统计学常用分布及其分位数

§1、4 常用得分布及其分位数1、 卡平方分布卡平方分布、t 分布及F 分布都就是由正态分布所导出得分布,它们与正态分布一起,就是试验统计中常用得分布。

当X 1、X 2、…、Xn 相互独立且都服从N(0,1)时,Z=∑ii X 2 得分布称为自由度等于n 得2χ分布,记作Z ～2χ(n),它得分布密度 p(z )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ--,,00,2212122其他z e x n z n n 式中得⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ2n =u d e u u n ⎰∞+--012,称为Gamma 函数,且()1Γ=1,⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ21=π。

2χ分布就是非对称分布,具有可加性,即当Y 与Z 相互独立,且Y ～2χ(n ),Z ～2χ(m ),则Y+Z ～2χ(n+m )。

证明: 先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、X n+m 相互独立且都服从N(0,1),再根据2χ分布得定义以及上述随机变量得相互独立性,令Y=X 21+X 22+…+X 2n ,Z=X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +,Y+Z= X 21+X 22+…+X 2n + X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +,即可得到Y+Z ～2χ(n +m )。

2、 t 分布 若X 与Y 相互独立,且X ～N(0,1),Y ～2χ(n ),则Z =nY X 得分布称为自由度等于n 得t 分布,记作Z ～ t (n ),它得分布密度P(z)=)()(221n nn ΓΓ+2121+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n z 。

请注意:t 分布得分布密度也就是偶函数,且当n>30时,t分布与标准正态分布N(0,1)得密度曲线几乎重叠为一。

这时, t 分布得分布函数值查N(0,1)得分布函数值表便可以得到。

3、 F 分布 若X 与Y 相互独立,且X ～2χ(n ),Y ～2χ(m ),则Z=mY n X 得分布称为第一自由度等于n 、第二自由度等于m 得F 分布,记作Z ～F (n , m ),它得分布密度 p(z)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++-⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ•。

其他,00,2)(1222222z m n z n m n z m n m n m m n n 请注意:F 分布也就是非对称分布,它得分布密度与自由度得次序有关,当Z ～F (n , m )时,Z1～F (m ,n )。

4、 t 分布与F 分布得关系若X ～t(n ),则Y=X 2～F(1,n )。

证:X ～t(n ),X 得分布密度p(x )=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ221n n n π2121+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n x 。

Y=X 2得分布函数F Y (y ) =P{Y<y }=P{X 2<y }。

当y ≤0时,F Y (y)=0,p Y (y )=0;当y >0时,F Y (y ) =P{-y <X<y } =x d x p y y )(⎰-=2x d x p y )(0⎰, Y=X 2得分布密度p Y (y )=21)(121221212n y n y n n n n ++-⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ•,与第一自由度等于1、第二自由度等于n 得F 分布得分布密度相同,因此Y=X 2～F(1,n )。

为应用方便起见,以上三个分布得分布函数值都可以从各自得函数值表中查出。

但就是,解应用问题时,通常就是查分位数表。

有关分位数得概念如下:4、常用分布得分位数1)分位数得定义分位数或临界值与随机变量得分布函数有关,根据应用得需要,有三种不同得称呼,即α分位数、上侧α分位数与双侧α分位数,它们得定义如下:当随机变量X得分布函数为F(x),实数α满足0 <α<1 时,α分位数就是使P{X< xα}=F(xα)=α得数xα,上侧α分位数就是使P{X >λ}=1-F(λ)=α得数λ,双侧α分位数就是使P{X<λ1}=F(λ1)=0、5α得数λ1、使P{X>λ2}=1-F(λ2)=0、5α得数λ2。

因为1-F(λ)=α,F(λ)=1-α,所以上侧α分位数λ就就是1-α分位数x1-α;F(λ1)=0、5α,1-F(λ2)=0、5α,所以双侧α分位数λ1就就是0、5α分位数x0、5α,双侧α分位数λ2就就是1-0、5α分位数x1-0、5α。

2)标准正态分布得α分位数记作uα,0、5α分位数记作u0、5α,1-0、5α分位数记作u1-0、5α。

当X～N(0,1)时,P{X< uα}=F 0,1(uα)=α,P{X<u0、5α}= F 0,1 (u0、5α)=0、5α,P{X<u1-0、5α}= F 0,1 (u1-0、5α)=1-0、5α。

