AC+BC ＝10+1.5＝11.5（m ）．答：旗杆的高度为11．5m ．28．（1）证明：90ACB ∠=︒，90ACD BCD ∴∠+∠=︒， CD 为AB 边上的高，90A ACD ∴∠+∠=︒，A BCD ∴∠=∠， BE 是ABC ∠的平分线，ABE CBE ∴∠=∠，AEB CFB ∴∆∆∽．（2）解：如图，作CH EF ⊥于H ．∵∠BFD +∠ABE =90°，∠CEB +∠CBE =90°，∠ABE =∠CBE ， ∴∠BFD =∠CEB ，∵∠BFD =∠CFE ，CEF CFE ∴∠=∠，CEF ∴为等腰三角形，CE CF ∴=，CH EF ⊥，∴点H 为EF 的中点，5EH FH ∴==，22225(5)25CH EC EH ∴--=,90BFD CFH CHF BDF ∠=∠∠=∠=︒，BFD CFH ∴∆∆∽， ∴DF BD HF CH =， ∴5253DF ∴=，8CD CF DF =+=，90ADC CDB ∠==︒，,ECH FCH FBD CBF ∠=∠∠=∠，根据BFD CFH ∆∆∽，即FCH FBD ∠=∠，ACD CBD∴∆∆∽，∴AD CD CD BD=，∴8 86 AD=，323 AD∴=．。
北师大版数学九年级上册《第四章图形相似》单元测试(含答案)
K 从点 P 出发沿折线 PE ﹣﹣ 以E每F 秒 1 个单位长的速度匀速运
动．点 P、K 同时开始运动，当点 K 到达点 F 时停止运动，点 P 也
随之停止．设点 P、K 运动的时间是 t 秒（ t＞0 ）．
（1）当 t=1 时， KE= ， EN= ；
（2）当 t 为何值时，△
的面A积PM与△
（ 1 ）求证：△
ABM ∽△ EFA ；
（2）若 AB=12 ，BM=5 ，求 DE 的长．
21 ．如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AE ⊥ BC ，垂足为
E，连接 DE，F 为线段 DE 上一点，且∠
AFE= ∠ B ．
（ 1 ）求证：△
ADF ∽△ DEC ；
（2）若 AB=4 ，AD= ，AE=3 ，求 AF 的长．
（ 2）如图所示，以 B 为位似中心，画出△Ａ2B2C2，使△Ａ2B2C2 与△
ABC 位似，且位似比为 2：1 ，点 C2 的坐标是（ 1 ，0），
故答案为：（ 1）（2 ，﹣ ；2 （）2 ）（1 ，0）
23 ．解：（ 1）当 t=1 时，根据题意得， AP=1 ，PK=1 ， ∵ PE=2 ， ∴ KE=2 ﹣ 1=1 ， ∵四边形 ABCD 和 PEFG 都是矩形， ∴△ APM ∽△ ABC ，△ APM ∽△ NEM ，
按比例尺 1：2，把△ 缩EF小O，则点 E 的对应点 E ′的坐标为（
）
A．（2，﹣ 1 ）或（﹣ 1） 2 ， B．（8，﹣ 4 ）或
（﹣ 8 ，﹣ 4 ）
C．（2，﹣ 1 ）
D．（8 ，﹣ 4 ）
5．如图，已知 AD 为△ AB的C角平分线，
交DEA∥C 于ABE，如
北师大版九年级数学上册 第四章 图形的相似 单元测试试题(有答案)
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似单元测试题一．选择题（共10小题）1．如图，△ABC中，DE∥BC分别交BA、CA的延长线于点E、D，则下列比例式正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝2．已知△ABC∽△DEF，若周长比为4：9，则AC：DF等于（）A．4：9B．16：81C．3：5D．2：33．如果2a＝5b，那么下列比例式中正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝4．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，若AC＝8，CE＝12，BD＝6，则BF的值是（）A．14B．15C．16D．175．下面四组图形中，必是相似三角形的为（）A．两个直角三角形B．两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形C．有一个角为40°的两个等腰三角形D．有一个角为100°的两个等腰三角形6．如图，在▱ABCD中，R为BC延长线上的点，连接AR交BD于点P，若CR：AD＝2：3，则AP：PR的值为（）A．3：5B．2：3C．3：4D．3：27．我国古代数学著作中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”其大意是：一座正方形城池，西、北边正中各开一道门，从北门往正北方向走40步后刚好有一树木，若从西门往正西方向走810步后正好看到树木，则正方形城池的边长为（）步．A．360B．270C．180D．908．若两个相似三角形的周长之比是1：4，那么这两个三角形的面积之比是（）A．1：4B．1：2C．1：16D．1：89．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4），B（﹣4，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A’的坐标是（）A．（1，﹣2）B．（2，1）C．（﹣2，﹣1）或（2，1）D．（﹣1，2）或（1，﹣2）10．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝9，将△ABC沿图中的线段剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）11．在比例尺为1：100000的地图上，相距3m的两地，它们的实际距离为km．