南京市鼓楼区中考一模数学试卷及答案
南京市鼓楼区2014年中考一模数学试卷注意事项：1．本试卷共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有 一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题．．卡．相应位置．．．．上） 1．下列方程组中，解是⎩⎨⎧x =-5，y =1的是A ．⎩⎨⎧x +y =6，x -y =4.B ．⎩⎨⎧x +y =6，x -y =-6.C ．⎩⎨⎧x +y =-4，x -y =-6.D ．⎩⎨⎧x +y =-4，x -y =-4.2．计算2×(－9)－18×(16－12)的结果是A ．－24B ．－12C ．－9D ．63．利用表格中的数据，可求出 3.24＋(4.123)2－190 的近似值是(结果保留整数)．4．把边长相等的正五边形ABGHI 和正六边形ABCDEF 的 AB 边重合，按照如图的方式叠合在一起，连接EB ，交 HI 于点K ，则∠BKI 的大小为5．反比例函数y ＝kx 和正比例函数y ＝mx 的部分图象如图所示．由此可以得到方程kx ＝mx 的实数根为A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x 1＝1，x 2＝－1D ．x 1＝1，x 2＝－2A ．3B ．4C ．5D ．6A ．90°B ．84°C ．72°D ．88°A B CDEFGH IK（第4题）6．如图， QQ 软件里的“礼盒”图标是一个表面印有黑色实线，顶端有图示箭头的正方体． 下列图形中，是该几何体的表面展开图的是二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题．．卡．相应位置．．．．上） 7．－3的绝对值等于 ▲ ． 8． (12＋8 )× 2 ＝ ▲ ． 9．使1x ＋2有意义的x 的取值范围是 ▲ ．10． (2×103)2×(3×10－3) ＝ ▲ ．（结果用科学计数法表示）11．已知⊙O 1，⊙O 2没有公共点．若⊙O 1的半径为4，两圆圆心距为5，则⊙O 2的半径可以是 ▲ ．（写出一个符合条件的值即可）12．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B ＝90°，连接AC ， ∠DAC ＝∠BAC ．若BC ＝4cm ，AD ＝5cm ，则梯形ABCD 的周长为 ▲ cm ．13．如图，在□ABCD 中，∠A ＝70°，将□ABCD 绕顶点B 顺时 针旋转到□A 1BC 1D 1，当C 1D 1首次经过顶点C 时，旋转角 ∠ABA 1＝ ▲ °．A ．B ．C ．D ．AD CB（第12题）ACDC 1D 1A 1 （第13题）（第6题）14．某科研机构对我区400户有两个孩子的家庭进行了调查，得到了 表格中的数据，其中(男，女)代表第一个孩子是男孩，第二个孩子 是女孩，其余类推．由数据，请估计我区两个孩子家庭中男孩与女 孩的人数比为 ▲ ：▲ ．15．如图，⊙O 的半径是5，△ABC 是⊙O 的内接三角形，过圆心O 分别作AB 、BC 、AC 的垂线，垂足为E 、F 、G ，连接EF ． 若OG ＝2，则EF 为 ▲ ．16． 将一张长方形纸片按照图示的方式进行折叠： ①翻折纸片，使A 与DC 边的中点M 重合，折痕为EF ；②翻折纸片，使C 落在ME 上，点C 的对应点为H ，折痕为MG ；③翻折纸片，使B 落在ME 上，点B 的对应点恰与H 重合，折痕为GE ．根据上述过程，长方形纸片的长宽之比ABBC＝ ▲ ．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题．．卡．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：2x 2－4－12x －4．（第15题）ABCD（第16题）18．（6分）解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5＋3x ＞18，x 3≤4－x －22． 并写出不等式组的整数解．19．（8分）已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 在对角线BD 上，且BF ＝DE ． （1）求证：四边形AECF 是菱形．（2）若AB ＝2，BF ＝1，求四边形AECF 的面积．ABCDFE（第19题）20．（8分）甲、乙、丙三位歌手进入“我是歌手”的冠、亚、季军的决赛，他们通过抽签来决定演唱顺序．（1）求甲第一位出场的概率；（2）求甲比乙先出场的概率．22．（8分）（1）如图①，若BC ＝6，AC ＝4，∠C ＝60°，求△ABC 的面积S △ABC ； （2）如图②，若BC ＝a ，AC ＝b ，∠C ＝α，求△ABC 的面积S △ABC ；（3）如图③，四边形ABCD ，若AC ＝m ，BD ＝n ，对角线AC 、BD 交于O 点，它们所成 的锐角为β．求四边形ABCD 的面积S 四边形ABCD ．23．（8分）如图，把长为40cm ，宽为30cm 的长方形硬纸板，剪掉2个小正方形和2个小 长 方形（阴影部分即剪掉的部分），将剩余部分折成一个有盖．．的长方体盒子，设剪掉的小正 方形边长为x cm ．（纸板的厚度忽略不计）（1）长方体盒子的长、宽、高分别为 ▲ （单位：cm ）； （2）若折成的一个长方体盒子的表面积为950cm 2，求此时长方体盒子的体积．30cm40cm （第23题）OB CAB C A 60° A B C D β （图①） （图②） （图③） （第22题）α24．（8分）2014年2月，纯电动出租车在南京正式上路运行，下表是普通燃油出租车和纯电12元．（1）直接写出y 1、y 2关于x 的函数关系式，并注明对应的x 的取值范围； （2）在如下的同一个平面直角坐标系中，画出y 1、y 2关于x 的函数图象；（3）结合图象，求出当乘客打车的路程在什么范围内时，乘坐纯电动出租车更合算．25．（8分）如图,在□ABCD 中,过A 、B 、D 三点的⊙O 交BC 于点E,连接DE,∠CDE ＝∠DAE ． （1）判断四边形ABED 的形状，并说明理由； （2）判断直线DC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （3）若AB ＝3，AE ＝6，求CE 的长．y （元）（第24题）（第25题）26．（11分） 问题提出平面内不在同一条直线上的三点确定一个圆．那么平面内的四点(任意三点均不在同一 直线上），能否在同一个圆呢？ 初步思考设不在同一条直线上的三点A 、B 、C 确定的圆为⊙O ． ⑴当C 、D 在线段AB 的同侧时，如图①，若点D 在⊙O 上，此时有∠ACB ＝∠ADB ，理由是 ▲ ；如图②，若点D 在⊙O 内，此时有∠ACB ▲ ∠ADB ；如图③，若点D 在⊙O 外，此时有∠ACB ▲ ∠ADB ．（填“＝”、“＞”或“＜”）；由上面的探究，请直接写出A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上的条件： ▲ ． 类比学习（2）仿照上面的探究思路，请探究：当C 、D 在线段AB 的异侧时的情形．此时有 ▲ ， 此时有 ▲ ， 此时有 ▲ ．由上面的探究，请用文字语言直接写出A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上的条件： ▲ ． 拓展延伸（3）如何过圆上一点，仅用没有刻度的直尺，作出已知直径的垂线？ 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上． 求作：CN ⊥AB ．作法：①连接CA ，CB ；②在 ⌒CB上任取异于B 、C 的一点D ，连接DA ，DB ； ③DA 与CB 相交于E 点，延长AC 、BD ，交于F 点；④连接F 、E 并延长，交直径AB 于M ；⑤连接D 、M 并延长，交⊙O 于N ．连接CN ． 则CN ⊥AB ．图①图②图③图④请按上述作法在图④中作图，并说明CN ⊥AB 的理由．（提示：可以利用（2）中的结论）27．（9分）【课本节选】反比例函数y ＝kx (k 为常数,k ≠0)的图象是双曲线.当k ＞0时，双曲线两个分支分别在一、三象限,在每一个象限内,y 随x 的增大而减小（简称增减性）；反比例函数的图象关于原点对称（简称对称性）．这些我们熟悉的性质，可以通过说理得到吗？ 【尝试说理】我们首先对反比例函数y ＝kx （k ＞0）的增减性来进行说理．如图，当x ＞0时．在函数图象上任意取两点A 、B ，设A (x 1，k x 1)，B (x 2，kx 2)，且0＜x 1＜ x 2．下面只需要比较k x 1和kx 2的大小．k x 2—k x 1＝k (x 1－x 2) x 1 x 2． ∵0＜x 1＜ x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1 x 2＞0，且 k ＞0． ∴k (x 1－x 2) x 1 x 2＜0．即k x 2＜k x 1．（第27题）备用图这说明：x 1＜ x 2时，k x 1＞kx 2．也就是：自变量值增大了，对应的函数值反而变小了．即：当x ＞0时，y 随x 的增大而减小． 同理，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小．（1）试说明：反比例函数y ＝ kx （k ＞0）的图象关于原点对称．【运用推广】（2）分别写出二次函数y ＝ax 2 (a ＞0，a 为常数)的对称性和增减性，并进行说理． 说理：（3）对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，a ，b ，c 为常数)，请你从增减性的角度．．．．．．．，简要解释为何当x ＝—b2a时函数取得最小值．鼓楼区2013-2014学年度第二学期调研测试卷九年级数学(一）参考答案与评分标准说明：本评分标准每题给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）7．3 8．5 9．x ≠－2 10．1.2×104 11．答案不唯一,如0.5（满足0＜r ＜1或r ＞9即可）12．22 13． 40 14． 417︰383 15． 21 16．2 三、解答题（本大题共11小题，共88分．）17．（6分）解：原式＝2(x ＋2)(x －2)－12(x －2)········································· 2分＝2－x2(x ＋2)(x －2) ······················································· 4分＝－12x ＋4． ··························································· 6分18．（6分）解：解不等式①，得x ＞133； ······································································ 2分解不等式②，得x ≤6． ······································································· 4分 所以原不等式组的解集为133＜x ≤6． ······················································ 5分它的整数解为5，6． ·········································································· 6分 19．（8分）（1）连接AC ，AC 交BD 于点O ． 在正方形ABCD 中，OB ＝OD ，OA ＝OC ，AC ⊥BD ． ∵BF ＝DE ，∴OB －BF ＝OD －DE ，即OF ＝OE ． ∴四边形AECF 是平行四边形． 又∵AC ⊥EF ，∴□AECF 是菱形． ············································································ 4分 （2）∵AB ＝2，∴AC ＝BD ＝AB 2＋AD 2＝22． ∴OA ＝OB ＝BD2＝2． ∵BF ＝1，∴OF ＝OB －BF ＝2－1．∴S 四边形AECF ＝12AC ·EF ＝12×22×2(2－1)＝4－22． ······························ 8分20．（8分）解：所有可能出现的结果如下：······································································································ 5分以上共有6种等可能的结果．其中甲第一位出场的结果有2种,甲比乙先出场的结果有3种． 所以P （甲第一位出场）＝26＝13． ························································· 7分P （甲比乙先出场）＝36＝12． ·························································· 8分（注：用树状图列举所有结果参照以上相应步骤给分．） 21．（8分）解：（1）不合理．因为如果1000人全部在金融行业抽取，那么全市城镇非私营单位员工被抽到的机会不相等，样本不具有代表性和广泛性． ···························· 2分 （2）·················································································· 6分 （3）本题答案不惟一，下列解法供参考．用平均数反映月收入情况不合理.由数据可以看出1000名被调查者中有670人的月收入不超过4000元，月收入的平均数受高收入者和低收入者收入变化的影响较大，月收入的中位数几乎不受高低两端收入变化的影响，因此，用月收入的中位数反映月收入水平更合理． ·················································································· 8分 （注：对于（1）（3）两问，学生回答只要合理，应酌情给分．）人数市城镇非私营单位1 000人月收入统计图以下4000 ～ 6000 6000 ～ 8000以上2000 ～ 400022．（8分）（1）如图①，过点A 作AH ⊥BC ，垂足为H ． 在Rt △AHC 中，AHAC＝sin60°，∴AH ＝AC ·sin60°＝4×32＝23． ∴S △ABC ＝12×BC ×AH ＝12×6×23＝63．…………………………………………3分（2）如图②，过点A 作AH ⊥BC ，垂足为H ． 在Rt △AHC 中，AHAC ＝sin α，∴AH ＝AC ·sin α＝b sin α．∴S △ABC ＝12×BC ×AH ＝12ab sin α．……………………………………………………5分（3）如图③，分别过点A ，C 作AH ⊥BD ，CG ⊥BD ，垂足为H ，G ． 在Rt △AHO 与Rt △CGO 中，AH ＝OA sin β，CG ＝OC sin β； 于是，S △ABD ＝12×BD ×AH ＝12n ×OA sin β；S △BCD ＝12×BD ×CG ＝12n ×OC sin β；∴S 四边形ABCD ＝ S △ABD ＋S △BCD ＝12n ×OA sin β＋12n ×OC sin β＝12n ×(OA ＋OC )sin β＝12m n sin β．……………………………………………………………………8分23．（8分）解：（1）30－2x 、20－x 、x ； ························································· 3分 （2）根据图示，可得2(x 2＋20x )＝30×40－950 解得x 1＝5，x 2＝－25（不合题意，舍去）长方体盒子的体积V ＝(30－2×5)×5×(20－5)＝20×5×15＝1500（cm 3）． 答：此时长方体盒子的体积为1500 cm 3．···································· 8分 24．（8分）（1）y 1＝⎩⎪⎨⎪⎧11，（x ≤3）2.4x ＋3.8，(x ＞3)y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧9，（x ≤2.5）2.9x ＋1.75，(x ＞2.5) ····························································· 4分（图①）（图②）（图③）（2）画图正确． ················ 6分（3）由2.4x ＋3.8＝2.9x ＋1.75，解得，x ＝4.1．∴ 结合图象可知，当乘客打车的路程不超过 4.1公里时，乘坐纯电动出租车合算． ······································································································ 8分 25．（8分）（1）四边形ABED 是等腰梯形．理由如下：在□ABCD 中，AD ∥BC ， ∴∠DAE ＝∠AEB ． ∴ ⌒DE＝ ⌒AB ，DE ＝AB ． ∵AB ∥CD ，∴AB 与DE 不平行． ∴四边形ABDE 是等腰梯形． ······················································· 2分（2）直线DC 与⊙O 相切． 如图，作直径DF ，连接AF ． 于是，∠EAF ＝∠EDF ． ∵∠DAE ＝∠CDE ，∴∠EAF ＋∠DAE ＝∠EDF ＋∠CDE ，即∠DAF ＝∠CDF ． ∵DF 是⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∴∠DAF ＝90°，∴∠CDF ＝90°．∴OD ⊥CD ． 直线DC 经过⊙O 半径OD 外端D ，且与半径垂直，直线DC 与⊙O 相切． ·································································· 5分 （3）由（1），∠EDA ＝∠DAB ． 在□ABCD 中，∠DAB ＝∠DCB ，∴∠EDA ＝∠DCB ．又∵∠DAE ＝∠CDE ，∴△ADE ∽△DCE ．∴AE DE ＝DE CE ，∵AB ＝3，由（1）得，AB ＝DE ＝DC ＝3．即 63＝3DE．解得，CE ＝32．…………………………………………………………………………8分y （元）26．（11分）（1）同弧所对的圆周角相等． ∠ACB ＜∠ADB ，∠ACB ＞∠ADB ．答案不惟一，如：∠ACB ＝∠ADB ． ·················································· 4分 （2）如图：此时∠ACB ＋∠ADB ＝180°, 此时∠ACB ＋∠ADB ＞180°, 此时∠ACB ＋∠ADB ＜180 若四点组成的四边形对角互补，则这四点在同一个圆上．······································································································ 8分 （3）作图正确． ··············································································· 9分 ∵AB 是⊙O 的直径，C 、D 在⊙O 上， ∴∠ACB ＝90°，∠ADB ＝90°． ∴点E 是△ABF 三条高的交点． ∴FM ⊥AB ． ∴∠EMB ＝90°． ∠EMB ＋∠EDB ＝180°， ∴点E ，M ，B ，D 在同一个圆上． ∴∠EMD ＝∠DBE ．又∵点N ，C ，B ，D 在⊙O 上， ∴∠DBE ＝∠CND ，∠EMD ＝∠CND ． ∴FM ∥CN ．∴∠CPB ＝∠EMB ＝90°．∴CN ⊥AB ． ···················································································· 11分 （注：其他正确的说理方法参照给分．） 27．(9分)（1）在反比例函数y ＝kx （k ＞0）的图象上任取一点P (m ，n )，于是：mn ＝k ．那么点P 关于原点的对称点为P 1(－m ，－n )．而(－m )(－n )＝mn ＝k ， 这说明点P 1也必在这个反比例函数y ＝kx的图象上．所以反比例函数y ＝ kx（k ＞0）的图象关于原点对称．…………………………2分（2）对称性：二次函数y ＝ax 2 (a ＞0，a 为常数)的图象关于y 轴成轴对称． 增减性：当x ＞0时，y 随x 增大而增大；当x ＜0时，y 随x 增大而减小． 理由如下：①在二次函数y ＝ax 2 (a ＞0，a 为常数) 的图象上任取一点Q (m ，n )，于是n ＝am 2． 那么点Q 关于y 轴的对称点Q 1(－m ，n )．而n ＝a (－m )2，即n ＝am 2． 这说明点Q 1也必在在二次函数y ＝ax 2 (a ＞0，a 为常数) 的图象上． ∴二次函数y ＝ax 2 (a ＞0，a 为常数)的图象关于y 轴成轴对称，②在二次函数y ＝ax 2 (a ＞0,a 为常数)的图象上任取两点A 、B,设A (m ，am 2), B (n ，an 2) ，且0＜m ＜n ． 则an 2－am 2＝a (n ＋m )(n －m ) ∵n ＞m ＞0，∴n ＋m ＞0，n －m ＞0； ∵a ＞0，∴an 2－am 2＝a (n ＋m )(n －m )＞0．即an 2＞am 2． 而当m ＜n ＜0时， n ＋m ＜0，n －m ＞0； ∵a ＞0，∴an 2－am 2＝a (n ＋m )(n －m )＜0．即an 2＜am 2．这说明，当x ＞0时，y 随x 增大而增大；当x ＜0时，y 随x 增大而减小． ······························································································· 7分 （3）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，a ，b ，c 为常数) 的图象可以由y ＝ax 2的图象通过平 移得到，关于直线x ＝—b 2a 对称，当x ＝—b2a 时，y ＝4ac －b 24a．由（2），当x ≥—b 2a 时，y 随x 增大而增大；也就是说，只要自变量x ≥—b2a ，其对应的函数值y ≥4ac －b 24a ；而当x ≤—b2a 时，y 随x 增大而减小，也就是说，只要自变量x≤—b2a ，其对应的函数值y ≥4ac －b 24a ．综上，对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，a ，b ，c为常数)，当x ＝—b 2a时取得最小值4ac －b 24a．······································································································ 9分。
2024届江苏省南京市鼓楼区鼓楼实验中学中考数学全真模拟试题含解析
