《传输线方程及其解》PPT课件
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第五章 传输线理论-139页PPT精品文档
1、横截面方向：
ez ez
t
H t
z Et
z
H
t
0
j
E t
j H t
Ht(x,y,z)
t Et 0
因标量函数的梯度的旋度恒等于零．则由后两式可得到
H t(x,y,z)I(z)t(x,y)
代入麦氏方程的后两散
Et(x,y,z)U(z)t(x,y)
2I
0
（5.4）
16
此方程常被称为均匀传输线波动方程。 两个方程相似。
23.11.2019
8
I1
I(z)
I2
1、通解：
Zg
+
+ Zl
d 2U dz 2
2U
0
d 2I dz 2
2I
0
解方程得：
Eg ～
U1
-
z 0
o
z
l
U2 -
z
z 0
z
z
o
IU (z)Z1 ( 0(A A z 1 1ee ) zz A2A e2 ze )z
（5.１）
其中 U(z)、I(z)
为传输线上z处电压和
电流的复振幅值．
i(z, t) Ldz Rdz
i(zdz,t)
一、均匀传输线的 u(z,t) （电报）方程：
Cdz
Gdz u(zdz,t)
z dz
zdz
u(zd,tz)u(z,t) d(u z,t)d(u z,t)d z[R(zi,t)Ld(zi,t)]dz
传输效率尽可能高，工作频带宽，尺寸小.
ez ez
t
H t
z Et
z
H
t
0
j
E t
j H t
Ht(x,y,z)
t Et 0
因标量函数的梯度的旋度恒等于零．则由后两式可得到
H t(x,y,z)I(z)t(x,y)
代入麦氏方程的后两散
Et(x,y,z)U(z)t(x,y)
2I
0
（5.4）
16
此方程常被称为均匀传输线波动方程。 两个方程相似。
23.11.2019
8
I1
I(z)
I2
1、通解：
Zg
+
+ Zl
d 2U dz 2
2U
0
d 2I dz 2
2I
0
解方程得：
Eg ～
U1
-
z 0
o
z
l
U2 -
z
z 0
z
z
o
IU (z)Z1 ( 0(A A z 1 1ee ) zz A2A e2 ze )z
（5.１）
其中 U(z)、I(z)
为传输线上z处电压和
电流的复振幅值．
i(z, t) Ldz Rdz
i(zdz,t)
一、均匀传输线的 u(z,t) （电报）方程：
Cdz
Gdz u(zdz,t)
z dz
zdz
u(zd,tz)u(z,t) d(u z,t)d(u z,t)d z[R(zi,t)Ld(zi,t)]dz
传输效率尽可能高，工作频带宽，尺寸小.
传输线方程及解
k 特征阻抗为入射电压波与入射电流波之比：
Zc V i I i 1/ Yc
电流波解：
特征导纳Yc
反射电压波与反射电流波在相位上相差180º
传输线纵向V(z)、I(z)分布与终端负载阻抗ZL有关
不同的ZL
有耗传输线方程的解
传输线有损耗，即R’=0，G’=0
传输线方程为：
有耗线的传播常数和特征阻抗 解
传输线方程推出
基尔霍夫定理： V=0，I=0
传输线方程推出I
V (z,t) V (z z,t) V (z,t)
z
z
这就是传输线上电压、电流要满足的方程－传输线方程
方程的复数形式
时谐量与其复数形式的关系是： 把它们代入方程中，即
得到方程的复数形式：
无耗传输线方程的解
如果传输线无损耗
R’＝0，G’＝0
传输线方程简化为：
dV/dz=-jL’I, dI/dz=-jC’V
d 2V dz2
2L'C'V
k 2V
d 2V dz2
k 2V
0
该方程的解为：
无耗传输线方程的解I
定义本征阻抗和导纳：
电流为 注意：这里得到的电压、电流波均为复数形式！
由时谐量与复数表示的对应关系，可得到：
注意：Zc, k 均为复数!!
