第二章对偶理论与灵敏度分析(运筹学教程)
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运筹学——2对偶理论和灵敏度分析
MaxZ x1 2 x2 x3
x1 x2 x3
ST
:
x1 2 x1
x2 x2
x3 x3
2 1 2
x1 0, x2 0, x3无约束
MinW
2u1 u1 u2
u22u23 u3
1
ST
:
u1 u2 u3 u1 u2 u3
Min W =600y1+400y2+300y3+200y4
s.t. 3y1+2y2+ y3+ y4≥2000
4y1+ y2+3y3+2y4≥4000 2y1+2y2+3y3+4y4≥3000
y1, y2, y3, y4≥0
2
二、对偶问题
（1）对称LP问题的定义
第一类对称形式
MaxZ CT X
解：用x2= -x2’, x3=x3’-x3’’ 代入上述LP问题，并将其
Max
Z
= x1
x1-2x2’ +x3’-x3’’ -x2’ -x3’+x3’’ ≤ 2
化为第一类对称形式
x1+x2’+x3’ -x3’’ ≤ 1
s.t. -x1 -x2’ -x3’+x3’’ ≤-1
-2x1+x2’ -x3’+x3’’ ≤-2 x1, x2’, x3’, x3’’ ≥0
Max Z =2x1+3x2 s.t. x1+ 2x2≤8
4x1 ≤ 16 4x2≤ 12 x1 ,x2 ≥0
对偶
Min W =8y1+16y2+12y3
运筹学 对偶理论和灵敏度分析
对偶理论和灵敏度分析
1.单纯形的矩阵描述
用矩阵语言描述单纯形法的关键是写出两个基本的 表达式,设线性规划的标准型为 maxz=CX AX=b X≥0
C=(CB,CN)，X=(XB,XN)’，A=(B,N)
由约束条件AX=(B,N)(XB,XN)=BXB+NXN=b，可以得 到用非基变量表示基变量的表达式:
-2 -3 -1 -1 1/3 x3 -1/3 0 x1 4/3 1 x5 1/3 0 0
' ' - a 1k / alk ' ' - a 2k / alk ... ' 1 / alk ... ' ' - a mk / alk
3对偶理论
某厂生产甲乙两种产品，各自的零部件分别在A、B车间生产，最 后都需在C车间装配，相关数据如表所示： 问如何安排甲、乙两产品的产量，使利润为最大。 工时单耗 生产能力 产品 甲 乙 车间 A 1 0 8 B 0 2 12 C 3 4 36 单位产品获利 3 5 • maxZ= 3x1 +5 x2 x1 ≤8 2x2 ≤12 S.t. 3x1 +4 x2 ≤36 x1 ≥0, x2 ≥0
(4)影子价格在资源采购决策中的应用。
当资源的市场价格低于影子价格，企业买进该资源，扩 大生产，当资源的市场价格高于影子价格，企业应设法转让 该资源。
(5)利用影子价格分析工艺改变后对资源节约的收益。 例如设工厂现有钢材100吨，其影子价格为3/4，采用新 工艺后，钢材可以节约2%，则由此带来的经济收益为：
(3)影子价格在新产品开发决策中的应用。 产品 资源 A B 影子价格(万元)
钢材 煤 机时
单位利润(万元)
1.单纯形的矩阵描述
用矩阵语言描述单纯形法的关键是写出两个基本的 表达式,设线性规划的标准型为 maxz=CX AX=b X≥0
C=(CB,CN)，X=(XB,XN)’，A=(B,N)
由约束条件AX=(B,N)(XB,XN)=BXB+NXN=b，可以得 到用非基变量表示基变量的表达式:
-2 -3 -1 -1 1/3 x3 -1/3 0 x1 4/3 1 x5 1/3 0 0
' ' - a 1k / alk ' ' - a 2k / alk ... ' 1 / alk ... ' ' - a mk / alk
3对偶理论
某厂生产甲乙两种产品，各自的零部件分别在A、B车间生产，最 后都需在C车间装配，相关数据如表所示： 问如何安排甲、乙两产品的产量，使利润为最大。 工时单耗 生产能力 产品 甲 乙 车间 A 1 0 8 B 0 2 12 C 3 4 36 单位产品获利 3 5 • maxZ= 3x1 +5 x2 x1 ≤8 2x2 ≤12 S.t. 3x1 +4 x2 ≤36 x1 ≥0, x2 ≥0
(4)影子价格在资源采购决策中的应用。
当资源的市场价格低于影子价格，企业买进该资源，扩 大生产，当资源的市场价格高于影子价格，企业应设法转让 该资源。
