2019-2020年高考等值预测卷(全国Ⅲ卷)数学(文)试卷及答案
2023年高考黄金押题预测卷乙卷文数2之02考试版
2023年高考押题预测卷02高三数学（文科）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合，，则集合中的元素个数为（ ）A.B. C. D.勤部门的工作，采用随机抽样的方法调查100名学生对校园环境的认可程度（100分制），{}1,2,3M =(){},,,N x y x M y M x y M =∈∈+∈N 2389A ． 9.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，界中，因此又被称为“大自然的几何学个树形图．若记图2中第A ．144B ．89C ．55 10.已知椭圆的左､右焦点分别为222222:1(0)x y C a b a b+=>>12,F F第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知向量，，且满足，则_______.14.已知圆，直线 ，在区间上任取一个数，则圆O 与直线l 有公共点的概率为______．15．写出一个同时满足下列三个条件的非常数函数______．①在单调递增 ， ②值域， ③16.记的内角，，的对边分别为，，，若为的重心，，，则__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）某市决定利用两年时间完成全国文明城市创建的准备工作，其中“礼让行人”是交警部门主扲的重点工作之一．“礼让行人”即当机动车行经人行横道时应当减速慢行，遇行人正在通过人行横道，应当停车让行．如表是该市某一主干路口电子监控设备抓拍的今年1-6月份机动车驾驶员不“礼让行人”行为的人数统计数据．月份 1 2 3 4 5 6不“礼让行人” 33 36 40 39 45 53(1)请利用所给的数据求不“礼让行人”人数与月份之间的经验回归方程，并预测该路口今年11月份不“礼让行人”的机动车驾驶员人数（精确到整数）；(2)交警部门为调查机动车驾驶员“礼让行人”行为与驾龄满3年的关系，从这6个月内通过该路口的机动车驾驶员中随机抽查了100人，如表所示： ()2,a m =- ()1,3b = b b ⊥+)a (m =22:4O x y +=:l y x b =+[5,5]-b [)0,∞+[)1,+∞()()=f x f x -ABC A B C a b c O ABC OB OC ⊥34b c =cos A =y x ),121(,y ^^^N x x a x b ∈≤≤+=不“礼让行人” 礼让行人 驾龄不超过3年18 42 驾龄3年以上 4 36依据上表，能否有95%的把握判断机动车驾驶员“礼让行人”行为与驾龄满3年有关?并说明理由．独立性检验临界值表：0.10 0.05 0.010 0.005 0.0012.7063.841 6.635 7.879 10.82818．（12分）如图1，在Rt △ABC 中，，，E ，F 都在AC 上，且，，将△AEB ，△CFG 分别沿EB，FG 折起，使得点A ，C 在点P 处重合，得到四棱锥P -EFGB ，如图2.(1)证明：.(2)若M 为PB 的中点，求三棱锥P -EGM 的体积.19．（12分）已知等差数列与等比数列满足 ， ， ，且既是和的等差中项，又是其等比中项.∑∑==---=ni i i i ix x y y x x 1_21^)())((b αx αAB BC ⊥212AC AB ==::3:4:5AE EF FC =EB FG ∥EF PB ⊥{}n a {}n b 11a =35a =24b =2a 11a b +33b a -20.（12分）已知抛物线的准线与轴的交点为.（1）求的方程；（2）若过点的直线与抛物线交于，两点.求证：为定值.21．（12分）已知函数，是曲线在处的切线方程.(1)证明：当时，恒成立；(2)若有两个不同的实数根，且，证明：.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：.（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求取得最大值时直线的直角坐标方程.2:2(0)C y px p =>x (1,0)A -C (2,0)M l C P Q 2211||||PM QM +()24ln 1f x x x =--()y g x =()y f x =1x =0x >()()0f x g x -≥()f x a =12,x x 21x x >2122x x a -<+xOy 1C 1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩αO x 2C ρθ=1C 2C ():0l y kx k =>1C O A 2C O B OA OB +l。
(完整word版)2019年高考数学试卷全国卷1文科真题附答案解析
2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设312iz i-=+，则||(z = ) A ．2B ．3C ．2D ．12．（5分）已知集合{1U =，2，3，4，5，6，7}，{2A =，3，4，5}，{2B =，3，6，7}，则(UBA = )A ．{1，6}B ．{1，7}C ．{6，7}D ．{1，6，7}3．（5分）已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5151(0.61822--≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是( )A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm5．（5分）函数2sin ()cos x xf x x x+=+的图象在[π-，]π的大致为( ) A ．B ．C ．D ．6．（5分）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，⋯，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是( ) A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生7．（5分）tan 255(︒= ) A ．23-B ．23-+C ．23D ．23+8．（5分）已知非零向量a ，b 满足||2||a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为( ) A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 9．（5分）如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入( )A ．12A A=+ B ．12A A=+C ．112A A=+ D ．112A A=+10．（5分）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130︒，则C 的离心率为( ) A ．2sin40︒B ．2cos40︒C ．1sin50︒D ．1cos50︒11．（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 4sin a A b B c C -=，1cos 4A =-，则(bc= )A ．6B ．5C ．4D ．312．（5分）已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为( )A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年数学高考试卷(及答案)
2019年数学高考试卷(及答案)一、选择题1．如图所示的圆锥的俯视图为（）A．B．C．D．2．若复数21iz=-，其中i为虚数单位，则z=A．1+i B．1−i C．−1+i D．−1−i3．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，如图所示，则截面的可能图形是（）A．①③④B．②④C．②③④D．①②③4．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b分别为14,18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．145．设ω>0,函数y=sin(ωx+3π)+2的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是A ．23B ．43C ．32D ．36．设是虚数单位，则复数(1)(12)i i -+=（ ）A ．3+3iB ．-1+3iC ．3+iD ．-1+i7．设向量a ，b 满足2a =，||||3b a b =+=，则2a b +=（ ） A ．6B ．32C ．10D ．428．设i 为虚数单位，复数z 满足21ii z=-，则复数z 的共轭复数等于（ ） A ．1-iB ．-1-iC ．1+iD ．-1+i9．已知函数()3sin 2cos 2[0,]2f x x x m π=+-在上有两个零点，则m 的取值范围是A ．（1,2）B ．[1,2）C ．（1,2]D ．[l,2]10．在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为A ．15-B ．9-C ．6-D ．011．已知锐角三角形的边长分别为2，3，x ，则x 的取值范围是（ ）A 513x <<B 135x <C ．25x <<D 55x <<12．已知ABC 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=，()()1AQ AC λλ=-∈R ，若32BQ CP ⋅=-，则λ=（ ）A ．12B ．122± C ．1102± D ．322± 二、填空题13．设函数()212log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是__________．14．复数()1i i +的实部为 ．15．在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21,,36BE BC DF DC ==则AE AF ⋅的值为 ． 16．在体积为9的斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S —ABC 的体积为2，则三棱锥S —A 1B 1C 1的体积为___．17．已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点.则_________.18．在ABC ∆中，若13AB =，3BC =，120C ∠=︒，则AC =_____． 19．已知四棱锥S ABCD -的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积等于_________.20．如图，已知P 是半径为2，圆心角为3π的一段圆弧AB 上一点，2A B B C =，则PC PA ⋅的最小值为_______．三、解答题21．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束. （1）求P （X =2）；（2）求事件“X =4且甲获胜”的概率.22．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.23．