最新应用回归分析 第一章知识分享
第一章 回归分析概述
4 随机误差
由人们无法控制且难以解释的干 扰所导致的误差作为随机误差归入随 机误差项.
线性回归模型的一般形式为
y 0 1x1 2 x2 L p xp
其中0，1，2，L
，
为未知参数（称为回归参数）
p
如果（xi1,xi2,L ,xip;yi）,i=1,2,L ,n是变量
（x1,x2,L ,xp;y）的一组观测值，则线性回归模型的 数据形式可表示为
数据整理不仅要把一些数据进行换 算，差分，甚至将数据标准化，有时也要 剔除一些“异常值”或利用插值的方法补 齐空缺的数据。
（三）确定理论回归模型 的数学形式
要确定回归模型的数学形式，我们首
先 应 将 收 集 的 样 本 数 据 绘 制 关 于 yi 与 xi (i 1, 2,L , n) 的样本散点图。根据散点
yi 0 1xi1 2 xi2 L p xip i , i 1, 2,L , n
为了估计模型参数的需要,一般线 性回归模型应满足以下几个基本假设:
1
解释变量 x1, x2,L
,
x
是非随机变量；
p
2 高斯-马尔可夫条件(简称G-M条件)
E（i）=0,i=1,2,L ,n
Cov(
i
,j
)=
民的收入 x 与消费支出 y 就呈现出某种不确
定性。
我们将上海市城镇居民可支配收入与支 出的数据（1985 年~2001 年）用散点图表示，
可以发现居民的收入 x 与消费支出 y 基本上
呈现线性关系，但并不完全在一条直线上。 附数据与图形。
年份
1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993
第一章 回归分析概述
【分析】应用回归分析课后习题参考答案全部版何晓群刘文卿
【关键字】分析第一章回归分析概述1.2 返回分析与相关分析的联系与区别是什么？答：联系有返回分析和相关分析都是研究变量间关系的统计学课题。
区别有a.在返回分析中，变量y称为因变量，处在被解释的特殊地位。
在相关分析中，变量x和变量y处于平等的地位，即研究变量y与变量x的密切程度与研究变量x与变量y的密切程度是一回事。
b.相关分析中所涉及的变量y与变量x全是随机变量。
而在返回分析中，因变量y是随机变量，自变量x可以是随机变量也可以是非随机的确定变量。
C.相关分析的研究主要是为了刻画两类变量间线性相关的密切程度。
而返回分析不仅可以揭示变量x对变量y的影响大小，还可以由返回方程进行预测和控制。
1.3 返回模型中随机误差项ε的意义是什么？答：ε为随机误差项，正是由于随机误差项的引入，才将变量间的关系描述为一个随机方程，使得我们可以借助随机数学方法研究y与x1,x2…..xp的关系，由于客观经济现象是错综复杂的，一种经济现象很难用有限个因素来准确说明，随机误差项可以概括表示由于人们的认识以及其他客观原因的局限而没有考虑的种种偶然因素。
1.4 线性返回模型的基本假设是什么？答：线性返回模型的基本假设有：1.解释变量x1.x2….xp是非随机的，观测值xi1.xi2…..xip 是常数。
2.等方差及不相关的假定条件为{E(εi)=0 i=1,2…. Cov(εi,εj)=｛σ^23.正态分布的假定条件为相互独立。
4.样本容量的个数要多于解释变量的个数，即n>p.第二章一元线性返回分析思考与练习参考答案2.1 一元线性返回有哪些基本假定?答：假设1、解释变量X是确定性变量，Y是随机变量；假设2、随机误差项ε具有零均值、同方差和不序列相关性：E(εi)=0 i=1,2, …,nVar (εi)= 2 i=1,2, …,nCov(εi, εj)=0 i≠j i,j= 1,2, …,n假设3、随机误差项ε与解释变量X之间不相关：Cov(Xi, εi)=0 i=1,2, …,n假设4、ε服从零均值、同方差、零协方差的正态分布εi~N(0, 2 ) i=1,2, …,n2.3 证明（2.27式），ei =0 ，eiXi=0 。
回归分析应用PPT课件
回归分析的应用场景
A
经济预测
通过分析历史数据，预测未来的经济趋势，如 股票价格、GDP等。
市场营销
通过研究消费者行为和购买历史，预测未 来的销售趋势和客户行为。
B
C
医学研究
研究疾病与风险因素之间的关系，预测疾病 的发生概率。
科学研究