有耗传输线方程的解I
传播常数k为
方程的解：
传输线上衰减波
把复数传播常数代入，得到：
有耗传输线方程的解II
传播常数的虚部ki>0, 称为波的衰减因 子或衰减常数，表示波的衰减。
传播常数的实部kr>0, 称为相位常数， 表示波的传播。
从解V, I 表达式中可知：传输线上电压、 电流波的传播可唯一地由两个特征参数 k, Zc（或Yc）。
传输线分布参数、传输线方程及解 ppt课件
u i
u((z2,-t1) ) i( z , t )
二、传输线方程
i(z) u(z)
z
i(z+ z)
u(z+ z)
z+ z
Lz
Rz
Cz
Gz
图 2-5 长线效应
二、传输线方程
利用基尔霍夫定律，有
u z
Ri
L
i t
i z
Gu
C
u t
当典型Δz→0时，有
u(zz,t)u(z,t)Ri(z,t)Li(zt,t)z i(zz,t)i(z,t)Gu(z,t)Cu(zt,t)z
低频电路有很多课程，唯独没有传输线课程。理由 很简单：只有两根线有什么理论可言？这里却要深 入研究这个问题。
1、低频传输线 在低频中，我们中要研究一条线(因为另一条线是作 为回路出现的)。电流几乎均匀地分布在导线内。电 流和电荷可等效地集中在轴线上，见图(2-1)。 由分析可知，Poynting矢量集中在导体内部传播，外 部极少。事实上，对于低频，我们只须用I，V和
le j2l
E gZ0 Z0 Zg
0
E q Z0le j2l Z0 Zg
g
Z0 Z0
Zg Zg
,称l 为Z Z反00 射Z Zll 系数。
四、无耗传输线的边界条件
可得
A1
D1 D
(Z0
Zg
EgZ0 )(1 glej2l
)
A2
D2 D
(Z0
EgZ0lej2l Zg )(1 glej2l
式(2-3)是均匀传输线方程或电报方程。
(2-2) (2-3)
二、传输线方程
如果我们着重研究时谐(正弦或余弦)的变化情况，有
(优选)第二讲传输线方程及解
（优选）第二讲传输线方程 及解
传输线方程推出I
V (z,t) V (z z,t) V (z,t)
z
z
这就是传输线上电压、电流要满足的方程－传输线方程
方程的复数形式
时谐量与其复数形式的关系是： 把它们代入方程中，即
得到方程的复数形式：无耗传来自线方程的解如果传输线无损耗
R’＝0，G’＝0
传输线方程简化为：
将传输线分成N段后，只要每一段长度l << ，基尔
霍夫定理仍适用。
传输线方程及其解：传输线的特征参数为传播常数k与 特征阻抗Zc（或特征导纳Yc = 1/Zc）。k的实部kr表示 波的传播，虚部ki表示波的衰减，传输线上电压、电 流与位置z有关，可分解为入射波与反射波之和。电压 入射波与电流入射波之比为特征阻抗Zc，电压反射波 与电流反射波相位相差180°。
传输线上衰减波
把复数传播常数代入，得到：
有耗传输线方程的解II
传播常数的虚部ki>0, 称为波的衰减因 子或衰减常数，表示波的衰减。
传播常数的实部kr>0, 称为相位常数， 表示波的传播。
从解V, I 表达式中可知：传输线上电压、 电流波的传播可唯一地由两个特征参数 k, Zc（或Yc）。
复习要点
入射波
反射波
入射波的相速：vi = dz/dt = /k (+z方向) 反射波的相速：vr = dz/dt = -/k （-z方向）
无损耗传传输播线速上度波就的是传填播充速介度质为中：的光速
v p1/ L'C' 1/
无耗解的初步解释I
波长： 2
k 特征阻抗为入射电压波与入射电流波之比：
Zc V i I i 1/ Yc
传输线方程推出I
V (z,t) V (z z,t) V (z,t)
z
z
这就是传输线上电压、电流要满足的方程－传输线方程
方程的复数形式
时谐量与其复数形式的关系是： 把它们代入方程中，即
得到方程的复数形式：无耗传来自线方程的解如果传输线无损耗
R’＝0，G’＝0
传输线方程简化为：
将传输线分成N段后，只要每一段长度l << ，基尔
霍夫定理仍适用。
传输线方程及其解：传输线的特征参数为传播常数k与 特征阻抗Zc（或特征导纳Yc = 1/Zc）。k的实部kr表示 波的传播，虚部ki表示波的衰减，传输线上电压、电 流与位置z有关，可分解为入射波与反射波之和。电压 入射波与电流入射波之比为特征阻抗Zc，电压反射波 与电流反射波相位相差180°。
传输线上衰减波
把复数传播常数代入，得到：
有耗传输线方程的解II
传播常数的虚部ki>0, 称为波的衰减因 子或衰减常数，表示波的衰减。