12．如图所示，矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，且AEFD是正方形，若矩形BCFE 和矩形ABCD相似，且AD＝2，则AB的长为．13．如图，l1∥l2∥l3，直绒l4、l5被这组平行线所截，且直线l4、l5相交于点E，已知＝，则＝．14．已知Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，且∠C＝∠C′＝90°，若AC＝3，BC＝4，A′B′＝10，则A′C′＝．15．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（8，0），B（8，6），D （0，6），已知矩形OA1B1C1与矩形OABC位似，位似中心为坐标原点O，位似比为，则点B1的坐标是．16．如图，△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，BD＝2，AB＝6，AC＝9，则AE的长为．17．利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，使标杆顶端的影子与建筑物顶端的影子恰好落在地面的同一点E．若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝16米，则建筑物的高AB为米．18．如图，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝2，BC＝12，DC＝10，若在边DC上有点P，使△PAD与△PBC相似，则这样的点P有个．三．解答题（共8小题）19．若x：y＝3：5，y：z＝2：3，求5x﹣2z的值．20．如图，已知：l1∥l2∥l3，AB＝2，BC＝4，DF＝12．求DE的长．21．如图，已知在ABC中，AB＝，AC＝2，BC＝3，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMIN与△ABC相似，求线段MN的长．22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝16cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为4cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s．解答下列问题：（1）当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似？（2）当t为何值时，△EPQ为等腰三角形？23．如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝6，S＝50，△AOC 求：（1）AO的长；（2）求S△BOD24．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的△ABC和点D．（1）过点D作△DEF，使得＝＝＝，且点E、F均在格点上；（2）△ABC的面积是个平方单位，△DEF的面积是个平方单位．25．如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，3），C（4，2）．（1）以点A（1，1）为位似中心画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1（2）点B1的坐标为；点C1的坐标为．26．某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．请回答下列问题：（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．（2）如图3，已知△ABC，AC＝6，BC＝8，AB＝10，将△ABC按图3的方式向外扩张，得到△DEF，它们对应的边间距都为m，DE＝15，求△DEF的面积．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴，，则A，B，D不正确，故选：C．2．解：∵△ABC∽△DEF，∴＝＝．故选：A．3．解：∵2a＝5b，∴＝或＝或＝．故选：C．4．解：∵a∥b∥c，AC＝8，CE＝12，BD＝6，∴＝，即＝，解得BF＝15．故选：B．5．解：两个直角三角形不一定相似；因为只有一个直角相等，∴A不一定相似；两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形不一定相似；因为这个对应角不一定是夹角；∴B不一定相似；有一个角为40°的两个等腰三角形不一定相似；因为40°的角可能是顶角，也可能是底角，∴C不一定相似；有一个角为100°的两个等腰三角形一定相似；因为100°的角只能是顶角，所以两个等腰三角形的顶角和底角分别相等，∴D一定相似；故选：D．6．解：∵在▱ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，∴△ADP∽△RBP，∴，∴．∴＝．故选：A．7．解：如图，设正方形城池的边长为x步，则AE＝CE＝x，∵AE∥CD，∴∠BEA＝∠EDC，∴Rt△BEA∽Rt△EDC，∴，即，∴x＝360，即正方形城池的边长为360步．故选：A．8．解：∵相似三角形的周长之比是1：4，∴对应边之比为1：4，∴这两个三角形的面积之比是：1：16，故选：C．9．解：以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，点A的坐标为（﹣2，4），则点A的对应点A′的坐标为（﹣2×，4×）或（2×，﹣4×），即（﹣1，2）或（1，﹣2），故选：D．