上海高中数学三角函数训练题

合集下载

高中数学三角函数专项练习题(含答案)

高中数学三角函数专项练习题(含答案)一、填空题1．设函数()f x 是定义在实数集R 上的偶函数，且()()2f x f x =-，当[0,1]x ∈时，3()f x x =，则函数()|cos |()g x x f x π=-在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有零点之和为___________.2．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为43，则这个圆锥的体积为___________.3．已知三棱锥S ABC -中，SA SB SC ==，ABC 是边长为4的正三角形，点E ，F 分别是SC ，BC 的中点，D 是AC 上的一点，且EF SD ⊥，若3FD =，则DE =___________. 4．已知函数()2sin()f x x ωφ=+(0>ω，||φπ<)的部分图象如图所示，()f x 的图象与y 轴的交点的坐标是(0,1)，且关于点(,0)6π-对称，若()f x 在区间14(,)333ππ上单调，则ω的最大值是___________.5．已知函数()sin 2sin 23f x x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭同时满足下述性质：①若对于任意的()()()123123,0,,4,x x x f x f x f x π⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立；②236f a π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则a 的值为_________.6．在角1θ，2θ，3θ，…，29θ的终边上分别有一点1P ，2P ，3P ，…，29P ，如果点k P 的坐标为()()()sin 15,sin 75k k-+，129k ≤≤，k ∈N ，则12329cos cos cos cos θθθθ+++⋅⋅⋅+=______7．已知ABC 为等边三角形，点G 是ABC 的重心．过点G 的直线l 与线段AB 交于点D ，与线段AC 交于点E ．设AD AB λ=，AE AC μ=，则11λμ+=__________；ADE 与ABC 周长之比的取值范围为__________．8．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别为边BC ，CD 上的动点，以MN 为边作等边PMN ，使得点A ，P 位于直线MN 的两侧，则PN PB ⋅的最小值为______．9．已知空间单位向量1e ，2e ，3e ，4e ，1234123421+=+=+++=e e e e e e e e ，则13⋅e e 的最大值是___________.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线2y x =+与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，点P 在圆22()2x a y -+=上运动.若MPN ∠恒为锐角，则实数a 的取值范围是________.二、单选题11．已知函数()()sin cos sin cos 0f x x x x x ωωωωω=++->，则下列结论错误的是（）①1ω=时，函数()f x 图象关于π4x =对称；②函数()f x 的最小值为-2；③若函数()f x 在π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则(]03ω∈，；④1x ，2x 为两个不相等的实数，若()()124f x f x +=且12x x -的最小值为π，则2ω=. A ．②③B ．②④C ．①③④D ．②③④12．已知函数()|sin |(0)f x x ωω=>在区间,53ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的取值范围为（） A ．5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．8,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,4⎛⎤ ⎥⎝⎦13．已知函数()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，且有()02f ()()1g x f x =-的图象在()0,2π内有5个不同的零点，则ω的取值范围为（）A ．5571,2424⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．5571,2424⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．4755,2424⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．4755,2424⎛⎤ ⎥⎝⎦14．已知函数()()sin f x x ωφ=+π0,02ωφ⎛⎫><< ⎪⎝⎭在π5π,88⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，且π3π088f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则π2f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（） A ．22B ．1C ．1-D ．22-15．在ABC 中，,E F 分别是,AC AB 的中点，且32AB AC =，若BEt CF <恒成立，则t 的最小值为（） A ．34B ．78C ．1D ．5416．已知双曲线22413y x -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点M 是双曲线右支上一点，满足120MF MF →→⋅=，点N 是线段12F F 上一点，满足112F N F F λ→→=.现将12MF F △沿MN 折成直二面角12F MN F --，若使折叠后点1F ，2F 距离最小，则λ=（）A ．15B ．25C ．35D ．4517．如图，长方形ABCD 中，152AB =，1AD =，点E 在线段AB （端点除外）上，现将ADE 沿DE 折起为A DE '．设ADE α∠=，二面角A DE C '--的大小为β，若π2αβ+=，则四棱锥A BCDE '-体积的最大值为（）A ．14B ．23C 151-D 51-18．在三棱锥A BCD -中，5,2,2AC AD AB CD BC BD ======接球的半径为（） A 210B 210C 25D ．519．()sin()(0)f x x ωφφ=+>的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，若tan 2APB ∠=-，则ω的值为（）A ．4π B ．3π C ．2π D ．π20．在ABC 中，若22sin cos 1A B +=，则8cos AB BCBC A AC+的取值范围为（）A ．)43,8⎡⎣B ．)43,7⎡⎣C ．()7,8D ．()0,43三、解答题21．将函数2sin 3y x =+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()f x 的图象．（1）写出函数()f x 的解析式；（2）若,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22()2()()1g x f x mf x m =-+-，求()g x 的最小值min ()g x ．22．已知1l ，2l ，3l 是同一平面内自上而下的三条不重合的平行直线.（1）如图1，如果1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离也是1，可以把一个正三角形ABC 的三顶点分别放在1l ，2l ，3l 上，求这个正三角形ABC 的边长.（2）如图2，如果1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离是2，能否把一个正三角形ABC 的三顶点分别放在1l ，2l ，3l 上，如果能放，求BC 和3l 夹角θ的正切值并求该正三角形边长；如果不能，试说明理由.（3）如果边长为2的正三角形ABC 的三顶点分别在1l ，2l ，3l 上，设1l 与2l 间的距离为1d ，2l 与3l 间的距离为2d ，求12d d ⋅的取值范围.23．将函数()sin 2g x x =3向左平移4π个单位长度，得到函数()y f x =的图象，设函数()()()h x f x g x =+. （1）对函数()h x 的解析式；（2）若对任意,,2παβπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()a h h b αβ≤-≤恒成立，求b a -的最小值；（3）若26x h t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在[)0,2π内有两个不同的解1x ，2x ，求()12cos x x -的值（用含t 的式子表示）.24．在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC .如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC .25．已知函数22()cos sin 3sin cos 3f x a x a x x x =-+-，其中a R ∈．