2020届湖南省怀化市麻阳一中高三下学期3月第七次月考数学(理)试题及答案
绝密★启用前2020届湖南省怀化市麻阳一中高三下学期3月第七次月考数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知{0,1,2,3},A ={|1},B y y ==P A B =⋂，则P 的子集个数为（）A ．4B ．6C ．8D ．16答案：C先求得集合B ，由此求得集合P ，根据集合P 元素的个数，求得P 的子集个数. 解：由于11y =≥，所以[)1,B =+∞，所以{}1,2,3P A B =⋂=，集合P 共有3个元素，故子集有328=个. 故选：C 点评：本小题主要考查函数值域，考查集合交集和子集个数的求法，属于基础题. 2．若,a b ∈R ，且a b >，则下列不等式成立的是（）A ．22a b >B ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．lg()0a b ->D ．1ba< 答案：B利用特殊值排除错误选项，利用指数函数单调性证明正确选项. 解：不妨设1,2a b =-=-，则22a b <，A 选项错误.()lg lg10a b -==，C 选项错误.21ba=>，D 选项错误.对于B选项，由于13xy⎛⎫= ⎪⎝⎭为R上的减函数，而a b>，所以1133a b⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即B选项正确.故选：B点评：本小题主要考查数的大小判断，考查指数函数单调性，属于基础题.3．从n个正整数1，2…n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n 的值为（）A．6 B．8 C．10 D．14答案：B利用古典概型概率计算公式列方程，解方程求得n的值.解：两数之和为5有14,23++两种情况，故22114nC=，故()21282nn nC-==，解得8n=.故选：B点评：本小题主要考查根据古典概型的概率求参数，属于基础题.4．已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的焦点F到渐近线距离与顶点A到渐近线距离之比为3:1，则双曲线C的渐近线方程为（）A．22y x=±B．2y x=±C．22y x=±D．2y x=±答案：A由题意知31CFAB=,由OAB与OFC相似（O为坐标原点）可得3OF cOA a==，再由222c b a=+，可得22ba=±，进而可得渐近线方程.解：如图所示，双曲线顶点为A，焦点为F，过A,F作渐近线的垂线，垂足为B，C，所以OAB与OFC相似（O 为坐标原点），又由题意知31CF AB =，所以3OF cOA a==，即3c a =，又因为222c b a =+，所以228b a =，即22ba=±所以渐近线方程为：22y x =±，故选A. 点评：本题考查双曲线的几何性质，需灵活运用三角形相似及,,a b c 之间的关系，属基础题. 5．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上为减函数的是（） A ．cos()y x =- B ．sin y x x =+C ．2yx D ．sin()y x =-答案：D由函数的奇偶性排除AC 选项，利用导数求BD 选项在区间(0,1)上的单调性，由此确定正确选项. 解：对于AC 选项()cos cos y x x =-=为偶函数，2yx 也是偶函数，所以AC 两个选项不符合题意.对于B 选项，'1cos 0y x =+≥，所以函数在(0,1)上递增，不符合题意.对于D 选项，'cos y x =-在区间(0,1)上满足'cos 0y x =-<，所以函数在区间(0,1)上为减函数符合题意. 故选：D 点评：本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查利用导数判断函数在区间上的单调性，属于基础题. 6．某四棱锥的三视图如图所示，则侧面四个三角形中，最小三角形面积为（）A ．2B 2C 3D ．1答案：B画出几何体的直观图，判断三角形面积最小的三角形，然后求解三角形的面积即可. 解：由三视图可知该几何体是四棱锥A DCBE -是正方体的一部分， 正方体的棱长为2，E 为所在棱的中点，如图，则最小三角形面积是ABE ∆,∴112222ABES.故选B . 点评：本题主要考查学生对三视图之间的关系的理解和画出几何体的直观图，是基础题.7．若()4*nx n N x x ⎛∈ ⎝的展开式中含有常数项，则n 的最小值为（） A ．8 B ．10 C ．11 D ．12答案：C求得二项式展开式的通项公式，根据展开式中含有常数项，求得n 的表达式，进而求得n 的最小值. 解：二项式()4*nx n N x x ⎛∈ ⎝展开式的通项公式为()()31144221rrn n r r r r n n C x x C x---⎛⎫⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭，由于展开式中含有常数项，则11402r n -=，118rn =，当8r =时，n 取得最小值为11. 故选：C 点评：本小题主要考查根据二项式展开式含有常数项求参数，属于基础题.8．如图，在三棱锥P ABC -中，已知底面ABC 是正三角形，2AB AP =，且AP ⊥平面PBC ，则直线PA 与平面ABC 所成角的余弦值为（）A ．6 B ．5 C ．23D ．3 答案：D取BC 中点M ，连接,PM AM ，设2,AB =表示出各边长度，可知三角形APM 为直角三角形，且AP PM⊥.所以PAM ∠即为直线PA 与平面ABC 所成的角，由三角函数定义可求得cos PAM ∠.解：三棱锥P ABC -中，已知底面ABC 是正三角形，2AB AP =，且AP ⊥平面PBC ，取BC 中点M ，连接,PM AM ，如下图所示：设2,AB =则1AP =，3PB PC ==2,3PM AM ==因为222PM A M P A +=所以三角形APM 为直角三角形，且AP PM ⊥ 则PAM ∠即为直线PA 与平面ABC 所成的角所以cos3PA PAM PM ∠===故选：D 点评：本题考查了直线与平面夹角的求法，空间中的线面关系，属于中档题. 9．已知当m ，[1n ∈-，1)时，33sin sin22mnn m ππ-<-，则以下判断正确的是()A ．m n >B ．||||m n <C ．m n <D ．m 与n 的大小关系不确定答案：C由函数的增减性及导数的应用得：设3()sin,[1,1]2xf x x x π=+∈-，求得可得()f x 为增函数，又m ，[1n ∈-，1)时，根据条件得()()f m f n <，即可得结果．解：解：设3()sin,[1,1]2xf x x x π=+∈-，则2()3cos022x f x x ππ'=+>， 即3()sin ,[1,1]2x f x x x π=+∈-为增函数， 又m ，[1n ∈-，1)，33sin sin 22m nn m ππ-<-， 即33sin sin 22m n m n ππ+<+， 所以()()f m f n <， 所以m n <． 故选：C ． 点评：本题考查了函数的增减性及导数的应用，属中档题．10．将曲线1124y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭向左平移4π个单位长度，得到曲线的对称中心为（）A ．()2,0,k k π∈ZB ．2,0,4k k π⎛⎫π+∈ ⎪⎝⎭ZC ．2,1,4k k π⎛⎫π+∈ ⎪⎝⎭ZD ．2,1,4k k 5π⎛⎫π+∈ ⎪⎝⎭Z答案：C先根据图象变换原则得到图象变换后的解析式1128y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,令1,28x k k Z ππ-=∈,进而求解即可. 解：由题,则平移后的函数解析式为111124428y x x ππ⎡⎤π⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦,令1,28x k k Z ππ-=∈,则2,4x k k Z ππ=+∈, 所以对称中心为2,1,4k k π⎛⎫π+∈ ⎪⎝⎭Z ,故选:C 点评：本题考查平移变换后的三角函数解析式,考查正弦型函数的对称中心.11．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：01x ≤≤时，()33f x x x =-+，且()()11f x f x -=+，若方程()()log 1+1(0,1)a f x x a a =+>≠恰好有12个实数根，则实数a 的取值范围是（） A ．(5，6) B ．(6，8)C ．(7，8)D ．(10，12)答案：B01x ≤≤时，33f xx x ，()()2'310f x x ∴=--≥,故()f x 在[0,1]上单调递增，且()()00,12f f ==，由()()11f x f x -=+可知函数()f x 是周期为2的周期函数，而函数()y f x =与()log 11a y x =++都是偶函数，画出它们的部分图象如图所示，根据偶函数的对称性可知，只需这两个函数在0,有6个不同交点，显然1a >，结合图象可得()()log 5112{log 7112a a ++<++>，即log 61{log 81a a <>，故68a <<.本题选择B 选项.12．已知函数()f x 是定义在R 上的函数，且满足()()0f x f x '+>，其中()f x '为()f x 的导数，设()0a f =，()22b f ln =，()1c ef =，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．c b a >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b c a >>答案：A构造函数()()xg x e f x =，根据()g x 的单调性得出结论．解：解：令()()xg x e f x =，则()[()()]0x g x e f x f x '=+'>，()g x ∴在R 上单调递增，又021ln <<，()()()021g g ln g ∴<<，即()()()0221f f ln ef <<，即c b a >> 故选：A ． 点评：本题考查了导数与函数的单调性，考查函数单调性的应用，属于中档题． 二、填空题13．已知矩形ABCD ，AB=4，BC=3，以A,B 为焦点，且过C,D 两点的双曲线的离心率为____________. 答案：2根据,A B 为焦点，得2c =；又2AC BC a -=求得a ，从而得到离心率. 解：,A B 为焦点24c ⇒=2c ⇒=C 在双曲线上，则2AC BC a -=又225AC AB BC =+=22a ⇒=1a ⇒=2ce a∴== 本题正确结果：2点评：本题考查利用双曲线的定义求解双曲线的离心率问题，属于基础题.14．在ABC ∆中，2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++，其中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，则角A 的大小为______． 答案：23π 由正弦定理和题设条件，化简得222a b c bc =++，再由余弦定理，求得1cos 2A =-，即可求解．解：由题意，因为2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++由正弦定理化简得22(2)(2)a b c b c b c =+++，整理得222a b c bc =++，又由余弦定理，可得2221cos 22b c a A bc +-==-， 又因为(0,)A π∈，所以23A π=． 故答案为：23π． 点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解． 15．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()222220n n S n n S n n -+--+=，*n ∈N ，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和2020T =__________.答案：5052021因为()()222220n n S n n S n n -+--+=，当1n =时，可得12a =.由()()222220n n S n n S n n -+--+=,可得()()220n n S S n n ⎡⎤+-+=⎣⎦，求得2n S n n =+，即可求得2n a n =，结合已知，即可求得答案. 解：()()222220n n S n n S n n -+--+= 当1n =时，2140a -=解得：12a =或12a =- 数列{}n a 为正数，∴12a =由()()222220n n S n n S n n -+--+=即()()220n n S S n n ⎡⎤+-+=⎣⎦，20n S +≠ ∴2n S n n =+当2n ≥时，21(1)(1)n S n n -=-+-两式相减得：2n a n = 当1n =，满足2n a n =∴2n a n =()()141111114n n n n a a n n +=++= 11141n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭11111111111231423411n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋯+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣+⎝⎭⎦可得：11141n n T ⎛⎫=- ⎪⎝⎭+ 当2020n =，2020150542021120211T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭ 故答案为：5052021. 点评：本题主要考查了求数列前n 和，解题关键是掌握“裂项相消”求和的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.16．在平面四边形ABCD 中，ΔBCD 是边长为2的等边三角形，ΔBAD 为等腰三角形，且∠BAD=90︒，以BD 为折痕，将四边形折成一个120︒的二面角A BD C --，并且这个二面角的顶点A ，B ，C ，D在同一个球面上，则这个球的球面面积为________________ 答案：529π作出折叠后的几何图形，结合几何关系求出半径即可得到球的表面积. 解：折成的立体图形如图所示，O 为球心，E 为BD 的中点，∠CEH=60︒， 33322CH HE ==，，，所以由222OC OF CF =+得： 222223313129R R R ⎫=-+=⎪⎭⎝⎭，所以，球面积为25249S R ππ==故答案为：529π点评：此题考查求几何体的外接球，以平面图形的折叠为背景，关键在于弄清折叠过程中不变的几何量. 三、解答题17．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足(cos 3)c b A A =． （1）求角B 的大小；（2）若4a =，且BC 3ABC 的周长． 答案：（1）6B π=；（2）623+．（1）因为(cos 3)c b A A =，由正弦定理可得：sin sin (cos 3)C B A A =结合已知，即可求得答案；（2）画出图形，3,6AD B π==，则23sin ADc AB B===. 解： （1）(cos 3)c b A A =∴由正弦定理可得：sin sin (cos 3sin )C B A A =+sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+∴可得：(cos 3sin )c b A A =+(0,),sin 0A A π∈>cos 3sin B B ∴= ∴3tan B =，又(0,)B π∈故6B π=．（2）画出图象，如图：3,6AD B π==则23sin ADc AB B===又4a =在ABC 中，由余弦定理2222cos 4b a c ac B =+-= 可得2b =可得ABC 的周长为623a b c ++=+点评：本题主要考查了由正弦定理和余弦定理解三角形，解题关键是灵活使用正弦定理和余弦定理，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 18．已知数列{}n a 满足()*11322,n n n a a a n n N+-=-≥∈，且11a=，23a =．（1）求证：数列{}1n n a a +-是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）记(1)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．答案：（1）证明见解析，21n n a =-；（2）1(3)22n n n n S n ++=⨯-（1）由1132n n n a a a +-=-，整理得112n nn n a a a a +--=-，得出1{}n n a a +-是以2为公比，以2为首项的等比数列，进而求得数列的通项公式；（2）由（1）可得(1)(1)2(1)nn n b n a n n =+=+-+，利用等差数列的前n 项和公式和“乘公比错位相加法”，即可求得数列的前n 项和． 解：（1）由题意，数列{}n a 满足()*11322,n n n a a a n n N+-=-≥∈，可得112()n n n n a a a a +--=-，*2,n n N ≥∈，即112n nn n a a a a +--=-，*2,n n N ≥∈，所以1{}n n a a +-是以2为公比，以212a a -=为首项的等比数列，所以12nn n a a +-=，*n N ∈，又由112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+12222121n n n --=++++=-(2)n ≥．当1n =，11a =成立，所以数列{}n a 的通项公式为21nn a =-．（2）由（1）可得(1)(1)2(1)nn n b n a n n =+=+-+， 所以122232(1)2(231)n n S n n =⨯+⨯+++⨯-++++．令122232(1)2n A n =⨯+⨯+++⨯，则231222322(1)2n n A n n +=⨯+⨯++⨯++⨯，两式相减得23114(222)(1)22n n n A n n ++-=++++-+⨯=-⨯，解得12n A n +=⨯，又由(3)2312n n n +++++=，故1(3)22n n n n S n ++=⨯-． 点评：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等． 