“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M 的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：A 、02000步，（说明：“02000”表示大于或等于0，小于2000，以下同理），B 、20005000步，C 、50008000步，D 、800010000步，E 、1000012000步，且A 、B 、C 三种类别的人数比例为1:4:3，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）若以大学生M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M 的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在20008000的人数；（Ⅱ）若在大学生M 该天抽取的步数在800010000的微信好友中，按男女比例分层抽取6人进行身体状况调查，然后再从这6位微信好友中随机抽取2人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率． 24．已知()11f x x ax =+--.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围. 25．设函数()15,f x x x x R =++-∈. （1）求不等式()10f x ≤的解集；（2）如果关于x 的不等式2()(7)f x a x ≥--在R 上恒成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】找到从上往下看所得到的图形即可．【详解】由圆锥的放置位置，知其俯视图为三角形．故选C.【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，本题容易误选B，属于基础题.2．B解析：B【解析】试题分析：22(1i)1i,1i 1i(1i)(1i)z z+===+∴=---+，选B.【考点】复数的运算，复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，一般考查复数运算与概念或复数的几何意义，也是考生必定得分的题目之一.3．A解析：A【解析】【分析】分别当截面平行于正方体的一个面时，当截面过正方体的两条相交的体对角线时，当截面既不过体对角线也不平行于任一侧面时，进行判定，即可求解.【详解】由题意，当截面平行于正方体的一个面时得③；当截面过正方体的两条相交的体对角线时得④；当截面既不过正方体体对角线也不平行于任一侧面时可能得①；无论如何都不能得②.故选A.【点睛】本题主要考查了正方体与球的组合体的截面问题，其中解答中熟记空间几何体的结构特征是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理能力，属于基础题.4．B解析：B【解析】【分析】【详解】由a=14，b=18，a＜b，则b变为18﹣14=4，由a ＞b ，则a 变为14﹣4=10， 由a ＞b ，则a 变为10﹣4=6， 由a ＞b ，则a 变为6﹣4=2， 由a ＜b ，则b 变为4﹣2=2， 由a=b=2， 则输出的a=2． 故选B ．5．C解析：C 【解析】 函数sin 23y x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象向右平移43π个单位后44sin 2sin 23333w y w x wx ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以有43332013222w kk k w w k w ππ=∴=>∴≥∴=≥ 故选C6．C解析：C 【解析】因为2(1)(12)1223i i i i i i -+=+--=+，故选 C. 考点：本题主要考查复数的乘法运算公式.7．D解析：D 【解析】 【分析】3=，求得2a b ⋅=-，再根据向量模的运算，即可求解． 【详解】∵向量a ，b 满足2a =，3b a b =+=3=，解得2a b ⋅=-．则22224424a b a b a b +=++⋅=+．故选D ． 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，及向量的模的运算问题，其中解答中熟记向量的数量积的运算和向量的模的运算公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8．B解析：B【解析】【分析】利用复数的运算法则解得1iz=-+，结合共轭复数的概念即可得结果.【详解】∵复数z满足21iiz=-，∴()()()2121111i iiz ii i i+===---+，∴复数z的共轭复数等于1i--，故选B.【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．B解析：B【解析】【分析】【详解】试题分析：利用辅助角公式化简函数为()3sin2cos2f x x x m=+-,令,则,所以此时函数即为.令有,根据题意可知在上有两个解,根据在函数图像可知,.考点：辅助角公式;;零点的判断;函数图像.10．C解析：C【解析】分析：连结MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：如图所示，连结MN，由2,2BM MA CN NA == 可知点,M N 分别为线段,AB AC 上靠近点A 的三等分点， 则()33BC MN ON OM ==-， 由题意可知：2211OM ==，12cos1201OM ON ⋅=⨯⨯=-，结合数量积的运算法则可得：()2333336BC OM ON OM OM ON OM OM ⋅=-⋅=⋅-=--=-.本题选择C 选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．11．A解析：A 【解析】试题分析：因为三角形是锐角三角形，所以三角形的三个内角都是锐角，则设边3对的锐角为角α，根据余弦定理得22223cos 04x xα+-=>，解得5x >x 边对的锐角为β，根据余弦定理得22223cos 012x β+-=>，解得013x <<x 的取值范513x << A. 考点：余弦定理.12．A解析：A 【解析】 【分析】运用向量的加法和减法运算表示向量BQ BA AQ =+，CP CA AP =+，再根据向量的数量积运算，建立关于λ的方程，可得选项. 【详解】∵BQ BA AQ =+，CP CA AP =+，∴()()BQ CP BA AQ CA AP AB AC AB AP AC AQ AQ AP ⋅=+⋅+=⋅-⋅-⋅+⋅()()2211AB AC AB AC AB AC λλλλ=⋅---+-⋅()()232441212222λλλλλλ=---+-=-+-=-，∴12λ=.故选：A. 二、填空题13．【解析】【分析】【详解】由题意或或或则实数的取值范围是故答案为 解析：(1,0)(1,)【解析】 【分析】 【详解】由题意()()f a f a >-⇒2120 log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或()()1220log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩01a a a >⎧⎪⇒⎨>⎪⎩或11a a a a<⎧⎪⇒>⎨->-⎪⎩或10a -<<，则实数a 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故答案为()()1,01,-⋃+∞.14．【解析】复数其实部为考点：复数的乘法运算实部 解析：1-【解析】复数(1)11i i i i +=-=-+，其实部为1-. 考点：复数的乘法运算、实部.15．【解析】在等腰梯形ABCD 中由得所以考点：平面向量的数量积解析：2918【解析】 在等腰梯形ABCD 中,由AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=得12AD BC ⋅=,1AB AD ⋅=,12DC AB =,所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+ 22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅+⋅++⋅=++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.考点：平面向量的数量积.16．【解析】【分析】由已知棱柱体积与棱锥体积可得S 到下底面距离与棱柱高的关系进一步得到S 到上底面距离与棱锥高的关系则答案可求【详解】设三棱柱的底面积为高为则再设到底面的距离为则得所以则到上底面的距离为所解析：1【解析】 【分析】由已知棱柱体积与棱锥体积可得S 到下底面距离与棱柱高的关系，进一步得到S 到上底面距离与棱锥高的关系，则答案可求． 【详解】设三棱柱111ABC A B C -的底面积为'S ，高为h ， 则9'9'S h S h==，， 再设S 到底面ABC 的距离为'h ，则1''23S h =，得19'23h h⋅⋅=， 所以'23h h =， 则S 到上底面111A B C 的距离为13h ， 所以三棱锥111S A B C -的体积为111'91339S h ⋅=⋅=． 故答案为1． 【点睛】本题考查棱柱、棱锥体积的求法，考查空间想象能力、思维能力与计算能力，考查数形结合思想，三棱锥体积为1V 3S h =底，本题是中档题． 17．4【解析】试题分析：由x-3y+6=0得x=3y-6代入圆的方程整理得y2-33y+6=0解得y1=23y2=3所以x1=0x2=-3所以|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=23又直线l 的解析：4 【解析】 试题分析：由，得，代入圆的方程，整理得，解得，所以，所以．又直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．【考点】直线与圆的位置关系【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系的非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．18．1【解析】【分析】由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程解方程即可确定AC 的值【详解】由余弦定理得解得或（舍去）【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形的方法方程的数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计解析：1 【解析】 【分析】由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程，解方程即可确定AC 的值. 【详解】由余弦定理得21393AC AC =++，解得1AC =或4AC =-（舍去）. 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形的方法，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．【解析】【分析】先还原几何体再从底面外心与侧面三角形的外心分别作相应面的垂线交于O 即为球心利用正弦定理求得外接圆的半径利用垂径定理求得球的半径即可求得表面积【详解】由该四棱锥的三视图知该四棱锥直观图 解析：1015π【解析】 【分析】先还原几何体，再从底面外心与侧面三角形SAB 的外心分别作相应面的垂线交于O ，即为球心，利用正弦定理求得外接圆的半径，利用垂径定理求得球的半径，即可求得表面积. 【详解】由该四棱锥的三视图知，该四棱锥直观图如图，因为平面SAB ⊥平面ABCD ，连接AC,BD 交于E ，过E 作面ABCD 的垂线与过三角形ABS 的外心作面ABS 的垂线交于O ，即为球心，连接AO 即为半径，令1r 为SAB ∆外接圆半径，在三角形SAB 中，SA=SB=3,AB=4,则cos 23SBA ∠=,∴sin3SBA ∠=，∴132sin r SBA ==∠，∴1r =，又OF=12AD =, 可得2221R r OF =+，计算得，28110112020R =+= ， 所以210145S R ππ==. 故答案为101.5π 【点睛】本题考查了三视图还原几何体的问题，考查了四棱锥的外接球的问题，关键是找到球心，属于较难题.20．