2015年希望杯第二试试题(初三年级)
希望杯数学邀请赛九年级二试模拟试题
）
８ 在半径 为 ｒ ． 的圆内作 内接正六边形 ， 再作正六边形的 内切圆， 又在此 内切圆内作内接正六边形 （ 如图 ４， ） 如此无限继续下去 ， 那么所有这些圆面积之和会趋向于一个确定 的常数 ， 你猜想这个常数应该是
（
Ａ． ｒ２ ２７ｒ Ｂ
．
）
３ Ｐ ＝
Ｃ ４ｒ２ ．， ｒ ｒ
１． １２３， ，９５ ０ 将 ， ， … ４ ，Ｏ任意 分 成 １ Ｏ组 ， 组 ５个 数 ， 组 中 有 １个 中位 数 ， 这 １ 中 位数 之 和 的最 大 每 每 则 Ｏ个 值是一 １． 个 长方 体 的长 、 、 １一 宽 高分 别 为 ９ｃ ６ｃ ５ｃ 先 从 这个 长方 体 上 尽 可 能 大地 切 下 一个 正 方 体 ， 从 ｍ， ｍ， ｍ． 再
一
、
１
则朝上一面上的数恰好等于朝下一面数的÷的概率是
＇ １ １ ， ，
（
）
Ａ ÷ ．
Ｕ
Ｂ÷ ．
Ｊ
ｃ÷ ．
二
Ｄ ÷ ．
Ｊ
２ 已知 函数 Ｙ １ ａ ｘ＋ ４的图像不经过第 四象限 ， ． ＝（ 一 ） ０＋ 则满足题意的整数 口的个数有 （ ） Ａ． ４个 Ｂ ５个 ． Ｃ ６个 ． Ｄ 无数 个 ． ３ 十进制 数 是 满 十进位 ， 进制 数 是 满 二 进 位 ， 进 制 数 是 满 三 进 位． 进 制 数 ２ ４可写 成 １× ＋１× ． 二 三 十 ３ ２ ２ ＋ ｌ ×２ ＋Ｏ ×２ ＋ １× ２ ＋Ｏ ×２ ＋ ｌ × ２ ＋Ｏ ×２ 因此 ２ ４可 记 成 二进 制 数 为 １ １１ ． 。 ３ １ ０ ０ 仿此 把 ２ ４ ０ ３ 记成三进制数应为 （ ）
初中二年级历届“希望杯”二试解答题
初中二年1-17届“希望杯”二试解答题1.1、从自然数354 , , 3 , 2 , 1 中仸取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177。
1.2、平面上有两个边长相等的正方形ABCD 和D C B A ''''，且正方形D C B A ''''的顶点A '在正方形ABCD 的中心。
当正方形D C B A ''''绕A '转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值。
这个结论对吗？证明你的判断。
1.3、用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n 之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n 由小到大排成一列 <<<<4321n n n n ，试求：21n n ⋅之值。
2.1、已知两个正数的立方和是最小的质数，求证：这两个数之和不大于2。
2.2、一块四边形的地（如图2.2所示）（KG OH FK EO //,//）内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF 改成直的（即两边都是直线）。
但进水口EF 的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠以节省工时，那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，幵加以证明。
A B 图2.23.1、若0 , , , >d c b a ，证明：在方程02212=+++cd x b a x ， 02212=+++da x c b x ，02212=+++ab x d c x ，02212=+++bc x a d x 中，至少有两个方程有不相等的实数根。
3.2、（1）能否把1992 , , 3 , 2 , 1 这1992个数分成八组，使得第二组各数之和比第一组各数之和多10，第三组各数之和比第二组各数之和多10，…，最后第八组各数之和比第七组各数之和也多10？请加以说明。
2015年世界少年奥林匹克数学竞赛九年级海选赛试题含答案
九年级 第1页 九年级 第2页2015年世界少年奥林匹克数学竞赛九年级海选赛试题含答案绝密★启用前世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛试题（2015年10月）选手须知：1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计50分；第二部分：计算题，共计12分；第三部分：解答题，共计58分。
2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。
3、比赛时不能使用计算工具。
4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。
九年级试题（Ａ卷）（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、填空题。