19．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为平行四边形，3CA CD =，120BCD ∠=．（1）若ACBD O =，求证：1//B O 平面11AC D ；（2）若1CD =，13CC 1A C D C --的余弦值． 答案：（1）见解析；（25（1）连接11B D ，交11A C 于点1O ，可证得四边形11ODO B 为平行四边形，从而得到11//B O O D ，根据线面平行的判定定理可证得结论；（2）在ACD ∆中，由余弦定理可求得AD ，进而得到AC CD ⊥；由线面垂直的性质和判定定理可证得AC ⊥平面1CC D ；作1CE C D ⊥，可知AEC ∠即为所求二面角的平面角，由长度关系可求得结果. 解：（1）证明：如图所示，连接11B D ，交11A C 于点1O ，连接1O D ．111112B O B D =，12OD BD =，11//BD B D ，11//B O OD ∴， ∴四边形11ODO B 为平行四边形，11//B O O D ∴，1BO ⊄平面11AC D ，1O D ⊂平面11ACD ，1//BO ∴平面11AC D . （2）解：四边形ABCD 为平行四边形，3CA CD =，120BCD ∠=，60CDA ∴∠=，3AC =.设AD x =，由余弦定理得：22312cos601x x x x =+-=+-，解得：2x =，222CD AC AD ∴+=，AC CD ∴⊥，又1AA ⊥平面ABCD ，11//AA CC ，1CC ∴⊥平面ABCD ， 又AC ⊂平面ABCD ，1AC CC ∴⊥，1,CC CD ⊂平面1CC D ，1=CC CD C ，AC ∴⊥平面1CC D作1CE C D ⊥，垂足为E ，连接AE ，则1AE C D ⊥，AEC ∴∠为二面角1A C D C --的平面角.11133CD CC CE C D ⋅⨯===，2231534AE AC CE ∴=+=+=，352cos 15CE AEC AE ∴∠===，即二面角1A C D C --的余弦值为5.点评：本题考查立体几何中线面平行关系的证明、二面角的求解问题；求解二面角的关键是能够根据二面角平面角的定义，利用垂直关系得到二面角的平面角，进而放到直角三角形中来进行求解. 20．某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表： 维修次数 0 1 2 3 台数5102015以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X 表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数． （1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？ 答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）选择延保方案二较合算（Ⅰ）所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，分别求出对应的概率，列出分布列即可；（Ⅱ）求出两种方案下所需费用的分布列，然后分别求出对应的期望值，比较二者的大小即可选出最合算的方案． 解：解：（Ⅰ）所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，，，，，，，， ∴的分布列为0 1 2 3 4 5 6（Ⅱ）选择延保一，所需费用元的分布列为： 7000 9000 11000 13000 15000（元）.选择延保二，所需费用元的分布列为： 10000 11000 12000（元）.∵，∴该医院选择延保方案二较合算.点评：本题考查了离散型随机变量的分布列，考查了概率的计算，考查了期望的求法，属于中档题．21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，离心率为12，点P 为椭圆C 上一动点，且12PF F △3O 为坐标原点. (1)求椭圆C 的方程；(2)设点()11,M x y ，()22,N x y 为椭圆C 上的两个动点，当1212x x y y +为多少时，点O 到直线MN 的距离为定值.答案：（1）22143x y +=；（2）当1212x x y y +＝0时，点O 到直线MN 的距离为定值2217. （1）12PF F △的面积最大时，P 是短轴端点，由此可得3bc =222a b c =+可得,a b ，从而得椭圆方程；（2）在直线MN 斜率存在时，设其方程为y kx m =+，现椭圆方程联立消元（y ）后应用韦达定理得1212,x x x x +，注意>0∆，一是计算1212x x y y +，二是计算原点到直线MN 的距离，两者比较可得结论． 解：（1）因为P 在椭圆上，当P 是短轴端点时，P 到x 轴距离最大，此时12PF F ∆面积最大，所以122c b bc ⨯⨯==22212bc c a a b c⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 所以椭圆方程为22143x y +=．（2）在12x x ≠时，设直线MN 方程为y kx m =+，原点到此直线的距离为d =，即2221m d k =+， 由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84120k x kmx m +++-=，2222644(34)(412)0k m k m ∆=-+->，2243m k <+，所以122834km x x k +=-+，212241234m x x k-=+， 22121212121212()()(1)()x x y y x x kx m kx m k x x km x x m +=+++=++++22222222224128712(1)(1)343434m k m m k k m k k k--+=+⋅-+=+++， 所以当12120x x y y +=时，2212(1)7m k =+，2221217m d k ==+，d = 若12x x =，则12y y =-，221212110x x y y x y +=-=，2211x y =，2127x =，7d x ==， 综上所述，当1212x x y y +＝0时，点O 到直线MN的距离为定值7. 点评：本题考查求椭圆方程与椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力．解题方法是“设而不求”法．在直线与圆锥曲线相交时常用此法通过韦达定理联系已知式与待求式．22．已知函数f(x)＝x －lnx ，g(x)＝x 2－ax.（1）求函数f(x)在区间[t ，t ＋1](t ＞0)上的最小值m(t)；（2）令h(x)＝g(x)－f(x)，A(x 1，h(x 1))，B(x 2，h(x 2))(x 1≠x 2)是函数h(x)图像上任意两点，且满足1212()()h x h x x x --＞1，求实数a 的取值范围；（3）若∃x ∈(0,1]，使f(x)≥()a g x x-成立，求实数a 的最大值． 答案：（1）m(t)＝ln ,11,01t t t t -≥⎧⎨<<⎩（2）a ≤－2.（3）a ≤－2.（1）是研究在动区间上的最值问题，这类问题的研究方法就是通过讨论函数的极值点与所研究的区间的大小关系来进行求解．（2）注意到函数h(x)的图像上任意不同两点A ，B 连线的斜率总大于1，等价于h(x 1)－h(x 2)＜x 1－x 2(x 1＜x 2)恒成立，从而构造函数F(x)＝h(x)－x 在(0，＋∞)上单调递增，进而等价于F ′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立来加以研究．（3）用处理恒成立问题来处理有解问题，先分离变量转化为求对应函数的最值，得到a ≤22ln 1x x x x -+，再利用导数求函数M(x)＝22ln 1x x x x -+的最大值，这要用到二次求导，才可确定函数单调性，进而确定函数最值． 解：（1）f ′(x)＝1－1x，x ＞0， 令f ′(x)＝0，则x ＝1.当t ≥1时，f(x)在[t ，t ＋1]上单调递增，f(x)的最小值为f(t)＝t －lnt ；当0＜t ＜1时，f(x)在区间(t,1)上为减函数，在区间(1，t ＋1)上为增函数，f(x)的最小值为f(1)＝1.综上，m(t)＝ln ,11,01t t t t -≥⎧⎨<<⎩（2）h(x)＝x 2－(a ＋1)x ＋lnx ， 不妨取0＜x 1＜x 2，则x 1－x 2＜0，则由1212()()1h x h x x x ->-，可得h(x 1)－h(x 2)＜x 1－x 2， 变形得h(x 1)－x 1＜h(x 2)－x 2恒成立．令F(x)＝h(x)－x＝x2－(a＋2)x＋lnx，x＞0，则F(x)＝x2－(a＋2)x＋lnx在(0，＋∞)上单调递增，故F′(x)＝2x－(a＋2)＋1x≥0在(0，＋∞)上恒成立，所以2x＋1x≥a＋2在(0，＋∞)上恒成立．因为2x＋1x≥，当且仅当x＝2时取“＝”，所以a≤－2.（3）因为f(x)≥()a g xx-，所以a(x＋1)≤2x2－xlnx.因为x∈(0,1]，则x＋1∈(1,2]，所以∃x∈(0,1]，使得a≤22ln1x x xx-+成立．令M(x)＝22ln1x x xx-+，则M′(x)＝2223ln1(1)x x xx+--+.令y＝2x2＋3x－lnx－1，则由y′＝(1)(41)x xx+-＝0可得x＝14或x＝－1(舍)．当x∈1(0,)4时，y′＜0，则函数y＝2x2＋3x－lnx－1在14上单调递减；当x∈1(,)4+∞时，y′＞0，则函数y＝2x2＋3x－lnx－1在1(,)4+∞上单调递增．所以y≥ln4－18＞0，所以M′(x)＞0在x∈(0,1]时恒成立，所以M(x)在(0,1]上单调递增．所以只需a≤M(1)，即a≤1.所以实数a的最大值为1.点评：本题考查了函数与导数综合问题，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算能力，属于难题.。
2020年湖南省怀化市综合中学高三数学理期末试卷含解析
2020年湖南省怀化市综合中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知全集，则（）A．B．C． D．参考答案：B略2. 在△ABC中，E，F分别在边AB,AC上，D为BC的中点，满足，,则cos A = ( )A．0 B．C．D．参考答案：D略3. 已知R，条件p：“”，条件q：“”，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：【答案解析】A解析：由得，所以充分性满足，当a=b=1时，但条件不成立，所以必要性不满足，则选A.【思路点拨】判断充要条件时，应先明确条件和结论，由条件能推出结论，充分性满足，由结论能推出条件，则必要性满足..4. 不等式的解集是A．（一∞，-2)U(7,+co) B．[－2，7]C．D． [－7，2]参考答案：C由得，即，所以，选C.5. 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出v的值为（）A．4 B．5 C．6 D．7参考答案：C【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的v，i的值，当i=﹣1时不满足条件i≥0，退出循环，输出v的值为6．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=2，a0=1，a1=2，a2=3，v=3，i=1满足条件i≥0，执行循环体，v=5，i=0满足条件i≥0，执行循环体，v=6，i=﹣1不满足条件i≥0，退出循环，输出v的值为6．故选：C．6. 在△中，分别为角的对边，已知成等比数列，且，则（A）（B）（C）（D）参考答案：C略7. 已知函数在，点处取到极值，其中是坐标原点，在曲线上，则曲线的切线的斜率的最大值的最大值是A． B． C． D．参考答案：A略8. 已知双曲线方程为,F1,F2为双曲线的左、右焦点, P为渐近线上一点且在第一象限,且满足,若,则双曲线的离心率为（）A．B．2 C. D．3参考答案：B设为坐标原点,因为,故为直角三角形,又因为为中点,故,因为,所以,故为正三角形,所以直线的倾斜角为,即,.故选.9. 如图1，我们知道，圆环也可看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积.所以，圆环的面积等于是以线段为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长为长的矩形面积.请将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域绕y轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是A. B.C. D.参考答案：B略10. 若全集，，，则集合等于（）A． B． C． D．参考答案：D考点：集合的运算二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如果y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f（x+a）=f（﹣x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”．给出下列命题：①函数y=sinx具有“P（a）性质”；②若奇函数y=f（x）具有“P（2）性质”，且f（1）=1，则f具有“P（4）性质”，图象关于点（1，0）成中心对称，且在（﹣1，0）上单调递减，则y=f（x）在（﹣2，﹣1）上单调递减，在（1，2）上单调递增；④若不恒为零的函数y=f（x）同时具有“P（0）性质”和“P（3）性质”，函数y=f（x）是周期函数．其中正确的是（写出所有正确命题的编号）．参考答案：①③④【考点】抽象函数及其应用．【分析】根据新定义，得出f（x）的周期，结合函数奇偶性的性质即可判断．【解答】解：①∵sin（x+π）=﹣sin（x）=sin（﹣x），∴函数y=sinx具有“P（a）性质”；故①正确；②∵若奇函数y=f（x）具有“P（2）性质”，∴f（x+2）=f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=f（2﹣x）=﹣f（x﹣2），∴f（x+2）=f（x﹣2），∴f（x）是周期为4的函数，∴f=﹣f（1）=﹣1，故②不正确；③∵若函数y=f（x）具有“P（4）性质”，∴f（x+4）=f（﹣x），∴f（x+2）=f（2﹣x），∴f（x）关于x=2对称，∵图象关于点（1，0）成中心对称，∴f（2﹣x）=﹣f（x），即f（2+x）=﹣f（﹣x），又f（x+2）=f（2﹣x），∴f（x）=f（﹣x），∴f（x）为偶函数，∵图象关于点（1，0）成中心对称，且在（﹣1，0）上单调递减，∴图象也关于点（﹣1，0）成中心对称，且在（﹣2，﹣1）上单调递减，根据偶函数的对称得出：在（1，2）上单调递增；故③正确；④∵f（x）具有“P（0）性质”和“P（3）性质”，∴f（x）=f（﹣x），f（x+3）=f（﹣x）=f（x），∴f（x）为偶函数，且周期为3，故④正确．故答案为：①③④．12. 已知等差数列中，，，那么= ___________.参考答案：3013. 已知，对任意正数，始终可以是一个三角形的三条边，则实数m 的取值范围为．参考答案：14. 给出下列几个命题：①若函数的定义域为，则一定是偶函数；②若函数是定义域为的奇函数，对于任意的都有，则函数的图象关于直线对称；③已知是函数定义域内的两个值，当时，，则是减函数；④设函数的最大值和最小值分别为和，则；⑤若是定义域为的奇函数，且也为奇函数，则是以4为周期的周期函数．其中正确的命题序号是．（写出所有正确命题的序号）参考答案：①④⑤略15. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为____；参考答案：2由于双曲线的一条渐近线为，故.所以双曲线离心率.16. 随机地向半圆（为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与轴的夹角小于的概率为 .参考答案：【知识点】几何概型．解：由已知得半圆（a＞0）则半圆的面积S=其中原点与该点的连线与x轴夹角小于的平面区域面积为：S1=故原点与该点的连线与x轴夹角小于的概率P===故答案为：【思路点拨】根据已知条件，分别求出题目中半圆的面积，再求出满足条件原点与该点的连线与x轴夹角小于的事件对应的平面区域的面积，然后代入几何概型，即可得到答案．【典型总结】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．17. （4分）（2015?杨浦区二模）已知是不平行的向量，设，则与共线的充要条件是实数k 等于．参考答案：±1【考点】：平行向量与共线向量；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：平面向量及应用．【分析】：利用向量共线定理、共面向量基本定理即可得出．解：与共线的充要条件是存在实数λ使得，∴=λ=+，∵是不平行的向量，∴，解得k=±1．故答案为：±1．【点评】：本题考查了向量共线定理、共面向量基本定理，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020届湖南省怀化市高三3月第一次模拟考试数学(理)试题(含答案)
利用分层抽样的方法选 40 人，则 镇应选取 所以这 40 人中有 16 人来自 镇 因为 所以三镇基层干部平均每人走访贫困户 28.5 户
（人）， ，
（2）由直方图得，从三镇的所有基层干部中随机选出 1 人，其工作出色的概率为
显然 可取 0，1，2，3，且
，则
，
，
， 所以 的分布列为
0
1
2
3
所以数学期望
【答案】B
【详解】
设
，由于点 为切点，则
C．
D．
，
又点 的切线相同，则
，即
，即
又 ， ，∴ 则
，于是， ，所以 在
，设 单调递增，在
， ，
单调递减， 的
最大值为
，故选 B.
二、填空题
13．设等比数列 的前 项的和为 ，且满足
，
【答案】32
，则 _______．
14．已知实数 满足 【答案】4
，则目标函数
， ， 分别为 轴、 轴、 轴正方向，建立坐标系
如图.
设底面边长为 ，则高
.
则
，
，
又 平面 ，
则平面 的一个法向量 平面 的一个法向量
， ，
则
，
又二面角
为锐角，则二面角
为；
（3）在棱 上存在一点 使 平面 .由（2）知 是平面 的一个法向量，
且
，
设
，
则
又 平面 ，所以
，
则. 即当
时，
而 不在平面 内，故 平面 .
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20．设椭圆 值为 3.