5﹣【解析】【分析】设圆心为OAB 中点为D 先求出再求PM 的最小值得解【详解】设圆心为OAB 中点为D 由题得取AC 中点M 由题得两方程平方相减得要使取最小值就是PM 最小当圆弧AB 的圆心与点PM 共线时PM 最解析：5﹣【解析】 【分析】设圆心为O,AB 中点为D,先求出2221944PC PA PM AC PM ⋅=-=-，再求PM 的最小值得解. 【详解】设圆心为O,AB 中点为D, 由题得22sin2,36AB AC π=⋅⋅=∴=.取AC 中点M ，由题得2PA PC PMPC PA AC⎧+=⎨-=⎩,两方程平方相减得2221944PC PA PM AC PM ⋅=-=-， 要使PC PA ⋅取最小值，就是PM 最小， 当圆弧AB 的圆心与点P 、M 共线时，PM 最小.此时DM=1,22DM ∴==,所以PM 有最小值为2，代入求得PC PA ⋅的最小值为5﹣故答案为5﹣【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查平面向量的数量积及其最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题21．（1）0.5；（2）0.1 【解析】 【分析】(1)本题首先可以通过题意推导出()2P X =所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果； (2)本题首先可以通过题意推导出4P X 所包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果．【详解】(1)由题意可知，()2P X =所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球” 所以20.50.40.50.60.5P X(2)由题意可知，4P X 包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”所以40.50.60.50.4+0.50.40.50.40.1P X【点睛】本题考查古典概型的相关性质，能否通过题意得出()2P X =以及4P X 所包含的事件是解决本题的关键，考查推理能力，考查学生从题目中获取所需信息的能力，是中档题．22．（1）3,2a c ==；（2）2327【解析】试题分析：（1）由2BA BC ⋅=和1cos 3B =，得ac=6.由余弦定理，得2213a c +=. 解，即可求出a ，c ；（2） 在ABC ∆中，利用同角基本关系得22sin .3B =由正弦定理，得42sin sin c C B b ==，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此27cos 1sin 9C C =-=，利用cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+，即可求出结果. （1）由2BA BC ⋅=得，，又1cos 3B =，所以ac=6.由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+. 又b=3，所以2292213a c +=+⨯=. 解，得a=2，c=3或a=3，c=2.因为a>c,∴ a=3，c=2.（2）在ABC ∆中，2212sin 1cos 1()33B B =-=-= 由正弦定理，得22242sin sin 3c C B b ===a b c =>，所以C 为锐角，因此22427cos 1sin 1()99C C =-=-=.于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=172242233927⋅+=. 考点：1.解三角形；2.三角恒等变换. 23．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）35． 【解析】 【分析】（Ⅰ）所抽取的40人中，该天行走20008000~步的人数：男12人，女14人，由此能求出400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走20008000~步的人数． （Ⅱ）该天抽取的步数在800010000~的人数：男6人，女3人，共9人，再按男女比例分层抽取6人，则其中男4人，女2人，由此能求出其中至少有一位女性微信好友被采访的概率． 【详解】（Ⅰ）由题意，所抽取的40人中，该天行走20008000~步的人数：男12人，女14人， 所以400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走20008000~步的人数约为2640026040⨯=人； （Ⅱ）该天抽取的步数在800010000~的人数中，根据频率分布直方图可知，男生人数所占的频率为0.1520.3⨯=，所以男生的人数为为200.36⨯=人，根据柱状图可得，女生人数为3人，再按男女比例分层抽取6人，则其中男4人，女2人．再从这6位微信好友中随机抽取2人进行采访，基本事件总数2615n C ==种，至少1个女性的对立事件是选取中的两人都是男性，∴其中至少有一位女性微信好友被采访的概率：2426315C P C =-=．【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及古典概型及其概率的求解，以及分层抽样等知识的综合应用，其中解答中认真审题，正确理解题意，合理运算求解是解答此类问题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 24．（1）12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）(]0,2 【解析】分析：(1)将1a =代入函数解析式，求得()11f x x x =+--，利用零点分段将解析式化为()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式()1f x >的解集为12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭；(2)根据题中所给的()0,1x ∈，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式()f x x >可以化为()0,1x ∈时11ax -<，分情况讨论即可求得结果.详解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭．（2）当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立． 若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥； 若0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]0,2．点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果. 25．（1）{}|37x x -≤≤；（2）(],9-∞. 【解析】 【分析】（1）分别在1x ≤-、15x -<<、5x ≥三种情况下去掉绝对值符号得到不等式，解不等式求得结果；（2）将不等式变为()()27a f x x ≤+-，令()()()27g x f x x =+-，可得到分段函数()g x 的解析式，分别在每一段上求解出()g x 的最小值，从而得到()g x 在R 上的最小值，进而利用()min a g x ≤得到结果.【详解】（1）当1x ≤-时，()154210f x x x x =--+-=-≤，解得：31x -≤≤- 当15x -<<时，()15610f x x x =++-=≤，恒成立 当5x ≥时，()152410f x x x x =++-=-≤，解得：57x ≤≤ 综上所述，不等式()10f x ≤的解集为：{}37x x -≤≤ （2）由()()27f x a x ≥--得：()()27a f x x ≤+-由（1）知：()42,16,1524,5x x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩令()()()22221653,171455,151245,5x x x g x f x x x x x x x x ⎧-+≤-⎪=+-=-+-<<⎨⎪-+≥⎩当1x ≤-时，()()min 170g x g =-= 当15x -<<时，()()510g x g >= 当5x ≥时，()()min 69g x g == 综上所述，当x ∈R 时，()min 9g x =()a g x ≤恒成立 ()min a g x ∴≤ (],9a ∴∈-∞【点睛】本题考查分类讨论求解绝对值不等式、含绝对值不等式的恒成立问题的求解；求解本题恒成立问题的关键是能够通过分离变量构造出新的函数，将问题转化为变量与函数最值之间的比较，进而通过分类讨论得到函数的解析式，分段求解出函数的最值.。
(完整版)2019年高考全国3卷文科数学及答案
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共23题，共150分，共4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤，，则A B =I A ．{}1,0,1- B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,22．若(1i)2i z +=，则z = A ．1i -- B ．1+i - C ．1i - D ．1+i 3．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是A ．16 B ．14 C ．13 D ．124．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0．5 B ．0．6 C ．0．7 D ．0．8 5．函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为A ．2B ．3C ．4D ．5 6．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3= A ． 16 B ． 8 C ．4 D ． 2 7．已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．a=e ，b =-1 B ．a=e ，b =1 C ．a=e -1，b =1 D ．a=e -1，1b =-8．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则A ．BM =EN ，且直线BM 、EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM 、EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线9．执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值等于A ．4122-B ．5122-C ．6122-D ．7122-10．已知F 是双曲线C ：22145x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为 A ．32B ．52C ．72D ．9211．记不等式组6,20x y x y +⎧⎨-≥⎩…表示的平面区域为D ．命题:(,),29p x y D x y ∃∈+…；命题:(,),212q x y D x y ∀∈+„．下面给出了四个命题①p q ∨②p q ⌝∨③p q ∧⌝ ④p q ⌝∧⌝ 这四个命题中，所有真命题的编号是 A ．①③ B ．①②C ．②③D ．③④12．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-） B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314） D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省潍坊市2024高三冲刺(高考数学)部编版模拟(预测卷)完整试卷
