高考二轮小专题 ：圆锥曲线题型归纳
高考二轮小专题 ：圆锥曲线题型归纳基础知识：1．直线与圆的方程； 2．椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程公式； 3．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质等相关知识：a 、b 、c 、e 、p 、渐近线。
基本方法：1． 待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a 、b 、c 、e 、p 等等；2． 齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题；3． 韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。
要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根；4． 点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。
也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式；5． 距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题；基本思想：1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关；4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决； 5．有些题思路易成，但难以实施。
这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 6．大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。
一、求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题例. 【浙江理数】设1F 、2F 分别为双曲线22221,x y a b+=（a >0、b >0）的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A. B.C.D. 【答案】C例. 【辽宁文数】设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D例．（14分）已知椭圆22221x y a b+=(0)ab.过点（2，—1）且方向向量为11(,)22a =-的直线L 交椭圆与A 、B两点。
⑴若线段AB 的中点为M ，求直线OM 的斜率（用a b 、表示）；2，求线段AB 的长； ⑶在⑵的条件下，设椭圆的左焦点为1F ，求1ABF ∆的面积。
点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。
二、“是否存在”问题例．（14分）已知定点A （-2，-4），过点A 作倾斜角为45度的直线L ，交抛物线22y px =（p >0）于B 、C 两点，且线段BC 长为（I ）求抛物线的方程；（II ）在（I ）中的抛物线上是否存在点D ，使得DB=DC 成立？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由。
（答：22y x =。
存在点D （2，2）或（8，-4））例. 【北京理数】在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （-1,1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于.(Ⅰ)求动点P 的轨迹方程；(Ⅱ)设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M,N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。
三、过定点、定值问题 例、（14分）已知抛物线S 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，ABC ∆的三个顶点都在抛物线上，且ABC ∆的重心为抛物线的焦点，若BC 所在直线L 的方程为4x+y-20=0.(Ⅰ)求抛物线S 的方程;(Ⅱ)若O 是坐标原点，P 、Q 是抛物线S 上的两动点，且满足OP OQ ⊥。
试说明动直线PQ 是否过一个定点。
（答：216y x =，定点为M （16，0））例.(14分)已知椭圆C ：22221x y a b+=（a >b >0），过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形。
(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)过点Q （—1，0）的直线L 交椭圆于A 、B 两点，交直线x = —4于点E ，设AQ QB λ=，AE EB μ=。
求证：λη+为定值，并计算出该定值。
点评：距离转化法把斜线上的转化为垂直与水平上的，比如向量中的比例以坐标转化，比如抛物线中焦半径与到准线距离的转化。
例．（14分）过抛物线24y ax =（a >0）的焦点F 作任意一条直线分别交抛物线于A 、B 两点，如果AOB ∆（O 为原点）的面积是S ，求证：2S AB为定值。
（答：3a ）点评：证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。
处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。
四．最值问题例．（14分）定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线2y x =上移动，记线段AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求此时点M 的纵坐标。
（答：最短距离为54，M 的纵坐标为2±）点评：最值问题的方法：几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等。
五、求参数范围问题。
常用思路：寻找不等式。
将各限制条件都列出，再求交集。
不要遗漏限制条件。
常用建立不等式的途径：(1) 直线与曲线有交点时判别式大于等于零； ⑵ 圆锥曲线中变量X 、Y 的取值范围；⑶ 点与曲线的位置关系，如弦的中点在曲线内部； ⑷ 已知题设中有的范围；⑸ 正弦函数、余弦函数的有界性； ⑹ 均值不等式；⑺ 焦半径的取值范围； ⑻ 函数的值域;⑼ 三角形图形中两边之和大于第三边。
例：1.若直线y=kx+1与焦点在x 轴上的椭圆2215x y t +=恒有公共点，则t 的取值范围为_________.（答：[)1,5 2．【福建文数】若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ∙的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．6D ．8 【答案】C （利用圆锥曲线中变量X 、Y 的取值范围；）3．设a >1，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围为_________;（答：）4．若1F 、2F 是双曲线22221x y a b-=的左右焦点，过1F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于A 、B 两点，若2ABF ∆为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为____________;（答：(1,1+）5.若M 是椭圆22194x y +=上的任意一点，1F 、2F 是椭圆的左、右焦点，则12MF MF ∙的最大值为____;（答：9）（利用均值不等式）6．若点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与点P 到准线的距离之和的最小值为__________;（答：2）（利用三角形两边之和大于第三边） 六、规范解题解析几何在高考中经常是两小题一大题：两小题经常是常规求值类型，一大题中的第一小题也经常是常规求值问题，故常用方程思想先设后求即可。
