北京大兴区第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试卷含答案
大兴区第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试卷2020-11月一、单选题(共40分)1．经过(2,0), (5,3)A B --两点的直线的倾斜角是（）A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．135︒2．已知向量()0,1,1a =，()1,2,1b =- .若a b + 与()2,,4c m =-- 平行，则实数m 的值是（）A ．2B ．2-C ．10D ．10-3．若向量()()1,2,3,3,2,1AB AC ==,则平面ABC 的一个法向量为（）A ．()1,2,1-B ．()1,2,1C ．()1,2,1--D ．()1,2,1-4．无论m 取何值，直线()()31411210m x m y m +++--=都恒过一个定点，则定点的坐标为（）A ．(8,9)-B ．(9,8)-C ．(15,14)-D ．(14,15)-5．如图在一个120︒的二面角的棱上有两点,A B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB 垂直，若2AB =，1AC =，2BD =，则CD 的长为（）.A ．2B ．3C ．23D ．46．已知直线l 的方向向量为m ,平面α的法向量为n ,则“0m n ⋅=”是“l ∥α”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的中心为原点，焦点1F ，2F 均在x 轴上，C 的面积为23π，且短轴长为23，则C 的标准方程为（）A ．22112x y +=B ．22134x y +=C ．22143x y +=D ．221163x y +=8．已知P 为空间中任意一点，A 、B 、C 、D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且4136PA PB xPC DB =-+，则实数x 的值为（）A ．13B ．13-C ．12D ．12-9．设椭圆22221x y a b+=0)a b >>（的左、右焦点分别为12(,0)(,0)F c F c -，，点(,)2a N c 在椭圆的外部，点M 是椭圆上的动点，满足11232MF MN F F +<恒成立，则椭圆离心率e 的取值范围是A ．2(0)2，B ．2(1)2，C ．25()26，D ．5(,1)610．过圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝4的圆心，作直线分别交x ，y 正半轴于点A ，B ，△AOB 被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足S I +S Ⅳ＝S Ⅱ+S Ⅲ，则这样的直线AB 有（）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条二、填空题(共25分)11．椭圆2214x y +=的焦距为.12．已知圆的方程是221x y +=，则经过圆上一点22,22M ⎛⎫⎪⎪⎝⎭的切线方程是__________．13．在正方体1111ABCD A B C D -中，则直线1BC 与平面1A BD 所成角的正弦值为__________14．在空间中，四条不共线的向量OA 、OB 、OC 、OD两两间的夹角均为α．则cos α的大小为__________．15．如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面是边长为2的正方形，侧面底面，为底面内的一个动点，且满足，则点在正方形内的轨迹的长度为_______三、解答题(共85分)16．已知ABC ∆的三个顶点(,)37A ，(,)25B -，(,)35C --，点D 为AC 的中点．（1）求点D 的坐标；（2）求直线BD 的方程．（3）求△ABD 的面积．17．已知圆22: 4230C x y x y +-+-=和点(0,8)M -，（1）判断点M 与圆C 的位置关系（2）过点M 作一条直线与圆C 交于,A B 两点，且||4AB =，求直线AB 的方程；（3）过点M 作圆C 的切线，切点为,E F ，求EF 所在的直线方程．.18、已知焦点在x 轴上的椭圆，左右焦点分别为,12F F ，上顶点为B ，且三角形12F F B 为等腰直角三角形，过2F 斜率为1的直线l 交椭圆与,E F 两点。
（1）求椭圆的离心率；（2）若||83EF =，求椭圆标准方程。
19．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60︒，M 为11A C 与11B D 的交点.若AB a = ，AD b = ，1AA c=设平面ABC 的法向量n a yb zc=++（1）用,,a b c 表示BM ；（2）求n 及n的长度；；（3）求点M 到平面ABC的距离20．如图,四棱锥S ABCD -的侧面SAD 是正三角形,//AB CD ,且AB AD ⊥,24AB CD ==,E 是SB 中点.（1）求证：//CE 平面SAD ；（2）若平面SAD ⊥平面ABCD ,且=SB ,求平面EAC 与平面ACB 夹角的余弦值.21、设,A B 两点的坐标分别为(,),(,)2020-直线,AE BE 相交于点E ，且它们的斜率之积为14-,直线l 方程：4x =，直线,AE BE 与直线l 分别相交于,M N 两点，AN 交轨迹E 与点F（1）求点E 的轨迹方程。
（2）求证：,,M B F 三点共线（3）求证：以MN 为直径的圆过定点。
参考答案1D2A 3C4A5B 6B7C 8A 9D10B 11231220x y +-=1363141-315516解：（1）设D （x ，y ），则()3302x +-==，()7512y +-==，∴点D 的坐标为（0，1）．（2）∵直线BD 的斜率为51220k -==---．∴直线BD 的方程为：y –1=–2（x –0），即2x +y –1=0．（3）∵()()22205125BD =--+-=，∴A 到直线BD 的距离为222371125521d ⨯+-==+．∴△ABD 的面积为111252512225ABD S BD d ==⨯⨯= ．17解：（1）点M 坐标代入圆方程得：0640163450+---=>，所以点M 在圆外（2）圆22:(2)(1)8C x y -++=，则圆心(2,1)C -，半径22r =①若直线AB 的斜率存在，设直线:8AB y kx +=，即2224580,(22)2,281kx y d k k --===-⇒=+此时，直线AB 方程为458028x y --=；②若直线AB 的斜率不存在，则直线:0AB x =，代入2230y y +-=得121,3y y ==-，此时AB 4=，合乎题意.综上所求直线AB 的方程为：0x =或45282240x y --=；（3）以CM 为直径的圆的方程()()()2180x x y y -+++=，即：222980x y x y +-++=，①；224230x y x y +-+-=，②.1-②得27110x y ++=，因此，直线EF 的方程为27110x y ++=.18解：（1）在等腰直角三角形12F F B中，121F F B ，2c =，所以2e =（2）由（1）设(,)20F c ，(,)11E x y ，(,)22F x y 得椭圆方程为222212x y c c+=直线l 方程：y x c =-，与椭圆方程联立，消元得：2340x cx -=解得：,12403cx x ==所以|21EF x x =-||403c -得833c c =⇒=所以椭圆方程为22142x y +=19解：（1）()11111222BM BA A M c a a a b c b -+=+=+-++=（2）由题意知12a b b c c a ⋅=⋅=⋅=由00n a n b ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩ 得：1110221122y z y z ⎧++=⎪⎪⎨⎪++⎪⎩解得：1,3y z ==-所以3n a b c=+-||n =（3）因为//1A M 平面ABC ，所以点M 到平面ABC 的距离等于点1A 到平面ABC 的距离所以||||c nd n ⋅=||1133+-=20解：（1）取SA 的中点F ,连接EF ,因为E 是SB 中点,所以EF AB ∥,且2AB EF =,又因为AB CD ∥,2AB CD =,所以EF DC ,EF DC =,即四边形EFDC 是平行四边形,所以EC FD ∥,又因为EC ⊄平面SAD ,FD ⊂平面SAD ,所以CE 平面SAD ；（2）方法一：取AD 中点O ,连接SO ,BO ,因为SAD 是正三角形,所以SO AD ⊥,因为平面SAD ⊥平面ABCD ,AB AD ⊥所以SO ⊥平面ABCD ,AB ⊥平面ABCD ,所以AB SA ⊥,故4=SA ,以O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -,则(0,0,0)O ,(0,2,0)A -,(4,2,0)B -,(2,2,0)C ,(0,2,0)D ,S ,(2,-E ,所以(0,=- CE ,(2,4,0)=--CA ,设平面ACE 的法向量为(,,)m x y z =,则30-+=y ,240x y --=,令1y =得=m ,易知平面ACB 的法向量为(0,0,1)n =,则6cos ,||||4m n m n m n ⋅===r rr r r r ,所以平面EAC 与平面ACB夹角的余弦值为4.21解：（1）设(,)E x y ，由题意()22AE y k x x =≠-+，()22BE yk x x =≠-由已知有()12224y y x x x ⋅=-≠±+-化简得()22124x y x +=≠±（2）设AE 方程为：(2),(0)y k x k =+≠令4x =得点(4,6)M k 由22(2)44y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消元得：2222(14)161640k x k x k +++-=显然0∆>恒成立由2216414A E k x x k -=+，且2A x =-，得：222814E k x k -=+代入直线l 方程得2414E ky k =+又因为(2,0)B ，所以：14BE k k =-所以直线BE 为：1(2)4y x k=--令4x =得点1(4,2N k-，112AN k k=-联立方程221(2)1244y x kx y -⎧=+⎪⎨⎪+=⎩消去x 得：()22361120k y ky ++=所以212361F ky k -=+，22722361F k x k -=+6342BM kk k ==-2221236137222361F FBBM F ky k k k k k y k -=+===-=-+,BM BF 有公共点B ，所以,,M B F 三点共线（3）设以MN 为直径的圆上点(,)P x y ，则MP NP ⊥所以圆方程为()()()()144602x x y k y k--+-+=即()()22146302x y k y k-++--=当220(4)30y x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩时与k 无关所以以MN 为直径的圆过定点（4±。
2020-2021学年北京市某校高二(上)期中数学试卷 (1)
2020-2021学年北京市某校高二（上）期中数学试卷一．选择题共13小题，每小题4分，共52分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题意要求的一项。
1. 已知全集U ={1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合A ={1, 2, 4}，B ={1, 3, 5}，则(∁U A)∩B =( ) A.{1}B.{3, 5}C.{1, 6}D.{1, 3, 5, 6}【答案】 B【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】进行交集、补集的运算即可． 【解答】解：∁U A ={3, 5, 6}； ∴ (∁U A)∩B ={3, 5}． 故选B .2. 已知复数z 在复平面上对应的点为(1, −1)，则（ ） A.z +1是实数B.z +1是纯虚数C.z +i 是实数D.z +i 是纯虚数【答案】 C【考点】复数的代数表示法及其几何意义 复数的基本概念【解析】复数z 在复平面上对应的点为(1, −1)，可得z =1−i ，分别计算z +1，z +i ．即可判断出结论． 【解答】解：复数z 在复平面上对应的点为(1,−1)， 则z =1−i ，∴ z +1=2−i ，z +i =1. 因此只有C 正确． 故选C .3. 已知向量a →=(−1, 2, 1)，b →=(3, x, 1)，且a →⊥b →，那么|b →|等于（ ） A.√10B.2√3C.√11D.5【答案】 C【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】利用向量且a →⊥b →，求出x ，然后利用向量的模长公式求|b →|的长度． 【解答】解：因为a →=(−1, 2, 1)，b →=(3, x, 1)，且a →⊥b →，所以−1×3+2x +1×1=0，即x =1，所以b →=(3, 1, 1)， 所以|b →|=√32+12+12=√11， 故选C ．4. 设a =213，b =log 32，c =cos 100∘，则（ ） A.c >b >aB.a >c >bC.c >a >bD.a >b >c【答案】 D【考点】对数值大小的比较 【解析】利用指数函数、对数函数、三角函数的性质求解． 【解答】解：∵ a =213>20=1，0=log 31<b =log 32<log 33=1， c =cos 100∘<0， ∴ a >b >c ． 故选：D ．5. 下列函数中，在定义域内满足f(−x)+f(x)=0的是（ ） A.f(x)＝√x B.f(x)=ln |x|C.f(x)=x cos xD.f(x)＝1x−1【答案】 C【考点】函数奇偶性的性质与判断 【解析】由题意，函数f(x)为奇函数，再利用函数的奇偶性的定义以及判断方法，得出结论． 【解答】f(−x)+f(x)=0，即f(−x)=−f(x)，故函数f(x)为奇函数．由于f(x)=√x 的定义域为[0, +∞)，不关于原点对称，故f(x)不是奇函数，故排除A ； 由于f(x)=ln |x|是偶函数，故排除B ；由于f(x)=x cos x 的定义域为R ，且满足f(−x)=−x cos (−x)=−x cos x =−f(x)，故函数为奇函数，故C 满足条件；由于f(x)=1x−1的定义域为{x|x ≠1}，不关于原点对称，不是奇函数，故排除D ，6. 在下列四个命题中，正确的是（ ）A.平面直角坐标系中任意一条直线均有倾斜角和斜率B.四条直线中斜率最大的直线是l 3C.直线x +2y −3＝0的斜率是2D.经过(5, m)和(m, 8)的直线的斜率是1，则m =132【答案】 D【考点】 直线的斜率 【解析】对于A ，当直线与x 轴垂直时，直线没有斜率；对于B ，四条直线中斜率最大的直线是l 4；对于C ，直线x +2y −3＝0的斜率是−12；对于D ，利用直线的斜率计算公式求解． 【解答】对于A ，平面直角坐标系中任意一条直线均有倾斜角，但当直线与x 轴垂直时，直线没有斜率，故A 错误；对于B ，如图，四条直线中斜率最大的直线是l 4，故B 错误； 对于C ，直线x +2y −3＝0的斜率是−12，故C 错误； 对于D ，∵ 过(5, m)和(m, 8)的直线的斜率是1， ∴ 8−mm−5=1，解得m =132，故D 正确．7. 如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，设AD =AA 1=1，AB =2，则BD 1→⋅AD →等于（ ）A.1B.2C.3D.√63【答案】 A【考点】空间向量的数量积运算 【解析】由向量的运算法则把向量用AB →，AD →，AA 1→表示，结合垂直关系和数量关系可得． 【解答】解：由题意可得BD 1→⋅AD →=(AD 1→−AB →)⋅AD → =(AD →+AA 1→−AB →)⋅AD →=AD →2+AA 1→⋅AD →−AB →⋅AD →由垂直关系可得AA 1→⋅AD →=AB →⋅AD →=0 故原式=12+0−0=1 故选A8. 如图，在三棱锥A −BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB =DC =2，点E 为BC 的中点，若直线AE 与底面BCD 所成的角为45∘，则三棱锥A −BCD 的体积等于（ ）A.23B.43C.2D.2√23【答案】D【考点】直线与平面所成的角柱体、锥体、台体的体积计算【解析】确定∠AED 为直线AE 与底面BCD 所成的角，求出DE ，可得AD ，再利用三棱锥A −BCD 的体积公式，即可得到结论． 【解答】解：∵ DB =DC =2，点E 为BC 的中点，∴ DE ⊥BC ，DE =√2 ∵ DA ，DB ，DC 两两垂直，∴ AD ⊥平面DBC ， ∴ ∠AED 为直线AE 与底面BCD 所成的角∵ 直线AE 与底面BCD 所成的角为45∘，∴ ∠AED =45∘， ∴ AD =DE =√2∴ 三棱锥A −BCD 的体积等于13×12×2×2×√2=2√23故选D ．