山东省潍坊市2024高三冲刺（高考数学）部编版模拟(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知，则的值为（）A．B．C．D．第(2)题如果函数的图象如下图，那么导函数的图象可能是（）A．B．C．D．第(3)题已知，，对，且，恒有，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(4)题若对于任意，不等式恒成立，则实数的最大值是( )A．B．1C．2D．第(5)题椭圆短轴是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到其准线的距离为A．B．C．D．第(6)题已知，其中，是实数，为虚数单位，则（）A．B．C．D．第(7)题已知函数在定义域上是单调函数，且，当在上与在R上的单调性相同时，实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(8)题将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2人，不同的分组数为，甲、乙分到同一组的概率为，则的值分别为A ．,B．,C ．,D．,二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知等差数列的公差为d，前n项和是，满足，则（）．A．的最小值为B．C．满足的n的最大值为4D．第(2)题是各项均为正数的等差数列，其公差，是等比数列，若，，则（）A．B．C．D．第(3)题古希腊数学家欧几里得在《几何原本》卷11中这样定义棱柱：一个棱柱是一个立体图形，它是由一些平面构成的，其中有两个面是相对的､相等的，相似且平行的，其它各面都是平行四边形.显然这个定义是有缺陷的，由于《几何原本》作为“数学圣经”的巨大影响，该定义在后世可谓谬种流传，直到1916年，美国数学家斯顿（J.C.Stone）和米利斯（lis）首次给出欧氏定义的反例.如图1，八面体的每一个面都是边长为2的正三角形，且4个顶点A，B，C，D在同一平面内，取各棱的中点，切割成欧氏反例（如图2），则该欧氏反例（）A．共有12个顶点B．共有24条棱C．表面积为D．体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知，则的最小值为______________________ .第(2)题已知函数在R上是增函数，则的最大值为_____________．第(3)题已知中，边上的高为2，H为上一动点，满足，则的最小值是__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知双曲线：（，）的离心率为，点到其左右焦点，的距离的差为2．(1)求双曲线的方程；(2)在直线上存在一点，过作两条相互垂直的直线均与双曲线相切，求的取值范围．第(2)题在中，内角，，的对边分别为，，，且.(1)求；(2)若，，点，分别在边，上，且将分成面积相等的两部分，求的最小值.第(3)题已知动点与两个定点，的距离的比为.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线与曲线交于、两点，求线段长度的最小值；（3）已知圆的圆心为，且圆与轴相切，若圆与曲线有公共点，求实数的取值范围.第(4)题假定射手甲每次射击命中目标的概率为其中．(1)当时，若甲射击次，命中目标的次数为．①求；②若其中求的值．(2)射击积分规则如下：单次未命中目标得分，单次命中目标得分，若连续命中目标次，则其中第一次命中目标得1分，后一次命中目标的得分为前一次得分的2倍．记射手甲射击4次的总得分为，若对任意有成立，求所有满足上述条件的有序实数对．第(5)题山东省2020年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分.其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为、、、、、、、共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91-100、81-90、71-80，61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八个分数区间，得到考生的等级成绩.举例说明.某同学化学学科原始分为65分，该学科等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属等级.而等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分为：设该同学化学科的转换等级分为，，求得.四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67.（1）某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布.（i）若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为，其所在原始分分布区间为82～93，求小明转换后的物理成绩；（ii）求物理原始分在区间的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记表示这4人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望.（附：若随机变量，则，，）。
2019年高考数学真题及答案(含全国1卷,全国2卷,全国3卷共3套)
绝密★启用前 全国卷Ⅰ2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N =A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=-C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=3．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190cm5．函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ．C ．D ．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 11．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π,π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F分别是P A ，PB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A ．B ．C ． D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【高考押题】2019年高考数学终极仿真预测试卷(含答案解析)
专题21 高考数学终极仿真预测试卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数z 满足，则复数z 在复平面内表示的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】解：由，得，∴复数z 在复平面内表示的点的坐标为71(,)22，所在的象限为第一象限．【答案】A ．2．已知，则sin x 的值为( )A ．BCD ．【解析】解：(0,)2x π∈，得(44x ππ+∈，3)4π，∴由，得．．【答案】B ．3．已知0sin a xdx π=⎰，则5()ax x-展开式中1x -项的系数为( )A ．10B ．10-C ．80D ．80-【解析】解：已知，则展开式的通项公式为，令521r -=-，求得3r =，故展开式中1x -项的系数为，【答案】D ．4．已知双曲线221169x y -=的左焦点为1F ，过1F 的直线l 交双曲线左支于A 、B 两点，则l 斜率的范围为( ) A ．4(3-，4)3B ．(-∞，33)(44-⋃，)+∞C ．33(,)44-D ．(-∞，44)(33-⋃，)+∞【解析】解：双曲线221169x y -=的左焦点为1F ，过1F 的直线l 交双曲线左支于A 、B 两点，双曲线的渐近线方程为：34y x =±，所以l 斜率满足3||4k >，即(k ∈-∞，33)(44-⋃，)+∞． 【答案】B ． 5．已知向量a ，b 满足，且(2)a a b ⊥+，则b 在a 方向上的投影为( )A ．1B ．2C 2D ．1-【解析】解：向量a ，b 满足，且(2)a a b ⊥+，可得220a a b +=， 可得2a b =-，则b 在a 方向上的投影为：1||a ba =-． 【答案】D ．6．已知，0ω>，||)2πϕ<部分图象如图，则()f x 的一个对称中心是()A ．(,0)πB ．(,0)12πC ．5(,1)6π-- D ．(,1)6π--【解析】解：函数的最大值为1A B +=，最小值为3A B -+=-， 得2A =，1B =-， 即，，，即T π=，即2ππω=，得2ω=，则，由五点对应法得得3πϕ=，得，由23x k ππ+=，得62k x ππ=-+，k Z ∈， 即函数的对称中心为(62k ππ-+，1)-，k Z ∈ 当0k =时，对称中心为(6π-，1)-，【答案】D ．7．已知等比数列{}n a 的公比为q ，34a =，2410a a +=-，且||1q >，则其前4项的和为( ) A ．5B ．10C ．5-D ．10-【解析】解：等比数列{}n a 的公比为q ，34a =，2410a a +=-，∴4410q q+=-，解得12q =-（舍去），或2q =-，1241a q∴==，，【答案】C ．8．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D 为BC 的中点，且23BP BC =，则(AD AP = )A B ．1 C D ．3【解析】解：由23BP BC =，可得点P 为线段AB 的三等分点且靠近点A ，过点P 作PE AD ⊥交AD 于点E ， 则，【答案】B ．9．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为( ) A ．16B ．14 C ．13D ．12【解析】解：我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研， 每个县区至少派一位专家， 基本事件总数，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数，∴甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为．【答案】A ．10．已知x ，y 满足约束条件，则2z x y =+的最大值是( )A ．0B ．2C ．5D ．6【解析】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；由解得(3,4)A -，此时直线在y 轴上的截距最大，所以目标函数2z x y =+的最大值为．【答案】C ．11．将函数的图象向左平移8π个单位得到()g x 的图象，则()g x 在下列那个区间上单调递减( ) A ．[,0]2π-B ．9[,]1616ππC ．[0,]2πD ．[,]2ππ【解析】解：将函数的图象向左平移8π个单位得到的图象，在区间[0，]2π上，则2[0x ∈，]π，()g x 单调递减，故C 满足条件，在区间[2π-，0]上，则2[x π∈-，0]，()g x 单调递增，故A 不满足条件； 在区间[16π，9]16π上，则2[8x π∈，9]8π，()g x 没有单调性，故B 不满足条件；在区间[0，]2π上，则2[0x ∈，]π，()g x 单调递减，故C 满足条件； 在区间[2π，]π上，则2[x π∈，2]π，()g x 没有单调性，故D 不满足条件，【答案】C ．12．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，，且当(x ∈-∞，0]时，()g x 单调递增，则不等式的解集为( )A ．3(,)2+∞B ．3(,)2-+∞C ．(,3)-∞-D ．