2024届江苏省南京市鼓楼区鼓楼实验中学中考数学全真模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．等腰三角形两边长分别是2 cm 和5 cm ，则这个三角形周长是（ ）A ．9 cmB ．12 cmC ．9 cm 或12 cmD ．14 cm2．如果数据x 1，x 2，…，x n 的方差是3，则另一组数据2x 1，2x 2，…，2x n 的方差是（ ）A ．3B ．6C ．12D ．53．某青年排球队12名队员年龄情况如下： 年龄18 19 20 21 22 人数 1 4 3 2 2则这12名队员年龄的众数、中位数分别是（ ）A ．20，19B ．19，19C ．19，20.5D ．19，204．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．下列四个图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如果关于x 的方程220x x c ++=没有实数根，那么c 在2、1、0、3-中取值是（ ）A ．2；B ．1；C ．0；D ．3-．7．下列运算中，计算结果正确的是（ ）A ．a 2•a 3=a 6B ．a 2+a 3=a 5C ．（a 2）3=a 6D ．a 12÷a 6=a 2 8．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，若BC=2，则EF 的长度为（ ）A．B．1 C．D．9．用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，配方后所得的方程是（）A．（x﹣2）2＝3 B．（x+2）2＝3 C．（x﹣2）2＝﹣3 D．（x+2）2＝﹣310．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D 为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（）A．312B．36C．33D．3211．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（）A．10000x﹣10=14700(140)0x+B．10000x+10=14700(140)0x+C．10000(140)0x-﹣10=14700xD．10000(140)0x-+10=14700x12．如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一直线上，且AB=2，BC=1．连接AI，交FG于点Q，则QI=（）A．1 B 61C66D．43二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东方向60°，距离灯塔为4海里的点A 处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，海轮航行的距离AB 长_____海里．14．为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买_____个．15．分解因式2242xy xy x ++=___________16．如图是由两个长方体组合而成的一个立体图形的三视图，根据图中所示尺寸（单位：mm ），计算出这个立体图形的表面积．17．已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，且半径OC ⊥AB ，点D 在半径OB 的延长线上，且∠A=∠BCD=30°，AC=2，则由BC ，线段CD 和线段BD 所围成图形的阴影部分的面积为__．18．在ABC 中，A ∠：B ∠：C ∠=1：2：3，CD AB ⊥于点D ，若AB 10=，则BD =______三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和直线m ，给出如下定义：若存在一点P ，使得点P 到直线m 的距离等于1，则称P 为直线m 的平行点．（1）当直线m 的表达式为y ＝x 时，①在点()11,1P ，(22P ，322P ⎛ ⎝⎭中，直线m 的平行点是______； ②⊙O 10，点Q 在⊙O 上，若点Q 为直线m 的平行点，求点Q 的坐标．（2）点A 的坐标为（n ，0），⊙A 半径等于1，若⊙A 上存在直线3y x =的平行点，直接写出n 的取值范围．20．（6分）如图所示，点C为线段OB的中点，D为线段OA上一点．连结AC、BD交于点P．（问题引入）（1）如图1，若点P为AC的中点，求ADDO的值．温馨提示：过点C作CE∥AO交BD于点E．（探索研究）（2）如图2，点D为OA上的任意一点（不与点A、O重合），求证：PD AD PB AO=．（问题解决）（3）如图2，若AO=BO，AO⊥BO，14ADAO=，求tan∠BPC的值．21．（6分）西安汇聚了很多人们耳熟能详的陕西美食．李华和王涛同时去选美食，李华准备在“肉夹馍（A）、羊肉泡馍（B）、麻酱凉皮（C）、（biang）面（D）”这四种美食中选择一种，王涛准备在“秘制凉皮（E）、肉丸胡辣汤（F）、葫芦鸡（G）、水晶凉皮（H）”这四种美食中选择一种．（1）求李华选择的美食是羊肉泡馍的概率；（2）请用画树状图或列表的方法，求李华和王涛选择的美食都是凉皮的概率．22．（8分）已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（I）如图①，若BC为⊙O的直径，求BD、CD的长；（II）如图②，若∠CAB=60°，求BD、BC的长．23．（8分）如图，∠A＝∠D，∠B＝∠E，AF＝DC．求证：BC＝EF．24．（10分）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．求证：△ABM ∽△EFA ；若AB=12，BM=5，求DE 的长．25．（10分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB 的两个端点均在小正方形的顶点上．在图中画出以线段AB 为一边的矩形ABCD （不是正方形），且点C 和点D 均在小正方形的顶点上；在图中画出以线段AB 为一腰，底边长为22的等腰三角形ABE ，点E 在小正方形的顶点上，连接CE ，请直接写出线段CE 的长．26．（12分）如图，在△ABC 中，∠C=90°．作∠BAC 的平分线AD ，交BC 于D ；若AB=10cm ，CD=4cm ，求△ABD 的面积．27．（12分）先化简，再求值：222221412()x x x x x x x x-+-+÷-+，且x 为满足﹣3＜x ＜2的整数．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、B【解题分析】当腰长是2 cm 时，因为2+2<5，不符合三角形的三边关系，排除；当腰长是5 cm 时，因为5+5>2，符合三角形三边关系，此时周长是12 cm ．故选B ．2、C【解题分析】【分析】根据题意，数据x 1，x 2，…，x n 的平均数设为a ，则数据2x 1，2x 2，…，2x n 的平均数为2a ，再根据方差公式进行计算：()()()()222221231n S x x x x x x x x n ⎡⎤=-+-+-++-⎣⎦即可得到答案． 【题目详解】根据题意，数据x 1，x 2，…，x n 的平均数设为a ，则数据2x 1，2x 2，…，2x n 的平均数为2a ， 根据方差公式：()()()()222221231n S x a x a x a x a n ⎡⎤=-+-+-++-⎣⎦=3， 则()()()()22222123122222222n S x a x a x a x a n ⎡⎤=-+-+-++-⎣⎦ =()()()()222212314444n x a x a x a x a n ⎡⎤-+-+-++-⎣⎦ =4×()()()()22221231n x a x a x a x a n ⎡⎤-+-+-++-⎣⎦ =4×3=12，故选C ．【题目点拨】本题主要考查了方差公式的运用，关键是根据题意得到平均数的变化，再正确运用方差公式进行计算即可．3、D【解题分析】先计算出这个队共有1+4+3+2+2=12人，然后根据众数与中位数的定义求解．【题目详解】这个队共有1+4+3+2+2=12人，这个队队员年龄的众数为19，中位数为20202+=1． 故选D ．【题目点拨】本题考查了众数：在一组数据中出现次数最多的数叫这组数据的众数．也考查了中位数的定义．4、D【解题分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【题目详解】解：A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；B 、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；C 、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，符合题意．故选D．【题目点拨】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，解答时要注意：判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部沿对称轴叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．5、D【解题分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．【题目详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、是轴对称图形，不是中心对称图形；D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故选D．【题目点拨】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6、A【解题分析】分析：由方程根的情况，根据根的判别式可求得c的取值范围，则可求得答案．详解：∵关于x的方程x1+1x+c=0没有实数根，∴△＜0，即11﹣4c＜0，解得：c＞1，∴c在1、1、0、﹣3中取值是1．故选A．点睛：本题主要考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．7、C【解题分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相减；同底数幂相除，底数不变指数相减对各选项分析判断即可得解．【题目详解】A、a2•a3=a2+3=a5，故本选项错误；B、a2+a3不能进行运算，故本选项错误；C 、（a 2）3=a 2×3=a 6，故本选项正确；D 、a 12÷a 6=a 12﹣6=a 6，故本选项错误．故选：C ．【题目点拨】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．8、B【解题分析】根据题意求出AB 的值，由D 是AB 中点求出CD 的值，再由题意可得出EF 是△ACD 的中位线即可求出.【题目详解】∠ACB=90°，∠A=30°，BC=AB.BC=2, AB=2BC=22=4,D 是AB 的中点, CD=AB= 4=2.E,F 分别为AC,AD 的中点,EF 是△ACD 的中位线. EF=CD= 2=1.故答案选B.【题目点拨】本题考查的知识点是三角形中位线定理，解题的关键是熟练的掌握三角形中位线定理.9、A【解题分析】方程变形后，配方得到结果，即可做出判断．【题目详解】方程2410x x +=﹣，变形得：241x x =﹣﹣，配方得：24414x x +=+﹣﹣，即223x =（﹣），故选A ．本题考查的知识点是了解一元二次方程﹣配方法，解题关键是熟练掌握完全平方公式．10、B【解题分析】试题解析：如图所示：设BC=x，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，∴AC=2BC=2x，AB33，根据题意得：AD=BC=x，AE=3，作EM⊥AD于M，则AM=12AD=12x，在Rt△AEM中，cos∠EAD=13263xAMAE x==；故选B．【题目点拨】本题考查了解直角三角形、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数等，通过作辅助线求出AM是解决问题的关键.11、B【解题分析】根据题意表示出衬衫的价格，利用进价的变化得出等式即可．【题目详解】解：设第一批购进x件衬衫，则所列方程为：10000x +10=()147001400x+．故选B．此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题关键．12、D【解题分析】解：∵△ABC 、△DCE 、△FEG 是三个全等的等腰三角形，∴HI =AB =2，GI =BC =1，BI =2BC =2，∴AB BI =24=12BC AB ，=12，∴AB BI =BC AB ．∵∠ABI =∠ABC ，∴△ABI ∽△CBA ，∴AC AI =AB BI．∵AB =AC ，∴AI =BI =2．∵∠ACB =∠FGE ，∴AC ∥FG ，∴QI AI =GI CI =13，∴QI =13AI =43．故选D ． 点睛：本题主要考查了平行线分线段定理，以及三角形相似的判定，正确理解AB ∥CD ∥EF ，AC ∥DE ∥FG 是解题的关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、1【解题分析】分析：首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA=60°，AP=4海里，∠ABP=90°，再由AB ∥NP ，根据平行线的性质得出∠A=∠NPA=60°．然后解Rt △ABP ，得出AB=AP•cos ∠A=1海里．详解：如图，由题意可知∠NPA=60°，AP=4海里，∠ABP=90°．∵AB ∥NP ，∴∠A=∠NPA=60°．在Rt △ABP 中，∵∠ABP=90°，∠A=60°，AP=4海里，∴AB=AP•cos ∠A=4×cos60°=4×12=1海里．故答案为1．点睛：本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，平行线的性质，三角函数的定义，正确理解方向角的定义是解题的关键．14、1【解题分析】设购买篮球x 个，则购买足球()50x -个，根据总价=单价⨯购买数量结合购买资金不超过3000元，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之取其中的最大整数即可．【题目详解】设购买篮球x 个，则购买足球()50x -个，根据题意得：()80x 5050x 3000+-≤， 解得：50x 3≤． x 为整数， x ∴最大值为1．故答案为1． 【题目点拨】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．15、22(1)x y +【解题分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【题目详解】原式＝2x （y 2＋2y ＋1）＝2x （y ＋1）2， 故答案为2x （y ＋1）2 【题目点拨】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 16、100 mm 1 【解题分析】首先根据三视图得到两个长方体的长，宽，高，在分别表示出每个长方体的表面积，最后减去上面的长方体与下面的长方体的接触面积即可． 【题目详解】根据三视图可得：上面的长方体长4mm ，高4mm ，宽1mm ， 下面的长方体长8mm ，宽6mm ，高1mm ，∴立体图形的表面积是：4×4×1+4×1×1+4×1+6×1×1+8×1×1+6×8×1-4×1=100（mm 1）． 故答案为100 mm 1． 【题目点拨】此题主要考查了由三视图判断几何体以及求几何体的表面积，根据图形看出长方体的长，宽，高是解题的关键．17、﹣23π． 【解题分析】试题分析：根据题意可得：∠O=2∠A=60°，则△OBC 为等边三角形，根据∠BCD=30°可得：∠OCD=90°，OC=AC=2，则CD=OCD122S =⨯=OBC 60423603S ππ⨯==扇形，则23S π=阴影． 18、2.1 【解题分析】先求出△ABC 是∠A 等于30°的直角三角形，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求解． 【题目详解】解：根据题意，设∠A 、∠B 、∠C 为k 、2k 、3k ， 则k+2k+3k=180°， 解得k=30°， 2k=60°， 3k=90°， ∵AB=10， ∴BC=12AB=1， ∵CD ⊥AB ， ∴∠BCD=∠A=30°， ∴BD=12BC=2.1． 故答案为2.1． 【题目点拨】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质和三角形内角和定理，掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半、求出△ABC 是直角三角形是解本题的关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（1）①2P ，3P ;②，(-，(，(-;（2）33n -≤≤．【解题分析】(1)①根据平行点的定义即可判断；②分两种情形：如图1，当点B 在原点上方时，作OH ⊥AB 于点H ，可知OH=1.如图2，当点B 在原点下方时，同法可求；(2)如图，直线OE 的解析式为y =，设直线BC//OE 交x 轴于C ，作CD ⊥OE 于D. 设⊙A 与直线BC 相切于点F ，想办法求出点A 的坐标，再根据对称性求出左侧点A 的坐标即可解决问题；【题目详解】解：（1）①因为P 2、P 3到直线y ＝x 的距离为1，所以根据平行点的定义可知，直线m 的平行点是2P ，3P ， 故答案为2P ，3P ．②解：由题意可知，直线m 的所有平行点组成平行于直线m ，且到直线m 的距离为1的直线． 设该直线与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．如图1，当点B 在原点上方时，作OH ⊥AB 于点H ，可知OH ＝1．由直线m 的表达式为y ＝x ，可知∠OAB ＝∠OBA ＝45°． 所以2OB =．直线AB 与⊙O 的交点即为满足条件的点Q ． 连接1OQ ，作1Q N y ⊥轴于点N ，可知110OQ = 在1Rt OHQ ∆中，可求13HQ =． 所以12BQ =．在1Rt BHQ ∆中，可求12NQ NB = 所以22ON =． 所以点1Q 的坐标为2,22．同理可求点2Q 的坐标为(22,2--．如图2，当点B 在原点下方时，可求点3Q 的坐标为()22,2点4Q 的坐标为()2,22--， 综上所述，点Q 的坐标为()2,22，()22,2--，()22,2，()2,22--．（2）如图，直线OE 的解析式为3y x =，设直线BC ∥OE 交x 轴于C ，作CD ⊥OE 于D ．当CD ＝1时，在Rt △COD 中，∠COD ＝60°， ∴23sin 60CD OC ==︒， 设⊙A 与直线BC 相切于点F ， 在Rt △ACE 中，同法可得23AC =∴33OA =， ∴433n =根据对称性可知，当⊙A 在y 轴左侧时，43n =，观察图象可知满足条件的N的值为：434333n-≤≤．【题目点拨】此题考查一次函数综合题、直线与圆的位置关系、锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．20、（1）12；(2) 见解析；(3)12【解题分析】（1）过点C作CE∥OA交BD于点E，即可得△BCE∽△BOD，根据相似三角形的性质可得CE BCOD BO=，再证明△ECP≌△DAP，由此即可求得ADDO的值；（2）过点D作DF∥BO交AC于点F，即可得PD DFPB BC=，AD DFAO OC=，由点C为OB的中点可得BC=OC，即可证得PD ADPB AO=；（3）由（2）可知PD ADPB AO==14，设AD=t，则BO=AO=4t，OD=3t，根据勾股定理求得BD=5t，即可得PD=t，PB=4t，所以PD=AD，从而得∠A=∠APD=∠BPC，所以tan∠BPC=tan∠A=12 OCOA=．【题目详解】（1）如图1，过点C作CE∥OA交BD于点E，∴△BCE∽△BOD，∴=，又BC=BO，∴CE=DO．∵CE∥OA，∴∠ECP=∠DAP，又∠EPC=∠DPA，PA=PC，∴△ECP≌△DAP，∴AD=CE=DO，即=；（2）如图2，过点D作DF∥BO交AC于点F，则=，=．∵点C为OB的中点，∴BC=OC，∴=；（3）如图2，∵=，由（2）可知==．设AD=t，则BO=AO=4t，OD=3t，∵AO⊥BO，即∠AOB=90°，∴BD==5t，∴PD=t，PB=4t，∴PD=AD，∴∠A=∠APD=∠BPC，则tan∠BPC=tan∠A==．【题目点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，准确作出辅助线，构造相似三角形是解决本题的关键，也是求解的难点．21、（1）14；（2）见解析.【解题分析】（1）直接根据概率的意义求解即可；（2）列出表格，再找到李华和王涛同时选择的美食都是凉皮的情况数，利用概率公式即可求得答案．【题目详解】解：（1）李华选择的美食是羊肉泡馍的概率为；（2）列表得：E F G HA AE AF AG AHB BE BF BG BHC CE CF CG CHD DE DF DG DH由列表可知共有16种情况，其中李华和王涛选择的美食都是凉皮的结果数为2，所以李华和王涛选择的美食都是凉皮的概率为=．【题目点拨】本题涉及树状图或列表法的相关知识，难度中等，考查了学生的分析能力．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22、（1）2（2）BD=5，3【解题分析】（1）利用圆周角定理可以判定△DCB是等腰直角三角形，利用勾股定理即可解决问题；（2）如图②，连接OB，OD．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD=OB=OD=5，再根据垂径定理求出BE即可解决问题.【题目详解】（1）∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB=∠BDC=90°．∵AD平分∠CAB，∴DC BD，∴CD=BD．在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，∴2，（2）如图②，连接OB，OD，OC，∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，∴∠DAB=12∠CAB=30°，∴∠DOB=2∠DAB=60°．又∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴BD=OB=OD．∵⊙O的直径为10，则OB=5，∴BD=5，∵AD平分∠CAB，∴DC BD，∴OD⊥BC，设垂足为E，∴53，∴3．【题目点拨】本题考查圆周角定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．23、证明见解析.【解题分析】想证明BC=EF，可利用AAS证明△ABC≌△DEF即可．【题目详解】解：∵AF＝DC，∴AF+FC＝FC+CD，∴AC＝FD，在△ABC 和△DEF 中，A DB E AC DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF （AAS ） ∴BC ＝EF ． 【题目点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 24、（1）见解析；（2）4.1 【解题分析】试题分析：（1）由正方形的性质得出AB=AD ，∠B=10°，AD ∥BC ，得出∠AMB=∠EAF ，再由∠B=∠AFE ，即可得出结论；（2）由勾股定理求出AM ，得出AF ，由△ABM ∽△EFA 得出比例式，求出AE ，即可得出DE 的长． 试题解析：（1）∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB=AD ，∠B=10°，AD ∥BC ， ∴∠AMB=∠EAF ， 又∵EF ⊥AM ， ∴∠AFE=10°， ∴∠B=∠AFE ， ∴△ABM ∽△EFA ；（2）∵∠B=10°，AB=12，BM=5， ∴，AD=12， ∵F 是AM 的中点， ∴AF=12AM=6.5， ∵△ABM ∽△EFA ， ∴BM AMAF AE =， 即5136.5AE=， ∴AE=16.1， ∴DE=AE-AD=4.1．考点：1.相似三角形的判定与性质；2.正方形的性质．25、作图见解析；CE=4.【解题分析】分析：利用数形结合的思想解决问题即可.详解：如图所示，矩形ABCD和△ABE即为所求；CE=4.点睛：本题考查作图-应用与设计、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用思想结合的思想解决问题．26、（1）答案见解析；（2）220cm【解题分析】(1)根据三角形角平分线的定义,即可得到AD;(2)过D作于DE⊥ABE,根据角平分线的性质得到DE=CD=4,由三角形的面积公式即可得到结论.【题目详解】解:(1)如图所示,AD即为所求;(2)如图,过D作DE⊥AB于E,∵AD平分∠BAC,∴DE=CD=4,∴S△ABD=12AB·DE=20cm2.【题目点拨】掌握画角平分线的方法和角平分线的相关定义知识是解答本题的关键.27、-5【解题分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【题目详解】原式=[2(1)(1)xx x--+(2)(2)(2)x xx x-++]÷1x=（1xx-+2xx-）•x=x﹣1+x﹣2=2x﹣3由于x≠0且x≠1且x≠﹣2，所以x=﹣1，原式=﹣2﹣3=﹣5【题目点拨】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．。
2023年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷及答案解析