9. 已知复数z 的共轭复数z ¯=2−i1+2i ，i 是虚数单位，则复数z 的虚部是（ ） A.1 B.−1 C.i D.−i【答案】 A【考点】 复数的运算 【解析】先根据复数的运算法则求出z ¯，再根据共轭复数求出z ，可得z 的虚部． 【解答】z ¯=2−i1+2i =(2−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−5i 5=−i ，则z =i ，则复数z 的虚部是1，10. 在空间中，已知直线a 的方向向量为v →，平面α的法向量为n →，则“直线a 与平面α相交”是“v →⋅n →≠0”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 C【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】根据充分必要条件的定义以及直线和平面的位置关系判断即可． 【解答】若“直线a 与平面α相交”，则“v →⋅n →≠0”，是充分条件， 若v →⋅n →=0时，则直线a 和平面α平行或直线a ⊂平面α， 若v →⋅n →≠0，则直线a 与平面α相交，是必要条件； 故“直线a 与平面α相交”是“v →⋅n →≠0”的充要条件，11. 如图，棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 是棱AA 1的中点，点P 在侧面ABB 1A 1内，若D 1P 垂直于CM ，则△PBC 的面积的最小值为（ ）A.2√55B.√55C.45D.1【答案】 A【考点】棱柱的结构特征 【解析】建立坐标系，求出P 的轨迹，得出P 到B 的最小距离，得出三角形的最小面积． 【解答】以AB ，AD ，AA 1为坐标轴建立空间坐标系如图所示： 则M(0, 0, 1)，C(2, 2, 0)，D 1(0, 2, 2)，设P(a, 0, b)，则D 1P →=(a, −2, b −2)，CM →=(−2, −2, 1)， ∵ D 1P ⊥CM ，∴ D 1P →=−2a +4+b −2＝0，即b ＝2a −(2) 取AB 的中点N ，连结B 1N ，则P 点轨迹为线段B 1N ， 过B 作BQ ⊥B 1N ，则BQ =√5=2√55． 又BC ⊥平面ABB 1A 1，故BC ⊥BQ ， ∴ S △PBC 的最小值为S △QBC =12×2×2√55=2√55． 故选：A ．12. 设空间直角坐标系中有四A ，B ，C ，D 个点，其坐标分别为A(1, 0, 0)，B(0, 1, 0)，C(2, 1, 4)，D(−1, −2, 8)，下列说法正确的是（ ）A.存在唯一的一个不过点A 、B 的平面α，使得点A 和点B 到平面α的距离相等B.存在唯一的一个过点C 的平面β，使得AB // β，CD ⊥βC.存在唯一的一个不过A 、B 、C 、D 的平面γ，使得AB // γ，CD // γD.存在唯一的一个过C 、D 点的平面α使得直线AB 与α的夹角正弦值为1235【答案】 B【考点】命题的真假判断与应用 【解析】由 AB // 平面 α 或平面 α 过线段 AB 的中点可判断 A 选项的正误； 推导出 AB ⊥CD 以及 A 、B 、C 、D 四点不共面，利用点 C 且与 CD 垂直的平面 β 有且只有一个以及 AB // β 可判断 B 选项的正误； 在 AB 、CD 的公垂线 MN 上的点作 MN 的垂面满足题意，可判断 C 选项的正误； 设平面 α 的法向量为 n →＝(1,y,z)，根据题意可得出关于 y 、z 的方程组，判断方程组解的个数，进而可判断 D 选项的正误． 【解答】对于 A 选项，当 AB // 平面 α 或平面 α 过线段 AB 的中点时，点 A 和点 B 到平面 α 的距离相等， A 选项错误； 对于 B 选项，AB →＝(−1,1,0)，CD →＝(−3,−3,4)，∴ AB →∗CD →＝−1×(−3)+1×(−3)＝0，∴ AB ⊥CD ，∵ AC →＝(1,1,4)，AD →＝(−2,−2,8)，设 AD →＝xAB →+yAC →，则 {−x +y ＝−2x +y ＝−24y ＝8，该方程组无解，所以，A 、B 、C 、D 四点不共面， 则 AB 与 CD 异面，而过点 C 且与 CD 垂直的平面 β 有且只有一个，若 AB ⊂β，由于 CD ⊂β，则 AB 与 CD 共面，矛盾，所以，AB // β， B 选项正确； 对于 C 选项，由于 AB 、CD 异面，设 MN 为 AB 、CD 的公垂线段，且 M ∈AB ，N ∈CD ，在直线 MN （异于 M 、N ） 的任意一点作平面 γ，使得 γ⊥MN ，则 AB // γ，CD // γ，这样的平面 γ 有无数个， C 选项错误； 对于 D 选项，设平面 α 的一个法向量为 n →＝(1,y,z)，AB →＝(−1,1,0)，CD →＝(−3,−3,4)， 由题意可得 n →∗CD →＝−3−3y +4z ＝0， |cos ⟨AB →，n →⟩|＝|AB →∗n →||AB →|∗|n →|＝√2×√y 2+z 2+1＝1235，所以，{3y −4z ＝−3,|y−1|√y 2+z 2+1＝12√235， 整理得775y 2−2774y +775=0，△=27742−4×7752=27742−15502>0，即方程 775y 2−2774y +775=0 有两个不等的实数解，所以，存在两个过 C 、D 点的平面 α 使得直线 AB 与 α 的夹角正弦值为 1235，D 选项错误．13. 如图1，矩形ABCD 中，AD =√3．点E 在AB 边上，CE ⊥DE 且AE ＝1．如图2，△ADE 沿直线DE 向上折起成△A 1DE ．记二面角A −DE −A 1的平面角为θ，当θ∈(0∘, 180∘)时，①存在某个位置，使CE ⊥DA 1； ②存在某个位置，使DE ⊥A 1C ；③任意两个位置，直线DE 和直线A 1C 所成的角都不相等． 以上三个结论中正确的序号是（ ）A.①B.①②C.①③D.②③C【考点】棱锥的结构特征【解析】在①中，当二面角A−DE−A1的平面角θ＝90∘时，CE⊥DA1；在②中，A1D⊥A1E，CE⊥DE，从而∠DEA一定是锐角，从而不存在某个位置，使DE⊥A1C；在③中，DE 是定直线，A1C是动直线，从而任意两个位置，直线DE和直线A1C所成的角都不相等．【解答】在①中，当二面角A−DE−A1的平面角θ＝90∘时，CE⊥DA1，故①正确；在②中，∵如图1，矩形ABCD中，AD=√3．点E在AB边上，CE⊥DE且AE＝1，如图2，△ADE沿直线DE向上折起成△A1DE．记二面角A−DE−A1的平面角为θ∴A1D⊥A1E，CE⊥DE，∴∠DEA一定是锐角，∴当存在某个位置，使DE⊥A1C时，DE⊥平面A1EC，则∠DEA＝90∘，与∠DEA一定是锐角矛盾，故不存在某个位置，使DE⊥A1C，故②错误；在③中，DE是定直线，当二面角A−DE−A1的平面角θ变化时，A1C是动直线，∴任意两个位置，直线DE和直线A1C所成的角都不相等，故③正确．二、填空题直线y＝−x−2的倾斜角是________，在y轴上的截距为________．【答案】3π,−24【考点】直线的斜截式方程直线的倾斜角【解析】由题意利用直线的斜率，求出它的倾斜角，再根据直线的方程，求出直线在y轴上的截距．【解答】，在y轴上的截距为−2，直线y＝−x−2的斜率为−1，它的倾斜角是3π4已知直线l经过点P(1, 2)，且直线l的方向向量为a→=(2, 4)，则直线l的斜率为________，直线l的方程为________．【答案】2,2x−y=0【考点】直线的斜率直线的点斜式方程【解析】先求出直线的斜率，再用点斜式求直线l的方程．∵ 直线l 经过点P(1, 2)，且直线l 的方向向量为a →=(2, 4)，则直线l 的斜率为42=2，∴ 直线l 的方程为 y −2=2(x −1)，即 2x −y =0，已知向量a →=(13, tan α)，b →=(cos α, 1)，α∈(π2,π)，且a →∥b →，则sin α＝________，cos 2α＝________． 【答案】13,79【考点】二倍角的三角函数平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】由题意利用两个向量共线的性质，两个向量的数量积公式，求得结果． 【解答】∵ 向量a →=(13, tan α)，b →=(cos α, 1)，α∈(π2,π)，且a →∥b →，则13×1−tan α⋅cos α＝0，求得 sin α=13，故cos 2α＝1−2sin 2α=79，已知平面α的一个法向量是n →=(1, 1, −1)，且平面α经过点A(1, 2, 0)．若P(x, y, z)是平面α上任意一点，则点P 的坐标满足的方程是________． 【答案】x +y −z −3=0 【考点】空间向量运算的坐标表示 【解析】求出向量AP →，利用平面α的一个法向量是n →=(1, 1, −1)，通过向量的数量积为0，求解即可． 【解答】解：由题意可知AP →=(x,y,z)−(1,2,0)=(x −1, y −2, z)； 平面α的一个法向量是n →=(1, 1, −1)，所以AP →⋅n →=0， 即：(x −1, y −2, z)(1, 1, −1)=0；x −1+y −2−z =0，即x +y −z −3=0， 所求点P 的坐标满足的方程是x +y −z −3=0． 故答案为：x +y −z −3=0．函数f(x)=sin x 的图象向左平移π6个单位得到函数g(x)的图象，则下列函数g(x)的结论：①一条对称轴方程为x ＝7π6；②点(5π6，0)时对称中心； ③在区间(0,π3)上为单调增函数；④函数g(x)在区间[π2，π]上的最小值为−12．其中所有正确的结论为________. 【答案】 ②③④ 【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 命题的真假判断与应用【解析】首先利用函数的图象的平移变换求出函数g(x)的解析式，进一步利用函数的性质函数的定义域和值域的关系，函数的单调区间，函数的对称性的应用判定①②③④的结论． 【解答】函数f(x)=sin x 的图象向左平移π6个单位得到函数g(x)=sin (x +π6)的图象， 对于①：当x ＝7π6时，g(7π6)＝sin (7π6+π6)＝sin 4π3＝−√32，故①错误； ②当x =5π6时，g(5π6)=sin π=0故函数关于(5π6，0)对称，故②正确；③当x ∈(0,π3)，时，x +π6∈(π6,π2)，故函数在区间(0,π3)上为单调增函数，故③正确； ④当x ∈[π2，π]时，x +π6∈[2π3，7π6]，所以sin (x +π6)∈[−12,√32]故函数的最小值为−12，故④正确．已知f(x)={1−|x +1|,x <0x 2−2x,x ≥0 ．（1）f(−1)＝________；（2）若实数m ∈[−2, 0]，则|f(x)−f(−1)|在区间[m, m +2]上的最大值的取值范围是________． 【答案】 1 [1, 2] 【考点】函数的最值及其几何意义 分段函数的应用【解析】（1）直接把x ＝−1代入已知函数解析式求得f(−1)的值；（2）令g(x)＝f(x)−f(−1)，根据题设条件求出g(x)的表达式，画出其图象，再对m 进行讨论，求出|g(x)|的最大值的表达式，进而求得结论． 【解答】∵ f(x)={1−|x +1|,x <0x 2−2x,x ≥0 ，∴ f(−1)＝1−|−1+1|＝1；f(x)−f(−1)＝f(x)−1={x +1,x ≤−1−x −1,−1<x <0x 2−2x −1,x ≥0 ，令g(x)＝f(x)−f(−1)={x +1,x ≤−1−x −1,−1<x <0x 2−2x −1,x ≥0 ，其图象如下图所示：①当m ＝−2时，g(x)={x +1,x ∈[−2,−1]−x −1,x ∈(−1,0]，此时|g(x)|max ＝1；②当m ∈(−2, −1)时，|g(x)|max ＝−g(m +2)＝−[(m +2)2−2(m +2)−1]＝−m 2−2m +1∈(1, 2)；③当m ＝−1时，g(x)={−x −1,x ∈[−1,0]x 2−2x −1,x ∈(0,1] ，此时|g(x)|max ＝2，④当m ∈(−1, 0)时，|g(x)|max ＝−g(m +2)＝−[(m +2)2−2(m +2)−1] ＝−m 2−2m +1∈(1, 2)；⑤当m ＝0时，g(x)＝x 2−2x −1，x ∈[0, 2]，此时|g(x)|max ＝1．综上，若实数m ∈[−2, 0]，则|f(x)−f(−1)|在区间[m, m +2]上的最大值的取值范围是[1, 2]．三、解答题共5小题，共68分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＝2√2，b ＝5，c =√13． (Ⅰ)求角C 的大小； (Ⅱ)求sin A 的值； (Ⅲ)求sin (2A +π4)的值． 【答案】（1）由余弦定理以及a ＝2√2，b ＝5，c =√13，则cos C =a 2+b 2−c 22ab=2×2√2×5=√22， ∵ C ∈(0, π)， ∴ C =π4；（2）由正弦定理，以及C =π4，a ＝2√2，c =√13，可得sin A =a sin C c=2√2×√2213=2√1313； (Ⅲ) 由a <c ，及sin A =2√1313，可得cos A =√1−sin 2A =3√1313， 则sin 2A ＝2sin A cos A ＝2×2√1313×3√1313=1213，∴ cos 2A ＝2cos 2A −1=513， ∴ sin (2A +π4)=√22(sin 2A +cos 2A)=√22(1213+513)=17√226． 【考点】 余弦定理 正弦定理 解三角形【解析】(Ⅰ)根据余弦定理即可求出C 的大小， (Ⅱ)根据正弦定理即可求出sin A 的值，(Ⅲ)根据同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出． 【解答】（1）由余弦定理以及a ＝2√2，b ＝5，c =√13， 则cos C =a 2+b 2−c 22ab=2×2√2×5=√22， ∵ C ∈(0, π)， ∴ C =π4；（2）由正弦定理，以及C =π4，a ＝2√2，c =√13，可得sin A =a sin C c=2√2×√22√13=2√1313； (Ⅲ) 由a <c ，及sin A =2√1313，可得cos A =√1−sin 2A =3√1313， 则sin 2A ＝2sin A cos A ＝2×2√1313×3√1313=1213，∴ cos 2A ＝2cos 2A −1=513，∴ sin (2A +π4)=√22(sin 2A +cos 2A)=√22(1213+513)=17√226．已知函数f(x)=(sin x +cos x)2+cos 2x ． (1)求f(π4)值；(2)求f(x)的最小值正周期；(3)求f(x)的单调递增区间．【答案】解：(I)f(π4)=(√22+√22)2+cosπ2=2．(II)因为f(x)=sin2x+2sin x cos x+cos2x+cos2x，所以，f(x)=1+sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)+1，所以f(x)的最小正周期为T=2π|ϖ|=2π2=π．(III)令2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2，所以kπ−3π8≤x≤kπ+π8，所以f(x)的单调递增区间为(kπ−3π8，kπ+π8)，k∈Z．【考点】三角函数的周期性及其求法三角函数中的恒等变换应用【解析】(I)根据函数f(x)=(sin x+cos x)2+cos2x，直接求得f(π4)值．(II)化简f(x)=sin2x+2sin x cos x+cos2x+cos2x为√2sin(2x+π4)+1，从而求得f(x)的最小正周期．(III)令2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2，求得x的范围，可得f(x)的单调递增区间．【解答】解：(I)f(π4)=(√22+√22)2+cosπ2=2．(II)因为f(x)=sin2x+2sin x cos x+cos2x+cos2x，所以，f(x)=1+sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)+1，所以f(x)的最小正周期为T=2π|ϖ|=2π2=π．(III)令2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2，所以kπ−3π8≤x≤kπ+π8，所以f(x)的单调递增区间为(kπ−3π8，kπ+π8)，k∈Z．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1=2．（1）求证：A 1C ⊥BC ；（2）求直线AC 1和A 1B 1所成角的大小；（3）求直线AC 1和平面ABB 1A 1所成角的大小． 【答案】证明：∵ 在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BC ⊥CC 1，∵ AC ⊥BC ，AC ∩CC 1=C ， ∴ BC ⊥平面ACC 1A 1，∵ AC 1⊂平面ACC 1A 1，∴ A 1C ⊥BC ．