在各种科学领域中，如生物学、物理学、化 学等，回归分析被广泛应用于探索变量之间 的关系和预测结果。
06 回归分析的局限性
多重共线性问题
总结词
多重共线性问题是指自变量之间存在高 度相关关系，导致回归系数不稳定，影 响模型预测精度。
VS
详细描述
在回归分析中，如果多个自变量之间存在 高度相关关系，会导致回归系数的不稳定 性，使得模型预测精度降低。这种情况在 数据量较小或者自变量较多的情况下更容 易出现。为了解决这个问题，可以采用减 少自变量数量、使用主成分分析等方法。
预测能力评估
使用模型进行预测，并比较预 测值与实际观测值之间的误差
，评估模型的预测能力。
03 多元线性回归分析
多元线性回归模型
01
确定因变量和自变 量
在多元线性回归模型中，因变量 是我们要预测的变量，而自变量 是影响因变量的因素。
02
建立数学模型
03
模型参数解释
通过最小二乘法等估计方法，建 立因变量与自变量之间的线性关 系式。
回归分析可以帮助我们理解数据的内在规律，预测未来的趋势，并优化决 策。
回归分析的分类
01
一元回归分析
研究一个自变量和一个因变量之间的关系。
02
多元回归分析
研究多个自变量和一个因变量之间的关系。
03
线性和非线性回归分析
应用第一章回归分析
−1
( )
−1
i
∑ (x
i
i
− x )E ( β 0 + xi β 1 − β 0 − x β 1 )
2 1
= sxx
∑( x − x ) β
i i
= β1
Ey = β 0 + β1 x
ˆ ˆ E β 0 = E ( y ) − xE β1 = β 0 + x β1 − x β1 = β 0
(
)
ˆ ˆ ˆ ˆ 另证：ei = yi − yi = yi − β0 − β1xi = yi − y − β1 ( xi − x )
2 n −1 1 −1 = − sxx ( xi − x ) yi − ∑ + s xx −1 ( xi − x ) ( x j − x ) y j n j ≠i n
n
= λ = s xx
n i =1
−1
ˆ 此时∑ ai yi = λ ∑ yi ( xi − x ) = sxx sxy = β1
−1 i =1
13
③在误差为正态分布假定下，最小二乘估计等价 于极大似然估计。 事实上，似然函数
1 n 2 L ( β0 , β1 ) = exp − 2 ∑( yi − β0 − β1xi ) n 2 2 σ i=1 2πσ ) ( 1
(
)
(
)
(
)
16
1 n ˆ E (σ ) = ∑ Var ( yi ) + Var βˆ0 + βˆ1 xi − 2Cov yi , βˆ0 + βˆ1 xi n − 2 i =1
2
(
)
(
回归分析的基本思想及其应用(一)
第40课时 回归分析基本思想及其初步应用（一）学习目标：1、了解相关关系的概念及其与函数关系的区别；2、掌握线性回归方程的求法及其步骤；3、了解线性回归模型及随机误差的含义。
教学重点； 线性回归方程 教学难点： 线性回归模型 教学工具： Powerpoint 教学过程：（一） 复习引入1、相关关系：对于两个变量，当自变量的取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系。
2、函数关系：两个变量之间是一种确定性关系；3、两个具有线性相关关系的变量的统计分析步骤（板书）： 设样本点（x 1,y 1）,(x 2,y 2),……,(x n ,y n ) （1） 画出散点图； （2） 求回归直线方程abx y+=∧，其中∑∑∑∑====∧--=---=ni i ni i i ni i ni i i xn x yx n y x x x y y x x b 1221121)())((………①xb y a ∧∧-= ………②（3） 利用线性回归方程进行预报 这种方法叫做回归分析，是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。
板书：（y x ,）叫做样本点的中心，回归直线过样本点的中心。
（二）推进新课60.316kg 的女大学生的身高（精确到1cm ）。
解：由于问题中要求根据体重预报身高，因此选取体重为自变量x ，身高为因变量y.作出散点图如下：从图中可以看出，样本点呈条状分布，体重和身高有比较好的线必相关关系，因此可以用回归直线y=bx+a 来近似刻画它们之间的关系。
