高中数学-函数模型及其应用夯基提能作业

2.9 函数模型及其应用A组基础题组1.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后来为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是( )答案 C 小明匀速运动时,所得图象为一条直线,且距离学校越来越近,故排除A.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶,故排除B.故选C.2.某工厂6年来生产某种产品的情况是:前3年年产量的增长速度越来越快,后3年的年产量保持不变,将该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系用图象表示,正确的是( )答案 A 依题意,前3年年产量的增长速度越来越快,说明总产量C的增长速度越来越快,只有选项A中的图象符合要求,故选A.3.(2018临沂模拟)某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边夹角为60°(如图),考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为9√3平方米,且高度不低于√3米.记防洪堤横断面的腰长为x 米,外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米.要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米,则其腰长x 的范围为( )A.[2,4]B.[3,4]C.[2,5]D.[3,5]答案 B 根据题意知,9√3=12(AD+BC)h,其中AD=BC+2·x 2=BC+x,h=√32x,所以9√3=12(2BC+x)·√32x,得BC=18x -x2,由,得2≤x<6,所以y=BC+2x=,+3x 2(2≤x<6),由18x +3x2≤10.5,解得3≤x ≤4.因为[3,4]⊆[2,6),所以腰长x 的范围是[3,4]. 4.加工爆米花时,爆开且不煳的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p 与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at 2+bt+c(a,b,c 是常数),下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( )A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟 答案 B 由已知得,解得, ∴p=-0.,t ,+1.5,-2=-,+1316,∴当t=154=3.75时p 最大,即最佳加工时间为3.75分钟.故选B.5.某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等,甲食堂的营业额逐月增加,并且每月的增加值相同;乙食堂的营业额也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已知该年9月份两食堂的营业额又相等,则该年5月份( ) A.甲食堂的营业额较高B.乙食堂的营业额较高C.甲、乙两食堂的营业额相同D.不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高答案 A 设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m,甲食堂的营业额每月增加a(a>0),乙食堂的营业额每月增加的百分率为x(x>0),由题意可得,m+8a=m×(1+x)8,则5月份甲食堂的营业额y 1=m+4a,乙食堂的营业额y 2=m×(1+x)4=√x (x +8x ),因为x 12-x 22=(m+4a)2-m(m+8a)=16a 2>0,所以y 1>y 2,故5月份甲食堂的营业额较高.6.调查表明,酒后驾驶是导致交通事故的重要原因,交通法规规定,驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2mg/mL.某人喝酒后,其血液中酒精含量将上升到3mg/mL,在停止喝酒后,血液中酒精含量以每小时50%的速度减少,则至少经过 小时他才可以驾驶机动车.(精确到小时) 答案 4解析 设n 小时后他可以驾驶机动车,由题意得3(1-0.5)n≤0.2,即2n≥15,故至少经过4小时他才可以驾驶机动车.7.A 、B 两艘船分别从东西方向上相距145km 的甲、乙两地开出.A 船从甲地自东向西行驶,B 船从乙地自北向南行驶,A 船的速度是40km/h,B 船的速度是16km/h,经过 h,A 、B 两艘船之间的距离最短. 答案258解析 设经过xh,A 、B 两艘船之间的距离为ykm,由题意可得y=√(145-40x )2+(16x)2=√29(64x 2-400x+725),易知当x=--4002×64=258时,y 取得最小值,即A 、B 两艘船之间的距离最短.8.