(,3)-∞【解析】解：根据题意，，则，若()f x 为偶函数，则，即可得函数()g x 为偶函数，又由当(x ∈-∞，0]时，()g x 单调递增， 则，解可得32x >-，即不等式的解集为3(2-，)+∞；【答案】B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．学校要从5名男生和2名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务，若用ξ表示抽取的志愿者中女生的人数，则随机变量ξ的数学期望()E ξ的值是47．（结果用分数表示） 【解析】解：学校要从5名男生和2名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务， 用ξ表示抽取的志愿者中女生的人数， 则ξ的可能取值为0，1，2，，，，∴随机变量ξ的数学期望：．故答案为：47． 14．若，则cos2α的值是 ．【解析】解：已知：，根据三角函数的诱导公式，，所以：则：3cos 5α=， 则：．故答案为：725-15．已知点F 是抛物线2:4C y x =的焦点，点M 为抛物线C 上任意一点，过点M 向圆作切线，切点分别为A ，B ，则四边形AFBM 面积的最小值为 12． 【解析】解：如下图所示：圆的圆心与抛物线的焦点重合， 若四边形AFBM 的面积最小， 则MF 最小， 即M 距离准线最近，故满足条件时，M 与原点重合，此时1MF =，，此时四边形AFBM 面积，故答案为：12． 16．设数列{}n a 是递减的等比数列，且满足2712a a =，3694a a +=，则1232n a a a a ⋯的最大值为 64 ． 【解析】解：设递减的等比数列{}n a 的公比为q ，2712a a =，3694a a +=， ∴，3694a a +=， 解得32a =，614a =． 36318a q a ∴==，12q ∴=，3128a a q ==，24a =，41a =．5n …时，(0,1)n a ∈． ．的最大值为64．故答案为：64．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知．（Ⅰ）求证：2B A π-=；（Ⅱ）若c =，3C π=，求ABC ∆的面积．【解析】解：（Ⅰ）证明：， ∴由正弦定理可得：，可得：，，，，sin02B A+≠，，，，2B A π∴-=，即2B A π=+．（Ⅱ）3C π=，，又2B A π-=，所以712B π=，12A π=， 由正弦定理得sin sin a cA C=，，．18．梯形ABCD 中，//AD BC ，6ABC π∠=，3BCD π∠=，2AD CD ==，过点A 作AE AB ⊥，交BC于E （如图1)．现沿AE 将ABE ∆折起，使得BC DE ⊥，得四棱锥B AECD -（如图2)． （Ⅰ）求证：平面BDE ⊥平面ABC ；（Ⅱ）若F 为BC 的中点，求二面角D EF C --的余弦值．【解析】（Ⅰ）证明：在ABE ∆中，6ABC π∠=，AE AB ⊥，3BEA π∴∠=，又3BCD π∠=，//AE DC ∴，又//AD BC ，∴四边形AECD 为平行四边形，AD CD =，∴平行四边形AECD 为菱形，则DE AC ⊥， 又BC DE ⊥，AC ，BC ⊂平面ABC ，，DE ∴⊥平面ABC ，又DE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABC ；（Ⅱ）解：DE ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，AB DE ∴⊥， 又AB AE ⊥，AE ，DE ⊂平面AECD ，，AB ∴⊥平面AECD ，设，O ∴，F 分别为AC ，BC 的中点，则//OF AB ，OF ∴⊥平面AECD ．由（Ⅰ）得，以O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 不妨设2AD CD ==，可知2AE CD ==，．则(0F ，0，(0C 0)，(1E ，0，0)， 设平面EFC 的一个法向量为(,,)m x y z =，则，取x =(3,1,1)m =．平面DEF 的一个法向量(0,1,0)n =．设二面角D EF C --的平面角为θ，则．即二面角D EF C --．19．已知动直线与y 轴交于点A ，过点A 作直线AB l ⊥，交x 轴于点B ，点C 满足3AC AB =，C 的轨迹为E ．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）已知点(1,0)F ，点(2,0)G ，过F 作斜率为1k 的直线交E 于M ，N 两点，延长MG ，NG 分别交E 于P ，Q 两点，记直线PQ 的斜率为2k ，求证：12k k 为定值． 【解析】解：()I 动直线与y 轴交于点(0,3)A k ，直线AB l ⊥，∴直线AB 的方程为：，交x 轴于点2(3B k ，0)．设(,)C x y ，点C 满足3AC AB =， (x ∴，，3)k -．29x k ∴=，6y k =-．消去k 可得：．即为C 的轨迹方程E ．()II 证明：设M ，N ，P ，Q 的坐标依次为(i x ，)(1i y i =，2，3，4)． 直线MN 的方程为：1x ty =+，联立214x ty y x =+⎧⎨=⎩，化为：，124y y t ∴+=，124y y =-，设直线MG 的方程为：2x my =+，联立224x my y x =+⎧⎨=⎩，化为：，138y y ∴=-，318y y ∴=-．同理可得：428y y =-．，2344k y y =+． ∴为定值．20．某企业打算处理一批产品，这些产品每箱100件，以箱为单位销售．已知这批产品中每箱出现的废品率只有两种可能10%或者20%，两种可能对应的概率均为0.5．假设该产品正品每件市场价格为100元，废品不值钱．现处理价格为每箱8400元，遇到废品不予更换．以一箱产品中正品的价格期望值作为决策依据．（Ⅰ）在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买；（Ⅱ）现允许开箱，有放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验．()i 若此箱出现的废品率为20%，记抽到的废品数为X ，求X 的分布列和数学期望； ()ii 若已发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，判断是否可以购买．【解析】解：（Ⅰ）在不开箱检验的情况下，一箱产品中正品的价格期望值为：，∴在不开箱检验的情况下，可以购买．（Ⅱ）()i X 的可能取值为0，1，2，， ， ，X ∴的分布列为：．()ii 设事件A ：发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，则P （A ），一箱产品中，设正品的价格的期望值为η，则8000η=，9000，事件1B ：抽取的废品率为20%的一箱，则，事件2B ：抽取的废品率为10%的一箱，则，，∴已发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，不可以购买．21．已知函数．（Ⅰ）若0a =，求过点(1,0)-与曲线()y f x =相切的切线方程； （Ⅱ）若不等式恒成立，求a 的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）当0a =时，()x f x e =，()x f x e '=，设切点为0(x ，0)x e ，则，得00x =．∴所求切线方程为1y x =+；（Ⅱ）依题意，得，即，也就是恒成立，令()x g x e x =+，则()g x 在R 上单调递增， 则等价于()x ln x a >-恒成立．即x e x a >-恒成立，即x a x e >-恒成立．令()x h x x e =-，()1x h x e '=-，由()0h x '>，得0x <，由()0h x '<，得0x >， ()h x ∴在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减．．1a ∴>-．故实数a 的取值范围为(1,)-+∞．请考生在第22、23题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为为参数，直线，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求||||OA OB 的值．【解析】解：（Ⅰ）由曲线C 的参数方程消去参数α可得曲线C 的普通方程为：，即，化为极坐标方程为．（Ⅱ）直线l 的极坐标方程为，将θβ=代入方程，得，123ρρ∴=-，．23．已知不等式的解集是A ．（Ⅰ）求集合A ；（Ⅱ）设x ，y A ∈，对任意a R ∈，求证：． 【解析】解：（Ⅰ）当12x <时，不等式变形为，解得102x <<； 当112x 剟时，不等式变形为，解得112x 剟；当1x >时，不等式变形为，解得12x <<；综上得．（Ⅱ）x ，y A ∈，0x ∴<，2y <，，0x <，2y <，，||2x y ∴-<，，，，即．。
2023年高考全国乙卷文科数学押题预测卷三带解析
2023年高考押题预测卷03文科数学注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内与复数2i1iz=+所对应的点关于实轴对称的点为A，则A对应的复数为（）A．1i+B．1i-C．1i--D．1i-+2．03x<<是12x-<成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图1所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（）A．乙的逻辑推理能力优于甲的逻辑推理能力B．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值4．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（）A．12B．2C．4D．45．已知函数()2log,1 1,1 1x xf xxx ≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩，则不等式()1f x≤的解集为（）A．(],2-∞B．(](],01,2-∞ C．[]0,2D．(][],01,2-∞ 6．将函数()()sin0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，且1π2f ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则当ω取最小值时，函数()f x 的解析式为（）A．()sin 2π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B．()sin 2π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C．()sin 4π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D．()sin 4π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭7．数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有刍甍（méng），下广三丈，袤（mào）四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”．现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为（单位：立方丈）（）A ．5.5B．5C．6D．6.58．实数x ，y 满足不等式组()20200x y x y y y m -⎧≤+≥-≤⎪⎨⎪⎩，若3z x y =+的最大值为5，则正数m 的值为（）A．2B．12C．10D．1109．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项m a ，n a ，使得2116m n a a a ⋅=，则19m n+的最小值为（）A．