小学的奥数平面的几何五大定律
小学奥数必学几何五大模型及例题解析
小学奥数必学几何五大模型及例题解析一、等积变换模型一一很重要，小学常考⑴等底等高的两个三角形面积相等；⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如下图右图S i : = a :b⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图S^ ACD = S^ BCD 反之，如果S A ACD =S A BCD，则可知直线AB平行于CD⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；经典例题：（第四届”迎春杯欄试题）如图‘三角形A眈的面积为1 ,其中AE = 3AB ,，三角形册肉的面积是多少？解析：连接CE，如图。
AE=3AB,所以S A AEC =3S △ABC=3所以S A BCE =2又因为：BD=2BC,所以S A BDE=2S A BCE=4点评：此题就是三角形等积变换模型的直接应用二、鸟头定理(共角定理)模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在△ ABC中，D，E分别是AB,AC上的点(如图1)或D在BA的延长线上，E 在AC 上( 女口图2) ，则S A ABC：ADE二(AB AC): (AD AE)此模型的结论可以用将来初中学到的正弦定理进行证明！因为S^ABC=AB >ACsinA，S^ADE=AD >AEsinA所以：S A ABC: S A ADE= (AB/CsSA): (AD >AEsinA) = (AB 0C):(AD >AE)经典例题：已知MEF的面积为7平方厘米，BE = CE、AD = 2BD*CF=3AF，求心眈的面积・三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理”:① S i： S 2 = S 4 ： S3 或者S S^ = S2 S 4②AO:OC 二 $ S 2 ： S 4 S 3蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径•通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系 与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应 的对角线的比例关系。
小学奥数之几何五大模型
一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；五大模型1S 2S二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2a b +。
四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型 ①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
(完整版)小学几何五大定律
小学几何五大定律教学目标：1．熟练掌握五大面积模型2. 掌握五大面积模型的各种变形知识点拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12::S S a b=③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACDBCD S S=△△；反之，如果ACD BCDS S =△△，则可知直线平行于．AB CD ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在中，分别是上的点如图 ⑴(或在的延长线上，在上)，ABC △,D E ,AB AC D BA E AC 则:():()ABC ADES SAB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A图⑴ 图⑵三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①或者②1243::S S S S =1324S S S S ⨯=⨯()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：①2213::S S a b =②；221324::::::S S S S a b ab ab =③的对应份数为．S ()2a b +四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型baS 2S 1DCBAS 4S 3S 2S 1O DCB A A BCD O baS 3S 2S 1S 4GF E ABCDAB CDEF G ①；AD AE DE AFAB AC BC AG===②．22:ADE ABC S S AF AG =△△：所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、燕尾定理在三角形中，，，相交于同一点，那么ABC AD BE CF O ．::ABO ACO S S BD DC ∆∆=上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为和的形ABO ∆ACO ∆状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.典型例题【例 1】如图，正方形ABCD 的边长为6，1.5，2．长方形EFGH 的面AE =CF =积为 ．_F _C _B 【巩固】如图所示，正方形的边长为厘米，长方形的长为厘米，那么长方形的宽ABCD 8EBGF BG 10为几厘米？_G _C _F 【例 2】长方形的面积为36，、、为各边中点，为边上任意一点，问阴影部ABCD 2cm E F G H AD 分面积是多少？E【巩固】在边长为6厘米的正方形内任取一点，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等ABCD P OFE DCBA分，分别与点连接,求阴影部分面积．P【例 3】如图所示，长方形内的阴影部分的面积之和为70，，，四边形的ABCD 8AB =15AD =EFGO 面积为 ．BA【巩固】如图，长方形的面积是36，是的三等分点，，则阴影部分的面积为ABCD E AD 2AE ED =．B【例 4】已知为等边三角形，面积为400，、、分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积ABC D E F 和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形)HBCCB【例 5】如图，已知，，，，线段将图形分成两部分，左边部分面积5CD =7DE =15EF =6FG =AB 是38，右边部分面积是65，那么三角形的面积是 ．ADGGFE DC BA【例 6】如图在中，分别是上的点，且，，ABC △,D E ,AB AC :2:5AD AB =:4:7AE AC =平方厘米，求的面积．16ADE S =△ABC △E DCBA【巩固】如图，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面积等于1，ABC AB AD AC AE ADE 那么三角形的面积是多少？ABC EDCB A【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，，，，乙部4BD DC ==3BE =6AE =分面积是甲部分面积的几倍？丙丙E D CBA【例 7】如图在中，在的延长线上，在上，且，ABC △D BA E AC :5:2AB AD =，平方厘米，求的面积．:3:2AE EC =12ADE S =△ABC △ EDCBA【例 8】如图，平行四边形，，，，，平行四边形ABCD BE AB =2CF CB =3GD DC =4HA AD =的面积是， 求平行四边形与四边形的面积比．ABCD 2ABCD EFGHHGA B CD EF【例 9】如图所示的四边形的面积等于多少？B13131212【例 10】如图所示，中，，，，以为一边向外作正方形ABC ∆90ABC ∠=︒3AB =5BC =AC ABC ∆，中心为，求的面积．ACDE O OBC ∆【例 11】如图，以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形，，、交于AB ABE 90AEB ∠=︒AC BD ．已知、的长分别为、，求三角形的面积．O AE BE 3cm 5cm OBE【例 12】如下图，六边形中，，，，且有平行于，平ABCDEF AB ED =AF CD =BC EF =AB ED AF 行于，平行于，对角线垂直于，已知厘米，厘米，请问六CD BC EF FD BD 24FD =18BD =边形的面积是多少平方厘米？ABCDEF FEABDC【例 13】如图，三角形的面积是，是的中点，点在上，且，与ABC 1E AC D BC :1:2BD DC =AD 交于点．则四边形的面积等于 ．