(5)利用影子价格分析工艺改变后对资源节约的收益。 例如设工厂现有钢材100吨，其影子价格为3/4，采用新 工艺后，钢材可以节约2%，则由此带来的经济收益为：
(3)影子价格在新产品开发决策中的应用。 产品 资源 A B 影子价格(万元)
钢材 煤 机时
单位利润(万元)
运筹学第2章对偶理论和灵敏度分析-第4节
1 y1 2 y2 3 y3
x1 0, x2,x3 0, x4无约束
则由表2-4中原问题和对偶问题的对应关系， 可以直接写出上述问题的对偶问题，
max z ' 5 y 1 4 y 2 6 y 3
y1 2 y2
2
y1 3 y1
2 y2
综合上述，线性规划的原问题与对偶问题 的关系，
其变换形式归纳为表2-4中所示的对应关系。
原问题
目标函数 max z
n个
变 0
量
0
无约束
约 m 个
束
0
条
0
件
约束条件右端项
目标函数变量的系数
对偶问题
目标函数 min
n个 约
束
证：由性质（2）可知，
YbCX ,是不可能成立。
例：
LP:
DP:
maxzx1 x2
mi n4y1 2y2
2xx11xx22
4 2
2yy11yy22
1 1
x1,x2 0
y1,y2 0
从两图对比可明显看到原问题无界， 其对偶问题无可行解
j1
x
j
0,
j
1 ,2 ,
,n
第一步：先将等式约束条件分解 为两个不等式约束条件。
n
maxz cj xj j1
n
aijxj bi j 1,2,,m 213
j1
n
ai j x j
bi ,
i
运筹学对偶理论与灵敏度分析
17
（6）（互补松驰性）
若X*、Y*分别是原问题和对偶问题的可行解，则X*、Y*是最优解的充要条件是： Y*XS=0,YSX*=0 (其中XS，YS分别是原问题和对偶问题的松驰变量向量)。
证明：设原问题和对偶问题的标准型是 原问题
对偶问题
max Z CX
s.t.
AX X, Xs
Xs 0
b
CX (0) Y (0)b CX
所以 X是(0最) 优解。
15
（5）（强对偶定理） 若互为对偶问 题之一有最优解，则另一问题必有最优解，且它们的 目标函数X值* 是相原等问题。的最优解，对应基阵B必存在
C CB B1A 0
即得到 Y *A， C其中
Y * CB B 1
若 Y * 是对偶问题的可行解，它使
3x5 2 x4 2x5
3
解：对偶问题为
maxW 2 y1 3y2
x2 3x5 2
x1
x2
2x5
3
化简为
x1 1 x5
x2
2
3x5
y2 3
(1)
y1 y2 4
( 2)
5
y1 y1
y2 2 y2 5
( 3) ( 4)
3y1 2 y2 9
( 5)
y1, y2 0
n
max z c j x j j 1
s.t.
n
aij x j bi ,
j1
i 1, 2,
,m
x
j
0,
j 1, 2, , n
特点：对偶变量符号不限
对偶问题:
m
minW bi yi i 1
s.t.
m
aij yi c j ,
i1
（6）（互补松驰性）
若X*、Y*分别是原问题和对偶问题的可行解，则X*、Y*是最优解的充要条件是： Y*XS=0,YSX*=0 (其中XS，YS分别是原问题和对偶问题的松驰变量向量)。
证明：设原问题和对偶问题的标准型是 原问题
对偶问题
max Z CX
s.t.
AX X, Xs
Xs 0
b
CX (0) Y (0)b CX
所以 X是(0最) 优解。
15
（5）（强对偶定理） 若互为对偶问 题之一有最优解，则另一问题必有最优解，且它们的 目标函数X值* 是相原等问题。的最优解，对应基阵B必存在
C CB B1A 0
即得到 Y *A， C其中
Y * CB B 1
若 Y * 是对偶问题的可行解，它使
3x5 2 x4 2x5
3
解：对偶问题为
maxW 2 y1 3y2
x2 3x5 2
x1
x2
2x5
3
化简为
x1 1 x5
x2
2
3x5
y2 3
(1)
y1 y2 4
( 2)
5
y1 y1
y2 2 y2 5
( 3) ( 4)
3y1 2 y2 9
( 5)
y1, y2 0
n
max z c j x j j 1
s.t.
n
aij x j bi ,
j1
i 1, 2,
,m
x
j
0,
j 1, 2, , n
特点：对偶变量符号不限
对偶问题:
m
minW bi yi i 1
s.t.
m
aij yi c j ,
i1
第02章 线性规划的对偶理论及灵敏度分析 《运筹学》PPT课件
x1, x2 ,, xn 0
对 称 形 式 的
的 定 义
minW b1y1 b2 y2 bm ym
对
s.t.