2023年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）的值为（）A．6B．﹣6C．±6D．362．（2分）在过去10年里，我国国土绿化工程取得重大进展，新增森林面积超过22000000公顷．用科学记数法表示22000000是（）A．22×106B．2.2×106C．22×107D．2.2×107 3．（2分）下列计算正确的是（）A．a•a•a＝3a B．5+x＝5x C．y+y+y+y＝4y D．2x﹣x＝2 4．（2分）用一个平面去截正方体（如图），剩余几何体的主视图不可能是（）A．B．C．D．5．（2分）将半径为5的⊙O如图折叠，折痕AB长为8，C为折叠后的中点，则OC长为（）A．2B．C．1D．6．（2分）如图，O为△ABC的外心，四边形OCDE为正方形．以下结论：①O是△ABE 的外心；②O是△ACD的外心；③直线DE与△ABC的外接圆相切．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置）7．（2分）计算：|﹣2|＝；（﹣2）0＝．8．（2分）若式子有意义，则x的取值范围是．9．（2分）计算的结果是．10．（2分）已知扇形的半径为4，弧长为π，则该扇形的面积为．11．（2分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+4＝0的两个实数根，则的值为．12．（2分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（1，2），B（﹣1，﹣2），C（5，﹣2），AC交x轴于点D，则OD的长为．13．（2分）如图，在▱ABCD中，点E在AD上，AE＝2ED，射线BE交CD的延长线于点F，若S△DEF＝1，则S△BCF的值为．14．（2分）如图，点I是△ABC的内心．若∠IAB＝34°，∠IBC＝36°，则∠ICA的度数是°．15．（2分）某同学的眼睛到黑板的距离是6m，课本上的文字大小为0.4cm×0.35cm．要使这名同学看黑板上的字时，与他看相距30cm的课本上的字的感觉相同，老师在黑板上写的文字大小应约为（答案请按同一形式书写）．16．（2分）要使反比例函数y＝的图象经过点（3，4），以下对该图象进行变化的方案中可行的是（只填序号）．①向上平移3个单位长度；②先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度；③沿直线y＝3轴对称；④先沿直线x＝2轴对称，再向右平移1个单位长度．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解不等式组，并写出该不等式组的整数解．18．（8分）计算：．19．（8分）某车间加工1500个零件后，由于技术革新，工作效率提高到原来的2.5倍，当再加工同样多的零件时，用时比以前少18h．该车间技术革新前每小时加工多少个零件？20．（8分）如图，O为矩形ABCD的对角线AC的中点，过O作EF⊥AC分别交AD，BC 于点E，F．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AB＝6，BC＝12，求菱形AFCE的面积．21．（8分）4张卡片上分别写有数字1，2，﹣3，4，除标记数字外它们完全相同．从这4张卡片中随机抽取2张．（1）求“抽取两张卡片的数字都是正数”的概率；（2）下列事件中，概率小于的是（填写正确说法的序号）．①抽取的两个数乘积为负数；②抽取的两个数乘积为正数；③抽取的两个数之和为负数；④抽取的两个数之和为正数．22．（8分）某水果店过去20天苹果的日销售量（单位：kg）从小到大记录如下：40，42，44，45，46，48，52，52，53，54，55，56，57，58，59，61，63，64，65，66．（1）估计该水果店本月（按30天计算）的销售总量；（2）一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求，店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能在进货量上75%地满足顾客需求（即将100天的销售量从小到大排序后，进货量不小于第75个数据），则苹果的日进货量应为多少千克？23．（8分）已知二次函数y＝x2+（a﹣2）x+3的图象经过点（2，3）．（1）求该二次函数的表达式；（2）当0＜x＜3时，y的取值范围为；（3）已知点P（m﹣1，y1），点Q（m，y2）在该二次函数的图象上若y1＞y2，直接写出m的取值范围．24．（8分）为测量建筑物DE的高度，小明从建筑物AB的A处测得E处的仰角为37°，C 处的俯角为22°，从C处测得E处的仰角为58°．已知B，C，D在同一直线上，AB 高为6.8m．求建筑物DE的高度．（参考数据：tan37°≈，tan22°≈，tan58°≈）25．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与x轴、y轴交于点A，B．（1）用“＞、＝、＜”号填空：k0，b0；（2）用直尺和圆规作出下列函数的图象（保留作图痕迹）①y＝kx﹣b；②y＝2kx+2b；③y＝﹣kx+2b．26．（8分）过⊙O上一点A，可以用尺规按以下方法作出⊙O的切线：①另取⊙O上一点B，以B为圆心，AB为半径作圆，将⊙B与⊙O的另一个交点记为点C；②以A为圆心，AC为半径作弧，将⊙A与⊙B的另一个交点记为点D，作直线AD．直线AD即为⊙O的切线．如图，小明已经完成了作图步骤①．（1）用尺规完成作图步骤②；（2）连接AC，AB，BC，BD，求证：AB平分∠CAD；（3）求证：直线AD为⊙O的切线．27．（8分）已知函数y＝ax3+bx2+cx（a，b，c为常数，且a≠0）的图象是中心对称图形．用数学软件在相同的坐标系中得到以下函数的图象（图①～④），观察并思考…（1）函数y＝ax3+bx2+cx的图象如图⑤所示，指出常数a，b，c的正负．（2）你同意“函数y＝﹣x3+2x2的图象的对称中心的横坐标为1”吗？判断并说明理由．（3）已知ac＜0，直接写出关于x的不等式ax3+x2+cx＞0的解集（用含a，c的式子表示）．2023年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．【分析】根据算术平方根的定义进行化简即可．【解答】解：＝6．故选：A．【点评】本题考查了算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．2．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．【解答】解：22000000＝2.2×107．故选：D．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．3．【分析】将四个选项分别进行分析．【解答】解：A、aaa＝a3，故本选项错误；B、5和x不是同类项，不能合并，故本选项错误；C、y+y+y+y＝4y，故本选项正确；D、2x﹣x＝x，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，熟悉运算法则是解题的关键．4．【分析】根据几何体的主视图是从正面所看到的图形进行判断即可得出答案．【解答】解：观察图形可知，用一个平面去截正方体（如图），剩余几何体的主视图不可能是．故选：D．【点评】本题主要考查截一个几何体，几何体的主视图，理解主视图的概念是解答的关键．5．【分析】延长OC交⊙O于D点，交AB于E点，连接OA、OB、AC、BC，如图根据圆心角、弧、弦的关系由＝得到CA＝CB，则可判断OC垂直平分AB，则AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE＝3，所以DE＝2，然后利用C点和D点关于AB对称得到CE＝2，最后计算OE﹣CE即可．【解答】解：延长OC交⊙O于D点，交AB于E点，连接OA、OB、AC、BC，如图，∵C为折叠后的中点，∴＝，∴CA＝CB，∵OA＝OB，∴OC垂直平分AB，∴AE＝BE＝AB＝4，在Rt△AOE中，OE＝＝＝3，∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2，∵沿AB折叠得到，CD垂直AB，∴C点和D点关于AB对称，∴CE＝DE＝2，∴OC＝OE﹣CE＝3﹣2＝1．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系和解直角三角形．6．【分析】根据三角形的外心得出OA＝OC＝OA，根据正方形的性质得出OA＝OC＜OD，求出OA＝OB＝OC＝OE≠OD，再逐个判断即可．【解答】解：连接OB、OD、OA，∵O为锐角三角形ABC的外心，∴OA＝OC＝OB，∵四边形OCDE为正方形，∴OA＝OC＜OD，∴OA＝OB＝OC＝OE≠OD，①OA＝OE＝OB，O是△ABE的外心，故本选项符合题意；②OA＝OC≠OD，即O不是△ACD的外心，故本选项不符合题意；③∵OE＝OA，OE⊥DE，∴直线DE与△ABC的外接圆相切．故本选项符合题意；故选：B．【点评】本题考查了切线的判定，正方形的性质和三角形的外心与外接圆，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：三角形的外心到三个顶点的距离相等，正方形的四边都相等．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置）7．【分析】根据绝对值的性质和零指数幂的定义解答．【解答】解：|﹣2|＝2，（﹣2）0＝1．故答案为：2，1．【点评】本题考查了零指数幂、绝对值，熟悉绝对值的性质和零指数幂的定义是解题的关键．8．【分析】根据分式有意义的条件可得x﹣2≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2；故答案为：x≠2．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．9．【分析】根据二次根式乘法法则计算．【解答】解：＝＝＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了二次根式的乘法法则，灵活转化是解题的关键．10．【分析】扇形面积计算公式：扇形的半径为R，扇形的弧长是l，S扇形＝lR，由此即可计算．【解答】解：扇形面积＝lR＝×π×4＝2π．故答案为：2π．【点评】本题考查扇形面积的计算，关键是掌握扇形面积的计算公式．11．【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系确定出x1与x2的两根之积与两根之和的值，再代入变形后的代数式即可解答．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+4＝0的两个实数根，∴x1+x2＝5，x1•x2＝4，∴＝＝．故答案为：．【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．12．【分析】根据BC∥x轴，得＝，所以＝，即可求出OD＝3．【解答】解：∵A（1，2），B（﹣1，﹣2），∴OA＝OB，∵B（﹣1，﹣2），C（5，﹣2），∴BC∥x轴，∴＝，∴＝，∴OD＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了坐标与图形性质，平行线分线段成比例的应用，熟练掌握坐标与图形性质，得出BC∥x轴是解决问题的关键．13．【分析】由平行四边形的性质可得AB∥CD，AD∥BC，则可判定△DEF∽△AEB，△DEF ∽△CBF，有＝，从而得到，利用相似三角形的性质即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠FDE＝∠BAE，∠DFE＝∠ABE，∠FDE＝∠C，∠FED＝∠FBC，∴△DEF∽△AEB，△DEF∽△CBF，∴，，∵AE＝2ED，∴，∴，＝1，∵S△DEF∴，＝9．解得：S△CBF故答案为：9．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解答的关键是求得．14．【分析】根据点I是△ABC的内心．∠IAB＝34°，∠IBC＝36°，推出∠ABC＝2∠IBC ＝2×36°＝72°，∠BAC＝2∠IAB＝2×34°＝68°，所以∠ACB＝180°﹣72°﹣68°＝40°，推出∠ICA＝∠ACB＝＝20°．【解答】解：∵点I是△ABC的内心．∠IAB＝34°，∠IBC＝36°，∴∠ABC＝2∠IBC＝2×36°＝72°，∠BAC＝2∠IAB＝2×34°＝68°，∴∠ACB＝180°﹣72°﹣68°＝40°，∴∠ICA＝∠ACB＝＝20°．故答案为：20．【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心，正确利用角平分线的性质和三角形内角和定理是解题的关键．15．【分析】先设设老师在黑板上写的文字大小应约为acm×bcm，然后根据题意和相似三角形的性质，可得，从而可以得到a、b的值．【解答】解：设老师在黑板上写的文字大小应约为acm×bcm，由题意可得：，解得a＝8，b＝7，即老师在黑板上写的文字大小应约为8cm×7cm，故答案为：8cm×7cm．【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．16．【分析】①根据平移规律得到平移后的函数表达式，把（3，4）代入即可判断；②根据平移规律得到平移后的函数表达式，把（3，4）代入即可判断；③求得x＝3时的函数值，根据平移的性质得出点（3，2）关于直线y＝3的对应点为（3，4），即可判断；④求得x＝3时的函数值，根据平移的性质得出点（3，2）关于直线x＝2的对应点为（1，2），再向右平移1个单位长度得到（2，2），把x＝2代入y＝得y＝3，即可判断．【解答】解：①反比例函数y＝的图象向上平移3个单位长度得到y＝+3，∵x＝3时，则y＝＝5，∴方案①不可行；②反比例函数y＝的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到y＝，∵x＝3时，y＝﹣2＝4，∴方案②可行；③把x＝3代入y＝得，y＝2，∴点（3，2）在反比例函数的图象上，∵点（3，2）关于直线y＝3的对应点为（3，4），∴反比例函数y＝的图象沿直线y＝3轴对称得到的图象经过点（3，4），∴方案③可行；④把x＝3代入y＝得，y＝2，∴点（3，2）在反比例函数的图象上，∵点（3，2）关于直线x＝2的对应点为（1，2），再向右平移1个单位长度得到（2，2），把x＝2代入y＝得y＝3，∴反比例函数y＝的图象先沿直线x＝2轴对称，再向右平移1个单位长度得到的图象不经过点（3，4），∴方案④不可行；故答案为：②③．【点评】本题考查了反比例函数图象与几何变换，反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的变化﹣平移，坐标与图形的变化﹣对称，熟练掌握平移的规律是解题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定整数解即可．【解答】解：，解①得x＞2，解②得x≤4．则不等式组的解集是：2＜x≤4．则整数解是：3，4．【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．18．【分析】先通分括号内的式子，再算括号外的除法即可．【解答】解：＝•＝＝＝x﹣3．【点评】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．19．【分析】设车间技术革新前每小时加工x个零件，则技术革新后每小时加工2.5x个零件，由题意：当再加工同样多的1500个零件时，用时比以前少18h．列出分式方程，解方程即可．【解答】解：设车间技术革新前每小时加工x个零件，则技术革新后每小时加工2.5x个零件，由题意得：﹣＝18，解得：x＝50，经检验：x＝50是原分式方程的解，且符合题意，答：该车间技术革新前每小时加工50个零件．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．20．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，然后由四边形ABCD是矩形，根据菱形的判定定理即可得到结论；（2）由勾股定理可求BE，AC的长，由直角三角形的性质可求解．【解答】（1）证明：∵点O是AC的中点，EF⊥AC，∴EF是AC的垂直平分线，∴FA＝FC，EA＝EC，OA＝OC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠ECO．在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA）；∴AE＝CF，∴AE＝CE＝CF＝AF，∴四边形AECF为菱形．（2）解：设AE＝CE＝x，则BF＝12﹣x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°．在Rt△ABE中，由勾股定理得，AB2+BE2＝AE2，即62+（12﹣x）2＝x2，解得，x＝7.5，即AE＝7.5，∴DE＝BF＝4.5，∴菱形AFCE的面积＝矩形ABCD的面积﹣△ABF的面积﹣△CDE的面积＝6×12﹣2×＝45．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，证得△AOF ≌△COE是关键．21．【分析】（1）画树状图得出所有等可能的结果数以及抽取两张卡片的数字都是正数的结果数，再利用概率公式可得出答案．（2）根据树状图分别求出满足①②③④的结果数，再根据概率公式求出相应的概率，即可得出答案．【解答】解：（1）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中抽取两张卡片的数字都是正数的结果有：（1，2），（1，4），（2，1），（2，4），（4，1），（4，2），共6种，∴抽取两张卡片的数字都是正数的概率为＝．（2）∵由树状图可知，抽取的两个数乘积为负数的结果有：（1，﹣3），（2，﹣3），（﹣3，1），（﹣3，2），（﹣3，4），（4，﹣3），共6种，∴抽取的两个数乘积为负数的概率为＝，故①不符合题意；∵由树状图可知，抽取的两个数乘积为正数的结果有：（1，2），（1，4），（2，1），（2，4），（4，1），（4，2），共6种，∴抽取的两个数乘积为正数的概率为＝，故②不符合题意；∵由树状图可知，抽取的两个数之和为负数的结果有：（1，﹣3），（2，﹣3），（﹣3，1），（﹣3，2），共4种，∴抽取的两个数之和为负数的概率为，故③符合题意；∵由树状图可知，抽取的两个数之和为正数的结果有：（1，2），（1，4），（2，1），（2，4），（﹣3，4），（4，1），（4，2），（4，﹣3），共8种，∴抽取的两个数之和为正数的概率为，故④不符合题意．故答案为：③．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．22．【分析】（1）用这20天苹果的日平均销售量乘30即可；（2）根据百分数的定义求出第75%位数，即可得出答案．【解答】解：（1）（40+42+44+45+46+48+52+52+53+54+55+56+57+58+59+61+63+64+65+66）×30＝1080×30＝1620（kg），答：估计该水果店本月（按30天计算）的销售总量约1620kg；（2）∵20×75%＝15，样本中的数从小到大排列，排在第15个数是59，∴苹果的日进货量应为59千克．【点评】本题考查了用样本估计总体，解决本题的关键是掌握用样本估计总体的方法．23．【分析】（1）把（2，3）代入解析式求出a即可；（2）根据二次函数的性质求解即可；（3）根据已知条件结合二次函数的性质求解即可．【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+（a﹣2）x+3的图象经过点（2，3），∴4+2（a﹣2）+3＝3，解得a＝0，∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣2x+3；（2）∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x＝1时，y的最小值为2，当x＝0时，y＝3，当x＝3时，y＝（3﹣1）2+2＝6，∴0＜x＜3时，y的取值范围为2≤y＜6，故答案为：2≤y＜6；（3）∵点P（m﹣1，y1），点Q（m，y2）且y1＞y2，对称轴为直线x＝1，∴＜1，解得m＜，∴m的取值范围为m．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．24．【分析】过点A作AF⊥ED，垂足为F，根据题意可得：ED⊥BD，AB＝FD＝6.8m，AF ＝BD，AF∥BD，从而可得∠FAC＝∠ACB＝22°，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，设CD＝xm，则AF＝BD＝（x+17）m，再在Rt△ECD中，利用锐角三角函数的定义求出ED的长，最后在Rt△AEF中，利用锐角三角函数的定义求出EF的长，从而根据EF+DF＝ED，列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：过点A作AF⊥ED，垂足为F，由题意得：ED⊥BD，AB＝FD＝6.8m，AF＝BD，AF∥BD，∴∠FAC＝∠ACB＝22°，在Rt△ABC中，BC＝≈＝17（m），设CD＝xm，∴AF＝BD＝BC+CD＝（x+17）m，在Rt△ECD中，∠ECD＝58°，∴ED＝CD•tan58°≈x（m），在Rt△EAF中，∠EAF＝37°，∴EF＝AF•tan37°≈（x+17）m，∵EF+DF＝ED，∴（x+17）+6.8＝x，解得：x＝23，∴DE＝x＝36.8（m），∴建筑物DE的高度约为36.8m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．25．【分析】（1）根据一次函数y＝kx+b的图象即可确定答案；（2）①在y轴正半轴上截取OC＝OB，过点C作直线l∥AB，则直线l即为所求；②在点B下方的y轴上，截取BD＝OB，连接AD，则直线AD即为所求；③在x轴负半轴上，截取OE＝2OA，在点B下方的y轴上截取BF＝OB，连接EF，则直线EF即为所求．【解答】解：（1）由函数图象可知，k＞0，b＜0，故答案为：＞，＜；（2）①在y轴正半轴上截取OC＝OB，过点C作直线l∥AB，则直线l即为所求，如图所示：②在点B下方的y轴上，截取BD＝OB，连接AD，则直线AD即为所求，如图所示：③在x轴负半轴上，截取OE＝2OA，在点B下方的y轴上截取BF＝OB，连接EF，则直线EF即为所求，如图所示：【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，尺规作图等，熟练掌握这些知识是解题的关键．26．【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2）证明△ABC≌△ABD得到∠BAC＝∠BAD，从而得到结论；（2）连接OB交AC于E点，如图，先根据两圆相交的性质得到OB垂直平分AC，则∠AEB＝90°，再利用等角代换得到∠BAO+∠BAD＝90°，即OA⊥AD，然后根据切线的判定定理得到AD为⊙O的切线．【解答】（1）解：如图，直线AD为所作；（2）证明：在△ABC和△ABD中，，∴△ABC≌△ABD（SSS），∴∠BAC＝∠BAD，∴AB平分∠CAD；（2）证明：连接OB交AC于E点，如图，∵AC为⊙O和⊙B的公共弦，∴OB垂直平分AC，∴∠AEB＝90°，∴∠ABE+∠BAE＝90°，∵OB＝OA，∴∠ABE＝∠BAO，而∠BAE＝∠BAD，∴∠BAO+∠BAD＝90°，即∠OAD＝90°，∴OA⊥AD，∵OA为⊙O的半径，∴AD为⊙O的切线．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质、圆周角定理、切线的判定与性质和相交两圆的性质．27．【分析】（1）观察已知函数图象可得答案；（2）当x＝1+m时，y1＝﹣（1+m）3+2（1+m）2＝﹣m3﹣m2+m+1，当m＝1﹣m时，y2＝﹣（1﹣m）3+2（1﹣m）2＝m3﹣m2﹣m+1，可得y1+y2＝﹣2m2+2，故y1+y2的值与m 有关，即可得到答案；（3）令ax3+x2+cx＝0，则x（ax2+x+c）＝0，可得y＝ax3+x2+cx与x轴交点横坐标分别是，0和，分当a＞0和a＜0，写出ax3+x2+cx＞0的解集即可．【解答】解：（1）通过观察图象可得，y＝ax3+bx2+cx的图象如图⑤，则a＜0，b＞0，c ＞0；（2）不同意“函数y＝﹣x3+2x2的图象的对称中心的横坐标为1”，理由如下：对任意实数m（m＞0），当x＝1+m时，y1＝﹣（1+m）3+2（1+m）2＝﹣m3﹣m2+m+1，当x＝1﹣m时，y2＝﹣（1﹣m）3+2（1﹣m）2＝m3﹣m2﹣m+1，∴y1+y2＝﹣2m2+2，若函数y＝﹣x3+2x2图象的对称中心的横坐标为1，则y1+y2的值与m无关，而﹣2m2+2的值与m有关，∴函数y＝﹣x3+2x2的图象的对称中心的横坐标不是1；（3）令ax3+x2+cx＝0，则x（ax2+x+c）＝0，∴x＝0或ax2+x+c＝0，∵ac＜0，∴ax2+x+c＝0的解为x1＝，x2＝，∴y＝ax3+x2+cx与x轴交点横坐标分别是，0和，当a＞0时，ax3+x2+cx＞0（即y＞0）的解集为＜x＜0或x＞；当a＜0时，ax3+x2+cx＞0（即y＞0）的解集为x＜或0＜x＜．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是读懂题意，观察已知函数的图象特征，类比解决问题。