以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A(2, 0, 0)，C 1(0, 0, 2)，A 1(2, 0, 2)，B 1(0, 2, 2)， AC 1→=(−2, 0, 2)，A 1B 1→=(−2, 2, 0)， 设直线AC 1和A 1B 1所成角的大小为θ， 则cos θ=|AC 1→|⋅|A 1B 1→|˙=√8⋅√8=12， ∴ 直线AC 1和A 1B 1所成角的大小为60∘．AC 1→=(−2, 0, 2)，A(2, 0, 0)，B(0, 2, 0)，A 1(2, 0, 2)，B 1(0, 2, 2)， AB →=(−2, 2, 0)，AA 1→=(0, 0, 2)， 设平面ABB 1A 1的法向量n →=(x, y, z)，则{AA 1→⋅n →＝2z ＝0˙，取x =1，得n →=(1, 1, 0)， 设直线AC 1和平面ABB 1A 1所成角的大小为θ， 则sin θ=|AC 1→|⋅|n →|˙=8⋅2=12，θ=30∘．∴ 直线AC 1和平面ABB 1A 1所成角的大小为30∘． 【考点】直线与平面所成的角 异面直线及其所成的角【解析】（1）由BC ⊥CC 1，AC ⊥BC ，得BC ⊥平面ACC 1A 1，由此能证明A 1C ⊥BC ．（2）以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，由此直线AC 1和A 1B 1所成角的大小．（3）求出AC 1→=(−2, 0, 2)和平面ABB 1A 1的法向量，由此能求出直线AC 1和平面ABB 1A 1所成角的大小． 【解答】证明：∵ 在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BC ⊥CC 1，∵ AC ⊥BC ，AC ∩CC 1=C ， ∴ BC ⊥平面ACC 1A 1，∵ AC 1⊂平面ACC 1A 1，∴ A 1C ⊥BC ．以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A(2, 0, 0)，C 1(0, 0, 2)，A 1(2, 0, 2)，B 1(0, 2, 2)， AC 1→=(−2, 0, 2)，A 1B 1→=(−2, 2, 0)， 设直线AC 1和A 1B 1所成角的大小为θ，则cos θ=|AC 1→|⋅|A 1B 1→|˙=√8⋅√8=12， ∴ 直线AC 1和A 1B 1所成角的大小为60∘．AC 1→=(−2, 0, 2)，A(2, 0, 0)，B(0, 2, 0)，A 1(2, 0, 2)，B 1(0, 2, 2)， AB →=(−2, 2, 0)，AA 1→=(0, 0, 2)， 设平面ABB 1A 1的法向量n →=(x, y, z)，则{AA 1→⋅n →＝2z ＝0˙，取x =1，得n →=(1, 1, 0)，设直线AC 1和平面ABB 1A 1所成角的大小为θ， 则sin θ=|AC 1→|⋅|n →|˙=√8⋅√2=12，θ=30∘．∴ 直线AC 1和平面ABB 1A 1所成角的大小为30∘．如图，三棱柱ABC −DEF 的侧面BEFC 是边长为1的正方形，面BEFC ⊥面ADEB ，AB =4，∠DEB =60∘，G 是DE 的中点．（1）求证：CE // 平面AGF ；（2）求点D 到平面AGF 的距离；（3）在线段BC 上是否存在一点P ，使二面角P −GE −B 为45∘，若存在，求BP 的长；若不存在，说明理由．【答案】证明：连接CD 交AF 于H ，连接HG ，∵ 三棱柱ABC −DEF ，∴ AD // CF ，AD =CF ， ∴ 四边形ADFC 是平行四边形，∴ H 是CD 的中点，又G 是DE 的中点，∴ HG // CE ，又HG ⊂平面AGF ，CE ⊄平面AGF ， ∴ CE // 平面AGF ．∵ 四边形BEFC 是正方形，∴ BC ⊥BE ，∵ 平面BEFC ⊥平面ABED ，平面BEFC ∩平面ABED =BE ，BC ⊂平面BEFC ，BC ⊥BE ，∴ BC ⊥平面ABED ，∵ ∠BED =60∘，BE =1，GE =12DE =12AB =2，∴ BG =√BE 2+GE 2−2⋅BE ⋅GE ⋅cos ∠BED =√3， ∴ BE 2+BG 2=GE 2，∴ BG ⊥BE ，以B 为原点，以BG ，BE ，BC 为坐标轴建立空间直角坐标系B −xyz ，如图所示， 则G(√3, 0, 0)，A(2√3, −2, 0)，F(0, 1, 1)，D(2√3, −1, 0)， ∴ AG →=(−√3, 2, 0)，GF →=(−√3, 1, 1)，DG →=(−√3, 1, 0)， 设平面AGF 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →⋅GF →＝0˙，即{√3x ＝0−√3x +y +z ＝0，令y =1可得n →=(0, 1, −1)，设D 到平面AGF 的距离为d ，则d =|n →|˙=√2=√22． 假设线段BC 上存在一点P ，使二面角P −GE −B 为45∘，设P(0, 0, ℎ)， 则GP →=(−√3, 0, ℎ)，EP →=(0, −1, ℎ)，设平面PGE 的法向量为m →=(x 1, y 1, z 1)，则{m →⋅EP →＝0˙，即{−√3x 1+ℎz 1＝0−y 1+ℎz 1＝0，令z 1=1可得m →=(√3 ℎ, 1)，∵ BC ⊥平面ABED ，∴ BC →=(0, 0, 1)是平面BGE 的一个法向量， ∴ cos <BC →，m →>=|BC →||m →|˙=√4ℎ3+1×1=√4ℎ3+1=√22， 解得ℎ=√32， 线段BC 上存在一点P ，使二面角P −GE −B 为45∘，此时BP =√32． 【考点】二面角的平面角及求法 点、线、面间的距离计算 直线与平面平行【解析】（1）连接CD 交AF 于H ，连接HG ，根据中位线定理可得HG // CE ，于是CE // 平面AGF ；（2）建立空间坐标系，求出平面AGF 的法向量n →，利用距离公式求出D 到平面AGF 的距离；（3）假设存在符合条件的P 点，设BP =ℎ，求出平面PGE 的法向量m →，令|cos <m →，BC →>|=√22计算ℎ，根据ℎ的值做出判断．【解答】证明：连接CD 交AF 于H ，连接HG ，∵ 三棱柱ABC −DEF ，∴ AD // CF ，AD =CF ， ∴ 四边形ADFC 是平行四边形，∴ H 是CD 的中点，又G 是DE 的中点，∴ HG // CE ，又HG ⊂平面AGF ，CE ⊄平面AGF ， ∴ CE // 平面AGF ．∵ 四边形BEFC 是正方形，∴ BC ⊥BE ，∵ 平面BEFC ⊥平面ABED ，平面BEFC ∩平面ABED =BE ，BC ⊂平面BEFC ，BC ⊥BE ，∴ BC ⊥平面ABED ，∵ ∠BED =60∘，BE =1，GE =12DE =12AB =2，∴ BG =√BE 2+GE 2−2⋅BE ⋅GE ⋅cos ∠BED =√3， ∴ BE 2+BG 2=GE 2，∴ BG ⊥BE ，以B 为原点，以BG ，BE ，BC 为坐标轴建立空间直角坐标系B −xyz ，如图所示， 则G(√3, 0, 0)，A(2√3, −2, 0)，F(0, 1, 1)，D(2√3, −1, 0)， ∴ AG →=(−√3, 2, 0)，GF →=(−√3, 1, 1)，DG →=(−√3, 1, 0)， 设平面AGF 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →⋅GF →＝0˙，即{√3x ＝0−√3x +y +z ＝0，令y =1可得n →=(0, 1, −1)，设D 到平面AGF 的距离为d ，则d =|n →|˙=√2=√22． 假设线段BC 上存在一点P ，使二面角P −GE −B 为45∘，设P(0, 0, ℎ)， 则GP →=(−√3, 0, ℎ)，EP →=(0, −1, ℎ)， 设平面PGE 的法向量为m →=(x 1, y 1, z 1)，则{m →⋅EP →＝0˙，即{−√3x 1+ℎz 1＝0−y 1+ℎz 1＝0，令z 1=1可得m →=(√3 ℎ, 1)，∵ BC ⊥平面ABED ，∴ BC →=(0, 0, 1)是平面BGE 的一个法向量， ∴ cos <BC →，m →>=|BC →||m →|˙=√4ℎ23+1×1=√4ℎ23+1=√22， 解得ℎ=√32， 线段BC 上存在一点P ，使二面角P −GE −B 为45∘，此时BP =√32．已知n ∈N ∗，n ≥2，给定n ×n 个整点(x, y)，其中1≤x ，y ≤n ，x ，y ∈N ∗．(Ⅰ)当n ＝2时，从上面的2×2个整点中任取两个不同的整点(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，求x1+x2的所有可能值；(Ⅱ)从上面n×n个整点中任取m个不同的整点，m≥5n2−1．(ⅰ)证明：存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1′, y1′)，(x2, y2)，(x2′, y2′)，满足y1＝y1′，y2＝y2′，y1≠y2；(ⅱ)证明：存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1′, y1)，(x2, y2)，(x2′, y2)，满足x1+ x1′＝x2+x2′，y1≠y2．【答案】（1）当n＝2时，4个整点分别为(1, 1)，(1, 2)，(2, 1)，(2, 2)，所以x1+x2的所有可能值为2，3，4；(2)(i)假设不存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1′, y1′)，(x2, y2)，(x2′, y2′)，满足y1＝y1′，y2＝y2′，y1≠y2；即在直线y＝i(1≤i≤n, i∈N+)中至多有一条直线上取多余1个整点，其余每条直线上至多取一个整点，此时符合条件的整点个数最多为n−1+n＝2n−1，而2n−1<52n−1，与已知m≥52−1矛盾，故存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1′, y1′)，(x2, y2)，(x2′, y2′)，满足y1＝y1′，y2＝y2′，y1≠y2；(ii)设直线y＝i(1≤i≤n, i∈N+)有a i个选定的点，若a i≥2，设y＝i上的这a i个选定的点的横坐标为x1，x2，…，x n，且满足x1<x2< ...<x n，由x1+x2<x1+x3<x2+x3<x2+x4<x3+x4<x ai−1+x ai，则x1，x2，…，x n，中任意不同两项之和的不同的值恰有2n−3个，而∑n i=1(2a i−3)=2m−3n≥5n−2−3n≥2n−3，可知存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1′, y1)，(x2, y2)，(x2′, y2)，满足x1+x1′＝x2+ x2′，y1≠y2．【考点】归纳推理【解析】(Ⅰ)取n＝2时可表示出整点即可算出可能值；(Ⅱ)(i)用反证法可推出矛盾；(ii)利用不等关系可得∑n i=1(2a i−3)=2m−3n≥5n−2−3n≥2n−3即可【解答】（1）当n＝2时，4个整点分别为(1, 1)，(1, 2)，(2, 1)，(2, 2)，所以x1+x2的所有可能值为2，3，4；(2)(i)假设不存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1′, y1′)，(x2, y2)，(x2′, y2′)，满足y1＝y1′，y2＝y2′，y1≠y2；即在直线y＝i(1≤i≤n, i∈N+)中至多有一条直线上取多余1个整点，其余每条直线上至多取一个整点，此时符合条件的整点个数最多为n−1+n＝2n−1，而2n−1<52n−1，与已知m≥52−1矛盾，故存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1′, y1′)，(x2, y2)，(x2′, y2′)，满足y1＝y1′，y2＝y2′，y1≠y2；(ii)设直线y＝i(1≤i≤n, i∈N+)有a i个选定的点，若a i≥2，设y＝i上的这a i个选定的点的横坐标为x1，x2，…，x n，且满足x1<x2< ...<x n，由x1+x2<x1+x3<x2+x3<x2+x4<x3+x4<x ai−1+x ai，则x1，x2，…，x n，中任意不同两项之和的不同的值恰有2n−3个，而∑n i=1(2a i−3)=2m−3n≥5n−2−3n≥2n−3，可知存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1′, y1)，(x2, y2)，(x2′, y2)，满足x1+x1′＝x2+ x2′，y1≠y2．试卷第21页，总21页。
2023-2024学年北京市大兴区高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市大兴区高二（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．直线的斜率为﹣1，其倾斜角的大小是（ ） A ．30°B ．45°C ．90°D ．135°2．已知两个向量a →=(1，−1，2)，b →=(2，m ，n)，且a →∥b →，则m +n ＝（ ） A ．2B ．3C ．4D ．63．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（ ） A ．至多一次中靶 B ．两次都中靶 C ．只有一次中靶 D ．两次都没中靶4．点P （0，1）到直线x ﹣y ﹣1＝0的距离等于（ ）A ．√22B ．1C ．√2D ．25．圆x 2+（y +2）2＝1关于点（1，0）中心对称的圆的方程为（ ） A ．（x +2）2+y 2＝2 B ．（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝1 C ．（x +2）2+（y +2）2＝1D ．（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝26．“a ＝﹣1”是“直线l 1：x ﹣ay +1＝0和直线l 2：ax +（a +2）y +1＝0（a ∈R ）垂直”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知两点M （﹣2，0），N （0，2），则以线段MN 为直径的圆的方程为（ ） A ．x 2+y 2﹣2x +2y ＝0 B ．x 2+y 2+2x ﹣2y ﹣6＝0 C ．x 2+y 2+4x ﹣4y ＝0D ．x 2+y 2+2x ﹣2y ＝08．在空间直角坐标系中，已知A （1，0，0），B （0，1，0），C （0，0，1），若点P （x ，1，1）在平面ABC 内，则x ＝（ ） A ．﹣1B ．0C ．√2D ．19．如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，F 为线段BC 1的中点，E 为线段A 1C 1上的动点，则下列四个结论正确的是（ ）A ．存在点E ，使EF ∥BDB ．三棱锥B 1﹣ACE 的体积随动点E 变化而变化C ．直线EF 与AD 1所成的角不可能等于60° D ．存在点E ，使EF ⊥平面AB 1C 1D10．如图，已知两点A （4，0），B （0，4），从点P （2，0）射出的光线经直线AB 反射后射到直线OB 上，再经直线OB 反射后射到P 点，则光线所经过的路程PM +MN +NP 等于（ ）A ．2√10B ．6C ．3√3D ．2√5二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．直线2x +y ﹣1＝0的一个方向向量为 ．12．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，已知OA →=(1，−1，1)，OB →=(2，0，−1)，AC →=CB →，则OC →的坐标为 ．13．已知等腰三角形ABC 的顶点为A （4，2），底边的一个端点为B （5，3），则底边的另一个端点C 的轨迹方程为 ．14．甲、乙二人进行射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件，规则如下：若射击一次击中，则此人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为13，且第一次由甲开始射击，则前2次射击中甲恰好击中1次的概率是 ；第3次由甲射击的概率是 ．15．在平面直角坐标系中，定义P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）两点间的直角距离为d （P ，Q ）＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|，如图BC ̂是圆A ：（x ﹣1）2+y 2＝1当x ≥32时的一段弧，D 是BĈ与x 轴的交点，将BC ̂依次以原点O 为中心逆时针旋转60°五次，得到由六段圆弧构成的曲线．则d （C ，D ）＝ ．若点P 为曲线上任一点，则d （O ，P ）的最大值为 ．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（10分）已知△ABC 中，点A （﹣1，0），点B （2，0），点C(0，√3)． （1）求边AC 上的高所在直线的方程； （2）求∠BAC 角平分线所在直线的方程．