解决第二小题时常用韦达定理法结合以上各种题型进行处理，常按照以下七步骤：一设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b 与x=mmy+n 的区别）二设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）三则联立方程组；四则消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）五根据条件重转化；常有以下类型：①“以弦AB 为直径的圆过点0”⇔OA OB ⊥ ⇔121K K ∙=-（提醒：需讨论K 是否存在）⇔0OA OB ∙=⇔ 12120x x y y +=②“点在圆内、圆上、圆外问题”⇔“直角、锐角、钝角问题”⇔“向量的数量积大于、等于、小于0问题”⇔1212x x y y +>0；③“等角、角平分、角互补问题”⇔斜率关系（120K K +=或12K K =）；④“共线问题”（如：AQ QB λ= ⇔数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； （如：A 、O 、B 三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等）；⑤“点、线对称问题” ⇔坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；六则化简与计算；七则细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线问题中二次项系数是否会出现0. 七、站在系统的高度探究问题的本原“直线与圆锥曲线的位置关系”中文科主要考察“直线与抛物线”，这里就仅举直线与抛物线的位置关系为例。
请证明以下命题：案例一：抛物线22y px =（p >0），过焦点F （2p，0）作一条弦AB 交抛物线于A 、B 两点，其中A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）。
如图 （一） 有关定值问题：（1）221212,4p x x y y p ==-； （2）4OA OB k k ∙=- （3）234OA OB P ∙=-（4）112FA FB P+=； （5）过抛物线的焦点作两条垂直的弦AB ，CD ，则1112AB CD P+=； （二） 与数列有关的问题（1） AB 为焦点弦，T 为准线上任意一点，则TA 、TF 、TB 的斜率成等差数列；（2） AB 为焦点弦，过点A 、B 的切线相交于点M ，则MA 、MF 、MB 成等比数列；（三） 有关圆的问题（1） 以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切；以11A B 为直径的圆与抛物线的弦AB 相切； （2） 以AF 为直径的圆与y 轴相切；以BF 为直径的圆与y 轴相切；（3） 其中性质（1）⇔抛物线的准线与x 轴的交点E 在以AB 为直径的圆外。
（四） 有关共线问题（1）A 、O 、1B 三点共线； （2）B 、O 、1A 三点共线； （五） 有关平分问题：EF 平分AEB ∠⇔0AE BE K K += （六） 有关面积问题（1）22sin OABP S θ∆=； （2）238OABS P AB ∆=；（3）111124A FB FBB FAA S S S ∆∆∆=∙； （七）有关定点问题符合以上任一条性质的弦AB 过一定点F （即抛物线的焦点）。
案例二：抛物线22y px =（p >0），过点P （2p ，0）作一条弦AB 交抛物线于A 、B 两点，其中A （1x ，1y ）、B（2x ，2y ）。
则（一）OA OB ⊥；（二）以AB 为直径的圆经过原点；（三）OAB S ∆的最小值为24p ，此时AB x ⊥轴； （四）当AB x ⊥轴时，以AB 为直径的圆的面积最小；（五）过O 作OM AB ⊥，垂足为M ，则M 点必在一个圆的圆周上；（答：222()x p y p -+=，除原点外）； 案例三：抛物线22y px =（p >0），过点M （p ，0）作一条弦AB 交抛物线于A 、B 两点，其中A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）。
高考圆锥曲线题型归类总结(可编辑修改word版)
12 圆锥曲线的七种常考题型题型一：定义的应用 1、圆锥曲线的定义：（1） 椭圆（2） 双曲线（3） 抛物线2、定义的应用（1） 寻找符合条件的等量关系（2） 等价转换，数形结合3、定义的适用条件： 典型例题例 1、动圆 M 与圆 C ： ( x +1)2+ y 2 = 36 内切,与圆 C ： ( x -1)2+ y 2 = 4 外切,求圆心 M 的轨迹方程。
例 2、= 8 表示的曲线是题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：1、椭圆：由 x2、y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
2、双曲线：由 x 2、y 2 系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
典型例题x 2例 1、已知方程+ y 2 2 - m= 1表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是例 2、k 为何值时,方程 x 2 9 - k- y25 - k = 1 表示的曲线：(1)是椭圆；(2)是双曲线.m -1332 题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 1、常利用定义和正弦、余弦定理求解2、 PF 1 = m ，PF 2 = n ， m + n ，m - n ，mn ，m 2 + n 2 四者的关系在圆锥曲线中的应用典型例题x 2 例 1、椭圆 a 2 + y2b 2 = 1(a > b > 0) 上一点 P 与两个焦点 F 1，F 2 的张角∠F 1PF 2 =，求∆F 1PF 2 的面积。
例 2、已知双曲线的离心率为 2，F 1、F 2 是左右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F 1PF 2 = 60 ，S ∆F PF = 12 ．求该双曲线的标准方程 1 2题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法1、a ,b ,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；2、a ,b ,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围；3、注重数形结合思想不等式解法 典型例题 例 1、已知 F 、 Fx 2 是双曲线-y2=（ ）的两焦点，以线段 F F 为边作12a2b1 a > 0，b > 0 12 正三角形MF 1F 2 ，若边 MF 1 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A. 4 + 2B.x 2 y 2- 1 C.3 + 1D. + 12例 2、双曲线 - a 2 b 2= 1 (a > 0，b > 0) 的两个焦点为 F 1、F 2,若 P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 A. (1，3)B. (1，3] C.(3,+ ∞ )D. [3, +∞)3 31 + k 2(x - x ) 1 21 + 1( y - y ) k 21 2 2 + < 2 + = 2 + >x 2 y 2例 3、椭圆G ： + a 2 b2= 1(a > b > 0) 的两焦点为 F 1 (-c , 0), F 2 (c , 0) ，椭圆上存在点 M 使 F 1M ⋅ F 2 M = 0 . 求椭圆离心率e 的取值范围；x 2 例 4、已知双曲线 a 2- y 2= 1(a > 0，b > 0) 的右焦点为 F ，若过点 F 且倾斜角为60︒ 的直线b 2与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A ） (1, 2]（B ） (1, 2) （C ）[2, +∞) （D ） (2, +∞)题型五：点、直线与圆锥的位置关系判断 1、点与椭圆的位置关系点在椭圆内⇔x y 2 a2b21点在椭圆上⇔x y 2 a 2 b 2 1点在椭圆外⇔x y 2 a2b212、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题：∆ >0 ⇔ 相交 ∆ =0 ⇔ 相切 （需要注意二次项系数为 0 的情况）∆ <0 ⇔ 相离3、弦长公式：AB = x 1 - x 2 = =AB = y 1 - y 2 = = 1 + k 21 + k2 ∆a1 + 1 k2 1 + 1 k 2 ∆ a2 2 4、圆锥曲线的中点弦问题： 1、韦达定理：2、点差法：（1） 带点进圆锥曲线方程，做差化简（2） 得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系典型例题例 1、双曲线 x 2－4y 2=4 的弦 AB －被点 M (3,-1)平分,求直线 AB 的方程.例 2、已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆与直线 l :x+y=1 交于 A,B 两点，C 是 AB的中点，若|AB|=2 ，O 为坐标原点，OC 的斜率为 ，求椭圆的方程。