传播常数的实部kr>0, 称为相位常数， 表示波的传播。
从解V, I 表达式中可知：传输线上电压、 电流波的传播可唯一地由两个特征参数 k, Zc（或Yc）。
复习要点
入射波
反射波
入射波的相速：vi = dz/dt = /k (+z方向) 反射波的相速：vr = dz/dt = -/k （-z方向）
无损耗传传输播线速上度波就的是传填播充速介度质为中：的光速
v p1/ L'C' 1/
无耗解的初步解释I
波长： 2
k 特征阻抗为入射电压波与入射电流波之比：
Zc V i I i 1/ Yc
传输线方程及其解
对于无耗传输线 ， 0 ，此时 j
LC
无耗传输线传播常数为纯虚数 对于损耗很小的传输线 R L G C ，其传播常数为
( R jL) /(G jC ) j LC (1 R / jL)(1 G / jC )
j LC (1 R / 2 jL)(1 G / 2 jC ) j LC (1 R / 2 jL G / 2 jC R C G L R G j LC j LC 2 L 2 C 2 Z 0 2Y0 R G 2 Z 0 2Y0
d 2U ( z ) 2U ( z ) 0 2 2 ZY dz 其中 d 2 I ( z) ( R jL)(G jC ) 2 I ( z) 0 dz 2
入射波 反射波
通解
U z A1ez A2 e z U U I z A1e A2 e
什么叫色散？均匀无耗传输线上的导行波为无色散波，
有耗线的波为色散波，为何？重点掌握四个物理量的意义
微波工程基础
17
微波工程基础
10
第一章 均匀传输线理论之•均匀传输线方程及其解
i ( z, t ) u ( z z, t ) u ( z, t ) Rzi ( z, t ) Lz t u ( z z, t ) i( z z, t ) i ( z, t ) Gzu ( z z, t ) Cz t 将上式整理，并忽略高阶小量，可得： u ( z, t ) i( z, t ) Ri( z, t ) L z t i( z, t ) u ( z, t ) Gu ( z, t ) C z t 对于角频率为 的正弦电源，传输线方程 为
第2讲2011传输线方程及其解
γ 2 = Z 0Y0
电子与信息学院
解得:
South China University of Technology
－ U ( z ) = U 0+ e −γ z + U 0 eγ z 1 － I ( z) = (U 0+ e −γ z − U 0 eγ z ) Zc
Zc =
Z0 Y0
Z0 R0 + jω L0 L0 1 Zc = = = = Y0 G0 + jωC0 C0 2π
µ b µr b ln = 60 ln ε a εr a
电子与信息学院
γ = Z 0Y0 = ( R0 + jω L0 )(G0 + jωC0 ) = jω L0C0
South China University of Technology
传输线特性阻抗。
γ = Z 0Y0 = α + j β 传输线的传播常数。
－ U 0+ , U 0
待定系数
β
0
I
U
U+ U−
Zc
ZL
z
电子与信息学院
l
物理意义：
－ U ( z ) = U 0+ e −γ z + U 0 eγ z 1 － I ( z) = (U 0+ e −γ z − U 0 eγ z ) Zc
South China University of Technology
U e
+ −γ z 0
1 + −γ z U0 e Zc 1 − γz − U0 e Zc
I
U+ U−
正向传输的波 e−γ z = e−α z − jβ z 反向传输的波
微波技术 1章传输线方程及其解
传输线方程及其解
传输线方程的解 入 射 波 反 射 波
最后加进被省略的时间因子，可得全解
v( z, t )
Ae jt z A2e jt z 1
(1.41a)
1 i( z, t ) ( A1e jt z A2 e jt z ) (1.41b) Zc (1.41)式表明，传输线上任意一点的电压和电流均由两个以相反方 向传输的行波叠加而成，一个是由信号源向负载端传输的波，称为 “入射波”，另一个是由负载端向信号源传输的波，称为“反射 波”。 式中入射波反射波分别用v+, i+, v-, i-表示,于是解可记为 v( z, t ) v ( z, t ) v ( z, t ) (1.42) i( z, t ) i ( z, t ) i ( z, t )
平行板传输线中的TEM波
