二重积分复习教案资料
第一节二重积分的概念及性质教案
第九章 重积分第一节 二重积分的概念及性质一．二重积分的概念 1．引例引例1 曲顶柱体的体积设有一立体的底是xy 面上的有界闭区域D ，侧面是以D 的边界曲线为准线、母线平行于z 轴的柱面，顶是有二元非负连续函数),(y x f z =所表示的曲面，如图9—1所示，这个立体称为D 上的曲顶柱体，试求该曲顶柱体的体积。
图9—1 图9—2 图9—3解 对于平柱体的体积底面积高⨯=V ，然而，曲顶柱体不是平顶柱体，那么具体作法如下(1)分割把区域D 任意划分成n 个小闭区域nσσσ∆∆∆,,,21Λ，其中iσ∆表示第i 个小闭区域，也表示它的面积。
在每个小闭区域内，以它的边界曲线为准线、母线平行于z 轴的柱面，如图9—2所示。
这些柱面就那原来的曲顶柱体分割成n 个小曲顶柱体。
(2)近似在每一个小闭区域iσ∆上任取一点),(i i ηξ，以),(i i f ηξ为高，iσ∆为底的平顶柱体的体积i i i f σηξ∆),(近似代替第i 个小曲顶柱体的体积。
i i i f V σηξ∆≈∆),((3)求和这n 个小平顶柱体的体积之和即为曲顶柱体体积的近似值∑=∆≈∆=ni i i i f V V 1),(σηξ(4)取极限将区域D 无限细分，且每个小闭区域趋向于或说缩成一点，这个近似值趋近于曲顶柱体的体积。
即∑=→∆=ni i i i f V 10),(lim σηξλ其中λ表示这n 个小闭区域iσ∆直径中最大值的直径（有界闭区域的直径是指区域中任意两点间的距离）。
引例2 平面薄片的质量设有一平面薄片占有xy 面上的有界闭区域D ，它的密度为D 上的连续函数),(y x z ρ=，试求平面薄片的质量。
解 对于均匀平面薄片的质量薄片面积密度⨯=m ，然而，平面薄片并非均匀，那么具体作法如下(1)分割将薄片（即区域D ）任意划分成n 个小薄片nσσσ∆∆∆,,,21Λ，其中iσ∆表示第i 个小小薄片，也表示它的面积，如图9—3所示。
二重积分(1)
第9 章重积分9.1 二重积分1学习指导1. 基本要求⑴理解二重积分的概念，知道二重积分的性质。
⑵掌握二重积分的计算方法，能够熟练地计算各种类型的二重积分。
⑶会利用二重积分解决几何、物理中的主要应用。
2. 重点与难点重点二重积分的概念、计算和在几何、物理中的主要应用。
难点计算二重积分时选择合适的坐标系、积分顺序并恰当地配置累次积分的积分限，二重积分在物理上的应用。
3. 学习方法⑴二重积分是定积分的推广，因此研究方法、定义、性质都是类似的，学习时应与定积分类比，温故知新，并注意有些性质的几何意义，以便理解和记忆。
⑵计算二重积分的关键是在直角坐标系或极坐标系下将其化为累次积分，选择坐标系和累次积分顺序的目的是使计算简便，它包含两点：一是对被积函数易于寻求原函数；二是对积分区域分块要少且定限容易，当二者不能兼顾时，一般以简化积分区域为主。
通常，当区域是圆形域、扇形域、环形域或它们的一部分，被积函数含有因子n（X2+y2F或I等形式时，利用极坐标计算较简便，其余情况多采用直X角坐标系，有时需利用变量代换去计算二重积分。
⑶化二重积分为累次积分的一般方法是“画图定限法”，即画出积分区域D的草图，将它分割成几个简单区域（X -型区域，Y-型区域或9 一型区域），在直角坐标系下是先对哪个变量积分，就在区域 D上画哪个坐标轴的平行线，而在极坐标系下，则是从原点出发画射线, 以此确定累次积分的上下限，此法可形象地叙述为“域中一线插，内限定上下，域边两线夹，外限利用它”。
当区域D的草图不易画出时, 可以采用“代数定限法”，即联立区域边界曲线组成的不等式组来分别确定各积分变量的变化范围，从而得到累次积分的各个积分限，有时也兼顾应用两种方法综合定限，注意将二重积分化为累次积分时先积分的上下限是常数或后积分的积分变量的函数，而后积分的积分上下限都为常数；同时，两次积分的下限都小于上限，切不可弄错。
⑷计算二重积分时，还须考虑积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，尽可能地简化积分计算，在审题过程中注意以下几个原则: 是图形的对称性及被积函数的奇偶性；二是坐标系的选择；三是积分次序的先后顺序；四是计算定积分的准确性，从而更好掌握这一单元的学习。