又据表中数据计算得：5.54=x ，25.165=y，24116812=∑=i i x ，218774812=∑=i i y ，7231581=∑=i i i y x于是根据前面的公式①②，可以得∧b=7514.05.54102411625.1655.5410723152=⨯-⨯⨯-xb y a ∧∧-==165.25-0.7514×54.5=124.3于是得到回归方程：124.30.7514x y+=∧∧b＝0.7514是回归直线的斜率的估计值，说明体重每增加1单位时，身高就增加0.7514个单位，这表明身高y 和体重x 具有正的线性相关关系.因此，对于体重为60.316kg 的女大学生，由回归方程可以预报其身高为：cm17062.169124.360.3160.7514y ≈=+⨯=∧探究（1）体重60.316kg 的女大学生的身高一定是170cm 吗？如果不是，其原因是什么？ 显然，体重60.316kg 的女大学生的身高不一定是170cm ，但一般可以认为她的身高在170cm 左右。
1.1回归分析的基本思想及其初步应用(1)
yˆ = 0.849×172 - 85.712 = 60.316(kg)
3.通过探究栏目引入“线性回归模型”。此处可以引 导学生们体会函数模型与回归模型之间的差别。
（2）从散点图还可以看到，样本点散布在某一条 直线的附近，而不是一条直线上，所以不能用一次 函数ｙ＝ｂｘ＋ａ来描述它们之间的关系。这时我 们用下面的线性回归模型来描述身高和体重的关系： ｙ＝ｂｘ＋ａ+ｅ其中ａ和ｂ为模型的未知参数，e
应用统计方法解决实际问题需要注意的问题：对 于同样的数据，有不同的统计方法进行分析， 我们要用最有效的方法分析数据。
现在有三个不同的回归模型可供选择来拟合 红铃虫的产卵数与温度数据，他们分别是：
y ax b e, y c1ec2xe ,
y x2 e.
z c2x b e
10 20 30 40 50
施化肥量 x
n
Q(a,b)= (yi - bxi - a)2 取最小值时,a,b的值. i=1
3、回归直线方程：
1、所求直线方程 yˆ = bˆ x + aˆ 叫做回归直
---线方程；其中
n
n
y bˆ =
(xi - x)(yi - y)
i=1 n
=
(xi - x)2
种分析工作称为残差分析，我们可以通过残差图 来分析残差的特性，作图时纵坐标为残差，横坐 标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计 值等，这样作出的图形成为残差图。
• 若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的 带形区域；对于远离横轴的点，要特别注意。如第1个样本点 和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集这两个样本点 的过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误应纠正然 后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错 误，应寻找其他原因，这样的带状区域的宽度越窄说明模型 拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。
回归分析学习课件PPT课件
为了找到最优的参数组合，可以使用网格搜索方 法对参数空间进行穷举或随机搜索，通过比较不 同参数组合下的预测性能来选择最优的参数。
非线性回归模型的假设检验与评估
假设检验
与线性回归模型类似，非线性回归模型也需要进行假设检验，以检验模型是否满足某些统计假 设，如误差项的独立性、同方差性等。
整估计。
最大似然法
03
基于似然函数的最大值来估计参数，能够同时估计参数和模型
选择。
多元回归模型的假设检验与评估
线性假设检验
检验回归模型的线性关系 是否成立，通常使用F检 验或t检验。
异方差性检验
检验回归模型残差的异方 差性，常用的方法有图检 验、White检验和 Goldfeld-Quandt检验。
多重共线性检验
检验回归模型中自变量之 间的多重共线性问题，常 用的方法有VIF、条件指数 等。