D． ，
【答案】A
4．两正数 的等差中项为 ，等比中项为 ，且 为（ ）
2020届 湖南省怀化市麻阳一中 高三下学期3月第七次月考数学(文)试题(解析版)
2020届湖南省怀化市麻阳一中高三下学期3月第七次月考数学（文）试题一、单选题1．已知集合A ＝{x |2x +1＞﹣3}，B ＝{x |2x ＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣∞，﹣2） B ．∅C ．（﹣2，1）D ．（1，+∞）【答案】C【解析】解不等式求得集合,A B ，由此求得A B I . 【详解】∵A ＝{x |x ＞﹣2}，B ＝{x |x ＜1}， ∴A ∩B ＝（﹣2，1）． 故选：C ． 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2．设z ＝i （i ﹣3），则|z |＝（ ）A B ．3C ．D【答案】A【解析】利用复数乘法运算求得z ，再求z 的模. 【详解】∵z ＝i （i ﹣3）＝﹣1﹣3i ，∴|z |== 故选：A ． 【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数模的求法，属于基础题.3．已知向量a =r1），b =r（2，，则向量a r，b r的夹角为（ ） A ．2πB ．3π C ．4π D ．6π 【答案】D【解析】利用向量夹角公式求得两个向量夹角的余弦值，由此求得两个向量的夹角. 【详解】a b cos a b a b⋅===r r r r r r ＜，＞0a b π≤≤r r ＜，＞，∴a b rr，的夹角为6π． 故选：D ． 【点睛】本小题主要考查向量夹角的坐标运算，属于基础题. 4．曲线y ＝sin x 在点（0，0）处的切线方程为（ ） A ．y ＝2x B ．y ＝xC ．y ＝﹣2xD ．y ＝﹣x【答案】B【解析】求得sin y x =的导函数，由此求得切线的斜率，进而求得切线方程. 【详解】由y ＝sin x ，得y ′＝cos x ，可得切线的斜率k ＝cos0＝1， ∴曲线y ＝sin x 在点（0，0）处的切线方程为y ＝x ． 故选：B ． 【点睛】本小题主要考查在曲线上某点切线方程的求法，属于基础题. 5．已知8log 7a =，3log 2b =，0.1c π=，则（ ） A ．a b c << B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】C【解析】根据89log 7log 7>，将39log 2log 4b ==，利用对数函数的单调性，可得,a b 大小关系，然后借助中间值1，以及指数函数的单调性，可得结果. 【详解】由对数函数比较底数大小口诀：在第一象限，图像越靠近y 轴，则底数越小 所以可知89log 7log 7a =>， 而39log 2log 4b ==又9log y x =在定义域单调递增，所以99log 7log 4> 且99991log 9log 7log 4log 10=>>>= 所以01b a <<<由x y π=在R 上单调递增，所以0.101ππ>= 所以1c >，故c a b >> 故选：C 【点睛】本题考查指数式、对数式比较大小，关键在于比较,a b 大小，熟练对数函数底数的比较，学会总结，可简便计算，同时也会借助中间值比较大小，比如：0，1，属中档题. 6．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法从中抽取56人做问卷调查，将840人按1，2，3，L ，840随机编号，若442号职工被抽到，则下列4名职工中未被抽到的是（ ） A ．487号职工 B ．307号职工C ．607号职工D ．520号职工【答案】D【解析】利用系统抽样的概念，可得抽样距为15，根据每组抽出号码成等差数列，结合442号在第30组，可知第一组抽出的号码，进一步得到等差数列的通项公式，简单判断，可得结果. 【详解】由题可知：抽样距为8401556=， 设第一组抽出的号码为1a ，由前29组共有435项，前30组有450项 所以可知442号落在第30组又因为每组抽出号码成等差数列{}n a ，公差为15 所以()11301154427a a +-⨯=⇒= 所以()7151158n a n n =+-=- 当520n a =时，则52815852015n n -=⇒=又n *∈N ，所以520号职工不是被抽到的员工 故选：D 【点睛】本题考查系统抽样，还考查等差数列通项公式，难点在于求出1a ，属基础题. 7．已知函数()()111+-+=+x x x e x e g x ，则下列说法错误的是（ ）A ．()g x 的定义域是RB ．()g x 是偶函数C ．()g x 在()0,∞+单调递减D ．()g x 的最小值为1【答案】C 【解析】由()()111+-+=+x x x e x e g x 分别判断函数的定义域，奇偶性，利用导数判断函数的单调性与最值，可得答案. 【详解】 解：易得()()111+-+=+x x x e x e g x 定义域是R ，故A 正确； 由()()()111(1)11x x xxg x e x x x e x g e ex ---+++-+++===++-，故()g x 是偶函数，故B正确；当0x ≥时，()()222101+-'=≥+x x xxe e g x e，所以()g x 在()0,∞+单调递增, 故C 不正确；由()g x 是偶函数，且0x ≥时()g x 单调递增，可得()g x 的最小值为()()min 01g x g ==，故D 正确；故选：C. 【点睛】本题主要考查函数的定义域、奇偶性、单调性、最值等知识，熟悉函数的相关知识并利用导数求解是解题的关键.8．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，60,3==o A b c ，角A 的平分线交BC 于点D，且BD =cos ADB ∠的值为（ ）A． BCD． 【答案】B【解析】由题意，60A =o ，角A 的角平分线交BC 于点D ，可得3CD bBD c==，由BD ==CD==a CB ，在ABC ∆,由余弦定理可得4c =，在ABD ∆中，由正弦定理可知：sin sin =∠∠BD cBAD ADB，可得sin ∠=ADB ，判断出ADB ∠为锐角，可得答案. 【详解】解法1：因为60A =o ，角A 的角平分线交BC 于点D ，所以30∠=∠=o CAD BAD ，又3b c =，所以1sin2631sin 26∆∆⋅⋅====⋅CADDABπb AD S CD b πBD S c AD c ， 因为7BD =37=CD 47==a CB 因为2222cos a b c bc A =+-，所以2211679232⨯=+-⋅⋅⋅c c c c ，解得4c =， 在ABD ∆中，由正弦定理可知：sin sin =∠∠BD cBAD ADB74sin 2=∠ADB ，所以sin 7∠=ADB ， 因为3=>b c c ，所以B C >，因为30,30∠=+∠=+o o ADB C ADC B ， 所以∠<∠ADB ADC ，所以ADB ∠为锐角， 所以321cos 77∠==ADB . 法2：因为60A =o ，角A 的角平分线交BC 于点D ，所以30∠=∠=o CAD BAD ，又3b c =，所以1sin2631sin 26∆∆⋅⋅====⋅CADDABπb AD S CD b πBD S c AD c ， 因为7BD =37=CD 47==a CB因为2222cos a b c bc A =+-，所以2211679232⨯=+-⋅⋅⋅c c c c ，解得4c =，由余弦定理可得：222cos 2+-∠=⋅AD c BD BAD AD c ，即2316728+-=AD AD，所以24390-+=AD AD ，所以()()3330--=AD AD .所以33AD =或3AD =，因为3=>b c c ，所以B C >又120+=o B C ，所以60>>∠o B BAD ， 所以7>=AD BD ，所以33AD =，所以22221cos 272337+-∠===⋅⨯⨯DA DB AB ADB DA DB . 故选：B 【点睛】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查学生的综合计算能力，熟练掌握正弦定理、余弦定理并灵活运用是解题的关键.9．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖脐．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，2AD =，1ED =，若鳖牖P ADE -的体积为l ，则阳马P ABCD -的外接球的表面积等于（ ）．A ．17πB ．18πC ．19πD ．20π【答案】A【解析】先根据鳖牖P ADE -的体积为l ，求得3PA =，再根据阳马P ABCD -的外接球的直径是以,,AD AB AP 为宽，长，高的长方体的体对角线可求得求得直径，从而求得表面积． 【详解】由题意，因为PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，2AD =，1ED =， 又由鳖牖P ADE -的体积为1，所以111211332p AED AED V PA S PA -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=V ， 解得3PA =，而阳马P ABCD -的外接球的直径是以,,AD AB AP 为宽，长，高的长方体的体对角线，所以2222244917R AD AB AP =++=++=（），即2417R =，球的表面积为2417R ππ=． 故选A ．【点睛】本题主要考查了多面体与球的组合体的性质，以及球的体积与表面公式计算，其中解答中得出阳马P ABCD -的外接球的直径是以,,AD AB AP 为宽，长，高的长方体的体对角线是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．10．某校早上6：30开始跑操，假设该校学生小张与小王在早上6：00~6：30之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张与小王至少相差5分钟到校的概率为（ ）A ．2536 B ．1136 C ．2530D ．530【答案】A【解析】设小张与小王的到校时间分别为6：00后第x 分钟，第y 分钟，由题意可画出图形，利用几何概型中面积比即可求解. 【详解】设小张与小王的到校时间分别为6：00后第x 分钟，第y 分钟，(),x y 可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为(){},030,030x y x y Ω=≤≤≤≤是一个正方形区域，对应的面积3030900S =⨯=，则小张与小王至少相差5分钟到校事件(){},5A x y x y =-≥(如阴影部分)则符合题意的区域2525625A S =⨯=，由几何概型可知小张与小王至少相差5分钟到校的概率为6252590036P ==. 故选：A 【点睛】本题考查了几何概率模型，解题的关键是画出满足条件的区域，属于基础题. 11．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于,A B 两点，12,AB P =为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为（ ）A ．18B ．24C ．36D ．48【答案】C【解析】解：设抛物线的解析式为y2=2px （p ＞0）， 则焦点为F （2p ，0），对称轴为x 轴，准线为x=-2p∵直线l 经过抛物线的焦点，A 、B 是l 与C 的交点， 又∵AB ⊥x 轴 ∴|AB|=2p=12 ∴p=6又∵点P 在准线上∴DP=（2p +|-2p|）=p=6 ∴S △ABP=12（DP •AB ）=12×6×12=36 故选C ．12．已知20192018,(),x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数m ，使函数()y f x m =-有两个零点，则a 的取值范围( )A ．(1,)+∞B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞C ．(0,1)(1,)⋃+∞D ．(,0)-∞【答案】B【解析】由()y f x m =-有两个零点可得()f x m =有两个零点，即()y f x =与y m =的图像有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图像可得a 的取值范围. 【详解】解：由()y f x m =-有两个零点，可得()f x m =有两个零点，即()y f x =与y m =的图像有两个交点，由20182019x x =，可得0x =或1x =，① 当1a ＞时，函数()f x 的图像如图所示，此时存在m ，满足题意，故1a ＞满足题意；② 当1a =时，函数()f x 单调递增，故不符合题意； ③ 当01a ＜＜时，函数()f x 单调递增，故不符合题意；④ 当0a =时，函数()f x 单调递增，故不符合题意；⑤ 当0a ＜时，函数()f x 的图像如图所示，此时存在m ，满足题意，故0a ＜满足题意；综上可得，0a ＜或1a ＞， 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的零点与方程跟的关系，考查了分段函数的相关知识，注意分类讨论思想与数形结合思想的运用，属于中档题.二、填空题13．若x ，y 满足2103230210x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则z ＝4x +3y 的最小值是_____．【答案】12【解析】画出可行域，平移直线4133y x z =-+到可行域边界点11,42A ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，目标函数取得最小值12. 【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z ＝4x +3y 得y 43=-x 13+z ，平移直线y 43=-x 13+z ，由图象可知当直线43=-x 13+z 经过点A 时，直线43=-x 13+z 的截距最小，此时z 最小．由210210y x y -=⎧⎨-+=⎩，解得1214y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即A （14-，12），代入目标函数z ＝4x +3y 得z 12=． 即目标函数z ＝4x +3y 的最小值为12． 故答案为：12【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.14．已知甲、乙、丙三人恰好都去过北京、上海中的某一个城市，三人分别给出了以下说法：甲说：我去过北京，乙去过上海，丙去过北京；乙说：我去过上海，甲说的不完全对；丙说：我去过北京，乙说的对．若甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对，则去过北京的是_____． 【答案】丙【解析】若甲说得不对，则乙、丙说得对，若乙或丙说得不对，则得出与”甲、乙、丙三人中恰有1人说得不对“矛盾，从而得到去过北京的是丙． 【详解】若甲说得不对，则乙、丙说得对，即乙一定去过上海，丙一定去过北京，甲只去过上海， 若乙或丙说得不对，则得出与”甲、乙、丙三人中恰有1人说得不对“矛盾， 故去过北京的是丙． 故答案为：丙． 【点睛】本小题主要考查简单的合情推理，属于基础题.15．在等比数列{}n a 中，182n a a +=，3281n a a -=，且前n 项和121n S =，则此数列的项数n 等于_____． 【答案】5【解析】由题意，易得1a 和n a 是方程282810x x -+=的两根，求解方程得到两根，分数列递增和数列递减可得1a ，n a ，再由121n S =得q ，进一步可得n 值. 【详解】由等比数列的性质可得，13281n n a a a a -==，又182n a a +=，1a ∴和n a 是方程282810x x -+=的两根，解方程可得1x =或81x =，若等比数列{}n a 递增，则11a =，81n a =，121n S =Q ，118112111n a a q qq q--∴==--解得3q =，18113n -∴=⨯，解得5n = 若等比数列{}n a 递减，则181a =，1n a =，121n S =Q ，18112111n a a q qq q--∴==--解得13q =，111813n -⎛⎫∴=⨯ ⎪⎝⎭，解得5n =综上，数列的项数5n = 故答案为：5 【点睛】本题考查等比数列通项公式和前n 项和公式的计算，考查计算能力，属于基础题. 16．已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为__________． 【答案】【解析】不等式即：恒成立，作出函数的图象，则正比例函数恒在函数的图象下方，考查函数：经过坐标原点的切线，易求得切线的斜率为，由此可得：实数的取值范围为，故答案为．三、解答题17．在ABC ∆中，内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，且cos cos 2b A a B c -=. （1）证明： tan 3tan B A =-；（2）若2223b c a bc +=+，且ABC ∆3，求a . 【答案】（1）见解析（2）2【解析】试题分析：（1）由cos cos 2b A a B c -=，根据正弦定理可得sin cos cos sin B A B A - ()2sin 2sin C A B ==+，利用两角和的正弦公式展开化简后可得sin cos 3cos sin B A B A =-，所以， tan 3tan B A =-；（2）由2223b c a bc +=+，根据余弦定理可得3cos A =1）的结论可得三角形为等腰三角形，于是可得a c =，由12sin23S ac π=21332==2a =. 试题解析：（1）根据正弦定理，由已知得： sin cos cos sin B A B A - ()2sin 2sin C A B ==+， 展开得： sin cos cos sin B A B A - ()2sin cos cos sin B A B A =+， 整理得： sin cos 3cos sin B A B A =-，所以， tan 3tan B A =-.（2）由已知得： 2223b c a bc +-=，∴222cos 2b c a A bc+-= 33bc ==由0A π<<，得： 6A π=， tan A =tan B = 由0B π<<，得： 23B π=，所以6C π=， a c =，由12sin23S ac π=212== 2a =. 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a >，2*2,n n n S a a n N =+∈.（1）求n a ； （2）若1n nb S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T . 【答案】（1）,*=∈n a n n N （2）1211n T n ⎛⎫=-⎪+⎝⎭【解析】（1）由2*2,n n n S a a n N =+∈，利用当2n ≥时，1n n n a S S -=-进行化简，可得11,2--=≥n n a a n ，可得n a 的表达式； （2）由（1）得()1,2*+=∈n n n S n N ，可得()1211211⎛⎫===- ⎪++⎝⎭n nb S n n n n ，由裂项相消法可得n T 的值. 【详解】解：（1）由21112S a a =+得，21112a a a =+，解得10a =（舍去），或11a =， ∴11a =，∵2*2,n n n S a a n N =+∈，∴21112,2---=+≥n n n S a a n ，两式相减得，()22*1112,----=-+-∈n n n n n n S S a a a a n N22112,*--=-+-∈n n n n n a a a a a n N ()()()2211110,10,2------+=+--=≥n n n n n n n n a a a a a a a a n ，∵10n n a a ->+，∴11,2--=≥n n a a n ， ∴{}n a 为等差数列，公差为1，11a =.∴,*=∈n a n n N .（2）由（1）得()1,2*+=∈n n n S n N ∴()1211211⎛⎫===- ⎪++⎝⎭n n b S n n n n ， ∴111111212122311⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦n T n n n . 【点睛】本题主要考查由递推式求数列的通项公式及裂项相消法求数列的和，考查学生的计算能力，属于基础题.19．如图，四边形ABCD 是矩形，平面MCD ⊥平面ABCD ，且4,42MC MD CD BC ====，N 为BC 中点.（1）求证：AN MN ⊥； （2）求三棱锥C MAN -的体积. 【答案】（1）见解析（286【解析】（1）取CD 的中点O ，连接,,OA OM ON ，证明MO ⊥平面ABCD ， 再利用勾股定理证明AN MN ⊥；（2）利用等积法得13C MAN M NAC NAC V V S MO --==⨯△，通过计算即可得到答案. 