（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的对称中心；（Ⅱ）若函数()f x 的最小值为4-，求实数a 的值．26．已知ABC ∆的外接圆．．．2，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，又向量()sin sin ,m A C b a =--，2sin sin n A C B ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，且m n ⊥. （1）求角C ；（2）求三角形ABC 的面积S 的最大值并求此时ABC ∆的周长. 27．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c . 已知10sin 2C =（1）若4a =，210c =ABC ∆的面积；（2）若ABC ∆91522213sin sin sin 16A B C +=，求c 的值.28．已知函数22()sin 22sin 26144f x x t x t t ππ⎛⎫⎛⎫=---+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,242x ππ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，最小值为()g t .（1）求当1t =时，求8f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求()g t 的表达式；（3）当112t -≤≤时，要使关于t 的方程2()9g t k t =-有一个实数根，求实数k 的取值范围.29．已知函数()()2cos 3sin cos 1f x xx x =+-．（1）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值；（2）若()85f x =-，2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求cos2x 的值；（3）若函数()()0y f x ωω=>在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递增函数，求正数ω的取值范围．30．函数f （x ）=A sin （2ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π）的部分图象如图所示（1）求A ，ω，φ的值；（2）求图中a ，b 的值及函数f （x ）的递增区间；（3）若α∈[0，π]，且f （α）=2，求α的值．【参考答案】一、填空题1．7 21282π37 4．115．06．07． 3 213,32⎡⎢⎣⎦8．14- 9735+ 10．71a 或4a二、单选题 11．B 12．A 13．A 14．D 15．B 16．C 17．A 18．A 19．C 20．A 三、解答题21．（1）2()2sin 233f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；（2）22min21,47()1,4128(32312m m m g x m m m m m ⎧-+≤⎪⎪=-<<+⎨⎪⎪-++≥+⎩ 【解析】(1)根据函数图象的变换规律即可求得()f x 的解析式;(2)令()t f x =可求得则()[1,3f x ∈+,设22()21M t t mt m =-+-，[1,3t ∈，通过定区间讨论对称轴4mt =的三种情况()M t 的单调性,进而可确定最小值的情况. 【详解】（1）将函数2sin 3y x =+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，可得2sin 23y x =+得图象，再向右平移3π个单位长度得2()2sin 232sin 2333f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）∵,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，242,333x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，则()[1,3f x ∈+，令()t f x =，则设22()21M t t mt m =-+-，[1,3t ∈+， ①当14m≤，即4m ≤时，函数()M t在[1,3上单调递增， ∴22min ()(1)211M t M m m m m ==-+-=-+；②当134m<<412m <<+ 函数()M t 在1,4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,34m ⎛ ⎝上单调递增，∴2min 7()148m M t M m ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；③当34m≥+12m ≥+()M t在[1,3+上单调递减，∴2min ()(3(323M t M m m ==-++∴综上有22min21,47()1,4128(32312m m m g x m m m m m ⎧-+≤⎪⎪=-<<+⎨⎪⎪-++≥+⎩．【点睛】本题考查三角函数图象的变换,考查二次函数在三角函数中的应用,考查定区间动轴的最值取值情况,难度较难.22．（1）2 ；（2）能放，tan θ=；（3）(]0,1 【解析】【分析】（1）根据,A C 到直线2l 的距离相等，可得2l 过AC 的中点M ，2l AC ⊥，从而求得边长2AC AM =的值.（2）假设能放，设边长为a ，BC 与3l 的夹角θ，不妨设060θ<≤，可得sin 2a θ=，()sin 601a θ-=，两式相比化简可得sin θa 的值，从而得出结论. （3）利用两角和差的正弦、余弦公式化简()124sin 60sin d d θθ⋅=-为()2sin 2301θ+-，再根据正弦函数的定义和值域求出12d d ⋅的取值范围. 【详解】（1）,A C 到直线2l 的距离相等，∴2l 过AC 的中点M ， ∴2l AC ⊥， ∴边长22AC AM ==（2）假设能放，设边长为a ，BC 与3l 的夹角θ，由对称性，不妨设060θ<≤， ∴sin 2a θ=，()sin 601a θ-=，两式相比可得：()sin 2sin 60θθ=-，即sin sin θθθ-，2sin θθ∴=，tan θ∴=，sin θ∴=，故边长a ==，综上可得，能放.（3）()1214sin 60sin 4sin sin 2d d θθθθθ⎫⋅=-=-⎪⎪⎝⎭()1cos 2222sin 23012θθθ⎫+=-=+-⎪⎪⎝⎭. 060θ<≤，30230150θ∴<+≤，()1sin 23012θ≤+≤，所以()02sin 23011θ≤+-≤，又10d >，20d >，所以(]120,1d d ⋅∈. 【点睛】本题是一道考查三角函数应用的题目，解题的关键是掌握等边三角形的性质以及三角函数的恒等变换，属于中档题.23．（1）()2sin 23h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）4；（3）()212cos 12tx x -=-【解析】（1）将()g x⇒2y x =；再向左平移4π个单位长度⇒()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最后代入()h x ，得答案；（2）对()h x 在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由内到外求出值域，因为()()a h h b αβ≤-≤恒成立，所以max b m ≥，min a m ≤，整理得答案；（3）表示26x h π⎛⎫- ⎪⎝⎭并化简，由1x ，2x 是2sin x t =在[)0,2π内有两个不同的解，所以12x x π+=或123x x π+=，因需求()12cos x x -，所以分别表示12x x -并代入，利用诱导公式和二倍角公式化简，将式子中22sin x 换成t 得答案. 【详解】（1）将函数()sin 2g x x =得到函数2y x =的图象，再将2y x =的图象向左平移4π个单位长度得到函数()y f x =，所以()224f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，又()()()h x f x g x =+，所以()sin 222sin 23h x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭；（2）当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，472,333x πππ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin 21,3x π⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以2sin 22,3x π⎛⎫⎡+∈- ⎪⎣⎝⎭，令()()m h h αβ=-，因为()()a h h b αβ≤-≤恒成立，所以max 2b m ≥=，min 2a m ≤=-2a -≥所以4b a -≥即b a -的最小值为4；（3）法一：因为2sin 22sin 26263x x h x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以1x ，2x 是2sin x t =在[)0,2π内有两个不同的解，所以12x x π+=或123x x π+=，所以1222x x x π-=-或12232x x x π-=-所以()()22212221cos 2sin 12sin 1122t x x x x -=-=-=-；法二：①当t ＞0时，不妨设12x x ＜，则有1202x x ππ＜＜＜＜，所以1cos x =2cos x =②当0t ＜时，不妨设12x x ＜，则有1232x x πππ＜＜＜＜2，所以1cos x 2cos x = ③当0=t 时，显然有10x =，2x π=，所以()2121212cos cos cos sin sin 12t x x x x x x -=+=-.