十字相乘法概念
高中十字相乘法
高中十字相乘法
十字相乘法是因式分解中12种方法之一，另外十一种分别都是：1分组分解法，2.拆添项法，3.配方法，4.因式定理（公式法），5.换元法，6.主元法，7.特殊值法，8.待定系数法，9.双十字相乘法，10.二次多项式，11.提公因式法。
十字相乘法能用于二次三项式（一元二次式）的分解因式（不一定是在整数范围内）。
对于像ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a₁,a₂的积，把常数项c分解成两个因数c₁,c₂的积，并使a₁c₂+a₂c₁正好等于一次项的系数b。
那么可以直接写成结
果:ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)。
在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。
因式分解-十字相乘法
因式分解-十字相乘法一、十字相乘法分解因式十字相乘法：有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法。
简单的说十字相乘法就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
注意：十字相乘法不是适合所有二次三项式，只有在一次项系数和二次项系数以及常数项存在一种特殊关系时才能用，这个特殊关系我们通过例题来说明：1、首项系数是1的二次三项式的因式分解，我们学习了多项式的乘法，即()()()x a x b x a b x ab ++=+++2将上式反过来，()()()x a b x ab x a x b 2+++=++得到了因式分解的一种方法——十字相乘法，用这种方法来分解因式的关键在于确定上式中的a 和b ，例如，为了分解因式x px q 2++，就需要找到满足下列条件的a 、b ；a b pab q +==⎧⎨⎩如把762-+x x 分解因式，首先要把二次项系数2x 分成x x ⨯，常数项-7分成)1(7-⨯，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项，右边两个数的积为常数项。
交叉相乘的和为x x x 67)1(=⨯+-⨯，正好是一次项。
从而)1)(7(762-+=-+x x x x 。
2、二次项系数不为1的二次三项式的因式分解二次三项式ax bx c 2++中，当a ≠1时，如何用十字相乘法分解呢？分解思路可归纳为“分两头，凑中间”，例如，分解因式2762x x -+，首先要把二次项系数2分成1×2，常数项6分成()()-⨯-23，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数。
右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为()()13227⨯-+⨯-=-，正好是一次项系x =-+762x )1)(7(-+x x xx⇓⨯⇓71-xx x 67=+-数，从而得()()2762232x x x x -+=--。
十字相乘法
十字相乘法虽然比较难学,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便,以下是我对十字相乘法提出的一些个人见解。
1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。
（2）用十字相乘法来解一元二次方程。
3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。
4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。
2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。
3、十字相乘法比较难学。
5、十字相乘法解题实例：1)、用十字相乘法解一些简单常见的题目，例子中的²是平方的意思例1把m²+4m-12分解因式分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为 1 -21 ╳ 6所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）例2把5x²+6x-8分解因式分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。
当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题解：因为 1 25 ╳ -4所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4）例3解方程x²-8x+15=0分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。
解：因为 1 -31 ╳ -5所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0所以x1=3 x2=5例4、解方程 6x²-5x-25=0分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。
十字相乘法的运算方法
分解二次项系数(只取正因数)：
2＝1×2＝2×1；
分解常数项：
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
1 1
╳
2 3
1×3+2×1
=5
1 3
╳
2 1
1×1+2×3
=7
╳
2 6
1X6+2X1=8 8>7不成立继续试
第二次
1 2
╳
2 3
1X3+2X2=7所以分解后为:(x+2)(2x+3)
a1 c1
╳
a2 c2
a1c2+a2c1
按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即
a^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.
上式的常数12可以分解为3×4,而3+4又恰好等于一次项的系数7,所以
上式可以分解为:x^2+7x+12=(x+3)(x+4)
又如:分解因式:a^2+2a-15,上式的常数-15可以分解为5*(-3).而5+(-3)又恰好等于一次项系数2,所以a^2+2a-15=(a+5)(a-3).