（每题5分，共计50分）1、两块三角形面板如图放置，等腰直角三角形板ABC 的斜边BC 与∠F=30°的直角三角板DEF 的直角边EF 重合，则∠a 的度数为 。
2、若a 、b 都为实数，且b = 20131-a + 2014a -1+ 2015 则a b= 。
3.设x 1，x 2是方程x 2 - x -2013 = 0 的两实数根，则x 13+2014x 22-2013= 。
4、已知三个实数x ，y ，z 中，x 与y 的平均数是127，y 与z 的和的31是78，x 与z 的和的41是52，则这三个数x ，y ，z 的平均数是 。
5、如图，矩形ABCD 中，已知AB=5，AD=12，P 是AD 上的动点，PE ⊥AC 与E ，PF ⊥BD 与F ，则PE+PF= 。
6、如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB = Rt, CA ⊥x 轴，垂足为点A ，点B 在反比例函数y 1=x4(x>0)的图像上，反比例 函数y 2=x2(x>0)的图像经过点C ，交AB 于点D ，则点D 的坐标 。
7、若有理数x ，y ，z 满足2121=-+-+z y x （x+y+z ）则(x-zy)2= 。
8、我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副"弦图"，后人称其为"赵爽弦图"如图，也是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH,正方形MNKT 的面积，分别为S 1,S 2,S 3,若S 1+S 2+S 3 = 10 ,则S 2的值是 。
2015年全国初中数学联合竞赛(初三)试题及解答
第一试（A）
一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1. 设实数 a, b, c 满足： a b c 3, a2 b2 c2 4 ，则 A．0 【答】D． 【解析】 B．3 C．6
a 2 b2 b2 c 2 c 2 a 2 =（ 2c 2a 2b
D．9
）
a 2 b2 b2 c 2 c 2 a 2 4 c 2 4 a 2 4 b2 (2 c) (2 a) (2 b) 9 ． 2c 2a 2b 2c 2a 2b
2． 若抛物线 y x2 bx c 与 x 轴只有一个公共点， 且过 A(m, n) ，B(m 8, n) ， 则 n （ A．8. 【答】 C 【解析】法一（LTX） ： 依题意，设抛物线解析式为 y ( x h)2 ， 因为它过 A(m, n) ， B(m 8, n) ， 所以 h m 4 ，故 n (m h)2 (4)2 16 ，选 C . 法二： 由题意， b 8 2m ，
2 2 2
）
A．3 【答】D．
B．6.
C ．9
D．12
【解析】设 x y t ，则 x y t ， 代入题设等式得 ( y t )2 ( y t ) y y 2 3 ，整理得 3 y 2 3ty t 2 3 0 . 由判别式 (3t )2 12(t 2 3) 3 得 2 3 t 2 3 ，故 ( x y)2 t 2 12 . 5．题目和解答与（A）卷第 4 题相同. 6．设 n 是小于 100 的正整数且使 2n2 3n 2 是 6 的倍数，则符合条件的所有正整数 n 的和 是（ ） B．850 C．1536 D．1634
-年初一希望杯第二试试题及答案(word版)
2015 年初一希望杯第二试1、请你想好一个数。
将该数与2015之和乘以4，减去12，再将其差除以4，然后减去你想好的那个数，最后的结果等于（）(A) 0 (B) 2008 (C) 2012 (D)20152、若a + 2015 = 0，则a − 2015的值是（）(A) − 4030 (B) − 2015 (C) 0 (D)20153、如图1，MA//BN//CP，若BA =BC，∠MAC = 50°，∠NBC =150°，则∠ABC =（）(A) 60°(B) 150°(C) 140°(D) 130°4、红光中学初一年级有3个班，已知一班、二班的平均人数与三班人数之和为45，二班、三班的平均人数与一班人数之和为48，一班、三班的平均人数与二班人数之和为47。
则三个班的总人数为（）(A) 68 (B) 70 (C) 72 (D)745、As shown in the Fig.2，Points A，B and C on the number axis represent nonzero rational numbera ，b，and c respectively . If |a| + |a + b| + |b − c| = −c，then the point represent 0 is（）(A) on the right side of A(B) on the left side of C(C) between B and C(D) between B and A(翻译)如图2，数轴上的点A，B，C代表非零数字a，b和c，如果|a| + |a +b| + |b − c| =−c，则代表0的点位于（）(A) A点的右边(B) C点的左边(C) B , C之间(D) B , A之间6、如图3，正方形ABCD由四个相同的小长方形和一个小正方形EFGH组成。