32B．114C．83D．10310．如图，圆柱的轴截面为正方形ABCD ，E 为弧 BC的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（）A ．33B．55C．306D．6611．若椭圆2212516x y +=和双曲线22145x y -=的共同焦点为1F ，2F ，P 是两曲线的一个交点，则12PF PF ⋅的值为（）A．212B．84C．3D．2112．数列{}n a 满足：对任意的n ∈*N 且3n ≥，总存在i ，j ∈*N ，使得n i ja a a =+(),,i j i n j n ≠<<，则称数列{}n a是“T 数列”．现有以下四个数列：①{}2n ；②{}2n ；③{}3n；④112n -⎧⎫⎛-⎪⎪ ⎨⎬⎝⎭⎪⎪⎩⎭．其中是“T 数列”的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知α锐角，且cos π322α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=______．14．已知函数()22sin tan ,,0e xx x x f x x -⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，则25π4f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_____．15．在边长为2的等边三角形ABC 中，2BC BD = ，则向量BA 在AD上的投影为______．16．若直线1y x =+是曲线()()1ln f x x a x a x=+-∈R 的切线，则a 的值是_____．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC △中，3sin 2sin A B =，tan C =（1）求cos 2C ；（2）若1AC BC -=，求ABC △的周长．18．（12分）互联网+时代的今天，移动互联快速发展，智能手机()Smartphone 技术不断成熟，价格却不断下降，成为了生活中必不可少的工具中学生是对新事物和新潮流反应最快的一个群体之一逐渐地，越来越多的中学生开始在学校里使用手机手机特别是智能手机在让我们的生活更便捷的同时会带来些问题，同学们为了解手机在中学生中的使用情况，对本校高二年级100名同学使用手机的情况进行调查．针对调查中获得的“每天平均使用手机进行娱乐活动的时间”进行分组整理得到如图4的饼图、（注：图中()1,2,7i i =（单位：小时）代表分组为()1,i i -的情况）（1）求饼图中a 的值；（2）假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生每天平均使用手机的平均时间在第几组？（只需写出结论）（3）从该校随机选取一名同学，能否根据题目中所给信息估计出这名学生每天平均使用手机进行娱乐活动小于3.5小时的概率，若能，请算出这个概率；若不能，请说明理由．19．（12分）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 的中点．（1）求证：1AB ⊥平面1A BD ；（2）求三棱锥11B A B D -的体积．20．（12分）已知F 为抛物线()2:20C y px p =>的焦点，过F 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点．当直线与x 轴垂直时，4AB =．（1）求抛物线C 的方程；（2）设直线AB 的斜率为1且与抛物线的准线l 相交于点M ，抛物线C 上存在点P 使得直线PA ，PM ，PB 的斜率成等差数列，求点P 的坐标．21．（12分）已知函数()()ln xf x kx k x=-∈R ．（1）当0k =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()0f x <恒成立，求k 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】点P 是曲线()22124C x y -+=:上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点P 逆时针旋转90︒得到点Q ，设点Q 的轨迹为曲线2C ．（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）射线()03πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点，设定点()2,0M ，求MAB △的面积．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()()10f x ax a =->．（1）若不等式()2f x ≤的解集为A ，且()2,2A ⊆-，求实数a 的取值范围；（2）若不等式()1232f x f x aa ⎛⎫++> ⎪⎝⎭对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．2023年高考押题预测卷03（解析版）文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内与复数2i1iz =+所对应的点关于实轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（）A．1i+B．1i -C．1i --D．1i-+【解析】 复数()()()2i 1i 2i 1i 1i 1i 1i z -===+++-，∴复数的共轭复数是1i -，就是复数2i1iz =+所对应的点关于实轴对称的点为A 对应的复数，故选B．2．03x <<是12x -<成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】解12x -<得到13x -<<，假设03x <<，一定有13x -<<，反之不一定，故03x <<是12x -<成立的充分不必要条件．故答案为A．3．比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图1所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（）A．乙的逻辑推理能力优于甲的逻辑推理能力B．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值【解析】对于选项A，甲的逻辑推理能力指标值为4，优于乙的逻辑推理能力指标值为3，所以该命题是假命题；对于选项B，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，所以该命题是假命题；对于选项C，甲的六维能力指标值的平均值为()12343453466+++++=，乙的六维能力指标值的平均值为()154354346+++++=，因为2346<，所以选项C 正确；对于选项D，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故该命题是假命题．故选C．4．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（）B ．12B．2C．4D．4【解析】由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，即2c a =，所以离心率12c e a ==，故选A．5．已知函数()2log ,11,11x x f x x x≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩，则不等式()1f x ≤的解集为（）A．(],2-∞B．(](],01,2-∞ C．[]0,2D．(][],01,2-∞ 【解析】当1x ≥时，()1f x ≤，即为2log 1x ≤，解得12x ≤≤；当1x <时，()1f x ≤，即为111x≤-，解得0x ≤，综上可得，原不等式的解集为][(,01,2⎤-∞⎦ ，故选D．6．将函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，且1π2f ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则当ω取最小值时，函数()f x 的解析式为（）A．()sin 2π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B．()sin 2π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C．()sin 4π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D．()sin 4π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【解析】将函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，可得πsin 6y x ωωϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象，∵所得图象关于y 轴对称，∴πππ62k ωϕ-+=+，k ∈Z ．∵()1sin πsin 2πf ϕϕω⎛⎫=-=+=- ⎪⎝⎭，即1sin 2ϕ=，则当ω取最小值时，π6ϕ=，∴ππ63πk ω-=+，取1k =-，可得4ω=，∴函数()f x 的解析式为()sin 4π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选C．7．数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有刍甍（méng），下广三丈，袤（mào）四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”．现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为（单位：立方丈）（）B ．5.5B．5C．6D．6.5【解析】根据三视图知，该几何体是三棱柱，截去两个三棱锥，如图所示：结合图中数据，计算该几何体的体积为111231423115232V V V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯==-三棱柱三棱锥（立方丈）．8．实数x ，y 满足不等式组()20200x y x y y y m -⎧≤+≥-≤⎪⎨⎪⎩，若3z x y =+的最大值为5，则正数m 的值为（）A．2B．12C．10D．110【解析】先由2020x y x y -≤+≥⎧⎨⎩画可行域，发现0y ≥，所以()0y y m -≤可得到y m ≤，且m 为正数．画出可行域为AOB △（含边界）区域．3z x y =+，转化为3y x z =-+，是斜率为3-的一簇平行线，z 表示在y 轴的截距，由图可知在A 点时截距最大，解2y x y m ==⎧⎨⎩，得2m x y m==⎧⎪⎨⎪⎩，即,2m A m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时max 352m z m =+=，解得2m =，故选A 项．9．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项m a ，n a ，使得2116m n a a a ⋅=，则19m n+的最小值为（）A．32B．114C．83D．