二重积分基础数学资料
用若干个小平 顶柱体体积之 和近似曲顶柱 体的体积，
曲顶柱体的体积
先分割曲顶柱体的底，
积分区域
积分和
被积函数
积分变量
被积表达式
面积元素
2、二重积分的概念
性质１
性质２
（——与定积分有类似的性质）
3、二重积分的性质
性质３
性质４
4、二重积分的几何意义
例 求
，其中区域
为由直线
所围区域。
答案：2
区域的特征，其次需要考虑被积函数
的特点，在积分区域中为二次积分即两个定积分来计算。
例 计算二重积分
其中
区域
一、在直角坐标系下计算
1、积分区域为矩形域
例 计算二重积分
其中
答案：
二重积分的计算 (D是矩形区域)
y
0
x
z
y
a
b
c
d
D
D是矩形区域 [a,b ; c,d]
输出：ans= 3
所围成的区域。
例
解：
X-型
例 计算二重积分
是由直线
所围成的
闭区域。
答案：
例 计算 其中D是由直线
解法1 把D看成X型域,则
y=1, x=2 及 y=x 所围区域.
解法2 把D看成Y型域，则
要将按X型域确定的积分限改为按Y型域确定积分限.为此，应根据定限的方法先将题中所给的积分限还原成平面区域D，然后再按Y型域重新确立积分限，得到二次积分.
第一节 二重积分的概念和性质
1、问题的提出 2、二重积分的概念 3、二重积分的性质 4、二重积分的几何意义
第七章 二重积分
柱体体积=底面积×
二重积分的计算教案
二重积分的计算教案教案标题：二重积分的计算教学目标：1. 理解二重积分的概念和意义；2. 学会利用直角坐标系下的二重积分及其性质计算二重积分；3. 掌握变量替换法计算二重积分。
教学准备：1. 幻灯片及投影仪；2. 教学板及白板笔；3. 直角坐标纸；4. 计算器。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 讲师介绍二重积分的概念和意义：二重积分是对二元函数在一个有界区域上的积分运算，可以用来计算平面区域的面积、质量等物理量。
2. 引导学生思考：如何计算函数在某个区域的面积？二、直角坐标系下的二重积分（20分钟）1. 讲解二重积分的概念和符号表示；2. 利用直角坐标系下的二重积分性质，分别介绍极坐标系和直角坐标系下的二重积分计算方法；3. 通过示例，详细讲解直角坐标系下二重积分的计算步骤。
三、变量替换法计算二重积分（25分钟）1. 介绍变量替换法的基本思想和要点；2. 通过示例，引导学生掌握变量替换法计算二重积分的步骤和技巧；3. 鼓励学生积极思考、探索新的变量替换方法，提升解题能力。
四、练习与巩固（15分钟）1. 提供一些典型的计算二重积分的练习题，让学生自主完成并讨论解法；2. 教师逐个讲解练习题的解题思路和方法。
五、拓展应用（10分钟）1. 引导学生思考并讨论：二重积分在实际问题中的应用；2. 讲解几个具体实例，让学生理解二重积分在不同领域中的应用。
六、总结与反思（5分钟）1. 客观回顾本节课所学内容；2. 鼓励学生提出问题、分享心得；3. 解答学生提出的问题，澄清疑惑。
教学延伸：1. 建议学生参考相关教材，复习和巩固本节课所学内容；2. 鼓励学生应用二重积分解决实际问题，提升实际运用能力；3. 教师可布置相关的作业，以检查学生对本节课内容的掌握情况。
教学评价：1. 通过课堂教学中的互动讨论，观察学生的参与度和理解程度；2. 教师根据学生作业的完成情况和答案的正确性评价学生对知识点的掌握程度；3. 反馈学生的问题和困惑，及时给予指导和解答。
二重积分的复习市公开课一等奖市赛课金奖课件
三重积分 二重积分
一、主要内容
定义 定义 几何意义 几何意义
性质 性质 计算法 计算法 应用 应用
二重积分旳定义
二重积分旳几何意义
当被积函数不小于零时，二重积分是柱体旳体 积． 当被积函数不大于零时，二重积分是柱体旳体积旳负 值．
z
z f (x, y)
z
o D• x
(i ,i ) y
x 0, y 0, z c 所围成的空间区域在第一卦限
的
部分,则
xy z
dxdydz =(
).