历届(第1-23届)希望杯数学竞赛初一七年级真题及答案
“希望杯”全国数学竞赛（第1-23届）初一年级/七年级第一/二试题目录1.希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题......................003-0052.希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题......................010-0123.希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。
-0204.希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。
-0265.希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。
-0326.希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。
-0407.希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。
-0508.希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。
-0589.希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。
-06610.希望杯第五届（1994年）初中一年级第二试试题..... 0错误!未定义书签。
-07311.希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题..... 0错误!未定义书签。
-080 12希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题..... 0错误!未定义书签。
-08713.希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题..... 0错误!未定义书签。
-09814.希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题....... 错误!未定义书签。
-10515.希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题....... 错误!未定义书签。
-11316.希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题....... 错误!未定义书签。
-12017.希望杯第九届（1998年）初中一年级第一试试题....... 错误!未定义书签。
15年(二模)九年级数学试题
2014—2015学年度第二学期教学质量阶段性检测九年级数学试题（满分：120分时间：120分钟）友情提示：亲爱的同学，你好！今天是你展示才能的时候，只要你仔细审题、认真答题，你就会有出色的表现！第Ⅰ卷一、选择题：（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）请把唯一正确答案的字母标号涂在答题卡的相应位置1．12-的倒数是（）．A．2 B．12C．－2 D．12-2．下列图形中，中心对称图形有（）个A ．1 B. 2 C. 3 Ｄ．43．一种病毒的长度约为0.0000046mm，用科学记数法表示为（）．A.0.46×105-B.4.6 × 106-C. 46 ×106-D. 4.6×106 4．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，若∠ABC＝64°，则∠BDC等于（）.A．26° B．64° C． 52° D． 128°D FECBA5．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，对角线BD平分∠ABC，若BC＝5，AD＝4，则△BCD 的面积为（）．A．6 B．10 C．12 D．20第4题OBDCAAB CD第5题图6.如图，在方格纸上△DEF 是由△ABC 绕定点P 顺时针旋转得到的。
如果用（2,1）表示方格纸上A 点的位置，（1,2）表示B 点的位置，那么点P 的位置为（ ）。