完整版)十字相乘法
完整版)十字相乘法在进行因式分解时，首先要考虑能否提取公因式，然后再考虑运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法。
对于还能继续分解的多项式因式，仍然要用这一步骤反复进行。
以上步骤可以用口诀来概括：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”。
二次三项式是指多项式ax+bx+c，其中a为二次项，b为一次项，c为常数项。
例如，x-2x-3和x+5x+6都是关于x的二次三项式。
在多项式x-6xy+8y中，如果把x看作常数，它就是关于y的二次三项式；如果把y看作常数，它就是关于x 的二次三项式。
同样地，在多项式2ab-7ab+3中，如果把ab 看作一个整体，它就是关于ab的二次三项式。
还有多项式(x+y)+7(x+y)+12，把x+y看作一个整体，就是关于x+y的二次三项式。
十字相乘法是一种分解二次三项式的方法。
对于二次项系数为1的二次三项式x+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)，方法的特征是“拆常数项，凑一次项”。
当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同。
例如，对于7x+(-8x)，我们可以得到原式=(x+7)(x-8)。
另外，对于x^2-10x+16，我们可以将其分解为(x-2)(x-8)。
对于二次项系数不是1的二次三项式ax^2+bx+c=a1x^2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2)，它的特征是“拆两头，凑中间”。
当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同。
例如，对于-2x+(-8x)，我们可以得到原式=-10x，而对于2x^2-11x-6，我们可以将其分解为(2x+1)(x-6)。
十字相乘法解法综合课件
避免大数相乘
在计算过程中，尽量避免 大数的相乘，可以使用因 式分解或分配律等方法简 化计算。
利用分配律
在计算过程中，可以利用 分配律简化计算，如 $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc +bd$。
05
练习与巩固
基础练习题
总结词
掌握基本概念和步骤
原理
基于一元二次方程的根与系数的关系，通过将方程左侧的二 次项和常数项分别分解为两个一次项的乘积，使得左侧成为 两个一次项的乘积之和，右侧为零，从而找到方程的根。
适用范围
01
只适用于一元二次方程，且系数 必须满足一定的条件才能进行因 式分解。
02
对于某些特殊形式的一元二次方 程，如形如 $ax^2+bx=0$ 的方 程，可以直接应用十字相乘法求 解。
历史背景
起源
十字相乘法最早可以追溯到中国古代 的数学著作《九章算术》，但直到明 朝时期的《算法统宗》才得到了较为 详细的阐述和应用。
发展
现代应用
在现代数学教育和研究中，十字相乘 法仍然是解决一元二次方程的重要工 具之一，尤其在代数、几何等领域中 有着广泛的应用。
随着数学的发展，十字相乘法逐渐成 为了解一元二次方程的重要方法之一 ，并在多个数学领域得到广泛应用。
举例
对于方程 $2x^2 - 5x + 3 = 0$，我们可以找到因数 $2$ 和 $3$，它 们的和为 $-5$，乘积为 $6$，满足条件，所以原方程可以分解为 $(2x - 3)(x - 2) = 0$，解得 $x = frac{3}{2}$ 或 $x = 2$。
分式方程的化简
十字相乘法的原理
十字相乘法的原理
十字相乘法是一种用于计算两个多位数相乘的方法，它适用于任意位数的数字相乘。
下面将介绍十字相乘法的原理和具体步骤。
首先，我们假设要计算的两个多位数分别为A和B，其中A
的位数为m，B的位数为n。
1. 将A和B分别写成竖式排列的形式，保持从右向左的顺序。
即A的个位数在最右边，B的个位数也在最右边。
2. 根据A和B的位数，我们可以得到一个m×n的表格。
表格
的行数为A的位数m，列数为B的位数n。
3. 将A的个位数与B的每个位数相乘，然后将结果写在表格
的第一行，每个结果对应的列数就是B的位数。
4. 接下来，将A的十位数与B的每个位数相乘，然后将结果
写在表格的第二行，同样每个结果对应的列数就是B的位数。
5. 重复上述步骤，依次将A的百位数、千位数等与B的每个
位数相乘，将结果填写在相应的行上。
6. 当所有的乘法运算都完成后，需要将同一列上的数相加，并将结果填写在竖直相对应的位置上。
7. 最后，将所有竖直相对应位置上的数相加，并得到最终的乘
法结果。
通过以上的步骤，我们可以用十字相乘法来计算任意位数的两个多位数相乘。
这种方法的优点是可以清晰地展示出乘法运算的每一步骤，简化了计算过程，避免了繁琐的手工运算过程。
一元二次方程的解法-十字相乘法
首先观察一元二次方程的形式，确定二次 项系数和常数项系数。
根据二次项系数和常数项系数，将方程左 侧转化为两个一次项的乘积。
求解一次项系数
求解未知数
通过交叉相乘的方法，求解出一次项系数 。
将求得的一次项系数代入原方程，解出未 知数。
注意事项
适用范围
十字相乘法适用于解形式为 $ax^2+bx+c=0$的一元二次方
概念
十字相乘法基于因式分解的思想，通过将一元二次方程转化为两个一元一次方 程，进而求解未知数。
重要性及应用领域
重要性
十字相乘法是一元二次方程的重要解法之一，它能够直接求得方程的解，避免了 复杂的计算和求解过程。
应用领域