BE F DFEC FED CBA【巩固】如图，长方形的面积是平方厘米，，是的中点．阴影部分的面积是多ABCD 22EC DE =F DG 少平方厘米?x yyx AB C D EFG ED C BA 【例 14】四边形的对角线与交于点(如图所示)．如果三角形的面积等于三角形ABCD AC BD O ABD 的面积的，且，，那么的长度是的长度的_________倍．BCD 132AO =3DO =CO DOABC DO【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形的面积；⑵？BGC :AG GC =B【例 15】如图，平行四边形的对角线交于点，、、、的面积依ABCD O CEF △OEF △ODF △BOE △次是2、4、4和6．求：⑴求的面积；⑵求的面积．OCF △GCE △OG FEDCBA【例 16】如图，长方形中，，，三角形的面积为平方厘米，ABCD :2:3BE EC=:1:2DF FC =DFG 2求长方形的面积．ABCD A BCD EF G【例 17】如图，正方形面积为平方厘米，是边上的中点．求图中阴影部分的面积．ABCD 3M AD【巩固】在下图的正方形中，是边的中点，与相交于点，三角形的面积为1ABCD E BC AE BD F BEF 平方厘米，那么正方形面积是 平方厘米．ABCDABCDEF 【例 18】已知是平行四边形，，三角形的面积为6平方厘米．则阴影部分的ABCD :3:2BC CE =ODE 面积是 平方厘米．影部分的面积是 平方厘米．B【巩固】右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴ABCD ABED 影部分的面积是 平方厘米．【例 19】如图，长方形被、分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，ABCD CE DF 那么余下的四边形的面积为___________平方厘米．OFBC ?852O A BC DEF【例 20】如图，是等腰直角三角形，是正方形，线段与相交于点．已知正方形ABC ∆DEFG AB CD K 的面积48，，则的面积是多少？DEFG :1:3AK KB =BKD ∆【例 21】下图中，四边形都是边长为1的正方形，、、、分别是，，，ABCD E F G H AB BC CD 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数，那么，DA mn的值等于 ．()m n +【例 22】如图， 中，，，互相平行，，ABC △DE FG BC AD DF FB ==则．::ADE DEGF FGCBS S S=△四边形四边形EGF A D CB【巩固】如图，平行，且，，，求的长．DE BC 2AD =5AB =4AE =ACA ED CB【巩固】如图， 中，，，，，互相平行，ABC △DE FG MN PQ BC ，则AD DF FM MP PB ==== ．::::ADE DEGF FGNM MNQPPQCBS S S SS=△四边形四边形四边形四边形【例 23】如图，已知正方形的边长为，是边的中点，是边上的点，且ABCD 4F BC E DC ，与相交于点，求:1:3DE EC =AF BE G ABGS △GFAEDCBQ E GNMF PAD CB。
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理(附答案)
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理一、蝴蝶定理的定义与公式蝴蝶定理是小学奥数几何篇中的一个重要模型，它描述了在等腰三角形中，一条平行于底边的线段将底边平分，并且这条线段与等腰三角形的两腰相交于同一点时，该线段的中点与等腰三角形的顶点、底边的中点以及两腰上的交点形成一个等腰三角形。
蝴蝶定理的公式如下：设等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，则AG=BG=CG。
二、蝴蝶定理的应用1. 在等腰三角形中求边长：通过蝴蝶定理，可以快速求出等腰三角形中未知边的长度。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC 的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求AG的长度。
解答：根据蝴蝶定理，AG=BG=CG，又因为AB=AC，所以AG=AB/2=a。
2. 在等腰三角形中求角度：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知角的度数。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求∠AGB的度数。
解答：由于AG=BG=CG，所以△AGB是等边三角形，∠AGB=60°。
3. 在等腰三角形中求面积：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知部分的面积。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求△AGB的面积。
解答：由于△AGB是等边三角形，所以△AGB的面积=（a^2 √3）/ 4。
(完整版)小学奥数平面几何五大定律
小学奥数平面几何五大定律教学目标：1． 熟练掌握五大面积模型2. 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACDBCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A图⑴ 图⑵三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．ba S 2S 1DC BAS 4S 3S 2S 1O DCB A A BCD O baS 3S 2S 1S 4四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、燕尾定理在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=． 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 典型例题【例 1】 如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ．【解析】 连接DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍．三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，66 1.562262 4.54216.5DEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-⨯÷=△,所以长方形EFGH 面积为33．_H_G_ F_E_D_C_B_ A _A_B_C_D_E_ F_ G_HOFE DCBA【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．证明：连接AG ．(我们通过ABG △把这两个长方形和正方形联系在一起)． ∵在正方形ABCD 中，G 12AB S AB AB =⨯⨯△边上的高， ∴12ABG ABCDS S =△(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理，12ABG EFGB S S =△． ∴正方形ABCD 与长方形EFGB 面积相等． 长方形的宽8810 6.4=⨯÷=(厘米)．【例 2】 长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？E【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：E可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=即11()361822EHBBHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=；而EHB BHF DHG EBF S S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=． 所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBFS S ∆=-=-=阴影解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，那么图形就可变成右图：GE (H )_ A _ B_ G_ C _ E _ F _ D_ A _ B_ G_ C _ E_ F _ D这样阴影部分的面积就是DEF ∆的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFDS S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影．