10．解：A、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．D、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选：B．二．填空题（共8小题）11．解：3÷＝300000（m），300000m＝300km；答：它们的实际距离为300km；故答案为：300．12．解：设EB＝x，∵矩形BCFE和矩形ABCD相似，∴＝，∵四边形AEFD是正方形，∴AD＝BC＝2，∴＝，解得：x＝﹣1±（负数不合题意舍去），∴BE＝﹣1+，故AB＝2﹣1+＝1+，故答案为：1+．13．解：∵l1∥l2∥l3，∴AC∥BD，∴△ACE∽△BDE，∴＝，故答案为：．14．解：∵AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，∴AB＝＝＝5，∵Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，∴∴A'C'＝＝6，故答案为6．15．解：∵矩形OA1B1C1与矩形OABC位似，位似中心为坐标原点O，位似比为，∴点B1的坐标是：（4，3）或（﹣4，﹣3）．故答案为：（4，3）或（﹣4，﹣3）．16．解：∵DE∥BC，∴，即，即，解得：AE＝6．故答案为：617．解：∵AB∥CD，∴△EBA∽△ECD，∴，即，∴AB＝13.5（米）．故答案为：13.518．解：∵AD∥BC，∠D＝90°∴∠C＝∠D＝90°∵AD＝2，BC＝12，DC＝10．设PD＝x，则PC＝10﹣x；①若PD：PC＝AD：BC，则△PAD∽△PBC∴x：（10﹣x）＝2：12，解得x＝，即PD＝；②若PD：BC＝AD：PC，则△PAD∽△CBP∴x：12＝2：（10﹣x），解得：x＝4或x＝6，即PD＝4或PD＝6．∴这样的点P存在的个数有3个．故答案为3．三．解答题（共8小题）19．解：∵x：y＝3：5，y：z＝2：3，∴x＝y，z＝y，∴5x﹣2z＝5×y﹣2×y＝3y﹣3y＝0．20．解：∵l1∥l2∥l3，AB＝2，BC＝4，DF＝12，∴＝，即＝，解得DE＝4．21．解：当△AMN∽△ABC时，∵点M为AB的中点，AB＝，AC＝2，BC＝3，∴，∴，即，解得MN＝；当△ANM∽△ABC时，∵，即，解得MN＝．22．解：（1）如图1中，在Rt△ABC中，AC＝12cm，BC＝16cm，∴AB＝＝20cm．∵D、E分别是AC、AB的中点．AD＝DC＝6cm，AE＝EB＝10cm，DE∥BC且DE＝BC＝8cm，①PQ⊥AB时，∵∠PQB＝∠ADE＝90°，∠AED＝∠PEQ，∴△PQE∽△ADE，∴，由题意得：PE＝8﹣2t，QE＝4t﹣10，即，解得t＝；②如图2中，当PQ⊥DE时，△PQE∽△DAE，∴，∴，∴t＝，∴当t为s或s时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似．（2）如图3中，当点Q在线段BE上时，由EP＝EQ，可得8﹣2t＝10﹣4t，t＝1．如图4中，当点Q在线段AE上时，由EQ＝EP，可得8﹣2t＝4t﹣10，解得t＝3．如图5中，当点Q在线段AE上时，由EQ＝QP，可得（8﹣2t）：（4t﹣10）＝4：5，解得t ＝．如图6中，当点Q在线段AE上时，由PQ＝EP，可得（4t﹣10）：（8﹣2t）＝4：5，解得t ＝．综上所述，t＝1或3或或秒时，△PQE是等腰三角形．23．解：（1）∵△OBD∽△OAC，∴＝＝，∵BO＝6，∴AO＝10；（2）∵△OBD∽△OAC，＝，∴＝，∵S＝50，△AOC＝18．∴S△BOD24．解：（1）如图所示，△DEF即为所求：（2）△ABC的面积＝＝4个平方单位，△DEF的面积＝＝8个平方单位，故答案为：4；825．解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）点B1的坐标为（3，5）；点C1的坐标为（7，3）．故答案为：（3，5）；（7，3）．26．解：（1）观点一正确；观点二不正确．理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，∴AB∥DE，AC∥DF，∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，∴△ABC∽△DEF，∴观点一正确；②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，则新矩形邻边为4和8，∵＝，＝，∴，∴新矩形于原矩形不相似，∴观点二不正确；（2）如图（3），延长DA、EB交于点O，∵A到DE、DF的距离都为1，∴DA是∠FDE的角平分线，同理，EB是∠DEF的角平分线，∴点O是△ABC的内心，∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，∴△ABC是直角三角形，设△ABC的内切圆的半径为r，则6﹣r+8﹣r＝10，解得r＝2，过点O作OH⊥DE于点H，交AB于G，∵AB∥DE，∴OG⊥AB，∴OG＝r＝2，∴＝＝，同理＝＝＝，∴DF＝9，EF＝12，∴△DEF的面积为：×9×12＝54．。