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
am1 y1 c1
am2
y2
c2
amn ym cn
偶 问 题
y1, y2 ,, ym 0
max Z CX
用5h设备A,2h设备B及1h调试可 生产一件家电Ⅱ，赢利1元
该公司希望用最小代价把美佳公司的全部资源收买过来，即：
min z 15y1 24y2 y3
问 题 的 导 出
例2-1
综上所述，
（LP2） min w 15y1 24y2 y3
6 y2 y3 2
s.t.5 y1 2 y2 y3 1
的
x1, x2,, xn 0
对
minW b1y1 b2 y2 bm ym
a11 y1 a21 y2 am1 ym c1
偶 问 题
a12y1
a22 y2
am2 ym
c2
a1n y1 a2n y2 amn ym cn y1, y2 ,, ym符号不限
对
例2－3
称
minZ 4x1 2x2 3x3
[B-1A,B-1I]=[B-1B,B-1N,B-1I]=[I,B-1N,B-1] •若初始矩阵中变量xj的系数向量为Pj，迭代后为 Pj′，则有Pj′=B-1Pj •当B为最优基时，表中应有
CN-CBB-1N≤0,-CBB-1≤0
例2-5
对
偶
参看例2-1中的原问题和对偶问题，并分别加上松 弛变量和剩余变量，如下：
23 3
运筹学第二章对偶理论与灵敏度分析
x1
x2
xj
xn 0
减少一件产品可以节省的资源
机会成本a1jy1+ a2jy2+ …… aijyi+ ……amjym
表示减少一件产品所节省的资源可以增加的利润
运筹学第二章对偶理论与灵敏度分析
4、产品的差额成本（Reduced Cost）
机会成本
差额成本
利润
min w b1y1 b2 y2 bm ym
运筹学第二章对偶理论与灵敏度分析
min w=YTb
ATY ≥ CT st.
Y ≥0
1,若原问题目标是求极大化，则对偶问题的目标是 极小化，反之亦然。
特对 点偶
问 题 的
2,原问题的约束系数矩阵与对偶问题的约束系数矩 阵互为转置矩阵。
3,极大化问题的每个约束对应于极小化问题的一个 变量，其每个变量对应于对偶问题的一个约束。
6 y2 + y3 ≥2
题对 偶
St. 5y1 + 2y2 + y3 ≥1
问
y1、y2 、y3 ≥0
最终表
210 0
CB 基 b x1 x2 x3 x4
0 x3 15/2 0 0 1 5/4 2 x1 7/2 1 0 0 1/4 1 x2 3/2 0 1 0 -1/4
cj－zj
0 0 0 -1/4
0 x5 -15/2 -1/2 3/2 -1/2
≤
≥
约束条件
≥
≤
变量
=
无约束
≥
≥
变量
≤
≤
无约束
=
运筹学第二章对偶理论与灵敏度分析
约束条件
§2.2 对偶问题的基本性质
性质1 弱对偶性
运筹学线性规划对偶理论和灵敏度分析
建立非对称形式线性规划问题旳对偶模型可采用下 列环节： （1）经过变换，把线性规划问题化为具有对称形式 旳原问题。 （2）根据原问题，写出对偶问题。（此时旳对偶并 非是原线性规划问题旳对偶） （3）经过变量代换等，把参数还原为最初旳形式 （必须做）。
例2.1.2写出下面非对称线性规划问题旳对偶。 max z = x1+2 x2 + x3 x1 + x2 － x3 ≤ 2
xj x1 x2 …
xn 原始约束 对偶：极小化 w
y1
a11 a12
…a22
… a2n ≤
b2
：
：
：
：
：
ym
am1 am2
…
amn ≤
bm
对偶约束 ≥ ≥ …
≥
原始极大化 z c1 c2 …
cn
阐明：表 2旳变量行与参数行相乘构成原始问题旳约 束条件和目旳函数；表2 旳变量列与参数列相乘构成 对偶问题旳约束条件和目旳函数。
max
z 33
=22002233 x1+4000 x1+ 44x2 + 2 2x3
x2 ≤
+3000 606000
x3 y1
22x1 + 1x2 + 2 2x3 ≤ 404000 y2 1 x1+ 33x2 + 33x3 ≤ 30300 y3 1x1+ 2 2x2 + 4 4x3 ≤ 20200 y4 x1 ≥0, x2 ≥ 0,x3 ≥0
max z = CX +0Xs st. AX + IXs = b
X , Xs≥0
其中，I 是相应于松弛变量旳单位方阵。
单纯形法计算时，总是选择 I 为初始可行基，松 弛变量作为初 始基变量旳。因为松弛变量作为基变
例2.1.2写出下面非对称线性规划问题旳对偶。 max z = x1+2 x2 + x3 x1 + x2 － x3 ≤ 2