2020年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷 (含解析)
2020年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）1.海南省2014年用于教育的支出约为175********亿元，其中数据175********用科学记数法表示为1.75×10n，其中n的值是()A. 9B. 10C. 11D. 122.已知√a=a，那么a=()A. 0B. 0或1C. 0或−1D. 0，−1或13.如图，在数轴上，点A，B表示的数分别是−2和10，则线段AB的中点M表示的数为()A. 4B. 6C. 8D. 104.若k<√90<k+1(k是整数)，则k等于()．A. 6B. 7C. 8D. 95.以下是某校九年级10名同学参加学校演讲比赛的统计表：成绩/分80859095人数/人1252则这组数据的中位数和平均数分别为()A. 90，90B. 90，89C. 85，89D. 85，906.如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于A，点C是EB⏜的中点，则下列结论不成立的是()A. OC//AEB. AC⊥OEC. ∠DAE=∠ABED. EC=BC二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）7.−3的倒数是______．8.若√3−a在实数范围内有意义，则a的取值范围是______．9.计算或化简：√2×√12=________;√512=________．10.方程xx−1−2x=1的解是______．11.若方程x2+2x−3=0的两根分别为m，n，则m+n=______．12.数据3、3、4、5、5的方差是______．13.如图，反比例函数y1=k1x和正比例函数y2=k2x的图象交于A(−1,−3)、B(1,3)两点，若k1x>k2x，则x的取值范围是______．14.如图，在正六边形ABCDEF中，连接AD，AE，则∠DAE=______．15.如图，PA与⊙O相切于点A，弦AB⊥OP，垂足为C，OP与⊙O相交于点D，已知OA=2，OP=4，则弦AB的长______ ．16.长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的表面积是．三、解答题（本大题共11小题，共88.0分）17.化简：6x2−9+13−x．18.解不等式x−52+1>x−3，并把它的解集表示在数轴上．19.①如图1，O是直线AB上一点，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，求证：OE⊥OF.②如图2，AB//CD，∠1=∠B，∠2=∠D.求证：BE⊥DE。
2020年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷 (解析版)
2020年南京市鼓楼区中考数学一模试卷一、选择题（共6小题）.1．“鼓楼e学校一停课不停学在线课堂”在此次疫情期间为全国师生提供鼓楼教育的“云服务”，课程日均访问量达1200000，用科学记数法表示1200000是（）A．0.12×106B．1.2×107C．1.2×106D．12×1052．表示4的（）A．平方B．平方根C．算术平方根D．立方根3．数轴上，点A、B分别表示﹣1、7，则线段AB的中点C表示的数是（）A．2B．3C．4D．54．已知5≤≤7，4≤≤6，则的整数部分可以是（）A．9B．10C．11D．125．某班37名同学中只有1位同学身高是165cm．若除甲、乙外其余35名同学身高的平均数和中位数都是165cm，则该班37名同学身高的平均数a和中位数b（单位：cm），不可能是（）A．a＞165，b＝165B．a＜165，b＝165C．a＜165，b＝164D．a＝165，b＝1666．如图，A、B两地相距am，它们之间有一半径为r的圆形绿地（r＜），绿地圆心位于AB连线的中点O处，分别过A、B作⊙O的切线相交于C，切点分别为D、E．现规划两条驾车路径：①B→E→C→D→A；②B→E→（沿）→D→A，则下列说法正确的是（）A．①较长B．②较长C．①②一样长D．以上皆有可能二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答趣卡相应位置上）7．写出一个数，使这个数等于它的倒数：．8．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是．9．计算的结果是．10．解方程＝得．11．已知方程2x2+4x﹣3＝0的两根分别为x1、x2，则x1+x2＝，x1x2＝．12．一组数据2，3，2，3，5的方差是．13．若正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝的图象都经过点（2，3），则k1x＝的解是．14．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，连接BD、OD，则∠BDO＝°．15．如图，BC是⊙O的切线，D是切点．连接BO并延长，交⊙O于点E、A，过A作AC ⊥BC，垂足为C．若BD＝8，BE＝4，则AC＝．16．用若干个相同的小正方体搭一个几何体，该几何体的主视图、俯视图如图所示．若小正方体的棱长为1，则搭成的几何体的表面积是．三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算．18．（1）解不等式5x+2≥3（x﹣1），并把它的解集在数轴上表示出来．（2）写出一个实数k，使得不等式x＜k和（1）中的不等式组成的不等式组恰有3个整数解．19．如图，已知AB∥CD，直线EF分别交直线AB、CD于点G、H，GI、HI分别平分∠BGH、∠GHD．（1）求证GI⊥HI．（2）请用文字概括（1）所证明的命题：．20．如图是某区1500名小学生和初中生的视力情况和他们每节课课间户外活动平均时长的统计图．（1）根据图1，计算该区1500名学生的近视率；（2）根据图2，从两个不同的角度描述该区1500名学生各年级近视率的变化趋势；（3）根据图1、图2、图3，描述该区1500名学生近视率和所在学段（小学、初中）、每节课课间户外活动平均时长的关系．21．（1）不透明的袋子A中装有红球1个、白球1个，不透明的袋子B中装有红球1个、白球2个，这些球除颜色外无其他差别．分别从两个袋子中随机摸出一个球，求摸出的两个球颜色不同的概率；（2）甲、乙两人解同一道数学题，甲正确的概率为，乙正确的概率为，则甲乙恰有一人正确的概率是．22．点E、F分别是菱形ABCD边BC、CD上的点．（1）如图，若CE＝CF，求证AE＝AF；（2）判断命题“若AE＝AF，则CE＝CF”的真假．若真，请证明；若假，请在备用图上画出反例．23．某工厂生产A、B、C三种产品，这三种产品的生产数量均为x件．它们的单件成本和固定成本如表：产品单件成本（元/件）固定成本（元）A0.11100B0.8aC b（b＞0）200（注：总成本＝单件成本×生产数量+固定成本）（1）若产品A的总成本为y A，则y A关于x的函数表达式为．（2）当x＝1000时，产品A、B的总成本相同．①求a；②当x≤2000时，产品C的总成本最低，求b的取值范围．24．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为D，BD＝6，DC＝4．（1）求⊙O的半径；（2）求AD的长．25．如图，用一个平面去截正方体ABCDEFGH，得到了三棱锥S﹣DPQ．若∠SPD＝45°，∠SQD＝37°，PQ＝1，求SD的长．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75．）26．已知y是x的二次函数，该函数的图象经过点A（0，5）、B（1，2）、C（3，2）．（1）求该二次函数的表达式，画出它的大致图象并标注顶点及其坐标；（2）结合图象，回答下列问题：①当1≤x≤4时，y的取值范围是；②当m≤x≤m+3时，求y的最大值（用含m的代数式表示）；③是否存在实数m、n（m≠n），使得当m≤x≤n时，m≤y≤n？若存在，请求出m、n；若不存在，请说明理由．27．如图，已知矩形纸片ABCD，怎样折叠，能使边AB被三等分？以下是小红的研究过程．思考过程要使边AB被三等分，若从边DC上考虑，就是要折出DM＝DC，也就是要折出DM＝AB，当DB、AM相交于F时，即要折出对角线上的DF＝DB．那么…折叠方法和示意图①折出DB；对折纸片，使D、B重合，得到的折痕与DB相交于点E；继续折叠纸片，使D、B与E重合，得到的折痕与DB分别相交于点F、G；②折出AF、CG，分别交边CD、AB于M、Q；③过M折纸片，使D落在MC上，得到折痕MN，则边AB被N、Q 三等分．（1）整理小红的研究过程，说明AN＝NQ＝QB；（2）用一种与小红不同的方法折叠，使边AB被三等分．（需简述折叠方法并画出示意图）参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．“鼓楼e学校一停课不停学在线课堂”在此次疫情期间为全国师生提供鼓楼教育的“云服务”，课程日均访问量达1200000，用科学记数法表示1200000是（）A．0.12×106B．1.2×107C．1.2×106D．12×105【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．解：1200000＝1.2×106．故选：C．2．表示4的（）A．平方B．平方根C．算术平方根D．立方根【分析】根据算术平方根的定义计算可得．解：表示4的的算术平方根，故选：C．3．数轴上，点A、B分别表示﹣1、7，则线段AB的中点C表示的数是（）A．2B．3C．4D．5【分析】数轴上点A所表示的数为a，点B所表示的数为b，则AB的中点所表示的数为．解：线段AB的中点C表示的数为：＝3，故选：B．4．已知5≤≤7，4≤≤6，则的整数部分可以是（）A．9B．10C．11D．12【分析】根据估算无理数的大小的方法即可得的整数部分．解：∵5≤≤7，4≤≤6，∴25≤a≤49，16≤b≤36，∴41≤a+b≤85，则的整数部分可以是6，7，8，9．故选：A．5．某班37名同学中只有1位同学身高是165cm．若除甲、乙外其余35名同学身高的平均数和中位数都是165cm，则该班37名同学身高的平均数a和中位数b（单位：cm），不可能是（）A．a＞165，b＝165B．a＜165，b＝165C．a＜165，b＝164D．a＝165，b＝166【分析】根据中位数和平均数的定义分别进行解答即可．解：因为35名同学身高的平均数和中位数都是165cm，且只有1位同学身高是165cm，所以该班37名同学身高的平均数a＝165，中位数b＝166，故选：D．6．如图，A、B两地相距am，它们之间有一半径为r的圆形绿地（r＜），绿地圆心位于AB连线的中点O处，分别过A、B作⊙O的切线相交于C，切点分别为D、E．现规划两条驾车路径：①B→E→C→D→A；②B→E→（沿）→D→A，则下列说法正确的是（）A．①较长B．②较长C．①②一样长D．以上皆有可能【分析】分别写出①和②的路线组成，只需比较不同的部分，即EC+CD与的大小即可．解：如图，①B→E→C→D→A，所走的路程为：BE+EC+CD+DA；②B→E→（沿）→D→A，所走的路程为：BE++DA；∵EC+CD＞，∴BE+EC+CD+DA＞BE++DA，即①＞②．故选：A．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答趣卡相应位置上）7．写出一个数，使这个数等于它的倒数：1．【分析】根据倒数的定义可知如果一个数等于它的倒数，则这个数是±1．解：如果一个数等于它的倒数，则这个数是±1．故答案为：1．8．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥1．【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．解：若在实数范围内有意义，则x﹣1≥0，解得：x≥1．故答案为：x≥1．9．计算的结果是2．【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．解：原式＝+＝2．故答案为：2．10．解方程＝得x＝9．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解：去分母得：2x＝3x﹣9，解得：x＝9，经检验x＝9是分式方程的解．故答案为：x＝9．11．已知方程2x2+4x﹣3＝0的两根分别为x1、x2，则x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣．【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系，即可得出x1+x2和x1x2的值．解：∵x1、x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两根，∴x1+x2＝﹣＝﹣2，x1x2＝＝﹣．故答案为：﹣2；﹣．12．一组数据2，3，2，3，5的方差是 1.2．【分析】先求出平均数，再根据方差公式计算即可．S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]．解：＝（2+3+3+3+5）÷5＝3，S2＝[（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（2﹣3）2+（5﹣3）2]＝1.2．故填答案为1.2．13．若正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝的图象都经过点（2，3），则k1x＝的解是2或﹣2．【分析】两个函数的图象都经过点（2，3），即k1x＝的一个解为x＝2，根据正比例函数点的对称性，则另外一个解为x＝﹣2，即可求解．解：两个函数的图象都经过点（2，3），即k1x＝的一个解为x＝2，根据正比例函数点的对称性，则另外一个解为x＝﹣2，故答案为2或﹣2．14．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，连接BD、OD，则∠BDO＝18°．【分析】连接OB，OC，可求出∠BOC和∠COD的度数，则∠BOD的度数可知，因为OB＝OD，进而可求出∠BDO的度数．解：连接OB，OC，∵点O是正五边形ABCDE的中心，∴∠BOC＝∠COD＝＝72°，∴∠BOD＝2×72°＝144°，∵OB＝OC，∴∠BDO＝∠OBD＝＝18°，故答案为：18．15．如图，BC是⊙O的切线，D是切点．连接BO并延长，交⊙O于点E、A，过A作AC ⊥BC，垂足为C．若BD＝8，BE＝4，则AC＝9.6．【分析】连接OD、AD、ED，根据切线的性质得到∠ODB＝90°，根据圆周角定理得到∠ADE＝90°，证明△BDE∽△BAD，根据相似三角形的性质求出AE，证明△BDO∽△BCA，求出AC．解：连接OD、AD、ED，∵BC是⊙O的切线，∴∠ODB＝90°，∴∠ODE+∠BDE＝90°，∵AE为⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∴∠DAE+∠AED＝90°，∵OD＝OE∴∠ODE＝∠OED，∴∠BDE＝∠BAD，∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BAD，∴＝，即＝，解得，AE＝12，∵∠BDO＝∠BCA，∠B＝∠B，∴△BDO∽△BCA，∴＝，即＝，解得，AC＝9.6，故答案为：9.6．16．用若干个相同的小正方体搭一个几何体，该几何体的主视图、俯视图如图所示．若小正方体的棱长为1，则搭成的几何体的表面积是28或30．【分析】由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图可得第二层和第三层最少或最多的正方体的个数，相加解答即可．解：搭这样的几何体最少需要4+1+2＝7个小正方体，最多需要4+2+2＝8个小正方体，所以搭成的几何体的表面积是4×7＝28或4×8﹣2＝30，故答案为：28或30．三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算．【分析】根据异分母分式相加减，先通分，再根据同分母分式相加减的法则计算即可．解：原式＝＝＝＝．18．（1）解不等式5x+2≥3（x﹣1），并把它的解集在数轴上表示出来．（2）写出一个实数k，使得不等式x＜k和（1）中的不等式组成的不等式组恰有3个整数解．【分析】（1）先去括号，再移项得到5x﹣3x≥﹣3﹣2，然后合并后系数化为1即可，再用数轴表示解集即可求解．（2）根据题意可得0＜k≤1满足条件，依此写出即可求解．解：（1）5x+2≥3（x﹣1），去括号得5x+2≥3x﹣3，移项得5x﹣3x≥﹣3﹣2，合并得2x≥﹣5，系数化为1得x≥﹣2.5，用数轴表示为：（2）∵一个实数k，使得不等式x＜k和（1）中的不等式组成的不等式组恰有3个整数解，∴0＜k≤1，∴k＝1满足条件．19．如图，已知AB∥CD，直线EF分别交直线AB、CD于点G、H，GI、HI分别平分∠BGH、∠GHD．（1）求证GI⊥HI．（2）请用文字概括（1）所证明的命题：两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直．【分析】利用角平分线、平行线的性质及三角形的内角和定理，先求出∠I的度数，再说明两直线的关系．【解答】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠BGH+∠GHD＝180°．∵∠HGI＝HGB，∠GHI＝GHD，∴∠HGI+∠GHI＝∠HGB+GHD＝（∠HGB+∠GHD）＝90°．∵∠HGI+∠KHI+∠I＝180°，∴∠I＝90°．∴GI⊥HI．（2）文字可概况为：两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直．故答案为：两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直．20．如图是某区1500名小学生和初中生的视力情况和他们每节课课间户外活动平均时长的统计图．（1）根据图1，计算该区1500名学生的近视率；（2）根据图2，从两个不同的角度描述该区1500名学生各年级近视率的变化趋势；（3）根据图1、图2、图3，描述该区1500名学生近视率和所在学段（小学、初中）、每节课课间户外活动平均时长的关系．【分析】（1）根据近视率＝计算即可．（2）利用图2中的信息解决问题即可．（3）根据图3解决问题即可．解：（1）该区1500名学生的近视率＝＝52%．（2）①近视率随年级的增高而增高．②在四到六年级期间，近视率的增长幅度比较大．（3）近视率会随着学段的升高而增加，学段提高后，学生的课简的活动时间普遍减少，近视率也随之上升．21．（1）不透明的袋子A中装有红球1个、白球1个，不透明的袋子B中装有红球1个、白球2个，这些球除颜色外无其他差别．分别从两个袋子中随机摸出一个球，求摸出的两个球颜色不同的概率；（2）甲、乙两人解同一道数学题，甲正确的概率为，乙正确的概率为，则甲乙恰有一人正确的概率是．【分析】（1）根据题意画出树状图得出所有等情况数和摸出的两个球颜色不同的情况数，然后根据概率公式即可得出答案；（2）根据题意得到甲正确乙不正确的概率，甲不正确乙正确的概率，两者相加即可得到结论．解：（1）画树状图如下：共有6种等情况数，其中摸出的两个球颜色不同的有3种，则摸出的两个球颜色不同的概率是＝；（2）甲正确乙不正确的概率为（1﹣）＝，甲不正确乙正确的概率为（1﹣）×＝，∴甲乙恰有一人正确的概率是+＝，故答案为：．22．点E、F分别是菱形ABCD边BC、CD上的点．（1）如图，若CE＝CF，求证AE＝AF；（2）判断命题“若AE＝AF，则CE＝CF”的真假．若真，请证明；若假，请在备用图上画出反例．【分析】（1）连接AC，利用菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；（2）举出反例解答即可．解：（1）连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ACE＝∠ACF，在△ACE与△ACF中，∴△ACE≌△ACF（SAS），∴AE＝AF，（2）当AE＝AF＝AF'时，CE≠CF'，如备用图，所以命题“若AE＝AF，则CE＝CF”是假命题．23．某工厂生产A、B、C三种产品，这三种产品的生产数量均为x件．它们的单件成本和固定成本如表：产品单件成本（元/件）固定成本（元）A0.11100B0.8aC b（b＞0）200（注：总成本＝单件成本×生产数量+固定成本）（1）若产品A的总成本为y A，则y A关于x的函数表达式为y＝0.1x+1100．（2）当x＝1000时，产品A、B的总成本相同．①求a；②当x≤2000时，产品C的总成本最低，求b的取值范围．【分析】（1）根据“总成本＝单件成本×生产数量+固定成本”即可得出产品A的总成本为y A，则y A关于x的函数表达式；（2）①根据题意列方程解答即可；②取x＝2000时，即可得出b的取值范围．解：（1）根据题意得：y＝0.1x+1100；故答案为：y＝0.1x+1100．（2）①由题意得0.8×1000+a＝0.1×1000+1100，解得a＝400；②当x＝2000时，y C≤y A且y C≤y B，即2000b+200≤2000×0.8+400；2000b+200≤2000×0.1+1100，解得：0＜b≤0.55．24．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为D，BD＝6，DC＝4．（1）求⊙O的半径；（2）求AD的长．【分析】（1）根据圆周角定理得到∠BOC＝90°，根据等腰直角三角形的性质计算，求出OB；（2）连接OA，过点O作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，根据垂径定理求出DF，根据等腰直角三角形的性质求出OF，根据勾股定理求出AE，结合图形计算得到答案．解：（1）如图1，连接OB、OC，∵BD＝6，DC＝4，∴BC＝10，由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝90°，∴OB＝BC＝5；（2）如图2，连接OA，过点O作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，∴BF＝FC＝5，∴DF＝1，∵∠BOC＝90°，BF＝FC，∴OF＝BC＝5，∵AD⊥BC，OE⊥AD，OF⊥BC，∴四边形OFDE为矩形，∴OE＝DF＝1，DE＝OF＝5，在Rt△AOE中，AE＝＝7，∴AD＝AE+DE＝12．25．如图，用一个平面去截正方体ABCDEFGH，得到了三棱锥S﹣DPQ．若∠SPD＝45°，∠SQD＝37°，PQ＝1，求SD的长．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75．）【分析】在直角三角形SDP中，根据∠SPD＝45°，得到三角形为等腰直角三角形，即SD＝PD，在Rt三角形SDQ中，利用锐角三角函数定义表示出DQ，在直角三角形PDQ 中，利用勾股定理求出所求即可．解：在Rt△SPD中，∠SPD＝45°，∴SD＝PD，在Rt△SDQ中，∠SDQ＝37°，∴tan37°＝＝0.75，∴DQ＝SD＝PD，在Rt△PDQ中，PQ＝＝SD＝1，∴SD＝．26．已知y是x的二次函数，该函数的图象经过点A（0，5）、B（1，2）、C（3，2）．（1）求该二次函数的表达式，画出它的大致图象并标注顶点及其坐标；（2）结合图象，回答下列问题：①当1≤x≤4时，y的取值范围是1≤y≤5；②当m≤x≤m+3时，求y的最大值（用含m的代数式表示）；③是否存在实数m、n（m≠n），使得当m≤x≤n时，m≤y≤n？若存在，请求出m、n；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用待定系数法求出解析式，用描点法画出函数图象；（2）①根据函数图象找出横坐标由1到4的点的纵坐标的最大值与最小值，便可写出y 的取值范围；②先求出对称轴x＝﹣，分两种情况：﹣﹣m≥m+3﹣（﹣）或﹣﹣m＜m+3﹣（﹣），根据二次函数的性质求y的最大值便可；③利用已知可得图象过（a，a）点，进而得出a的值，即可得出m，n的值．解：（1）设二次函数的解析式为：y＝ax2+bx+c（a≠0），则，解得，，∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x+5，列表如下：x…01234…y…52125…描点、连线，（2）①由函数图象可知，当1≤x≤4时，1≤y≤5，故答案为：1≤y≤5；②∵二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x+5，∴对称轴为x＝2，当2﹣m≤m+3﹣2，即m≥时，则在m≤x≤m+3内，当x＝m+3时，y有最大值为y ＝x2﹣4x+5＝（m+3）2﹣4（m+3）+5＝m2﹣+2m+2；当2﹣m＞m+3﹣2，即m＜时，则在m≤x≤m+3内，当x＝m时，y有最大值为y＝x2﹣4x+5＝m2﹣4m+5；③由已知可得图象过（a，a）点，∴a＝a2﹣4a+5，解得，a ＝，∵当m≤x≤n时，m≤y≤n，∴可以取m ＝，n ＝．27．如图，已知矩形纸片ABCD，怎样折叠，能使边AB被三等分？以下是小红的研究过程．思考过程要使边AB被三等分，若从边DC上考虑，就是要折出DM ＝DC，也就是要折出DM ＝AB，当DB、AM相交于F时，即要折出对角线上的DF ＝DB．那么…折叠方法和示意图①折出DB；对折纸片，使D、B重合，得到的折痕与DB相交于点E；继续折叠纸片，使D、B与E重合，得到的折痕与DB分别相交于点F、G；②折出AF、CG，分别交边CD、AB于M、Q；③过M折纸片，使D落在MC上，得到折痕MN，则边AB被N、Q 三等分．（1）整理小红的研究过程，说明AN＝NQ＝QB；（2）用一种与小红不同的方法折叠，使边AB被三等分．（需简述折叠方法并画出示意图）【分析】（1）由折叠的性质可得DF＝DB，DM＝AN，通过证明△DFM∽△BAF，可得DM＝AB，可得AN＝AB，同理可求QB＝AB，可得结论；（2）所求图形，如图所示，由折叠的性质可得AF＝BF＝DE＝EC＝CD，AN＝DM＝NQ，通过证明△AGF∽△CGD，可得，由平行线分线段成比例可得AN＝MC＝DM，即可证AN＝NQ＝QB．解：（1）由折叠的性质可得，DF＝DB，四边形ADMN是矩形，∴DM＝AN，∵CD∥AB，∴△DFM∽△BAF，∴＝，∴DM＝AB，∴AN＝AB，同理可求QB＝AB，∴AN＝NQ＝QB；（2）如图，①将矩形ABCD对折，使AD与BC重合，折痕为EF；②连接AC，DF，交点为G，③过点G折叠矩形ABCD，使点D落在CE上，对应点为E，使点A落在BF上，对应点为Q，折痕为MN；∴点N，点Q为AB的三等分点．理由如下：由折叠的性质可得：AF＝BF＝DE＝EC＝CD，AN＝DM＝NQ，∵AB∥CD，∴△AGF∽△CGD，∴，∵AB∥CD，∴，∴AN＝MC＝DM，∴AN＝DM＝CD＝AB，∴NQ＝AB，∴AN＝NQ＝QB．。