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初中数学试卷桑水出品图形的相似单元测试题一、选择题（30分）1、已知0432≠==cb a ,则c b a +的值为( ) A.54B.45C.2D.21 2、两地实际距离是500 m ，画在图上的距离是25 cm ，若在此图上量得A 、B 两地相距为40 cm ，则A 、B 两地的实际距离是（ ）A.800 mB.8000 mC.32250 cmD.3225 m3、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h 为（ ） A 、815B 、 1C 、D 、854、如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形（ ） A.1对 B.2对 C.3对 D.4对5、如图,AB 是斜靠在墙上的长梯,梯脚B 距墙脚1.6m,梯上点D 距墙1.4m,BD 长0.55m,则梯子的长为( )A.3.85mB.4.00mC.4.40mD.4.50m6、若△ABC ∽△DEF ，△ABC 与△DEF 的相似比为2︰3，则S △ABC ︰S △DEF 为（ ）A 、2∶3B 、4∶9C 、2∶3D 、3∶27、如图,∠ACB=∠ADC=90°,BC=a,AC=b,AD=c,要使⊿ABC ∽⊿CAD,只要CD 等于( )A.c b 2B.ab 2 C.c abD.a bc8、在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为 4.8米，则树的高度为（ ） A 、4.8米B 、6.4米C 、9.6米D 、10米9、如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P 处放一水平的平面镜,光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是（ ） A 、6米 B 、8米 C 、18米 D 、24米6米0.8米4米h 米(第18题图)10、如图，在A B C ∆中，D 、分别是A B 、A C 边的中点，若6B C =，则D E 等于（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2二、填空题11、如果线段a 、b 、c 、d 是成比例线段且a =3，b =4，c =5，则d =______________；12、已知2=yx，则=+y y x ；=-x y x . 13、两个相似三角形对应边的比为6，则它们周长的比为________。
14、如图，点D 、E 分别在△ABC 的边上AB 、AC 上，且AB AED ∠=∠，若DE=3，BC=6，AB=8，则AE 的长为_________15、如图，在□ABCD 中，AE ＝EB ，AF ＝2，则FC 等于_____．16、已知CD 是Rt ΔABC 斜边AB 上的高，且AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，则CD ＝_____17、如图是一种贝壳的俯视图，点C 分线段AB 近似于黄金分割．已知AB =10cm ，则AC 的长约为 cm ．（结果精确到0.1cm ）18、如图是圆桌正上方的灯泡O 发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影(圆形)的示意图.已知桌面的直径为1.2m ，桌面距离地面1m ，若灯泡O 距离地面3m ，则地面上阴影部分的面积为 .三、解答题（6+6+8+6+8+12=46分）19、如图，在矩形ABCD 中，点E F 、分别在边AD DC 、上，ABE DEF △∽△，692AB AE DE ===，，，求EF 的长． 20、如图，在ΔABC 中，已知DE ∥BC ，AD =4，DB =8，DE =3， （1）求ADAB的值，（2）求BC 的长 21、如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME ＝∠A ＝∠B ＝α，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（2）连结FG ，如果α＝45°，AB ＝42，AF ＝3，求FG 的长． 22、如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB 和△DCE 的顶点都在格点上，ED 的延长线交AB 于点F ． （1）求证：△ACB ∽△DCE ；（2）求证：EF ⊥AB ．第15题图FA E BCD 第4题B CDE AAE CD B图1423、如图，ABC △在方格纸中（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使(23)(62)A C ，，，，并求出B 点坐标；（2）以原点O 为位似中心，相似比为2，在第一象限内将ABC △放大，画出放大后的图形A B C '''△； （3）计算A B C '''△的面积S ． 24、问题背景 在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm 的竹竿的影长为60cm.乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm.丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm ，影长为156cm. 任务要求 （1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度； （2）如图3，设太阳光线NH 与O 相切于点M .请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG 的影长；需要时可采用等式222156208260+=）.F 图2 图1 图3A B C参考答案1、B 解析：设k c b a ===432，则 k c k b k a 432===，所以45432=+=+k k k c b a 。