(A) 1 a2b2 c ； 36
(B) 1 a2b2 b ； 36
(C) 1 b2c2 a ； 36
(D) 1 c ab . 36
8、计算I zdv ,其中为z 2 x 2 y 2 , z 1围成的
8. 9. 10.
8.
解 所求立体能够看成是一种 曲顶柱体，它旳曲顶为
底为 于是，
9. 解 平面方程
所求面积
所求面积
10.
解 所求表面提成Ⅰ和Ⅱ，如图。 第一块（ Ⅰ ）在半球面 记为 AⅠ。 第二块（ Ⅱ ）在锥面 记为 AⅡ 。 x
z
Ⅰ
Ⅱ
o
y
由
由
所以，曲面Ⅰ和Ⅱ在 xoy 面上 旳投影区域均为圆域：
0
0
0
0
(C)
1
dy
1 f ( x, y)dx ；
0
0
(D)
1
dy
1 y
f ( x, y)dx .
0
0
2、设D 为 x 2 y 2 a 2 ,当a ( )时,
a2 x2 y2dxdy .
D
二重积分复习课
x dx a g 2 x dx
b D
f 2 x g 2 y dxdy f 2 y g 2 x dxdy f 2 x g 2 y f 2 y g 2 x dxdy 2 f x f y g x g y dxdy a f x g x dx .
D
D : a x b，a y b
b
a
f
2
x dx a g 2 x dx
b b
f
a D
b
2
x dx a g 2 y dy
D
f 2 x g 2 y dxdy f 2 y g 2 x dxdy
2 f
D D
性质２
[ f ( x , y ) g( x , y )]d
D
f ( x , y )d g ( x , y )d .
D D
性质３
对区域具有可加性 ( D D1 D2 )
D1 D2
f ( x , y )d f ( x , y )d f ( x , y )d .
1 2 3 3 a [(1 cos ) 1]d 3 2
22 a ( ). 9 2
3
例5 求由曲线 y x 1 ，x 2，y 2所围成图形面积A.
x
解
法一
A dxdy dx
1 D
2
x 2
1 x
1 dy ln 2 . 2
2 2
D3 : 0 x 2 y 2 1
例7 求球面x 2 y 2 z 2 4a 2及圆柱面x 2 y 2 2ax的
高等数学第十章《二重积分》复习 课件
y x 2(y) d y
x 1(y)
则
d
dy
2(y) f (x, y)dx
c o
c
1( y)
x
例2. 计算 x yd , 其中D 是抛物线 y2 x 及直线 D
y x 2 所围成的闭区域.