【点睛】本题考查了由三角函数图像的伸缩平移变换表示解析式，给定定义域求三角函数值域，不等式恒成立问题，还考查了函数零点问题，充分体现了数学中转化与划归思想，属于难题. 24．见解析【解析】选择①：利用三角形面积公式和余弦定理可以求接求出AC 的长；选择②：在ABC ∆，ACD ∆中，分别运用正弦定理，可以求接求出AC 的长；【详解】解：选择①：113sin 2sin 2224ABC S AB BC ABC BC π∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅=所以BC = 由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠482220⎛=+-⨯⨯=⎝⎭所以AC==选择②设BAC CADθ∠=∠=，则04πθ<<，4BCAπθ∠=-，在ABC∆中sin sinAC ABABC BCA=∠∠，即23sin sin44ACππθ=⎛⎫-⎪⎝⎭所以sin4ACπθ=⎛⎫-⎪⎝⎭在ACD∆中，sin sinAC CDADC CAD=∠∠，即4sinsin6ACπθ=所以2sinACθ=.所以2sinsin4πθθ=⎛⎫-⎪⎝⎭，解得2sin cosθθ=，又04πθ<<，所以sinθ=，所以2sinACθ==【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查了数学运算能力.25．（Ⅰ）(,3),.122kk Zππ-+-∈（Ⅱ）12a=或12a=-【解析】（Ⅰ）当1a=时，根据二倍角公式、辅助角公式化简函数，根据正弦函数的性质可得.（Ⅱ）将函数化简为()sin()f x A x bωϕ=++的形式，分类讨论可得.【详解】解：（Ⅰ）当1a=时，22()cos sin cos3f x x x x x=-+-cos2232sin(2)36x x xπ=-=+-()2sin(2)36f x xπ∴=+-由2,6x k k Zππ+=∈得：,122kx k Zππ=-+∈()f x∴的对称中心为(,3),.122kk Zππ-+-∈（Ⅱ）22()cos sin sin cos 3f x a x a x x x =-+-()cos 2sin 23f x a x x ∴=-()2sin(2)36f x a x π∴=+- 1sin(2)16x π-≤+≤ 当0a >时，232sin(2)3236a a x a π--≤+-≤- 则有234a --=- 解得12a = 当0a =时，min ()3f x =-，不合题意当0a <时，232sin(2)3236a a x a π-≤+-≤-- 则有234a -=-解得12a =- 综上 12a ∴=或12a =-．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式将函数进行化简是解决本题的关键，要求熟练掌握三角函数的图象和性质，属于中档题．26．(1) 3C π=. (2) max S = 【解析】【分析】（1）由0m n m n ⊥⇒⋅=，利用坐标表示化简，结合余弦定理求角C （2）利用（1）中222c a b ab =+-，应用正弦定理和基本不等式，即可求出面积的最大值，此时三角形为正三角即可求周长.【详解】（1）∵0m n m n ⊥⇒⋅=，∴()())sin sin sin sin sin 0A C A C b a B -+-=，且2R =)22022a c b a R R ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得：222c a b ab =+-.由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-，∴12cos 1cos 2C C =⇒=， ∵0C π<<，∴3C π=.（2）∵()22222sin 6a b ab c R C +-===，∴2262a b ab ab ab ab =+-≥-=（当且仅当a b =时取“=”）1sin 2S ab C ==≤所以，max S =ABC ∆为正三角形，此时三角形的周长为【点睛】本题主要考查了利用数量积判断两个平面向量的垂直关系，正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于中档题.27．（1）2）c =【解析】【分析】（1）先根据sin 2C =sin C 与cos C ，再利用余弦定理求出b 边，最后利用1sin 2ABC S ab C ∆=求出答案；（2）利用正弦定理将等式化为变得关系，再利用余弦定理化为2c 与ab 的关系式，再结合面积求出c 的值．【详解】解：（1）因为sin 2C = 所以2101cos 12sin 122164C C =-=-⨯=-．又()0,C π∈，所以sin C =．因为4a =，c =2222cos c a b ab C =+-，所以214016244b b ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得4b =，所以11sin 4422ABC S ab C ∆==⨯⨯= （2）因为22213sin sin sin 16A B C +=，由正弦定理，得2221316a b c +=．又2222cos a b ab C c +-=，所以283c ab =．又1sin 2ABC S ab C ∆=，得18ab =，所以248c =，所以c = 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，属于基础题．28．（1）4-（2）22515421()611282(1)t t t g t t t t t t ⎧⎛⎫-+<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+>⎪⎩（3）--22∞⋃+∞（，）（，）【解析】【分析】（1）直接代入计算得解；（2）先求出1sin(2)[,1]42x π-∈-，再对t 分三种情况讨论，结合二次函数求出()g t 的表达式；（3）令2()()9h t g t k t =-+，即2()(6)t 10h t k =-++有一个实数根，利用一次函数性质分析得解.【详解】（1）当1t =时，2()sin 22sin 2444f x x t x ππ⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以48f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （2）因为[,]242x ∈ππ，所以32[,]464x πππ-∈-，所以1sin(2)[,1]42x π-∈- 2()[sin(2)]614f x x t t π=---+（[,]242x ∈ππ）当12t <-时，则当1sin(2)42x π-=-时，2min 5[()]54f x t t =-+ 当112t -≤≤时，则当sin(2)4x t π-=时，min [()]61f x t =-+ 当1t >时，则当sin(2)14x π-=时，2min [()]82f x t t =-+ 故22515421()611282(1)t t t g t t t t t t ⎧⎛⎫-+<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+>⎪⎩（3）当112t -≤≤时，()61g t t =-+，令2()()9h t g t k t =-+即2()(6)t 10h t k =-++ 欲使2()9g t kt =-有一个实根，则只需1()02(1)0h h ⎧-≤⎪⎨⎪≥⎩或1()02(1)0h h ⎧-≥⎪⎨⎪≤⎩ 解得-2k ≤或2k ≥.所以k 的范围：--22∞⋃+∞（，）（，）. 【点睛】本题主要考查三角函数的范围的计算，考查二次函数的最值的求法和方程的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.29．（I ）1-；（II；（III ）10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ 【解析】【分析】将()f x 整理为2sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（I ）利用x 的范围求得26x π+的范围，结合sin x 的图象可求得最值；（II ）利用()85f x =-可求得sin 26x ；结合角的范围和同角三角函数关系可求得cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭；根据cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角和差余弦公式可求得结果；（III ）利用x 的范围求得26x πω+的范围，从而根据sin x 单调递增区间构造出关于ω的不等式组，解不等式组再结合0>ω即可得到结果.