【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．（法2）连接PA 、PC ．由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．【例 3】 如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．B【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积．由于长方形ABCD 的面积为158120⨯=，所以三角形BOC 的面积为1120304⨯=，所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为312070204⨯-=；又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以四边形EFGO 的面积为302010-=．另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AE ED =，则阴影部分的面积为 ．ABAB【解析】 如图，连接OE ．根据蝴蝶定理，1:::1:12COE CDE CAE CDE ON ND S S S S ∆∆∆∆===，所以12OEN OED S S ∆∆=；1:::1:42BOE BAE BDE BAE OM MA S S S S ∆∆∆∆===，所以15OEM OEA S S ∆∆=．又11334OED ABCD S S ∆=⨯=矩形，26OEA OED S S ∆∆==，所以阴影部分面积为：1136 2.725⨯+⨯=．【例 4】 已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)B【解析】 因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200． 根据图形的容斥关系，有ABCABN AMC AMHN S S S S S ∆∆∆-=+-丙，即400 200200AMHN S S -=+-丙，所以AMHN S S =丙．又ADF AMHN S S S S S ∆+=++乙甲阴影，所以1143400434ADF S S S S S ∆=++-=-⨯=乙甲丙阴影．【例 5】 如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．GFE DC BAABC DE FG【解析】 连接AF ，BD ．根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=； 所以，1527BE CBF FS S ∆∆=，1227BE CBF C S S ∆∆=，2128AEG ADG S S ∆∆=，728AED ADG S S ∆∆=，于是：2115652827ADG CBF S S ∆∆+=；712382827ADG CBF S S ∆∆+=； 可得40ADG S ∆=．故三角形ADG 的面积是40．【例 6】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABES S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBA AB CDE【解析】 连接BE ．∵3EC AE = ∴3ABCABES S =又∵5AB AD =∴515ADEABEABC SSS=÷=÷，∴1515ABC ADESS==．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAA BCDE甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE = ∴3AB BE =，3ABDBDES S=又∵4BD DC ==，∴2ABCABDSS=，∴6ABCBDESS=，5S S =乙甲．【例 7】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCB A【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABES S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGAB CD EF【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少？DCB13131212【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为1212144⨯=.(也可以用勾股定理)【例 10】 如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC ∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．【解析】 如图，将OAB ∆沿着O 点顺时针旋转90︒，到达OCF ∆的位置．由于90ABC ∠=︒，90AOC ∠=︒，所以180OAB OCB ∠+∠=︒．而OCF OAB ∠=∠，所以180OCF OCB ∠+∠=︒，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=︒，所以BOF ∆是等腰直角三角形，且斜边BF 为538+=，所以它的面积为218164⨯=．根据面积比例模型，OBC ∆的面积为516108⨯=．【例 11】 如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．D【解析】 如图，连接DE ，以A 点为中心，将ADE ∆顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，而AEB ∠也是90︒，所以四边形AFBE 是直角梯形，且3AF AE ==，所以梯形AFBE 的面积为：()1353122+⨯⨯=(2cm )．又因为ABE ∆是直角三角形，根据勾股定理，222223534AB AE BE =+=+=，所以21172ABD S AB ∆==(2cm )． 那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-=-=(2cm )，所以12.52OBE BDE S S ∆∆==(2cm )．【例 12】 如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？FEABDCGFEABDC【解析】 如图，我们将BCD ∆平移使得CD 与AF 重合，将DEF ∆平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为2418432⨯=平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．【例 13】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBA33321F E DC BAABCDEF【解析】 方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AES EC==△△, 设1BDFS =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标所以551212DCEF ABC S S ==△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABC S S ==△△， 11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADE S BF FE S ==△△， 111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512． 【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?y B CD EGE D CBAEDB A【解析】 设1DEFS =△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCD S S ==△阴影平方厘米.【例 14】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．AB C DOH GA BC D O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABDBCDSS=，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题．解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==． 解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ． ∵13ABDBCD S S ∆∆=，∴13AH CG =，∴13AODDOC S S ∆∆=， ∴13AO CO =，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGCS⨯=⨯，那么6BGCS=；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=．