17．（15分）有3个相同的球，分别标有数字1，2，3，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用（x ，y ）表示试的样本点，其中x 表示第一次取出球的数字，y 表示第二次取出球的数字．设事件A ＝“第一次取出的球的数字是1”，事件B ＝“两次取出的球的数字之和是4”． （1）写出这个试验的样本空间；（2）分别求出P （A ），P （B ），P （AB ）的值； （3）判断事件A 和事件B 是否相互独立，并说明理由．18．（15分）在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，E 是DC 的中点．以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）写出DB 1→在平面ADD 1A 1上的投影向量的坐标； （2）求点B 1到平面AED 1的距离；（3）求直线DB 1与平面AED 1所成角的正弦值．19．（15分）已知圆C 经过点A （0，2）和点B （1，3），且圆心C 在直线x ﹣y ﹣1＝0上． （1）求圆C 的方程；（2）若线段DE 的端点D 的坐标是（4，3），端点E 在圆C 上运动，求线段DE 的中点M 的轨迹方程． 20．（15分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AA 1＝AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D ，E 分别是A 1B 1，CC 1的中点． （1）求证：C 1D ⊥A 1B ； （2）求证：C 1D ∥平面A 1BE ；（3）在棱CC 1上是否存在一点P ，使得平面P AB 与平面A 1BE 的夹角为60°？若存在，求CP CC 1的值；若不存在，请说明理由．21．（15分）已知直线l 1，l 2的方程分别是l 1：x ＝0，l 2：3x ﹣4y ＝0，点A 的坐标为(1，a)(a ＞34)．过点A 的直线l 的斜率为k ，且与l 1，l 2分别交于点M ，N （M ，N 的纵坐标均为正数）． （1）若k ＝﹣1，且A 为线段MN 中点，求实数a 的值及△AON 的面积； （2）是否存在实数a ，使得1|OM|+1|ON|的值与k 无关？若存在，求出所有这样的实数a ；若不存在，说明理由．2023-2024学年北京市大兴区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．直线的斜率为﹣1，其倾斜角的大小是（ ） A ．30°B ．45°C ．90°D ．135°解：设直线的倾斜角为α，则tan α＝﹣1， ∵0°≤α＜180°，∴α＝135°． 故选：D ．2．已知两个向量a →=(1，−1，2)，b →=(2，m ，n)，且a →∥b →，则m +n ＝（ ） A ．2B ．3C ．4D ．6解：因为a →∥b →，所以b →=λa →，λ∈R ，故（2，m ，n ）＝λ（1，﹣1，2），即{2=λm =−λn =2λ，解得{m =−2n =4，m +n ＝2．故选：A ．3．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（ ） A ．至多一次中靶 B ．两次都中靶 C ．只有一次中靶D ．两次都没中靶解：连续射击两次中靶的情况如下：①两次都中靶，②只有一次中靶，③两次都没中靶； 设事件P ：至少一次中靶，则P ＝{①，②}，A 选项：事件A ：至多一次中靶，则A ＝{②，③}，P ∩A ＝{②}，不互斥，不对立，B 选项：事件B ：两次都中靶，则B ＝{①}，P ∩B ＝{①}，不互斥，不对立，C 选项：事件C ：只有一次中靶，则C ＝{②}，P ∩C ＝{②}，不互斥，不对立，D 选项：事件D ：两次都没中靶；则D {③}，P ∩D ＝∅，且P ∪D ＝{①，②，③}，互斥且对立， 故选：D ． 4．点P （0，1）到直线x ﹣y ﹣1＝0的距离等于（ ）A ．√22B ．1C ．√2D ．2解：点P （0，1）到直线x ﹣y ﹣1＝0的距离等于√12+(−1)2=√2．故选：C ．5．圆x 2+（y +2）2＝1关于点（1，0）中心对称的圆的方程为（ ） A ．（x +2）2+y 2＝2 B ．（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝1 C ．（x +2）2+（y +2）2＝1D ．（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2解：圆x 2+（y +2）2＝1，圆心（0，﹣2），半径为1， 设（0，﹣2）关于（1，0）对称的对称点为C （x ，y ）， 则{x +0=2y −2=0，解得{x =2y =2，则C （2，2）， 故所求圆的方程为（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝1． 故选：B ．6．“a ＝﹣1”是“直线l 1：x ﹣ay +1＝0和直线l 2：ax +（a +2）y +1＝0（a ∈R ）垂直”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：当直线l 1：x ﹣ay +1＝0和直线l 2：ax +（a +2）y +1＝0（a ∈R ）垂直时， 有1×a +（﹣a ）（a +2）＝0，即a 2+a ＝0，解得a ＝﹣1或a ＝0，所以“a ＝﹣1”是“直线l 1：x ﹣ay +1＝0和直线l 2：ax +（a +2）y +1＝0（a ∈R ）垂直”的充分而不必要条件． 故选：A ．7．已知两点M （﹣2，0），N （0，2），则以线段MN 为直径的圆的方程为（ ） A ．x 2+y 2﹣2x +2y ＝0 B ．x 2+y 2+2x ﹣2y ﹣6＝0 C ．x 2+y 2+4x ﹣4y ＝0D ．x 2+y 2+2x ﹣2y ＝0解：因为M （﹣2，0），N （0，2）的中点为M （﹣1，1）， MN =√22+22=2√2，即MN 2=√2，所以以线段MN 为直径的圆的方程为（x +1）2+（y ﹣1）2＝2， 化简得x 2+y 2+2x ﹣2y ＝0． 故选：D ．8．在空间直角坐标系中，已知A （1，0，0），B （0，1，0），C （0，0，1），若点P （x ，1，1）在平面ABC 内，则x ＝（ ） A ．﹣1B ．0C ．√2D ．1解：已知A （1，0，0），B （0，1，0），C （0，0，1），P （x ，1，1）， 则AP →=(x −1，1，1)，AB →=(−1，1，0)，AC →=(−1，0，1)， 若点P 在平面ABC 内，则有AP →=mAB →+nAC →，m ，n ∈R ， 即（x ﹣1，1，1）＝（m ﹣n ，m ，n ）， 则{x −1=−m −n 1=m 1=n ，解得x ＝﹣1． 故选：A ．9．如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，F 为线段BC 1的中点，E 为线段A 1C 1上的动点，则下列四个结论正确的是（ ）A ．存在点E ，使EF ∥BDB ．三棱锥B 1﹣ACE 的体积随动点E 变化而变化C ．直线EF 与AD 1所成的角不可能等于60° D ．存在点E ，使EF ⊥平面AB 1C 1D解：对于A ，因为 BD ∥B 1D 1，E 在线段A 1C 1上运动，当E 为A 1C 1的中点时，EF 与B 1D 1相交，其余情况下，EF 与B 1D 1为异面直线，不可能平行，故A 错误；对于B ，V B 1−ACE =V E−AB 1C ，而点E 所在的线段A 1C 1与平面AB 1C 平行，故点E 到平面AB 1C 的距离保持不变，故三棱锥B 1﹣ACE 的体积为定值，故B 错误；对于C ，当点E 为A 1C 1中点时，△C 1EF 为等边三角形，此时∠EFC 1＝60°，而AD 1∥BC 1，故此时EF 与AD 1所成的角为 60°，故C 错误；对于D ，当点E 为A 1C 1中点时，EF ∥A 1B ，而A 1B ⊥AB 1，故EF ⊥AB 1，由三垂线定理可得，EF ⊥AD ，故EF ⊥平面AB 1C 1D ，故D 正确； 故选：D ．10．如图，已知两点A （4，0），B （0，4），从点P （2，0）射出的光线经直线AB 反射后射到直线OB 上，再经直线OB 反射后射到P 点，则光线所经过的路程PM +MN +NP 等于（ ）A ．2√10B ．6C ．3√3D ．2√5解：由题意知y ＝﹣x +4的点A （4，0），点B （0，4）则点P （2，0）设光线分别射在AB 、OB 上的M 、N 处，由于光线从点P 经两次反射后又回到P 点， 根据反射规律，则∠PMA ＝∠BMN ；∠PNO ＝∠BNM ．作出点P 关于OB 的对称点P 1，作出点P 关于AB 的对称点P 2，则： ∠P 2MA ＝∠PMA ＝∠BMN ，∠P 1NO ＝∠PNO ＝∠BNM ， ∴P 1，N ，M ，P 2共线， ∵∠P 2AB ＝∠P AB ＝45°， 即P 2A ⊥OA ；PM +MN +NP ＝P 2M +MN +P 1N ＝P 1P 2＝2√10；故选：A ．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．直线2x +y ﹣1＝0的一个方向向量为 （1，﹣2）（答案不唯一） ． 解：直线2x +y ﹣1＝0的法向量为（2，1）， 则其一个方向向量为（1，﹣2）． 故答案为：（1，﹣2）（答案不唯一）．12．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，已知OA →=(1，−1，1)，OB →=(2，0，−1)，AC →=CB →，则OC →的坐标为 (32，−12，0) ．解：因为AC →=CB →，所以OC →−OA →=OB →−OC →， 所以OC →=12(OA →+OB →)，又OA →=(1，−1，1)，OB →=(2，0，−1)， 所以OC →=12(1+2，−1+0，1−1)=(32，−12，0)． 故答案为：(32，−12，0)．13．已知等腰三角形ABC 的顶点为A （4，2），底边的一个端点为B （5，3），则底边的另一个端点C 的轨迹方程为 x 2+y 2﹣8x ﹣4y +18＝0（x ﹣y ﹣2≠0或除去点（3，1），（5，3）） ．解：设底边的另一个端点C 的坐标为（x ，y ），则√(4−x)2+(2−y)2=√(4−5)2+(2−3)2， 化简可得x 2+y 2﹣8x ﹣4y +18＝0，因为A ，B ，C 三点构成三角形，所以三点不共线且B ，C 不重合， 当A ，B ，C 三点共线时，k AB =3−25−4=1，由直线的点斜式可得y ﹣2＝1×（x ﹣4），化简可得x ﹣y ﹣2＝0，所以点C 的轨迹方程为x 2+y 2﹣8x ﹣4y +18＝0（x ﹣y ﹣2≠0或除去点（3，1），（5，3））． 故答案为：x 2+y 2﹣8x ﹣4y +18＝0（x ﹣y ﹣2≠0或除去点（3，1），（5，3））．14．甲、乙二人进行射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件，规则如下：若射击一次击中，则此人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为13，且第一次由甲开始射击，则前2次射击中甲恰好击中1次的概率是29；第3次由甲射击的概率是59．解：第一空：前2次射击中甲恰好击中1次只有一种情况：第1次甲击中，第2次甲未击中，故概率是13×23=29；第二空：第3次由甲射击有两种情况是：第1次甲击中，第2次甲还击中；第1次甲未击中，第2次乙也未击中， 故概率是13×13+23×23=59．故答案为：29；59．15．在平面直角坐标系中，定义P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）两点间的直角距离为d （P ，Q ）＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|，如图BC ̂是圆A ：（x ﹣1）2+y 2＝1当x ≥32时的一段弧，D 是BĈ与x 轴的交点，将BC ̂依次以原点O为中心逆时针旋转60°五次，得到由六段圆弧构成的曲线．则d （C ，D ）＝ 1+√32．若点P 为曲线上任一点，则d （O ，P ）的最大值为1+√3+2√22．解：由图可得，点D （2，0），C(32，√32)，∴d(C ，D)=|2−32|+|0−√32|=1+√32； 根据对称性，只需讨论点P 在第一象限的情况：当点P 在CD 上时，设∠P AD ＝θ，θ∈[0，π3]，则P （1+cos θ，sin θ），∴d(O ，P)=|1+cosθ|+|sinθ|=1+cosθ+sinθ=1+√2sin(θ+π4)≤1+√2（当且仅当θ=π4时取等号）；当点P 不在CD 上时，所在圆的圆心坐标E(12，√32)，设∠PEC ＝α，α∈[0，2π3]， 可得P(12+cosα，√32+sinα)，cosα∈[−12，1]，sin α∈[0，1]， ∴d(O ，P)=|12+cosα|+|√32+sinα|=12+cosα+√32+sinα=1+√32+√2sin(α+π4)≤1+√3+2√22， （当且仅当α=π4时取等号）．综上所述，d （O ，P ）的最大值为1+√3+2√22．故答案为：1+√32，1+√3+2√22． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（10分）已知△ABC 中，点A （﹣1，0），点B （2，0），点C(0，√3)． （1）求边AC 上的高所在直线的方程； （2）求∠BAC 角平分线所在直线的方程． 解：（1）∵点A （﹣1，0），点C(0，√3)， ∴边AC 所在直线斜率k AC =√3，∴边AC上的高所在直线BD的斜率k=−√33，且过点B（2，0）．∴边AC上的高所在直线的方程为y=−√33(x−2)．（2）由k AC=√3得∠BAC＝60°，∴∠BAC角平分线的倾斜角为30°，∴∠BAC角平分线所在直线AE的斜率k1=tan30°=√33．又∵∠BAC角平分线AE过点A（﹣1，0），∴∠BAC角平分线所在直线的方程为y=√33(x+1)．17．（15分）有3个相同的球，分别标有数字1，2，3，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用（x，y）表示试的样本点，其中x表示第一次取出球的数字，y表示第二次取出球的数字．设事件A＝“第一次取出的球的数字是1”，事件B＝“两次取出的球的数字之和是4”．（1）写出这个试验的样本空间；（2）分别求出P（A），P（B），P（AB）的值；（3）判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由．解：（1）依题意试验的样本空间为：Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）}；（2）因为A＝{（1，1），（1，2），（1，3）}，Β＝{（1，3），（2，2），（3，1）}，所以P(A)=n(A)n(Ω)=39=13，P(B)=n(B)n(Ω)=39=13．因为AB＝{（1，3）}，所以P(AB)=n(AB)n(Ω)=19；（3）因为P(A)P(B)=13×13=19=P(AB)，所以事件A和事件B相互独立．18．（15分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1，E是DC的中点．以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）写出DB 1→在平面ADD 1A 1上的投影向量的坐标；（2）求点B 1到平面AED 1的距离；（3）求直线DB 1与平面AED 1所成角的正弦值．解：（1）依题意：D （0，0，0），B 1（1，2，1），A 1（1，0，1），所以DB 1→=(1，2，1)，因为在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1⊥平面ADD 1A 1，所以DB 1→在平面ADD 1A 1上的投影向量为DA 1→，坐标为（1，0，1）．（2）由题意知，D 1（0，0，1），A （1，0，0），E （0，1，0），所以AE →=(−1，1，0)，AD 1→=(−1，0，1)．设平面AED 1的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AE →=−x +y =0n →⋅AD 1→=−x +z =0，令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，所以n →=(1，1，1)是平面AED 1的一个法向量，因为AB 1→=(0，2，1)，所以B 1到平面AED 1的距离为|AB 1→⋅n →||n →|=√3=√3．（3）设直线DB 1与平面AED 1所成角为θ，则sinθ=|cos〈DB 1→，n →〉|=|DB 1→⋅n →||DB 1→||n →|=3×6=2√23． 即直线DB 1与平面AED 1所成角的正弦值是2√23． 19．（15分）已知圆C 经过点A （0，2）和点B （1，3），且圆心C 在直线x ﹣y ﹣1＝0上．