2024届江苏省南京鼓楼区金陵汇文重点中学中考数学全真模拟试卷含解析
2024届江苏省南京鼓楼区金陵汇文重点中学中考数学全真模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．下列计算正确的是（）A．x2+x3=x5B．x2•x3=x5C．（﹣x2）3=x8D．x6÷x2=x32．如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，DE：EC=2:3，则S △DEF:S△ABF=（）A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．4：253．安徽省在一次精准扶贫工作中，共投入资金4670000元，将4670000用科学记数法表示为（）A．4.67×107B．4.67×106C．46.7×105D．0.467×1074．如果关于x的一元二次方程k2x2-(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k>－14B．k>－14且0k≠C．k<－14D．k≥－14且0k≠5．如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD，下列说法错误的是（）A．∠AOD＝∠BOC B．∠AOE＋∠BOD＝90°C．∠AOC＝∠AOE D．∠AOD＋∠BOD＝180°6．如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=13CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F，若AB=6，则BF的长为（）A．6 B．7 C．8 D．107．人的头发直径约为0.00007m，这个数据用科学记数法表示（）A．0.7×10﹣4B．7×10﹣5C．0.7×104D．7×1058．如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BE⊥AC于点F，则下列结论中错误的是（）A．AF=12CF B．∠DCF=∠DFCC．图中与△AEF相似的三角形共有5个D．tan∠CAD=29．如图所示是由相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，那么该几何体的主视图是( )A．B．C．D．10．一组数据：3，2，5，3，7，5，x，它们的众数为5，则这组数据的中位数是（）A．2 B．3 C．5 D．7二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（﹣4，0），将△ABC沿x轴向左平移，当点C落在直线y=﹣2x﹣6上时，则点C沿x轴向左平移了_____个单位长度．12．在一个不透明的袋子里装有一个黑球和两个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球，两次都摸到黑球的概率是__________. 13．假期里小菲和小琳结伴去超市买水果，三次购买的草莓价格和数量如下表： 价格/（元/kg ）12 10 8 合计/kg 小菲购买的数量/kg2 2 2 6 小琳购买的数量/kg1236从平均价格看，谁买得比较划算？（ ）A ．一样划算B ．小菲划算C ．小琳划算D ．无法比较14．如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是__________. 15．如图，AC 是以AB 为直径的⊙O 的弦，点D 是⊙O 上的一点，过点D 作⊙O 的切线交直线AC 于点E ，AD 平分∠BAE ，若AB=10，DE=3，则AE 的长为_____．16．函数123y x x =--中自变量x 的取值范围是___________． 17．如图，直线y 1＝kx +n （k ≠0）与抛物线y 2＝ax 2+bx +c （a ≠0）分别交于A （﹣1，0），B （2，﹣3）两点，那么当y 1＞y 2时，x 的取值范围是_____．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．（1）求证：OC OP PD AP；（2）若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．19．（5分）（问题发现）（1）如图（1）四边形ABCD中，若AB=AD，CB=CD，则线段BD，AC的位置关系为；（拓展探究）（2）如图（2）在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由；（解决问题）（3）如图（3）在正方形ABCD中，AB=22，以点A为旋转中心将正方形ABCD旋转60°，得到正方形AB'C'D'，请直接写出BD'平方的值．20．（8分）在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD＝2，试求出线段CP的最大值．21．（10分）某射击队教练为了了解队员训练情况，从队员中选取甲、乙两名队员进行射击测试，相同条件下各射靶5次，成绩统计如下：命中环数 6 7 8 9 10甲命中相应环数的次数0 1 3 1 0乙命中相应环数的次数 2 0 0 2 1（1）根据上述信息可知：甲命中环数的中位数是_____环，乙命中环数的众数是______环；（2）试通过计算说明甲、乙两人的成绩谁比较稳定？（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙射击成绩的方差会变小．（填“变大”、“变小”或“不变”）22．（10分）如图，△ABC与△A1B1C1是位似图形．(1)在网格上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为(－6，－1)，点C1的坐标为(－3，2)，则点B的坐标为____________；(2)以点A为位似中心，在网格图中作△AB2C2，使△AB2C2和△ABC位似，且位似比为1∶2；(3)在图上标出△ABC与△A1B1C1的位似中心P，并写出点P的坐标为________，计算四边形ABCP的周长为_______．23．（12分）如图所示，平行四边形形ABCD中，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）请添加一个条件使四边形BEDF为菱形．24．（14分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +3）x +m 2+2＝1． （1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足x 12+x 22＝31+|x 1x 2|，求实数m 的值．参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分） 1、B 【解题分析】分析：直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则和积的乘方运算法则分别计算得出答案． 详解：A 、不是同类项，无法计算，故此选项错误； B 、235x x x ⋅=， 正确； C 、()326x x -=-，故此选项错误； D 、624x x x ÷=， 故此选项错误； 故选：B ．点睛：此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算和积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键． 2、D 【解题分析】试题分析：先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF ∽△BAF ，从而DE ：AB=DE ：DC=2：5，所以S △DEF :S △ABF =4：25试题解析:∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，BA=DC∴∠EAB=∠DEF ，∠AFB=∠DFE ， ∴△DEF ∽△BAF ，∴DE：AB=DE：DC=2：5，∴S△DEF：S△ABF=4：25，考点：1.相似三角形的判定与性质；2.三角形的面积；3.平行四边形的性质．3、B【解题分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【题目详解】将4670000用科学记数法表示为4.67×106，故选B.【题目点拨】本题考查了科学记数法—表示较大的数，解题的关键是掌握科学记数法的概念进行解答.4、B【解题分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有两个实数根下必须满足△=b2-4ac≥1．【题目详解】由题意知，k≠1，方程有两个不相等的实数根，所以△＞1，△=b2-4ac=（2k+1）2-4k2=4k+1＞1．因此可求得k＞14且k≠1．故选B．【题目点拨】本题考查根据根的情况求参数，熟记判别式与根的关系是解题的关键.5、C【解题分析】根据对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义逐一判断可得．【题目详解】A、∠AOD与∠BOC是对顶角，所以∠AOD=∠BOC，此选项正确；B、由EO⊥CD知∠DOE=90°，所以∠AOE+∠BOD=90°，此选项正确；C、∠AOC与∠BOD是对顶角，所以∠AOC=∠BOD，此选项错误；D、∠AOD与∠BOD是邻补角，所以∠AOD+∠BOD=180°，此选项正确；故选C．【题目点拨】本题主要考查垂线、对顶角与邻补角，解题的关键是掌握对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义．6、C【解题分析】∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AB=6，∴CD=12AB=1．又CE=13 CD，∴CE=1，∴ED=CE+CD=2．又∵BF∥DE，点D是AB的中点，∴ED是△AFB的中位线，∴BF=2ED=3．故选C．7、B【解题分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【题目详解】解：0.00007m，这个数据用科学记数法表示7×10﹣1．故选：B．【题目点拨】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．8、D【解题分析】由1122AE AD BC==，又AD∥BC，所以12AE AFBC FC==，故A正确，不符合题意；过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=12BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故B正确，不符合题意；根据相似三角形的判定即可求解，故C正确，不符合题意；由△BAE ∽△ADC ，得到CD 与AD 的大小关系，根据正切函数可求tan ∠CAD 的值，故D 错误，符合题意． 【题目详解】 A.∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△CBF ，∴12AE AF BC FC ==， ∵1122AE AD BC ==，∴12AF FC =，故A 正确，不符合题意； B. 过D 作DM ∥BE 交AC 于N ， ∵DE ∥BM ,BE ∥DM ，∴四边形BMDE 是平行四边形， ∴12BM DE BC ==， ∴BM =CM ， ∴CN =NF ，∵BE ⊥AC 于点F ,DM ∥BE ， ∴DN ⊥CF ， ∴DF =DC ，∴∠DCF =∠DFC ，故B 正确，不符合题意；C. 图中与△AEF 相似的三角形有△ACD ，△BAF ，△CBF ，△CAB ，△ABE 共有5个，故C 正确，不符合题意;D. 设AD =a ,AB =b ,由△BAE ∽△ADC ,有2.ab a b=∵tan ∠CAD 2,2CD b AD a === 故D 错误，符合题意. 故选：D. 【题目点拨】考查相似三角形的判定，矩形的性质，解直角三角形，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. 9、C【解题分析】A、B、D不是该几何体的视图，C是主视图，故选C.【题目点拨】主视图是由前面看到的图形，俯视图是由上面看到的图形，左视图是由左面看到的图形，能看到的线画实线，看不到的线画虚线.10、C【解题分析】分析：众数是指一组数据中出现次数最多的那个数据，一组数据可以有多个众数，也可以没有众数；中位数是指将数据按大小顺序排列起来形成一个数列，居于数列中间位置的那个数据．根据定义即可求出答案．详解：∵众数为5，∴x=5，∴这组数据为：2,3,3,5,5,5,7，∴中位数为5，故选C．点睛：本题主要考查的是众数和中位数的定义，属于基础题型．理解他们的定义是解题的关键．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、1【解题分析】先根据勾股定理求得AC的长，从而得到C点坐标，然后根据平移的性质，将C点纵轴代入直线解析式求解即可得到答案.【题目详解】解：在Rt△ABC中，AB=﹣1﹣（﹣1）=3，BC=5，∴AC=22=1，BC AB∴点C的坐标为（﹣1，1）．当y=﹣2x﹣6=1时，x=﹣5，∵﹣1﹣（﹣5）=1，∴点C沿x轴向左平移1个单位长度才能落在直线y=﹣2x﹣6上．故答案为1．【题目点拨】本题主要考查平移的性质，解此题的关键在于先利用勾股定理求得相关点的坐标，然后根据平移的性质将其纵坐标代入直线函数式求解即可.12、【解题分析】首先根据题意列表，由列表求得所有等可能的结果与两次都摸到黑球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验．【题目详解】列表得：第一次第二次黑白白黑黑，黑白，黑白，黑白黑，白白，白白，白白黑，白白，白白，白∵共有9种等可能的结果，两次都摸到黑球的只有1种情况，∴两次都摸到黑球的概率是.故答案为：.【题目点拨】考查概率的计算，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键.13、C【解题分析】试题分析：根据题意分别求出两人的平均价格，然后进行比较．小菲：（24+20+16）÷6=10；小琳：（12+20+24）÷6≈1．3，则小琳划算．考点：平均数的计算．14、k＞－14且k≠1【解题分析】由题意知，k≠1，方程有两个不相等的实数根，所以△＞1，△=b2-4ac=（2k+1）2-4k2=4k+1＞1．又∵方程是一元二次方程，∴k≠1，∴k＞-1/4 且k≠1．15、1或9【解题分析】(1)点E在AC的延长线上时，过点O作OF AC交AC于点F，如图所示∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAE，∴∠OAD＝∠ODA＝∠DAC，∴OD//AE,∵DE是圆的切线，∴DE⊥OD,∴∠ODE=∠E=90o,∴四边形ODEF是矩形，∴OF＝DE，EF＝OD＝5，又∵OF⊥AC，∴AF＝2222534-=-=，OA OF∴AE＝AF+EF＝5+4＝9.（2）当点E在CA的线上时，过点O作OF⊥AC交AC于点F，如图所示同（1）可得：EF＝OD＝5，OF＝DE＝3，在直角三角形AOF中，AF＝224-=，OA OF∴AE＝EF－AF＝5－4＝1.16、x≤2【解题分析】试题解析：根据题意得：20 {x30x-≥-≠解得：2x≤.17、﹣1＜x＜2【解题分析】根据图象得出取值范围即可．【题目详解】解：因为直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，所以当y1＞y2时，﹣1＜x＜2，故答案为﹣1＜x＜2【题目点拨】此题考查二次函数与不等式，关键是根据图象得出取值范围．三、解答题（共7小题，满分69分）18、(1)详见解析；（2）10.【解题分析】①只需证明两对对应角分别相等可得两个三角形相似；故OC OP PD AP=.②根据相似三角形的性质求出PC长以及AP与OP的关系，然后在Rt△PCO中运用勾股定理求出OP长，从而求出AB长．【题目详解】①∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC,DC=AB,∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°.由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B.∴∠APO=90°.∴∠APD=90°−∠CPO=∠POC.∵∠D=∠C，∠APD=∠POC.∴△OCP∽△PDA.∴OC OP PD AP=.②∵△OCP与△PDA的面积比为1:4，∴OCPD=OPPA=CPDA=14−−√=12.∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP.∵AD=8，∴CP=4，BC=8.设OP=x，则OB=x，CO=8−x.在△PCO中，∵∠C=90∘，CP=4，OP=x，CO=8−x，∴x2=(8−x)2+42.解得：x=5.∴AB=AP=2OP=10.∴边AB的长为10.【题目点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质以及翻转变换，解题的关键是熟练的掌握相似三角形与翻转变换的相关知识. 19、（1）AC垂直平分BD；（2）四边形FMAN是矩形，理由见解析；（3）16+83或16﹣83【解题分析】（1）依据点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，即可得出AC垂直平分BD；（2）根据Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，可得AF=CF=BF，再根据等腰三角形ABD 和等腰三角形ACE，即可得到AD=DB，AE=CE，进而得出∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°，即可判定四边形AMFN是矩形；（3）分两种情况：①以点A为旋转中心将正方形ABCD逆时针旋转60°，②以点A为旋转中心将正方形ABCD顺时针旋转60°，分别依据旋转的性质以及勾股定理，即可得到结论．【题目详解】（1）∵AB=AD，CB=CD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，∴AC垂直平分BD，故答案为AC垂直平分BD；（2）四边形FMAN是矩形．理由：如图2，连接AF，∵Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，∴AF=CF=BF，又∵等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，∴AD=DB，AE=CE，∴由（1）可得，DF⊥AB，EF⊥AC，又∵∠BAC=90°，∴∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°，∴四边形AMFN是矩形；（3）BD′的平方为16+83或16﹣83．分两种情况：①以点A为旋转中心将正方形ABCD逆时针旋转60°，如图所示：过D'作D'E⊥AB，交BA的延长线于E，由旋转可得，∠DAD'=60°，∴∠EAD'=30°，∵AB2=AD'，∴D'E=12AD2，AE6，∴BE26，∴Rt△BD'E中，BD'2=D'E2+BE2=2）2+（26）23②以点A为旋转中心将正方形ABCD顺时针旋转60°，如图所示：过B作BF⊥AD'于F，旋转可得，∠DAD'=60°，∴∠BAD'=30°，∵AB=22=AD'，∴BF=12AB=2，AF6，∴D'F26，∴Rt△BD'F中，BD'2=BF2+D'F2=2）2+（26）2=16﹣3综上所述，BD′平方的长度为316﹣3【题目点拨】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定，旋转的性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据勾股定理进行计算求解．解题时注意：有三个角是直角的四边形是矩形．20、（1）AE=DF，AE⊥DF，理由见解析；（2）成立，2或2；（3）51【解题分析】试题分析：（1）根据正方形的性质，由SAS先证得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性质得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；（2）有两种情况：①当AC=CE时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理求出2a即可；②当AE=AC 时，设正方形的边长为a，由勾股定理求出2a，根据正方形的性质知∠ADC=90°，然后根据等腰三角形的性质得出DE=CD=a即可；（3）由（1）（2）知：点P的路径是一段以AD为直径的圆，设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最大，再由勾股定理可得QC的长，再求CP即可．试题解析：（1）AE=DF，AE⊥DF，理由是：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，∴DE=CF ，在△ADE 和△DCF 中AD DC ADE DCF DE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADE DCF ∆≅∆，∴AE=DF ，∠DAE=∠FDC ，∵∠ADE=90°，∴∠ADP+∠CDF=90°，∴∠ADP+∠DAE=90°，∴∠APD=180°-90°=90°，∴AE ⊥DF ；（2）（1）中的结论还成立，有两种情况：①如图1，当AC=CE 时，设正方形ABCD 的边长为a ，由勾股定理得， 222AC CE a a a ==+=， 则:2:2CE CD a a ==；②如图2，当AE=AC 时，设正方形ABCD 的边长为a ，由勾股定理得：222AC AE a a a =+=，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADC=90°，即AD ⊥CE ，∴DE=CD=a ，∴CE:CD=2a:a=2；即2或2；（3）∵点P 在运动中保持∠APD=90°，∴点P 的路径是以AD 为直径的圆，如图3，设AD 的中点为Q ，连接CQ 并延长交圆弧于点P ，此时CP 的长度最大，∵在Rt △QDC 中，2222215QC CD QD =+=+=∴51CP QC QP =+=，即线段CP 51.点睛：此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，能综合运用性质进行推挤是解此题的关键，用了分类讨论思想，难度偏大.21、（1）8， 6和9；（2）甲的成绩比较稳定；（3）变小【解题分析】（1）根据众数、中位数的定义求解即可；（2）根据平均数的定义先求出甲和乙的平均数，再根据方差公式求出甲和乙的方差，然后进行比较，即可得出答案；（3）根据方差公式进行求解即可．