Et 0 Hn 0 at Ex Ez 0 Hy 0 boundary condition at yd ˆ ˆ upper plate: n y ˆ ˆ y 0 lower plate: n y
sl n D E y E0e jz ˆ E0 jz ˆ ˆ ˆ J sl n H zH x z长线
电路分析中，对于短线系统，可以忽略传输线效应(即可认为传输 线不存在)。但对于长线系统，传输线效应不能忽略，必须考虑传输 线效应。分布参数概念可以考虑传输线效应。
传输线方程及其解
传输线的分布参数等效图
二、分布参数电路 分布参数电路是相对于集中参数电路而言的，在低频线路中沿线 电压电流只与时间有关，而与空间位置无关，电路的分布参数效应 可以忽略。 当频率升高至高频射频及微波波段时，由上节结论，等效电压电 流不仅是时间函数，还是位置函数 。 尽管传输线是理想导体，电压电流的变化要求将传输线视为具有 分布参数的器件。用R1L1C1及G1分别表示传输线单位长度的分布 电阻,分布电感,分布电容和分布电导。
传输线方程式
假想多段傳輸線問題解答：步驟7
Y ( z3 ) = Y ′ + Y pa ≈ 0.01533 j 0.00373
( )
正規化導納 (對第二段傳輸線而言)
0.7665 j 0.1865
對應之正規化阻抗
1.23 + j 0.30 (C點)
1- 106
106
電磁波
傳輸線(電路觀點) 第1章 傳輸線(電路觀點)
電磁波
傳輸線(電路觀點) 第1章 傳輸線(電路觀點)
z = z2
假想多段傳輸線問題解答：步驟9
處的阻抗為
Z se 和 Z ′ 串聯
z2 = 2 3
Z ( z2 ) = Z ′ + Z se ≈ 40.0 + j15.0
() 對第一段傳輸線的正規化阻抗 0.53 + j 0.20 (E點)
1- 108
1- 100
100
電磁波
傳輸線(電路觀點) 第1章 傳輸線(電路觀點)
假想多段傳輸線問題解答：步驟2
各段傳輸線均無耗損故傳到
Z ( z1 ) 的功率亦必傳到 z = z 2
+ 送到 Z ( z 2 ) 的功率佔送到
z = z2
z = z2 處的等效電路
+
處功率的比例為
e2 =
Re{Z se + Z ( z 2 + )} Re{Z ( z 2 + )}
(A點 ) 連接O點和A點，其距離移至 駐波比標尺即得電壓駐波比為2.4
1- 93
93
電磁波
傳輸線(電路觀點) 第1章 傳輸線(電路觀點)
Smith圖使用例解答：步驟2
延長 OA 與波長標尺相交，讀值 mo = 0.192 距負載端3.87波長處應位於 波長標尺上
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z
A2e ze j
z)
Ii (z)
Ir(z)
式中含e-jb z 的项表示沿z方向(由信号源向负载方向)传播
的
行波，为入射波；含ejb z 的项表示沿-z方向(由负载向信
号
源方向)传播的行波，为反射波。
沿线任何一处的电U压 (z)
(I或(z电) 流
)等
于该处电压(或电流)的入、反射U波 (z的)、叠I(加z)，
的等
相位面的运动速度。
v常p 数ddztw
t±b
z(2= 7)
均匀无耗长线中波的相速
vp
1 L0C0
对均匀双导线，L0、C0代入得
(2 9b)
vp
1=
c
r
(2 9c)
r
1,
c
1
0 0
慢波现象
2) 相波长 lp
相波长 lp ：行波在一个周期内等相位面沿传
输方向
移动的距离。
p vp T
i(z,
t)
I0
(z)
cos[
t
i
(
z)]
Re[I(
z)
e
j
t
]
(3)
式中： U (z) U0 (z) e ju (z)
I(z) I0 (z) e ji (z)
将时变传输线方程式(2)中 的 得时谐场的传输线方程：
u U、i I， j ，
t
dU (z) dz
（R0
j
L0 )I(z)
数 g = j b 代入式(2-4b)得均匀无耗传输线的终端方
程为
U (z)
U2 cos
z I2
jZ0 sin
z
I(z) U2
j sin
Z0
z
I2 cos
z
(2 4e)
ch j z cos z, sh j z sin z
2. 相速和相 波长
1) 相速vp 相速vp 即波
分别称为视在电压、视在电流。且有：
Z0
Ui (z) Ii (z)
Ur (z) Ir (z)
R0 j L0 G0 j C0
(2) 电压、电流的终端条件解
时谐传输线方程的通解式(2-3c) 中的常数A1、A2 必