模型评估指标
包括R方、调整R方、AIC、 BIC等指标，用于评估模 型的拟合优度和预测能力。
05
回归分析的实践应用
案例一：股票价格预测
总结词
通过历史数据建立回归模型，预测未来股票 价格走势。
详细描述
利用股票市场的历史数据，如开盘价、收盘价、成 交量等，通过回归分析方法建立模型，预测未来股 票价格的走势。
描述因变量与自变量之间的非线性关系，通过变 换或使用其他方法来适应非线性关系。
03 混合效应回归模型
同时考虑固定效应和随机效应，适用于面板数据 或重复测量数据。
多元回归模型的参数估计
最小二乘法
01
通过最小化残差平方和来估计参数，是最常用的参数估计方法。
加权最小二乘法
02
适用于异方差性数据，通过给不同观测值赋予不同的权重来调
回归分析(第一讲)
例如： 研究产品的销量与用于产品宣传的广告 费之间的关系；
因变量——销售量 自变量——广告费
我们用Y代表因变量， X代表自变量。 如果有多个解释变量，我们将用适当的 下标，表示各个不同的X。
例如，X1，X2，X3等等。
概念:总体回归线
下面通过一个例子予以说明。
某城市A产品生产企业共有5 5个（总体）， 下表给出了这些企业产品价格（元）与A 产品月销量（万件）的有关数据。
例如，当X＝10.1时，有7个Y值与之对应 当X＝10.4时，相应地有6个Y值，等等。
对每个X，计算出一个Y的均值。将这些 均值点连起来，构成一条直线。 我们称该直线为总体回归直线 (Population Regression Line，PRL)。
（销量）
（各平均值连成的直线）
（售价）
概念要点：总体回归线
总体回归线： Y =β0+β1X 它描述的是X与Y的均值之间的关系。
概念：随机误差
每个个体的Y值与总体回归线之间的距离 （可正可负）
（销量）
每个点都有一个随机误差，以该点为例。
ε
i
（售价）
概念：回归模型（一元线性回归）
总体 Y的截距 总体 斜率 随机 误差
i
Yi 0 1Xi ε
因变量 Dependent Variable
自变量 Independent Variables
概念：回归模型（多元线性回归）
总体 Y的截距 总体 斜率 随机 误差
Y 0 1X1 2 X2 P X P
因变量 Dependent Variable 自变量 Independent Variables
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回归常数
回归系数
α
(1.3)
y x
经验线性回归方程
回归分析的一般形式：
回归函数
y = f ( x1 , x2 ,，x p ) + ε
随机误差
y = β0+β1x1+β2x2+…+βpxp+ε
随机误差项主要包括下列因素：
在解释变量中被忽略的因素的影响； 变量观测值的观测误差的影响； 模型关系的设定误差的影响； 其他随机因素的影响。
线性回归模型应满足以下基本假设：
自变量 x1, x2 ,..., xp 是非随机变量，它们的观测值 xi1,xi2,...x, ip 是常数。
等方差及不相关的假定条件：
方差相等
E(i)0, i1,2, ,n
Gauss-Markov 条件
covi,(j) 02,,
ij ij
i, j1,2, ,n
0 0
y = 1000x
1
2
3
4
5
6
x（万辆）
图1.1 函数关系图
这说明： 变量x 与y之 间存在 确定性 关系
1.1 变量间的统计关系
2. 相关关系 （变量间有密切关系，
但不能用完全确定的函数形式表示）
▪ 商品的消费量(y)与价格高低、对其他商品的喜好等
注意 Attention
①不线性相关并不意味着不相关。
②有相关关系并不意味着一定有因果关系。
③Correlation analysis 对称地对待任何（两个） 变量，两个变量都被看作是随机的。Regression analysis 对变量的处理方法存在不对称性，即区分 因变量（被解释变量）是随机变量和自变量（解释变 量）是非随机的确定变量。
正相关 线性相关 不相关 相关系数：
负相关 1 XY 1
正相关 非线性相关 不相关
负相关
有因果关系 无因果关系
回归分析 相关分析