解: 看成Y型区域,
则
D
:
1 y y2 x
2 y
ห้องสมุดไป่ตู้
2
2 y2
D
x yd
dy 1
y2
xyd
该物体的质量为
b
a
Dz
f
(x,
y, z)d
xd
y dz
记作
b
dz
f (x, y, z)dxdy
a
Dz
z
b
z Dz
a
O
y
x
面密度≈
f (x, y, z)d z
截面法的一般步骤：
(1) 把积分区域 向某轴（例如z 轴）投影，得
投影区间 [a, b] ；
(2) 对 z [a, b]用过z轴且平行 截 ，得截面 Dz;
11
一、利用直角坐标计算二重积分
由曲顶柱体体积的计算可知,
若D为 X – 型区域
y y 2(x)
axb
D : 1( x) y 2( x)
D x
则
f (x, y)dxdy
b
dx
2( x)
f
( x,
oa y y)dy
1(x)b
x
D
a
1( x)
若D为Y –型区域
c yd
D : 1( y) x 2( y)
xoy平面的平z面去
大学高数二重积分教学教案
课时：2课时教学目标：1. 理解二重积分的概念及其与定积分的联系。
2. 掌握二重积分的计算方法，包括直角坐标系和极坐标系下的计算。
3. 能够运用二重积分解决实际问题。
教学重点：1. 二重积分的概念和性质。
2. 二重积分的计算方法。
教学难点：1. 二重积分的实际应用。
2. 在不同坐标系下进行二重积分计算。
教学准备：1. 多媒体课件。
2. 练习题。
3. 黑板或白板。
教学过程：第一课时一、导入1. 复习定积分的概念，引出二重积分的概念。
2. 提问：什么是定积分？定积分在几何和物理上有什么应用？二、新课讲解1. 二重积分的定义：- 利用二重积分的定义，讲解在直角坐标系和极坐标系下的二重积分。
- 举例说明如何将二重积分转化为两次定积分。
2. 二重积分的性质：- 讲解二重积分的基本性质，如线性性质、保号性质、可积性等。
- 通过实例说明这些性质的应用。
三、例题讲解1. 直角坐标系下的二重积分计算：- 举例说明如何计算直角坐标系下的二重积分。
- 讲解计算过程中的注意事项。
2. 极坐标系下的二重积分计算：- 举例说明如何计算极坐标系下的二重积分。
- 强调极坐标系在计算二重积分时的优势。
四、课堂练习1. 学生独立完成课堂练习，巩固所学知识。
2. 教师巡视指导，解答学生疑问。
第二课时一、复习1. 复习上一节课所学内容，重点强调二重积分的定义、性质和计算方法。
二、新课讲解1. 二重积分的实际应用：- 举例说明二重积分在几何、物理和工程中的应用。
- 讲解如何将实际问题转化为二重积分问题。
2. 不同坐标系下的二重积分计算：- 举例说明在不同坐标系下进行二重积分计算的技巧。
三、例题讲解1. 复习直角坐标系和极坐标系下的二重积分计算例题。
2. 讲解如何根据实际问题选择合适的坐标系进行计算。
四、课堂练习1. 学生独立完成课堂练习，巩固所学知识。
2. 教师巡视指导，解答学生疑问。
五、总结1. 总结二重积分的概念、性质和计算方法。
2. 强调二重积分在实际应用中的重要性。
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f (i ,i ) i
★２. 二重积分的几何意义
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．
当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值．
３. 二重积分的性质
性质１ 当 k为常数时，
k f(x,y)d kf(x,y)d .
D
D
性质２ [f(x,y)g(x,y)]d
D
f(x,y)d g(x,y)d .
故2I 2 0 .4 I 0 .5 . 54
例 比较积分 ln( x y)d 与[ln( x y)]2d
D
D
的大小, 其中 D 是三角形闭区域, 三顶点各为(1,0),
(1,1), (2,0).
y
解 三 角 形 斜 边 方 程 xy2
1
在 D 内 有 1 x y 2 e ,
D
故 ln x ( y ) 1 ,
X-型区域的特点： 穿过区域且平行于y
轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.
［Y－型］ D : cyd, 1 (y ) x 2 (y ).
f(x ,y )ddd y2(y)f(x ,y )d x .
D
c 1 (y)
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴
的直线与区域边界相交不多于两个交点.
例 1 求I xyd ,其中 D 是 x 1、
0
0
1 ye y2dy
0
1(1e1) 2
例 4
改变积分
1
dx
1x f ( x, y)dy 的次序.
0
0
解 积分区域如图
y 1 x
原式
1
1 y
dy f ( x, y)dx.
0
0
练习题
1.当函数 f ( x, y)在闭区域 D 上______________时, 则其在 D 上的二重积分必定存在 .