(2018杭州八校联考)一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v 的平方成正比,且比例系数为k,除燃料费外其他费用为每小时96元.当速度为10海里/时时,每小时的燃料费是6元.若匀速行驶10海里,则当这艘轮船的速度为 海里/时时,总费用最小. 答案 40解析 设每小时的总费用为y 元,行驶10海里的总费用为W 元,则y=kv 2+96,又当v=10时,k×102=6,解得k=0.06,所以y=0.06v 2+96,又匀速行驶10海里所用的时间为10x 小时,故W=10xy=10x (0.06v 2+96)=0.6v+960x≥2√0.6x ·960x=48,当且仅当0.6v=960x,即v=40时等号成立.故总费用最小时轮船的速度为40海里/时.9.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b 为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是 小时. 答案 24解析 依题意有192=e b,48=e 22k+b=e 22k ·e b,所以e 22k=48ex =48192=14,所以e 11k=12或-12(舍去),于是该食品在33℃的保鲜时间是e33k+b=(e 11k )3·e b=(12)3×192=24(小时).10.某地上年度电价为0.8元,年用电量为1亿千瓦时.本年度计划将电价调至0.55元~0.75元之间(包含0.55元和0.75元),经测算,若电价调至x 元,则本年度新增用电量y(亿千瓦时)与(x-0.4)(元)成反比.又当x=0.65时,y=0.8. (1)求y 与x 之间的函数关系式;(2)若每千瓦时电的成本为0.3元,则电价调至多少时,本年度电力部门的收益将比上年增加20%?[收益=用电量×(实际电价-成本价)] 解析 (1)因为y 与(x-0.4)成反比, 所以可设y=xx -0.4(k ≠0), 把x=0.65,y=0.8代入上式得0.8=x0.65−0.4, 解得k=0.2,所以y=0.2x -0.4=15x -2,则y 与x 之间的函数关系式为y=15x -2(0.55≤x ≤0.75). (2)根据题意,得(1+15x -2)(x-0.3)=1×(0.8-0.3)×(1+20%),整理得x 2-1.1x+0.3=0.解得x 1=0.5,x 2=0.6,因为x 的取值范围是[0.55,0.75], 所以x=0.5不符合题意,舍去,则x=0.6,所以当电价调至0.6元时,本年度电力部门的收益将比上年增加20%.11.某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l 1,l 2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N 为C 的两个端点,测得点M 到l 1,l 2的距离分别为5千米和40千米,点N 到l 1,l 2的距离分别为20千米和2.5千米,以l 2,l 1所在的直线分别为x,y 轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C 符合函数y=xx 2+b (其中a,b 为常数)模型.(1)求a,b 的值;(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点,P 的横坐标为t. ①请写出公路l 长度的函数解析式f(t),并写出其定义域; ②当t 为何值时,公路l 的长度最短?求出最短长度.解析 (1)由题意知,点M,N 的坐标分别为(5,40),(20,2.5). 将其分别代入y=xx 2+b ,得, 解得,(2)①由(1,知,y=1000x 2(5≤x ≤20), 则点P 的坐标为,,y'=-2000x 3,设在点P 处的切线l 交x,y 轴分别于A,B 点,l 的方程为y-1000x 2=-2000x 3(x-t), 由此得A ,,B ,.故f(t)=√(3x 2)2+(3000x 2)2=32√x 2+4×106x 4,t ∈[5,20].②设g(t)=t 2+4×106x 4, 则g'(t)=2t-16×106x 5.令g'(t)=0,解得t=10√2.当t ∈(5,10√2)时,g'(t)<0,g(t)是减函数; 当t ∈(10√2,20)时,g'(t)>0,g(t)是增函数. 从而,当t=10√2时,函数g(t)有极小值,也是最小值, 所以g(t)min =300, 此时f(t)min =15√3.答:当t=10√2时,公路l 的长度最短,最短长度为15√3千米.B 组 提升题组1.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.x +x 2B.(x +1)(x +1)−12C.√xxD.√(x +1)(x +1)-1答案 D 设两年前的年底该市的生产总值为a,则第二年年底的生产总值为a(1+p)(1+q).设这两年生产总值的年平均增长率为x,则a(1+x)2=a(1+p)(1+q),由于连续两年持续增加,所以x>0,所以x=√(1+x )(1+x )-1,故选D.2.