xj x1 x2 …
xn 原始约束 对偶：极小化 w
y1
a11 a12
…a22
… a2n ≤
b2
：
：
：
：
：
ym
am1 am2
…
amn ≤
bm
对偶约束 ≥ ≥ …
≥
原始极大化 z c1 c2 …
cn
阐明：表 2旳变量行与参数行相乘构成原始问题旳约 束条件和目旳函数；表2 旳变量列与参数列相乘构成 对偶问题旳约束条件和目旳函数。
max
z 33
=22002233 x1+4000 x1+ 44x2 + 2 2x3
x2 ≤
+3000 606000
x3 y1
22x1 + 1x2 + 2 2x3 ≤ 404000 y2 1 x1+ 33x2 + 33x3 ≤ 30300 y3 1x1+ 2 2x2 + 4 4x3 ≤ 20200 y4 x1 ≥0, x2 ≥ 0,x3 ≥0
max z = CX +0Xs st. AX + IXs = b
X , Xs≥0
其中，I 是相应于松弛变量旳单位方阵。
单纯形法计算时，总是选择 I 为初始可行基，松 弛变量作为初 始基变量旳。因为松弛变量作为基变
运筹(第二章对偶与灵敏度分析)(1)
5x2 3x3 30
x1 0, x2无约束，x3 0
2023/2/22
17
解：将原问题模型变形, 令x1 x1
min z 7x1 4x2 3x3
4x1 2x2 6x3 24
3x1 6x2 4x3 15 5x2 3x3 30
y1 y2 y3
x1 0, x2无约束，x3 0
则对偶问题是
max w 24 y1 15y2 30 y3
4 y1 3y2
7
x1
2 y1 6 y2 5 y3 4
x2
6 y1 4 y2 3x3 3
x3
y1, y2 0, x3无约束
2023/2/22
18
小结：对偶问题与原问题的关系：
目标函数：MAX
原 约束条件：m个约束
对
问
y1 y2
ym
2023/2/22
12
类似于前面的资源定价问题，每一个约束条件对 应一个“ 对偶变量”，它就相当于给各资源的单 位定价。于是我们有如下的对偶规划：
min W b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1 a21 y2 am1 ym c1 a12y1 a22y2 am2ymc2 a1n y1 a2n y2 amn ym cn y1, y2 ,, ym 0
分别是原问题和对偶问题的可行解，则恒有
n
m
c j x j bi yi
j 1
i 1
m
n
考虑利用 c j aij yi 及
aij x j bi
i 1
j 1
代入。
2、无界性 如果原问题（对偶问题）有无界解，则
其对偶问题(原问题）无可行解。
2023/2/22
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C- CB B-1A - CB B-1
例3
max z 2x1 x2 0x3 0x4 0x5 5x2 x3 15 6x1 2x2 x4 24 x1 x2 x5 5 min w 15y1 24y2 5y3 0 y4 0 y5 6 y2 y3 y4 2 5y1 2 y2 y3 y5 1
三、原问题与对偶问题的对应关 系
原问题（或对偶问题） 对偶问题（或原问题）
目标函数 max z
目标函数 min w
n 个约束
n个变量
约束 约束
max
z
变量 0 变量 0
约束
自由变量
m个变量 变量 0
min
z
m个约束 约束
变量 0
约束
自由变量
约束
目标函数的价值向量 约束条件的限定向量
第二章 对偶理论与灵敏度分析
§1 单纯形法的矩阵描述 §2 改进单纯形法 §3 对偶问题的提出 §4 线性规划的对偶理论 §5 对偶问题的经济解释——影子价格 §6 对偶单纯形法 §7 灵敏度分析
第1节 线性规划的对偶问题 一、对偶问题的提出
实例：某家电厂家利用现有资源生产两种 产品， 有关数据如下表：
4x1 2x2 2x2 6x3 24
3x1
6x2 6x2 4x3 15 5x2 5x2 3x3 30 - 5x2 5x2 3x3 30
max w -24y1 15y2 30y3 - 30y3
4 y1 3y2
-7
- 2y1 - 6y2 5y3 - 5y3 4
设备A 设备B 调试工序
产品Ⅰ 产品Ⅱ
0
5
6
2
1
1
利润（元） 2
1
D
15时 24时 5时
x 设 Ⅰ产量––––– 1
x Ⅱ产量––––– 2
如何安排生产， 使获利最多？
max z 2 x1 x2
s.t.
