存储论教案1

《运筹学Ⅱ》课程教案第1次第一节存储论基础存储论也称库存论，是研究物资最优存储策略及存储控制的理论。

物资的存储是经济生活中的常见现象。

例如，为了保证正常生产，工厂不可避免地要存储一些原材料和半成品。

当销售不畅时，工厂也会形成一定的产成品存储（积压）；商品流通企业为了其经营活动，必须购进商品存储起来；但对企业来说，如果物资存储过多，不但占用流动资金，而且还占用仓储空间，增加保管成本，甚至还会因库存时间延长而使存货出现变质和失效带来损失。

反之，若物资存储过少，企业就会由于缺少原材料而被迫停产，或失去销售机会而减少利润，或由于缺货需要临时增加人力和成本。

因此寻求合理的存储量、订货量和订货时间是存储论研究的重要内容。

存储问题通常包括以下几个要素：1）需求存储的目的是为了满足需求。

因为未来的需求，必须有一定的存储。

从存储中取出一定数量，这将使存储数量减少，这就是存储的输出。

有的需求是间断的，例如铸造车间每隔一段时间提供一定数量的铸件给加工车间；有的需求是均匀连续的，例如在自动装配线上每分钟装配若干件产品或部件；有的需求是确定的，如公交公司每天开出数量确定的公交车；有的需求是随机的，如商场每天卖出商品的品种和数量；有的需求是常量，有的需求是非平稳的。

总之存储量因需求的满足而减少。

2）补充存储因需求而减少，必须进行补充，否则会终因存储不足无法满足需求。

补充可选择外部订货的方式，这里订货一词具有广义的含义，不仅从外单位组织货源，有时由本单位组织生产或是车间之间、班组之间甚至前后工序之间的产品交接，都可称为订货。

订货时要考虑从订货起到货物运到之间的滞后时间。

滞后时间分为两部分，从开始订货到货物达到为止的时间称为拖后时间，另一部分时间为开始补充到补充完毕为止的时间。

滞后的出现使库存问题变得复杂，但存储量总会因补充而增加。

3）缺货的处理由于需求或供货滞后可能具有随机性，因此缺货可能发生。

对缺货的处理：在订货达到后不足部分立即补上或订货到达后其不足部分不再补充。

4）存储策略存储论要研究的基本问题是货物何时补充及补充多少数量，任何一个满足上述要求的方案都称为一个存储策略。

显然存储策略依赖于当时的库存量。

下面是一些比较常见的存储策略.常见的策略有下面三种：①T循环策略:补充过程是每隔时段T补充一次，每次补充一个批量Q，且每次补充可以瞬时完成，或补充过程极短，补充时间可不考虑。

这就是T 循环策略。

②()S T ,策略:每隔一个时间T 盘点一次，并及时补充，每次补充到库存水平S ，因此每次补充量i Q 为一变量，即i i Y S Q -=,式中i Y 为库存量。

③()S s T ,,策略：每隔一个时间T 盘点一次，当发现库存量小于保险库存量s 时，就补充到库存水平S 。

即当s Y i <时，补充i Y S -，当s Y i ≥时，不予补充。

除此之外，还有()Q s ,策略：连续盘点，一旦库存水平小于s ，立即发出订单，其定货量为常数Q ；若库存水平大于等于s ，则不订货。

s 称为订货点库存水平；()S s ,策略：连续盘点，一旦库存水平小于s ，立即发出一个订单，其订货量为s S -，即使得订货时刻的库存水平达到S ，否则，就不予订货。

5）费用存储策略的衡量标准是考虑费用的问题，所以必须对有关的费用进行详细分析，存储统中的费用通常包括买价 (生产费)、订货费、存储费、缺货费及另外相关的费用．① 买价(生产费): 如果库存不足需要补充，可选外购或自行生产。

外购时需支付买价（当有折扣时更要考虑买价）；自行生产时，这里的生产费用专指与生产产品的数量有关的费用如直接材料、直接人工、变动的制造费用。

②订货费（生产准备费）：当补充库存外购时，订货费是订购一次货物所需的订购费(如手续费、差旅费、最低起运费等)，它是仅与订货次数有关的一种固定费用；当由本厂自行生产时，这时需要支出的是装配费用(属固定费用)，如更换模、夹具需要工时，添置某些专用设备等。

③存储费：包括仓库保管费(如用仓库的租金或仓库设施的运行费、维修费、管理人员工资等)、货物维修费、保险费、积压资金所造成的损失(利息、资金占用费等)、存储物资变坏、陈旧、变质、损耗及降价等造成的损失费。

④缺货费：指当存储不能满足需求而造成的损失费．如停工待料造成的生产损失、因货物脱销而造成的机会损失(少得的收益)、延期付货所支付的罚金以及因商誉降低所造成的无形损失等．在有些情况下是不允许缺货的。

如战争中缺少军械、弹药等将造成人员重大伤亡乃至战败，血库缺血将造成生命危害等，这时的缺货费可视为无穷大。

当商品的价格及需求量完全由市场决定，在确定最优策略时可以忽略不计销售收入。

但当商品的库存量不能满足需求时，由此导致的损失(或延付)的销售收入应考虑包含在缺货费中；当商品的库存量超过需求量时，剩余商品通过降价出售(或退货)的方式得到的收入其损失应考虑包含在存储费中，此时应考虑货币的时间价值等费用。

确定存储策略时，首先是把实际问题抽象为数学模型．在形成模型过程中，对一些复杂的条件尽量加以简化，只要模型能反映问题的本质就可以了．然后用数学的方法对模型进行求解，得出数量的结论．这结论是否正确，还要到实践中加以检验．如结论不符合实际，则要对模型加以修改，重新建立、求解、检验，直到满意为止。