（1）求圆C 的方程；（2）若线段DE 的端点D 的坐标是（4，3），端点E 在圆C 上运动，求线段DE 的中点M 的轨迹方程．（1）解：设圆C 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0（D 2+E 2﹣4F ＞0），故圆心为(−D 2，−E 2)，由题意得{4+2E +F =01+9+D +3E +F =0−D 2−(−E 2)−1=0，解得{D =−4E =−2F =0， 所以圆C 的方程为x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0；（2）设点M 的坐标是（x ，y ），点E 的坐标是（x 0，y 0）．因为点D 的坐标是（4，3），且M 是线段DE 的中点， 所以x =x 0+42，y =y 0+32． 故x 0＝2x ﹣4，y 0＝2y ﹣3． ①因为点E 在圆C 上运动，所以点E 的坐标满足圆C 的方程，即x 02+y 02−4x 0−2y 0=0． ②把①代入②，得（2x ﹣4）2+（2y ﹣3）2﹣4（2x ﹣4）﹣2（2y ﹣3）＝0，整理，得(x −3)2+(y −2)2=54．20．（15分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AA 1＝AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D ，E 分别是A 1B 1，CC 1的中点．（1）求证：C 1D ⊥A 1B ；（2）求证：C 1D ∥平面A 1BE ；（3）在棱CC 1上是否存在一点P ，使得平面P AB 与平面A 1BE 的夹角为60°？若存在，求CP CC 1的值；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：因为在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥平面ABC ．又∠ACB ＝90°，所以CC 1⊥AC ，CC 1⊥CB ，AC ⊥CB ．故AC ，CB ，CC 1两两垂直．以C 为原点，AC ，CB ，CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则C 1（0，0，2），D （1，1，2），A 1（2，0，2），B （0，2，0），E （0，0，1），A （2，0，0），C （0，0，0），所以C 1D →=(1，1，0)，A 1B →=(−2，2，−2)．因为C 1D →⋅A 1B →=1×(−2)+1×2+0×(−2)=0，所以C 1D →⊥A 1B →，即C 1D ⊥A 1B ．（2）证明：设平面A 1BE 的法向量为n →=(x ，y ，z)，因为A 1B →=(−2，2，−2)，A 1E →=(−2，0，−1)，则{n →⋅A 1B →=0n →⋅A 1E →=0，所以{−2x +2y −2z =0−2x −z =0，取x ＝1，则y ＝﹣1，z ＝﹣2． 所以n →=(1，−1，−2)是平面A 1BE 的一个法向量．因为C 1D →⋅n →=1×1+1×(−1)+0×(−2)=0，所以C 1D →⊥n →．又因为C 1D ⊄平面A 1BE ，所以C 1D ∥平面A 1BE ．（3）设点P 满足，CP →=λCC 1→(0≤λ≤1)，则AP →=AC →+CP →=AC →+λCC 1→=(−2，0，2λ)．设平面P AB 的一个法向量为m →=(x 0，y 0，z 0)，因为AB →=(−2，2，0)，AP →=(−2，0，2λ)则{m →⋅AB →=0m →⋅AP →=0，所以{−2x 0+2y 0=0−2x 0+2λz 0=0，取z 0＝1，则x 0＝λ，y 0＝λ． 所以m →=(λ，λ，1)是平面P AB 的一个法向量．由（1）得，n →=(1，−1，−2)是平面A 1BE 的一个法向量，则平面P AB 与平面A 1BE 的夹角就是m →与n →的夹角或其补角．若平面P AB 与平面A 1BE 的夹角为60°，则cos60°=|cos〈m →，n →〉|=|m →⋅n →||m →||n →|=2√2λ+1×√6=12， 解得λ=√306∈[0，1]．所以，在棱CC 1上存在点P ，使得平面P AB 与平面A 1BE 的夹角为60°， 此时CPCC 1=√306． 21．（15分）已知直线l 1，l 2的方程分别是l 1：x ＝0，l 2：3x ﹣4y ＝0，点A 的坐标为(1，a)(a ＞34)．过点A的直线l 的斜率为k ，且与l 1，l 2分别交于点M ，N （M ，N 的纵坐标均为正数）．（1）若k ＝﹣1，且A 为线段MN 中点，求实数a 的值及△AON 的面积；（2）是否存在实数a ，使得1|OM|+1|ON|的值与k 无关？若存在，求出所有这样的实数a ；若不存在，说明理由．解：（1）∵直线 l 过点A （1，a ），且斜率为k ，∴直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1）+a ， ∵直线l 与l 1，l 2分别交于点M ，N ，∴k ≠34，由{x =0y =k(x −1)+a，解得{x =0y =a −k，即M （0，a ﹣k ）， 由{3x −4y =0y =k(x −1)+a ，解得{x =4k−4a 4k−3y =3k−3a 4k−3，即N(4k−4a 4k−3，3k−3a 4k−3)， 又∵M ，N 的纵坐标均为正数， ∴{a −k ＞03k−3a 4k−3＞0，即{a −k ＞04k −3＜0， ∵a ＞34，k ＜34，若k ＝﹣1时，M （0，a +1），N(4+4a 7，3+3a 7)， 又∵点A 为线段MN 中点，∴{4+4a 7=2a +1+3+3a 7=2a 解得a =52， ∴M(0，72)，N(2，32)，∴△AON 的面积S =12×12×72×2=74． （2）假设存在满足题意的a ，使得1|OM|+1|ON|的值与k 无关，由（1）知：M （0，a ﹣k ），N(4k−4a 4k−3，3k−3a 4k−3) 且{a −k ＞04k −3＜0， 因此|OM |＝a ﹣k ，|ON|=5a−5k 3−4k ， ∴1|OM|+1|ON|=1a−k +3−4k 5a−5k =4(2−k)5(a−k)，∵2﹣k ＞0，∴当a ＝2时，1|OM|+1|ON|为定值45， ∴存在实数a ＝2，使得1|OM|+1|ON|的值与k 无关．。
北京市大兴区2024-2025学年高二上学期期中检测数学试题含答案
大兴区2024~2025学年度第一学期期中检测高二数学（答案在最后）1.本试卷共4页，共两部分，21道小题．满分150分.考试时间120分钟.2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.直线10x y +-=的倾斜角的正切值为（）A.1-B.1C.0D.2【答案】A 【解析】【分析】根据斜率和倾斜角的关系求得倾斜角，进而求得其正切值.【详解】直线10x y +-=的斜率为1-，倾斜角为3π4，所以3πtan 14=-.故选：A2.已知两个向量()()1,1,1,2,,2a b m =-= ，且a b ⊥，则m =（）A.2-B.2C.4D.6【答案】C 【解析】【分析】根据向量垂直列方程，化简求得m .【详解】由于a b ⊥，所以()()1,1,12,,2220,4a b m m m ⋅=-⋅=-+==r r.故选：C3.过点()2,M a -，(),4N a 的直线的斜率为12，则||MN =（）A.2B.C.4D.【答案】B 【解析】【分析】根据斜率列方程，求得a ，进而求得MN .【详解】依题意，4122a a -=--，解得2a =，所以()()2,2,2,4M N -，所以MN ==.故选：B4.圆22(2)1x y ++=关于x 轴对称的圆的方程为（）A.22(2)1x y ++=B.22(2)1x y ++=C.22(2)(2)1x y ++-=D.22(2)1x y +-=【答案】D 【解析】【分析】确定出已知圆的圆心关于x 轴对称的点的坐标，结合已知圆的半径则对称圆方程可知.【详解】圆22(2)1x y ++=的圆心为()0,2-，半径为1，因为()0,2-关于x 轴对称的点为()0,2，所以对称圆的方程为()2221x y +-=，故选：D.5.若()1,1,2d =- 是直线l 的方向向量，()1,3,0n =-是平面α的法向量，则直线l 与平面α的位置关系是（）A.直线l 在平面α内B.平行C.相交但不垂直D.垂直【答案】C 【解析】【分析】先判断d 与n是否共线或垂直，即可得出结论．【详解】∵()1,1,2d =- ，()1,3,0n =- ，假设存在实数k ，使得d kn = ，则()()1,1,21,3,0k -=-，即11320kkk =-⎧⎪=⎨⎪-=⋅⎩⇒k 无解.不存在实数k ，使得d kn = 成立，因此l 与α不垂直．由d ()()1,1,21,3,013020n ⋅=-⋅-=-++=≠，可得直线l 与平面α不平行．因此直线l 与平面α的位置关系是相交但不垂直．故选：C【点睛】本题考查了向量共线定理、数量积运算性质、线面位置关系，属于基础题．6.已知直线240x y +-=与直线230x my m +++=平行，则它们之间的距离为（）A.B.C.2D.2【答案】C 【解析】【分析】根据直线240x y +-=与直线230x my m +++=平行，由4034m m -=⎧⎨+≠⎩,解得m ，然后利用两平行线间的距离.【详解】因为直线240x y +-=与直线230x my m +++=平行，所以4034m m -=⎧⎨+≠⎩,解得4m =，因为直线240x y +-=与直线7202++=x y 7|4|3522--=．故选：C【点睛】本题主要考查两直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===，1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=，则1AC 的长为（）A.3B.6C.3D.6【答案】B 【解析】【分析】根据向量运算求得正确答案.【详解】依题意，11AC AB AD AA =++，所以()()22222111112AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++=+++⋅+⋅+⋅11111121111116222⎛⎫=+++⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭.所以16AC =故选：B8.已知圆22:1O x y +=，过直线34100x y +-=上的动点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则PA 的最小值为（）A.1B.2C.3D.2【答案】C 【解析】【分析】连接PO ，222PA PO r =-，当PO 最小时，PA 最小，计算点到直线的距离得到答案.【详解】如图所示：连接PO ，则222PA PO r =-，当PO 最小时，PA 最小，min 2210234PO -==+，故PA 22213-=.故选：C.9.已知点C （2，0），直线kx －y ＋k =0（k ≠0）与圆()()22112x y -+-=交于A ，B 两点，则“△ABC 为等边三角形”是“k =1”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】当ABC V 为等边三角形时，求出斜率k 的值，当1k =时，判断ABC V 的形状，即可选出答案.【详解】设圆心为D ，易知()1,1D ，半径2r =当ABC V 为等边三角形时，CD l ⊥，而2111CD k -==--，因为1CD k k ⋅=-，所以1k =，当1k =时，直线l 为：10x y -+=，而2111CD k -==--，所以1CD k k ⋅=-，所以CD l ⊥，所以ABC V 为等腰三角形，因为()222112CD =-+=圆心到直线l 的距离为1112211d -+==+，即21CD =，所以圆心D 为ABC V 的重心，同时也是ABC V 的外心，所以ABC V 为等边三角形，所以“ABC V 为等边三角形”是“1k =”的充要条件，故选：A.10.如图，放在平面直角坐标系中的“太极图”整体是一个圆形，且黑色阴影区域与白色区域关于原点中心对称，其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆.已知直线:(2)l y a x =-.给出下列四个结论：①当0a =时，若直线l 截黑色阴影区域所得两部分面积记为1212()S S S S ≥，，则12::31S S = ；②当43a =-时，直线l 与黑色阴影区域有1个公共点；③当[]1,1a ∈-时，直线l 与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点．其中所有正确结论的序号是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】A 【解析】【分析】由题知根据直线：:(2)l y a x =-过定点(2,0)，a 为直线的斜率根据直线和圆的位置关系作图，数形结合逐项分析判断即可得解.【详解】如图1所示，大圆的半径为2，小圆的半径为1，所以大圆的面积为4π，小圆的面积为π．对于①，当0a =时，直线l 的方程为0y =．此时直线l 将黑色阴影区域的面积分为两部分1π3ππ22S =+=，2πππ22S =-=，所以12::31S S =，故①正确．对于②，根据题意，黑色阴影区域在第一象限的边界方程为22(1)1(0)x y x +-=>,当43a =-时，直线的方程为4:(2)3l y x =--，即4380x y +-=，小圆圆心(0,1)到直线l 的距离1d ==，所以直线l 与该半圆弧相切，如图2所示，所以直线l 与黑色阴影区域只有一个公共点，故②正确．对于③，当[1,1)a ∈-时，如图3所示，直线l 与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点，当1a =时，直线l 与黑色阴影区域的边界曲线有1个公共点()0,2-，故③错误．综上所述，①②正确．故选：A ．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知()1,1A ，()2,2B ，()0,C n 三点共线，则n =______．【答案】0【解析】【分析】先确定直线,AB AC 斜率存在，然后根据三点共线可知AB AC k k =，结合斜率的计算公式可求结果.【详解】因为A B C x x x ≠≠，所以直线,AB AC 斜率存在，因为,,A B C 三点共线，所以AB AC k k =，所以2112110n--=--，解得0n =，故答案为：0.12.已知圆22:240C x y x y a +-++=，则圆心C 坐标为__________，当圆C 与y 轴相切时，实数a 的值为_____________.【答案】①.(1,2)-.②.4.【解析】【分析】首先将圆的一般方程进行配方运算，得到标准方程22(1)(2)5x y a -++=-，从而求得圆的圆心坐标，再根据圆与y 轴相切，即圆心到y 轴的距离即为圆的半径，从而求得a 的值.【详解】由22240x y x y a +-++=，配方得22(1)(2)5x y a -++=-，所以圆心C 的坐标为(1,2)-；当圆C 与y 1=，解得4a =；故答案是(1,2)-，4.【点睛】该题考查的是有关圆的问题，涉及到的知识点有圆的一般方程向圆的标准方程的转化，由圆的方程得到圆的圆心坐标，圆与直线相切时满足的条件，即为圆心到切线的距离为圆的半径，从而建立相应的等量关系式，求得结果.13.已知平面α过点()()()0,0,0,2,2,0,0,0,2O A B 三点，直线l 与平面α垂直，则直线l 的一个方向向量的坐标可以是______．【答案】()1,1,0-（答案不唯一）【解析】【分析】先求解出平面α的法向量，然后根据位置关系判断出方向向量与法向量的关系，由此可知方向向量的结果.【详解】设平面α的法向量为(),,n x y z =，因为()()2,2,0,0,0,2OA OB ==，所以n OA n OB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ，所以0n OA n OB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以22020x y z +=⎧⎨=⎩，取1x =，所以()1,1,0n =-，又因为直线l 与平面α垂直，所以直线l 的方向向量与平面α的法向量共线，所以可取方向向量为()1,1,0-（不唯一，非零共线即可），故答案为：()1,1,0-（答案不唯一）.14.直线220x y -+=和260x y +-=与两坐标轴正半轴围成的四边形的面积为______．【答案】4【解析】【分析】先分别求解出直线与坐标轴的正半轴交点坐标，然后求解出两直线的交点坐标，结合割补法求解出四边形面积.【详解】令260x y +-=中0y =，得3x =，所以与x 轴交于()3,0A ，令220x y -+=中0x =，得1y =，所以与y 轴交于()0,1B ，由260220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩可得22x y =⎧⎨=⎩，所以两直线交于()2,2P ，所以围成的四边形面积为()()122232422S +⨯⨯-=+=，故答案为：4.15.