103【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，且0q >，由7652a a a =+，得6662q a a a q=+，化简得220q q --=，解得2q =或1q =-（舍去），因为2116m n a a a =，所以()()11211116m n a q a q a --=，则216m n q +-=，解得6m n +=，所以()19119191810106663n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当9n m m n =时取等号，此时96n m m n m n =+=⎧⎪⎨⎪⎩，解得3292m n ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩，因为m ，n 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1983m n +>，验证可得，当2m =，4n =时，19m n +取最小值为114，故选B．10．如图，圆柱的轴截面为正方形ABCD ，E 为弧 BC的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（）【解析】取BC 的中点H ，连接EH ，AH ，90EHA ∠=︒，设2AB =，则1BH HE ==，AH =AE =，连接ED，ED =因为BC AD ∥，所以异面直线AE 与BC 所成角即为EAD ∠，在EAD △中，cos 6EAD ∠=，故选D．11．若椭圆2212516x y +=和双曲线22145x y -=的共同焦点为1F ，2F ，P 是两曲线的一个交点，则12PF PF ⋅的值为（）A．212B．84C．3D．21【解析】依据题意作出椭圆与双曲线的图像如下：由椭圆方程2212516x y +=，可得2125a =，15a =，由椭圆定义可得121210PF PF a +== (1)，由双曲线方程22145x y -=，可得224a =，22a =，由双曲线定义可得12224PF PF a -== (2)联立方程（1）（2），解得17PF =，23PF =，所以123721PF PF ⋅=⨯=，故选D．12．数列{}n a 满足：对任意的n ∈*N 且3n ≥，总存在i ，j ∈*N ，使得n i ja a a =+(),,i j i n j n ≠<<，则称数列{}n a是“T 数列”．现有以下四个数列：①{}2n ；②{}2n ；③{}3n；④112n -⎧⎫⎛-⎪⎪ ⎨⎬⎝⎭⎪⎪⎩⎭．其中是“T 数列”的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】令2n a n =，则()113n n a a a n -=+≥，所以数列{}2n 是“T 数列”；令2n a n =，则11a =，24a =，39a =，所以312a a a ≠+，所以数列{}2n 不是“T 数列”；令3n n a =，则13a =，29a =，327a =，所以312a a a ≠+，所以数列{}3n 不是“T 数列”；令112n n a -⎛-= ⎝⎭，则()123121113222n n n n n n a a a n -----⎛⎫⎛⎛-==+=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以数列112n -⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是“T 数列”．综上，“T 数列”的个数为2，本题选择C 选项．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知α锐角，且cos π2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭tan α=______．【解析】由cos π2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 2α=，α 是锐角，60α∴=︒，则tan α=，故答案为15．已知函数()22sin tan ,,0e xx x x f x x -⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，则25π4f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_____．【解析】因为225π25π25π13sin tan 144422f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3232331ee 2ef -⨯-⎛⎫=== ⎪⎝⎭．故答案为31e ．15．在边长为2的等边三角形ABC 中，2BC BD = ，则向量BA 在AD上的投影为______．【解析】2BC BD = ，D ∴为BC 的中点，()12AD AB AC ∴=+，111222cos1203222BA AD AB BA AC BA ∴⋅=⋅+⋅=-+⨯⨯⨯︒=-，AD = 则向量BA 在AD上的投影为BA AD AD⋅==，故答案为16．若直线1y x =+是曲线()()1ln f x x a x a x=+-∈R 的切线，则a 的值是_____．【解析】设切点的横坐标为0x ，()20220111111a x ax f x x a x x x a x --'=--==⇒=-⇒-=，则有()00000001ln 1ln 10f x x a x x x x x =+-=+⇒-+=，令()()1ln 1101h x x x h x x x'=-+⇒=-=⇒=，则()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，又因为()10h =，所以011x a =⇒=-，故答案为1-．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC △中，3sin 2sin A B =，tan C =（1）求cos 2C ；（2）若1AC BC -=，求ABC △的周长．【解析】（1）∵tan C =1cos 6C =，∴2117cos 221618C ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭．（2）设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．∵3sin 2sin A B =，∴32a b =，∵1AC BC b a -=-=，∴2a =，3b =．由余弦定理可得2222cos 13211c a b ab C =+-=-=，则c ，ABC △的周长为5+18．（12分）互联网+时代的今天，移动互联快速发展，智能手机()Smartphone 技术不断成熟，价格却不断下降，成为了生活中必不可少的工具中学生是对新事物和新潮流反应最快的一个群体之一逐渐地，越来越多的中学生开始在学校里使用手机手机特别是智能手机在让我们的生活更便捷的同时会带来些问题，同学们为了解手机在中学生中的使用情况，对本校高二年级100名同学使用手机的情况进行调查．针对调查中获得的“每天平均使用手机进行娱乐活动的时间”进行分组整理得到如图4的饼图、（注：图中()1,2,7i i =（单位：小时）代表分组为()1,i i -的情况）（1）求饼图中a 的值；（2）假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生每天平均使用手机的平均时间在第几组？（只需写出结论）（3）从该校随机选取一名同学，能否根据题目中所给信息估计出这名学生每天平均使用手机进行娱乐活动小于3.5小时的概率，若能，请算出这个概率；若不能，请说明理由．【解析】（1）由饼图得100%6%9%27%12%14%3%29%------=．（2）假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，估计样本中的100名学生每天平均使用手机的平均时间在第4组．（3）∵样本是从高二年级抽取的，根据抽取的样本只能估计该校高二年级学生每天使用手机进行娱乐活动的平均时间，不能估计全校学生情况，∴若抽取的同学是高二年级的学生，则可以估计这名同学每天平均使用手机小于3.5小时的概率大约为0.48，若抽到高一、高三的同学则不能估计．19．（12分）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 的中点．（1）求证：1AB ⊥平面1A BD ；（2）求三棱锥11B A B D -的体积．【解析】（1）证明：由正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等可知，11AB A B ⊥，如图，取BC 的中点E ，连接1B E ，则1BCD B BE ≅Rt Rt △△，1BB E CBD ∴∠=∠，1190CBD CDB BB E BEB ∴∠+∠=∠+∠=︒，1BD B E ∴⊥，由平面ABC ⊥平面11BCC B ，平面ABC 平面11BCC B BC =，且AE BC ⊥得，AE ⊥平面11BCC B ，AE BD ∴⊥，1B E ⊂ 平面1AEB ，AE ⊂平面1AEB ，1AE B E E = ，BD ∴⊥平面1AEB ，1BD AB ∴⊥，1A B ⊂ 平面1A BD ，BD ⊂平面1A BD ，1A B BD B = ，1AB ∴⊥平面1A BD ，（2）连接1B D ，由1AA ∥平面11BCC B ，所以点1A 到平面11BCC B 的距离，等于AE ===，1111122222BDB BCC B S S ==⨯⨯=△正方形，11111112333B A B D A BDB BDB V V S AE --∴==⨯=⨯⨯△，故三棱锥11B A B D -20．（12分）已知F 为抛物线()2:20C y px p =>的焦点，过F 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点．当直线与x 轴垂直时，4AB =．（1）求抛物线C 的方程；（2）设直线AB 的斜率为1且与抛物线的准线l 相交于点M ，抛物线C 上存在点P 使得直线PA ，PM ，PB 的斜率成等差数列，求点P 的坐标．【解析】（1）因为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在抛物线方程22y px =中，令2p x =，可得y p =±．于是当直线与x 轴垂直时，24AB p ==，解得2p =．所以抛物线的方程为24y x =．（2）因为抛物线24y x =的准线方程为1x =-，所以()1,2M --．设直线AB 的方程为1y x =-，联立241y xy x ==-⎧⎨⎩消去x ，得2440y y --=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y +=，124y y =-．若点()00,P x y 满足条件，则2PM PA PB k k k =+，即0010200102221y y y y y x x x x x +--⋅=++--，因为点P ，A ，B 均在抛物线上，所以2004y x =，2114y x =，2224y x =．代入化简可得()()00122200120122224y y y y y y y y y y y +++=++++，将124y y +=，124y y =-代入，解得02y =±．将02y =±代入抛物线方程，可得01x =．于是点()1,2P ±为满足题意的点．21．（12分）已知函数()()ln xf x kx k x=-∈R ．（1）当0k =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()0f x <恒成立，求k 的取值范围．【解析】（1）当0k =时，()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，∴()10f =，()11f '=，∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-．（2）若()0f x <对()0,x ∈+∞恒成立，即2ln xk x >对0x >恒成立，设()2ln x g x x =，可得()312ln xg x x -'=，由()0g x '=，可得x =当0x <时，()0g x '>，()g x 单调递增；当x >时，()0g x '<，()g x 单调递减．