【题目详解】解：（1）把甲命中环数从小到大排列为7，8，8，8，9，最中间的数是8，则中位数是8；在乙命中环数中，6和9都出现了2次，出现的次数最多，则乙命中环数的众数是6和9；故答案为8，6和9；（2）甲的平均数是：（7+8+8+8+9）÷5=8，则甲的方差是：15[（7-8）2+3（8-8）2+（9-8）2]=0.4，乙的平均数是：（6+6+9+9+10）÷5=8，则甲的方差是：15[2（6-8）2+2（9-8）2+（10-8）2]=2.8，所以甲的成绩比较稳定；（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差变小．故答案为变小．【题目点拨】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差通常用s2来表示，计算公式是：s2=1n[（x1-x）2+（x2-x）2+…+（x n-x）2]；方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了算术平均数、中位数和众数．22、（1）作图见解析；点B的坐标为：（﹣2，﹣5）；（2）作图见解析；（3）【解题分析】分析：（1）直接利用已知点位置得出B点坐标即可；（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）直接利用位似图形的性质得出对应点交点即可位似中心，再利用勾股定理得出四边形ABCP的周长．详解：（1）如图所示：点B的坐标为：（﹣2，﹣5）；故答案为（﹣2，﹣5）；（2）如图所示：△AB2C2，即为所求；（3）如图所示：P点即为所求，P点坐标为：（﹣2，1），四边形ABCP的周长为：故答案为点睛：本题主要考查了位似变换以及勾股定理，正确利用位似图形的性质分析是解题的关键．23、见解析【解题分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB∥DC，OB=OD，由平行线的性质可得∠OBE=∠ODF，利用ASA判定△BOE≌△DOF，由全等三角形的性质可得EO=FO，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判定四边形BEDF是平行四边形；（2）添加EF⊥BD（本题添加的条件不唯一），根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形即可判定平行四边形BEDF为菱形．【题目详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点，∴AB∥DC，OB=OD，∴∠OBE=∠ODF，又∵∠BOE=∠DOF，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴EO=FO，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）EF⊥BD．∵四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴平行四边形BEDF是菱形．【题目点拨】本题考查了平行四边形的性质与判定、菱形的判定，熟知平行四边形的性质与判定及菱形的判定方法是解决问题的关键.24、（1）m ≥﹣112；（2）m ＝2． 【解题分析】 （1）利用判别式的意义得到（2m +3）2﹣4（m 2+2）≥1，然后解不等式即可；（2）根据题意x 1+x 2＝2m +3，x 1x 2＝m 2+2，由条件得x 12+x 22＝31+x 1x 2，再利用完全平方公式得（x 1+x 2）2﹣3x 1x 2﹣31＝1，所以2m +3）2﹣3（m 2+2）﹣31＝1，然后解关于m 的方程，最后利用m 的范围确定满足条件的m 的值．【题目详解】（1）根据题意得（2m +3）2﹣4（m 2+2）≥1，解得m ≥﹣112； （2）根据题意x 1+x 2＝2m +3，x 1x 2＝m 2+2，因为x 1x 2＝m 2+2＞1，所以x 12+x 22＝31+x 1x 2，即（x 1+x 2）2﹣3x 1x 2﹣31＝1，所以（2m +3）2﹣3（m 2+2）﹣31＝1，整理得m 2+12m ﹣28＝1，解得m 1＝﹣14，m 2＝2，而m ≥﹣112； 所以m ＝2．【题目点拨】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝1（a ≠1）的两根时，1212,b c x x x x a a +=-=．灵活应用整体代入的方法计算．。
南京鼓楼区数学第一次模拟测试(答案+free)
鼓楼区2009— 2010第二学期初三调研测试卷数学注意事项：1 •本试卷共6页•全卷满分120分•考试时间为120分钟•考生答题全部答在答题卡上， 答在本试卷上无效.一、选择题(本大题共8小题，每小题2分，共计16分•在每小题所给出的四个选项中， 恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填在答卷纸上 )1 • 2的绝对值等于1 1A • 2B • — 2C • 2D • — 22.世博网3月19日消息：截至目前，上海世博会特许产品的销售额已达 8 000 000 000元, 将8 000 000 000用科学记数法表示应为8899A • 80X 10B • 8 X 10C • 80 X 10D • 8X 103 •右边的几何体是由五个大小相同的正方体组成的，它的主视图为(A •B •C •D •4 • 4的平方根是A • 2B • — 2C • ± 2D • 土，25 •下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A •等边三角形B •菱形C •平行四边形D •等腰梯形6 •下列运算正确的是A • x 3 + x 2= x 5B • x 3— x 2= x C •x 3 十 x 2= x D • x 3 • x 2= x 67 •小许在班级内提议收集废弃的饮料瓶，变卖所得作为班级的活动经费•他注意观察了一 周，5天里每天收集的废弃饮料瓶(单位：个)分别是： 40, 40, 35, 30, 35,根据这些数 据，他估计一个月(以20天计算)可以收集到的饮料瓶个数约是A • 800B • 720C • 700D • 600&将点A (2 3, 0)绕着原点顺时针方向旋转 60。
得到点B ,则点B 的坐标是A • ( .3,— 3)B • ( .3, 3)C • ( 3,— 3)D • (3, . 3)、填空题(本2分，共计20分（第 3 题）接填写在答题卡相应位置上)39 .分解因式ab - ab = ▲.10.如图，直线 AB 、CD 相交于点 E , DF // AB .若/ AEC = 100°则.D 等于 ▲°.11 .若 a — b = — 1, ab = 2,则(a + 1)(b — 1) = ▲ .112. 解方程匸；=2得亠 13.在一个不透明的袋子中有 2个黑球、1个白球，它们除颜色外其他均相同 •充分摇匀后, 先摸出1个球不放回，再摸出 1个球，那么两个球都是黑球的概率为 ▲.14.如图，直角△ ABC 中，/ C = 90°, AB = 13, BC = 5,那么 sin B =▲.215.小许踢足球，经过 x 秒后足球的高度为 y 米，且时间与高度关系为 y = ax 十bx .若此足 球在5秒后落地，那么足球在飞行过程中，当x =▲ 秒时，高度最高. 16.用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从 第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六 边形和两个正三角形，则第 n 个图案中正三角形的个数为 ▲（用含n 的代数式表示）.17 .菱形边长为 6，一个内角为 60 °，顺次连接这个菱形各边中点所得的四边形周长为 ▲.2 218.函数 y 1 = — ax + ax + 1, y 2= ax + ax 且a >0）的图像如图所示，请写出一条 有关的不同类型的结论 ▲.第一个图案 第二个图案 第三个图案（第16题）20. （8分）已知：如图，口 ABCD 的对角线 AC 、BD 相交于点 0, △ 0AB 是等边三角形， DE // AC , AE // BD . 求证：（1）四边形ABCD 是矩形；（2）四边形A0DE 是菱形.21. （6分）表①是2005年日本爱知世博会和 2007年西班牙萨拉戈萨世博会文化演艺活动 基本数据统计表，图①是爱知世博会各类活动场次统计，图②是萨拉戈萨世博会各类活动场次统计.（数据来自于世博会官网）会期（天）活动数（千场）日均活动（场）2005年爱知 18511592007年萨拉戈萨935▲（表①）三、解答题 字说明、 19. （8 分） （本大题共10小题，共计 证明过程或演算步骤） 84分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文(1) (4分)x+ K 2x ;解不等式组钻—x并写出它的所有整数解. (2) (4 分)2x x1 「X 1 2—!.爱知世博会各类活动场次统计 学术教育萨拉戈萨世博会各类活动场次统计k22. (8分)如图，反比例函数y i= - (x>0)与正比例函数y2= mx和*= nx分别交于A, BX(1 )当y2> %时，x的取值范围是▲两点.已知A、B两点的横坐标分别为1和2 .过点B作BC垂直x轴于点C ,△ OBC的面积为2.(2)求出y1和y3的关系式;kmx > x；(3)直接写出不等式组的解集▲k > nx. x23. (8分)将水平相当的A、B、C、D四人随机平均分成甲、乙两组进行乒乓球单打比赛, 每组的胜者进入下一轮决赛.(1)A、B被分在同一组的概率是多少？(2)A、B在下一轮决赛中相遇的概率是多少？24. ( 8分)如图，是设计师为小许家厨房的装修给出的俯视图，尺寸如图所示，DF边上有一个80 cm宽的门，留下墙DE长为200cm .冰箱摆放在图纸中的位置，冰箱的俯视图是一个边长为60 cm的正方形，为了利于冰箱的散热，厂家建议冰箱的后面和侧面都至少留有10 cm的空隙，为了方便使用，建议冰箱的门至少要能打开到120° (图中/ ABC =120°).(1)为了满足厂家的建议，图纸中的冰箱离墙DE 至少多少厘米？(2)为了满足厂家建议的散热留空的最小值，小许想拆掉部分墙DE,将门扩大，同时又满足厂家建议的开门角度，那么至少拆掉多少厘米的墙，才能满足上述要求？(结果精确到0.1cm)(参考数据：^2〜1.41 {3~ 1.73.25. (10分)如图，AB是O O的直径，AB = 10,以B为圆心画圆.(1 )若0 B和O O相交，设交点为C、D;①试判断直线AC与O B的关系，并说明理由；②若O B的半径是6,连接CO、OD、DB、BC,求四边形CODB的面积;(2)若0 B与O O相切，则O B的半径= ▲.26. (10分)小许在动手操作时，发现直角边长分别为6, 8和直角边长分别为2, 14的两个直角三角形中(如图①)，/ 1和/ 2可以拼成一个45°的角(如图②)，但他不会说理，于是找来几个同学一起研究这个问题.(1) 甲同学发现，只要在图③中连接C6,过C作CD丄B1C1，交C1B1的延长线于点D并能计算出CC1的长度，就可以说明△ ACC1是等腰直角三角形，从而说明/ 1 + Z 2 = 45°,请写出甲同学的说理过程；(2) 乙同学发现，只要两个直角三角形的直角边长分别为a, b和直角边长分别为a+ b, a —b (a > b),利用两个直角三角形构造出的矩形(如图④) ，同样可以说明/ 1 + Z 2 = 45° 请写出乙同学的说理过程；27. （10分）某季节性农产品从上市到下市共销售 90天的时间，其售价 y （元/千克）和上 市后天数x （天）的关系可以近似地用图中的一条折线表示，其中当 0< x w 60时，满足函数y =— 0.1x + 10.销售量w （千克）和售价 y （元/千克）的关系可以表示为： w =— 10y + 200. （1）请解释图中点 A 的实际意义；（2） 直接写出图中当60 v x w 90时售价y （元/千克）和上市后天数 x （天）的函数关系式； （3） 求出每日销售收入 Q （元）与上市后天数 x （天）的函数关系式，并求出上市后日销 售收入最高为多少？（第 27 题）28. （10分）如图，射线 AM 平行于射线 BN , AB 丄BN 且AB = 3, C 是射线BN 上的一个动1点，连接AC ,作CD 丄AC 且CD =尹6 过C 作CE 丄BN 交AD 于点E ，设BC 长为t . （1） AC 长为 ▲ , △ ACD 的面积为 ▲ （用含有t 的代数式表示）; （2）求点D 到射线BN 的距离（用含有t 的代数式表示）;（3） 是否存在点。
2019-2020学年05月27日南京鼓楼区中考一模数学试卷+解析
数 学注意事项：•1 •本试卷共6 页•全卷满分1 2〇分•考试时间为1 2 6 分钟丨考生答题全部答在答题卡上，答在未试卷上无效•.2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号否与本人相符合,再将自己的姓名、准考证号用〇• 5 毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上^一、选择题(本大题共6 :小I S ，％ 小题2 分，共 1 2 分.在每小题所给出的四个选项丰，^有一项是符合」 •.题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在夸亭卞串寧年葶上>: …“1，鼓楼e 学校了停课不停学在线课堂，，在此次疫褕•期丨司•为•全•国•师生提供鼓楼教言沾“云 服 务 • 课程日均尚量达 1 200 000•用科学记数法表示1 200 000 是 > . A .0.12X 106 ' r B .1.2X 107C .1.2X 106D .12X 105 2 .〜^" 表示4的-A •平方B • 平 方 根 .C •算术平方根 'D .立方根'•丨3•数轴上，点丄刀分别表示一 1、7,则线段A B 的中点C 表 示 的 数 是 ‘ +Y :A .2B . 3C .4D .5•一，4 . 已 知5 < ^ < 7 , 4 < ~ ^ " <6 , 则 ^ / $ 的 整 数 部 分 可 以 是 _， -：A . 9 ■B .10'C . l lD . 12 ， -• 5•某班3 7 名同学中只有1 位同学身高是165 bm .若除甲、乙外其+ 3 5 名同学身高的平均数和中 . 位. 数都是 1. 65 cm ,则该班3 7 名同学身高. 的. 平均数a 和中位数《单位.• :cm ),不可能是... •• . A .a > 1 6 5 , 6 = 1 6 5 B .a < l 65,6=165 .C ,«< 165 , 6 = 164D .a = 165 , 6 = 166i6• 如 图 两 地 相 距 《m ，它们之间有^半径为r … •的圆形琴地(r < f ),绿地圆心位于儿& 1 线的 _中点0 处 , 分 别 过 作 © 〇 的切线相交于C ,^切点分别为Z )、五 • 现 规 划 两 条 驾 车 路 径 a ’- (:OJB—C — (沿 S )—JD -M ,则下列J 说法正确的是(第6 题)•A .①较长B .②较长C .①②一样长D . 以上皆有可能二、填空题(本大题共10 小题,每小题2 分，共20 分•不需写出解答过程,请把答案直接填写在f 寧卞竽毕筚写上）7.写出一i 数，使这个数等于它的倒数:_J k8. 若式子 " 7 —1在实数范围内有意义，则：的取值范围是-a9•计算的结果是_ ▲v y10.方程的x解是_11•已知方程訌2+ 仁一3 = 〇的两根分别为心、於，则幻+ ^ = __ ▲，工1工产----- 表—12•数据苍，3,2,3,5的方差是▲•I3•若正比例函数：y=々i z的图像与反比例函数的图像都经过点( 2 ,3),则々1<r s=^ 的解是14.如图，点〇是正五边形A沉刀五的中心,连接丑P 、〇D,则Z ：B I)〇= A_i 5•如图，沉1是© O 的切线是切点 .连接丑(9并延长，交©〇于点五、儿过Z 作A C JJ 5C ,垂足为C•若B D= 8 ，J3E=4 ,则A\主视图B俯视图(第M 题）. ( 第16 题）16.用^ 干个相同的小正方体搭一个几何体，该几何体的主视图、俯视图如图所示•若小正方体的棱长为1,则搭成的几何体的表面积是▲三、解答题(本大题共11 小题，共的分• 请在寧字E 亨内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. ( 7 分)计算a 1 , 3 ^ - 11 —a1一丁18. ( 7 分)( 1 ) 解不等式5 $ + 2 > 3 0 ^ 1 ) , 并把它的解集在数铀上表示出来. ：，、u1一—3^ —2 —1 ； 0 :：i f , 2 3 ^( 第 18 题〉<(2)写出一个实数々，使得不等式々和⑴中的不等式组成的不等式组恰有3 个整数解.19. ( 7 分) 如图，已知直线瓦p 分别交直线仙、C£)于点G //, G J H J 分别平分/.BGH ^ GHD .(1)求证G7 丄HA⑵请用文字概括⑴所证明的命题：▲.AC_ (第丨9 题）•20. (8 分)下面是某区1 5 0 0 名小学生和初中生的视力情况和他们每节课墀间户外活动平均时: 长的统计图•，，..；: ）：'V / 、•S .1某区1 500名小学生和初中生图2 某区1500名小学生和初中生近视情况条職计图各年级近视率折线统计图图3 某区1 500名小学生和初中生每节课课间户外活动平均时长分布统计图人数百分比(％)1?_ 小学囹初中0-2分钟 2 4 分钟 4 4 分知W 分^ 分钟以上时长•- ••.(1)根据图1 ，计算该区1 5 0 0 名学生的近视卓;(2)根据图2,从两个不同的角度描述该区1 5 0 0 名学生各年级近视率的变化趋势；⑶根据图1、图2 、图3,描述该区1 5 0 0 名学生逬视率和所在学段(小学、初中)、每节课课间户外活动平均时长的关系，21. (8 分） ^ \ ! J '、' 址 9(1) 不透明的袋子A 中装有红球1 个、白球1 个，不透明的袋子B 中装有红球1 个、• 每’这些球除颜色外无其他差别•分别从两个袋子中随机摸出一个球，求摸出的两斤球颜色不同的概率； (2) 甲、乙两人解同一道数学题，甲正确的概率为"I •，乙正确的概率为^■，则甲乙恰有一人正确的概率是 ▲ • 、 - ,22. ( 8 分 ) 点 分 别 是 菱 形 ABCZ )边议：、Ci ) 上的点. (1)如图，若 C E = C F ,求证 A £ = i 4F ; ⑵ 判断命题“若 则 C £ = CT ”的真假.若真，请证明;若假，请在备用图上画出反例.23. ( 8 分)某工厂生产A 、B 、C 三种产品，这三种产品的生产数量均为x 件•它们的单件成本和固定成本如下表：产品单件成本(元/件）固定成本(元）A 0.1 1 100B 〇 .8 r - …aCb (b > 0 )\200(注:总成本= 单件成本X 生产数量+ 固定成本）(1) 若产品A 的总成本为v A ，则 v a 关于:r 的函数表达式为 ▲ ；-—(2) 当x = l 0 0 0 时，产品A 、B 的总成本相同•* , A // v >^① 求W ...................................................................... N. ‘ 、it ** "• "' 1 二 3^ ' • J ^ ^ :.V '.② 当^ < 2 0 0 0 时，产品C 的总成本最低，求 6 的取值范围.(1) 求©〇的半径; A(2 )求的长 .(第24 题)25. ( 8 分)如图，用一屯平面去截正方体邱CDEFG^ , 得到了写棱锥s - d p Q•若Z S P i^ 451^ 5 〇 0 = 3 7 。
2020年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷含解析
2020年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）“鼓楼e学校一停课不停学在线课堂”在此次疫情期间为全国师生提供鼓楼教育的“云服务”，课程日均访问量达1200000，用科学记数法表示1200000是（）A．0.12×106B．1.2×107C．1.2×106D．12×1052．（2分）表示4的（）A．平方B．平方根C．算术平方根D．立方根3．（2分）数轴上，点A、B分别表示﹣1、7，则线段AB的中点C表示的数是（）A．2B．3C．4D．54．（2分）已知5≤≤7，4≤≤6，则的整数部分可以是（）A．9B．10C．11D．125．（2分）某班37名同学中只有1位同学身高是165cm．若除甲、乙外其余35名同学身高的平均数和中位数都是165cm，则该班37名同学身高的平均数a和中位数b（单位：cm），不可能是（）A．a＞165，b＝165B．a＜165，b＝165C．a＜165，b＝164D．a＝165，b＝1666．（2分）如图，A、B两地相距am，它们之间有一半径为r的圆形绿地（r＜），绿地圆心位于AB连线的中点O处，分别过A、B作⊙O的切线相交于C，切点分别为D、E．现规划两条驾车路径：①B→E→C→D→A；②B→E→（沿）→D→A，则下列说法正确的是（）A．①较长B．②较长C．①②一样长D．以上皆有可能二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答趣卡相应位置上）7．（2分）写出一个数，使这个数等于它的倒数：．8．（2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是．9．（2分）计算的结果是．10．（2分）解方程＝得．11．（2分）已知方程2x2+4x﹣3＝0的两根分别为x1、x2，则x1+x2＝，x1x2＝．12．（2分）一组数据2，3，2，3，5的方差是．13．（2分）若正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝的图象都经过点（2，3），则k1x＝的解是．14．（2分）如图，点O是正五边形ABCDE的中心，连接BD、OD，则∠BDO＝°．15．（2分）如图，BC是⊙O的切线，D是切点．连接BO并延长，交⊙O于点E、A，过A 作AC⊥BC，垂足为C．若BD＝8，BE＝4，则AC＝．16．（2分）用若干个相同的小正方体搭一个几何体，该几何体的主视图、俯视图如图所示．若小正方体的棱长为1，则搭成的几何体的表面积是．三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）计算．18．（7分）（1）解不等式5x+2≥3（x﹣1），并把它的解集在数轴上表示出来．（2）写出一个实数k，使得不等式x＜k和（1）中的不等式组成的不等式组恰有3个整数解．19．（7分）如图，已知AB∥CD，直线EF分别交直线AB、CD于点G、H，GI、HI分别平分∠BGH、∠GHD．（1）求证GI⊥HI．（2）请用文字概括（1）所证明的命题：．20．（8分）如图是某区1500名小学生和初中生的视力情况和他们每节课课间户外活动平均时长的统计图．（1）根据图1，计算该区1500名学生的近视率；（2）根据图2，从两个不同的角度描述该区1500名学生各年级近视率的变化趋势；（3）根据图1、图2、图3，描述该区1500名学生近视率和所在学段（小学、初中）、每节课课间户外活动平均时长的关系．21．（8分）（1）不透明的袋子A中装有红球1个、白球1个，不透明的袋子B中装有红球1个、白球2个，这些球除颜色外无其他差别．分别从两个袋子中随机摸出一个球，求摸出的两个球颜色不同的概率；（2）甲、乙两人解同一道数学题，甲正确的概率为，乙正确的概率为，则甲乙恰有一人正确的概率是．22．（8分）点E、F分别是菱形ABCD边BC、CD上的点．（1）如图，若CE＝CF，求证AE＝AF；（2）判断命题“若AE＝AF，则CE＝CF”的真假．若真，请证明；若假，请在备用图上画出反例．23．（8分）某工厂生产A、B、C三种产品，这三种产品的生产数量均为x件．它们的单件成本和固定成本如表：产品单件成本（元/件）固定成本（元）A0.11100B0.8aC b（b＞0）200（注：总成本＝单件成本×生产数量+固定成本）（1）若产品A的总成本为y A，则y A关于x的函数表达式为．（2）当x＝1000时，产品A、B的总成本相同．①求a；②当x≤2000时，产品C的总成本最低，求b的取值范围．24．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为D，BD＝6，DC＝4．（1）求⊙O的半径；（2）求AD的长．25．（8分）如图，用一个平面去截正方体ABCDEFGH，得到了三棱锥S﹣DPQ．若∠SPD ＝45°，∠SQD＝37°，PQ＝1，求SD的长．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75．）26．（10分）已知y是x的二次函数，该函数的图象经过点A（0，5）、B（1，2）、C（3，2）．（1）求该二次函数的表达式，画出它的大致图象并标注顶点及其坐标；（2）结合图象，回答下列问题：①当1≤x≤4时，y 的取值范围是；②当m≤x≤m +3时，求y的最大值（用含m的代数式表示）；③是否存在实数m、n（m≠n），使得当m ≤x≤n时，m≤y≤n？若存在，请求出m、n；若不存在，请说明理由．27．（9分）如图，已知矩形纸片ABCD，怎样折叠，能使边AB被三等分？