圆锥曲线题型总结
圆锥曲线题型总结圆锥曲线题型总结圆锥曲线是二维平面上的一类曲线，由圆锥与平面相交而得。
圆锥曲线的重要性在于它们广泛应用于数学、物理、工程等领域，在解决实际问题时具有重要的作用。
在学习圆锥曲线时，我们通常会遇到一些不同类型的题目，下面我将对常见的圆锥曲线题型进行总结并提供解题方法。
一、椭圆的题型1. 求椭圆的焦点和准线：椭圆的焦点可以通过求解直角三角形或利用椭圆方程的性质来得出，准线可以通过将椭圆的方程化为标准方程来得到。
2. 椭圆的离心率问题：椭圆的离心率是一个重要的特征，可以通过利用椭圆的定义和性质来求解。
3. 椭圆的对称性问题：椭圆具有关于x轴和y轴的对称性，通过利用这一性质可以得到一些关于椭圆对称性的结论。
4. 椭圆与直线的交点问题：通过直线方程与椭圆方程联立解方程组，可以求得椭圆与直线的交点。
二、双曲线的题型1. 求双曲线的焦点和准线：双曲线的焦点和准线可以通过双曲线方程的性质来求解，特别是焦点的坐标可以通过解方程组得出。
2. 双曲线的渐近线问题：双曲线具有两条渐近线，可以通过设定x或y趋于无穷大时双曲线方程的极限来求解渐近线的方程。
3. 双曲线与直线的交点问题：通过直线方程与双曲线方程联立解方程组，可以求得双曲线与直线的交点。
三、抛物线的题型1. 求抛物线的焦点和准线：抛物线的焦点和准线可以通过抛物线方程的性质来求解，特别是焦点的坐标可以通过解方程组得出。
2. 抛物线的对称性问题：抛物线具有关于其焦点或顶点的对称性，可以通过利用这一性质来求解抛物线的一些问题。
3. 抛物线与直线的交点问题：通过直线方程与抛物线方程联立解方程组，可以求得抛物线与直线的交点。
四、圆的题型1. 求圆的方程：圆的方程可以通过给定圆的半径和圆心坐标来得到，也可以通过给定圆上一点的坐标或两点的坐标来得到。
2. 圆与直线的位置关系问题：可以通过将直线方程代入圆的方程，求解方程组来判断圆与直线的位置关系。
3. 圆与圆的位置关系问题：可以通过将两个圆方程联合解方程组来判断圆与圆的位置关系。
圆锥曲线高考题型总结
圆锥曲线高考题型总结一、曲线与方程的结合问题，它是高考中最为常见也是最难把握住解答要领的题型之一。
由于这种题目涉及到了圆锥曲线的基本性质（椭圆），在考查学生对圆锥曲线的理解掌握情况以及图形转化等综合能力上占有很大的比重，而且各地区高考卷中此类试题所占分值相当多。
特别是2008年高考数学江苏卷（第27题）、广东卷（第18题）都对此进行了精彩展示。
该类问题经过几次高考的检验，仍然存在不少“陷阱”，导致部分同学得分率低下，甚至失误，因此我们必须认真总结出高考圆锥曲线的解法思路与技巧并熟练运用才可取得好成绩。
对待此类题目应注意：1.审清已知条件确定曲线方程；2.寻找未知量间的函数关系；3.联立方程求解。
二、点斜式、斜截式和截距式方程的结合问题，尤其是若干个解直角三角形及相似三角形的综合问题，在考查学生的运算能力和空间想象能力上具有较强的灵活性和综合性，命题具有较大的开放度，给学生留下更多自主发挥的余地。
另外还包括简单的不等式（组）的应用题、几何变换等问题。
对待此类问题，首先要明确目标——根据题意设出两点间的一般式，从中找出满足条件的 x 值，再通过列表或图像转化来求得方程。
具体方法如下：1．根据实际情境建立直角坐标系，并利用向量来求点的坐标；2．利用解析几何证明点的轨迹是某条抛物线或双曲线。
其次要正确处理好以下几点：①抓紧一般式，分离出未知量，②利用向量化归出方程③建立新坐标系列方程④求出新方程⑤判断正确否⑥写出文字叙述二、点斜式、斜截式和截距式方程的结合问题，尤其是若干个解直角三角形及相似三角形的综合问题，在考查学生的运算能力和空间想象能力上具有较强的灵活性和综合性，命题具有较大的开放度，给学生留下更多自主发挥的余地。
另外还包括简单的不等式（组）的应用题、几何变换等问题。
对待此类问题，首先要明确目标——根据题意设出两点间的一般式，从中找出满足条件的 x 值，再通过列表或图像转化来求得方程。
具体方法如下：1．根据实际情境建立直角坐标系，并利用向量来求点的坐标；2．利用解析几何证明点的轨迹是某条抛物线或双曲线。
圆锥曲线中综合问题(题型归纳)
圆锥曲线中综合问题【考情分析】1.圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，常见的热点题型有：范围、最值问题，定点、定值问题，探索型问题等.2.以解答题的压轴题形式出现，难度较大，重在提升逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.【题型一】圆锥曲线中的最值、范围问题【典例分析】1．（2021·山东滕州一中高三模拟）已知椭圆22:143x y C +=的左顶点为A ，过其右焦点F 作直线交椭圆C 于D ，E (异于左右顶点)两点，直线AD ，AE 与直线:4l x =分别交于M ，N ，线段MN 的中点为H ，连接FH .（1）求证：FH DE ⊥；（2）求DEH △面积的最小值.【解析】（1）由已知得(1,0)F ，设()11,D x y ，()22,E x y ，直线DE 的方程为1x my =+，与椭圆方程联立得()2234690m y my ++-=，122634m y y m +=-+，122934y y m =-+设直线AD 的方程为11(2)2y y x x =++，与直线:4l x =联立得1164,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭，同理可得2264,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭，则()()()12121221212123233323339M N H my y y y y y y y y m my my m y y m y y ++⎛⎫+==+==- ⎪+++++⎝⎭，(4,3)H m ∴-，3041FH m k m --==--，当0m =时，显然DE FH ⊥；当0m ≠时，()11DE FH k k m m⨯=⨯-=-时，DE FH ⊥，综上，可得DE FH ⊥.（2）12234y y m -===+()2122121||34m DE y y m +=-=+，H 到直线DE的距离d ==(221811||234DFHm S DE d m +=⨯=+△，设2211t m t =≥⇒=-，()3322()(1)31314t t f t t t t ==≥+-+，()422233'()031t t f t t +=>+()f t ∴在[1,)+∞上单调递增，min 1()(1)4f t f ==，当1t =，即0m =时取得最小值.DEH ∴ 面积的最小值是92.2．（2021·山东省实验中学高三模拟）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是椭圆C上位于第二象限的任一点，直线l 是12F PF ∠的外角平分线，直线2PF 交椭圆C 于另一点Q ，过左焦点1F 作l 的垂线，垂足为N ，延长1F N 交直线2PF 于点M ，||2ON =（其中O 为坐标原点），椭圆C 的离心率为12.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求1PF Q 的内切圆半径r 的取值范围.【解析】（1）由题意可得1||||F N NM =，且1||||PF PM =，所以1222||||||||||2PF PF PM PF MF a +=+==，因为O ，N 分别为线段12F F ，1F M 的中点，所以ON 为12MF F △的中位线，所以2//ON MF 且21||||22ON MF a ===，由12c a =，222a b c =+得23b =，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由（1）知2(1,0)F ，设直线2PF 的方程为1(0)x my m =+≠，由点P 在第二象限求得33m <.