∴()g x 在x =处取得极大值，且为最大值12e ，∴k 的取值范围为1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】点P 是曲线()22124C x y -+=:上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点P 逆时针旋转90︒得到点Q ，设点Q 的轨迹为曲线2C ．（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）射线()03πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点，设定点()2,0M ，求MAB △的面积．【解析】（1）曲线1C 的圆心为()2,0，半径为2，把互化公式代入可得：曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=．设(),Q ρθ，则,2πP ρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则有4cos 4sin π2ρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．所以曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=．（2）M 到射线π3θ=的距离为2sin 3πd ==，)4sin cos ππ2133B A AB ρρ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，则132S AB d =⨯=23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()()10f x ax a =->．（1）若不等式()2f x ≤的解集为A ，且()2,2A ⊆-，求实数a 的取值范围；（2）若不等式()1232f x f x aa ⎛⎫++> ⎪⎝⎭对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】（1）12ax -≤，212ax -≤-≤，13x a a -≤≤，13,A a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．()2,2A ⊆- ，1232aa⎧->-⎪⎪∴⎨⎪<⎪⎩，32a >，a ∴的取值范围3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（2）由题意3112ax x -++>恒成立，设()11h x ax x =-++，()()()()()1,1112,111,a x x h x a x x a a x x a ⎧⎪-+<-⎪⎪⎛⎫=-+-≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫+≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，①01a <≤时，由函数单调性()()min 11h x h a =-=+，312a +>，112a ∴<≤，②1a >时，()min 11a h x h a a +⎛⎫== ⎪⎝⎭，132a a +>，12a ∴<<，综上所述，a 的取值范围1,22⎛⎫⎪⎝⎭．。
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高考等值试卷★预测卷文科数学（全国Ⅲ卷）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A ={x |x 2≤x }，B ={x ||x |≥1}，则A ∩B = A ．∅ B ．[01]，C ．{1}D ．()-∞+∞， 2．已知i 为虚数单位，复数z 满足z (1+i)=2i ，则z =A ．2B ．1+iC ．-1+iD ．1-i3．改革开放40年来，我国综合国力显著提升，人民生活水平有了极大提高，也在不断追求美好生活．有研究所统计了近些年来空气净化器的销量情况，绘制了如图的统计图．观察统计图，下列说法中不正确的是A ．2012年——2018年空气净化器的销售量逐年在增加B ．2016年销售量的同比增长率最低C ．与2017年相比，2018年空气净化器的销售量几乎没有增长D ．有连续三年的销售增长率超过30% 4．下列函数是奇函数且在R 上是增函数的是A ．()sin f x x x =B ．2()f x x x =+C ．()e x f x x =D ．()e e x x f x -=-100 200 300 400 500 600 700800900 0% 10%20%30%40%50% 60% 70%80%100%90% 2012年 2013年 2014年 2015年 2016年 2017年 2018年♦♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ 空气净化器销售量（万台）同比增长率（%）5．“0<x <1”是“sin x 2<sin x ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知椭圆E ：22221x y a b+=(a >b >0)的离心率为32，A 、B 分别为E 的左顶点和上顶点，若AB 的中点的纵坐标为12，则E 的方程为A ．2214x y +=B ． 22132x y+= C ．22143x y += D ．2213x y += 7．我国古代木匠精于钻研，技艺精湛，常常设计出巧夺天工的建筑．在一座宫殿中，有一件特别的“柱脚”的三视图如右图所示，则其体积为A ．83+4πB ．83+8πC ．8+4πD ．8+8π8．将函数()sin 23cos 2f x x x =+的图象向右平移ϕ(ϕ>0)个单位，再向上平移1个单位，所得图象经过点(8π，1)，则ϕ的最小值为 A ．512π B ．712πC ．524πD ．724π9．已知双曲线22221x y a b-=(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作x 2+y 2=a 2的切线，交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2=45º，则双曲线的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．3 10．有一个长方体木块，三个侧面积分别为8，12，24，现将其削成一个正四面体模型，则该正四面体模型棱长的最大值为 A ．2B ．22C ．4D ．4211．已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，A (0，2)，|OB |2+|OA |2=20，若平面内点P 满足3PB PA =u u u r u u u r，则|PO |的最大值为A ．7B ．6C ．5D ．412．已知函数2()2ln f x x x m x =--(m ∈R )存在两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，1()()e 2x g x x =-，则12()g x x -的最小值为A ．21e -B ．1e -C ．21eD ．1e俯视图主视图左视图 4 2 2 2二、填空题：本大题共4小题 每小题5分，共20分。
13．已知函数2log 1()(3)1x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩，，，，则(2)f -=________．14．已知向量a ，b 的夹角为45º，若a =(1，1)，|b |=2，则|2a +b |=________．15．设x ，y 满足约束条件1x y a x y +≥⎧⎨-≥-⎩，，且z =x +ay 的最大值为7，则a =________．16．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且a cos C -c cos A =35b ，则tan(A -C )的最大值为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：（共60分） 17．（本小题满分12分）设等比数列{a n }的公比为q ，S n 是{a n }的前n 项和，已知a 1+2，2a 2，a 3+1成等差数列，且S 3=4a 2-1，q >1．（1）求{a n }的通项公式； （2）记数列{nna }的前n 项和为T n ，若4-T n =(n +2)S n 成立，求n ． 18．（本小题满分12分）第十三届全国人大第二次会议于2019年3月5日在北京开幕．为广泛了解民意，某人大代表利用网站进行民意调查．数据调查显示，民生问题是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与调查者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，第1组[1525)，，第2组[2535)，，第3组[3545)，，第4组[4555)，，第5组[5565)，，得到的频率分布直方图如上图所示．（1）求a ；（2）现在要从年龄较小的第1组和第2组中用分层抽样的方法抽取5人，并再从这5人中随机抽取2人接受现场访谈，求这两人恰好属于不同组别的概率；（3）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，问是否有99%的把握认为是否关注民生与年龄有关？附：P (K 2≥k 0)0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001k 02.0722.7063.8415.0246.6357.879 10.828a 8年龄(岁)91117频率 组距 0.0100.0150.03015 25 35 45 55 6522()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n =a +b +c +d ． 19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ADE -BCF 中，侧面ABCD 是为菱形， E 在平面ABCD 内的射影O 恰为线段BD 的中点．（1）求证：AC ⊥CF ；（2）若∠BAD =60º，AE =AB =2，求四面体B -CEF 的体积．20．（本小题满分12分） 在平面直角坐标系xOy 中，已知动圆M 经过定点F (0，1)且与直线y +1=0相切，记动圆M 的圆心M 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于M 、N 两点，O 为坐标原点，OM 、ON 的斜率分别为k OM ，k ON ，且满足k OM ·k ON =12-，△OMN 的面积为8，求直线l 的方程．21．（本小题满分12分）已知函数()(1)2ln f x a x x =-+(a ∈R )在定义域上满足()f x ≤0恒成立． （1）求实数a 的值； （2）令()()f x axg x x x a+=⋅-在()a +∞，上的最小值为m ，求证：11()10f m -<<-．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答。
如果多做，则按所做的第一题记分。
22． [选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，P (2，0)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2ρ=，点Q (ρ，θ)(0≤θ≤π)为C 上的动点，M 为PQ 的中点．（1）请求出M 点轨迹C 1的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为A (1，π)，若直线l 经过点A 且与曲线C 1交于点E ，F ，弦EF 的中点为D ，求ADAE AF⋅的取值范围．23． [选修4—5：不等式选讲]（10分）已知a >0，b >0．（1）若关于x 的不等式|x +3|-|x -1|≤a 2-3a 对任意实数x 都成立，求实数a 的最小值；（2）求证：a bb a+≥a b +． ABCDEFO。