根据标准正态分布密度曲线得对称性,当α=0、5时,uα=0;当α<0、5时,uα<0。

uα=-u1-α。

如果在标准正态分布得分布函数值表中没有负得分位数,则先查出 u1-α,然后得到uα=-u1-α。

论述如下:当X～N(0,1)时,P{X< uα}= F 0,1 (uα)=α,P{X< u1-α}= F 0,1 (u1-α)=1-α,P{X> u1-α}=1- F 0,1 (u1-α)=α,故根据标准正态分布密度曲线得对称性,uα=-u1-α。

例如,u 0、10=-u 0、90=-1、282,u 0、05=-u 0、95=-1、645,u 0、01=-u 0、99=-2、326,u 0、025=-u 0、975=-1、960,u 0、005=-u 0、995=-2、576。

又因为P{|X|< u1-0、5α}=1-α,所以标准正态分布得双侧α分位数分别就是u1-0、5α与-u1-0、5α。

标准正态分布常用得上侧α分位数有:=1、282;α=0、10,u 0、90=1、645;α=0、05,u 0、95α=0、01,u 0=2、326;、99=1、960;α=0、025,u 0、975=2、576。

α=0、005,u 0、995χα(n)。

3)卡平方分布得α分位数记作2χα(n)>0,当X～2χ(n)时,P{X<2χα(n)}=α。

2χ0、005(4)=0、21,2χ0、025(4)=0、48,例如,2χ0、05 (4)=0、71,2χ0、95(4)=9、49,2χ0、975(4)=11、1,2χ0、995(4)=14、9。

24)t分布得α分位数记作tα(n)。

当X～t (n)时,P{X<tα(n)}=α,且与标准正态分布相类似,根据t分布密度曲线得对称性,也有tα(n)=-t1-α(n),论述同uα=-u1-α。

例如,t0、95(4)=2、132,t 0、975(4)=2、776,t 0、995(4)=4、604,t 0、005(4)=-4、604,t 0、025(4)=-2、776,t 0、05(4)=-2、132。

另外,当n>30时,在比较简略得表中查不到tα(n),可用uα作为tα(n)得近似值。

5)F分布得α分位数记作Fα(n , m)。

Fα(n , m)>0,当X～F (n , m)时,P{X<Fα(n , m)}=α。

另外,当α较小时,在表中查不出F α(n , m ),须先查F 1-α(m , n ),再求F α(n , m )=),(11n m F α-。

论述如下: 当X ～F(m , n )时,P{X< F 1-α(m , n )}=1-α, P{X 1>),(11n m F α-}=1-α,P{X 1<),(11n m F α-}=α, 又根据F 分布得定义,X 1～F(n , m ),P{X 1<F α(n , m ) }=α, 因此 F α(n , m )= ),(11n m F α-。

例如,F 0、95 (3,4)=6、59,F 0、975 (3,4)=9、98,F 0、99 (3,4)=16、7,F 0、95 (4,3)=9、12,F 0、975 (4,3)=15、1,F 0、99 (4,3)=28、7,F 0、01 (3,4)=7.281,F 0、025 (3,4)=1.151,F 0、05 (3,4)=12.91。

【课内练习】1、 求分位数①χ20、05(8),②χ20、95(12)。

2、 求分位数① t 0、05(8),② t 0、95(12)。

3、 求分位数①F 0、05(7,5),②F 0、95(10,12)。

4、 由u 0、975=1、960写出有关得上侧分位数与双侧分位数。

5、 由t 0、95(4)=2、132写出有关得上侧分位数与双侧分位数。

6、 若X ～χ2(4),P{X<0、711}=0、05,P{X<9、49}=0、95,试写出有关得分位数。

7、 若X ～F(5,3),P{X<9、01}=0、95,Y ～F(3,5),{Y<5、41}= 0、95,试写出有关得分位数。

8、 设X 1、X 2、…、X 10相互独立且都服从N(0,0、09)分布,试求P{X i i2∑>1、44}。

习题答案:1、 ①2、73,②21、0。

2、 ①-1、860,②1、782。

3、 ①1488.,②3、37。

4、 1、960为上侧0、025分位数,-1、960与1、960为双侧0、05分位数。

5、 2、132为上侧0、05分位数,-2、132与2、132为双侧0、1分位数。

6、 0、711为上侧0、95分位数,9、49为上侧0、05分位数,0、711与19、49为双侧0、1分位数。

7. 9.01为上侧0、05分位数,5、41为上侧0、05分位数,1901.与5、41为双侧0、1分位数,1541.与9、01为双侧0、1分位数。

8、 0、1。