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，E 为1BB 的中点，F 为棱1CC （含端点）上的动点，给出下列四个结论：①存在F ，使得BF DE ⊥；②存在F ，使得1//B F 平面1A ED ；③当F 为线段1CC 中点时，三棱锥1A EFD -的体积最小；④当F 与1C 重合时，直线EF 与直线1A D 所成角的余弦值最小.其中所有正确结论的序号是______．【答案】②④【解析】【分析】先建立合适空间直角坐标系，设()[]()2,2,0,2F m m ∈，对于①：根据0BF DE ⋅=求得m 的值并判断是否正确；对于②：考虑F 与C 重合时的情况；对于③：根据1113A EFD A ED V S d -=⨯⨯ ，分析d 的最小值即可判断；对于④：利用向量法先表示出1cos ,EF A D，然后结合换元法和二次函数性质求解出最小值并判断.【详解】建立如图所示空间直角坐标系设()[]()2,2,0,2F m m ∈，①：因为()()()2,0,0,0,2,0,2,0,1B D E ，所以()()0,2,,2,2,1BF m DE ==-，当BF DE ⊥时，40BF DE m ⋅=-+=，解得4m =，不符合题意，故①错误；②：当F 与C 重合时，因为1111//,A B FD A B FD =，所以四边形11A B FD 为平行四边形，所以11//B F A D ，且1B F ⊄平面1A ED ，1A D ⊂平面1A ED ，所以1//B F 平面1A ED，故②正确；③：设F 到平面1A ED 的距离为d ，所以11113A EFD F A ED A ED V V S d --==⨯⨯ ，且1A ED S 为定值，所以当d 最小时，三棱锥1A EFD -的体积最小，因为()()()10,0,2,0,2,0,2,0,1A D E ，所以()()110,2,2,2,0,1A D A E =-=- ，设平面1A ED 的法向量为(),,n x y z =，所以1100n A D n A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以020y z x z -=⎧⎨-=⎩，取1x =，所以()1,2,2n = ，又()2,0,DF m = ，所以223DF n m d n ⋅+== ，当0m =时d 有最小值，故③错误；④：设直线EF 与直线1A D 所成角为θ，因为()()10,2,1,0,2,2EF m A D =-=- ，所以1cos cos ,EF A D θ==，令[]31,3m t -=∈，所以3m t =-，所以cos θ====，因为11,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以11t =取最大值，此时cos θ取最小值，此时1,2t m ==，即F 与1C 重合，故④正确；故答案为：②④.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是向量法的使用，将①中的垂直关系转化为数量积计算，将③中的体积问题转化为点到面的距离问题并用向量法完成计算，将④中的异面直线所成角转化为直线方向向量所成角进行计算.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知平面内两点(8,6),(2,2)A B -.（1）求AB 的中垂线方程；（2）求过点(2,3)P -且与直线AB 平行的直线l 的方程．【答案】（1）34230x y --=;（2）4310x y ++=.【解析】【详解】试题分析：(1)首先求得中点坐标，然后求得斜率，最后利用点斜式公式即可求得直线方程；(2)利用点斜式可得直线方程为4310x y ++=.试题解析：（1）8252+=，6222-+=-∴ 吘的中点坐标为()5,2-624823AB k --==--，∴ 吘的中垂线斜率为34∴由点斜式可得()3254y x +=-∴ 吘的中垂线方程为34230x y --=（2）由点斜式()4323y x +=--∴直线l 的方程4310x y ++=17.已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切.（1）求圆C 的标准方程.（2）求直线l ：220x y -+=与圆C 相交的弦长.【答案】（1）22(2)4x y -+=；（2）455.【解析】【分析】（1）根据直线与圆相切，应用点线距离公式求圆心坐标，写出圆C 的标准方程.（2）根据相交弦、弦心距、半径之间的几何关系求弦长即可.【详解】（1）令圆心为(,0)x 且0x >，∴由圆与3440x y ++=相切，有|34|25x +=，即可得2x =.∴圆C 的标准方程为22(2)4x y -+=.（2）由（1）知：C (2,0)，2r =，∴C 到直线220x y -+=的距离为d =∴直线l 与圆C 相交的弦长为4525==.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，AB AD ⊥，且122PA AB BC AD ==== ．（1）求直线PB 与直线CD 所成角的大小；（2）求直线PD 与平面PAC 所成角的正弦值．【答案】（1）π3（2）5【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得直线PB 与直线CD 所成角的大小.（2）利用向量法来求得直线PD 与平面PAC 所成角的正弦值．【小问1详解】由于PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥，由于AB AD ⊥，所以,,AB AD AP 两两相互垂直.以A 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，()()()()0,0,2,2,0,0,2,2,0,0,4,0P B C D ，()()2,0,2,2,2,0PB CD =-=- ，设直线PB 与直线CD 所成角为α，则1cos 2PB CD PB CDα⋅==⋅ ，由于π02α≤≤，所以π3α=.【小问2详解】()0,4,2PD =- ，()()2,2,0,0,0,2AC AP == ，设平面PAC 的法向量为(),,n x y z =，则22020n AC x y n AP z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，故可设()1,1,0n =- ，设直线PD 与平面PAC 所成角为θ，则10sin 5PD n PD nθ⋅==⋅ .19.已知圆C 过()()()4,1,0,1,2,3A B M 三点，直线:2l y x =+．（1）求圆C 的方程；（2）求圆C 关于直线l 对称的圆C '的方程；（3）若P 为直线l 上的动点，Q 为圆C 上的动点，O 为坐标原点，求||||OP PQ +的最小值．【答案】（1）()()22214x y -+-=（2）()()22144x y ++-=（32-【解析】【分析】（1）设出圆的标准方程，代入点的坐标求解出参数则圆的方程可知；（2）根据斜率关系和中点关系求解出对称点C '的坐标，结合对称圆的半径不变求解出圆C '的方程；（3）根据圆外一点到圆上点距离的最值可知2OP PQ OP PC +≥+-，然后利用对称关系将OP PC +转化为OP PC +'，结合三点共线可求最小值.【小问1详解】设圆的方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，代入()()()4,1,0,1,2,3A B M ，则()()()()()()22222222241123a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩，解得212a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以圆C 的方程为()()22214x y -+-=；【小问2详解】设(),C m n '，由对称关系可知111212222n m n m -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪=+⎪⎩，解得14m n =-⎧⎨=⎩，所以()1,4C '-，又因为对称圆的半径不变，所以C '的方程为()()22144x y ++-=；【小问3详解】因为2OP PQ OP PC +≥+-，由（2）可知C 关于直线l 的对称点为C '，所以OP PC OP PC OC +=+≥=''，当且仅当,,O P C '共线时取等号，所以2OP PQ +≥，即OP PQ +2-.20.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，Q 为PD 的中点，PA AD ⊥，2PA AB ==，再从条件①、条件②这两个条件中任选一个作为已知．（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）求平面ACQ 与平面ABCD 夹角的余弦值；（3）求点B 到平面ACQ 的距离．条件①：平面PAD ⊥平面ABCD ；条件②：PA AB ⊥．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）证明见解析（2）33（3）233【解析】【分析】（1）先选择条件，然后根据面面垂直的性质定理或线面垂直的判定定理来证得PA ⊥平面ABCD .（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面ACQ 与平面ABCD 夹角的余弦值.（3）利用向量法求得点B 到平面ACQ 的距离.【小问1详解】若选①，由于平面PAD ⊥平面ABCD ，且交线为AD ，PA ⊂平面PAD ，PA AD ⊥，所以PA ⊥平面ABCD .若选②，由于PA AB ⊥，PA AD ⊥，,,AB AD A AB AD =⊂ 平面ABCD ，所以PA ⊥平面ABCD .【小问2详解】由（1）知PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，,,AB AD AP 两两垂直，以A 为原点，,,AB AD AP 分别所在的直线为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系，则()0,0,2P ， ǡ ǡ ，()0,1,1Q ，()2,2,0C ，所以()2,2,0AC = ，()0,1,1AQ = 由（1）知平面ABCD 的法向量()0,0,2AP = ，设平面ACQ 的法向量为(),,n x y z = ，则2200n AC x y n AQ y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，即00x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1y =，则()1,1,1n =-- ，设平面ACQ 与平面ABCD 夹角的为θ，则3cos 3AP n AP nθ⋅===⋅ ，所以平面ACQ 与平面ABCD 夹角的余弦值为33.【小问3详解】由已知得()2,0,0B ，()2,0,0AB = ，所以点B 到平面ACQ的距离为233AB n n ⋅==.21.已知圆M ：221214600x y x y +--+=及其上一点(24)A ，．（1）若圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；（2）设过点A 的直线l 与圆M 相交的另一交点为B ，且ABM 为直角三角形，求l 的方程；（3）设动点(0)T t ，，若圆M 上存在P Q ，两点，使得TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围．【答案】（1）()()22611x y -+-=（2）7100x y --=或7300x y +-=（3）22⎡-+⎣【解析】【分析】（1）求得圆N 的圆心和半径，从而求得圆N 的标准方程.（2）利用圆心到直线的距离列方程，求得直线l 的斜率，从而求得直线l 的方程.（3）将原问题转化为||||210TA PQ r =≤=即可求解.【小问1详解】圆M 的方程可化为()()226725x y -+-=，所以圆心为()6,7M ，半径为=5r .由于圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，结合图象可知圆N 的圆心为()6,1，半径为1，所以圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=.【小问2详解】由于MA MB =，所以三角形ABM 是等腰直角三角形，且π2AMB ∠=，所以M 到直线AB的距离为15222=，所以直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为()422,420y k x kx k kx y k -=-=--+-=，522==，两边平方并化简得274870k k --=，解得7k =或17k =-，所以直线l 的方程为7100x y --=或124077x y --++=，即7100x y --=或7300x y +-=.【小问3详解】TA TP TQ+= ，所以TA TQ TP PQ =-= ，因为P ，Q 为圆M 上的两点，所以||210PQ r ≤=，由PQ TA = ，得||||10TA PQ =≤，即10≤，22(2)4100t -+≤，2(2)84,22t t t -≤-≤--≤，解得22t -≤≤+t 的取值范围为[2-+．【点睛】方法点睛：圆的几何性质与方程化简：通过化简圆的方程，找到圆心和半径，结合切线和外切条件，利用几何性质确定圆心的具体位置和半径.利用距离公式求直线方程：在涉及到圆与直线的关系时，利用点到直线的距离公式来确定直线的方程，是一种行之有效的方法.。
北京市大兴区第一中学2020-2021学年第一学期期中考试高二数学试题
2020北京大兴一中高二（上）期中数 学2020-11一、单选题(共40分)1．经过(2,0), (5,3)A B −−两点的直线的倾斜角是（ ）A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．135︒2．已知向量()0,1,1a =，()1,2,1b =−.若a b +与()2,,4c m =−−平行，则实数m 的值是（ ）A ．2B ．2−C ．10D ．10−3．若向量()()1,2,3,3,2,1AB AC ==,则平面ABC 的一个法向量为（ ）A ． ()1,2,1−B ．()1,2,1C ．()1,2,1−−D ．()1,2,1−4．无论m 取何值，直线()()31411210m x m y m +++−−=都恒过一个定点，则定点的坐标为（ ）A ．(8,9)−B ．(9,8)−C ．(15,14)−D ．(14,15)−5．如图在一个120︒的二面角的棱上有两点,A B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB 垂直，若AB =，1AC =，2BD =，则CD 的长为（ ）.A ．2B ．3C ．D ．46．已知直线l 的方向向量为m ,平面α的法向量为n ,则“0m n ⋅=”是“l ∥α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的中心为原点，焦点1F ，2F 均在x 轴上，C 的面积为，且短轴长为C 的标准方程为（ ）A ．22112x y +=B ．22134x y +=C ． 22143x y +=D ．221163x y +=8．已知P 为空间中任意一点，A 、B 、C 、D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且4136PA PB xPC DB =−+，则实数x 的值为（ ） A ．13 B ．13−C ．12D ．12−9．设椭圆22221x y a b+=0)a b >>（的左、右焦点分别为12(,0)(,0)F c F c −，，点(,)2a N c 在椭圆的外部，点M 是椭圆上的动点，满足11232MF MN F F +<恒成立，则椭圆离心率e 的取值范围是A ．(02，B ．1)2C ．5)26， D ．5(,1)610．过圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝4的圆心，作直线分别交x ，y 正半轴于点A ，B ，△AOB 被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足S I +S Ⅳ＝S Ⅱ+S Ⅲ，则这样的直线AB 有（ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条二、填空题(共25分)11．椭圆2214x y +=的焦距为 .12．已知圆的方程是221x y +=，则经过圆上一点,22M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭的切线方程是__________．13．在正方体1111ABCD A B C D −中，则直线1BC 与平面1A BD 所成角的正弦值为__________14．在空间中，四条不共线的向量OA 、OB 、OC 、OD 两两间的夹角均为α．则cos α的大小为__________． 15．如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面是边长为2的正方形，侧面底面，为底面内的一个动点，且满足，则点在正方形内的轨迹的长度为_______三、解答题(共85分)16．已知ABC ∆的三个顶点(,)37A ，(,)25B −，(,)35C −−，点D 为AC 的中点．（1）求点D 的坐标； （2）求直线BD 的方程． （3）求△ABD 的面积．17．已知圆22: 4230C x y x y +−+−=和点(0,8)M −，（1）判断点M 与圆C 的位置关系（2）过点M 作一条直线与圆C 交于,A B 两点，且||4AB =，求直线AB 的方程； （3）过点M 作圆C 的切线，切点为,E F ，求EF 所在的直线方程．18、已知焦点在x 轴上的椭圆，左右焦点分别为,12F F ，上顶点为B ，且三角形12F F B 为等腰直角三角形，过2F 斜率为1的直线l 交椭圆与,E F 两点。
