2019-2020年高考等值预测卷(全国Ⅲ卷)数学(文)试卷及答案

高考等值试卷★预测卷

文科数学（全国Ⅲ卷）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1．设集合A ={x |x 2≤x }，B ={x ||x |≥1}，则A ∩B = A ．? B ．[01]，

C ．{1}

D ．()-∞+∞， 2．已知i 为虚数单位，复数z 满足z (1+i)=2i ，则z =

A ．2

B ．1+i

C ．-1+i

D ．1-i

3．改革开放40年来，我国综合国力显著提升，人民生活水平有了极大提高，也在不断追求美好生活．有研究所统计了近些年来空气净化器的销量情况，绘制了如图的统计图．观察统计图，下列说法中不正确的是

A ．2012年——2018年空气净化器的销售量逐年在增加

B ．2016年销售量的同比增长率最低

C ．与2017年相比，2018年空气净化器的销售量几乎没有增长

D ．有连续三年的销售增长率超过30% 4．下列函数是奇函数且在R 上是增函数的是

A ．()sin f x x x =

B ．2()f x x x =+

C ．()e x f x x =

D ．()e e x x f x -=-

100 200 300 400 500 600 700

800

900 0% 10%

20%

30%

40%

50% 60% 70%

80%

100%

90% 2012年 2013年 2014年 2015年 2016年 2017年 2018年

?

? ? ? ? ? ? 空气净化器销售量（万台）

同比增长率（%）

5．“0

D ．既不充分也不必要条件

6．已知椭圆E ：22221x y a b

+=(a >b >0)的离心率为3

2，A 、B 分别为E 的左顶点和上顶点，

若AB 的中点的纵坐标为1

2

，则E 的方程为

A ．2214x y +=

B ． 22

132

x y

+= C ．22143x y += D ．2

213

x y += 7．我国古代木匠精于钻研，技艺精湛，常常设计出巧夺天工的

建筑．在一座宫殿中，有一件特别的“柱脚”的三视图如右图所示，则其体积为

A ．8

3

+4π

B ．83

+8π

C ．8+4π

D ．8+8π

8．将函数()sin 23cos 2f x x x =+的图象向右平移?(?>0)个单位，再向上平移1个单位，所得图象经过点(8

π

，1)，则?的最小值为 A ．

512

π B ．712π

C ．524

π

D ．

724

π

9．已知双曲线22

221x y a b

-=(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作x 2+y 2=a 2的切

线，交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2=45o，则双曲线的离心率为

A ．2

B ．3

C ．2

D ．3 10．有一个长方体木块，三个侧面积分别为8，12，24，现将其削成一个正四面体模型，

则该正四面体模型棱长的最大值为 A ．2

B ．22

C ．4

D ．42

11．已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，A (0，2)，|OB |2+|OA |2=20，若平面

内点P 满足3PB PA =u u u r u u u r

，则|PO |的最大值为

A ．7

B ．6

C ．5

D ．4

12．已知函数2()2ln f x x x m x =--(m ∈R )存在两个极值点x 1，x 2(x 1

()()e 2

x g x x =-，

则12()g x x -的最小值为

A ．21

e -

B ．1e -

C ．21e

D ．1e

俯视图

主视图

左视图 4 2 2 2

二、填空题：本大题共4小题 每小题5分，共20分。

13．已知函数2log 1()(3)1x x f x f x x >?=?

+≤?

，，

，，则(2)f -=________．

14．已知向量a ，b 的夹角为45o，若a =(1，1)，|b |=2，则|2a +b |=________．

15．设x ，y 满足约束条件1x y a x y +≥??-≥-?

，

，且z =x +ay 的最大值为7，则a =________．

16．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且a cos C -c cos A =3

5

b ，则tan(A -C )

的最大值为________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考

题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：（共60分） 17．（本小题满分12分）

设等比数列{a n }的公比为q ，S n 是{a n }的前n 项和，已知a 1+2，2a 2，a 3+1成等差数列，且S 3=4a 2-1，q >1．

（1）求{a n }的通项公式； （2）记数列{

n

n

a }的前n 项和为T n ，若4-T n =(n +2)S n 成立，求n ． 18．（本小题满分12分）

第十三届全国人大第二次会议于2019年3月5日在北京开幕．为广泛了解民意，某人大代表利用网站进行民意调查．数据调查显示，民生问题是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与调查者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，第1组[1525)，，第2组[2535)，，第3

组[3545)，，第4组[4555)，，第5组[5565)，，得到的频率分布直方图如上图所示．

（1）求a ；

（2）现在要从年龄较小的第1组和第2组中用分层抽样的方法抽取5人，并再从这5人中随机抽取2人接受现场访谈，求这两人恰好属于不同组别的概率；

（3）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，问是否有99%的把握认为是否关注民生与年龄有关？

附：

P (K 2≥k 0)

0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001

k 0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879 10.828

a 8年龄(岁)

91117频率 组距 0.010

0.015

0.030

15 25 35 45 55 65

2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=

++++，n =a +b +c +d ． 19．（本小题满分12分）

如图，在三棱柱ADE -BCF 中，侧面ABCD 是为菱形， E 在平面ABCD 内的射影O 恰为线段BD 的中点．

（1）求证：AC ⊥CF ；

（2）若∠BAD =60o，AE =AB =2，求四面体B -CEF 的体积．

20．（本小题满分12分） 在平面直角坐标系xOy 中，已知动圆M 经过定点F (0，1)且与直线y +1=0相切，记动

圆M 的圆心M 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；

（2）设直线l 与曲线C 相交于M 、N 两点，O 为坐标原点，OM 、ON 的斜率分别为

k OM ，k ON ，且满足k OM ·k ON =12

-，△OMN 的面积为8，求直线l 的方程．

21．（本小题满分12分）

已知函数()(1)2ln f x a x x =-+(a ∈R )在定义域上满足()f x ≤0恒成立． （1）求实数a 的值； （2）令()()f x ax

g x x x a

+=?

-在()a +∞，上的最小值为m ，求证：11()10f m -<<-．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分。

22． [选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系xOy 中，P (2，0)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2ρ=，点Q (ρ，θ)(0≤θ≤π)为C 上的动点，M 为PQ 的中点．

（1）请求出M 点轨迹C 1的直角坐标方程；

（2）设点A 的极坐标为A (1，π)，若直线l 经过点A 且与曲线C 1交于点E ，F ，弦EF 的中点为D ，求

AD

AE AF

?的取值范围．

23． [选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知a >0，b >0．

（1）若关于x 的不等式|x +3|-|x -1|≤a 2-3a 对任意实数x 都成立，求实数a 的最小值；

（2）求证：

a b

b a

+

≥a b +． A

B

C

D

E

F

O