【详解】()2cos 2cos 12cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭ （I ）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 72,666x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦[]2sin 21,26x π⎛⎫∴+∈- ⎪⎝⎭ ()f x ∴在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为：1- （II ）由题意得：82sin 265x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 4sin 265x π⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭ 2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 3132,626x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦ 3cos 265x π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭ cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦341552=⨯（III ）()2sin 26f x x πωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,6366x πωπππωωπ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦ 2622362k k ππωππωππππ⎧+≤+⎪⎪∴⎨⎪+≥-⎪⎩，k Z ∈，解得：12362k k ωω⎧≤+⎪⎨⎪≥-⎩，k Z ∈ 0ω>，可知当0k =时满足题意，即103ω<≤ω∴的取值范围为：10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查正弦型函数的值域求解、单调性应用、三角恒等变换公式应用、同角三角函数关系等问题.关键是能够利用二倍角公式和辅助角公式将函数化为()sin A x ωϕ+的形式，从而通过整体对应的方式来研究函数的值域和性质.30．（1）π2,1,6A ωϕ===；（2）7π,112a b =-=，递增区间为()πππ,π36k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（3）π24或7π24. 【解析】【分析】（1）利用函数图像可直接得出周期T 和A ，再利用=2T πω，求出ω，然后利用待定系数法直接得出ϕ的值．（2）通过第一问求得的值可得到()f x 的函数解析式，令()=0f x ，再根据a 的位置确定出a 的值；令0x =得到的函数值即为b 的值；利用正弦函数单调增区间即可求出函数的单调增区间．（3）令()f α=0απ，即可求得α的取值．【详解】解：（1）由图象知A =2，34T =512π-（-3π）=912π，得T =π，即22πω=2，得ω=1，又f （-3π）=2sin[2×（-3π）+φ]=-2，得sin （-23π+φ）=-1，即-23π+φ=-2π+2k π，即ω=6π+2k π，k ∈Z ， ∵|φ|＜2π， ∴当k =0时，φ=6π，即A =2，ω=1，φ=6π；（2）a =-3π-4T =-3π-4π=-712π，b =f （0）=2sin6π=2×12=1， ∵f （x ）=2sin （2x +6π）， ∴由2k π-2π≤2x +6π≤2k π+2π，k ∈Z ，得k π-3π≤x ≤k π+6π，k ∈Z ，即函数f （x ）的递增区间为[k π-3π，k π+6π]，k ∈Z ；（3）∵f （α）=2sin （2α+6π）即sin （2α+6π） ∵α∈[0，π]，∴2α+6π∈[6π，136π]， ∴2α+6π=4π或34π， ∴α=24π或α=724π．【点睛】关于三角函数图像需记住：两对称轴之间的距离为半个周期；相邻对称轴心之间的距离为半个周期；相邻对称轴和对称中心之间的距离为14个周期．关于正弦函数单调区间要掌握：当2,222x k k ππωϕππ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦时，函数单调递增；当32+,222x k k ππωϕππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时，函数单调递减．。

完整)上海高中数学三角函数大题压轴题练习

完整)上海高中数学三角函数大题压轴题练习三角函数大题压轴题练1.已知函数$f(x)=\cos(2x-\frac{\pi}{3})+2\sin(x-\frac{\pi}{4})\sin(x+\frac{\pi}{4})$。

Ⅰ）求函数$f(x)$的最小正周期和图象的对称轴方程。

解：（1）$f(x)=\cos(2x-\frac{\pi}{3})+2\sin(x-\frac{\pi}{4})\sin(x+\frac{\pi}{4})$frac{1}{3}\cos(2x-\frac{\pi}{3})+\frac{4}{3}\sin x\cos x$frac{1}{3}(\cos^2x-\sin^2x-\frac{1}{2})+\frac{4}{3}\sin x\cos x$frac{1}{6}(3\cos2x-1)+\frac{4}{3}\sin x\cos x$frac{1}{6}(3\cos2x+2\sin x\cos x-\frac{2}{3})$frac{1}{6}(3\cos2x+\sin(2x-\frac{\pi}{3})-\frac{2}{3})$frac{1}{6}(3\cos2x+\sin2x\cos\frac{\pi}{3}-\cos2x\sin\frac{\pi}{3}-\frac{2}{3})$frac{1}{6}(2\cos2x+\sqrt{3}\sin2x-\frac{2}{3})$frac{1}{3}(\cos2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x)-\frac{1}{3}$frac{2}{3}\sin(2x+\frac{\pi}{3})-\frac{1}{3}$所以，函数$f(x)$的最小正周期为$\pi$，图象的对称轴方程为$x=k\pi+\frac{\pi}{3}$（$k\in Z$）。

2）在区间$[-\frac{5\pi}{6},\frac{\pi}{2}]$上，$f(x)$单调递增，而在区间$[\frac{\pi}{2},\frac{7\pi}{6}]$上单调递减。

沪教版(上海)高三一轮综合复习之三角函数习题

沪教版（上海）高三一轮综合复习之三角函数习题三角函数一、填空、选择题 1、（宝山区2020届高三上期末（一模））提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：sin cos )a x b x x ϕ+=+，πϕπ-<<，下列判断错误的是（）A. 当0a >，0b >时，辅助角arctan baϕ= B. 当0a >，0b <时，辅助角arctan b a ϕπ=+C. 当0a <，0b >时，辅助角arctanb a ϕπ=+ D. 当0a <，0b <时，辅助角arctan baϕπ=-2、（（奉贤区2020届高三上期末（一模））在△ABC 中，若60A =︒，2AB =，AC =ABC 的面积是3、（虹口区2020届高三上期末（一模））已知函数())cos(2)f x x x θθ=+++为偶函数，且在[0,]2π上为增函数，则θ的一个值可以是（）A. 6πB. 3π C. 23π D. 23π-4、（黄浦区2020届高三上期末（一模））设θ为第二象限的角，3sin 5θ=，则tan2θ的值为． 5、（静安区2020届高三上期末（一模））某人驾驶一艘小游艇位于湖面A 处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东21︒方向，且塔顶的仰角为18︒，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达B 处，此时测得塔底位于北偏西39︒方向，则该塔的高度约为( ) A ．265米B ．279米C ．292米D ．306米6、（闵行区2020届高三上期末（一模））设函数()sin()6f x A x πω=-（0ω>，0A >），[0,2]x π∈，若()f x 恰有4个零点，则下述结论中：① 若0()()f x f x ≥恒成立，则0x 的值有且仅有2个； ② ()f x 在8[0,]19π上单调递增；③ 存在ω和1x ，使得11()()()2f x f x f x π≤≤+对任意 [0,2]x π∈恒成立；④“1A ≥”是“方程1()2f x =-在[0,2]π内恰有五个解”的必要条件；所有正确结论的编号是7、（浦东新区2020届高三上期末（一模））在△ABC 中，边a 、b 、c 满足6a b +=，120C ∠=︒，则边c 的最小值为 8、（青浦区2020届高三上期末（一模））已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与单位圆的交点坐标是34(,)55-，则sin2α=9、（松江区2020届高三上期末（一模））若角α的终边过点(4,3)P -，则3sin()2πα+= 10、（徐汇区2020届高三上期末（一模））已知函数()arcsin(21)f x x =+，则1()6f π-=11、（杨浦区2020届高三上期末（一模））要得到函数2sin(2)3y x π=+的图象，只要将2sin 2y x=的图象（）A. 向左平移6π个单位 B. 向右平移6π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3π个单位12、（长宁嘉定金山区2020届高三上期末（一模））已知点()2,y -在角α终边上，且()tan πα-=sin α=_______.13、（长宁嘉定金山区2020届高三上期末（一模））某港口某天0时至24时的水深y （米）随时间x（时）变化曲线近似满足如下函数模型：0.5sin() 3.24(06)y x πωπω=++>.若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（）.A ．16时B ．17时C ．18时D ．