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)690m y my ++-=，由根与系数的关系得122634m y y m +=-+，122934y y m =-+，所以12212121212211121||||2()42234PF Q m S F F y y y y y y m +=⋅⋅-=⨯+-+△，令2231()3t m t =+>，则221m t =-，所以12212121213(1)4313PF Q t t S t t t t===-+++△，因为13y t t=+在233t >时单调递增，所以15332y t t =+>所以11283153PF Q S t t=∈+△，又11111(||||||)4422PF Q S PF PQ QF r a r r =++⋅=⋅⋅=△，所以83045r <<，即305r <<，所以1PF Q 内切圆半径r 的取值范围是23)5.【提分秘籍】求解圆锥曲线中最值、范围问题的主要方法(1)几何法:若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质数形结合求解.(2)代数法:若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系,或者不等关系,或者已知参数与新参数之间的等量关系等,则利用代数法求参数的范围.【变式演练】1．（2021·辽宁本溪高级中学高三模拟）已知点F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，椭圆上任意一点到点F 距离的最大值为3，最小值为1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若M 为椭圆C 上的点，以M 为圆心，MF 长为半径作圆M ，若过点(1,0)E -可作圆M 的两条切线,EA EB (,A B 为切点)，求四边形EAMB 面积的最大值.【解析】（1）根据题意椭圆上任意一点到点F 距离的最大值为3，最小值为1.所以31a c a c +=⎧⎨-=⎩，解得2,1a c ==，所以b =因此椭圆C 的标准方程为22143x y +=（2）由（1）知，()1,0E-为椭圆的左焦点，根据椭圆定义知，||||4ME MF +=，设|r MF MB ==｜，∵点E 在圆M 外，∴||4ME r r =->，∴12r ≤<所以在直角三角形MEB 中，||EB ==1||||2MEB S EB MB =⋅= ，由圆的性质知，四边形EAMB面积22MEB S S == ，其中12r ≤<.即)12S r =≤<.令()322412y r r r =-+≤<，则2682(34)y r r r r '=-+=--当413r <<时，0y '>，3224y r r =-+单调递增；当423r <<时，0y '<，3224y r r =-+单调递减.所以，在43r =时，y 取极大值，也是最大值此时maxS ==2．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线10x y ++-=与以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）BMN △是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为BMN △的重心，求点B 到直线MN 距离的取值范围．【解析】（1）设椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点()2,0F c ，则以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆：()222x c y a -+=，所以圆心到直线10x y ++=的距离d a ==，又椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，所以2,a c b ==，解得：2,1a b c ===，所以椭圆的标准方程为22143x y +=；（2）设(),B m n ，设,M N 的中点为D ，直线OD 与椭圆交于A,B 两点，因为O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==,所以,22m n D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭即B 到直线MN 的距离是原点O 到直线MN 距离的3倍.当MN 的斜率不存在时，点D 在x 轴上，所以此时B 在长轴的端点处.由2OB =得：1OD =,则O 到直线MN 距离为1，B 到直线MN 距离为3；当MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，则有：22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得：()()()()12121212043x x x x y y y y +-+-+=，因为D 为,M N 的中点，所以1212,x x m y y n +=-+=-，所以121234y y mk x x n-==--，所以直线MN 的方程为3242n m m y x n ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，即2268430mx ny n m +++=，所以原点O 到直线MN距离22d =.因为22143m n +=，所以223124m n =-，所以22d ===因为203n <≤，所以3<≤13≤<，所以332d ≤<综上所述，33332d ≤≤.即点B 到直线MN 距离的取值范围33,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【题型二】圆锥曲线中的定点、定值问题【典例分析】1．（2021浙江镇海中学高三模拟）已知()0,1F 且满足1PF x =+的动点(),P x y 的轨迹为C．（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）如图，过点()1,0-T 的斜率大于零的直线与曲线C 交于D ，M 两点，()1,1Q -，直线DQ 交曲线C 于另外一点N ，证明直线MN 过定点．【解析】（1）∵1PF x =+，1x ≥-1x =+，等式两边平方整理得24y x =．（2）证明：设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,D x y ．由21123344y x y x ⎧=⎨=⎩两式相减得1313134DM y y k x x y y -==-+．所以直线DM 的方程为()11134y y x x y y -=-+，整理得()13134y y y x y y +=+（*）．因为点T 在直线上，所以134y y =①，同理直线DN 的方程为()23234y y y x y y +=+，因为点Q 在直线上，所以()23234y y y y -+=+②．由①②两式得2211444y y y y ⎛⎫-+=+⋅ ⎪⎝⎭，整理得()121244y y y y =-+-．由（*）式同理知直线MN 的方程为()12124y y y x y y +=+，所以()()1212124444y y y x y y x y y +=+=-+-，整理得直线MN 的方程为()()()12441y y y x ++=-，所以直线MN 过定点()1,4-．2．（2021·天津八中高三模拟）已知椭圆C ：2221(0)6x y b b+=>的左、右焦点分别为()1,0F c -和()2,0F c ，P 为椭圆C 上任意一点，三角形12PF F 面积的最大值是3．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过点()2,0的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且9,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭，证明：QA QB ⋅ 为定值．【解析】（Ⅰ）由题意知226c b =-，当P 点位于椭圆C 短轴端点时，三角形12PF F 的面积S 取最大值，此时max 1232S c b bc =⨯⨯==．所以229b c =，即()2269bb -=，解得23b=．故椭圆C 的方程为22163x y +=．（Ⅱ）（方法1）当直线l 的斜率不为0时，设直线l ：2x my =+交椭圆于()()1122,,,A x y B x y ．由22226x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得，()222420m y my ++-=．则12122242, 22m y y y y m m +=-=-++．