A ．（5, 2） B ．（2, 5） C ．（2, 1） D ．（1, 2）7．若反比例函数()0ky k x =≠的图象经过点A (－2, 1)，则当x ＜－1时，函数值y 的取值范围是（ ） .A ．y ＞2 B. －2＜y ＜0 C ．y ＞－2 D ．0＜y ＜2 8．已知函数ax ax y +=2与函数y =xa，则它们在同一坐标系中的大致图象是( )第Ⅱ卷二、填空题：（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 请把正确答案填写在答题卡的相应位置9．化简：01127(3.14)3π---+=（） ．10．某工厂生产某种产品，今年产量为200件，计划通过技术革新，使今后两年的产量都比前一年增长相同的百分数，这样三年的产量达到1400件，设这个百分数为x ，根据题意，可列方程为 __________________．11．在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干（它们除颜色外都相同），现随机从中摸出10枚记下颜色后放回，这样连续做了10次，记录了如下的数据:次数12 3 4 5 6 7 8 9 10 黑棋数 132342113根据以上数据，估算袋中的白棋子数量为 枚.12．如图，将边长为3cm 的正方形ABCD 沿 其对角线AC 剪开，再把△ABC 沿着AD 方向平移，得到△A 1B 1C 1，若两个三角形 重叠部分的面积是49cm 2，则△ABC 移动 的距离A A 1是 cm ． 第12题图第8题1 3．如图所示的图案（阴影部分）是这样设计的：在△ABC 中，AB ＝AC ＝2cm ，∠ABC ＝30°，以A 为圆心，以AB 为半径作弧BEC ，以BC 为直径作半圆BFC ，则图案（阴影部分）的面积是 .（结果保留π）14．在直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1O 1、A 2B 2C 2C 1、A 3B 3C 3C 2、…、A n B n C n C n －1按如图所示的方式放置，其中点A 1、A 2、A 3、…、A n 均在一次函数y kx b =+的图象上，点C 1、C 2、C 3、…、C n 均在x 轴上。
2015年中考二模名校考试数学试题及答案
2015年中考数学二模名校考试数学试题（卷）时间120分钟满分120分2015、2、28一、选择题（1-6小题，每小题2分7-16小题每小题3分，共42分）1．下列各数中，最小的数是（）A．﹣2 B．﹣0.1 C．0D．|﹣1| 2．计算（﹣9）2﹣2×（﹣9）×1+12的值为（）A．﹣98 B．﹣72 C．64 D．1003．下列式子正确的是（）A．﹣（x﹣3）=﹣x﹣3 B． 5a﹣a=5C． 2﹣1=﹣2 D． 2＜＜34．如图，将一个正六边形分割成六个全等的等边三角形，其中有两个已涂灰，如果再随意涂灰一个空白三角形，则所有涂灰部分恰好成为一个轴对称图形的概率是（）A．B．C．D．14题图 5题图 7题图5．如图，直线a、b及木条c在同一平面上，将木条c绕点O旋转到与直线a平行时，其最小旋转角为（）A．100°B．90°C．80°D．70°6．下列一元二次方程中，无解的是（）A． x2+4x+2=0 B．x2+4x+3=0 C．x2﹣4x+4=0 D．x2﹣4x+5=07．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E，AB=a，CD=m，则AC的长为（）A． 2m B．a﹣m C．a D．a+m8．如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点及点D、E、F、G、H都在格点上，现以D、E、F、G、H中的三点为顶点画三角形，则下列与△ABC面积相等但不全等的三角形是（）A．△EHD B．△EGF C．△EFH D．△HDF9．计算（﹣）÷的结果为（）A．B．C．D．10．如图，平行四边形ABCD的顶点B，D都在反比例函数y=（x＞0）的图象上，点D的坐标为（2，6），AB平行于x轴，点A的坐标为（0，3），将这个平行四边形向左平移2个单位、再向下平移3个单位后点C的坐标为（）A．（1，3）B．（4，3）C．（1，4）D．（2，4）8题图 10题图11．张昆早晨去学校共用时15分钟．他跑了一段，走了一段，他跑步的平均速度是250m/分钟，步行的平均速度是80m/分钟；他家离学校的距离是2900m，如果他跑步的时间为x分钟，则列出的方程是（）A． 250x+80（﹣x）=2900 B．80x+250（15﹣x）=2900C． 80x+250（﹣x）=2900 D．250x+80（15﹣x）=290012．已知⊙O及⊙O外一点P，过点P作出⊙O的一条切线（只有圆规和三角板这两种工具）．以下是甲、乙两同学的作业：甲：①连接OP，作OP的垂直平分线l，交OP于点A；②以点A为圆心、OA为半径画弧、交⊙O于点M；③作直线PM，则直线PM即为所求（如图1）．乙：①让直角三角板的一条直角边始终经过点P；②调整直角三角板的位置，让它的另一条直角边过圆心O，直角顶点落在⊙O上，记这时直角顶点的位置为点M；③作直线PM ，则直线PM 即为所求（如图2）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（ ） A ．甲对，乙不对 B ． 甲不对，乙对 C ． 两人都对 D ． 两人都不对13．