以下是小红的研究过程．思考过程要使边AB被三等分，若从边DC上考虑，就是要折出DM＝DC，也就是要折出DM＝AB，当DB、AM相交于F时，即要折出对角线上的DF＝DB．那么…折叠方法和示意图①折出DB；对折纸片，使D、B重合，得到的折痕与DB相交于点E；继续折叠纸片，使D、B与E重合，得到的折痕与DB分别相交于点F、G；②折出AF、CG，分别交边CD、AB于M、Q；③过M折纸片，使D落在MC上，得到折痕MN，则边AB被N、Q三等分．（1）整理小红的研究过程，说明AN＝NQ＝QB；（2）用一种与小红不同的方法折叠，使边AB被三等分．（需简述折叠方法并画出示意图）2020年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）“鼓楼e学校一停课不停学在线课堂”在此次疫情期间为全国师生提供鼓楼教育的“云服务”，课程日均访问量达1200000，用科学记数法表示1200000是（）A．0.12×106B．1.2×107C．1.2×106D．12×105【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．【解答】解：1200000＝1.2×106．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．（2分）表示4的（）A．平方B．平方根C．算术平方根D．立方根【分析】根据算术平方根的定义计算可得．【解答】解：表示4的的算术平方根，故选：C．【点评】本题主要考查算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．3．（2分）数轴上，点A、B分别表示﹣1、7，则线段AB的中点C表示的数是（）A．2B．3C．4D．5【分析】数轴上点A所表示的数为a，点B所表示的数为b，则AB的中点所表示的数为．【解答】解：线段AB的中点C表示的数为：＝3，故选：B．【点评】考查数轴表示数的意义和方法，掌握中点所表示的数的计算方法是得出正确答案的前提．4．（2分）已知5≤≤7，4≤≤6，则的整数部分可以是（）A．9B．10C．11D．12【分析】根据估算无理数的大小的方法即可得的整数部分．【解答】解：∵5≤≤7，4≤≤6，∴25≤a≤49，16≤b≤36，∴41≤a+b≤85，则的整数部分可以是6，7，8，9．故选：A．【点评】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是掌握估算的方法．5．（2分）某班37名同学中只有1位同学身高是165cm．若除甲、乙外其余35名同学身高的平均数和中位数都是165cm，则该班37名同学身高的平均数a和中位数b（单位：cm），不可能是（）A．a＞165，b＝165B．a＜165，b＝165C．a＜165，b＝164D．a＝165，b＝166【分析】根据中位数和平均数的定义分别进行解答即可．【解答】解：因为35名同学身高的平均数和中位数都是165cm，且只有1位同学身高是165cm，如果甲乙两同学身高都大于165，中位数可能是166，但平均数大于165；如果甲乙两同学身高都小于165，中位数小于165，平均数小于165；如果甲乙两同学身高一个大于165，一个小于165，则平均数可能是165，但中位数只能是165，故选：D．【点评】本题考查平均数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．6．（2分）如图，A、B两地相距am，它们之间有一半径为r的圆形绿地（r＜），绿地圆心位于AB连线的中点O处，分别过A、B作⊙O的切线相交于C，切点分别为D、E．现规划两条驾车路径：①B→E→C→D→A；②B→E→（沿）→D→A，则下列说法正确的是（）A．①较长B．②较长C．①②一样长D．以上皆有可能【分析】分别写出①和②的路线组成，只需比较不同的部分，即EC+CD与的大小即可．【解答】解：如图，①B→E→C→D→A，所走的路程为：BE+EC+CD+DA；②B→E→（沿）→D→A，所走的路程为：BE++DA；∵EC+CD＞，∴BE+EC+CD+DA＞BE++DA，即①＞②．故选：A．【点评】本题考查了圆的相关性质，数形结合是解题的关键．本题作为选择题，无需复杂计算，充分利用几何直观是快速解题的根本．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答趣卡相应位置上）7．（2分）写出一个数，使这个数等于它的倒数：1．【分析】根据倒数的定义可知如果一个数等于它的倒数，则这个数是±1．【解答】解：如果一个数等于它的倒数，则这个数是±1．故答案为：1．【点评】本题考查了倒数的定义．解题的关键是掌握倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．要求掌握并熟练运用．尤其是±1这两个特殊的数字．8．（2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥1．【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．【解答】解：若在实数范围内有意义，则x﹣1≥0，解得：x≥1．故答案为：x≥1．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．9．（2分）计算的结果是2．【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．【解答】解：原式＝+＝2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确化简二次根式是解题关键．10．（2分）解方程＝得x＝9．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2x＝3x﹣9，解得：x＝9，经检验x＝9是分式方程的解．故答案为：x＝9．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．11．（2分）已知方程2x2+4x﹣3＝0的两根分别为x1、x2，则x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣．【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系，即可得出x1+x2和x1x2的值．【解答】解：∵x1、x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两根，∴x1+x2＝﹣＝﹣2，x1x2＝＝﹣．故答案为：﹣2；﹣．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．12．（2分）一组数据2，3，2，3，5的方差是 1.2．【分析】先求出平均数，再根据方差公式计算即可．S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]．【解答】解：＝（2+3+3+3+5）÷5＝3，S2＝[（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（2﹣3）2+（5﹣3）2]＝1.2．故填答案为1.2．【点评】本题考查方差的定义．一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．13．（2分）若正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝的图象都经过点（2，3），则k1x＝的解是2或﹣2．【分析】两个函数的图象都经过点（2，3），即k1x＝的一个解为x＝2，根据正比例函数点的对称性，则另外一个解为x＝﹣2，即可求解．【解答】解：两个函数的图象都经过点（2，3），即k1x＝的一个解为x1＝2，根据正比例函数点的对称性，则另外一个解为x2＝﹣2，故答案为2或﹣2．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，运用正比例函数点的对称性是解题的关键．14．（2分）如图，点O是正五边形ABCDE的中心，连接BD、OD，则∠BDO＝18°．【分析】连接OB，OC，可求出∠BOC和∠COD的度数，则∠BOD的度数可知，因为OB＝OD，进而可求出∠BDO的度数．【解答】解：连接OB，OC，∵点O是正五边形ABCDE的中心，∴∠BOC＝∠COD＝＝72°，∴∠BOD＝2×72°＝144°，∵OB＝OC，∴∠BDO＝∠OBD＝＝18°，故答案为：18．【点评】本题考查了正多边形和圆的位置关系，正确的添加辅助线以及记熟正多边形的有关性质是解题关键．15．（2分）如图，BC是⊙O的切线，D是切点．连接BO并延长，交⊙O于点E、A，过A 作AC⊥BC，垂足为C．若BD＝8，BE＝4，则AC＝9.6．【分析】连接OD、AD、ED，根据切线的性质得到∠ODB＝90°，根据圆周角定理得到∠ADE＝90°，证明△BDE∽△BAD，根据相似三角形的性质求出AE，证明△BDO∽△BCA，求出AC．【解答】解：连接OD、AD、ED，∵BC是⊙O的切线，∴∠ODB＝90°，∴∠ODE+∠BDE＝90°，∵AE为⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∴∠DAE+∠AED＝90°，∵OD＝OE∴∠ODE＝∠OED，∴∠BDE＝∠BAD，∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BAD，∴＝，即＝，解得，AE＝12，∵∠BDO＝∠BCA，∠B＝∠B，∴△BDO∽△BCA，∴＝，即＝，解得，AC＝9.6，故答案为：9.6．【点评】本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．16．（2分）用若干个相同的小正方体搭一个几何体，该几何体的主视图、俯视图如图所示．若小正方体的棱长为1，则搭成的几何体的表面积是28或30．【分析】由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图可得第二层和第三层最少或最多的正方体的个数，相加解答即可．【解答】解：搭这样的几何体最少需要4+1+2＝7个小正方体，最多需要4+2+2＝8个小正方体，所以搭成的几何体的表面积是4×7＝28或4×8﹣2＝30，故答案为：28或30．【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）计算．【分析】根据异分母分式相加减，先通分，再根据同分母分式相加减的法则计算即可．【解答】解：原式＝＝＝＝．【点评】本题主要考查了分式的加减，熟练掌握分式的通分是解答本题的关键．18．（7分）（1）解不等式5x+2≥3（x﹣1），并把它的解集在数轴上表示出来．（2）写出一个实数k，使得不等式x＜k和（1）中的不等式组成的不等式组恰有3个整数解．【分析】（1）先去括号，再移项得到5x﹣3x≥﹣3﹣2，然后合并后系数化为1即可，再用数轴表示解集即可求解．（2）根据题意可得0＜k≤1满足条件，依此写出即可求解．【解答】解：（1）5x+2≥3（x﹣1），去括号得5x+2≥3x﹣3，移项得5x﹣3x≥﹣3﹣2，合并得2x≥﹣5，系数化为1得x≥﹣2.5，用数轴表示为：（2）∵一个实数k，使得不等式x＜k和（1）中的不等式组成的不等式组恰有3个整数解，∴0＜k≤1，∴k＝1满足条件．【点评】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．也考查了在数轴上表示不等式的解集．19．（7分）如图，已知AB∥CD，直线EF分别交直线AB、CD于点G、H，GI、HI分别平分∠BGH、∠GHD．（1）求证GI⊥HI．（2）请用文字概括（1）所证明的命题：两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直．【分析】利用角平分线、平行线的性质及三角形的内角和定理，先求出∠I的度数，再说明两直线的关系．【解答】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠BGH+∠GHD＝180°．∵∠HGI＝HGB，∠GHI＝GHD，∴∠HGI+∠GHI＝∠HGB+GHD＝（∠HGB+∠GHD）＝90°．∵∠HGI+∠KHI+∠I＝180°，∴∠I＝90°．∴GI⊥HI．（2）文字可概况为：两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直．故答案为：两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直．【点评】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、三角形的内角和定理及垂直的定义．利用角平分线、平行线的性质及三角形的内角和定理，说明∠I＝90°是解决本题的关键．20．（8分）如图是某区1500名小学生和初中生的视力情况和他们每节课课间户外活动平均时长的统计图．（1）根据图1，计算该区1500名学生的近视率；（2）根据图2，从两个不同的角度描述该区1500名学生各年级近视率的变化趋势；（3）根据图1、图2、图3，描述该区1500名学生近视率和所在学段（小学、初中）、每节课课间户外活动平均时长的关系．【分析】（1）根据近视率＝计算即可．（2）利用图2中的信息解决问题即可．（3）根据图3解决问题即可．【解答】解：（1）该区1500名学生的近视率＝＝52%．（2）①近视率随年级的增高而增高．②在四到六年级期间，近视率的增长幅度比较大．（3）近视率会随着学段的升高而增加，学段提高后，学生的课简的活动时间普遍减少，近视率也随之上升．【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（8分）（1）不透明的袋子A中装有红球1个、白球1个，不透明的袋子B中装有红球1个、白球2个，这些球除颜色外无其他差别．分别从两个袋子中随机摸出一个球，求摸出的两个球颜色不同的概率；（2）甲、乙两人解同一道数学题，甲正确的概率为，乙正确的概率为，则甲乙恰有一人正确的概率是．【分析】（1）根据题意画出树状图得出所有等情况数和摸出的两个球颜色不同的情况数，然后根据概率公式即可得出答案；（2）根据题意得到甲正确乙不正确的概率，甲不正确乙正确的概率，两者相加即可得到结论．【解答】解：（1）画树状图如下：共有6种等情况数，其中摸出的两个球颜色不同的有3种，则摸出的两个球颜色不同的概率是＝；（2）甲正确乙不正确的概率为（1﹣）＝，甲不正确乙正确的概率为（1﹣）×＝，∴甲乙恰有一人正确的概率是+＝，故答案为：．【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B 的概率．22．（8分）点E、F分别是菱形ABCD边BC、CD上的点．（1）如图，若CE＝CF，求证AE＝AF；（2）判断命题“若AE＝AF，则CE＝CF”的真假．若真，请证明；若假，请在备用图上画出反例．【分析】（1）连接AC，利用菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；（2）举出反例解答即可．【解答】解：（1）连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ACE＝∠ACF，在△ACE与△ACF中，∴△ACE≌△ACF（SAS），∴AE＝AF，（2）当AE＝AF＝AF'时，CE≠CF'，如备用图，所以命题“若AE＝AF，则CE＝CF”是假命题．【点评】此题考查命题与定理，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答．23．（8分）某工厂生产A、B、C三种产品，这三种产品的生产数量均为x件．它们的单件成本和固定成本如表：产品单件成本（元/件）固定成本（元）A0.11100B0.8aC b（b＞0）200（注：总成本＝单件成本×生产数量+固定成本）（1）若产品A的总成本为y A，则y A关于x的函数表达式为y＝0.1x+1100．（2）当x＝1000时，产品A、B的总成本相同．①求a；②当x≤2000时，产品C的总成本最低，求b的取值范围．【分析】（1）根据“总成本＝单件成本×生产数量+固定成本”即可得出产品A的总成本为y A，则y A关于x的函数表达式；（2）①根据题意列方程解答即可；②取x＝2000时，即可得出b的取值范围．【解答】解：（1）根据题意得：y＝0.1x+1100；故答案为：y＝0.1x+1100．（2）①由题意得0.8×1000+a＝0.1×1000+1100，解得a＝400；②当x＝2000时，y C≤y A且y C≤y B，即2000b+200≤2000×0.8+400；2000b+200≤2000×0.1+1100，解得：0＜b≤0.55．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．24．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为D，BD＝6，DC＝4．（1）求⊙O的半径；（2）求AD的长．【分析】（1）根据圆周角定理得到∠BOC＝90°，根据等腰直角三角形的性质计算，求出OB；（2）连接OA，过点O作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，根据垂径定理求出DF，根据等腰直角三角形的性质求出OF，根据勾股定理求出AE，结合图形计算得到答案．【解答】解：（1）如图1，连接OB、OC，∵BD＝6，DC＝4，∴BC＝10，由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝90°，∴OB＝BC＝5；（2）如图2，连接OA，过点O作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，∴BF＝FC＝5，∴DF＝1，∵∠BOC＝90°，BF＝FC，∴OF＝BC＝5，∵AD⊥BC，OE⊥AD，OF⊥BC，∴四边形OFDE为矩形，∴OE＝DF＝1，DE＝OF＝5，在Rt△AOE中，AE＝＝7，∴AD＝AE+DE＝12．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键．25．（8分）如图，用一个平面去截正方体ABCDEFGH，得到了三棱锥S﹣DPQ．若∠SPD ＝45°，∠SQD＝37°，PQ＝1，求SD的长．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75．）【分析】在直角三角形SDP中，根据∠SPD＝45°，得到三角形为等腰直角三角形，即SD＝PD，在Rt三角形SDQ中，利用锐角三角函数定义表示出DQ，在直角三角形PDQ 中，利用勾股定理求出所求即可．【解答】解：在Rt△SPD中，∠SPD＝45°，∴SD＝PD，在Rt△SDQ中，∠SDQ＝37°，∴tan37°＝＝0.75，∴DQ＝SD＝PD，在Rt△PDQ中，PQ＝＝SD＝1，∴SD＝．【点评】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：等腰直角三角形的判定，锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．26．（10分）已知y是x的二次函数，该函数的图象经过点A（0，5）、B（1，2）、C（3，2）．（1）求该二次函数的表达式，画出它的大致图象并标注顶点及其坐标；（2）结合图象，回答下列问题：①当1≤x≤4时，y的取值范围是1≤y≤5；②当m≤x≤m+3时，求y的最大值（用含m的代数式表示）；③是否存在实数m、n（m≠n），使得当m≤x≤n时，m≤y≤n？若存在，请求出m、n；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用待定系数法求出解析式，用描点法画出函数图象；（2）①根据函数图象找出横坐标由1到4的点的纵坐标的最大值与最小值，便可写出y 的取值范围；②先求出对称轴x＝﹣，分两种情况：﹣﹣m≥m+3﹣（﹣）或﹣﹣m＜m+3﹣（﹣），根据二次函数的性质求y的最大值便可；③分三种情况：i若n≤2，有：m2﹣4m+5＝n①，n2﹣4n+5＝m②，m＜n③，由此求出m、n的值；ii若m≥2，有：m2﹣4m+5＝m①，n2﹣4n+5＝n②，m＜n③，由此确定m、n的值；iii若m＜2，n＞2，此时y min＝1，得出m＝1，再由y max＝n确定n＞3，且n2﹣4n+5＝n，解得符合条件的n的值，便可得出结果．【解答】解：（1）设二次函数的解析式为：y＝ax2+bx+c（a≠0），则，解得，，∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x+5，列表如下：x…01234…y…52125…描点、连线，（2）①由函数图象可知，当1≤x≤4时，1≤y≤5，故答案为：1≤y≤5；②∵二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x+5，∴对称轴为x＝2，当2﹣m≤m+3﹣2，即m≥时，则在m≤x≤m+3内，当x＝m+3时，y有最大值为y＝x2﹣4x+5＝（m+3）2﹣4（m+3）+5＝m2﹣+2m+2；当2﹣m＞m+3﹣2，即m＜时，则在m≤x≤m+3内，当x＝m时，y有最大值为y＝x2﹣4x+5＝m2﹣4m+5；③分三种情况：i若n≤2，有：m2﹣4m+5＝n①，n2﹣4n+5＝m②，m＜n③①﹣②得：（n﹣m）（4﹣m﹣n）＝n﹣m，n﹣m＞0，∴m+n＝3，代入①解得：m＝1，n＝2；ii若m≥2，有：m2﹣4m+5＝m①，n2﹣4n+5＝n②，m＜n③，①﹣②得：（n﹣m）（4﹣m﹣n）＝n﹣m，n﹣m＞0，∴m+n＝3，在范围内无解；iii若m＜2，n＞2，∵此时y min＝1，∴必有m＝1，当m＝1时，若x＝1，则y＝y＝x2﹣4x+5＝2，又若x＝3，则y＝x2﹣4x+5＝2，∵n＞2，y max＝n＞2，∴n＞3，且n2﹣4n+5＝n，解得，n ＝，综上所述：m＝1，n＝2或m＝1，n ＝．【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，画二次函数图象，由函数图象解决问题，后两问难度较大，关键是分情况讨论和根据特征点解题．27．（9分）如图，已知矩形纸片ABCD，怎样折叠，能使边AB被三等分？以下是小红的研究过程．思考过程要使边AB被三等分，若从边DC上考虑，就是要折出DM ＝DC，也就是要折出DM ＝AB，当DB、AM相交于F时，即要折出对角线上的DF ＝DB．那么…折叠方法和示意①折出DB；对折纸片，使D、B重合，得到的折痕与DB相交于点E；继续折叠纸片，使D、B与E重合，得到的折痕与DB分别相交于点F、G；②折出AF、CG，分别交边CD、AB于M、Q；③过M折纸片，使D落在MC上，得到折痕MN，则边AB被N、Q三等分．图（1）整理小红的研究过程，说明AN＝NQ＝QB；（2）用一种与小红不同的方法折叠，使边AB被三等分．（需简述折叠方法并画出示意图）【分析】（1）由折叠的性质可得DF＝DB，DM＝AN，通过证明△DFM∽△BAF，可得DM＝AB，可得AN＝AB，同理可求QB＝AB，可得结论；（2）所求图形，如图所示，由折叠的性质可得AF＝BF＝DE＝EC＝CD，AN＝DM＝NQ，通过证明△AGF∽△CGD，可得，由平行线分线段成比例可得AN＝MC ＝DM，即可证AN＝NQ＝QB．【解答】解：（1）由折叠的性质可得，DF＝DB，四边形ADMN是矩形，∴DM＝AN，∵CD∥AB，∴△DFM∽△BAF，∴＝，∴DM＝AB，∴AN＝AB，同理可求QB＝AB，∴AN＝NQ＝QB；（2）如图，①将矩形ABCD对折，使AD与BC重合，折痕为EF；②连接AC，DF，交点为G，③过点G折叠矩形ABCD，使点D落在CE上，对应点为E，使点A落在BF上，对应点为Q，折痕为MN；∴点N，点Q为AB的三等分点．理由如下：由折叠的性质可得：AF＝BF＝DE＝EC＝CD，AN＝DM＝NQ，∵AB∥CD，∴△AGF∽△CGD，∴，∵AB∥CD，∴，∴AN＝MC＝DM，∴AN＝DM＝CD＝AB，∴NQ＝AB，∴AN＝NQ＝QB．【点评】本题是几何变换综合题，考查矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．。
2024年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷(含解析)
2024年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.能与−2相加得0的数是( )A. 2B. −2C. 12D. −122.下列正确的是( )A. 4+9=2+3B. 4×9=2×3C. 94=32D. 4.9=0.73.整数372310…0用科学记数法表示为3.7231×1011，则原数中0的个数为( )A. 5B. 6C. 7D. 84.下列图形是三棱柱展开图的( )A. B.C. D.5.若m≠n，则下列化简一定正确的是( )A. m+3n+3=mnB. m−3n−3=mnC. m3n3=mnD. 3m3n=mn6.如图为某射击场35名成员射击成绩的条形统计图(成绩均为整数)，其中部分已破损.若他们射击成绩的中位数是5环，则下列数据中无法确定的是( )A. 3环以下(含3环)的人数B. 4环以下(含4环)的人数C. 5环以下(含5环)的人数D. 6环以下(含6环)的人数二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