19时 14、（崇明区2020届高三上期末（一模））若不等式（|x ﹣a |﹣b ）sin （πx +6π）≤0对x ∈[﹣1，1]恒成立，则a +b 的值等于（） A ．23B ．56C ．1D ．2参考答案：1、B2、33、D4、－2475、【解答】如图，ABC ∆中，1000AB =，213960ACB ∠=︒+︒=︒，903951ABC ∠=︒-︒=︒；由正弦定理得，1000sin 51sin 60AC =︒︒，所以1000sin 51sin 60AC ︒=︒；Rt ACD ∆中，18CAD ∠=︒，所以1000sin 5110000.7771tan18tan180.3249292sin 600.8660CD AC ︒⨯=︒=⨯︒=⨯≈︒（米)；所以该塔的高度约为292米．故选：C ．6、①③④7、338、2425-9、45- 10、14- 11、A 12、22313、D 14、B二、解答题1、（宝山区2020届高三上期末（一模））已知函数()sin cos()3sin cos 2f x x x x x π=+.（1）求函数()f x 的最小正周期及对称中心；（2）若()f x a =在区间[0,]2π上有两个解1x 、2x ，求a 的取值范围及12x x +的值.2、（（奉贤区2020届高三上期末（一模））函数()sin(tan )f x x ω=，其中0ω≠. （1）讨论()f x 的奇偶性；（2）1ω=时，求证：()f x 的最小正周期是π；（3）(1.50,1.57)ω∈，当函数()f x 的图像与11()()2g x x x=+的图像有交点时，求满足条件的ω的个数，说明理由.3、（虹口区2020届高三上期末（一模））在△ABC 中，8a =，6b =，1cos 3A =-，求：（1）角B ；（2）BC 边上的高.4、（黄浦区2020届高三上期末（一模））在△ABC 中，,,a b c 分别是角A , B , C 的对边，且cos (2)cos a C b c A =-．（1）若3AB AC ⋅=，求△ABC 的面积；（2）若B C ∠<∠，求222cos cos B C +的取值范围．5、（浦东新区2020届高三上期末（一模））已知函数2()2cos 3sin 2f x x x =+. （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC 中，6BC BA ⋅=，若函数()f x 的图像经过点(,2)B ，求△ABC 的面积.6、（普陀区2020届高三上期末（一模））某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB 进行改建.如图所示，平行四边形OMPN 区域为停车场，其余部分建成绿地，点P 在围墙AB 弧上，点M 和点N 分别在道路OA 和道路OB 上，且=60OA 米，=60AOB ∠︒，设POB θ∠=．（1）求停车场面积S 关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围；（2）当θ为何值时，停车场面积S 最大，并求出最大值（精确到0.1平方米）.7、（松江区2020届高三上期末（一模））已知函数2()3cos 2sin f x x x x =-. （1）求()f x 的最大值；（2）在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()0f A =，b 、a 、c 成等差数列，且2AB AC ⋅=，求边a 的长.8、（崇明区2020届高三上期末（一模））知函数 f （x 3x ﹣cos 2x ﹣12，x ∈R ．（1）求函数f （x ）的最小正周期和单调递减区间；（2）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且c 3f （C ）＝0．若sin B ＝2sin A ，求a ，b 的值．参考答案：1、2、解：（1）由2x k πωπ≠+得212k x πω+≠，k Z ∈所以函数()()wx x f tan sin =的定义域为21{|,}2k x x k Z πω+≠∈ ----------2分k Z ∈不写扣1分所以定义域关于原点对称 -----------1分()[]()()sin tan ()sin tan sin tan ()f x w x wx wx f x -=-=-=-=- -----------1分所以函数()()wx x f tan sin =是21{|,}2k x x k Z πω+≠∈上的奇函数. ----------1分（2）1=w ，()()sin tan f x x =函数()f x 是周期函数，且π是它的一个周期.因为()()()sin tan sin tan ()f x x x f x ππ+=+==⎡⎤⎣⎦ ----------2分（必须要验证）所以函数()f x 是周期函数，且π是它的一个周期. 假设0T 是函数()()sin tan f x x =的最小正周期，且00T π<<那么对任意实数x ，都有()()()00sin tan sin tan ()f x T x T x f x +=+==⎡⎤⎣⎦成立取0x =，则()0sin tan 0T =，所以0tan T k π=，k Z ∈（*）取0x T =，则()()00sin tan 2sin tan T T =所以()00202tan sin sin tan 1tan T T T ⎛⎫=⎪-⎝⎭ 把（*）式代入上式，得222sin 01k k ππ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，所以2221k n k πππ=-,,k n Z ∈ 得2221kn k π=-,,k n Z ∈0k ≠时，上式左边为无理数，右边为有理数所以只能0k =但由00T π<<，0tan T k π=，k Z ∈知0k ≠所以假设错误，故π是()f x 的最小正周期. -----------3分（3）因为0x >，111()122x x +≥⨯=且()()sin tan 1f x wx =≤由()()11sin tan ()()2f x wx g x x x===+成立，当且仅当1x =成立 -----------2分 ()sin tan 1w =，得tan 22k πωπ=+所以arctan(2)2k n πωππ=++，,k n Z ∈因为(1.50,1.57)ω∈，所以只能0n = 得arctan(2)2k πωπ=+，k Z ∈ -----------1分得arctan(2)2k πωπ=+是k 的递增函数当0k <时，3arctan(2)arctan()022k ππωπ=+<-<，不符合当0k =时，arctan1.00(1.50,1.57)2πω=≈∉当1k =时，5arctan 1.44(1.50,1.57)2πω=≈∉当2k =时，9arctan 1.5001(1.50,1.57)2πω=≈∈当3k =时，13arctan 1.52(1.50,1.57)2πω=≈∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅当199k =时，()57.150.15699.12797arctan ，∈≈=πω当200k =时，()57.150.1570001546.12801arctan ，∉≈=πω当()57.150.1570001546.1,200，时∉>>ωk 无解故满足条件的ω的个数有198个. -----------3分3、4、5、【解答】（1）()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ……………………………3分 ,,,36T x k k k Zπππππ⎡⎤⇒=∈-+∈⎢⎥⎣⎦………………………………6分（2）302162sin 2)(πππ=⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=B B B B f…………………………10分 612BC BA ac ⋅=⇒=……………………………………………12分 ∴1sin 332ABC S ac B ==△………………………………………14分 6、（1）由平行四边形OMPN 得，在OPN ∆中，120ONP ∠=,60OPN θ∠=-, 则sin sin sin ON OP PN OPN ONP PON==∠∠∠，即60sin(60)sin120sin ON PN θθ==-，即403)ON θ=-，3PN θ，……………………………4分则停车场面积sin 24003sin(60)S ON PN ONP θθ=⋅⋅∠=-，即3sin(60)S θθ=-，其中060θ<<.………………………6分（2）由（1）得3124003sin(60)24003(sin )2S θθθθθ=-=-，即23600sin cos 12003sin =1800sin 26003cos 26003S θθθθθ=-+-，……………………4分则12003sin(230)6003S θ=+-. ……………………6分因为060θ<<，所以30230150θ<+<，则23090θ+=时，max 120031600360031039.2S =⨯-=≈平方米. 故当30θ=时，停车场最大面积为1039.2平方米. ……………………………8分说明：（1）中过点P 作OB 的垂线求平行四边形面积，请相应评分. 7、8、。

高中数学三角函数专项训练(含答案)