如图，直线l 经过点P （1，2），与坐标轴交于A （a ，0），B （0，b ）两点（其中a ＜b ，如果a+b=6，那么tan∠ABO 的值为（ ）A ．B ． 1C ．D ． 213题图 14题图 16题图 14．如图，在⊙O 中，AB 为直径，点C 为圆上一点，将劣弧沿弦AC 翻折交AB 于点D ，连接CD ．如果∠BAC=20°，则∠BDC=（ ）A ． 80°B ． 70°C ． 60°D ． 50° 15．对于实数m ，n ，定义一种运算“※”：m※n=m 2﹣mn ﹣3．下列说法错误的是（ ） A ． 0※1=﹣3 B ． 方程x※2=0的根为x 1=﹣1，x 2=3 C ．不等式组无解D ． 函数y=x※（﹣2）的顶点坐标是（1，﹣4）16．如图1，S 是矩形ABCD 的AD 边上的一点，点E 以每秒kcm 的速度沿折线BS ﹣SD ﹣DC 匀速运动，同时点F 从点C 出发，以每秒1cm 的速度沿边CB 匀速运动，并且点F 运动到点B 时点E 也运动到点C ．动点E ，F 同时停止运动．设点E ，F 出发t 秒时，△EBF的面积为ycm 2．已知y 与t 的函数图象如图2所示．其中曲线OM ，NP 为两段抛物线，MN 为线段．则下列说法：①点E 运动到点S 时，用了2.5秒，运动到点D 时共用了4秒； ②矩形ABCD 的两邻边长为BC=6cm ，CD=4cm ； ③sin∠ABS=；④点E 的运动速度为每秒2cm ．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ． ②③④二、填空题（每小题3分，共12分．）17．在△ABC中，若|sinA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数为_________ °．18．如图，已知点A、B、C在⊙O上，CD⊥OB于D，AB=2OD，若∠C=40°，则∠B=_________ °．18题图 19题图 20题图19．如图，一条4m宽的道路将矩形花坛分为一个直角三角形和一个直角梯形，根据图中数据，可知这条道路的占地面积为_________ m2．20．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第60个点的横坐标为_________ ．三、解答题（共66分）21．（9分）已知关于x，y的二元一次方程x﹣y=3a和x+3y=4﹣a．（1）如果是方程x﹣y=3a的一个解，求a的值；（2）当a=1时，求两方程的公共解；（3）若是已知方程的公共解，当x0≤1时，求y的取值范围．22．（10分）某中学对校园卫生进行清理，某班有13名同学参加这次卫生大扫除，按要求他们需要完成总面积为80m2的三项清扫工作，三项工作的面积比例如图1，每人每分钟完成各项的工作量如图2．（1）从统计图中可知：擦玻璃、擦课桌椅、扫地拖地的面积分别是_________ m2，_________ m2，_________ m2；（2）如果x人每分钟擦玻璃面积ym2，那么y关于x的函数关系式是_________ ；（3）完成扫地拖地的任务后，把13人分成两组，一组去擦玻璃，一组去擦课桌椅，怎样分配才能同时完成任务？23．（10分）河北省赵县A、B两村盛产雪花梨，A村有雪花梨200吨，B村有雪花梨300吨，现将这些雪花梨运到C、D两个冷藏仓库，已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨，从A村运往C、D两处的费用分别为40元/吨和45元/吨；从B村运往C、D两处的费用分别为25元/吨和32元/吨，设从A村运往C仓库的雪花梨为x吨，A、B两村往两仓库运雪花梨的运输费用分别为yA 元，yB元．C D 总计A x吨_________ 300吨B _________ _________ 400吨总计240吨260吨500吨（1）请填写下表，并求出yA ，yB与x之间的函数关系式：（2）当x为何值时，A村的运输费用比B村少？（3）请问怎样调运，才能使两村的运费之和最小？求出最小值．24．（11分）（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．25．（12分）已知，抛物线y=ax2+x+c的顶点为M（﹣1，﹣2），它与x轴交于点B，C（点B在点C左侧）．（1）求点B、点C的坐标；（2）将这个抛物线的图象沿x轴翻折，得到一个新抛物线，这个新抛物线与直线l：y=﹣4x+6交于点N．①求证：点N是这个新抛物线与直线l的唯一交点；②将新抛物线位于x轴上方的部分记为G，将图象G以每秒1个单位的速度向右平移，同时也将直线l以每秒1个单位的速度向上平移，记运动时间为t，请直接写出图象G 与直线l有公共点时运动时间t的范围．26．（3分）1）如图1、图2，点P是⊙O外一点，作直线OP，交⊙O于点M、N，则有结论：①点M是点P到⊙O的最近点；②点N是点P到⊙O的最远点．请你从①和②中选择一个进行证明．