【例 15】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．OGFEDCBA【解析】 ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ∆的面积都是1628÷=，所以OCF △的面积为844-=；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=，根据蝴蝶定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ∆∆===，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ∆∆==， 那么11221233GCECEF S S ∆∆==⨯=+．【例 16】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCD EF GABCD EF G【解析】 连接AE ，FE ．因为:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，所以3111()53210DEFABCD ABCD S S S =⨯⨯=长方形长方形． 因为12AEDABCD SS =长方形，11::5:1210AG GF ==，所以510AGD GDF S S ==平方厘米，所以12AFDS=平方厘米．因为16AFD ABCD S S =长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．【例 17】 如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．CBA【解析】 因为M 是AD 边上的中点，所以:1:2AM BC =，根据梯形蝴蝶定理可以知道22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =⨯⨯=△△△△（）（），设1AGM S =△份，则123MCD S =+=△份，所以正方形的面积为1224312++++=份，224S =+=阴影份，所以:1:3S S =阴影正方形，所以1S =阴影平方厘米．【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．A BCDEF【解析】 连接DE ，根据题意可知:1:2BE AD =，根据蝴蝶定理得2129S =+=梯形（）(平方厘米)，3ECD S =△(平方厘米)，那么12ABCDS=(平方厘米)．【例 18】 已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是平方厘米．BB【解析】 连接AC ．由于ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，所以:2:3CE AD =， 根据梯形蝴蝶定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COEAOCDOEAODS SSS=⨯⨯=，所以6AOCS=(平方厘米)，9AODS=(平方厘米)，又6915ABCACDSS==+=(平方厘米)，阴影部分面积为61521+=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．BB【分析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝴蝶定理，4936OCD OAE OCE OADS S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故236OCD S ∆=， 所以6OCDS ∆=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝴蝶定理，2816OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故216OCD S ∆=，所以4OCD S ∆=(平方厘米)．另解：在平行四边形ABED 中，()111681222ADE ABEDS S ∆==⨯+=(平方厘米)， 所以1284AOE ADE AOD S S S ∆∆∆=-=-=(平方厘米)， 根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8244⨯÷=(平方厘米)．【例 19】 如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．852O A B C D EF?852O A BCD EF【解析】 连接DE 、CF ．四边形EDCF 为梯形，所以EOD FOCS S∆=，又根据蝴蝶定理，EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅，所以2816EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅=⨯=，所以4EOD S ∆=(平方厘米)，4812ECD S ∆=+=(平方厘米)．那么长方形ABCD 的面积为12224⨯=平方厘米，四边形OFBC 的面积为245289---=(平方厘米)．【例 20】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少？BB【解析】 由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC 是梯形．在梯形ADBC 中，BDK ∆和ACK ∆的面积是相等的．而:1:3AK KB =，所以ACK ∆的面积是ABC ∆面积的11134=+，那么BDK ∆的面积也是ABC ∆面积的14．由于ABC ∆是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么M 是BC 的中点，而且AM DE =，可见ABM ∆和ACM ∆的面积都等于正方形DEFG 面积的一半，所以ABC ∆的面积与正方形DEFG 的面积相等，为48．那么BDK ∆的面积为148124⨯=．【例 21】 下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数mn，那么，()m n +的值等于 ．BEE【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积． 如下图所示，在左图中连接EG ．设AG 与DE 的交点为M ． 左图中AEGD 为长方形，可知AMD ∆的面积为长方形AEGD 面积的14，所以三角形AMD 的面积为21111248⨯⨯=．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为111482-⨯=．BEE如上图所示，在右图中连接AC 、EF ．设AF 、EC 的交点为N ． 可知EF ∥AC 且2AC EF =．那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的14，所以三角形BEF 的面积为21111248⨯⨯=，梯形AEFC 的面积为113288-=．在梯形AEFC 中，由于:1:2EF AC =，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：221:12:12:21:2:2:4⨯⨯=，所以三角形EFN 的面积为3118122424⨯=+++，那么四边形BENF 的面积为1118246+=．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为111463-⨯=． 那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11:3:223=，即32m n =，那么325m n +=+=．【例 22】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADEDEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．EGF A D CB【解析】 设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△，因此4AFG S =△份，9ABC S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．A ED CB【解析】 由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===，所以42510AC =÷⨯=【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD DF FM MP PB ====，则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形． 