高中数学三角函数专项训练(含答案)一、填空题1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．角B 为钝角．设△ABC 的面积为S ，若()2224bS a b c a =+-，则sin A +sin C 的最大值是____________．2．如图，在ABC 中，1cos 3BAC ∠=-，2AC =，D 是边BC 上的点，且2BD DC =，AD DC =，则AB 等于______.3．已知球O 的表面积为16π，点,,,A B C D 均在球O 的表面上，且,64ACB AB π∠=则四面体ABCD 体积的最大值为___________.4．已知函数23tan ,,,2332()63233,,33x x f x x ππππππ⎧⎛⎤⎛⎫∈-⋃ ⎪⎪⎥⎝⎦⎝⎭⎪=⎨⎛⎤⎪+∈ ⎥⎪⎝⎦⎩若()f x 在区间D 上的最大值存在，记该最大值为{}K D ，则满足等式{[0,)}3{[,2]}K a K a a =⋅的实数a 的取值集合是___________. 5．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边a 、b 、c 为三个连续偶数且2C A =，则b =__________．6．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c ，c ＝2b ，若△ABC 的面积为1，则BC 的最小值是________ ．7．已知ABC 为等边三角形，点G 是ABC 的重心．过点G 的直线l 与线段AB 交于点D ，与线段AC 交于点E ．设AD AB λ=，AE AC μ=，则11λμ+=__________；ADE 与ABC 周长之比的取值范围为__________．8．已知向量a 与b 的夹角为θ，27sin θ=||4a b -=，向量,c a c b --的夹角为2π，||23c a -=，则a c ⋅的最大值是___________.9．已知空间单位向量1e ，2e ，3e ，4e ，1234123421+=+=+++=e e e e e e e e ，则13⋅e e 的最大值是___________.10．已知函数()2log ,0,0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，函数()g x 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有()()2g x g x π+=；③当[]0,x π∈时，()sin .g x x =则函数()()y f x g x =-在区间[]4,4ππ-上零点的个数为__________个.二、单选题11．在△ABC 中，24CA CB ==，F 为△ABC 的外心，则CF AB ⋅=（） A ．-6B ．-8C ．-9D ．-12 12．若对,x y R ∀∈，有()()()4f x y f x f y +=+-，函数2sin ()()cos 1xg x f x x =++在区间[2021,2021]-上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（） A ．4B ．8C ．12D ．1613．已知双曲线22413y x -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点M 是双曲线右支上一点，满足120MF MF →→⋅=，点N 是线段12F F 上一点，满足112F N F F λ→→=.现将12MF F △沿MN 折成直二面角12F MN F --，若使折叠后点1F ，2F 距离最小，则λ=（）A ．15B ．25C ．35D ．4514．已知函数()sin sin()f x x x π=+，现给出如下结论：①()f x 是奇函数；②()f x 是周期函数；③()f x 在区间(0,)π上有三个零点；④()f x 的最大值为2.其中所有正确结论的编号为（） A ．①③B ．②③C ．②④D ．①④15．已知F 是椭圆2221(1)x y a a +=>的左焦点，A 是该椭圆的右顶点，过点F 的直线l （不与x 轴重合）与该椭圆相交于点M ，N ．记MAN α∠=，设该椭圆的离心率为e ，下列结论正确的是（）A ．当01e <<时，2πα<B ．当0e <<2πα>C ．当12e <<时，23πα>D 1e <<时，34πα> 16．已知函数()()3log 911x f x x+=-，下列说法正确的是（）A ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数B ．()f x 的图象与sin y x =有无数个交点C ．()f x 的图象与2y =只有一个交点D ．()()21f f -<-17．如图，长方形ABCD 中，AB =1AD =，点E 在线段AB （端点除外）上，现将ADE 沿DE 折起为A DE '．设ADE α∠=，二面角A DE C '--的大小为β，若π2αβ+=，则四棱锥A BCDE '-体积的最大值为（）A ．14B ．23C ．151- D ．51- 18．已知函数()3sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><，(4)(2)6f f =-，且()f x 在[2,4]上单调.设函数()()1g x f x =-，且()g x 的定义域为[5,8]-，则()g x 的所有零点之和等于（） A ．0B ．4C ．12D ．1619．在锐角ABC 中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin a b C =，则tan tan tan A B C ++的最小值为（）A ．2B ．4C ．6D ．820．函数()cos(1)x f x e ax x x =+--，当0x >时，()0f x >恒成立，则a 的取值范围为（） A ．()0,∞+B ．()1,e -+∞C ．(),e -∞D ．(),e +∞三、解答题21．在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识来研究，在一定程度上可以简化推理过程.如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式:cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ 具体过程如下：如图，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角αβ，.它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B ．则(cos ,sin ),(cos ,sin )OA OB ααββ→→== 由向量数量积的坐标表示，有： cos cos sin sin OA OB αβαβ→→⋅=+设,OA OB →→的夹角为θ，则||||cos cos cos cos sin sin OA OB OA OB θθαβαβ→→→→⋅=⋅==+另一方面，由图3.1—3（1）可知，2k απβθ=++；由图可知，2k απβθ=+-.于是2,k k Z αβπθ-=±∈.所以cos()cos αβθ-=，也有cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，所以，对于任意角,αβ有：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+（()C αβ-）此公式给出了任意角,αβ的正弦、余弦值与其差角αβ-的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作()C αβ-.有了公式()C αβ-以后，我们只要知道cos ,cos ,sin ,sin αβαβ的值，就可以求得cos()αβ-的值了.阅读以上材料，利用下图单位圆及相关数据（图中M 是AB 的中点），采取类似方法（用其他方法解答正确同等给分）解决下列问题：（1）判断1OC OMOM→→→=是否正确？（不需要证明）（2）证明：sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=（3）利用以上结论求函数()sin 2sin(2)3f x x x π=++的单调区间.22．已知函数()cos f x x x =，()sin g x x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求证:()()f x g x ≤；（2）若()ax g x bx <<在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.23．将函数()sin 2g x x =3向左平移4π个单位长度，得到函数()y f x =的图象，设函数()()()h x f x g x =+. （1）对函数()h x 的解析式；（2）若对任意,,2παβπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()a h h b αβ≤-≤恒成立，求b a -的最小值；（3）若26x h t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在[)0,2π内有两个不同的解1x ，2x ，求()12cos x x -的值（用含t 的式子表示）.24．函数()()sin tan f x x ω=，其中0ω≠.（1）讨论()f x 的奇偶性;（2）1ω=时，求证：()f x 的最小正周期是π；（3）()1.50,1.57ω∈，当函数()f x 的图像与()112g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像有交点时，求满足条件的ω的个数，说明理由.25．已知ABC ∆的外接圆．．．，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，又向量()sin sin ,m A C b a =--，sin sin n A C B ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，且m n ⊥. （1）求角C ；（2）求三角形ABC 的面积S 的最大值并求此时ABC ∆的周长.26．