十字相乘法广泛应用于数学、物理、工程等领域，尤其在解决实际问题中，如代 数问题、几何问题、概率统计等，都经常需要使用到一元二次方程的解法，而十 字相乘法是其中的一种常用方法。
一元二次方程的解法-十相乘法原理 • 实例解析 • 与其他解法的比较 • 练习与巩固 • 总结与展望
01 引言
定义与概念
定义
十字相乘法是一种解一元二次方程的数学方法，通过将方程左侧的二次项和常 数项进行拆分，然后与右侧的一次项进行交叉相乘，得到两个一次方程，从而 求解一元二次方程。
02 十字相乘法原理
原理概述
十字相乘法是一种解一元二次方程的简便方法，通过将方程左侧的二次项和常数 项进行拆分，然后交叉相乘，得到两个一次项，从而找到方程的解。
该方法基于一元二次方程的因式分解，通过将方程左侧转化为两个一次项的乘积 ，简化了解的过程。
具体步骤
确定二次项系数和常数项系数
进行因式分解
与因式分解法的比较
适用范围
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十字相乘法概念十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。
当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。
例题例1 把2x^2-7x+3分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数)：2＝1×2＝2×1；分解常数项：3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：1 1╳2 31×3+2×1=51 3╳2 11×1+2×3=71 -1╳2 -31×(-3)+2×(-1)=-51 -3╳2 -11×(-1)+2×(-3)=-7经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.解2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1).一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：a1 c1╳a2 c2a1c2+a2c1按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.例2 把6x^2-7x-5分解因式.分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种2 1╳3 -52×(-5)+3×1=-7是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.解6x^2-7x-5=(2x+1)(3x-5)指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x^2+2x-15分解因式，十字相乘法是1 -3╳1 51×5+1×(-3)=2所以x^2+2x-15=(x-3)(x+5).例3 把5x^2+6xy-8y^2分解因式.分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y^2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即1 2╳5 -41×(-4)+5×2=6解5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)(5x-4y).指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.例4 把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.解(x-y)(2x-2y-3)-2=(x-y)[2(x-y)-3]-2=2(x-y) ^2-3(x-y)-2=[(x-y)-2][2(x-y)+1]=(x-y-2)(2x-2y+1).1 -2╳2 11×1+2×(-2)=－3指出：把(x-y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.例5 x^2+2x-15分析：常数项(-15)<0，可分解成异号两数的积，可分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3) (-5)或(-3)(5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。
=(x-3)(x+5)总结：①x^2＋（p+q）x＋pq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x^2＋(p+q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么kx^2＋mx＋n＝(ax+b)(cx+d)a b╳c d通俗方法先将二次项分解成（1 X 二次项系数），将常数项分解成（1 X 常数项）然后以下面的格式写1 1X二次项系数常数项若交叉相乘后数值等于一次项系数则成立，不相等就要按照以下的方法进行试验。
（一般的题很简单，最多3次就可以算出正确答案。