7.若x+2y=5，则3x+6y−1的值是______．8.若分式xx−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．9.计算3+12的结果是______．10.若圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，则它的侧面积是______．11.若a n+a n⋯+a na个a n=a4(a为大于1的整数)，则n的值是______．12.一组数据x，2，3的平均数是3，这组数据的方差是______．13.如图，四边形ABCD是矩形，根据尺规作图痕迹，计算∠1的大小为______．14.如图，正八边形ABCDEFGH的半径为4，则它的面积是______．15.关于x的方程(x−n)2+2(x−n)+2=m(m>1)的两根之和是______．16.如图，已知点A(1,0)、B(5,0)，点C在y轴上运动.将AC绕A顺时针旋转60°得到AD，则BD的最小值为______．三、解答题：本题共11小题，共88分。
江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷(含解析版答案)
江苏省南京市鼓楼区中考一模试卷数学一、选择题1．4的算术平方根是（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．±162．鼓楼区公益项目“在线伴读”平台开通以来，累计为学生在线答疑15000次．用科学记数法表示15000是（）A．0.15×106B．1.5×105C．1.5×104D．15×1053．计算（﹣a）2•（a2）3（）A．a8B．﹣a8C．a7D．﹣a74．若顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是菱形，则下列结论中正确的是（）A．AB∥CD B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC＝BD5．如图是某家庭2018年每月交通费支出的条形统计图，若该家庭2018年月交通费平均支出为a元，则下列结论中正确的是（）A．200≤a≤220 B．220≤a≤240 C．240≤a≤260 D．260≤a≤280 6．A、B两地相距900km，一列快车以200km/h的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路返回A地，一列慢车以75km/h的速度从B地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距200km的次数是（）A．5 B．4 C．3 D．2二、填空题7．﹣3的绝对值是．8．若式子√x+1在实数范围内有意义，则x的取值范围是．9．计算√27√62的结果是 ．10．方程1x+2=2x的解是 ．11．正五边形每个外角的大小是 度．12．已知关于x 的方程x 2+mx ﹣2＝0有一根是2，则另一根是 ，m ＝ ． 13．如图，AB ∥EG ∥CD ，EF 平分∠BED ，若∠D ＝69°，∠GEF ＝21°，则∠B ＝ °．14．如图，圆锥底面圆心为O ，半径OA ＝1，顶点为P ，将圆锥置于平面上，若保持顶点P 位置不变，将圆锥顺时针滚动三周后点A 恰好回到原处，则圆锥的高OP ＝ ．15．如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，B 是AĈ的中点，过C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ．若∠AEC ＝84°，则∠ADC ＝ °．16．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝4，BC ＝3．若点P 在△ABC 内部（含边界）且满足PC ≤PA ≤PB ，则所有点P 组成的区域的面积为 ．三、解答题17．解不等式组{3x ＞2x −2x −3(x −2)≥4．18．计算a−2a−1÷(a +1−3a−1)19．（1）解方程x 2﹣x ﹣1＝0．（2）在实数范围内分解因式x 2﹣x ﹣1的结果为 ． 20．如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，BC ＝DE ，点E 在BC 上．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求证：∠EAC＝∠DEB．21．（1）两只不透明的袋子中均有红球、黄球、白球各1个，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个袋子中随机摸出一个球，求摸出两个球都是红球的概率．（2）鼓楼区实施全面均衡分班，某校为七年级各班随机分配任课教师．已知该校七年级共有10个班，语文洪老师、数学胡老师都执教该年级，则他俩都任教七（1）班的概率为．22．妈妈准备用5万元投资金融产品，她查询到有A、B两款“利滚利”产品，即上一周产生的收益将计入本金以计算下一周的收益．例如：投资100元，第一周的周收益率为5%，则第一周的收益为100×5%＝5元，第二周投资的本金将变为100+5＝105元．如图是这两款产品过去5周的周收益率公告信息．（第一周：3月1日～3月7日）（1）若妈妈3月1日投资产品B，到第二周结束时会不赚不赔，这种说法对吗？请判断并说明理由．（2）请运用学过的统计知识，为妈妈此次投资金融产品提出建议并简要说明理由．23．已知点A（1，1），B（2，3），C（4，7），请用两种不同的方法判断这三点是否在一条直线上．（写出必要的推理过程）24．已知：如图，在▱ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）已知AB＝5，AD＝8．求四边形GEHF是矩形时BD的长．25．某商品的进价是每件40元，原售价每件60元．进行不同程度的涨价后，统计了商品调价当天的售价和利润情况，以下是部分数据：售价（元/件）60 61 62 63 …利润（元）6000 6090 6160 6210 …（1）当售价为每件60元时，当天售出件；（2）若对该商品原售价每件涨价x元（x为正整数）时当天售出该商品的利润为y元．①用所学过的函数知识直接写出y与x之间满足的函数表达式：．②如何定价才能使当天的销售利润不等于6200元？26．如图①，一座石拱桥坐落在秦淮河上，它的主桥拱为圆弧形．如图②，乔宽AB为8米，̂表示的是主桥拱在水面以上的部分，点P表示主桥拱拱顶．小明乘水面BC宽16米，BC坐游船，沿主桥拱的中轴线向主桥拱行驶．（1）图③是主桥拱在水面以上部分的主视图，请用直尺和圆规作出主桥拱在静水中的倒影．（保留作图痕迹，不写作法）．（2）已知小明眼睛距离水平1.6米，游船的速度为0.2米/秒．某一时刻，小明看拱顶P 的仰角为37°，4秒后，小明看拱顶P的仰角为45°．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）①求桥拱P到水面的距离；②船上的旗杆高1米，某时刻游船背对阳光形式，小明发现旗杆在阳光下的投影所在直线与航线平行且长为2米．请估计此刻桥的正下方被阳光照射到的部分的面积（需画出示意图并标注必要数据）．27．把一个函数图象上每个点的纵坐标变为原来的倒数（原函数图象上纵坐标为0的点除外）、横坐标不变，可以得到另一个函数的图象，我们称这个过程为倒数变换．例如：如图，将y＝x的图象经过倒数变换后可得到y=1x的图象．特别地，因为y＝x图象上纵坐标为0的点是原点，所以该点不作变换，因此y=1x的图象上也没有纵坐标为0的点．（1）请在下面的平面直角坐标系中画出y＝﹣x+1的图象和它经过倒数变换后的图象．（2）观察上述图象，结合学过的关于函数图象与性质的知识，①猜想：倒数变换得到的图象和原函数的图象之间可能有怎样的联系？写出两个即可．②说理：请简要解释你其中一个猜想．（3）请画出函数y=1x2+c（c为常数）的大致图象．江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．4的算术平方根是（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．±16【解答】解：∵22＝4，∴4的算术平方根是2．故选：B．2．鼓楼区公益项目“在线伴读”平台开通以来，累计为学生在线答疑15000次．用科学记数法表示15000是（）A．0.15×106B．1.5×105C．1.5×104D．15×105【解答】解：用科学记数法表示15000是：1.5×104．故选：C．3．计算（﹣a）2•（a2）3（）A．a8B．﹣a8C．a7D．﹣a7【解答】解：（﹣a）2•（a2）3＝a2•a6＝a8，故选：A．4．若顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是菱形，则下列结论中正确的是（）A．AB∥CD B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC＝BD【解答】解：如图，连接AC，BD，点E、F、G、H分别为四边形ABCD各边中点，∴EH=12AC，EH∥AC，FG=12AC，FG∥AC，∴四边形EFGH为平行四边形，当EH＝EF时，四边形EFGH为菱形，又∵EF=12BD，若EH＝EF，则AC＝BD．故选：D．5．如图是某家庭2018年每月交通费支出的条形统计图，若该家庭2018年月交通费平均支出为a 元，则下列结论中正确的是（ ）A ．200≤a ≤220B ．220≤a ≤240C ．240≤a ≤260D ．260≤a ≤280【解答】解：设i 月份的交通费为x i （1≤i ≤12，且i 为整数）．由图可知，240＜x 1≤250，260＜x 2＜270，280＜x 3＜300，280＜x 4＜290，260＜x 5＜280，240＜x 6＜250，240＜x 7＜260，230＜x 8＜240，180＜x 9＜190，200＜x 10＜210，240＜x 11＜250，270＜x 12＜280， 则112（240+260+280+280+260+240+240+230+180+200+240+270）＜a ＜112（250+270+300+290+280+250+260+240+190+210+250+280）， 解得24313＜a ＜25556，综观各选项，只有C 符合． 故选：C ．6．A 、B 两地相距900km ，一列快车以200km /h 的速度从A 地匀速驶往B 地，到达B 地后立刻原路返回A 地，一列慢车以75km /h 的速度从B 地匀速驶往A 地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距200km 的次数是（ ） A ．5B ．4C ．3D ．2【解答】解：设两车相距200km时，行驶的时间为t小时，依题意得：①当快车从A地开往B地，慢车从B地开往A地，相距200km时，则有：200t+75t+200＝900，解得：t=28 11；②当快车继续开往B地，慢车继续开往A地，相遇后背离而行，相距200km时，200t+75t﹣200＝900，解得：t＝4；③快车从A地到B地全程需要4.5小时，此时慢车从B地到A地行驶4.5×75＝337.5km，∵337.5＞200∴快车又从B地返回A地是追慢车，追上前相距200km，则有：75t＝200+200（t﹣4.5），解得：t=28 5；④快车追上慢车后并超过慢车相距200km，则有：200（t﹣4.5）﹣75t＝200解得：t＝8.8⑤快车返回A地终点所需时间是9小时，此刻慢车行驶了9×75＝675km，距终点还需行驶25km，则有：75t＝900﹣200解得：t=28 3．综合所述两车恰好相距200km的次数为5次．故选：A．二、填空题7．﹣3的绝对值是 3 ．【解答】解：﹣3的绝对值是3．8．若式子√x+1在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥﹣1 ．【解答】解：根据题意得：x+1≥0，解得x≥﹣1，故答案为：x≥﹣1．9．计算√27√62的结果是2√3．【解答】解：原式＝3√3−√6 2＝3√3−√3＝2√3．故答案为2√3．10．方程1x+2=2x的解是x＝﹣4 ．【解答】解：去分母得：x＝2x+4，解得：x＝﹣4，经检验x＝﹣4是分式方程的解，故答案为：x＝﹣411．正五边形每个外角的大小是72 度．【解答】解：∵360÷5＝72（度），∴正五边形每个外角的大小是72度．故答案为：72．12．已知关于x的方程x2+mx﹣2＝0有一根是2，则另一根是x＝﹣1 ，m＝﹣1 ．【解答】解：把x＝2代入，得22+2m﹣2＝0．解得m＝﹣1．设方程的另一根为x，则2x＝﹣2．所以x＝﹣1．故答案是：x＝﹣1；﹣1．13．如图，AB∥EG∥CD，EF平分∠BED，若∠D＝69°，∠GEF＝21°，则∠B＝27 °．【解答】解：∵AB∥EG∥CD，∠D＝69°，∴∠GED＝∠D＝69°，∵∠GEF＝21°，∴∠DEF＝∠GED﹣∠GEF＝48°，∵EF平分∠BED，∴∠BEF＝∠DEF＝48°，∴∠BEG＝∠BEF﹣∠GEF＝48°﹣21°＝27°，∵ABB∥EG，∴∠B＝∠BEG＝27°，故答案为：27．14．如图，圆锥底面圆心为O，半径OA＝1，顶点为P，将圆锥置于平面上，若保持顶点P 位置不变，将圆锥顺时针滚动三周后点A恰好回到原处，则圆锥的高OP＝2√2．【解答】解：根据题意得2π×PA＝3×2π×1，所以PA＝3，所以圆锥的高OP=√PA2−OA2=√32−12=2√2．故答案为2√2．15．如图，点A、B、C、D在⊙O上，B是AĈ的中点，过C作⊙O的切线交AB的延长线于点E．若∠AEC＝84°，则∠ADC＝64 °．【解答】解：连接BD、BC，∵B是AĈ的中点，∴AB̂=BĈ，∴∠BDC=∠ADB=12∠ADC，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠EBC＝∠ADC，∵EC是⊙O的切线，切点为C，∴∠BCE＝∠BDC=12∠ADC，∵∠AEC ＝84°，∠AEC +∠BCE +∠EBC ＝180°， ∴84°+12∠ADC +∠ADC ＝180°， ∴∠ADC ＝64°． 故答案为64．16．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝4，BC ＝3．若点P 在△ABC 内部（含边界）且满足PC ≤PA ≤PB ，则所有点P 组成的区域的面积为2732．【解答】解：分别作AB ，AC 的垂直平分线，交AB 于点E ，交AC 于点F ，交AC 于点D ， ∵若点P 在△ABC 内部（含边界）且满足PC ≤PA ≤PB ， ∴点P 在△DEF 内部（含边界）， ∵DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，∴△DEF 是直角三角形，△AEF 是直角三角形， ∵AB ＝5，AC ＝4，BC ＝3， ∴AD ＝2，AE ＝2.5，DE ＝1.5， ∵AE 2＝AD •AF ， ∴AF =258， ∴DF =98，∴△DEF 的面积为12×32×98=2732；三、解答题17．解不等式组{3x ＞2x −2x −3(x −2)≥4．【解答】解：{3x ＞2x −2①x −3(x −2)≥4②，由①得，x ＞﹣2， 由②得，x ≤1，所以不等式组的解集为﹣2＜x ≤1． 18．计算a−2a−1÷(a +1−3a−1)【解答】解：原式=a−2a−1÷(a+1)(a−1)−3a−1=a−2a−1•a−1(a+2)(a−2)=1a+2． 19．（1）解方程x 2﹣x ﹣1＝0．（2）在实数范围内分解因式x 2﹣x ﹣1的结果为 ＝（x −1+√52）（x −1−√52） ． 【解答】解：（1）x 2﹣x ﹣1＝0，b 2﹣4ac ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5， x =1±√52， x 1=1+√52，x 2=1−√52；（2）∵方程x 2﹣x ﹣1＝0的解x 1=1+√52，x 2=1−√52； ∴x 2﹣x ﹣1＝（x −1+√52）（x −1−√52）， 故答案为：（x −1+√52）（x −1−√52）． 20．如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，BC ＝DE ，点E 在BC 上． （1）求证：△ABC ≌△ADE ； （2）求证：∠EAC ＝∠DEB ．【解答】解：（1）∵AB ＝AD ，AC ＝AE ，BC ＝DE ，∴△ABC ≌△ADE （SSS ）； （2）由△ABC ≌△ADE ， 则∠D ＝∠B ，∠DAE ＝∠BAC ．∴∠DAE ﹣∠ABE ＝∠BAC ﹣∠BAE ，即∠DAB ＝∠EAC ． 设AB 和DE 交于点O ，∵∠DOA ＝BOE ，∠D ＝∠B ， ∴∠DEB ＝∠DAB ． ∴∠EAC ＝∠DEB ．21．（1）两只不透明的袋子中均有红球、黄球、白球各1个，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个袋子中随机摸出一个球，求摸出两个球都是红球的概率．（2）鼓楼区实施全面均衡分班，某校为七年级各班随机分配任课教师．已知该校七年级共有10个班，语文洪老师、数学胡老师都执教该年级，则他俩都任教七（1）班的概率为1100．【解答】解：（1）摸出两个球都是红球的概率=13×13=19； 答：摸出两个球都是红球的概率为19；（2）他俩都任教七（1）班的概率=110×110=1100， 答：他俩都任教七（1）班的概率为1100．故答案为：1100．22．妈妈准备用5万元投资金融产品，她查询到有A 、B 两款“利滚利”产品，即上一周产生的收益将计入本金以计算下一周的收益．例如：投资100元，第一周的周收益率为5%，则第一周的收益为100×5%＝5元，第二周投资的本金将变为100+5＝105元．如图是这两款产品过去5周的周收益率公告信息．（第一周：3月1日～3月7日）（1）若妈妈3月1日投资产品B ，到第二周结束时会不赚不赔，这种说法对吗？请判断并说明理由．（2）请运用学过的统计知识，为妈妈此次投资金融产品提出建议并简要说明理由． 【解答】解：（1）这种说法不对， 理由：设开始投资x 元，则两周结束时的总资产为：x （1+2%）（1﹣2%）＝0.9996x ≠x ， 故到第二周结束时会不赚不赔，这种说法不对；（2）选择A 产品，理由：由图可以看出两个产品平均收益率相近，但A 产品波动较小，方差较小，且一直是正收益，说明收益比较稳定，故选择A 产品．23．已知点A （1，1），B （2，3），C （4，7），请用两种不同的方法判断这三点是否在一条直线上．（写出必要的推理过程）【解答】解：A 、B 、C 三点在一条直线上． 方法一：设AB 两点所在直线的解析式为y ＝kx +b ， 将A （1，1），B （2，3）代入可得， {1=k +b 3=2k +b ，解得{k =2b =−1， ∴y ＝2x ﹣1， 当x ＝4时，y ＝7，∴点C 也在直线AB 上，即A 、B 、C 三点在一条直线上． 方法二：∵A （1，1），B （2，3），C （4，7），∴AB =√(2−1)2+(3−1)2=√5，AC =√(4−1)2+(7−1)2=3√5，BC =√(4−2)2+(7−3)2=2√5， ∴AB +BC ＝AC ，∴A 、B 、C 三点在一条直线上．24．已知：如图，在▱ABCD 中，G 、H 分别是AD 、BC 的中点，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F ．（1）求证：四边形GEHF 是平行四边形；（2）已知AB ＝5，AD ＝8．求四边形GEHF 是矩形时BD 的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴∠GDE ＝∠FBH ，∵G 、H 分别是AD 、BC 的中点，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴在Rt △AED 和Rt △CFB 中，EG =12AD ＝GD ，FH =12BC ＝HB ， ∴EG ＝FH ，∠GED ＝∠GDE ，∠FBH ＝∠BFH ， ∴∠GED ＝∠BFH ， ∴EG ∥FH ，∴四边形GEHF 是平行四边形；（2）解：连接GH ，当四边形GEHF 是矩形时，∠EHF ＝∠BFC ＝90°， ∵∠FBH ＝∠BFH ， ∴△EFH ∽△CBF ， ∴EF CB=FH BF，由（1）可得：GA ∥HB ，GA ＝HB ， ∴四边形GABH 是平行四边形， ∴GH ＝AB ＝5，∵在矩形GEHF 中，EF ＝GH ，且AB ＝5，AD ＝8，∴58=4BF，解得：BF =325， ∴BE ＝BF ﹣EF =325−5=75， 在△ABE 和△CDF 中 {∠AEB =∠CFD∠ABE =∠CDF AB =CD∴△ABE ≌△CDF （AAS ）， ∴BE ＝DF =75，∴BD ＝BF +DF =325+75=395．25．某商品的进价是每件40元，原售价每件60元．进行不同程度的涨价后，统计了商品调价当天的售价和利润情况，以下是部分数据： 售价（元/件） 60 61 62 63 … 利润（元）6000609061606210…（1）当售价为每件60元时，当天售出 300 件；（2）若对该商品原售价每件涨价x 元（x 为正整数）时当天售出该商品的利润为y 元． ①用所学过的函数知识直接写出y 与x 之间满足的函数表达式： y ＝10x 2﹣500x +6000 ． ②如何定价才能使当天的销售利润不等于6200元？ 【解答】解：（1）6000÷（60﹣40）＝300件； 故答案为：300（2）①当每件收件61元，销售件数：6090÷（61﹣40）＝290件；当每件收件62元，销售件数：6160÷（62﹣40）＝280件；当每件收件63元，销售件数：62100÷（63﹣40）＝270件； 可以看出，售价每增加1元，销售减少10件，y ＝（60+x ﹣40）（300﹣10x ）＝10x 2+100x +6000．故答案为：y ＝10x 2+100x +6000．②10x 2+100x +6000≠6200，x 无整数解，故无论如何定价，都能使天的销售利润不等于6200元26．如图①，一座石拱桥坐落在秦淮河上，它的主桥拱为圆弧形．如图②，乔宽AB 为8米，̂表示的是主桥拱在水面以上的部分，点P表示主桥拱拱顶．小明乘水面BC宽16米，BC坐游船，沿主桥拱的中轴线向主桥拱行驶．（1）图③是主桥拱在水面以上部分的主视图，请用直尺和圆规作出主桥拱在静水中的倒影．（保留作图痕迹，不写作法）．（2）已知小明眼睛距离水平1.6米，游船的速度为0.2米/秒．某一时刻，小明看拱顶P的仰角为37°，4秒后，小明看拱顶P的仰角为45°．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）①求桥拱P到水面的距离；②船上的旗杆高1米，某时刻游船背对阳光形式，小明发现旗杆在阳光下的投影所在直线与航线平行且长为2米．请估计此刻桥的正下方被阳光照射到的部分的面积（需画出示意图并标注必要数据）．【解答】解：（1）如图所示：（2）①如图2中，当小明刚到拱顶正下方时，设拱顶P到小明的眼睛距离即PC为x米．∵tan37°=PCAC=34，∴AC=43x，∵tan45°=PCBC=1，∴BC＝PC＝x，∴AB＝AC﹣BC=43x﹣x＝0.2×4，解得x＝2.4，∴PE＝2.4+1.6＝4（米）．②如图红色曲线与BC构成的图形即可所求的区域（面积为S），与阴影部分弓形相比，水平长度相同，竖着高度变为其两倍，所以可以认为S为弓形面积的两倍．由①可知：OB＝10，∠BOC＝106°，∴S弓形=106⋅π⋅102360−12×16×=265π9−48，∴S＝2S弓形=530π9−96．27．把一个函数图象上每个点的纵坐标变为原来的倒数（原函数图象上纵坐标为0的点除外）、横坐标不变，可以得到另一个函数的图象，我们称这个过程为倒数变换．例如：如图，将y＝x的图象经过倒数变换后可得到y=1x的图象．特别地，因为y＝x图象上纵坐标为0的点是原点，所以该点不作变换，因此y=1x的图象上也没有纵坐标为0的点．（1）请在下面的平面直角坐标系中画出y＝﹣x+1的图象和它经过倒数变换后的图象．（2）观察上述图象，结合学过的关于函数图象与性质的知识，①猜想：倒数变换得到的图象和原函数的图象之间可能有怎样的联系？写出两个即可．②说理：请简要解释你其中一个猜想．（3）请画出函数y=1x2+c（c为常数）的大致图象．【解答】解：（1）在平面直角坐标系中画出y＝﹣x+1的图象和它经过倒数变换后的图象如图：图中去掉（1，0）的点（2）①猜想一：倒数变换得到的图象和原函数的图象之间如果存在交点，则其纵坐标为1或﹣1；猜想二：倒数变换得到的图象和原函数的图象的对称性相同，比如原函数是轴对称图形，则倒数变换的图象也是轴对称图象；②猜想一：因为只有1和﹣1的倒数是其本身，所以如果原函数存在一个点的纵坐标为1或﹣1，那么倒数变换得到的图象上必然也存在这样对应的纵坐标为1或﹣1，即两个函数图象的交点．（3）当c＝0时，当c＞0时，当c＜0时，21。