已知(1,sin )a x =，(1,cos )b x =，(0,1)e =，且(cos sin )x x -∈. （1）若()//a e b +，求sin cos x x 的值；（2）设()()f x a b me a b =⋅+⋅-，m R ∈，若()f x 的最大值为12-，求实数m 的值.27．已知函数())23cos sin cos 0f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π.将函数()y f x =的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象.（1）求ω的值及函数()g x 的解析式；（2）求()g x 的单调递增区间及对称中心28．已知函数()()()24sin sin cos sin cos sin 142x f x x x x x x π⎛⎫=+++-- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若函数()()()12122g x f x af x af x a π⎡⎤⎛⎫=+---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值为2，求实数a 的值.29．已知向量33cos ,sin 22a x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（1）求a ·b 及||a b +；（2）若3()||2f x a b a b =⋅-+，求()f x 的最小值30．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，S 为ABC 的面积，()222sin SB C a c +=-．（1）证明：2A C =；（2）若2b =，且ABC 为锐角三角形，求S 的取值范围．【参考答案】一、填空题1．982．33 4．47,912ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 5．1067． 3 21,32⎡⎢⎣⎦8．259 10．6二、单选题 11．A 12．B 13．C 14．A 15．A 16．C 17．A 18．C 19．D 20．B 三、解答题21．(1)正确;(2)见解析;(3)单调递增区间为,()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，()f x 的单调递减区间为2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】 (1) 因为对1||n n →→是n →方向上的单位向量,又1OC →=且OM →与OC→共线,即可判断出正确;(2)在OAM ∆中, ||||coscos22OM OA βαβα→→--=⋅=,又1OC OMOM→→→=,表示出OC →,OM →的坐标,由纵坐标对应相等化简即可证得结论; 即sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=(3)由(2)结论化简可得222233()sin 2sin 22sin cos 23226x x x x f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=++==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭借助正弦型函数的性质即可求得结果. 【详解】(1) 因为对于非零向量1,||n n n →→→是n →方向上的单位向量,又1OC →=且OM →与OC→共线,所以1OC OMOM→→→=正确;(2) 因为M 为AB 的中点,则OM AB ⊥,从而在OAM ∆中, ||||coscos22OM OA βαβα→→--=⋅=,又1OC OMOM→→→=,又cos ,sin 22OC αβαβ→++⎛⎫= ⎪⎝⎭,cos cos sin sin 22OM αβαβ→++⎛⎫=⎪⎝⎭,所以1sin sin sin22cos 2αβαββα++⎛⎫=⎪-⎝⎭, 即sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=(3)因为222233()sin 2sin 22sin cos 23226x x x x f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=++==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令222262k x k πππππ-+≤+≤+,解得: 36k x k ππππ-+≤≤+所以()f x 的单调递增区间为,()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦令3222262k x k πππππ+≤+≤+,解得: 263k x k ππππ+≤≤+ 所以()f x 的单调递减区间为2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查向量在证明三角恒等式中的应用,考查类比推理,考查正弦型函数的单调性,难度较难.22．（1）答案见解析；（2）a 最大值为2π,b 的最小值为1. 【解析】【分析】（1）构建函数()cos sin h x x x x =-，通过导数研究函数()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调性并计算最值，可得结果.（2）构造函数()sin M x x cx =-，通过分类讨论的方法，0c ≤，1c ≥和01c <<，利用导数判断函数()M x 的单调性，并计算最值比较，可得结果. 【详解】（1）由()()()cos sin h x f x g x x x x =-=- 所以()'cos sin cos sin h x x x x x x x =--=-. 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()'sin 0h x x x =-≤,所以()h x 在区间上0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减.从而()()00h x h ≤=,()()f x g x ≤. （2）当0x >时,“()ax g x <”等价于“sin 0x ax ->” “()g x bx <”等价于“sin 0x bx -<”.令()sin M x x cx =-,则()'cos M x x c =-,当0c ≤时,()0M x >对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.当1c ≥时,因为对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,()'cos 0M x x c =-<,所以()M x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.从而()()00M x M <=对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.当01c <<时,存在唯一的00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()'cos 0M x x c =-=.()M x 与()'M x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的情况如下:因为M x 在区间00,x 上是增函数, 所以()()000M x M >=.进一步,“()0M x >对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立”当且仅当1022M c ππ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭,即20c π<≤,综上所述：当且仅当2c π≤时,()0M x >对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立; 当且仅当1c ≥时,()0M x <对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.所以，若()ax g x bx <<对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立,则a 最大值为2π,b 的最小值为1. 【点睛】本题考查导数的综合应用，关键在于构建函数，化繁为简，同时掌握分类讨论的思想，考验分析问题的能力以及计算能力，属中档题.23．（1）()2sin 23h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）4；（3）()212cos 12tx x -=-【解析】（1）将()g x⇒2y x =；再向左平移4π个单位长度⇒()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最后代入()h x ，得答案；（2）对()h x 在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由内到外求出值域，因为()()a h h b αβ≤-≤恒成立，所以max b m ≥，min a m ≤，整理得答案；（3）表示26x h π⎛⎫- ⎪⎝⎭并化简，由1x ，2x 是2sin x t =在[)0,2π内有两个不同的解，所以12x x π+=或123x x π+=，因需求()12cos x x -，所以分别表示12x x -并代入，利用诱导公式和二倍角公式化简，将式子中22sin x 换成t 得答案. 