（注：图1和图2中的虚线为辅助线，可以直接利用）（2）如图，已知，点A、B分别是直角∠XOY的两边上的动点，并且线段AB=4，如果点T是线段AB的中点，则线段TO的长等于_________ ，所以，当点A和B在直角∠XOY 的两边上运动时，点O一定在以点_________ 为圆心，以线段_________ 为直径的圆上．（3）如图，△ABC的等边三角形，AB=4，直角∠XOY的两边OX，OY分别经过点A和点B （点O与点A、点B都不重合），连接OC，求OC的最大值与最小值．（4）如图，在直角坐标系xOy中，点A、B分别是x轴与y轴上的动点，并且线段AB 等于4为一定值．以AB为边作正方形ABCD，连接OC，则OC的最大值与最小值的乘积等于_________ ．参考答案三、解答题（本大题共6个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．解：（1）将代入方程x﹣y=3a得：5+1=3a，∴a=2．（2）当a=1时，两方程为：由①得：x=3+y，代入②得：3+y+3y=3，∴y=0，∴x=3．所以方程组的公共解为：．（3）因为是已知方程的公共解，∴解得：，∵x≤1，∴2a+1≤1，∴a≤0，所以1﹣a≥1，≥1．∴y22．解：（1）擦玻璃的面积：80×20%=16（m2）；擦课桌椅的面积：80×25%=20（m2）；扫地拖地的面积：80×55%=44（m2）；故答案为：16，22，44；（2）由题意可得，每人每分钟擦玻璃的面积为=，得y=x；故答案为：y=x；（3）设擦玻璃的人数为x人，则擦课桌的人数为（13﹣x）人，根据题意得：16÷x=20÷[0.5×（13﹣x）]，即=，解得x=8，经检验x=8是原方程的解，则擦课桌椅的有：13﹣8=5（人），答：擦玻璃的8人，擦课桌椅的有5人．23．解：（1）填表如图所示，y=40x+45（200﹣x）=﹣5x+9000，Ay=25（240﹣x）+32（60+x）=7x+7920；B（2）∵A村的运输费用比B村少，∴﹣5x+9000＜7x+7920，解得x＞90，∵A村有雪花梨200吨，故200≥x＞90吨时，A村的运输费用比B村少；（3）A、B两村的运输费用之和为：﹣5x+9000+7x+7920=2x+16920，∵2＞0，∴运输费用随x的增大而增大，∵，∴x≤200，∴当x=0时，运输费用最小，为16920元．24．解：（1）完成图形，如图所示：证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，∵在△CAD和△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴BE=CD；（2）BE=CD，理由同（1），∵四边形ABFD和ACGE均为正方形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，∴∠CAD=∠EAB，∵在△CAD和△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴BE=CD；（3）由（1）、（2）的解题经验可知，过A作等腰直角三角形ABD，∠BAD=90°，则AD=AB=100米，∠ABD=45°，∴BD=100米，连接CD，则由（2）可得BE=CD，∵∠ABC=45°，∴∠DBC=90°，在Rt△DBC中，BC=100米，BD=100米，根据勾股定理得：CD==100米，则BE=CD=100米．25．解：（1）∵抛物线y=ax2+x+c的顶点为M（﹣1，﹣2），∴该抛物线的解析式为y=a（x+1）2﹣2．即：y=ax2+2ax+a﹣2．∴2a=1．解得 a=．故该抛物线的解析式是：y=x2+x﹣．当y=0时，x2+x﹣=0．解之得 x1=﹣3，x2=1．∴B（﹣3，0），C（1，0）；（2）①证明：将抛物线y=x2+x﹣沿x轴翻折后的图象，即新图象，仍过点B、C，其顶点M′与点M关于x轴对称，则M′（﹣1，2）．设新抛物线的解析式为：y=a′（x+1）2+2．∵y=a′（x+1）2+2过点C（1，0），∴a′（1+1）2+2=0，解得，a′=﹣．∴翻折后得到的新抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣x+．当﹣4x+6=x2+x﹣时，有：x2﹣6x+9=0，解得，x1=x2=3，此时，y=﹣6．∴新抛物线y=﹣x2﹣x+与直线l有唯一的交点N（3，﹣6）；②≤t≤6．附解答过程：∵点N是新抛物线y=﹣x2﹣x+与直线l有唯一的交点，∴直线l与新抛物线y=﹣x2﹣x+在x轴上方部分（即G）无交点，∴当直线l经过点C时产生第一个公共点，经过点B时是最后一个公共点，运动t秒时，点B的坐标为（﹣3+t，0），点C的坐标为（1+t，0），直线与x轴交点为（，0）．∵当=﹣3+t时，t=6∴图象G与直线l有公共点时，≤t≤6．26．解：（1）①如图1，根据两点之间线段最短可得：PO≤PR+OR．∴PM+MO≤PR+OR．∵MO=RO，∴PM≤PR．∴点M是点P到⊙O的最近点．②如图2，根据两点之间线段最短可得：PS≤PO+OS．∵OS=ON，∴PS≤PO+ON，即PS≤PN．∴点N是点P到⊙O的最远点．