D
D
性质３ 对区域具有可加性 (D D 1D 2)
f(x ,y ) d f(x ,y ) d f(x ,y ) d .
D
D 1
D 2
性质４ 若为D的面积1dd.
D
D
性质５ 若在D上， f(x ,y ) g (x ,y )
f(x,y)dg(x,y)d.
D
D
特殊地 f(x,y)df(x,y)d.
D
o 12x
于 是 lx n y ) l (x n y ) 2 ,(
因此 ln( x y)d [ln( x y)]2d .
D
D
★４.二重积分的计算
（１）直角坐标系下
［X－型］ D : axb , 1 (x )y2 (x ).
Df(x ,y)da b d x 1 2 ((x x ))f(x ,y)d y .
2. 二 重 积 分 f ( x, y)d 的 几 何 意 义 是
D
___________________________________.
3. 若 f ( x, y) 在 有 界 闭 区 域 D 上 可 积 , 且
D D1 D2,当 f (x, y) 0 时,
则 f ( x, y)d __________ f ( x, y)d ;
D
y x及 y 2所围成的闭区域.
解法一 [X-型]
2
I1 2d xx 2x yd y1 2[xy 2 2]2 xd x
Y -3 型)d ]x[x2x 8 4]1 28 9
I1 2d y1 yx yd x1 2[yx 2 2]1 yd y
Y=2
D1
D2
当 f ( x, y) 0时,
则 f ( x, y)d __________ f ( x, y)d .
D1
D2
4.比较下列积分的大小:
1）. ( x2 y2 )d 与 ( x y)3d , 其中 D 是由
D
圆
D
( x 2)2 ( y 1)2 2所围成 .
2）. ln( x y)d与[ln( x y)]2d ,其中 D 是矩
D
D
形闭区域:3 x 5,0 y 1 .
5、、估计积分 I (x2 4y2 9)d 的值,其中 D 是圆 D 形区域: x 2 y 2 4 .
6. ( x3 3x2 y y3 )d ________________. 其 中
1
dx
x(x2y)dy
0
x2
D
1 [x 2(xx 2)1(xx 4)]d x 33 .
0
2
140
例 3 求 I e y2d ，其中 D 是由直
D
线 y x, y 1及 y轴所围成的闭区域.
解 Q e y2dy不能用初等函数计算
只 能 用 Y - 型 .
I
1
dy
y e y2 dx
作乘积 f (i ,i ) i ，
(i 1,2, , n)，
n
并作和 f (i ,i ) i ，
i 1
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零
时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x, y)
在闭区域 D 上的二重积分，
记为 f ( x, y)d ，
D
n
即
D
f ( x, y)d lim 0 i1
X=1
X=Y
1X 2
1 2(y 2 32 y)d y[y 8 4y 4 2]1 28 9
例 2 求 ( x2 y)dxdy，其中D是由抛物
D
线 y x2和 x y2所围平面闭区域.
解 两 曲 线 的 交 点
x y2
yx2 xy2(0,0) ,(1,1),
y x2
(x2
y)dxdy
第九章 重 积 分
主要内容
一、主要内容
二 重 积 分
定义 几何意义
性质 计算法
1.二重积分的定义
定义 设 f ( x, y)是有界闭区域 D 上的有界函数，将
闭区域 D 任意分成n 个小闭区域 1 ， 2 , ，
n，其中 i 表示第i 个小闭区域，也表示它的面积，
在每个 i 上任取一点(i ,i ) ，
D
★性质６设 M 、m分别是 f ( x, y)在闭区域 D 上的最 大值和最小值， 为 D 的面积，则
m f ( x, y)d M
D
（二重积分估值不等式）
性质７ 设函数 f ( x, y)在闭区域D上连续， 为D 的面积，则在 D 上至少存在一点( , )使得
f ( x, y)d f ( ,) .
D
（二重积分中值定理）
例 估计I
d
的值，
D x2 y2 2xy 16
其中 D： 0 x 1, 0 y 2.
解
f(x,y)
1
, (xy)216
区 域 面 积 2 ,
在D上f (x, y)的最大值 M1 (xy0) 4
f(x ,y )的 最 小 值 m 1 1 (x1 ,y2) 3242 5