而112299,,,44QA x y QB x y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以()()2121212129911144416QA QB x x y y m y y m y y ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=+-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()222222141211512421621616m m m m m m m --⎛⎫⎛⎫=+---+=+=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭．当直线l 的斜率为0时，(A B ，则998115,0,06441616QA QB ⎫⎛⎫⋅=⋅=-+=-⎪ ⎪⎭⎝⎭ ．故QA QB ⋅ 为定值，且为1516-．（方法2）当直线l 的斜率存在时，设直线l ：()2y k x =-交椭圆于()()1122,,,A x y B x y ．由22(2)26y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y 得，()2222218860k x k x k +-+-=．则2122821k x x k +=+，21228621k x x k -=+．而112299,,,44QA x y QB x y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以()()222121212129998112444416QA QB x x y y k x x k x x k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=--+=+-++++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()22222228698811242142116k k k k k k k -⎛⎫=+⋅-+⋅++⎪++⎝⎭22126818115621161616k k --=+=-+=-+．当直线l 的斜率不存在时，可求得()()2,1,2,1A B -，则991152,12,11441616QA QB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．故QA QB ⋅ 为定值，且为1516-．【提分秘籍】1.求定值问题的思路方法(1)思路:求解定值问题的基本思路是使用参数表示要解决的问题,然后证明与参数无关,这类问题选择消元的方向是非常关键的.(2)方法:从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.2.求定点问题的解题方法(1)动直线l 过定点问题:设动直线方程(斜率存在)为y=kx+t,由题设条件将t 用k 表示为t=mk,得y=k(x+m),故动直线过定点(-m,0).(2)动曲线C 过定点问题:引入参变量建立曲线C 的方程,再根据其对参变量恒成立,令其系数等于零,得出定点.【变式演练】1．（2021·广东华南师范大学附属中学高三模拟）设A ，B 为双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左、右顶点，直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于M ，N 两点，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形.（1）求双曲线C 的离心率；（2）已知直线AM ，AN 分别交直线2ax =于,P Q 两点，当直线l 的倾斜角变化时，以PQ 为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【解析】（1）由l x ⊥轴时，AMN 为等腰直角三角形，可得||||||AF NF MF ==，所以2ba c a+=，即2220c ac a --=，故220e e --=，结合1e >，解得2e =.故双曲线C 的离心率为2.（2）因为2c e a ==，所以双曲线:C 222213x y a a-=，显然直线l 的斜率不为0，设直线:2l x my a =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立直线l 与双曲线C 的方程得2222213x my a x y a a=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，化简得222(31)1290m y amy a -++=，根据根与系数的关系，得2121222129,3131am a y y y y m m +=-⋅=--，①所以121224()431ax x m y y a m -+=++=-，②222221212122342()431a m a x x m y y am y y a m --⋅=⋅+++=-，③设直线:AM 11()y y x a x a =++，直线:AN 22()y y x a x a=++，令2ax =，可得121233(,),(,)22()22()ay ay a a P Q x a x a ++，设()G x y ,是以PQ 为直径的圆上的任意一点，则0PG QG ⋅=，则以PQ 为直径的圆的方程为2121233()[][]022()2()ay ay a x y y x a x a -+--=++，由对称性可得，若存在定点，则一定在x 轴上，令0y =，可得2121233()022()2()ay ay a x x a x a -+⋅=++，即2212212129()024[()]a y y a x x x a x x a -+=+++，将①②③代入，可得22222222229931()034424()3131a a a m x a m a a a a m m ⋅--+=---+⋅+--，即229(24a x a -=，解得x a =-或2x a =，所以以PQ 为直径的圆过定点(,0)a -，(2,0)a .2．（2021·山师大附中高三模拟）已知圆(22:12C x y +=，动圆M过点)D且与圆C 相切.（1）求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；（2）假设直线l 与轨迹E 相交于A ，B 两点，且在轨迹E 上存在一点P ，使四边形OAPB 为平行四边形，试问平行四边形OAPB 的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.【解析】（1）因为CD =<，所以点D 在圆内.又因为圆M 过点D 且与圆C相切，所以MC MD =，所以MC MD CD +=>.即点M 的轨迹是以C ，D 为焦点的椭圆.则2a =，即a =又因为222a b -=，所以21b =.故动圆圆心M 的轨迹E 的方程为：2213x y +=.（2）当直线AB 的斜率不存在时，可得直线AB 的方程为32x =±，此时32A y =，所以四边形OAPB 的面积32S =.当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，由22,13y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得，()()222316310k x kmx m +++-=.因为直线l 与轨迹E 相交于A ，B 两点，所以()()()222222361231112310k m k m k m =-+-=-+>△.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122631kmx x k +=-+，()21223131m x x k -=+.所以()121222231my y k x x m k +=++=+.设AB 的中点为Q ，则Q 的坐标为223,3311km m k k ++⎛⎫-⎪⎝⎭.因为四边形OAPB 为平行四边形，所以22622,3131km m OP OQ k k ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以点P 的坐标为2262,3131km m k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭.又因为点Р在椭圆上，所以222262311331km m k k ⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎝⎭+= ⎪+⎝⎭.整理得，22431m k =+.又因为12223131AB x k k =-==++，原点О到直线AB的距离为d =所以平行四边形OAPB的面积322AOBS S AB d ==⋅== .