（2）如图3，∵∠XOY=90°，点T是线段AB的中点，∴TO=AB=2．∴点O在以点T为圆心，以线段AB为直径的圆上．故答案为：2、T、AB．（3）取AB的中点T，连接TO、CT、OC，如图4．∵∠AOB=90°，点T是线段AB的中点，∴TO=AB=2．∵△ABC的等边三角形，点T是线段AB的中点，∴CT⊥AB，AT=BT=2．∴CT===2．根据两点之间线段最短可得：OC≤OT+CT，即OC≤2+2；CT≤OC+OT，即OC≥CT﹣OT，也即OC≥2﹣2．∴OC的最大值为2+2，OC的最小值为2﹣2．（4）取AB的中点T，连接TO、CO、CT，如图5．∵∠AOB=90°，点T是线段AB的中点，∴TO=AB=2．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=AB=4，∠ABC=90°．∵点T是线段AB的中点，∴BT=AB=2．∴CT===2．根据两点之间线段最短可得：OC≤OT+CT，即OC≤2+2；CT≤OC+OT，即OC≥CT﹣OT，也即OC≥2﹣2．∴OC的最大值为2+2，OC的最小值为2﹣2．∵（2+2）（2﹣2）=20﹣4=16．∴OC的最大值与最小值的乘积等于16．故答案为：16．。
二十五届希望杯初三二试有答案
第二十五届 希望杯 全国数学邀请赛初三㊀第2试试题一㊁选择题(每小题4分,共40分.)1.I fb o t h a a n d c a r e r e a l n u m b e r s ,2a n d 3a r e t h e t w o s o l u t i o n s o f t h e e qu a t i o n a x 2-10x +c =0f o r x ,t h e n t h e v a l u e o f a +c i s ()(A )10.(B )12.(C )14.(D )16.图12.如图1,在әA B C 中,B C >C A >A B ,D ㊁E ㊁F 分别是A B ㊁B C ㊁C A 边上的点,D E ʊA C ,F D ʊC B ,若A D ʒD B =1ʒ2,则图中的相似三角形有()对.(A )3.(B )4.(C )5.(D )6.3.若a -b =4,a b +c 2+4=0,则a 的值是()(A )2.(B )3.(C )4.(D )5.4.将抛物线y =x 2先向左平移1个单位,再向下平移2个单位,则所得的抛物线的解析式是()(A )y =x 2-2x +1.(B )y =x 2+2x -1.(C )y =x 2+4x +3.(D )y =x 2-2x -1.5.若3x 2-x =1,则9x 4+12x 3-2x 2-7x +2014的值是()(A )2013.(B )2014.(C )2015.(D )2016.6.半径分别是1,2的☉O 1和☉O 2相外切,若半径是3的☉O 3和它们都相切,则满足条件的☉O 3的个数是()(A )6.(B )3.(C )4.(D )5.7.给如图2所示的无水游泳池注水,如果进水速度是均匀的,那么,泳池内水的高度h 随时间t 变化的图象可能是()图28.三角形内的一点和三角形三个顶点的连线将三角形分成三部分,若这三部分的面积比是1ʒ2ʒ3,则这样的点的个数是()(A )1.(B )3.(C )6.(D )9.9.G i v e n p o s i t i v e i n t e g e r m w h i c h i s n o l a r g e r t h a n 10,a n d m 2014+2014mc a nb ed i v i de db y5,t h e n t h en u m b e r o f s u c h m i s()图3(A )2.(B )3.(C )4.(D )5.10.如图3,在平面直角坐标系x O y 中,点A (2,0),M (0,33),N (5,23),N B ʅx 轴于点B ,P 为MN 上一动点,则P A +P B 的最小值为()(A )33.(B )23.(C )323.(D )343.二㊁填空题(每小题4分,共40分.)11.若y =a x 2+b x +c (a ʂ0)的图象如图4所示,则a b c 的值是(填: 正数 ㊁ 负数 或 0 ).12.若关于x 的方程x 2+p x +q =0有两个负根,则直线y =p x +q 不经过第象限.(填: 一 ㊁ 二 ㊁ 三 或 四 )13.已知{x +x y +y =6,x 2+y 2=12,则x 3+y 3的值是.14.在әA B C 中,A C =8,B C =6,øA C B =90ʎ,C D ʅA B 于点D ,若әA B C ㊁әA C D ㊁әB C D的内切圆的半径分别是r 1,r 2,r 3,则r 1+r 2+r 3的值是.15.若关于x 的方程x 2-(m +5)|x |+4=m 恰有3个实数解,则实数m =.16.在平面直角坐标系x O y 中,若直线x =-1,x =3,y =3,y =kx -2围成的四边形的面积是16,则k =.