）需要多次实验的格式为：（注意：此时的abcd不是指（ax^2+bx+c）里面的系数，而且abcd最好为整数）a b╳c d第一次a=1 b=1 c=二次项系数÷a d=常数项÷b第二次a=1 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b第三次a=2 b=1 c=二次项系数÷a d=常数项÷b第四次a=2 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b第五次a=2 b=3 c=二次项系数÷a d=常数项÷b第六次a=3 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b第七次a=3 b=3 c=二次项系数÷a d=常数项÷b......依此类推直到（ad+cb=一次项系数）为止。
最终的结果格式为(ax+b)(cx+d)例解：2x^2+7x+6第一次：1 1╳2 61X6+2X1=8 8>7 不成立继续试第二次1 2╳2 31X3+2X2=7 所以分解后为:(x+2)(2x+3)[编辑本段]⒉十字相乘法（解决两者之间的比例问题）原理一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。
平均值为C。
求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。
假设A有X，B有（1-X）。
AX+B（1-X）=CX=(C-B)/(A-B)1-X=(A-C)/(A-B)因此：X∶（1-X）=（C-B）∶(A-C)上面的计算过程可以抽象为：A ………C-B……CB……… A-C这就是所谓的十字相乘法。
十字相乘法使用时的注意第一点：用来解决两者之间的比例问题。
第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。
第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放在对角线上。
例题某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2%，其中本科毕业生比上年度减少2%，而研究生毕业数量比上年度增加10%，那么，这所高校今年毕业的本科生有多少人？十字相乘法解：去年毕业生一共7500人，7650÷（1+2%）=7500人。
本科生：-2%………8%…………………2%研究生：10%……… 4%本科生∶研究生=8%∶4%=2∶1。
7500×2/3=50005000×0.98=4900这所高校今年毕业的本科生有4900人。
[编辑本段]3.十字相乘法解一元二次方程(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x^2+3x=0(3) 6x^2+5x-50=0 (4)x^2-2( + )x+4=0(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得x^2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零)(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解：2x^2+3x=0x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)∴x1=0，x2=-3/2是原方程的解。
注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。
(3)解：6x^2+5x-50=0(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)∴2x-5=0或3x+10=0∴x1=5/2, x2=-10/3 是原方程的解。
(4)解：x^2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法）(x-2)(x-2 )=0∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
例题x^2-x-2=0解：(x+1)(x-2)=0∴x+1=0或x-2=0∴x1=-1,x2=2百度百科中的词条内容仅供参考，如果您需要解决具体问题（尤其在法律、医学等领域），建议您咨询相关领域专业人士。
本词条对我有帮助2218扩展阅读：1..十字相乘法能把某些二次三项式ax2+bx+c(a≠0)分解因式。
这种方法的关健是把二次项的系数a分解成两个因数a1,a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。
当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。
2..例:x2+2x-153..分析：常数项(-15)<0，可分解成异号两数的积，可分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3)(-5)或(-3)(5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。
4..=（x-3）（x+5)[我来完善]相关词条：更多公式法分式提公因式法因式分解十字相乘韦达定理托勒密定理相交弦定理开放分类：数学，比例，十字相乘法更多合作编辑者：雁门太守行、酱菜馆总裁、MY之★應、baikkp、帅气☆宝宝、372447858、wqlapxy、南星文斗、明之天使、海亮——如果您认为本词条还需进一步完善，百科欢迎您也来参与编辑词条在开始编辑前，您还可以先学习如何编辑词条词条统计浏览次数：约64988 次编辑次数：43 次历史版本最近更新：2009-08-31创建者：小松博客历史上的今天热门词条榜©2009 Baidu 权利声明。