须用边界条件、即端接条件确定。其中终端条件解是最
常用的。
U L
已知终端电压
IL
、电流
，点 z =0
选
在终端，以-以z 代 z 代进入行(2坐-4标a)解得
变变换为U， (式z)(2-A31ce) z A2e z Ui (z) U r (z)
I(z)
1 Z0
( A1e
z
A2e
z)
Ii (z)
Ir
(z)
U (0) U L ， I(0) IL
A1
1 2
(U 2
Z0
u( z, t ) z
R0
i(z,t)
L0
i( z, t ) t
i( z, t ) z
G0
u(z,t)
C0
u( z, t ) t
(2)
二、时谐传输线方程及其解
1. 时谐传输线方程
对于角频率为w 的余弦信号
u(z,t) U0 (z) cos[ t u (z)] Re[U (z) e jt ]
2. 时谐均匀长线的波动方程
式(2-2)对 z 求导：
d 2U (z) dI(z)
dz2
Z dz
0
dI(z) YU (z) dz
d
2
I(
z)
dz2
Y
dU (z) dz
0
dU (z) ZI(z) dz
d
2U dz
(
2
z
)
ZYU
(
z
)
0
d
2 I( z ) dz 2
YZI(
z)
0
令 ZY (R0 j L0 )(G0 j C0 ) j
分布, 与位置 z 无关。当 满足条件R0 << w L0 及 G0 <<
w C0 ，可近似作为无耗长线分析。 一、传播特性
= 和度相 振位g1幅.的=(R传变a0 播化+常。jj数Lbg0 )为(G一0 复 数j,C表0()无示↓耗行j)波每L经0 C过0单=b 位j 长
衰减常数a=0，相位常 L0 C0 (2 9a)
( A1e
A2e z z A2e
z
)
(2 3c)
式中
Z0
Z
Z Y
R0 j L0 G0 j C0
(2 3d)
Z0 称为长线的特性阻抗。
(2) 入射波与反射波
分析电报方程通解的表达式(2-3c)
U (z)
A1e
ze
j
z
A2e
ze
j
z
Ui (z) Ur(z)
I(z)
1 Z0
( A1e ze j
ZI( z )
dI( z ) dz
（G0
j
C0 )U (z)
YU (z)
(2 2)
式中
Z R0 j L0 — 单位长度传输线的串联阻抗，
Y G0 j C0 — 单位长度传输线的并联导钠。
时谐场的传输线方程 (2-2) 暂时撇开时间因子 e
jw t，
而只研究沿线电压 、 电流的复数幅度与传输线位置之间
I2 )，
A2
1 2
(U 2
Z0 I2 )
(2 4a)
代入(2-4a)整理得
U (z)
U 2
ch
z
I2 Z 0
sh
z
I(z)
U 2
sh
Z0
z
I2
ch
z
(2 4b)
ch
z
e
z
e 2
z
，
sh
z
e
z
e 2
z
式(2-4b)又称终端方程。
第三节 均匀无耗长线的基本特性
均匀无耗长线的分布参数 R0=0，G0=0，L0、C0均 匀
均匀传输线的 g 与 z 无关，式(2-3a)的电压通
解为 U (z) A1e z A2e z
式中，A1 、 A2为积分常数(复数)，其值取决于长线的
端接条件(边界条件)。上式带入式(2-2)得
I(z)
1 Z
dU (z) dz
Z
( A1e z
A2e z )
即：
U
(z)
A1e
z
I(z)
1 Z0
第二节 传输线方程及其解
传输线方程是传输线理论的基本方程，是描述传 输线
上电压、电流变化规律及其相互关系的微分方程。
一、时变传输线方程 如图2-6， i(z,t)
对dz 等效
电路, 应
用
u(z,t)
基尔霍夫
定律得:
i(z+dz,t) u(z+dz,t)
(1)
整理得时变传输线方程 ( 分布参数电路微分方程 )：
vp f
2
(2 8)
均匀无耗双导线， L0C0 0
代入得
p
2
2
L0C0
f
c
r
r
(2 9d)
缩波现象
当介质为空气时， r 1，vp c, p 。
二、特性阻抗
Z0
Ui (z) Ii (z)
Ur (z) Ir (z)
R0 j L0 G0 j C0
(2 3e)
得时谐均匀长线的波动方程(电报方程)：
d
2U dz
(
2
z)
2U
(
z
)
0
d
2 I( z dz 2
)
2
I(
z
)
0
(2 3a)
这是一个二阶齐次常微分方程。g、a、b 分别为
传输线的传播常数、衰减常数和相位常数。
3. 时谐均匀传输线波动方程的解
1) 电压、电流的通解
(1) 通解的表达式