【详解】（1）取CD 的中点O ，连接,,OA OM ON ，Q MC MD =，O 为CD 中点，∴MO CD ⊥，又Q 平面MCD ⊥平面ABCD ，MO ⊂平面MCD ，∴MO ⊥平面ABCD ，则23,23,6MO ON ===，22224MN MO ON =+=，22224AN BN AB =+=，22248AM MO OA =+=，∴222MN AN AM +=，∴AN MN ⊥.（2）连接AC ，NAC △的面积为：114224222NAC S AB NC =⨯⨯=⨯⨯△∴三棱锥C MAN -的体积为：1186422333C MAN M NAC NAC V V S MO --==⨯=⨯△【点睛】本题考查线面垂直判定定理和勾股定理的应用，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意三棱锥的等体积法的应用.20．为了研究每周累计户外暴露时间是否足够（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学一年级100名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：近视 不近视 足够的户外暴露时间 20 35 不足够的户外暴露时间 3015（1）用样本估计总体思想估计该中学一年级学生的近视率；（2）能否认为在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．()20P K k ≥ 0.050 0.010 0.0010k3.841 6.635 10.828【答案】（1）12（2）在犯错误的概率不超过0.01的前提下，能认为不足够的户外暴露时间与近视有关系．【解析】（1）根据题意，用样本中近视的学生人数除以样本容量，得到近视率；（2）根据独立性检验的方法，计算2K ，将2K 观测值与6.635比较，运用独立性检验的相关知识给出结论即可. 【详解】（1）从表格中可知，100名学生中，近视的学生有203050+＝名， 所以可估计该中学一年级学生的近视率为5011002=； （2）22100(20153530)9.09 6.63555455050K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，能认为不足够的户外暴露时间与近视有关系． 【点睛】本题考查（1）用样本估计总体（2）独立性检验，考查计算能力，考查数据分析能力，属于基础题.21．已知定点(0,1),(0,1)A B -，动点P 与A 、B 两点连线的斜率之积为12-. （1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）已知点M 是轨迹C 上的动点，点N 在直线2y =上，且满足0OM ON ⋅=u u u u r u u u r（其中O 为坐标原点），求OMN ∆面积的最小值.【答案】（1）221(0)2x y x +=≠（2【解析】（1）设点(,)P x y ，则0x ≠，且1112y y x x -+⋅=-，化简即可得出答案； （2）由题意OM ON ⊥，当点M 在椭圆的左右顶点位置时，易求出面积；当点M 不在椭圆的左右顶点位置时，设直线OM 的斜率k ，联立直线与椭圆的方程可求得||OM =同理可求得||ON =再利用换元法即可求出面积的最值． 【详解】解：（1）设点(,)P x y ，则0x ≠，且11,PA PB y y k k x x-+==， 所以1112y y x x -+⋅=-， 化简得2212x y +=，故点P 的轨迹C 的方程为221(0)2x y x +=≠；（2）因为0OM ON ⋅=u u u u r u u u r，所以OM ON ⊥，当点M 在椭圆221(0)2x y x +=≠的左右顶点位置时，122OMN S ∆==当点M 不在椭圆221(0)2x y x +=≠的左右顶点位置时，直线OM 的斜率存在且不为0，设为k ，则OM 的方程为y kx =，22,1,2y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得222222,122,12x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩所以||OM =， 此时ON 的方程为1=-y x k，所以(2,2),||N k ON -=，1||||2OMNS OM ON ∆===，令212t k =+，则1t >，且212t k-=，所以，OMNS ∆==>综上可知，OMN ∆． 【点睛】本题主要考查曲线的轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于难题． 22．设函数()1xf x ax nx=-． （1）若函数()f x 在(1,)+∞上为减函数，求实数a 的最小值；（2）若存在212,,x x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使()()12f x f x a '≤+成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）最小值为14．（2）211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）根据题意，确定函数定义域，然后求导，若函数()f x 在(1,)+∞上为减函数，则211()0(1)nx f x a nx -'=-+≤在(1,)+∞上恒成立，转化不等式为2211111(1)1124a nx nx nx ⎛⎫-≤-=-- ⎪⎝⎭，令2111()1nx 24g x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，求解()g x 的最小值，则min ()a g x -≤，即可求解参数最值.（2）问题等价于当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有()()min max f x f x a '≤+，通过讨论a 的范围，得到函数的单调区间，从而求出a 的具体范围即可. 【详解】（1）由已知得()f x 的定义域(0,1)(1,)⋃+∞， ∵()f x 在(1,)+∞上为减函数， ∴211()0(1)nx f x a nx -'=-+≤在(1,)+∞上恒成立， 2211111(1)1124a nx nx nx ⎛⎫-≤-=-- ⎪⎝⎭， 令2111()1nx 24g x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故当111nx 2=，即2x e =时，()g x 的最小值为14-，∴14a -≤-，即14a ≥∴a 的最小值为14．（2）命题“若存在212,,x x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使()()12f x f x a '≤+成立”， 等价于“当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有min max ()'()f x f x a ≤+”， 由（1）知，当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，ln [1,2]x ∈，11,1ln 2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 22ln 1111()(ln )ln 24x f x a a x x -⎛⎫'=-+=--+- ⎪⎝⎭， max 1()4f x a '∴+=， 问题等价于：“当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有min 1()4f x ≤”， ①当14a -≤-，即14a ≥时，由（1），()f x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为减函数， 则()222min 2211111(),,244224e f x f eae a a e e==-+≤∴-≤-∴≥-．②当104a -<-<，即104a <<时，21,,ln ,12x e e x ⎡⎤⎡⎤∈∴∈⎣⎦⎢⎥⎣⎦Q ， ∵211()(1)nx f x a nx -'=-+，由复合函数的单调性知()f x '在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为增函数，∴存在唯()20,x e e-∈，使()00f x '=且满足：()0min 000()ln x f x f x ax x ==-+， 要使min00111111(),44ln 424f x a x x ≤∴-≤-<-=-， 与104a -<-<矛盾，∴104a -<-<不合题意． 综上，实数a 的取值范围为211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查（1）函数恒成立问题（2）利用导数研究函数恒成立与能成立的问题，考查转化与化归思想，考查分类讨论思想，考查计算能力，综合性较强，属于难题.。
湖南省怀化市麻阳苗族自治县第一中学2019-2020学年高三数学理下学期期末试题含解析
湖南省怀化市麻阳苗族自治县第一中学2019-2020学年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数①，②，则下列结论正确的是（）A.两个函数的图像均关于点成中心对称B. ①的图像的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移个单位即得②的图像C.两个函数在区间上都是单调递增函数D.两个函数的最小正周期相同参考答案：C略2. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S10=55，则a3+a8=（）A．5 B． C．10 D．11参考答案：D【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列前n项和公式得到S10=5（a3+a8），由此能求出a3+a8的值．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S10=55，∴S10===5（a3+a8）=55，解得a3+a8=11．故选：D．3. 若是平面内夹角为的两个单位向量，则向量的夹角为（）A． B． C． D．参考答案：D，，，，所以的夹角的余弦值为，所以，选D.4. 四面体中，三组对棱的长分别相等，依次为5，4，，则的取值范围是A．B．C．D．参考答案：C5. 在锐角中，角所对的边长分别为.若（）A．B．C．D．参考答案：A6. 下列关于函数的命题正确的是（）(A) 函数在区间上单调递增(B) 函数的对称轴方程是（）(C) 函数的对称中心是（）（）(D) 函数以由函数向右平移个单位得到参考答案：B略7. 已知曲线在点处的切线方程为，则（）A. B.C. D.参考答案：D【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．【详解】详解：，将代入得，故选D．【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系。
8. 已知关于的不等式有解，函数为减函数，则成立是成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B9. 已知点,若点在函数的图象上，则使得的面积为2的点的个数为( )A. 4B. 3C. 2D. 1参考答案：A10. 已知不等式的解集为，点在直线上，其中，则的最小值为（）(A) (B)8 (C)9 (D) 12参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 抛物线y=ax2的焦点为F(0，1)，P为该抛物线上的动点，则a= ；线段FP中点M的轨迹方程为参考答案：；．12. 某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：下图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填，输出的= .参考答案：,13. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 . 参考答案：[-1，3]14. 若函数y=f(x) (x∈R)满足：f(x+2)=f(x)，且x∈[–1, 1]时，f(x) = | x |，函数y=g(x)是定义在R上的奇函数，且x∈(0, +∞)时，g(x) = log 3 x，则函数y=f(x)的图像与函数y=g(x)的图像的交点个数为_______．参考答案：4略15. 下表给出一个“直角三角形数阵”参考答案：16. 在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则= ．参考答案：10【考点】向量在几何中的应用．【分析】建立坐标系，利用坐标法，确定A，B，D，P的坐标，求出相应的距离，即可得到结论．【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，设|CA|=a，|CB|=b，则A（a，0），B （0，b）∵点D是斜边AB的中点，∴，∵点P为线段CD的中点，∴P∴===∴|PA|2+|PB|2==10（）=10|PC|2∴=10．故答案为：1017. 从1到10这十个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另两数之和的概率是 .参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020年湖南省怀化市高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)
2020年湖南省怀化市高考数学一模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A=｛x｜y=log2(x−1)｝，B=｛y｜y=√2−x｝，则A∩B=()A. (0,2］B. (1,2)C. (1,+∞)D. (1,2］2.i虚数单位，复数z=2i+1在复平面内对应的点的坐标为()A. (−1,1)B. (1,1)C. (1,−1)D. (−1,−1)3.向量a⃗，b⃗ 均为单位向量，其夹角为θ，则命题“p：|a⃗−b⃗ |>1”是命题q：θ∈[π2,5π6)的()条件()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 非充分非必要条件4.如图，若n=4，则输出的结果为()A. 37B. 67C. 49D. 5115.若x,y满足{x+y≥0,x≥1,x−y≥0,则下列不等式恒成立的是()A. y≥1B. x≥2C. x+2y+2≥0D. 2x−y+1≥06.下列四个命题中①设有一个回归方程y=2−3x，变量x增加一个单位时，y平均增加3个单位;②命题p:“∃x0∈R,x02−x0−1>0”的否定¬p:“∀x∈R,x2−x−1≤0”;③设随机变量X 服从正态分布N (0,1)，若P (X >1)=p ，则P (−1<X <0)=12−p; ④在一个2×2列联表中，由计算得K 2=6.679，则有99%的把握确认这两个变量间有关系． 其中正确的命题的个数有( ) 附：本题可以参考独立性检验临界值表A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7. 若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3=14，a 1=2，则a 4=( )A. 16B. 16或−16C. −54D. 16或−548. 把函数y =sin(x +π6)图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得图象的一个对称中心为( )A. (π3,0)B. (π4,0)C. (π12,0)D. (0,0)9. 已知a >0且a ≠1，则函数f(x)=(x −a)2ln x( )A. 有极大值，无极小值B. 有极小值，无极大值C. 既有极大值，又有极小值D. 既无极大值，又无极小值10. 已知圆C ：x 2+y 2=1和两点A (−m,2)，B (m,2)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则m 的最大值与最小值之差为( )A. 1B. 2C. 3D. 411. 2018年全国两会在北京召开，会议期间，欲将甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛这八名工作人员平均分配到两个不同的地点参与接待工作，若要求甲、乙不在同一组，丙、丁在同一组，则不同的分配方法有( )A. 10种B. 12种C. 14种D. 16种12. 已知四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，∠BAD =60°，沿对角线BD 将△ABD 折起使 A 位于新位置A′，且A′C =√3，则三棱锥A′−BCD 的外接球的表面积为( )A.52π9B.50π9C. 6πD. 25π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 高一(10)班有男生36人，女生12人，若用分层抽样的方法从该班的全体同学中抽取一个容量为8的样本，则抽取男生的人数为______人．14.若等差数列{a n}的前n项和为S n，a8=2a3，则S15S5的值是______ ．15.已知P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，F1和F2是其左、右焦点，直线PF2⊥x轴，交椭圆于另一点Q，若△F1PQ为等边三角形，则椭圆的离心率为______．16.函数f(x)=xx2+2013x+4(x>0)的最大值为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3(sin2B+sin2C−sin2A)=2√3sinBsinC．(1)求tan A；(2)若△ABC的面积为√6+√2，求a的最小值．18.如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，M为棱SB上的点，SA=AB=√3，BC=2，AD=1．(1)若M为棱SB的中点，求证：AM//平面SCD;(2)当SM=MB，DN=3NC时，求平面AMN与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．19. 已知抛物线E ：x 2=2py(p >0)，其焦点为F ，过F 且斜率为1的直线被抛物线截得的弦长为8．(1)求抛物线E 的方程；(2)设A 为E 上一动点(异于原点)，E 在点A 处的切线交x 轴于点P ，原点O 关于直线PF 的对称点为点B ，直线AB 与y 轴交于点C ，求△OBC 面积的最大值．20. 经调查统计，网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A ，B ，C 三种商品有购买意向．该淘宝小店推出买一种送5元优惠券的活动．已知某网民购买A ，B ，C 商品的概率分别为23，p 1，p 2(p 1<p 2)，至少购买一种的概率为2324，最多购买两种的概率为34.假设该网民是否购买这三种商品相互独立．(1)求该网民分别购买B ，C 两种商品的概率；(2)用随机变量X 表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，求X 的分布列和数学期望．21. 已知函数f(x)=(x −2)e x ．(1)求函数f(x)的最小值；(2)若∀x ∈(12,1)，都有x −lnx +a >f(x)，求证a >−4．22. 在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数).在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ的焦点F 的极坐标为(1,π2)． (Ⅰ)求常数λ的值；(Ⅱ)设l 与C 交于A 、B 两点，且|AF|=3|FB|，求α的大小．23.已知f(x)=|x−3|−2，g(x)=4−|x+1|．(1)若f(x)≥g(x)，求x的取值范围；(2)若不等式f(x)−g(x)≥a2−3a的解集为，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查了集合的交集运算，属于基础题．解：由题意可知，集合A =｛x ｜y =log 2(x −1)｝={x|x >1}， B =｛y ｜y =√2−x ｝={y|y ≥0}， ∴A ∩B ={x|x >1}， 故选C ．2.答案：C解析：解：∵z =2i+1=2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i ，∴复数z =2i+1在复平面内对应的点的坐标为(1,−1)． 故选：C ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：B解析：解：若|a ⃗ −b ⃗ |>1，则平方得：a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=2−2a ⃗ ⋅b ⃗ >1，即a ⃗ ⋅b ⃗ <12，则cosθ=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b ⃗ |=a ⃗ ⋅b ⃗ <12，∴θ∈(π3,π]，即p ：θ∈(π3,π]，∵命题q ：θ∈[π2,5π6)，∴p 是q 的必要不充分条件， 故选：B根据向量数量积的运算公式，以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量数量积的应用求出向量夹角是解决本题的关键．