2、A 解析：图上距离与实际距离的比相等，注意单位要统一。
3、C 解析：根据相似三角形的对应边成比例，1068.0=h ，所以 34=h 米。
4、C 解析：△ABE ∽△FCE ；△FCE ∽△FDA ；△FDA ∽△ABE 。
5、C 解析：∵△ABC ∽△ADE ∴BC AD BC DE =，即ABAB 55.06.14.1-=∴AB=4.40（m)。
6、B 解析：相似多边形面积的比等于相似比的平方。
7、D 解析：根据本题的条件可以用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”来证明，ADBCCD AC =，即c a CD b =，所以CD=abc。
8、C 解析：根据同一时刻的物高与影长成比例，设树的高度为h,则 h8.46.18.0=，解得6.9=h 。
9、B 解析：入射光线、反射光线与镜面形成的夹角相等，即∠APB=∠CPD ，又因为∠ABP=∠CDP=90°，所以⊿ABP ∽⊿CDP ，所以PD BP CD AB =，即128.12.1=CD ，所以CD=8。
10、C 解析：∵21==AC AE AB AD ，∠A 为公共角，∴⊿ADE ∽⊿ABC ，∴21==AB AD BC DE ，321==BC DE 。
11、320 解析：∵d c b a = ∴320354=⨯==a bc d 。
12、321 解析： 3121=+=+=+y x y y x ，212111=-=-=-x y x y x 。
13、6 解析：相似多边形的周长的比等于相似比。
14、4 解析：∵AB AED ∠=∠，∠A 是公共角，∴⊿ADE ∽⊿ACB ，∴BCDEAB AE =即638=AE ，∴AE=4。
15、4 解析：由AB ∥CD 可得，△AEF ∽△CDF ，所以21==DC AE FC AF 。
17、6.2 解析：本题考查黄金分割的有关知识，由题意知2AC BC AB =⨯，∴()21010AC AC =-⨯，解得x ≈6.2，故填6.2.．18、0.81π2m 解析：根据相似三角形的性质可以求得阴影部分的半径为0.9m 。
19、解：∵四边形ABCD 是矩形，AB=6 ∴∠A=∠D=90°，DC=AB=6又∵AE=9 ∴在Rt △ABE 中，由勾股定理得：BE=117692222=+=+AB AE∵ABE DEF △∽△，∴EF BE DE AB =，即EF11726=∴EF=3117 20、解：（1）因为48ADDB ，所以4812AB ADDB所以41123AD AB （2）因为DE BC ∥，所以ADE ABC △∽△所以DE ADBCAB因为3DE 所以313BC 所以9BC21、（1）△AMF ∽△BGM ，△DMG ∽△DBM ，△EMF ∽△EAM （写出两对即可） 以下证明△AMF ∽△BGM ．∵∠AFM ＝∠DME ＋∠E ＝∠A ＋∠E ＝∠BMG ，∠A ＝∠B ∴△AMF ∽△BGM ．（2）解：当α＝45°时，可得AC ⊥BC 且AC ＝BC ∵M 为AB 的中点，∴AM ＝BM ＝22分又∵AMF ∽△BGM ，∴AF BMAM BG=∴222283AM BM BG AF ⨯=== 又42cos454AC BC ===，∴84433CG =-=，431CF =-= ∴2222451()33FG CF CG =+=+=22、证明：（1）∵ 3,2AC DC = 63,42BC CE == ∴ .AC BC DC CE =又 ∠ACB =∠DCE =90°，∴ △ACB ∽△DCE ．（2）∵ △ACB ∽△DCE ，∴ ∠ABC ＝∠DEC ．又 ∠ABC ＋∠A =90°，∴ ∠DEC ＋∠A =90°． ∴ ∠EFA =90°． ∴ EF ⊥AB ．23、（1）画出原点O ，x 轴、y 轴．(21)B ，， （2）画出图形A B C '''△．（3）148162S =⨯⨯=． 24、解：（1）由题意可知：90BAC EDF BCA EFD ==︒∠=∠∠∠，．∴ABC DEF △∽△．∴AB AC DE DF =，即8060900DE =．∴DE =1200（cm ）．所以，学校旗杆的高度是12m ． （2）解法一：与①类似得：AB AC GN GH =，即8060156GN =．∴GN =208．在Rt NGH △中，根据勾股定理得： 2222156208260.NH =+=∴NH =260． 设O 的半径为r cm ，连结OM ，∵NH 切O 于M ，∴OM NH ⊥．则90OMN HGN =∠=︒∠，又ONM HNG =∠∠． ∴OMN HGN △∽△．∴OM ONHG HN=．又()8ON OK KN OK GN GK r =+=+-=+． ∴8156260r r +=，解得：r =12．所以，景灯灯罩的半径是12cm ．解法二：与①类似得：AB AC GN GH =，即8060156GN =．∴GN =208．设O 的半径为r cm ，连结OM ， ∵NH 切O 于M ，∴OM NH ⊥． 则90OMN HGN =∠=︒∠，又ONM HNG =∠∠，∴OMN HGN △∽△．∴OM MN HG GN =，即156208r MN=．∴43MN r =，又()8ON OK KN OK GN GK r =+=+-=+．在Rt OMN △中，根据勾股定理得：()222483r r r ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即29360r r --=．解得：12123r r ==-，（不合题意，舍去）所以，景灯灯罩的半径是12cm ．F图2图1 图3。