在存储模型中，目标函数是选择最优策略的准则．常见的目标函数是关于总费用或平均费用或折扣费用(或利润)的．最优策略的选择应使费用最小或利润最大。

综上所述，一个存储系统的完整描述需要知道需求、供货滞后时间、缺货处理方式、费用结构、目标函数以及所采用的存储策略．决策者通过何时订货、订多少货来对系统实施控制．第二节 确定性库存模型本节假定在单位时间内(或称计划期)的需求量为已知常数，货物供应速率、订货费、缺货费已知，其订货策略是将单位时间分成n 等分的时间区间T ，在每个区间开始订购或生产货物量，形成循环存储策略。

存储问题是确定何时需要补充和确定应当补充多少量，因为需求率是常数，可采用当库存水平下降到某一订购点时订购固定批量的策略。

为此先要建立一个数学模型，将目标函数通过决策变量表示出来，然后确定订购量和订购间隔时间，使费用最小。

§2.1模型1 瞬时供货，不允许缺货的经济批量模型为进行存储状态分析，特作如下假定： ①需求是连续均匀的，设需求速率为D ；②当存储量降至零时，可立即补充，不会造成缺货（即认为供应速率为无穷）； ③每次订货费为a ，单位货物的存储费为b ，都为常数； ④每次订货量都相同，均为Q 。

存储状态的变化图图.2.1设()I t 表示一个运行周期开始后经时间t 后的库存量，T 为一个运行周期()(),[,(1)],0,1,2I t Q D t Nt t nT n T n =--∈+=在一个周期`T 内的平均库存量为20001111()()[]22T TT DTI t Q Dt dt Qt Dt Q T T T =-=-=-⎰⎰，因为Q DT =，所以上式表达为：22DT QQ -= 上述公式也可由求三角型面积得到。

由于Q DT =，所以一个周期长度为/T Q D =。

设货物的单价或生产成本为p ，所以一个运行周期内（订货一次）货物订货费用为a ，货物的买价为Qp ，储存费用为12Qb （b 为一个周期内单位货物的储存费）。

由于不存在缺货，所以一个运行周期的总成本为订货费用、买价、储存费用之和 设在计划期内共订货n 次，由1n T=知计划期内总费用最小的储存模型为 1min ()2Df Q Qb a pD Q=++由微分学知识，()f Q 在*Q 处有极值的必要条件为*0dfdQ =，对上式进行求导，得到：**2*102df D b aQ Q dQ =-=⇒=，由于其二次导数为正数，所以为极小值从而得到经济批量。

上述模型求的是总费用最小的订货批量，通常称为经济订货批量（Economic Ordering Quantity),缩写其为EOQ 模型。

也可以从另外的方面进行解释： 在一个周期内，平均存储量为12D ,在t 时间内的存储费用为12Dbt ，订货费为a ，因此，总的费用为：DPt+a ，在t 时间内的订货费用为：at＋DP ，从而得到时间函数： 1()2a c t Dp Dbt t =++对时间求导得到：2102a Db t t -+=⇒=带入得到：Q Dt ==例：设大华工厂全年需甲料1200吨，每次订货的成本为100元，每吨材料年平均储存成本为150元，每吨材料买价为800元，要求计算经济批量及全年最小总成本。

已知D =1200 P =800 a =100 b =150经济批量*Q =150/10012002⨯⨯=40（吨）全年共采购30次，总成本为1200⨯800+20⨯150+30⨯100=966000（元）Q a Qb f D +=211从上图看出：在*Q 处，Q aD Qb /21=。

当0,1*<<dQ df Q Q ；当0,1*>>dQ df Q Q 。

这说明*Q 左侧，成本递减，在*Q 右侧，成本递增，*Q 处成本最小。

例2.1 设大华工厂全年需甲料1200吨，每次订货的成本为100元，每吨材料年平均储存成本为150元，每吨材料买价为800元，要求计算经济批量及全年最小总成本。

已知D =1200 P =800 a =100 b =150经济批量*Q =150/10012002⨯⨯=40（吨）全年共采购30次，总成本为1200⨯800+20⨯150+30⨯100=966000（元）《运筹学Ⅱ》课程教案第2次§2 瞬时供货，允许缺货的经济批量模型本模型允许缺货，但缺货损失可以定量计算，其余条件和模型1 相同。

缺货时存储量为零，由于允许缺货，所以可以减少订货和存储费用；但缺货会影响生产与销售，造成直接与间接损失。

因此当本模型确定最优存储策略时，应综合这两方面的损失，使总费用达到最小。

此时的存储状态如图2.3所示。

假设周期12T T T =+，1Q 为周期T 内的最大存储量，S 为周期T 内的最大缺货量，并设单位时间缺货费用为2C ，则1T 为存储量为正的时间周期，2T 为存储量为负的时间周期（缺货周期）。

所以在一个周期内的订货量仍为11Q RT =与模型(2.1) 的推导类似，在一个周期内10~T 的平均存量为12Q ,1~T T 时刻均缺货量为1()2R T T -，或者表示为2S。

在一个周期内费用为存储费2111111111222Q T C Q Q C Q C R R==, 缺货量为：212RT ,缺货费用为：22112212()()11()222S T T RT Q C C R T T C R --=-= 订购费为3C ，总的费用为：221113()11(,)()22Q C RT Q C T Q C T R R-=++ A Y 有两个变量,T Q ,利用多元函数求机制的方法求最小值。