【解析】 设1ADE S =△份，22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，因此4AFG S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，同理有5FGNM S =四边形份，7MNQP S =四边形份，9PQCB S =四边形份．所以有::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形【例 23】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F 是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF与BE 相交于点G ，求ABG S △GFAEDC BM GFAEDCBGFAEDCB【解析】 方法一：连接AE ，延长AF ，DC 两条线交于点M ，构造出两个沙漏，所以有::1:1AB CM BF FC ==，因此4CM =，根据题意有3CE =，再根据另一个沙漏有::4:7GB GE AB EM ==，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△． Q E GNMFPA D CB方法二：连接,AE EF ，分别求4224ABF S =⨯÷=△，4441232247AEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-=△，根据蝴蝶定理::4:7ABF AEF S S BG GE ==△△，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△．【例 24】 如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点， BF 交EC 于M ，求BMG∆的面积．MHGF E D CBAA【解析】 解法一：由题意可得，E 、F 是AB 、AD 的中点，得//EF BD ，而::1:2FD BC FH HC ==，::1:2EB CD BG GD ==所以::2:3CH CF GH EF ==，并得G 、H 是BD 的三等分点，所以BG GH =，所以::2:3BG EF BM MF ==，所以25BM BF =，11112224BFDABD ABCDS S S ∆∆==⨯=； 又因为13BG BD =，所以1212113535430BMG BFD S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=． 解法二：延长CE 交DA 于I ，如右图，可得，::1:1AI BC AE EB ==，从而可以确定M 的点的位置，::2:3BM MF BC IF ==，25BM BF =，13BG BD =(鸟头定理)，可得2121115353430BMG BDF ABCDS S S ∆∆=⨯=⨯⨯=【例 25】 如图，ABCD 为正方形，1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =，请问四边形PQRS 的面积为多少？CACA【解析】 (法1)由//AB CD ，有MP PCMN DC=，所以2PC PM =，又MQ MB QC EC =，所以 12MQ QC MC ==，所以111236PQ MC MC MC =-=，所以SPQR S 占AMCF S 的16，所以121(112)63SPQR S =⨯⨯++=2(cm )．(法2)如图，连结AE ，则14482ABE S ∆=⨯⨯=(2cm )，而RB ER AB EF =，所以2RB AB EF EF ==，22168333ABR ABE S S ∆∆==⨯=(2cm )．而1134322MBQ ANS S S ∆∆==⨯⨯⨯=(2cm )，因为MN MPDC PC =， 所以13MP MC =，则11424233MNP S ∆=⨯⨯⨯=(2cm )，阴影部分面积等于164233333ABR ANS MBQ MNP S S S S ∆∆∆∆--+=--+=(2cm )．【例 26】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△ ::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△ ::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△ ::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例 27】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．I HGFEDC BAI HG FEDCBA【分析】 连接AH 、BI 、CG ．由于:3:2CE AE =，所以25AE AC =，故2255ABE ABC S S ∆∆==； 根据燕尾定理，::2:3ACG ABG S S CD BD ∆∆==，::3:2BCG ABG S S CE EA ∆∆==，所以::4:6:9ACG ABG BCG S S S ∆∆∆=，则419ACG S ∆=，919BCG S ∆=；那么2248551995AGE AGC S S ∆∆==⨯=；同样分析可得919ACH S ∆=，则::4:9ACG ACH EG EH S S ∆∆==，::4:19ACG ACB EG EB S S ∆∆==，所以::4:5:10EG GH HB =，同样分析可得::10:5:4AG GI ID =，所以5521101055BIE BAE S S ∆∆==⨯=，55111919519GHI BIE S S ∆∆==⨯=．【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI 的面积是1，求三角形ABC的面积．IH G FEDCBAIH G FEDCBA【解析】 连接BG ，AGC S △=6份根据燕尾定理，::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△，::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△得4BGC S =△(份)，9ABG S =△(份)，则19ABC S =△(份)，因此619AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得619ABH ABC S S =△△,619BIC ABC S S =△△,所以1966611919GHI ABC S S ---==△△ 三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19【巩固】如图，ABC ∆中2BD DA =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的 倍．BCCB【分析】 如图，连接AI ．根据燕尾定理，::2:1BCI ACI S S BD AD ∆∆==，::1:2BCI ABI S S CF AF ∆∆==，所以，::1:2:4ACI BCI ABI S S S ∆∆∆=，那么，221247BCI ABC ABC S S S ∆∆∆==++．同理可知ACG ∆和ABH ∆的面积也都等于ABC ∆面积的27，所以阴影三角形的面积等于ABC ∆面积的211377-⨯=，所以ABC ∆的面积是阴影三角形面积的7倍．【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DB EC FA ===,求GHI ABC △的面积△的面积的值． IHG FEDCBAIH G FEDCB A【解析】 连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得2AGC S =△(份)，4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份)，因此27AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得27ABH ABC S S =△△,27BIC ABC S S =△△,所以7222177GHI ABC S S ---==△△ 【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【例 28】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC 被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?GFE D CBAN MQPGF EDCBA【解析】 设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE 交于点N ．连接CP ，CQ ，CM ，CN ．