综上可知，平行四边形OAPB 的面积为定值32.1．（2021·江苏南京师范大学附属中学高三模拟）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，满足下列三个条件中的一个：①抛物线C 上一动点Q 到焦点F 的距离比到直线:1m x =-的距离大1；②点(2,3)A 到焦点F 与到准线:2pl x =-的距离之和等于7；③该抛物线C 被直线:20n x y --=所截得弦长为16.请选择其中一个条件解答下列问题.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）O 为坐标原点，直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，直线OM 的斜率为1k ，直线ON 的斜率为2k ，当124k k ⋅=-时，求OMN 的面积的最小值.【解析】（1）若选择①，则抛物线C 上一动点Q 到焦点F 的距与到直线:2m x =-的距离相等，故22p=，故4p =，所以抛物线的方程为28y x =.2=72p +，解得4p =，故抛物线的方程为28y x =.若选择③，则由222y x y px=-⎧⎨=⎩可得2240y py p --=，16=，解得4p =，故抛物线的方程为28y x =.（2）设:MN x my n =+，()11,M x y 、()22,N x y ，因为MN 与抛物线C 相交于M 、N ，所以将:MN x my n =+代28y x =消去x 得：2880y my n --=，则264640m n ∆=+>且128y y m +=，128y y n ⋅=-，由题意可知111y k x =，222y k x =，所以1212122212121264644888y y y y k k y y x x y y n ⋅⋅=⋅====-⋅-⋅，所以2n =，所以OMN的面积1212122S y y y y =⨯⨯-=-=≥，当且仅当0m =时等号成立，所以OMN的面积的最小值为2．（2021·重庆第一中学高三模拟）已知A ，B 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右顶点，F 为右焦点，点P 为C 上的一点，PF 恰好垂直平分线段OB (O 为坐标原点)，32PF =.（1）求椭圆C 的方程；（2）过F 的直线l 交C 于M ，N 两点，若点Q 满足OQ OM ON =+(Q ，M ，N 三点不共线)，求四边形OMQN面积的取值范围.【解析】（1）由题意可知(),0F c ，(),0B a ，∵PF 恰好垂直平分线段OB ，∴2a c =，令x c =，代入22221x y a b +=得：2b y a =±，∴232b a =，∴2222232a cba abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的方程为：22143x y +=.（2）由题意可知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为：1x my =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得：()2234690m y my ++-=，∴()223636340m m ∆=++>，∴122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，设MN 的中点为E ，则2OQ OM ON OE =+=，∴MN 与OQ 互相平分，四边形OMQN 为平行四边形，∴OMQN S 平行四边形2OMN S =△12122OF y y =⨯⨯⨯-12y y =-==212134m=+，令1t =≥，则()2121211313OMQN t S t t t t==≥++平行四边形，∵11333y t t t t ⎛⎫ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭在[1,)+∞上单调递增，∴134t t+≥，∴(]120,313t t∈+，∴03OMQN S <≤平行四边形.综上所述，四边形OMQN 面积的取值范围为(0,3].3.（2021·浙江杭州高级中学高三模拟）已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，点P 为抛物线C 上一点，点P 到F 的距离比点P 到x 轴的距离大1．过点P 作抛物线C 的切线，设其斜率为0k .（1）求抛物线C 的方程；（2）直线:l y kx b =+与抛物线C 相交于不同的两点A ，B （异于点P ），若直线AP 与直线BP 的斜率互为相反数，证明：00k k +=．【解析】（1）解：设点()00,P x y ，由点P 到F 的距离比点P 到x 轴的距离大1，可得01PF y =+，即0012py y +=+，所以2p =，即抛物线C 的方程为24x y =.（2）证明：设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AP 的斜率为AP k ，直线BP 的斜率为BP k ，则()101010AP y y k x x x x -=≠-，()202020BP y yk x x x x -=≠-.因为直线AP 与直线BP 的斜率互为相反数，所以AP BP k k =-，即10201020y y y y x x x x --=---，又点()11,A x y ，()22,B x y 均在抛物线上，可得222200211020444x x x x x x x x --=---，化简可得1202x x x +=-，因为2114x y =，2224x y =，所以()2212124x x y y -=-，即1212124y y x x x x -+=-，故012122x y y k x x -==--，因为24x y =，所以214y x =，所以1 2y x '=，则0012k x =，故00k k +=.4．（2021·湖南长沙长郡中学高三模拟）已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>上有一点A ，点A 在x 轴上方，1F ，2F分别为E 的左，右焦点，当△12AF F 121sin 2AF F ∠=.（Ⅰ）求E 的标准方程；（Ⅱ）若直线l 交E 于P ，Q 两点，设PQ 中点为M ，O 为坐标原点，2PQ OM =uu u r uuu r，作ON PQ ⊥，求证：ON为定值.【解析】（Ⅰ）由椭圆的性质知，△12AF F 的面积取最大时，A 为椭圆的上顶点，即(0,)A b ，而12||2F F c =，∴12121||||2AF F S F F OA bc =⋅== 121sin 2b AF F a ∠==，又222a bc =+，∴24a =，21b =，可得E 的标准方程2214x y +=.（Ⅱ）由题意，2PQ OM =uu u r uuu r且PQ 中点为M ，易得90POQ ∠=︒，即OP OQ ⊥，若直线l 斜率不存在时，P ，Q 关于x 轴对称，2PQ OM =uu u r uuu r知：横纵坐标的绝对值相等，不妨假设P 在第一象限，则(,)P m m ，(,)Q m m -在椭圆上，∴255m =，此时,M N 两点重合，即255ON =；若直线l 斜率为0时，同理可得255ON =，若直线l 斜率存在且不为0时，设直线l 为(0)y kx b b =+≠，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则11(,)OP x y = ，22(,)OQ x y =，且12120x x y y +=，联立椭圆与直线得：222(41)84(1)0k x kbx b +++-=且2216(41)0k b ∆=-+>，∴122841kb x x k +=-+，21224(1)41b x x k -=+，即2222222221212122224(1)84()414141k b k b b k y y k x x kb x x b b k k k --=+++=-+=+++，∴222222224(1)45440414141b b k b k k k k ----+==+++，即||b =.∴||5ON==，为定值.5．（2021·天津南开中学高三模拟）已知点A，B分别为椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的左顶点和上顶点，且坐标原点O到直线AB 的距离为61313，椭圆E的离心率是方程2650x-+=的一个根.（1）求椭圆E的标准方程；（2）若(3,0)P，过P作斜率存在的两条射线PM，PN，交椭圆E于M，N两点，且PM PN⊥，问：直线MN经过定点吗？若经过，求出这个定点坐标；若不经过，说明理由.