北京市大兴区第一中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题
北京市大兴区第一中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A．121 232 a b c-+C．111 222 a b c+-4．一袋中装有大小相同，编号分别为A ．14-7．如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是（A ．15B ．258．已知点()2,1,0A ，影向量的模为（）A ．29．已知()2,1,3a =- ，（）.A ．-110．已知*,,N x y z ∈，且A ．16二、填空题三、双空题15．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为上，且AP ⊥平面1MBD .（Ⅰ）当点M 与点C 重合时，线段（Ⅱ）线段AP 长度的最小值为四、解答题16．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有各抽一题.（1）甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？17．甲、乙两人组成“星队每轮猜对的概率为34，乙每轮猜对的概率为响，各轮结果也互不影响，求（1）“星队”在两轮活动中猜对（2）“星队”在两轮活动中猜对(1)求1D P ；(2)求直线1AB 与1D P 所成角的余弦值．19．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响(1)求甲、乙各射击一次均击中目标的概率；(2)求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率；(3)若乙在射击中出现连续2次未击中目标就会被终止射击，射击的概率.20．如图1，在四边形ABCD 中，点，1AE EF ==，2AF AE =.（如图2）G 是BF 的中点.图1图2⊥.(1)证明：AC EG(2)在线段BC上是否存在一点H 存在，说明理由；(3)证明：平面DAC⊥平面ACF 21．设全体空间向量组成的集合为。
2023-2024学年北京大兴区高二(上)期中数学试题及答案
2023北京大兴高二（上）期中数 学本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{|11}{101}A x x B =−<=−≤，，，，则A B =（A ）{0} （B ）{1}−（C ）{1}（D ）{01}，（2）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(11)−，，则z z ⋅=（A ）1 （B（C ）2 （D ）（3）下列函数中，既是偶函数又在区间(0)+∞，上单调递增的是 （A ）2x y = （B ）1y x −= （C ）cos y x = （D ）ln ||y x = （4）设x ∈R ，则“sin 0x =”是“cos 1x =”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知向量(10)(01)==，，，a b ，若()()−⊥+λμa b a b ，其中∈R ，λμ，则 （A ）1λμ+=− （B ）1λμ+= （C ）1λμ⋅=−（D ）1λμ⋅=（6）在平面直角坐标系x O y 中，角α以O x 为始边，点(34)P −，在角α终边上，则错误的是 （A ）4sin 5α=（B ）7cos 225α=（C ）1sin cos 5αα+=（D ）tan 22α=（7）在ABC ∆中，π46A AB BC a ∠===，，，且满足该条件的ABC ∆有两个，则a 的取值范围是（A ）(02)，（B ）(2（C ）(24)，（D ）4)（8）已知12a =，5log 2b =，tan1c =，则 （A ）b a c <<（B ）a c b <<（C ）a b c << （D ）c b a <<（9）设函数()e ln =−xf x x 的极值点为0x ，且0∈x M ，则M 可以是（A ）1(0)2，（B ）12()23，（C ）2(1)3， （D ）(12)，（10）已知数列{}n a 满足1(1) n n n a a a +=−（n *∈N ），且101a <<．给出下列四个结论： ①214a ≤； ②12334n n a a a a +++++<； ③m n *∀∈N ，，当n m >时，n m a a >； ④k *∀∈N ，m *∃∈N ，当n m 时，1n a k<． 其中所有正确结论的个数为 （A ）1 （B ）2（C ）3（D ）4第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京大兴区第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题
由题意可得
解得 ， ，
因为椭圆 的焦点在 轴上，所以 的标准方程为 .
故选：B.
【点睛】
本题考查了数学文化，椭圆的几何性质及标准方程求法，属于基础题.
8．A
【解析】
，
又∵P是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面，
∴ ，
解得x= ，
故选A．
点睛：设 是平面上任一点， 是平面上的三点， （ 不共线），则 三点共线 ，把此结论类比到空间上就是： 不共面，若 ，则 四点共面 ．
15．如图，在四棱锥 中，侧面 为正三角形，底面 是边长为2的正方形，侧面 底面 ， 为底面 内的一个动点，且满足 ，则点 在正方形 内的轨迹的长度为_______
三、解答题
16．已知△ABC的三个顶点A（3，7），B（–2，5），C（–3，–5），点D为AC的中点．
（1）求点D的坐标；
（2）求直线BD的方程．
（2）由 是平面 的法向量，得 ，即可求出 ，再利用向量的模长公式可求 .
（3）由 平面 ，所以点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，即 即可求出.
【详解】
（1）连接 , ， ，如图：
， ，
在 ，根据向量减法法则可得：
底面 是平行四边形，
且 ，
又 为线段 中点，
在 中，
（2） 顶点 为端点的三条棱长都是 ，且它们彼此的夹角都是
A． B． C． D．
8．已知P为空间中任意一点，A、B、C、D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且 ，则实数x的值为（ ）
A． B． C． D．
9．设椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆的外部，点 是椭圆上的动点，满足 恒成立，则椭圆离心率 的取值范围是
高二上学期期中数学试卷含答案(共5套,北京)
北京高二年级上学期期中考试数学试卷（文科）本试卷满分120分，考试时间100分钟一、选择题共8小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 直线l 经过原点和点（-1，-1），则l 的倾斜角是（ ） A. 45°B. 135°C. 135°或225°D. 60°2. 点P （-1，1）关于直线ax-y+b=0的对称点是Q （3，-1），则a ，b 的值分别是（ ） A. -2，2B. 2，-2C.21，-21D.21，213. 已知互相垂直的平面α，β交于直线l ，若直线m ，n 满足m∥α，n⊥β，则（ ） A. m∥lB. m∥nC. n⊥lD. m ⊥n4. 已知三条直线x=1，x-2y-3=0，mx+y+2=0交于一点，则m 的值为（ ） A. 1B. 2C. -1D. -25. 已知圆x 2+y 2-2x+4y+1=0与两坐标轴的公共点分别为A ，B ，C ，则△ABC 的面积为（ ） A. 3B. 23C. 2D. 46. 如图，PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任意一点，则下列关系中不正确的是（ ）A. PA ⊥BCB. BC ⊥平面PACC. AC ⊥PBD. PC ⊥BC7. 已知过定点P （2，0）的直线l 与曲线y=22x -相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积最大时，直线l 的倾斜角为（ ）A. 150°B. 135°C. 120°D. 30°8. 在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 1，P 2分别是线段AB ，BD 1（不包括端点）上的动点，且线段P 1P 2平行于平面A 1ADD 1，则四面体P 1P 2AB 1的体积的最大值是（ ）A. 241B.121C.61D.21二、填空题共6小题。
【数学】北京市大兴区2020-2021学年高二上学期期末考试检测试题(解析版)
【解析】因为椭圆C： 的左､右顶点分别为 ， ，
因此以 为直径的圆的半径为 ，圆心坐标为 ，
又该圆与直线 相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，即 已知数列 的前n项和 ，若 ， 恒成立，则实数 的最大值是（）
A. 3B. 4C. 5D. 6
14.如图，在四面体ABCD中，其棱长均为1，M，N分别为BC，AD的中点.若 ，则 ________；直线MN和CD的夹角为________.
【答案】(1). ．(2).
【解析】由已知得
，
又 且 不共面，
∴ ， ，∴ ，
是棱长为1的正四面体，
∴ ，同理 ，
，
，
，
∴ ，∴ ，
∴异面直线MN和CD所成的角为 ．
分类进行讨论，
若第n次反面向上，前n-1次未出现连续3此正面即可；
若第n次正面向上，则需要对第n-1进行讨论，依次类推，得到下表：
第n次
n-1次
n-2次
概率
反面
正面
反面
正面
正面
反面
所以 ，④正确；
由上式可得
，
所以 ，
又 ，满足当 时， ，③正确.
故答案为：①③④.
三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
故选：C.
4.某班级举办投篮比赛，每人投篮两次.若小明每次投篮命中的概率都是0.6，则他至少投中一次的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意小明每次投篮不中的概率是 ，
再次投篮都不中的概率是 ，
∴他再次投篮至少投中一次的概率为 ．
故选：D．
5.已知空间向量 ，则向量 在坐标平面Oxy上的投影向量是（）
高二数学上学期期中试题含解析试题_1
大兴区2021-2021学年高二数学上学期期中试题〔含解析〕一、选择题一共8小题，每一小题5分，一共40分.在每一小题列出的四个选项里面，选出符合题目要求的一项.1.设a b >，那么一定成立的是〔 〕A. 22a b >>C.11a b< D.2a b b +>【答案】D 【解析】 【分析】通过取特殊值，即可判断出ABC 的正误，利用不等式的性质即可判断出D 的正误． 【详解】因为a b >，选项A 中，取1a =-，2b =-，可知22a b <，因此不正确；选项B 中，取1a =-，2b =-不存在，因此不正确； 选项C 中，取1a =，2b =-，可知11a b>，因此不正确； 选项D 中，由a b >，根据不等式的性质，可知2a b b +>正确. 应选：D.【点睛】此题考察了不等式的根本性质、特殊值法判断不等式是否成立，属于简单题. 2.假设数列{}n a 满足1n n n a a +-=，12a =，那么4a =〔 〕 A. 6 B. 7C. 8D. 9【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的递推关系，逐步求解，得到答案. 【详解】因为1n n n a a +-=，12a =，所以2113a a =+=，3225a a =+=，4338a a =+= 应选：C.【点睛】此题考察根据数列递推公式求数列中的项，属于简单题. 3.假设0a >，0b >，且1a b +=，那么ab 的最大值为〔 〕 A.18B.14C.13D.12【答案】B 【解析】 【分析】根据根本不等式，求出ab 的最大值，得到答案. 【详解】因为0a >，0b >，且1a b +=，122a b +=， 所以14ab ≤，当且仅当12a b ==时，等号成立.应选：B.【点睛】此题考察根据根本不等式求积的最大值，属于简单题. 4.假设数列{}n a 满足()11n a n n =+，那么{}n a 的前n 项和为〔 〕A.1n n - B.22n n- C.1n n + D.21nn + 【答案】C 【解析】 【分析】由()11111n a n n n n ==-++，根据裂项相消法求出其前n 项的和.【详解】因为()11111n a n n n n ==-++所以{}n a 的前n 项和11111112231n S n n =-+-+⋅⋅⋅+-+1111nn n =-=++. 应选：C.【点睛】此题考察裂项相消法求数列的和，属于简单题.5.设,,x a b 是任意实数，那么“22x a b >+〞是“2x ab >〞的〔 〕 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据根本不等式和取特殊值，分别判断充分性和必要性，从而得到答案. 【详解】根据根本不等式可知222a b ab +≥， 所以由22x a b >+可以得到2x ab >，当1x =，1a =，0b =时，满足2x ab >，但不满足22x a b >+ 所以由2x ab >不能得到22x a b >+，所以“22x a b >+〞是“2x ab >〞的充分而不必要条件. 应选：A.【点睛】此题考察根本不等式的应用，充分而不必要条件的判断，属于简单题.6.地球运行的轨道是焦距为2c ，离心率为e 的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，那么地球到太阳的最小间隔 为〔 〕 A. ce c -B. 22ce c -C.cc e- D.22cc e- 【答案】C 【解析】 【分析】根据离心率得到椭圆的a ，根据椭圆的几何性质，得到最小间隔 ，从而得到答案. 【详解】因为地球椭圆轨道的焦距为2c ，离心率为e ， 所以由c e a =，得c a e=， 而太阳在这个椭圆的一个焦点上， 所以地球到太阳的最小间隔 为ca c c e-=-. 应选：C.【点睛】此题考察椭圆离心率的定义，椭圆上的点到焦点的间隔 ，属于简单题.7.假设椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的右焦点(c,0)F 关于直线c y x b =的对称点在此椭圆上，那么该椭圆的离心率为〔 〕A.13B.12D.2【答案】D 【解析】 【分析】利用直线斜率以及对称点的性质，求出Q 到两焦点的间隔 ，再利用椭圆的性质可求出b 与c 之间的关系，然后求解离心率，得到答案.【详解】设椭圆的左焦点为()1,0F c -，连接1QF ，QF ， 设QF 与直线cy x b=交于点M ， 由题意可知M 为线段QF 的中点， 所以1//FQ OM ， 又因OM FQ ⊥，所以1F Q QF ⊥，12FQ OM =， 在Rt MOF ∆中，tan MF c MOF OM b ∠==，OF c =，可得bc OM a =，2c MF a=， 故222c QF MF a==，122bc QF OM a ==，根据椭圆的定义，得12QF QF a +=，即2222bc c a a a+=，得b c =，所以222a b c c =+=， 所以椭圆离心率22c e a ==. 应选：D.【点睛】此题考察椭圆的定义和几何性质，点关于直线的对称点，属于中档题.8.