5x2 15
6x1 2x2 24
x1 x2 5
x1, x2 0
厂 家
y 设：设备A —— 元／1 时 y 设备B –––– 元／时2
A (aij )
X
x1 x2
b1
b
b2 b3
特点：
1． max min 2．限定向量b 价值向量C
其它形式 的对偶
?
（资源向量）
3．一个约束 一个变量。
4． max z的LP约束“ ” min z 的
LP是“ ”的约束。
5．变量都是非负限制。
二、原问题与对偶问题的数学模 型
1．对称形式的对偶
y 调试工序 –––– 元／3时
付出的代价最小， 且对方能接受。
出让代价应不低于
用同等数量的资源
收
自己生产的利润。
购
厂家能接受的条件：
出 用同让等代6 y数价2量应的不y资低3 源于 2 5 y自1己生2产y的2 利润y3。 1
收购方的意愿：
单位产品Ⅰ出租 收入不低于2元
单位产品Ⅱ出租 收入不低于1元
y1 4 y2 3 y1 3y2 2
8 y1 2 y2 4
y1 0, y2无约束
第二节 对偶问题的基本性质 一、单纯形法的矩阵描述
非基变量 基变量
XB
XA
Xs
0 Xs b B
A
I
cj-zj
CB
C
0
XB
CB XB B-1b I
cj-zj
0
非基变量 基变量
XA B-1A
Xs B-1I
约束条件的限定向量 目标函数的价值向量
例:
max z 5x1 3x2 2x3 4x4 5x1 x2 x3 8x4 8
s.t 2x1 4x2 3x3 2x4 10
x1,x2 0 x3,x4无约束
对偶问题为
min w 8y1 10y2
5 y1 2 y2 0
s.t.
当原问题对偶问题只含有不等式约束 时，称为对称形式的对偶。
情形一：
原问题
对偶问题
max
s.t.
z CX AX b X 0
min
s.t.
w bY AY C
Y 0
情形二：
原问题
对偶问题
ms.tax
z CX AX b
ms.tin
w YA
Yb C
X 0
Y 0
证化 明为标准m s对.ta称x型z
CX AX
b
X 0
m s.tin
w Y b Y A C
Y 0
(Y Y)
非对称形式的对偶问题
min z=7x1+4x2-3x3
4x1 2x2 6x3 24
3x1 6x2 4x3 15
x1
0,
5x2 3x3 30 x2取值无约束，x3
0
令x1=-x1’,x2=x2’-x2”, min z=7x1+4x2’-4x2”-3x3
1
2
3
s.t
6y y 2
2
3
对 偶
5y 2y y 1 问
1
2
3
收 购
y ,y ,y 0
1
2
3
厂题
家
原问题
对偶问题
max
s.t.
z CX AX b
min w Yb s.t. AY C
X 0
Y 0
一 般 规 律
3个约 束 2个变
量C (c1, c2 )
2个约束 3个变量
Y (y1,y2,y3 )
cj
2100
cB xB B
x1
x2
x3
x4
0θ x5
0 x3 15/2 0 0 1 5/4 -15/2 2 x1 7/2 1 0 0 1/4 -1/2 1 x2 3/2 0 1 0 -1/4 3/2
-z
0 0 0 1/4 1/2
cj
15 24 5 0
cB xB b
y1
y2
y3
y4
0θ y5
24 y2 1/4 -5/4 1 5 y3 1/2 15/2 0
2y1 6y2 5y3 5y3 4
6y1 4y2 3y3 - 3y3 3
y1', y2, y3', y3" 0
令y1’=-y1,y3=y3’-y3”
max w 24 y1 15 y2 30 y3
4 y1 3y2
-7
-2y61yy1-1-604,y，y22y523yy303 ,y34取3 值无约束
min w 15 y 24 y 5 y
1
2
3
Ⅰ
Ⅱ
D
设备A
0
5
15时
设备B
6
2
24时
调试工序
1
1
5时
利润（元） 2
1
max z 2x1 x2
s.t.
5x2 15
厂
原
6x1 2x2 24 家
问 题
x1 x2 5 x1, x2 0
一对对偶问题
min w 15 y 24 y 5y
0 -1/4 1/4 1 1/2 -3/2
-z
15/2 0 0 7/2 3/2
对偶问题的基本性质
1、对称性 对偶问题的对偶是原问题。 2、弱对偶性 若X*是原问题的可行解，Y*是对偶
问题的可行解。则存在CX*≤Y*b 3、无界性 若原问题（对偶问题）为无界解，则其