【解析】（1）因为椭圆E的离心率是方程2650x-+=的一个根，所以2e=或3e=.因为椭圆E的离心率(0,1)e∈，所以53e=.因为3ca=，所以2295a c=，所以222245b ac c=-=，因为点A，B分别为椭圆E的左顶点和上顶点，所以||AB===.因为坐标原点O到直线AB 的距离为61313，所以11||22ab AB=，=⨯，所以c=，所以29a=，24b=，所以椭圆E的标准方程为22194x y+=.（2）当直线MN的斜率存在时，设MN：y=kx+m，由22194y kx mx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元并化简得222(49)189360k x kmx m+++-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则1221849km x x k +=-+，212293649m x x k-=+，又(3,0)P ，PM PN ⊥，所以1212133y yx x ⋅=---，所以1212123()9()()0x x x x kx m kx m -+++++=，即221212(1)(3)()(9)0k x x km x x m ++-+++=，所以2222293618(1)(3)(9)04949m kmk km m k k--++-++=++，所以2222(1)(936)(3)(18)(9)(49)0k m km km m k +-+--+++=，即224554130k km m ++=，所以30k m +=或15130k m +=，当30k m +=时，(3)y k x =-，此时M ，N ，P 重合，舍去.当15130k m +=时，15(13y k x =-，恒过点15(,0)13.当直线MN 的斜率不存在时，MN ⊥x 轴，设(),3M t t -，则()223194t t -+=，解得1513t =，所以此时直线MN 也过点15(,0)13.所以直线MN 恒过定点15(,0)13.6.（2021·湖南长郡中学高三模拟）已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，准线为l .设过点F 且不与x 轴平行的直线m 与抛物线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，过M 作直线垂直于l ，垂足为N ，直线MN 与抛物线C 交于点P .（1）求证：点P 是线段MN 的中点.（2）若抛物线C 在点P 处的切线与y 轴交于点Q ，问是否存在直线m ，使得四边形MPQF 是有一个内角为60︒的菱形？若存在，请求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由.【解析】（1）证明：由题意知直线m 的斜率存在且不为0，故设直线m 的方程为1(0)y kx k =+≠，代入24x y =，并整理得2440x kx --=.所以216160k ∆=+>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x =-.设()00,M x y ，则12022x x x k +==，200121y kx k =+=+，即()22,21M k k +.由MN l ⊥，得(2,1)N k -，所以MN 中点的坐标为()22,k k.将2x k =代入24x y =，解得2y k =，则()22,P k k ，所以点P 是MN 的中点.（2）由24x y =，得24x y =，则'2x y =，所以抛物线C 在点()22,P k k的切线PQ 的斜率为k ，又由直线m 的斜率为k ，可得m PQ ∥；又M N y ∥轴，所以四边形MPQF 为平行四边形.而||MF ==()222||211MP k k k =+-=+，由||||MF MP =，得21k =+，解得3k =±，即当3k =±时，四边形MPQF 为菱形，且此时2||1||||PF k MP MF ==+==，所以60PMF ∠=︒，直线m 的方程为13y x =±+，2即0x +=或0x +=，所以存在直线m ，使得四边形MPQF 是有一个内角为60︒的菱形.。
(完整版)圆锥曲线大题题型归纳,推荐文档
精心整理圆锥曲线大题题型归纳基本方法：1． 待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a 、b 、c 、e 、p 等等； 2． 齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题；3． 韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。
要注4． 5． 1．2．3无关；45“转化”的经验；6．大多数问题只要真实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。
题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题例1、 已知F 1，F 2为椭圆2100x +264y =1的两个焦点，P 在椭圆上，且∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为多少？点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。
变式1、已知12,F F 分别是双曲线223575x y -=的左右焦点，P 是双曲线右支上的一点，且12F PF ∠=120︒，求12F PF ∆的面积。
变式2、已知F 1，F 2为椭圆2221100x y b +=(0＜b ＜10)的左、右焦点，P 是椭圆上一点．（1）求|PF 1|?|PF 2|的最大值； （2）若∠F 1PF 2=60°且△F 1PF 2的面积为6433，求b 的值 题型二过定点、定值问题例2．（淄博市2017届高三3月模拟考试）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>经过点3(1,)，离心率为3，点A 为椭圆C 的右顶点，直线l 与椭圆相交于不同于点A 的两个点1122(,),(,)P x y Q x y . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）当0AP AQ •=u u u r u u u r时，求OPQ ∆面积的最大值；（Ⅲ）若直线l 的斜率为2，求证：OPQ ∆的外接圆恒过一个异于点A 的定点.处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。
2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳(解析版)
题型一：弦的垂直平分线问题题型二：动弦过定点的问题题型三：过已知曲线上定点的弦的问题题型四：向量问题题型五：面积问题题型六：弦或弦长为定值、最值问题题型七：直线问题圆锥曲线九大题型归纳题型八：对称问题题型九：存在性问题：(存在点，存在直线y =kx +m ，存在实数，存在图形：三角形(等比、等腰、直角)，四边形(矩形、菱形、正方形)，圆)题型一:弦的垂直平分线问题1过点T (-1,0)作直线l 与曲线N ：y 2=x 交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E (x 0,0)，使得ΔABE 是等边三角形，若存在，求出x 0；若不存在，请说明理由。
2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳（解析版）【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。
有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形(即D 在AB 的垂直平分线上)、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。
2例题分析1：已知抛物线y =-x 2+3上存在关于直线x +y =0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于题型二:动弦过定点的问题1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
(I )求椭圆的方程；(II )若直线l :x =t (t >2)与x 轴交于点T ,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论题型三:过已知曲线上定点的弦的问题1已知点A 、B 、C 是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且AC ∙BC =0，BC =2AC ，如图。