图4F i g .5图6图717.A ss h o w ni n F i g .5,t h e r ea r e3s q u a r e s i nt h er i g h tt r i a n gl e .T h es i d e so ft h et w o s m a l l e r s q u a r e s a r e a a n d4.T h e s i d eo f t h e s qu a r e i n t h em i d d l e i s x ,t h e n x =(i n t e r m s o f a ).18.如图6,在边长为2的正方形A B C D 内有等边三角形C D E ,A C 交D E 于点F ,则S әC F E =.19.如图7,将长为4,宽为2的长方形A B C D 绕顶点A 顺时针旋转90ʎ到达A B ᶄC ᶄD ᶄ,图中的两段弧线分别是顶点C ㊁D 经过的路径,则阴影部分的面积为.(π取3)20.长与宽的比是2ʒ1的长方形称为 特征长方形 .用宽分别为a 1,a 2,a 3,a 4,a 5(a 1<a 2<a 3<a 4<a 5)的5个 特征长方形 拼成的大长方形,记为(a 1,a 2,a 3,a 4,a 5),则大长方形(1,2,a 3,a 4,a 5)的面积最大是.三、解答题.21.(本题满分10分)如图8,在边长为1的正方形A B C D 中,以A 为圆心㊁A B 为半径的弧与以D C 为直径的半圆交于点E ,连结D E 并延长交B C 于F ,连结B E 并延长交D C 于G .(1)求D G ʒG C 的值;(2)求四边形E F C G 的面积.图8图9图1022.(本题满分15分)如图9,排球场总长18m ,设球网高为2m ,运动员站在离网3m 的线上(图中虚线所示)正对网前跳起将球水平击出.以击球点为原点,建立如图10的直角坐标系,球运动的轨迹方程是y =5x 2v2(x ,y 单位:m ),其中v 是球被击出时的速度(单位:m /s ).(1)设击球点在3m 线的正上方,高度为2.5m ,求使球既不触网也不出界的击球速度的范围;(2)若击球点在3m 线的正上方,当高度小于h (单位:m )时,无论水平击球的速度多大,球不是触网就是越界,求h .23.(本题满分15分)如图11,有一束光线,从中心为O 的圆环的A 点射入,在圆环内经过两次反射后从A 点射出;如图12,从A 点射入的光线经过三次反射后从A 点射出.图11图12图13图14(1)如图13,若从A 点射入的光线经过五次反射后从A 点射出,求从A 点射入的光线和圆环半径O A 的夹角α的度数;(2)如图14,若从A 点射入的光线和圆环半径O A 的夹角是50ʎ,则经过几次反射后光线从A 点射出?初三第2试答案21.（1）=2DG GC.（2）760CGEF S =.22.（1）击球速度的范围是v <<；（2）若击球点在3m 线的正上方3215m 处，则无论水平击球的速度多大，球不是触网就是越界.23.（1）60α=︒.（2）经过8次反射后，从A 点出来.。
2015年东城初三数学二模试题及答案
B
A
F E
C
D
19．若实数 a 满足 a 2a 1 0 ，计算 4(a 1)(a 1) 2a(a 2) 的值.
20. 已知关于 x 的方程 (k 1) x (k 1) x
2
1 0 有两个相等的实数根，求实数 k 的值． 4
21． A，B 两个火车站相距 360km．一列快车与一列普通列车分别从 A，B 两站同时出发相向而行，快车的 速度比普通列车的速度快 54km/h，当快车到达 B 站时，普通列车距离 A 站还有 135km．求快车和普通 列车的速度各是多少？
1 ，则 a 等于 3
A．1 B．2 C．3 D．4 7. 如图，将△ABC 沿 BC 方向向右平移 2cm 得到△DEF，若△ABC 的周长为 16cm，则四边形 ABFD 的周长 为
A． 16cm
B． 18cm
C． 20cm
D． 22cm
1
8． 如图， 在已知的△ABC 中， 按以下步骤作图： ①分别以 B， C 为圆心， 以大于
1 BC 2
C
M
的长为半径作弧，两弧相交于点 M，N；②作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD．若 A CD=AC，∠B=25° ，则∠ACB 的度数为 D N A． 90° B． 95° C． 100° D． 105° 9．如果三角形的一个角是另一个角的 3 倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能 作为一个智慧三角形三边长的一组是 A．1，2，3 B．1，1， C．1，1， D．1， ， 2 10. 如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，动点 P 从 A 点出发，按 A→B→C 的方向在 AB 和 BC 上移动，记 PA=x，点 D 到直线 PA 的距离为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致是