4.答案：C解析：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 解：输入n =4，k =1，S =0， S =11×3，k =1<4，k =2； S =11×3+13×5，k =2<4，k =3； S =11×3+13×5+15×7，k =3<4，k =4；S =11×3+13×5+15×7+17×9，k =4， 输出S =12(1−19)=49， 故选C ．5.答案：D解析：由约束条件作出可行域，作出四个选项中不等式所对应的直线，由图可得答案． 解：由约束条件{x +y ≥0x ≥1x −y ≥0作出可行域如图，由图可知，对可行域内的点不等式恒成立的是2x−y+1=0．故选D.6.答案：C解析：本题考查回归方程、命题的否定，考查正态分布、独立性检验知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．解题时对选项逐个进行判断，即可得出结论．解：①设有一个回归方程y=2−3x，变量x增加一个单位时，y平均减少3个单位，故①不正确；②命题P：“∃x0∈R，x02−x0−1>0“的否定￢P：“∀x∈R，x2−x−1≤0”，故②正确；−p，③设随机变量X服从正态分布N(0,1)，则对称轴为x=0，∵P(X>1)=p，∴P(−l<X<0)=12故③正确；④在一个2×2列联表中，由计算得K2=6.679>6.535，∴有99%的把握确认这两个变量间有关系，故④正确．即正确的命题的个数为3个．故选C．7.答案：D解析：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和的定义，属于基础题．利用等比数列的通项公式及其前n项和的定义即可得出．解：设等比数列{a n}的公比为q，∵S3=14，a1=2，∴2+2q+2q2=14，化为q2+q−6=0，解得q=−3或2，∴a4=2×23=16或a4=2×(−3)3=−54．故选：D．8.答案：D解析：解：把函数y=sin(x+π6)图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，可得函数y=sin(12x+π6)的图象；再将图象向右平移π3个单位，可得y=sin[12(x−π3)+π6]=sin12x的图象，令12x=kπ，求得x=2kπ，k∈Z，那么所得图象的对称中心为(2kπ,0)k∈Z，故选：D．由条件利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．9.答案：C解析：本题考查函数的极大值和极小值的判断，考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．求出函数f(x)的导数，根据导函数零点的个数，以及函数的单调性和极值的关系得到函数f(x)的极值情况．解：∵a>0且a≠1，函数f(x)=(x−a)2lnx，∴f′(x)=2(x−a)lnx+(x−a)2x =(x−a)(2lnx+1−ax)，令，则g′(x)=2x +ax2>0,所以在(0,+∞)上单调递增，g(a)=2lna，g(x)=0有唯一解x0，1)当a>1时，g(a)>0，x0<a，f(x)在(0,x0)和(a,+∞)上单调递增，在(x0,a)上单调递减；2)当0<a<1时，g(a)<0，x0>a，f(x)在(0,a)和(x0,+∞)上单调递增，在(a,x0)上单调递减；综上：函数f(x)=(x−a)2lnx既有极大值，又有极小值．故选：C．10.答案：B解析：本题考查实数的最值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量数量积的坐标表示和两点距离公式的运用，以及圆上一点与圆外一点的距离的最值性质是解题的关键． 解：圆C ：x 2+y 2=1的圆心C(0,0)，半径r =1，设P(a,b)在圆C 上，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a +m,b −2)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −m,b −2)， 由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得(a +m)(a −m)+(b −2)2=0，即m 2=a 2+b 2−4b +4=|CP|2，其中C(0,2)， m 的最大值即为|CP|的最大值，等于|OC|+r =2+1=3． m 的最小值即为|CP|的最小值，等于|OC|−r =2−1=1． 则m 的最大值与最小值之差为3−1=2． 故选B .11.答案：D解析：本题主要考查了排列组合的综合应用，属于基础题． 解题关键是特殊的人优先考虑即可． 解：根据题目要求，分为以下两种分组情况：①丙丁甲一组，乙在另外一个组，有C 41种情况： ②丙丁一组，甲在另外一个组，有C 41种情况： 然后再将两组分到两个不同的地方；∴不同的分配方法有(C 41+C 41)A 22=16种；故选D ．12.答案：A解析：本题考查三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．由题意画出图形，取BD 的中点E ，连接EC ，A′E ，设球心为O ，连接EO ，CO ，利用勾股定理列式求得半径，则三棱锥的外接球的表面积可求． 解：如图，由题意可知，A′B =A′D =BD =BC =CD =2， A′C =√3，取BD 的中点E ，连接EC ，A′E ， 设球心为O ，连接EO ，CO ， O′为底面BCD 的中心，连接OO′， OO′⊥底面BCD ，可得OO′⊥CE ，且CE =A′E =A′C =√3， 即有OE ⊥A′C ，且直角三角形OEO′中，∠OEC =30°， O′E =√33，O′C =2√33，OO′=O′Etan30°=13，即有R =OC =(13)(2√33)=√133，则A′−BCD 的外接球的表面积为4πR 2=52π9，故选：A ．13.答案：6解析：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础． 根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．解：由分层抽样的定义得抽取男生的人数为3636+12×8=3648×8=6人，故答案为：6．14.答案：6解析：解：由{a n}为等差数列，且a8=2a3，得到a1+7d=2(a1+2d)，∴a1=3d，∴S15S5=15a1+105d5a1+10d=6，故答案为：6．由a8=2a3，得出a1=3d，再利用等差数列的前n项和的公式，即可得出结论．本题考查学生掌握等差数列的通项公式及前n项和的公式，是一道中档题．15.答案：√33解析：考查椭圆的标准方程，椭圆上的点和椭圆几何量的关系，椭圆的离心率及计算公式的应用，属于基础题．设F2(c,0)，根据已知条件容易判断|PQ|与2c的关系，列出方程即可求出离心率．解：如图，设F2(c,0)，△PQF1为等边三角形，可得：√32⋅2b2a=2c，∴2ca=√3b2=√3(a2−c2)，可得2e=√3−√3e2，解得e=√33(负值舍去)，∴该椭圆离心率为：√33．故答案为：√33．16.答案：12017解析：本题考查函数求最值问题，难度一般.利用基本不等式求最值是解题的关键．解：因为x >0，所以函数f(x)=x x 2+2013x+4=1x+4x+2013≤2√4+2013=12017(当且仅当x =2时等号成立)．故答案为12017．17.答案：解：(1)由正弦定理可得，3(sin 2B +sin 2C −sin 2A)=2√3sinBsinC ，即为3(b 2+c2−a 2)=2√3bc ，由余弦定理可得cosA =b 2+c 2−a 22bc=√33， sinA =√1−(√33)2=√63，tanA =sinA cosA=√2；(2)△ABC 的面积为√6+√2， 即有12bcsinA =√6+√2， 即bc =6+2√3，a 2=b 2+c 2−2bccosA ≥2bc −2√33bc =(2−2√33)(6+2√3)=8，即有a ≥2√2，则当b =c 时，a 取得最小值，且为2√2．解析：本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，基本不等式求最值．(1)由正弦定理可得3(b2+c2−a2)=2√3bc，再用余弦定理求出cos A，bcsinA=√6+√2，即bc=6+2√3，应用基本不等式求出a的最小值．(2)根据题意有1218.答案：(1)证明：取线段SC的中点E，连接ME，ED．BC，在△SBC中，ME为中位线，∴ME//BC且ME=12BC，∴ME//AD且ME=AD，∵AD//BC且AD=12∴四边形AMED为平行四边形．∴AM//DE.∵DE⊂平面SCD，AM⊄平面SCD，∴AM//平面SCD．(2)解：如图所示以点A为坐标原点，建立分别以AD、AB、AS所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(0,√3,0),C(2,√3,0),D(1,0,0),S(0,0,√3)，于是AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BS ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√32,√32), AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +34DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，0)+34(1，√3，0)=(74，3√34，0)． 设平面AMN 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z),则{AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0将坐标代入并取y =7，得n ⃗ =(−3√3,7,−7).另外易知平面SAB 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(1,0,0) 所以平面AMN 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦为|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=3√1525解析：【试题解析】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查运算求解能力，是中档题． (1)取线段SC 的中点E ，连结ME ，ED ，推导出四边形AMED 为平行四边形，从而AM//DE ，由此能证明AM//平面SCD ．(2)以A 为坐标原点，建立分别以AD ，AB ，AS 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AMN 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值．19.答案：解：(1)由题可知F(0,p 2)，则该直线方程为：y =x +p2，代入x 2=2py(p >0)得：x 2−2px −p 2=0， 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)为直线与抛物线的交点， 则有x 1+x 2=2p ，∵|MN|=8，∴y 1+y 2+p =8，即3p +p =8，解得p =2， ∴抛物线的方程为：x 2=4y ；(2)设A(t,t 24)，则E 在点A 处的切线方程为y =t2x −t 24，所以P(t 2,0)，直线PF ：y =−2t x +1，B(4tt 2+4,2t 2t 2+4)，直线AB 的方程是y =t 2−44tx +1，∴C(0,1)，S △OBC =|2tt 2+4|≤12，当且仅当t =±2时，取得等号，所以△OBC 面积的最大值为12．解析：本题考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，韦达定理的运用，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(1)过点F 且斜率为1的直线代入抛物线，利用|MN|=8，可得y 1+y 2+p =8，即可求抛物线C 的方程；(2)求出直线AB 的方程是y =t 2−44tx +1，C(0,1)，可得S △OBC =|2t t 2+4|≤12，即得到答案．20.答案：解：(1)由题意可知至少购买一种的概率为2324，所以一种都不买的概率为1−2324=124， 即(1−23)(1−p 1)(1−p 2)=124.① 又因为最多购买两种商品的概率为34， 所以三种都买的概率为1−34=14， 即23p 1p 2=14.②联立①②，解得{p 1=12,p 2=34或{p 1=34,p 2=12.因为p 1<p 2，所以某网民购买B ，C 两种商品的概率分别为p 1=12，p 2=34．(2)用随机变量X 表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，由题意可得X 的所有可能取值为0，5，10，15．则P(X =0)=124，P(X =5)=23×12×14+13×12×14+13×12×34=14， P(X =10)=23×12×14+23×12×34+13×12×34=1124，P(X =15)=23×12×34=14． 所以X 的分布列为则E(X)=0×124+5×14+10×1124+15×14=11512．解析：本题考查离散型随机变量的分布列及其期望的求解，涉及相互独立事件的概率，属中档题． (1)由题意和概率的乘法公式可得P 1和P 2的方程组，解方程组可得；(2)由题意可得X 的可能取值为0，5，10，15，分别可得所对应的概率，可得分布列和期望．21.答案：(1)解：∵f(x)=(x −2)e x ，∴f′(x)=(x −1)e x ，∴当x ∈(−∞,1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减， ∴当x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增， ∴f(x)min =f(1)=−e ，(2)证明：∵∀x ∈(12,1)，都有x −lnx +a >f(x)， ∴a >(x −2)e x −x +lnx ，设g(x)=(x −2)e x −x +lnx ，x ∈(12,1)， ∴g′(x)=(x −1)e x −1+1x =(x −1)e x −x−1x=(x −1)(e x −1x )=(x −1)⋅xe x −1x，令ℎ(x)=xe x −1，x ∈(12,1)， ∴ℎ′(x)=(x +1)e x >0， ∴ℎ(x)在(12,1)上单调递增，∵ℎ(1)=e −1>0，ℎ(12)=√e2−1<0，∴存在唯一x 0∈(12,1)使得ℎ(x 0)=x 0e x 0−1=0， ∴当x ∈(12,x 0)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增， 当x ∈(x 0,1)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，∴g(x)max =g(x 0)=(x 0−2)e x 0−x 0+lnx 0=(x 0−2)1x 0−x 0+lnx 0=1−2x 0--x 0+lnx 0，令φ(x)=1−2x --x +lnx ，x ∈(12,1)， ∴φ′(x)=2x 2−1+1x =−x 2+x+2x 2=−(x−2)(x+1)x 2>0，∴φ(x)在(12,1)上单调递增，∴φ(x)<φ(1)=1−2−1+ln1=−2， ∴g(x)<−2， ∴a >−2， ∴a >−4．解析：(1)先求导，根据导数和函数的单调性和最值的关系即可求出，(2)分离参数，可得a >(x −2)e x −x +lnx ，构造函数g(x)=(x −2)e x −x +lnx ，x ∈(12,1)，利用导数可以得到存在唯一x 0∈(12,1)使得ℎ(x 0)=x 0e x 0−1=0，且g(x)max =g(x 0)=1−2x 0--x 0+lnx 0，再构造函数，利用导数求出函数最大值即可．本题考查了导数和函数的最值的关系以及不等式的证明，关键是构造函数，考查了运算能力和转化能力，属于难题．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ，转换为：2ρ2cos 2θ=λρsinθ， 即：x 2=λ2y ，由于：曲线C 的焦点F 的极坐标为(1,π2)． 即：F(0,1)， 所以：λ8=1， 故：λ=8．(Ⅱ)把倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数)代入x 2=4y ． 得到：cos 2αt 2−4sinαt −4=0． 所以：t 1+t 2=4sinαcos 2α，t 1⋅t 2=−4cos 2α<0， 且|AF|=3|FB|， 故：t 1=6sinαcos 2α，t 2=−2sinαcos 2α，整理得−12sin 2αcos 4α=−4cos 2α，解得：tanα=±√33，由于：0<α≤π，故：α=π6或5π6．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用一元二次方程关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．23.答案：解：(1)由f(x)≥g(x)得：|x−3|+|x+1|≥6，分情况讨论：当x<−1时，原不等式可化为：−x+3−x−1≥6⇒x≤−2；当−1≤x<3时，原不等式可化为：−x+3+x+1≥6⇒x∈⌀；当x≥3时，原不等式可化为：x−3+x+1≥6⇒x≥4．所以x的取值范围为：(−∞,−2]∪[4,+∞}；(2)f(x)−g(x)=|x−3|+|x+1|−6，因为|x−3|+|x+1|≥|(x−3)−(x+1)|=4，所以f(x)−g(x)≥4−6=−2，所以[f(x)−g(x)]min=−2，因为f(x)−g(x)≥a2−3a的解集为，所以−2≥a2−3a，即a2−3a+2≤0，所以(a−1)(a−2)≤0，解得：1≤a≤2，所以a的范围为[1,2]．解析：本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想方法，以及绝对值不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．(1)由题意可得|x−3|+|x+1|≥6，运用绝对值的含义，去绝对值，解不等式求并集，即可得到所求范围；(2)运用绝对值不等式的性质可得f(x)−g(x)的最小值，再由二次不等式的解法，即可得到所求范围．。
湖南省怀化市2020届高三数学统一模拟考试试题(一)理.doc
湖南省怀化市2020 届高三数学统一模拟考试试题（一）理本试卷共 4 页， 23 题（含选考题）。
全卷满分150 分。
考试用时120 分钟。
注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束一定时间后，通过扫描二维码查看考题视频讲解。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合 A={ x N | x2 x 2 0 }，则满足条件的集合B的个数为A. 3B. 4C. 7D. 82. 已知 i 为虚数单位，且复数 2 满足z(1 2i ) | 4 3i |，则复数 z 的共轭复数为A.1-2iB. l+2iC. 2-iD. 2+i2 y2 1 与双曲线 y2 x2 1 有相同的3. 双曲线 x8 4 8 4A. 渐近线B. 顶点C. 焦点D. 离心率4. 已知倾斜角为的直线与直线l : x 2 y 1 0 垂直，则 cos2 sin 2 的值为A. 3B. 3C. 6D. 05 5 55. 某网店2020 年全年的月收支数据如图所示，则针对2020 年这一年的收支情况，说法错误的是A. 月收入的极差为 60B. 7 月份的利润最大C. 这 12 个月利润的中位数与众数均为 30D. 这一年的总利润超过 400 万元6. 已知 p : xR,ax 2, ax 1 > 0, x 0 [ 0, ), a <1x 0，若 pq 为真，则实数 a 的取值范围2 0为A. (0,1)B. [0,1)C. (0,1]D. 07. 已知数列 { a n } 满足 a2a n 1a n 1 (n 2), a 4 a 8 402sin 2xdx ，且 a 4 > 0 , 则 tan(a 6)n33 B.33 D.3A.C.338. 《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，如图，某阳马的三视图如图所示，则该阳马的最长棱的长度为A.1B. 2C. 3D.29. 如图所示为函数f ( x) Asin( x )( > 0,) 的部分图象，点 M 、N 分别为图象的最2高点和最低点，点 P 为该图象一个对称中心，点A(0 ，1) 与点 B 关于点 P 对称，且向量NB 在x 轴上的投影恰为 1， AP29 ，则 f (x) 的解析式为2A.f ( x) 2 3 x ) B.f ( x) 2sin(x )sin(3633 6 C.f ( x) 2sin( x)D.f ( x) 2sin(2 ) 6 x63610. 在正方体中，过 AB作一垂直于直线B1C的平面交平面ADD1A1于直线l，动点M在直线l上，则直线 B1M与直线 CD所成的角的正弦值的最小值是A.3 3 2 1B.2C. D.3 2 211. 过抛物线 C: x2 4 y 的焦点F作斜率分别为k1,k2的两条直线 l1,l2，其中A交C于A、B 两点， l2交C于D、E两点，若k1k2 2 ,则|AB| + |DE| 的最小值为A. 12B. 16C. 24D. 3012. 对于函数 : y f (x) 与 y g (x) ，若存在 x0，使 f (x0 ) g( x0 ) ，则称M ( x0 , f ( x0 )), N (x o , g ( x o )) 是函数 f (x) 与 g (x) 图象的一对“隐对称点已知函数f (x) m(xln( x 1)f (x) 与 g(x) 的图象恰好存在两对“隐对称点”，2), g (x) ，若函数x 1则实数 m 的取值范围为A.(-1 ，0)B.(- ∞,一 1)C.(0 ，1) U (1 ，+∞)D.(- ∞,-1)U( -1,0) .第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