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧圆锥曲线作为高等数学中的重要内容，在高考中常常出现，并且是考察学生数学运算能力和理解能力的重要方面。
圆锥曲线问题在高考中的常见题型有：直线与圆锥曲线的交点问题、圆锥曲线的参数方程问题、圆锥曲线的性质和应用问题等。
下面我们来一一介绍这些常见题型的解题技巧。
一、直线与圆锥曲线的交点问题这是圆锥曲线问题中最常见的一个题型，题目通常要求求出直线与圆锥曲线的交点坐标。
解题技巧如下：1. 分析题目给出的直线和圆锥曲线，确定直线方程和圆锥曲线方程；2. 将直线方程代入圆锥曲线方程中，解方程得出交点坐标；3. 特别要注意，当圆锥曲线为椭圆或双曲线时，有两个交点，需要分别求解；4. 当圆锥曲线为抛物线时，还需要注意直线的位置与抛物线的开口方向。
二、圆锥曲线的参数方程问题圆锥曲线的参数方程问题通常考查学生对参数方程的理解和应用能力，解答这类问题的关键在于用参数代换替换变量。
解题技巧如下：1. 给出的圆锥曲线通常可以用参数方程表示，将已知的参数方程代入题目求解；2. 注意参数方程的参数范围，有时需要根据范围重新调整参数；3. 对于给出的参数方程，需要将参数代换替换变量，进而得出答案。
三、圆锥曲线的性质和应用问题圆锥曲线的性质和应用问题通常要求学生掌握圆锥曲线的基本性质，以及如何应用这些性质解决实际问题。
解题技巧如下：1. 需要牢记圆锥曲线的基本性质，例如椭圆的焦点、双曲线的渐近线等；2. 掌握各种类型圆锥曲线的标准方程和参数方程；3. 对于应用问题，需要在掌握了基本性质的前提下，将问题转化为数学模型，进而解决。
以上就是圆锥曲线问题在高考中的常见题型及解题技巧，希望对大家备战高考有所帮助。
在复习期间，建议大家多做练习题，加深对圆锥曲线知识的理解，提高解题能力。
多思考，灵活运用各种解题技巧，相信大家一定能在高考中取得好成绩！。
(完整版)圆锥曲线常见题型及答案
圆锥曲线常见题型归纳一、基础题涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。
此类题在考试中最常见，解此类题应注意：（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况；（3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=；例题：（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 （ ）A ．421=+PF PFB ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支）（3）已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2）（4）已知方程12322=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （答：11(3,)(,2)22---）； （5）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2214x y -=）；（6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）二、定义题对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。
此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。
圆锥曲线 题型全归纳
圆锥曲线第一部分：椭圆 1、知识关系网2、基本知识点1.椭圆的定义：第一定义：平面内到两个定点F 1、F 2的距离之和等于定值2a (2a >|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.第二定义: 平面内到定点F 与到定直线l 的距离之比是常数e (0<e <1)的点的轨迹是椭圆,定点叫做椭圆的焦点,定直线l 叫做椭圆的准线,常数e 叫做椭圆的离心率. 2.椭圆的标准方程及其几何性质(如下表所示)标准方程22221(0)x y a b a b +=>> 22221(0)x y a b b a+=>> 图形顶点 (,0)a ±,(0,)b ± (0,)a ±,(,0)b ±对称轴 x 轴，y 轴，长轴长为2a ，短轴长为2b焦点 1(,0)F c -、2(,0)F c1(0,)F c -、2(0,)F c焦距 焦距为122(0),F F c c => 222c a b =-离心率 e =c a(0<e <1)准线方程2a x c=±2a y c=±点P (x 0,y 0) 的焦半径公式|P F 右|=a -ex 0 , |P F 左|=a +ex 0(“左加右减”)|P F 上|=a -ey 0 , |P F 下|=a +ey 0注:1.焦半径(椭圆上一点到焦点的连线段)公式不要求记忆,但要会运用椭圆的第二定义.2.椭圆参数方程cos sin x a y b αα=⎧⎨=⎩：如图点(cos ,sin )N a b αα的轨迹为椭圆.3、典型例题例1.F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则M 点的轨迹方程是( ) (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段例2. 已知ABC ∆的周长是16，)0,3(-A ，B )0,3(, 则动点的轨迹方程是( )(A)1162522=+y x (B))0(1162522≠=+y y x (C)1251622=+y x (D))0(1251622≠=+y y x例3. 若F (c ，0)是椭圆22221x y a b+=的右焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为M ，最小值为m ，则椭圆上与F点的距离等于2M m+的点的坐标是( ) (A)(c ，2b a ±) 2()(,)b B c a-± (C)(0，±b ) (D)不存在例4. 如果椭圆221259x y +=上有一点P ，它到左准线的距离为2.5，那么P 点到右焦点的距离与到左焦点的距离之比是( )。
(完整)圆锥曲线大题题型归纳,推荐文档
圆锥曲线大题题型归纳基本方法：1．待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数、、、、等等；a b c e p 2．齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题；3．韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。
要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根；4．点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。
也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式；5．距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题；基本思想：1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关；4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决；5．有些题思路易成，但难以实施。
这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；6．大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。
题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题例1、已知F 1，F 2为椭圆+=1的两个焦点，P 在椭圆上，且∠F 1 PF 2=60°，则△F 1 PF 2的面积为多少？2100x 264y 点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。
变式1-1 已知分别是双曲线的左右焦点，是双曲线右支上的一点，且12,F F 223575x y -=P=120，求的面积。
12F PF ∠︒12F PF ∆处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。