根据燕尾定理，::1:2ABP CBP S S AG GC ==△△，::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△，设1ABP S =△(份)，则1225ABC S =++=△(份)，所以15ABP S =△同理可得，27ABQ S =△,12ABN S =△,而13ABG S =△，所以2137535APQ S =-=△，1213721AQG S =-=△．同理，335BPM S =△121BDM S =△,所以1239273570PQMN S =--=四边形，139********MNED S =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115321642GFNQ S =--=四边形【巩固】如图，ABC ∆的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC 边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少？K J IHABC D EF GKJ IHABCD E FG【解析】 连接CK 、CI 、CJ ．根据燕尾定理，::1:2ACK ABK S S CD BD ∆∆==，::1:2ABK CBK S S AG CG ∆∆==，所以::1:2:4ACK ABK CBK S S S ∆∆∆=，那么111247ACK S ∆==++，11321AGK ACK S S ∆∆==．类似分析可得215AGI S ∆=．又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ∆∆==，::2:1ABJ ACJ S S BD CD ∆∆==，可得14ACJ S ∆=．那么，111742184CGKJ S =-=．根据对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为1784，那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为172161228415370CGKJ AGI ABE S S S ∆∆⨯++=⨯++=，所以四边形JKIH 的面积为61917070-=．【例 29】 右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？N M GA BCD E FNMGA BCD EF【解析】 连接CM 、CN ．根据燕尾定理，::1:1ABM CBM S S AG GC ==△△，::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△，所以15ABM ABC S S =△△；再根据燕尾定理，::1:1ABN CBN S S AG GC ==△△，所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△，所以:4:3AN NF =，那么1422437ANG AFC S S =⨯=+△△，所以2515177428FCGN AFC ABC ABC S S S S ⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭△△△．根据题意，有157.2528ABCABC S S -=△△，可得336ABC S =△(平方厘米)【例 30】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.GC BAGCB【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P ,BI 与CE 的交点为Q ,连接AM 、BN 、CP⑴求ADMI S 四边形：在ABC △中，根据燕尾定理，::1:2ABM CBM S S AI CI ==△△::1:2ACM CBM S S AD BD ==△△ 设1ABM S =△(份)，则2CBM S =△(份),1ACM S =△(份),4ABC S =△(份),所以14ABM ACM ABC S S S ==△△△，所以11312ADM ABM ABC S S S ==△△△,112AIM ABC S S =△△,所以111()12126ABC ABC ADMI S S S =+=△△四边形,同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的16⑵求DNPQE S 五边形：在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABN ACN S S BF CF ==△△::1:2ACN BCN S S AD BD ==△△,所以111133721ADN ABN ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,同理121BEQ ABC S S =△△在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF ==△△,::1:2ABP CBP S S AI CI ==△△ 所以15ABP ABC S S =△△，所以1111152121105ABP ADN BEP ABC ABC DNPQE S S S S S S ⎛⎫=--=--=⎪⎝⎭△△△△△五边形 同理另外两个五边形面积是ABC △面积的11105，所以11113133610570S =-⨯-⨯=阴影【例 31】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.GCBAGCBA【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接CR在ABC △中根据燕尾定理，::.2:1ABR ACR S S BG CG ==△△,::1:2ABR CBR S S AI CI ==△△所以27ABR ABC S S =△△,同理27ACS ABC S S =△△,27CQB ABC S S =△△所以222117777RQS S =---=△，同理17MNP S =△根据容斥原理，和上题结果11131777010S =+-=六边形课后练习：练习1. 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米练习2. 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD的面积．H GED CBA A BCDEFGH【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGFS S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形 连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米练习3. 正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是平方厘米．H GFEDC BAMH GFEDCBA【解析】 欲求四边形BGHF 的面积须求出EBG ∆和CHF ∆的面积．由题意可得到：::1:2EG GC EB CD ==，所以可得：13EBG BCE S S ∆∆=将AB 、DF 延长交于M 点，可得：:::1:1BM DC MF FD BF FC ===，而1::():3:22EH HC EM CD AB AB CD ==+=，得25CH CE =，而12CF BC =，所以121255CHF BCE BCE S S S ∆∆∆=⨯=11112030224BCE S AB BC ∆=⨯⨯=⨯=1177301451515EBC EBC EBC EBC BGHF S S S S S ∆∆∆∆=--==⨯=四边形．EF ，确定H 的位置(也就是:FH HD )，同样也能解出．练习4. 如图，已知4cm AB AE ==，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=︒，10cm AC =，则S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++=2cm ．DCEBABCA'C'EDA【解析】 将三角形ABC 绕A 点和C 点分别顺时针和逆时针旋转90，构成三角形'AEC 和'A DC ，再连接''A C ，显然'AC AC ⊥，'AC A C ⊥，''AC A C AC ==，所以''ACA C 是正方形．三角形'AEC 和三角形'A DC 关于正方形的中心O 中心对称，在中心对称图形''ACA C 中有如下等量关系： ''AEC A DC S S ∆∆=；''AEC A DC S S ∆∆=；'CED C DE S S ∆∆=．所以2'''11101050cm 22ABC ACE CDE AEC ACE CDE ACA C S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++==⨯⨯=．练习5. 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．。