【2020年数学高考】湖南省师大附中2020届高三月考试卷(七)数学理.doc
湖南师大附中2020届高三月考试卷(七)数 学(理科)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共10页．时量120分钟．满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)已知集合A ＝{}x |（x －1）2＋y 2＝1，x ∈R ，B ＝{}y |y ＝1－x 2，x ∈R ，则A ∩B ＝(B) (A)[]0，2 (B)[]0，1 (C)(－∞，0] (D)[1，＋∞) 【解析】A ＝[]0，2，B ＝(－∞，1]A ∩B ＝[]0，1.(2)已知复数z 满足(1－i)z ＝2i ，且z ＋ai(a ∈R )为实数，则a ＝(C) (A)1 (B)2 (C)－1 (D)－2【解析】由(1－i)z ＝2i ，解得z ＝－1＋i ，故z ＋ai ＝－1＋(a ＋1)i 为实数时，a ＝－1.(3)已知S n 为等差数列{}a n 的前n 项和，若a 7＝1，a 1－S 4＝9，则数列{}S n 中的最小项为(B) (A)S 1 (B)S 5，S 6 (C)S 4 (D)S 7【解析】令等差数列{}a n 的公差为d ，则⎩⎨⎧a 1＋6d ＝1，a 1－4a 1－6d ＝9，解得a 1＝－5，d ＝1，有a n ＝n －6，S n ＝n （n －11）2，则当n ＝5或6时，S n 最小．(4)已知⎝⎛⎭⎫x －1x n的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，记展开式中系数最大的项为第k项，则k ＝(A)(A)5 (B)4 (C)4或5 (D)5或6【解析】⎝⎛⎭⎫x －1x n的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，∴n ＝2＋5＝7，第r ＋1项的系数为T r ＋1＝C r 7(－1)r，r ＝4时T r ＋1最大，故展开式中系数最大的项为第5项．(5)执行如右图所示的程序框图，若输入a ＝7，b ＝1，则输出S 的结果是(D) (A)16 (B)19 (C)34 (D)50【解析】第一次a ＝7，b ＝1，S ＝7， 第二次a ＝6，b ＝2，S ＝19，第三次a ＝5，b ＝3，S ＝34，第四次a ＝4，b ＝4，S ＝50后，程序结束．(6)从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任意取出两个数字作和，则使得和为偶数的概率值为(C)(A)13 (B)23 (C)49 (D)59【解析】p ＝C 24＋C 25C 29＝49. (7)为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象(C)(A)向左平移56π个长度单位 (B)向右平移56π个长度单位(C)向左平移512π个长度单位 (D)向右平移512π个长度单位【解析】∵y ＝sin 2x ＝f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2，∴f ⎝⎛⎭⎫x ＋512π＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (8)一个三棱锥的正视图和俯视图如右图所示，则该三棱锥的侧视图可能为(D)【解析】分析三视图可知，该几何体为如下图所示的三棱锥，其中平面ACD ⊥平面BCD.(9)已知A 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的左顶点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线上一点，G 是△PF 1F 2的重心，若存在实数λ使得GA →＝λPF 1→，则双曲线的离心率为(A)(A)3 (B)2 (C)4 (D)与λ的取值有关【解析】由题意，PG ＝2GO ，GA ∥PF 1，∴2OA ＝AF 1，∴2a ＝c －a ，∴c ＝3a ，∴e ＝3.(10)已知对任意的x ∈(0，＋∞)，函数f(x)满足：0<f(x)<xf′(x)<2f(x)，则f （2）f （1）的取值范围是(A)(A)(2，4) (B)(1，2) (C)(0，1) (D)(0，2)【解析】令g(x)＝f （x ）x (x ∈(0，＋∞))，则g′(x)＝xf′（x ）－f （x ）x 2>0，于是g(x)在(0，＋∞)上单调递增，故有g(2)>g(1)，即f （2）2>f （1）1，也就是f （2）f （1）>2；再令h(x)＝f （x ）x 2(x ∈(0，＋∞))，则h′(x)＝xf′（x ）－2f （x ）x 3<0，于是h(x)在(0，＋∞)上单调递减，故有h(2)<h(1)，即f （2）22<f （1）1，也就是f （2）f （1）<4.(11)已知平面上四点A 、B 、C 、D 满足||DA →＝||DB→＝1，DA →·DB →＝0，DB →·DC →＝λ，DC →·DA →＝－1－λ2，其中λ∈[]－1，1，则△ABC 面积的最大值为(C)(A)32 (B)1 (C)2＋12 (D)3＋12【解析】由已知条件可建立直角坐标系如图所示， D(0，0)，A(1，0)，B(0，1)，令∠BDC ＝θ， 则∠ADC ＝270°－θ或90°－θ，有⎩⎨⎧λ2＝（DB →·DC →）2＝||DC →2cos 2θ，1－λ2＝（DC →·DA →）2＝||DC→2sin 2θ， 故有||DC →＝1，又因为DC →·DA →＝－1－λ2<0，故点C 在以D 为圆心，1为半径的左半圆上，从而，当点C 在优弧AB 上且该处圆的切线与AB 平行时，△ABC 面积取到最大值，此最大值为2＋12.(12)已知只有50项的数列{}a n 满足下列三个条件： ①a i ∈{}－1，0，1，i ＝1，2，…，50； ②a 1＋a 2＋…＋a 50＝9；③101≤(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2≤111.对所有满足上述条件的数列{}a n ，a 21＋a 22＋…＋a 250共有k 个两两不同的值，则k ＝(C) (A)10 (B)11 (C)6 (D)7【解析】设a 1，a 2，…，a 50中有s 项取值0，由条件(2)知，取值1的项数为50－s －92＋9，取值－1的项数为50－s －92，再由条件③得101≤s ＋4⎝⎛⎭⎫50－s －92＋9≤111，解得7≤s ≤17，又易知s 必为奇数，故s ＝7，9，11，13，15，17.它们对应6个不同的值a 21＋a 22＋…＋a 250＝50－s.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分．(13)计算sin 20°cos 10°－cos 160°sin 370°＝__12__．(14)将1，2，3，4，5这五个数字任意排成一排即成一个五位数，若该五位数为偶数且2与3相邻，则这样的五位数的个数为__18__．【解析】第1类，个位数为2，有A 33＝6个；第2类，个位数为4，有A 22A 33＝12个．(15)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≤1，x －y －1≤0，x ＋y －1≥0，则x 2＋2y 2的取值范围是__⎣⎡⎦⎤23，6__．【解析】作出可行域为以A(1，0)，B(2，1)，C(0，1)为顶点的△ABC 的边界及内部．对任意固定的y ∈[]0，1，下面分别求x 2＋2y 2的最小值与最大值：x 2＋2y 2≥(1－y)2＋2y 2＝3⎝⎛⎭⎫y －132＋23≥23，x 2＋2y 2≤(1＋y)2＋2y 2＝3y 2＋2y ＋1≤6.(16)若存在x 0∈(0，1)，使得(3－x 0)eax 0≥3＋x 0(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的取值范围是__⎝⎛⎭⎫23，＋∞__. 【解析】∵存在x 0∈(0，1)，使得(3－x 0)eax 0≥3＋x 0，即ax 0－ln(3＋x 0)＋ln(3－x 0)≥0. 令f(x)＝ax －ln(3＋x)＋ln(3－x)(x ∈(0，1))，由于f(0)＝0，f ′(x)＝a －69－x 2，69－x 2∈⎝⎛⎭⎫23，34， 若a ≤23，则f′(x)≤0，f(x)递减，有f(x)<f(0)＝0，不合题意；若a ≥34，则f′(x)≥0，f(x)递增，有f(x)>f(0)＝0，符合题意；若23<a<34，则存在t ∈(0，1)，使得f′(t)＝0，又f′(x)在(0，1)上单调递减，故存在x ∈(0，t)，使得f ′(x)>0，即f(x)在(0，t)上递增，有f(x)>f(0)＝0，符合题意．综上，a ∈⎝⎛⎭⎫23，＋∞. 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分)已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且a n －2S n ＝1. (Ⅰ)求数列{}a n 的通项公式；(Ⅱ)设b n ＝⎝⎛⎭⎪⎫n 2＋2n ＋1n （n ＋1）·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 【解析】(Ⅰ)a n －2S n ＝1中令n ＝1得a 1＝－1，由a n －2S n ＝1可得，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝a n ＋1－12－a n －12，整理得a n ＋1＝－a n ，所以{}a n 是首项为－1，公比为－1的等比数列，故a n ＝()－1n.(5分)(Ⅱ)由题意，b n ＝⎝⎛⎭⎪⎫n 2＋2n ＋1n （n ＋1）·()－1n＝(－1)n ·n 2＋(－1)n ·2n ＋1n （n ＋1） ＝(－1)n ·n 2＋(－1)n ·⎣⎡⎦⎤1n ＋1（n ＋1）.当n 为偶数时，T n ＝()－1＋22－32＋42－…－（n －1）2＋n 2－⎝⎛⎭⎫11＋12＋⎝⎛⎭⎫12＋13－…－⎝⎛⎭⎫1n －1＋1n ＋⎝⎛⎭⎫1n ＋1n ＋1＝()1＋2＋3＋…＋n －1＋1n ＋1＝n （n ＋1）2－n n ＋1；(9分)当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋b n ＝n （n －1）2－n －1n －n 2－⎝⎛⎭⎫1n ＋1n ＋1＝－n （n ＋1）2－n ＋2n ＋1，综上所述，T n＝⎩⎪⎨⎪⎧n （n ＋1）2－nn ＋1，n 为偶数，－n （n ＋1）2－n ＋2n ＋1，n 为奇数.(12分)(18)(本小题满分12分)如图(1)，在边长为2的正方形ABCD 中，E 是边AB 的中点．将△ADE 沿DE 折起，如图(2)，F 是折叠后AC 的中点．(Ⅰ)求证：BF ∥平面ADE ；(Ⅱ)若平面ADE ⊥平面BCDE ，求BF 与平面ABD 所成角的正弦值．【解析】(Ⅰ)取AD 中点G ，连结EG ，FG ，∵F 为AC 中点， ∴FG 綊12CD ，BE 綊12CD∴FG 綊BE ，从而四边形EBFG 是平行四边形．(3分) ∴BF ∥EG ，又BF 平面ADE ，EG 平面ADE ， ∴BF ∥平面ADE.(5分)(Ⅱ) 如图所示以B 为坐标原点，建立空间直角坐标系，在图(1)中作AH ⊥DE 于H ，易求得EH ＝15，AH ＝25，作HN ⊥AE 于N ，HM ⊥BC 于M ，则HN ＝25，HM ＝65，所以A ⎝⎛⎭⎫25，65，25.(7分)而B(0，0，0)，D(2，2，0)，则BA →＝⎝⎛⎭⎫25，65，25，BD →＝(2，2，0)．设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA →＝0，n ·BD →＝0⎩⎪⎨⎪⎧25x ＋65y ＋25z ＝0，2x ＋2y ＝0，解得一个法向量为n ＝(－5，5，－2)．(9分)又C(2，0，0)，∴F ⎝⎛⎭⎫65，35，15，∴BF →＝⎝⎛⎭⎫65，35，15，∵cos 〈n ，BF →〉＝n ·BF →||n ·||BF→＝－3514.∴BF 与平面ABD 所成角的正弦值为3514.(12分)(19)(本小题满分12分)在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次，在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分，没有投进得0分；如果前两次得分之和超过3分，即停止投篮，否则投三次，且假设所有人在A 处的命中率为14，在B 处的命中率为q ⎝⎛⎭⎫14<q<1.已知同学甲选择只在B 处投球．(Ⅰ)若q ＝35，求同学甲最终得分的分布列与期望；(Ⅱ)若同学乙选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，试判断甲、乙两位同学，哪位同学最终得分超过3分的概率更大一些？并说明理由．【解析】(Ⅰ)用X 表示同学甲投篮结束后所得的总分，则X 的可能取值为0，2，4，则P(X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫253＝8125，P(X ＝2)＝C 13×⎝⎛⎭⎫252×35＝36125，P(X ＝4)＝⎝⎛⎭⎫352＋2×⎝⎛⎭⎫352×25＝81125，随机变量X数学期望为：E(X)＝0×8125＋2×36125＋4×81125＝396125.(6分)(Ⅱ)设在A 处投中为事件A ，在B 处投中为事件B ，则事件A 、B 相互独立，记同学甲最终得分超过3分为事件C ，则P(C)＝P(BB)＋P(B B －B)＋P(B －BB)＝q 2(3－2q)，记同学乙最终得分超过3分为事件D ，则P(D)＝P(AB)＋P(A －BB)＋P(A B －B)＝14q ＋34q 2＋14q(1－q)＝12q(1＋q)，而P(C)－P(D)＝－2q 3＋52q 2－12q ＝－12q(4q －1)(q －1)>0，故同学甲最终得分超过3分的概率更大一些．(12分) (20)(本小题满分12分)设x ，y ∈R ，向量i ，j 分别为平面直角坐标内x ，y 轴正方向上的单位向量，若向量a ＝(x ＋1)i ＋y j ，b ＝(x －1)i ＋y j ，且|a |＋|b |＝4.(Ⅰ)求点M(x ，y)的轨迹C 的方程；(Ⅱ)记轨迹C 与x 轴的左、右交点分别为A ，B ，点S 是C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线l ：x ＝－4分别交于M ，N 两点，当线段MN 的长度最小时，在轨迹C 上是否存在点T 使得△TSA 的面积为14？若存在，确定点T 的个数；若不存在，说明理由．【解析】(Ⅰ)∵a ＝(x ＋1)i ＋y j ，b ＝(x －1)i ＋y j ，且|a |＋|b |＝4.∴（x ＋1）2＋y 2＋（x －1）2＋y 2＝4，即点M(x ，y)到两个定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)的距离之和为4.(2分) ∴ 点M 的轨迹C 是以F 1、F 2为焦点的椭圆，设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，则：a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3，故所求轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(Ⅱ)易知A ，B 的坐标为A(－2，0)，B(2，0)，直线AS 的斜率k 显然存在，且k>0, 故可设直线AS 的方程为y ＝k(x ＋2)，从而M(－4，－2k)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，设S(x 1，y 1)，则(－2)x 1＝16k 2－123＋4k 2，得x 1＝6－8k 23＋4k 2，从而y 1＝12k 3＋4k 2，即S ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 23＋4k 2，12k 3＋4k 2. 又B(2，0)，故直线BS 的方程为y ＝－34k(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－34k （x －2），x ＝－4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝92k，所以N ⎝⎛⎭⎫－4，92k . 故||MN ＝⎪⎪⎪⎪－2k －92k ＝2k ＋92k ≥22k·92k＝6， 当且仅当2k ＝92k 时，即k ＝32时等号成立，所以k ＝32时，线段MN 的长度取最小值6.(8分)此时直线AS 的方程为3x －2y ＋6＝0，S ⎝⎛⎭⎫－1，32， 所以||AS ＝132，要使△TSA 的面积为14，只需点T 到直线AS 的距离等于1313，所以点T 在平行于AS 且与AS 距离等于1313的直线l′上，①当t ＝7时，由⎩⎪⎨⎪⎧x 4＋y 3＝1，3x －2y ＋7＝0得12x 2＋42x ＋37＝0，由于Δ＝－12<0，故直线l′与椭圆C 无交点； ②当t ＝5时，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，3x －2y ＋5＝0得12x 2＋30x ＋13＝0，由于Δ＝276>0，故直线l′与椭圆C 有两个交点， 综上所求点T 的个数是2个．(12分) (21)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝a ＋sin xe x，a ∈R ，e 为自然对数的底数．(Ⅰ)若函数f(x)存在单调递增区间，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)若a ＝0，试讨论方程f(x)＝cos x x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上解的个数；(Ⅲ)证明：对任意的a ≥0，x ∈[]－1，1，恒有e 1－3x >2f ′(x)成立．【解析】(Ⅰ)由已知得f′(x)＝cos x －a －sin xe x，因为函数f(x)存在单调递增区间，所以f′(x)>0有解． 即cos x －a －sin x>0有解，所以a<()cos x －sin x max，又cos x －sin x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，所以a< 2.(4分)(Ⅱ)由题意，只需讨论g(x)＝e x cos x －xsin x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上的零点个数，而g′(x)＝e x cos x －e x sin x －sin x －xcos x ＝e x (cos x －sin x)－(sin x ＋xcos x)，因为x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，所以cos x －sin x ≤0，sin x ＋xcos x>0，所以g′(x)<0，故g(x)在⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递减，而g ⎝⎛⎭⎫π4＝22⎝⎛⎭⎫e π4－π4，令h(x)＝e x －x －1，则h′(x)＝e x －1，由h′(x)<0得x<0，所以h(x)在(－∞，0)单调递减，由h′(x)>0得x>0，所以h(x)在(0，＋∞)单调递增，故h(x)≥h(0)＝0，从而e x ≥x＋1>x.于是g ⎝⎛⎭⎫π4＝22⎝⎛⎭⎫e π4－π4>0， 而g ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2<0，且函数g(x)的图象在⎣⎡⎦⎤π4，π2上是连续不断的，因此，函数g(x)在⎣⎡⎦⎤π4，π2上有且只有一个零点．