某乡镇现在人均一年占有粮食360千克,如果该乡镇人口平均每年增长1.2%,粮食总产量平均每年增长4%,那么x 年后若人均一年占有y 千克粮食,则y 关于x 的解析式为( ) A.y=360(1.041.012)x -1B.y=360×1.04xC.y=360×1.04x 1.012D.y=360(1.041.012)x答案 D 设该乡镇现在人口总量为M,则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M 千克,1年后,该乡镇粮食总产量为360M(1+4%)千克,人口总量为 M(1+1.2%),则人均占有粮食360x (1+4%)x (1+1.2%)千克,2年后,人均占有粮食360x (1+4%)2x (1+1.2%)2千克,……,x 年后,人均占有粮食360x (1+4%)xx (1+1.2%)x 千克,即所求解析式为y=360(1.041.012)x.3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80km/h的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80km/h.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油答案 D 对于A选项:由题图可知,当乙车速度大于40km/h时,乙车每消耗1升汽油,行驶里程都超过5km,则A错;对于B选项:由题意可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车耗油最少,则B错;对于C选项:甲车以80km/h的速度行驶时,燃油效率为10km/L,则行驶1小时,消耗了汽油80×1÷10=8(L),则C错;对于D选项:当行驶速度小于80km/h时,在相同条件下,丙车的燃油效率高于乙车,则在该市用丙车比用乙车更省油,则D对.综上,选D.4.某公司为了实现1000万元销售利润的目标,准备制订一个激励销售人员的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按照销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金不超过5万元,同时奖金不超过销售利润的25%,则下列函数最符合要求的是( )A.y=14x B.y=lgx+1C.y=(32)x D.y=√x答案 B 由题意知,x∈[10,1000],符合公司要求的模型需同时满足:①函数为增函数;②函数的最大值不超过5;③y≤x·25%.对于y=14x,易知满足①,但当x>20时,y>5,不满足要求;对于y=(32)x,易知满足①,因为(32)4>5,故当x>4时,不满足要求;对于y=√x,易知满足①,但当x>25时,y>5,不满足要求;对于y=lgx+1,易知满足①,当x∈[10,1000]时,2≤y≤4,满足②,再证明lgx+1≤x·25%,即4lgx+4-x≤0,设F(x)=4lgx+4-x,则F'(x)=4x ln10-1<0,x∈[10,1000],所以F(x)为减函数,f(x)max=F(10)=4lg10+4-10=-2<0,满足③,故选B.5.(2019汤溪中学月考)某远程教育网推出两种上网学习卡收取佣金的方案:A方案是先收取20元学习佣金,再按上网学习的累计时间收取佣金,B方案是直接按上网学习的累计时间收取佣金.已知一个月的学习累计时间t(小时)与上网费用s(元)的函数关系如图所示,则当累计学习150小时时,这两种方案收取的佣金相差 元.答案 10解析 设A 方案对应的函数解析式为s 1=k 1t+20,B 方案对应的函数解析式为s 2=k 2t,当t=100时,100k 1+20=100k 2,∴k 2-k 1=15,当t=150时,150k 2-150k 1-20=150×15-20=10.6.(2018辽宁抚顺模拟)食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来了一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P(单位:万元)、种黄瓜的年收入Q(单位:万元)与投入a(单位:万元)满足P=80+4√2x ,Q=14a+120,设甲大棚的投入为x(单位:万元),每年两个大棚的总收益为f(x)(单位:万元). (1)求f(50)的值;(2)如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益f(x)最大? 解析 (1)∵甲大棚投入了50万元, ∴乙大棚投入了150万元,∴f(50)=80+4√2×50+14×150+120=277.5.(2)f(x)=80+4√2x +14(200-x)+120=-14x+4√2x +250, 依题意得,⇒20≤x ≤180,故f(x)=-14x+4√2x +250(20≤x ≤180). 令t=√x ,则t ∈[2√5,6√5],f(t)=-14t 2+4√2t+250=-14(t-8√2)2+282,当t=8√2,即x=128时,f(x)max =282.所以甲大棚投入128万元,乙大棚投入72万元时,总收益最大,且最大收益为282万元.。