小升初奥数--点招必备系列课程之三-第3讲-平面几何
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如图，在△ABC 中，M 为 AB 边的中点，MD、EC 平行。若△BDE 的面积是 3 平方 厘米，则△ ABC 的面积是多少？
如图，△ABC 的面积是 180 平方厘米，D 是 BC 的中点，AD=3AE，EF=3BF。那么△AEF 的面积是多少平方厘米？
1 正方形 ABCD 的边长为 4，E 是 BC 边的中点，F 是 DC 边上的点，且 DF= DC，AE 与 4
BF 相交于 G 点。那么三角形 ABG 的面积是多少？
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【答案】 例 1：1/7 例 2：22/45 例 3：5/12 例 4:4.8 例 5:59:24 例 6:10 例 7:略 例 8:略 例 9:24 例 10:8 例 11：5/24 例 12:5 例 13:1:4 思考题：6 练习 1：22.5 练习 2：1/4 练习 3：120 练习 4：6 练习 5：14 练习 6：32/11
◆长方形相关结论(三大面积关系)
S1 S 4 S 2 S3
S 上＋S 下=S 左＋S 右
在梯形中（如上右图） ，E、F 为 BC、AD 的中点， 则有 EF∥DC∥AB，2EF=AB+DC
（1） 锯齿定理(左下图)： 阴影=空白面积=矩形 面积的一半。 （2）右下图的三个平等四边形面 积相等。
小升初奥数--点招必备系列课程之三 第 3 讲—平面几何
知识点概述
1、 定理一： 如图， ABC 中， D 是 BC 边上一点， E 在 AD 连接 （或其延长线上） ， 那么
S ABE BD 。 S ACE CD
小学奥数平面几何五种面积模型(等积-鸟头-蝶形-相似-共边)
小学奥数平面几何五种模型（等积,鸟头,蝶形,相似,共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积,鸟头,蝶形,相似（含金字塔模型和沙漏模型）,共边（含燕尾模型和风筝模型）, 掌握五大面积模型地各种变形知识点拨一，等积模型①等底等高地两个三角形面积相等。
②两个三角形高相等,面积比等于它们地底之比。
两个三角形底相等,面积比等于它们地高之比。
如右图12::S S a b=③夹在一组平行线之间地等积变形,如右图A C D B C D S S =△△。
反之,假如ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高地两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊地平行四边形)。
⑤三角形面积等于与它等底等高地平行四边形面积地一半。
⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们地底之比。
两个平行四边形底相等,面积比等于它们地高之比．二，鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形地面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边地乘积之比．如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上地点如图 ⑴(或D 在BA 地延长线上,E 在AC 上),则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△ 图⑴ 图⑵三，蝶形定理任意四边形中地比例关系(“蝶形定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形地面积问题地一个途径．通过构造模型,一方面可以使不规则四边形地面积关系与四边形内地三角形相联系。
EDCBAEDCB Ab a S 2S 1D C BA S 4S 3S 2S 1O DCBA另一方面,也可以得到与面积对应地对角线地比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =。
小学几何五大定律
小学几何五大定律教学目标：1． 熟练掌握五大面积模型2. 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨 一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACDBCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A图⑴ 图⑵三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF GbaS 2S 1DC BA S 4S 3S 2S 1ODCB AA B C DObaS 3S 2S 1S 4①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、燕尾定理在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=． 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.典型例题【例 1】 如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ．【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？【例 2】 长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？E【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．_ A _ B_ G_ C _ E _ F_ D _H_G_ F_E_D_C_B_ A O F ED C BA【例 3】 如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．B【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AE ED =，则阴影部分的面积为 ．B【例 4】 已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC )B【例 5】 如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．GFE DC BA【例 6】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDC BA 【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E D CBA【例 7】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EF【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少？ODCBA1313121213131212【例 10】 如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC ∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．【例 11】 如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．【例 12】 如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？FEABDC【例 13】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBA【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?x y y xAB CD E FG E D CBA【例 14】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．AB CDO【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B【例 15】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．OGF EDCBA【例 16】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCD EF G【例 17】 如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．ABCDEF【例 18】 已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．B【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．