(8分)(Ⅲ)由于f′(x)＝cos x －a －sin x ex，即证：e 1－2x ＋2sin x －2cos x ＋2a>0对a ≥0，x ∈[]－1，1成立， 只需证：e 1－2x ＋22sin ⎝⎛⎭⎫x －π4>0对x ∈[]－1，1恒成立，由(Ⅱ)可知，e x ≥x ＋1，所以有：e 1－2x ≥2－2x(当且仅当x ＝12时取等) ①只需证：2－2x ＋22sin ⎝⎛⎭⎫x －π4≥0对x ∈[]－1，1恒成立，令函数φ(x)＝2－2x ＋22sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈[]－1，1，则φ′(x)＝－2＋22cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝22⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫x －π4－22， 当x ∈[]0，1时，x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，1－π4，φ′(x)≥0，即φ(x)在[]0，1上是增函数，当x ∈[)－1，0时，x －π4∈⎣⎡⎭⎫－1－π4，－π4，φ′(x)<0，即φ(x)在x ∈[)－1，0上是减函数，所以，在[]－1，1上，φ()x ≥φ()0＝0，所以φ()x ≥0.所以2－2x ＋22sin ⎝⎛⎭⎫x －π4≥0(当且仅当x ＝0时取等) ②因为①②不能同时取等号，所以：e 1－2x ＋22sin ⎝⎛⎭⎫x －π4>0对x ∈[]－1，1恒成立，所以对任意的a ≥0，x ∈[]－1，1，恒有e 1－3x >2f ′(x)成立．(12分)请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． (22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋acos β，y ＝asin β(a>0，β为参数)．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝32.(Ⅰ)若曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为1，求实数a 的值；(Ⅱ)若A ，B 为曲线C 上的两点，且∠AOB ＝π3，求△OAB 的周长的最大值．【解析】(Ⅰ)曲线C 是以()a ，0为圆心，以a 为半径的圆； 直线l 的直角坐标方程为x ＋3y －3＝0.(2分)若曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为1，则有||a －32＝a ＋1，解得：a ＝13.故所求实数a 的值为13.(5分)(Ⅱ)由题意，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2acos θ，θ∈⎣⎡⎭⎫－π2，π2，设A 的极角为θ，B 的极角为θ＋π3，则：||OA ＝||2acos θ，||OB ＝⎪⎪⎪⎪2acos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，由正弦定理得：||AB sin π3＝2a ，所以||AB ＝3a ，所以△ABO 的周长为C △ABO ＝||OA ＋||OB ＋||AB ＝a ⎣⎡⎦⎤3＋2||cos θ＋2⎪⎪⎪⎪cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，而cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＋cos θ＝－32sin θ＋32cos θ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3≤3，所以当θ＝－π6时，cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＋cos θ取得最大值 3.所以△OAB 的周长的最大值为33a.(10分) (23)(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 设函数f(x)＝|2x －1|，x ∈R . (Ⅰ)解不等式f(x)＋f(x ＋1)≤2；(Ⅱ)已知不等式f(x)≤f(x ＋2)－||x －a 的解集为M ，若⎝⎛⎭⎫12，1M ，求实数a 的取值范围．【解析】(Ⅰ)原不等式等价于||2x －1＋||2x ＋1≤2，而||2x －1＋||2x ＋1≥2当且仅当()2x －1(2x ＋1)≤0时取等，即－12≤x ≤12，故不等式的解集为⎣⎡⎦⎤－12，12.(5分) (Ⅱ)因为⎝⎛⎭⎫12，1M ，则当x ∈⎝⎛⎭⎫12，1时，f(x)≤f(x ＋2)－||x －a 恒成立， 等价于||2x －1－||2x ＋3＋||x －a ≤0在x ∈⎝⎛⎭⎫12，1恒成立，即||x －a ≤4在x ∈⎝⎛⎭⎫12，1恒成立，即x －4≤a ≤x ＋4在x ∈⎝⎛⎭⎫12，1恒成立， 所以()x －4max ≤a ≤()x ＋4min，故所求a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－3，92. (10分)。
2020届湖南省怀化市麻阳一中高三下学期3月第七次月考数学(理)试题解析
绝密★启用前2020届湖南省怀化市麻阳一中高三下学期3月第七次月考数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知{0,1,2,3},A={|1},B y y ==P A B =⋂，则P 的子集个数为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．16解：由于11y =≥，所以[)1,B =+∞，所以{}1,2,3P A B =⋂=，集合P 共有3个元素，故子集有328=个. 故选：C2．若,a b ∈R ，且a b >，则下列不等式成立的是（ ）A ．22a b >B ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．lg()0a b ->D ．1ba< 解：不妨设1,2a b =-=-，则22a b <，A 选项错误.()lg lg10a b -==，C 选项错误.21ba=>，D 选项错误. 对于B 选项，由于13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，而a b >，所以1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即B 选项正确. 故选：B3．从n 个正整数1，2…n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n 的值为（ ） A ．6 B ．8C ．10D ．14解：两数之和为5有14,23++两种情况，故22114n C =，故()21282n n n C -==，解得8n =. 故选：B4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点F 到渐近线距离与顶点A 到渐近线距离之比为3:1，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．22y x =± B ．2y x =±C ．22y x =±D ．2y x =±解：如图所示，双曲线顶点为A ，焦点为F ，过A,F 作渐近线的垂线，垂足为B ，C ，所以OAB V 与OFC V 相似（O 为坐标原点），又由题意知31CF AB =，所以3OF cOA a==，即3c a =，又因为222c b a =+，所以228b a =，即22ba=±2y x =±，故选A. 点评：本题考查双曲线的几何性质，需灵活运用三角形相似及,,a b c 之间的关系，属基础题. 5．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上为减函数的是（ ） A ．cos()y x =- B ．sin y x x =+C ．2y x -=D ．sin()y x =-解：对于AC 选项()cos cos y x x =-=为偶函数，2y x -=也是偶函数，所以AC 两个选项不符合题意.对于B 选项，'1cos 0y x =+≥，所以函数在(0,1)上递增，不符合题意.对于D 选项，'cos y x =-在区间(0,1)上满足'cos 0y x =-<，所以函数在区间(0,1)上为减函数符合题意. 故选：D 点评：本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查利用导数判断函数在区间上的单调性，属于基础题.6．某四棱锥的三视图如图所示，则侧面四个三角形中，最小三角形面积为（ ）A ．2B ．2C ．3D ．1解：由三视图可知该几何体是四棱锥A DCBE -是正方体的一部分， 正方体的棱长为2，E 为所在棱的中点，如图，则最小三角形面积是ABE ∆,∴112222ABE S D =创=故选B . 点评：本题主要考查学生对三视图之间的关系的理解和画出几何体的直观图，是基础题.7．若()4*nx n N x x ⎛∈ ⎝的展开式中含有常数项，则n 的最小值为（ ） A ．8 B ．10C ．11D ．12解：二项式()4*nx n N x x ⎛∈ ⎝展开式的通项公式为()()31144221rrn n rr rrn n C xx C x ---⎛⎫⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭，由于展开式中含有常数项，则11402r n -=，118rn =，当8r =时，n 取得最小值为11. 故选：C 点评：本小题主要考查根据二项式展开式含有常数项求参数，属于基础题.8．如图，在三棱锥P ABC -中，已知底面ABC 是正三角形，2AB AP =，且AP ⊥平面PBC ，则直线PA 与平面ABC 所成角的余弦值为（ ）A ．63B ．53C ．23D ．3 解：三棱锥P ABC -中，已知底面ABC 是正三角形，2AB AP =，且AP ⊥平面PBC ，取BC 中点M ，连接,PM AM ，如下图所示：设2,AB =则1AP =，PB PC ==PM AM ==因为222PM A M P A +=所以三角形APM 为直角三角形，且AP PM ⊥ 则PAM ∠即为直线PA 与平面ABC 所成的角所以cos3PA PAM PM ∠===故选：D 点评：本题考查了直线与平面夹角的求法，空间中的线面关系，属于中档题. 9．已知当m ，[1n ∈-，1)时，33sinsin22mnn m ππ-<-，则以下判断正确的是()A ．m n >B ．||||m n <C ．m n <D ．m 与n 的大小关系不确定解：设3()sin,[1,1]2xf x x x π=+∈-，则2()3cos022x f x x ππ'=+>， 即3()sin ,[1,1]2x f x x x π=+∈-为增函数， 又m ，[1n ∈-，1)，33sin sin 22m n n m ππ-<-， 即33sin sin 22m n m n ππ+<+， 所以()()f m f n <， 所以m n <． 故选：C ． 点评：本题考查了函数的增减性及导数的应用，属中档题．10．将曲线1124y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭向左平移4π个单位长度，得到曲线的对称中心为（ ） A ．()2,0,k k π∈Z B ．2,0,4k k π⎛⎫π+∈ ⎪⎝⎭ZC ．2,1,4k k π⎛⎫π+∈ ⎪⎝⎭ZD ．2,1,4k k 5π⎛⎫π+∈ ⎪⎝⎭Z解：由题,则平移后的函数解析式为112sin 12sin 124428y x x ππ⎡⎤π⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦,令1,28x k k Z ππ-=∈,则2,4x k k Z ππ=+∈, 所以对称中心为2,1,4k k π⎛⎫π+∈ ⎪⎝⎭Z ,故选:C 点评：本题考查平移变换后的三角函数解析式,考查正弦型函数的对称中心.11．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：01x ≤≤时，()33f x x x =-+，且()()11f x f x -=+，若方程()()log 1+1(0,1)a f x x a a =+>≠恰好有12个实数根，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(5，6) B ．(6，8) C ．(7，8) D ．(10，12)答案：B01x ≤≤ 时，()33f x x x =-+， ()()2'310f x x ∴=--≥ ,故()f x 在[0,1]上单调递增，且()()00,12f f == ，由()()11f x f x -=+ 可知函数()f x 是周期为2的周期函数，而函数()y f x = 与()log 11a y x =++ 都是偶函数，画出它们的部分图象如图所示，根据偶函数的对称性可知，只需这两个函数在()0,+?有6个不同交点，显然1a > ，结合图象可得()()log 5112{log 7112a a ++<++> ，即log 61{log 81a a <> ，故68a << .本题选择B 选项.12．已知函数()f x 是定义在R 上的函数，且满足()()0f x f x '+>，其中()f x '为()f x 的导数，设()0a f =，()22b f ln =，()1c ef =，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．c b a >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b c a >>答案：A构造函数()()x g x e f x =，根据()g x 的单调性得出结论． 解：解：令()()xg x e f x =，则()[()()]0x g x e f x f x '=+'>，()g x ∴在R 上单调递增，又021ln <<，()()()021g g ln g ∴<<，即()()()0221f f ln ef <<，即c b a >> 故选：A ． 点评：本题考查了导数与函数的单调性，考查函数单调性的应用，属于中档题．二、填空题13．已知矩形 ABCD ，AB= 4 ，BC =3，以 A, B 为焦点，且 过 C, D 两点的双曲线的离心率为____________. 答案：2根据,A B 为焦点，得2c =；又2AC BC a -=求得a ，从而得到离心率. 解：,A B 为焦点 24c ⇒= 2c ⇒=C 在双曲线上，则2AC BC a -=又5AC == 22a ⇒= 1a ⇒=2ce a∴== 本题正确结果：2 点评：本题考查利用双曲线的定义求解双曲线的离心率问题，属于基础题.14．在ABC ∆中，2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++，其中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，则角A 的大小为______．答案：23π由正弦定理和题设条件，化简得222a b c bc =++，再由余弦定理，求得1cos 2A =-，即可求解． 解：由题意，因为2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++由正弦定理化简得22(2)(2)a b c b c b c =+++，整理得222a b c bc =++，又由余弦定理，可得2221cos 22b c a A bc +-==-， 又因为(0,)A π∈，所以23A π=． 故答案为：23π． 点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解．15．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()222220n n S n n S n n -+--+=，*n ∈N ，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和2020T =__________.答案：5052021因为()()222220n n S n n S n n -+--+=，当1n =时，可得12a =.由()()222220n n S n n S n n -+--+=,可得()()220n n S S n n ⎡⎤+-+=⎣⎦，求得2n S n n =+，即可求得2n a n =，结合已知，即可求得答案. 解：Q ()()222220n n S n n S n n -+--+= 当1n =时，2140a -=解得：12a =或12a =-Q 数列{}n a 为正数，∴12a =由()()222220n n S n n S n n -+--+=即()()220n n S S n n ⎡⎤+-+=⎣⎦，Q 20n S +≠∴2n S n n =+当2n ≥时，21(1)(1)n S n n -=-+-两式相减得：2n a n = 当1n =，满足2n a n =∴2n a n =Q ()()141111114n n n n a a n n +=++= 11141n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭11111111111231423411n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋯+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣+⎝⎭⎦可得：11141n n T ⎛⎫=- ⎪⎝⎭+ 当2020n =，2020150542021120211T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭ 故答案为：5052021. 点评：本题主要考查了求数列前n 和，解题关键是掌握“裂项相消”求和的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.16．在平面四边形ABCD 中，ΔBCD 是边长为2的等边三角形，ΔBAD 为等腰三角形，且∠BAD =90︒，以BD 为折痕，将四边形折成一个120︒的二面角A BD C --，并且这个二面角的顶点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，则这个球的球面面积为________________ 答案：529π作出折叠后的几何图形，结合几何关系求出半径即可得到球的表面积. 解：折成的立体图形如图所示，O 为球心，E 为BD 的中点，∠CEH =60︒，CE 3332CH HE ==，，，所以由222OC OF CF =+得： 2222233131229R R R ⎛⎫=-+= ⎪ ⎭⎝⎭n ，所以，球面积为25249S R ππ== 故答案为：529π点评：此题考查求几何体的外接球，以平面图形的折叠为背景，关键在于弄清折叠过程中不变的几何量.三、解答题17．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足(cos 3)c b A A =． （1）求角B 的大小；（2）若4a =，且BC 3ABC V 的周长． 答案：（1）6B π=；（2）623+．（1）因为(cos 3)c b A A =+，由正弦定理可得：sin sin (cos 3)C B A A =结合已知，即可求得答案； （2）画出图形，3,6AD B π==，则23sin ADc AB B===可求得答案. 解：（1）Q (cos 3)c b A A =+∴由正弦定理可得：sin sin (cos 3)C B A A =+ Q sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+∴可得：(cos 3sin )c b A A =+ Q (0,),sin 0A A π∈>cos 3sin B B ∴= ∴3tan B =，又(0,)B π∈Q 故6B π=．（2）画出图象，如图：3,6AD B π==则23sin ADc AB B===又Q 4a =在ABC V 中，由余弦定理2222cos 4b a c ac B =+-= 可得2b =可得ABC V 的周长为623a b c ++=+点评：本题主要考查了由正弦定理和余弦定理解三角形，解题关键是灵活使用正弦定理和余弦定理，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 18．已知数列{}n a 满足()*11322,n n n a a a n n N+-=-≥∈，且11a=，23a =．（1）求证：数列{}1n n a a +-是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）记(1)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．答案：（1）证明见解析，21n n a =-；（2）1(3)22n n n n S n ++=⨯-（1）由1132n n n a a a +-=-，整理得112n nn n a a a a +--=-，得出1{}n n a a +-是以2为公比，以2为首项的等比数列，进而求得数列的通项公式；（2）由（1）可得(1)(1)2(1)nn n b n a n n =+=+-+，利用等差数列的前n 项和公式和“乘公比错位相加法”，即可求得数列的前n 项和． 解：（1）由题意，数列{}n a 满足()*11322,n n n a a a n n N+-=-≥∈，可得112()n n n n a a a a +--=-，*2,n n N ≥∈，即112n nn n a a a a +--=-，*2,n n N ≥∈，所以1{}n n a a +-是以2为公比，以212a a -=为首项的等比数列，所以12nn n a a +-=，*n N ∈，又由112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+L 12222121n n n --=++++=-L (2)n ≥．