假设,a b 是函数2()(0,0)f x x mx n m n =++<>的两个不同的零点，且,,1a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，那么m n +=〔 〕 A. 32-B. 1-C.12D.72【答案】A 【解析】 【分析】根据,a b 是函数()f x 的零点，得到,a b 的大小关系，从而得到,,1a b -成等差数列和等比数列的情况，得到关于,a b 的方程，求出,a b 的值，从而得到m n +【详解】因为,a b 是函数2()(0,0)f x x mx n m n =++<>的两个不同的零点， 所以0a b m +=->，0ab n =>， 可得,a b 都是正数，由240m n ∆=->，可得()()2240a b ab a b +-=->， 所以ab ，不妨假设0a b >>，,,1a b -这三个数可适当排序后成等差数列，那么,,1a b -需按从大到小或者从小到大排列，b 为1,a -的等差中项，即1,,b a -或者,,1a b -成等差数列，所以12a b -=，,,1a b -这三个数可适当排序后成等比数列，那么1-需为,a b 的等比中项，即,1,a b -或者,1,b a -成等比数列， 即()211ab =-=所以解得2a =，12b =，〔舍去负值〕 从而得到()52m a b =-+=-，1n ab ==，所以32m n +=-.应选：A.【点睛】此题考察等差中项和等比中项的性质，一元二次方程根与系数的关系，属于中档题. 二、填空题一共6小题，每一小题5分，一共30分.21x <的解集为________________.【答案】(1,1)-. 【解析】试题分析：将原不等式变形为210(1)(1)011x x x x -<⇒+-<⇒-<<，∴不等式的解集为(1,1)-.考点：解一元二次不等式.10.命题“2R,0x x ∀∈≥〞的否认是____________． 【答案】2,0x R x ∃∈< 【解析】根据全称命题的否认为特称命题可得：“2R,0x x ∀∈≥〞的否认是2,0x R x ∃∈<，故答案为2,0x R x ∃∈<.11.椭圆22416+=x y 上点的纵坐标的取值范围是______.【答案】[]22-,【解析】 【分析】将椭圆化为HY 方程，从而得到答案.【详解】椭圆22416+=x y 的HY 方程为221164x y +=，从而得到点的纵坐标的取值范围是[]22-,. 故答案为：[]22-,. 【点睛】此题考察椭圆上点的范围，属于简单题.12.数列{}n a 的前n 项和2n S n tn =+，且31a =，那么t =______.【答案】4- 【解析】 【分析】由332a S S =-，得到关于t 的方程，得到t 的值.【详解】因为2n S n tn =+，所以()()33293425a S S t t t =-=+-+=+， 所以51t +=，解得4t =-. 故答案为：4-.【点睛】此题考察数列前n 项和与通项的关系求数列中的项，属于简单题.13.假设不等式21x mx +>对(0,)x ∈+∞恒成立，那么实数m 的取值范围是______. 【答案】2m < 【解析】 【分析】 问题转化为1m x x<+对()0,x ∈+∞恒成立，根据根本不等式，得到1x x +的最小值，从而得到答案.【详解】因为不等式21x mx +>对()0,x ∈+∞恒成立，所以问题转化1m x x<+对()0,x ∈+∞恒成立， 即min1m x x ⎛⎫<+⎪⎝⎭， 因为()0,x ∈+∞，由根本不等式，得12x x +≥=， 当且仅当1x x=，即1x =时取等号， 所以得到2m <. 故答案为：2m <.【点睛】此题考察不等式恒成立问题，利用根本不等式求和的最小值，属于简单题. 14.定义“等积数列〞：假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的乘积都等于同一个不为零的常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做等积数列的公积.数列{}n a 是12a =，公积为6-的等积数列，那么3a =______；数列{}n a 的前n 项和n S =______.【答案】 (1). 32a = (2). ,25,2n nn S n n ⎧-⎪⎪=⎨-⎪-⎪⎩为偶数为奇数【解析】 【分析】根据等积数列的定义，得到12a =，23a =-，32a =，43a =-，⋅⋅⋅，得到n a 为周期为2的数列，从而得到数列的第三项以及前n 项的和. 【详解】数列{}n a 是等积数列，12a =，公积为6-， 所以23a =-，32a =，43a =-，⋅⋅⋅ 所以前n 项的和()()2323n S =+-++-+⋅⋅⋅2n k =，有k 个2，k 个3-，所以223k S k k k =-=-，得到当n 为偶数时，2n nS =-21n k =+，有1k +个2，k 个3-，所以()212132k S k k k +=+-=-+，得到当n 为奇数时，52n n S -=-所以,25,2n nn S n n ⎧-⎪⎪=⎨-⎪-⎪⎩为偶数为奇数故答案为：32a =，,25,2n nn S n n ⎧-⎪⎪=⎨-⎪-⎪⎩为偶数为奇数.【点睛】此题考察数列的新定义，数列的周期性，属于中档题.三、解答题一共6小题，一共80分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15.〔1〕0a b >>，求证：11b ba a+>+. 〔2〕1x >-，当x 取什么值时，91x x ++的值最小？最小值是多少？ 【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕2x =时，最小值是5. 【解析】 【分析】〔1〕通过作差法，进展证明；〔2〕配凑根本不等式形式，利用根本不等式，得到和的最小值. 【详解】〔1〕因为0a b >>， 所以()()10111b b ab a ab b a ba a a a a a ++----==>+++， 所以11b ba a+>+. 〔2〕当1x >-时，10x +>，99111511x x x x +=++-≥=++， 当且仅当911x x +=+，即2x =时，等号成立， 所以当2x =时，91x x ++的值最小，最小值是5. 【点睛】此题考察作差法证明不等式，根据根本不等式求和的最小值，属于简单题.16.设{}n a 是等差数列，18a =-，且28a +，36a +，44a +成等比数列.〔1〕求{}n a 的通项公式；〔2〕求{}n a 的前n 项和n S 的最小值；〔3〕假设{}n b 是等差数列，{}n b 与{}n a 的公差不相等，且55b a =，问：{}n a 和{}n b 中除第5项外，还有序号一样且数值相等的项吗？〔直接写出结论即可〕【答案】〔1〕210n a n =-；〔2〕29n S n n =-，4n =或者5时，n S 获得最小值20-；〔3〕{}n a 和{}n b 中除第5项外，没有序号一样且数值相等的项.【解析】【分析】〔1〕根据等差数列的根本量和等比中项的性质，得到关于公差的方程，从而得到通项公式； 〔2〕根据〔1〕所得的通项，从而得到前n 项的和n S ；〔3〕设n b 的通项，根据55b a =列出方程组，得到方程组无解，得到答案.【详解】〔1〕设等差数列{}n a 的公差为d ，18a =-.因为28a +，36a +，44a +成等比数列，所以()()()2324684a a a +=++，即有()()()282688834d d d -++=-++-++，解得2d =，那么()821210n a n n =-+-=-.〔2〕由〔1〕中等差数列{}n a 的通项210n a n =-，所以{}n a 的前n 项和()21821092n n n n S n =-+-=-298124n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 由于n 为自然数，可得4n =或者5时，n S 获得最小值20-.〔3〕设{}n a 和{}n b 中除第5项外，还有序号一样且数值相等的项，设为第n 项，{}n a 和{}n b 一样，那么5n ≠，设n b kn b =+根据{}n b 与{}n a 的公差不相等，可知2k ≠由55b a =，得525100k b +=⨯-=，即5b k =-，由{}n a 和{}n b 一样，得到n n a b =那么210n kn b -=+，即2105n nk k -=-整理得()()520n k --=，因为5n ≠且2k ≠，所以方程无解.故{}n a 和{}n b 中除第5项外，没有序号一样且数值相等的项.【点睛】此题考察等比中项的应用，等差数列通项中根本量的计算，等差数列的和的最小值，属于中档题.17.函数2()(2)2f x x a x a =+--，a R ∈.〔1〕当0a =时，求()0f x ≤的解集；〔2〕求使()0f x >的x 的取值范围；〔3〕写出“函数()f x 在(1,2)x ∈上的图象在x 轴上方〞的一个充分条件.〔直接写出结论即可〕【答案】〔1〕[]2,0-；〔2〕当2a <-时，不等式的解集为{}2x x a x -或，当2a =-时，不等式的解集为{}2x x ∈≠R ，当2a >-时，不等式的解集为{}2x x x a -或；〔3〕2a =-.【解析】【分析】〔1〕根据0a =解一元二次不等式，得到答案；〔2〕按2a <-，2a =-，2a >-进展分类讨论，得到满足()0f x >的x 的取值范围； 〔3〕由〔2〕可知2a =-满足题意.【详解】〔1〕当0a =时，()22f x x x =+， 所以不等式()0f x ≤，即为220x x +≤所以解集为[]2,0-.〔2〕由()0f x >，可得2(2)20x a x a +-->，即()()20x a x -+>，所以当2a <-时，不等式的解集为{}2x xa x -或，当2a =-时，不等式的解集为{}2x x ∈≠R ，当2a >-时，不等式的解集为{}2x x xa -或〔3〕由〔2〕可知，当2a =-时， ()1,2x ∈，()0f x >恒成立，所以“函数()f x 在(1,2)x ∈上的图象在x 轴上方〞的一个充分条件为2a =-.【点睛】此题考察解不含参的一元二次不等式，分类讨论解一元二次不等式，写出充分条件，属于简单题.18.椭圆C 的两个焦点分别是1(1,0)F -，2(1,0)F ，且椭圆C 经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 〔1〕求椭圆C 的HY 方程；〔2〕当m 取何值时，直线y x m =+与椭圆C 有两个公一共点；只有一个公一共点；没有公一共点？【答案】〔1〕22143x y +=；〔2〕m <<y x m =+与椭圆C 有两个公一共点；m =或者m =直线y x m =+与椭圆C只有一个公一共点；m <者m >时，直线y x m =+与椭圆C 没有公一共点.【解析】【分析】〔1〕根据椭圆的焦点，得到c ，将点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程，得到,a b 的方程，解出,a b 的值，从而得到答案；〔2〕直线与椭圆联立，根据∆与0的关系，得到关于m 的不等式，得到答案.【详解】〔1〕设椭圆的HY 方程为22221x y a b+=， 因为椭圆的焦点分别是1(1,0)F -，2(1,0)F ，所以1c =， 将点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程得229141a b+=， 根据221a b =+，得到24a =，23b =，所以椭圆的HY 方程为22143x y +=. 〔2〕直线y x m =+与椭圆22:143x y C +=联立，22143y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22784120x mx m ++-=， 那么()222644741233648m m m ∆=-⨯⨯-=-，①当>0∆，即2336480m ->，解得m <方程有两个不同的实数根，即直线y x m =+与椭圆C 有两个公一共点；②当0∆=，即2336480m -=，解得m =或者m = 方程有两个一样的实数根，即直线y x m =+与椭圆C 只有一个公一共点；③当∆<0，即2336480m -=，解得m <m >， 方程没有实数根，即直线y x m =+与椭圆C 没有公一共点；【点睛】此题考察根据椭圆上的点求椭圆方程，考察了根据直线与椭圆的位置关系求参数的范围，属于中档题.19.设{}n a 是等比数列，11a =，3234a a =. 〔1〕求{}n a 的通项公式；〔2〕求246222n n a a a a a -+++++；〔3〕在n a 和1n a +之间插入n 个数，其中1,2,3n =，⋅⋅⋅，使这2n +个数成等差数列.记插入的n 个数的和为n S ，求n S 的最大值.【答案】〔1〕134n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭；〔2〕121297716n⎛⎫- ⎪⎝⎭；〔3〕189128 【解析】【分析】〔1〕根据3234a a =得到公比q ，再结合1a ，得到n a 的通项； 〔2〕由〔1〕得到2n a 的通项，然后根据等比数列的求和公式，得到答案；〔3〕根据n 个数成等差数列，得到n S ，再由11n n n n S S S S -+≥⎧⎨≥⎩，从而解得n 的值，得到n S 的最大值.【详解】〔1〕设等比数列{}n a 的公比为q ，所以3234a q a ==， 因为11a =，所以134n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭； 〔2〕2123494316n n n a -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以246222n n a a a a a -+++++ 3914161212997716116n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-； 〔3〕因为134n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以11133734444n n n n n a a --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为在n a 和1n a +之间插入n 个数，这2n +个数成等差数列，所以()1173284n n n n n a a S n -++⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭，设n S 的第n 项最大，那么11n n nn S S S S -+≥⎧⎨≥⎩，即()()121737318484737318484n n n n n n n n ---⎧⎛⎫⎛⎫⋅≥-⋅⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪⋅≥+⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得34n ≤≤， 所以3n =或者4时，n S 获得最大值，为347271894864128S S ==⨯⨯=. 【点睛】此题考察等比数列通项的求法，等比数列前n 项和的求法，求数列中的最大项，属于中档题.20.椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>经过点(0,1)A.过原点O 的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点,P Q .〔1〕求椭圆C 长半轴长；〔2〕求PQ 最大值；〔3〕假设直线,AP AQ 分别与x 轴交于点,E F ，求证：AEO ∆的面积与AFO ∆的面积的乘积为定值.【答案】〔1〔2〕〔3〕证明见解析【解析】【分析】〔1〕根据椭圆过点A 得到b 的值，结合离心率得到a 的值，得到答案；〔2〕根据椭圆的几何特点，得到l 与x 轴重合时，PQ 最大，从而得到答案； 〔3〕根据对称性设()00,P x y ，()00,Q x y --，表示出直线AE 、AF ，得到E 、F 坐标，从而表示出AEO ∆的面积与AFO ∆的面积，得到面积的乘积为定值.【详解】〔1〕因为椭圆过点(0,1)A ，所以1b =，c a =而222a b c =+，所以a =所以求椭圆C；〔2〕由〔1〕可得椭圆的HY 方程为2213x y +=， 过原点O 的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点,P Q ， 可知当PQ 为长轴时候最长，此时2PQ a ==〔3〕由对称性可知P 、Q 两点关于原点对称，所以设()00,P x y ，那么()00,Q x y --，不妨假设00x >，那么直线AP 的方程为0011y y x x -=+， 令0y =，得到001x x y -=-， 所以00,01x E y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭， 同理00,01x F y ⎛⎫- ⎪+⎝⎭， 所以001x OE y -=-，001x OF y =+ 所以1122AEO AFO S S OA OE OA OF ∆∆⋅=⋅ 000011112121x x y y -=⨯⨯⨯⨯⨯-+ 2020141x y =⋅-而()00,P x y 在椭圆上，所以220013x y +=，即()220031x y =-， 所以()20203113414AEO AFO y S S y ∆∆-⋅=⋅=-. 所以AEO ∆的面积与AFO ∆的面积的乘积为定值34. 【点睛】此题考察椭圆的几何性质，求椭圆的长轴长，直线与椭圆的关系，椭圆中的定值问题，属于中档题.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。