【例 19】 如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．?852O A BC DEF【例 20】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少？B【例 21】 下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数mn，那么，()m n +的值等于 ．【例 22】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．EGF A D CB【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．A ED CB【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行， AD DF FM MP PB ====，则E A D::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形 ．【例 23】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F 是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF 与BE 相交于点G ，求ABG S △GFAEDCB欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
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边形 ) ．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．
证明：连接 AG ． ( 我们通过 △ ABG 把这两个长方形和正方形联系在一起 ) ．
1
∵在正方形 ABCD 中， S△ ABG
AB AB 边上的高，
2
1
∴S△ ABG
S ABCD ( 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半
)
D A
D E
A E
B
C
B
C
图⑴
图⑵
三、蝴蝶定理
D
任意四边形中的比例关系 (“蝴蝶定理” )：
A S1
① S1 : S2 S4 : S3 或者 S1 S3 S2 S4 ② AO : OC S1 S2 : S4 S3
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．
通过构造
S2 O
S4
S3
模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；
面积为
．
1.5， CF
2．长方形 EFGH 的
F
O
B
D
E C
_H
_A
_D
_E _G
_H
_A
_D
_E _G
_B
_F
_C
_B
_F
_C
【解析】 连 接 DE ，DF ，则长方形 EFGH 的面积是三角形 DEF 面积的二倍．
三角形 DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，
S△ DEF 6 6 1.5 6 2 2 6 2 4.5 4 2 16.5 ,所以长方形 EFGH 面积为 33．
A
(二 ) 沙漏模型 E FD
A
D
F
E
B
G
C
B
G
C
AD AE DE ①
AB AC BC
② S△ADE： S△ABC
AF ；
AG
AF 2 : AG 2 ．
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形
(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似
)，与
相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
C
【解析】 解 法一：寻找可利用的条件，连接 BH 、 HC ，如下图：
A
H
D
E
G
可得： S EHB
B
1 2 S AHB 、 S FHB
F
1 S CHB 、 S DHG
2
C
1
S 2
DHC
，而
SABCD
S AHB S CHB S CHD 36
即 S EHB
S BHF
S DHG
1
(S 2
AHB
S CHB
实用标准文案
教学目标： 1． 熟练掌握五大面积模型 2. 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨 一、等积模型
小学奥数平面几何五大定律
①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
S1
S2
a
b
A
B
如右图 S1 : S2 a : b
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图
S S △ACD △BCD ；
反之，如果 S△ACD S△ BCD ，则可知直线 AB 平行于 CD ．
C
D
④等底等高的两个平行四边形面积相等 (长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形 )；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理
B
C
另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 梯形中比例关系 (“梯形蝴蝶定理” )：
Aa D S1
① S1 : S3 a2 : b2
S2
S4
O
② S1 : S3 : S2 : S4 a2 : b2 : ab : ab ；
2
③ S 的对应份数为 a b ．
S3
B
C
b
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四、相似模型 ( 一)金字塔模型
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角 (相等角或互补角 )两夹边的乘积之比．
如图在 △ABC 中， D , E 分别是 AB, AC 上的点如图 ⑴ (或 D 在 BA 的延长线上， E 在 AC 上 )， 则 S△ ABC : S△ ADE ( AB AC ) : ( AD AE )
1 S CHD ) 2 36 18 ；
而 S EHB S BHF S DHG
S阴影 S EBF ， S EBF
1 BE BF 2
1 ( 1 AB ) ( 1 BC )
22
2
1 36 8
4.5 ．
所以阴影部分的面积是： S阴影 18 S EBF 18 4.5 13.5
解法二：特殊点法．找 H 的特殊点，把 H 点与 D 点重合，
2
同理， S△ ABG
1 SEFGB ．
2
∴正方形 ABCD 与长方形 EFGB 面积相等． 长方形的宽 8 8 10 6.4 ( 厘米 ) ．
【例 2】 长方形 ABCD 的面积为 是多少？
36 cm2 ， E 、 F 、 G 为各边中点， H 为 AD 边上任意一点，问阴影部分面积
A
H
D
E
G
B
F
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．
在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．
五、燕尾定理
在三角形 ABC 中， AD ，BE ，CF 相交于同一点 O ，那么 S ABO : S ACO BD : DC ．
A
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，
因为 ABO 和 ACO 的形状
很象燕子的尾巴， 所以这个定理被称为燕尾定理． 该定理在许多几何题目中都有着
广泛的运用， 它的特殊性在于， 它可以存在于任何一个三角形之中， 为三角形中的
三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径
.
典型例题
【例 1】 如图，正方形 ABCD 的边长为 6， AE
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【巩固】如图所示，正方形
ABCD 的边长为 8 厘米，长方形 EBGF 的长 BG 为 10厘米，那么长方形的宽为几厘米？
_E
_E
_A
_B
_A
_B
_F
_F
_D _G
_C
_D _G
_C
【解析】 本 题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等
( 长方形和正方形可以看作特殊的平行四
那么图形就可变成右图：
A
D (H )
E
பைடு நூலகம்
G
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B
F
C
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这样阴影部分的面积就是 DEF 的面积，根据鸟头定理，则有：
11
111
11
S阴影 SABCD S AED S BEF S CFD 36
36
36
36 13.5 ．
22
222
22