当1n =，11a =成立，所以数列{}n a 的通项公式为21nn a =-．（2）由（1）可得(1)(1)2(1)nn n b n a n n =+=+-+，所以122232(1)2(231)nn S n n =⨯+⨯+++⨯-++++L L ． 令122232(1)2nA n =⨯+⨯+++⨯L ， 则231222322(1)2nn A n n +=⨯+⨯++⨯++⨯L ，两式相减得23114(222)(1)22nn n A n n ++-=++++-+⨯=-⨯L ，解得12n A n +=⨯，又由(3)2312n n n +++++=L ，故1(3)22n n n n S n ++=⨯-． 点评：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等．19．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为平行四边形，3CA CD =，120BCD ∠=o ．（1）若AC BD O =I ，求证：1//B O 平面11AC D ；（2）若1CD =，13CC =，求二面角1A C D C --的余弦值． 答案：（1）见解析；（2）5． （1）连接11B D ，交11A C 于点1O ，可证得四边形11ODO B 为平行四边形，从而得到11//B O O D ，根据线面平行的判定定理可证得结论；（2）在ACD ∆中，由余弦定理可求得AD ，进而得到AC CD ⊥；由线面垂直的性质和判定定理可证得AC ⊥平面1CC D ；作1CE C D ⊥，可知AEC ∠即为所求二面角的平面角，由长度关系可求得结果. 解：（1）证明：如图所示，连接11B D ，交11A C 于点1O ，连接1O D ．111112B O B D =Q ，12OD BD =，11//BD B D ，11//B O OD ∴，∴四边形11ODO B 为平行四边形，11//B O O D ∴，1BO ⊄Q 平面11AC D ，1O D ⊂平面11ACD ，1//BO ∴平面11AC D . （2）解：Q 四边形ABCD 为平行四边形，3CA CD =，120BCD ∠=o ，60CDA ∴∠=o ，3AC =.设AD x =，由余弦定理得：22312cos601x x x x =+-=+-o ，解得：2x =，222CD AC AD ∴+=，AC CD ∴⊥，又1AA ⊥平面ABCD ，11//AA CC ，1CC ∴⊥平面ABCD ， 又AC ⊂平面ABCD ，1AC CC ∴⊥，1,CC CD ⊂Q 平面1CC D ，1=I CC CD C ，AC ∴⊥平面1CC D作1CE C D ⊥，垂足为E ，连接AE ，则1AE C D ⊥，AEC ∴∠为二面角1A C D C --的平面角.1113322CD CC CE C D ⋅===Q ，22315342AE AC CE ∴=+=+=，352cos 15CE AEC AE ∴∠===，即二面角1A C D C --5.点评：本题考查立体几何中线面平行关系的证明、二面角的求解问题；求解二面角的关键是能够根据二面角平面角的定义，利用垂直关系得到二面角的平面角，进而放到直角三角形中来进行求解.20．某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0 1 2 3 台数 5 10 20 15以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（1）求X的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）选择延保方案二较合算（Ⅰ）所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，分别求出对应的概率，列出分布列即可；（Ⅱ）求出两种方案下所需费用的分布列，然后分别求出对应的期望值，比较二者的大小即可选出最合算的方案．解：解：（Ⅰ）所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，，，，，，，，∴的分布列为0 1 2 3 4 5 6（Ⅱ）选择延保一，所需费用元的分布列为：7000 9000 11000 13000 15000（元）.选择延保二，所需费用元的分布列为：10000 1100012000（元）.∵，∴该医院选择延保方案二较合算. 点评：本题考查了离散型随机变量的分布列，考查了概率的计算，考查了期望的求法，属于中档题．21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，离心率为12，点P 为椭圆C上一动点，且12PF F △3O 为坐标原点. (1)求椭圆C 的方程；(2)设点()11,M x y ，()22,N x y 为椭圆C 上的两个动点，当1212x x y y +为多少时，点O 到直线MN 的距离为定值.答案：（1）22143x y +=；（2）当1212x x y y +＝0时，点O 到直线MN 221. （1）12PF F △的面积最大时，P 是短轴端点，由此可得3bc =222a b c =+可得,a b ，从而得椭圆方程；（2）在直线MN 斜率存在时，设其方程为y kx m =+，现椭圆方程联立消元（y ）后应用韦达定理得1212,x x x x +，注意>0∆，一是计算1212x x y y +，二是计算原点到直线MN 的距离，两者比较可得结论． 解：（1）因为P 在椭圆上，当P 是短轴端点时，P 到x 轴距离最大，此时12PF F ∆面积最大，所以122c b bc ⨯⨯==22212bc c a a b c⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为22143x y +=．（2）在12x x ≠时，设直线MN 方程为y kx m =+，原点到此直线的距离为d =即2221m d k =+，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84120k x kmx m +++-=，2222644(34)(412)0k m k m ∆=-+->，2243m k <+，所以122834km x x k +=-+，212241234m x x k-=+， 22121212121212()()(1)()x x y y x x kx m kx m k x x km x x m +=+++=++++22222222224128712(1)(1)343434m k m m k k m k k k --+=+⋅-+=+++， 所以当12120x x y y +=时，2212(1)7m k =+，2221217m d k ==+，7d =为常数． 若12x x =，则12y y =-，221212110x x y y x y +=-=，2211x y =，2127x =，d x ==， 综上所述，当1212x x y y +＝0时，点O 到直线MN. 点评：本题考查求椭圆方程与椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力．解题方法是“设而不求”法．在直线与圆锥曲线相交时常用此法通过韦达定理联系已知式与待求式．22．已知函数f (x )＝x －ln x ，g (x )＝x 2－ax .（1）求函数f (x )在区间[t ，t ＋1](t ＞0)上的最小值m (t )；（2）令h (x )＝g (x )－f (x )，A (x 1，h (x 1))，B (x 2，h (x 2))(x 1≠x 2)是函数h (x )图像上任意两点，且满足1212()()h x h x x x --＞1，求实数a 的取值范围；（3）若∃x ∈(0,1]，使f (x )≥()a g x x-成立，求实数a 的最大值． 答案：（1）m (t )＝ln ,11,01t t t t -≥⎧⎨<<⎩（2）a ≤－2.（3）a ≤－2.（1）是研究在动区间上的最值问题，这类问题的研究方法就是通过讨论函数的极值点与所研究的区间的大小关系来进行求解．（2）注意到函数h (x )的图像上任意不同两点A ，B 连线的斜率总大于1，等价于h (x 1)－h (x 2)＜x 1－x 2(x 1＜x 2)恒成立，从而构造函数F (x )＝h (x )－x 在(0，＋∞)上单调递增，进而等价于F ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立来加以研究．（3）用处理恒成立问题来处理有解问题，先分离变量转化为求对应函数的最值，得到a ≤22ln 1x x x x -+，再利用导数求函数M (x )＝22ln 1x x xx -+的最大值，这要用到二次求导，才可确定函数单调性，进而确定函数最值． 解：（1） f ′(x )＝1－1x，x ＞0， 令f ′(x )＝0，则x ＝1.当t ≥1时，f (x )在[t ，t ＋1]上单调递增，f (x )的最小值为f (t )＝t －lnt ； 当0＜t ＜1时，f (x )在区间(t,1)上为减函数，在区间(1，t ＋1)上为增函数，f (x )的最小值为f (1)＝1. 综上，m (t )＝ln ,11,01t t t t -≥⎧⎨<<⎩（2）h (x )＝x 2－(a ＋1)x ＋lnx ， 不妨取0＜x 1＜x 2，则x 1－x 2＜0， 则由1212()()1h x h x x x ->-，可得h (x 1)－h (x 2)＜x 1－x 2，变形得h (x 1)－x 1＜h (x 2)－x 2恒成立．令F (x )＝h (x )－x ＝x 2－(a ＋2)x ＋lnx ，x ＞0，则F(x)＝x2－(a＋2)x＋lnx在(0，＋∞)上单调递增，故F′(x)＝2x－(a＋2)＋1x≥0在(0，＋∞)上恒成立，所以2x＋1x≥a＋2在(0，＋∞)上恒成立．因为2x＋1x≥，当且仅当x＝2时取“＝”，所以a≤ 2.（3）因为f(x)≥()a g xx-，所以a(x＋1)≤2x2－xlnx.因为x∈(0,1]，则x＋1∈(1,2]，所以∃x∈(0,1]，使得a≤22ln1x x xx-+成立．令M(x)＝22ln1x x xx-+，则M′(x)＝2223ln1(1)x x xx+--+.令y＝2x2＋3x－lnx－1，则由y′＝(1)(41)x xx+-＝0 可得x＝14或x＝－1(舍)．当x∈1(0,)4时，y′＜0，则函数y＝2x2＋3x－lnx－1在14上单调递减；当x∈1(,)4+∞时，y′＞0，则函数y＝2x2＋3x－lnx－1在1(,)4+∞上单调递增．所以y≥ln4－18＞0，所以M′(x)＞0在x∈(0,1]时恒成立，所以M(x)在(0,1]上单调递增．所以只需a≤M(1)，即a≤1.所以实数a的最大值为1.点评：本题考查了函数与导数综合问题，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算能力，属于难题.。
2020年湖南省怀化市麻阳第一中学高一数学文月考试题含解析
2020年湖南省怀化市麻阳第一中学高一数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设a=40.2，b=0.24，c=log40.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．b＞a＞c参考答案：A【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数与指数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=40.2＞1，0＜b=0.24＜1，c=log40.2＜0，∴a＞b＞c．故选：A．【点评】本题考查了对数函数与指数函数的单调性，属于基础题．2. 方程的两根的等比中项是（）A．3 B．±2 C．± D．2参考答案：B略3. （5分）下列说法正确的个数是（）①正切函数在定义域上单调递增；②函数f（x）在区间（a，b）上满足f（a）f（b）＜0，则函数f（x）在（a，b）上有零点；③的图象关于原点对称；④若一个函数是周期函数，那么它一定有最小正周期．A．0个B．1个C．2个D．3个参考答案：B考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：由正切函数的图象可知正确函数在整个定义域上不单调，有无数个单调增区间；若f（a）f（b）＜0，但函数在两端点处不连续，则不一定在（a，b）上有零点；由定义判断出是奇函数说明③正确；举例说明④错误．解答：①正切函数在定义域上单调递增，错误，正确函数在整个定义域上不单调，有无数个单调增区间；②函数f（x）在区间（a，b）上满足f（a）f（b）＜0，则函数f（x）在（a，b）上有零点，错误，若函数在两端点处不连续，则不一定在（a，b）上有零点；③函数的定义域为R，且====﹣f（x），∴f（x）为奇函数，图象关于原点对称，正确；④若一个函数是周期函数，那么它一定有最小正周期，错误，例如常数函数f（x）=1是周期函数，但无最小正周期．∴正确的命题是③．故选：B．点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数的性质，考查了函数零点的判定方法，是中档题．4. 已知函数为奇函数，该函数的部分图象如图所示，是边长为2的等边三角形，则的值为 ( )A． B． C. D.参考答案：D略5. 在中，，则()A． B．C．D．或参考答案：B6. 设集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={1，2，3，4}，B={3，5，6}，则A∩（?U B）=（）A．{1，2} B．{1，2，7} C．{1，2，4} D．{1，2，3}参考答案：C【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与交集的定义，写出运算结果即可．【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={1，2，3，4}，B={3，5，6}，则?U B={1，2，4，7}，所以A∩（?U B）={1，2，4}．故选：C．7. 已知正数x，y满足，则的最小值为（）A．5 B．C．D．2参考答案：C∵正数x，y满足，∴，∴当且仅当即，时，等号成立，即的最小值为，故选C.8. 如果A为锐角， =（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】诱导公式的作用；同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题．【分析】由于sin（π+A）=﹣sinA=﹣，cos（π﹣A）=﹣cosA，A为锐角，可求得其值，从而可求得cos（π﹣A）．【解答】解：∵sin（π+A）=﹣sinA=﹣，∴sinA=，又A为锐角，∴A=；∴cos（π﹣A）=﹣cosA=﹣cos=﹣．故选D．【点评】本题考查诱导公式的作用，关键在于掌握诱导公式及其应用，属于基础题．9. 一个三角形具有以下性质：（1）三边组成一个公差为1的等差数列；（2）最大角是最小角的2倍.则该三角形的最大边长为（）A ．6B ．5 C. 4 D ．3 参考答案：A10. 如下图所示，函数的图象大致形状依次为A ．（1）（2）（3）B ．（3）（2）（1）C ．（2）（1）（3）D ．（3）（1）（2）参考答案： C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在映射中，，且，则中的元素在中对应的元素为．参考答案：试题分析：由映射定义得在中对应的元素为考点：映射定义12. （5分）若f （）=，则f （x ）=．参考答案：，（x≠1，x≠0）考点： 函数解析式的求解及常用方法． 专题： 函数的性质及应用．分析： 本题可以直接将“x”用“”代入，得到本题结论．解答： ∵f（）=，∴将“x”用“”代入：f （x ）==，（x≠1）．故答案为：，（x≠1，x≠0）．点评： 本题考查了函数解析式求法，本题难度不大，属于基础题． 13. 在某次数学测验中，记座号为n(n=1,2,3,4)的同学的考试成绩为，若{70，85，88，90，98，100}，且满足则这四位同学考试成绩的所有可能有 种。
2020-2021学年湖南省怀化市麻阳第一中学高三数学文月考试卷含解析
2020-2021学年湖南省怀化市麻阳第一中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知复数，则其共轭复数的虚部为（）A. －1B. 1C. －2D. 2参考答案：B【分析】利用复数乘法、除法运算化简，由此求得的共轭复数，进而求得的虚部.【详解】依题意，故，其虚部为1.故选B.【点睛】本小题主要考查复数乘法、除法的运算，考查共轭复数的概念，考查复数虚部，属于基础题.2. 某奶茶店的日销售收入y（单位：百元）与当天平均气温x（单位：℃）之间的关系如下：通过上面的五组数据得到了x与y之间的线性回归方程为，但现在丢失了一个数据※，该数据应为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C3. 在等差数列{a n}中，若a4+ a6+ a8+ a10+ a12=90，则a10-a14的值为A．12 B．14 C．16 D．18参考答案：A略4. 下列函数既是奇函数又在上是减函数的是（）A. B. C. D.参考答案：C,在上是增函数，所以排除A,D,在上不单调，所以选C.5. 函数的图象大致为（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】首先求出函数的定义域，然后判断奇偶性，再考虑时，函数的单调性，用排除法进行选择.【详解】函数的定义定义域为，，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，故可排除B，当时，，故可排除C;当时，，显然当时，，函数是单调递减的，可排除D，故本题选A.【点睛】本题考查了识别函数的图象.解决此问题可以从定义域、奇偶性、单调性、对称性、周期性入手，易采用排除法，有时找特殊点、特殊值也是常用的方法.6. 某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40,90]之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（）A．得分在[40,60)之间的共有40人B．从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60,80)的概率为0.5C. 这100名参赛者得分的中位数为65D．估计得分的众数为55参考答案：C7. 已知函数，则使函数有零点的实数的取值范围是A. B.C. D.参考答案：B略8. 在中，D为AB边上一点，，，则=A． B. C. D.参考答案：B9. 若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则（）A． 6 B．7 C．8 D．9参考答案：D考点：一元二次方程根与系数的关系；等差数列和等比数列的性质10. 已知集合A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x（x﹣4）＜0}，则A∪B=（）A．（0，4）B．（﹣3，4）C．（0，3）D．（3，4）参考答案：B【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】利用并集的性质求解．【解答】解：∵集合A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x（x﹣4）＜0}={x|0＜x＜4}，∴A∪B={x|﹣3＜x＜4}=（﹣3，4）．故选：B．【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若对任意实数x，不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立，则实数a的取值范围为．参考答案：[﹣1，4]【考点】函数恒成立问题．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由绝对值的集合意义求得|x+3|+|x﹣1|的最小值，把不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立转化为a2﹣3a≤4，求解该不等式得答案．【解答】解：由绝对值的几何意义知，|x+3|+|x﹣1|表示数轴上的动点x与两定点﹣3，1的距离，则|x+3|+|x﹣1|的最小值为4，要使不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立，则a2﹣3a≤4，即a2﹣3a﹣4≤0，解得：﹣1≤a≤4．∴满足对任意实数x，不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立的实数a的取值范围为[﹣1，4]．故答案为：[﹣1，4]．【点评】本题考查了函数恒成立问题，考查了绝对值的几何意义，考查了数学转化思想方法，是中档题．12. 指数方程的解是 .参考答案：【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/指数方程和对数方程.【试题分析】令，则有，所以或（舍去），即，故答案为.13. 函数的定义域是 .参考答案：14. 如图，正方体的棱长为1，E为线段上的一点，则三棱锥的体积为＿＿＿＿＿.参考答案：15. 若函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是，，，则实数的值为．参考答案：4由三角函数的图象可知，直线与正弦函数图象交的三个相邻交点中，第一个点和第三个点之间正好一个周期，则，所以。