Correlation analysis 主要研究变量间线性相关的密切程度， Regression analysis 不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以 利用回归方程进行预测和控制！
正态分布的假定条件：
随机变量不相关
1i
~
,
N (0, 2 )
2
,...,
相互独立
n
样本量的个数要多于解释变量的个数，即 n p
1.4 建立实际问题回归模型的过程
实际问题
时间序列数据 &
横截面数据
t 检验 F 检验
设置指标变量
收集整理数据
构造理论模型
估计模型参数
N
模型
修改
检验
Y
模型运用
样本散点图 的形状
1.2 回归方程与回归名称的由来
Francis.Galton (1822-1911)
英国统计学家F. Galton和他的学生、 现代统计学的奠基者之一 K.Pearson 在研究父母身高与其子女身高的遗传 问题时,观察了1078对夫妇,
Karl.Pearson (1856—1936)
y ˆ3.3 73 0.51x6
y= f(x)
S=R2
▪原材料消耗额 y 与产量(x1) 、单位产量消耗(x2) 、原材料 价格(x3)之间的关系
y = x1 x2 x3
yf(x 1,x2, ,xp)
1.1 变量间的统计关系
【例】保险公司承保汽车，每辆汽车保费收入1000元，设承 保总收入为 y，承保汽车辆数为 x：
y（万元）
6000 5000 4000 3000 2000 1000
应用回归分析 第一章
本课程授课与考核方式
讲授为主，结合习题作业、上机作业
目录 Contents
第1章 回归分析概述 第2章 一元线性回归 第3章 多元线性回归 第4章 违背基本假定的情况 第5章 自变量选择与逐步回归 第6章 多重共线性的情形及其处理 第7章 岭回归 第8章 主成分回归与偏最小二乘 第9章 非线性回归 第10章 含定性变量的回归模型
Chapter
01
回归分析概述
Introduction: Regression Analysis
本章主要内容： 1 .1 变量间的统计关系 1 .2 回归方程与回归名称的由来 1 .3 回归分析的主要内容及其一般模型 1 .4 建立实际问题回归模型的过程 1 .5 回归分析应用与发展述评
回归分析处理的是变量与变量间的关系
在推断统计中，我们把上述变量间具有密切关联而又不 能由某一个或某一些变量唯一确定另外一个变量的关系， 称为变量间的统计关系或相关关系。
对变量间统计依赖关系的考察主要是通过 相关分析(correlation analysis) 回归分析(regression analysis)
来完成的。
统计依赖关系
最小二乘估计 最大似然估计
经济因素分析 经济变量控制
经济决策预测
01 ADD YOUR TITLE HERE 02 ADD YOUR TITLE HERE 03 ADD YOUR TITLE HERE 04 ADD YOUR TITLE HERE
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成年儿子身高
父母平均身高
当给定 x 的值，y 作为随机变量，它的取值不能确定，只能通 过一定的概率分布来描述。
(1.1)
f ( x ) = E( y | x ) 给定 x 时 y 的条件期望
利用样本观测值 （x1, y1） （ , x2 , y2）,....（ , xn , yn） 建立函数关系。 将样本观测点描绘在直角坐标系中，根据样本点的分布特点， 确定大致的函数关系：
确定性关系
即： 函数关系
变量之间的关系
用完全确切的函数形式表示
不确定性关系 或：相关关系
不能用完全确切的函数形式表示， 但在平均意义下有一定的定量关系表达式
1.1 变量间的统计关系
1. 函数关系(确定性关系)
▪商品的销售额 y 与销售量 x 之间的关系
y = px 线性关系
▪圆的面积与半径之间的关系
▪ 商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系
消费习惯、价格高低、对该商品的喜好等 ▪ 粮食亩产量(y)与施肥量(x) 之间的关系
降雨量、田间管理、自然灾害等
1.1 变量间的统计关系
y
x
图1. 2 y 与x 非确定性关系图
特点：各对应点并不完全落在直线上！ y 与 x 的关系不能完全确定的函数形式给出