【详解】（1）将函数()sin 2g x x =得到函数2y x =的图象，再将2y x =的图象向左平移4π个单位长度得到函数()y f x =，所以()224f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，又()()()h x f x g x =+，所以()sin 222sin 23h x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭；（2）当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，472,333x πππ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin 21,3x π⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以2sin 22,3x π⎛⎫⎡+∈- ⎪⎣⎝⎭，令()()m h h αβ=-，因为()()a h h b αβ≤-≤恒成立，所以max 2b m ≥=，min 2a m ≤=-2a -≥所以4b a -≥即b a -的最小值为4；（3）法一：因为2sin 22sin 26263x x h x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以1x ，2x 是2sin x t =在[)0,2π内有两个不同的解，所以12x x π+=或123x x π+=，所以1222x x x π-=-或12232x x x π-=-所以()()22212221cos 2sin 12sin 1122t x x x x -=-=-=-；法二：①当t ＞0时，不妨设12x x ＜，则有1202x x ππ＜＜＜＜，所以1cos x =2cos x = ②当0t ＜时，不妨设12x x ＜，则有1232x x πππ＜＜＜＜2，所以1cos x 2cos x =③当0=t 时，显然有10x =，2x π=，所以()2121212cos cos cos sin sin 12t x x x x x x -=+=-.【点睛】本题考查了由三角函数图像的伸缩平移变换表示解析式，给定定义域求三角函数值域，不等式恒成立问题，还考查了函数零点问题，充分体现了数学中转化与划归思想，属于难题. 24．（1）奇函数；（2）见解析；（3）ω的个数为198个，见解析. 【解析】（1）根据奇偶函数的定义进行判断即可；（2）根据最小正周期公式进行验证即可；（3）利用函数的图象和不等式的性质可以求出满足条件的ω的个数.【详解】（1）()sin[tan()]sin(tan )sin(tan )()f x x x x f x ωωω-=-=-=-=-，所以函数()f x 是奇函数；（2）()sin[tan()]sin(tan )()f x x x f x ππ+=+==，所以()f x 的最小正周期是π；（3）因为当0x >时，()111122g x x x ⎛⎫=+≥⨯ ⎪⎝⎭，（当且仅当1x =时取等号），所以当函数()f x 的图像与()112g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像有交点时，只能()sin tan 1x ω=，即tan 22k πωπ=+，因为(1.50, 1.57)ω∈，所以2(tan1.50,tan1.57)2k ππ+∈，因此1.99199.6k <<，2,3,4,,199k =⋯，因此满足条件的ω的个数为198个，当0x >时，也是一样的，因为两个函数是奇函数都关于原点对称，所以当函数()f x 的图像与()112g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像有交点时，满足条件的ω的个数为198.【点睛】本题考查了函数奇偶性和周期性，考查了三角奇函数的性质，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.25．(1) 3C π=. (2) max S =【解析】【分析】（1）由0m n m n ⊥⇒⋅=，利用坐标表示化简，结合余弦定理求角C （2）利用（1）中222c a b ab =+-，应用正弦定理和基本不等式，即可求出面积的最大值，此时三角形为正三角即可求周长. 【详解】（1）∵0m n m n ⊥⇒⋅=，∴()())sin sin sin sin sin 0A C A C b a B -+-=，且2R =)22022a c b a R R ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得：222c a b ab =+-.由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-，∴12cos 1cos 2C C =⇒=，∵0C π<<，∴3C π=.（2）∵()22222sin 6a b ab c R C +-===，∴2262a b ab ab ab ab =+-≥-=（当且仅当a b =时取“=”）1sin 2S ab C ==≤所以，max S =ABC ∆为正三角形，此时三角形的周长为【点睛】本题主要考查了利用数量积判断两个平面向量的垂直关系，正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于中档题. 26．(1)0 (2)32【解析】【分析】（1）通过()//a e b +可以算出()(1,sin 1)//1,cos cos sin 1x x x x +⇒=+，移项、两边平方即可算出结果.（2）通过向量的运算，解出()()f x a b me a b =⋅+⋅-，再通过最大值根的分布，求出m 的值. 【详解】（1）通过()//a e b +可以算出()(1,sin 1)//1,cos cos sin 1x x x x +⇒=+，即2cos sin 1(cos sin )112sin cos 1sin cos 0x x x x x x x x -=⇒-=⇒-=⇒= 故答案为0.（2）()1sin cos (sin cos )f x x x m x x =++-，设()cos sin x x t t ⎡-=∈⎣，22112sin cos sin cos 2t x x t x x --=⇒=，22113()()1222t g t f x mt t mt -==+-=--+，即213(),22g t t mt t ⎡=--+∈⎣的最大值为12-； ①当11m m -≤⇒≥-时，max 1313()(1)2222g x g m m ==--+=-⇒=（满足条件）；②当11m m <-≤⇒<-时，222max 1311()()22222g x g m m m m =-=-++=-⇒=-（舍）；③当m m -><max 131()22222g x g m ==-⨯-=-⇒=（舍）故答案为32m = 【点睛】当式子中同时出现sin cos ,sin cos ,sin cos x x x x x x +-时，常常可以利用换元法，把sin cos x x 用sin cos ,sin cos x x x x +-进行表示，但计算过程中也要注意自变量的取值范围；二次函数最值一定要注意对称轴是否在规定区间范围内，再讨论最后的结果.27．（1）1ω=，()2sin()23x g x π=+；（2）单调递增区间为54,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，对称中心为2(2,0)()3k k ππ-∈Z . 【解析】【分析】（1）整理()f x 可得：()sin(2)3f x x πω=+，利用其最小正周期为π即可求得：1ω=，即可求得：()sin(2)3f x x π=+，再利用函数图象平移规律可得：()2sin()23x g x π=+，问题得解. （2）令222232x k k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，解不等式即可求得()g x 的单调递增区间；令23x k ππ+=，k Z ∈，解方程即可求得()g x 的对称中心的横坐标，问题得解. 【详解】解：（1）1()2sin 2sin(2)23f x x x x πωωω=+=+，由22ππω=,得1ω=. 所以()sin(2)3f x x π=+.于是()y g x =图象对应的解析式为()2sin()23x g x π=+.（2）由222232x k k πππππ-≤+≤+,k Z ∈得 54433k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈ 所以函数()g x 的单调递增区间为54,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 由23x k ππ+=，解得22()3x k k ππ=-∈Z . 所以()g x 的对称中心为2(2,0)()3k k ππ-∈Z . 【点睛】本题主要考查了二倍角公式、两角和的正弦公式应用及三角函数性质，考查方程思想及转化能力、计算能力，属于中档题． 28．(1) 2T π=；(2)2a =-或6a = 【解析】【分析】（1）根据二倍角公式进行整理化简可得()2sin f x x =，从而可得最小正周期；（2）将()g x通过换元的方式变为21112y t at a =-+--，1t ≤；讨论对称轴的具体位置，分别求解最大值，从而建立方程求得a 的值. 【详解】（1）()2221cos sin cos sin 12f x x x x x π⎡⎤⎛⎫=-++-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()222sin sin 12sin 12sin x x x x =++--= ∴最小正周期2T π=（2）()1sin2sin cos 12g x a x a x x a =+---令sin cos x x t -=，则()22sin 21sin cos 1x x x t =--=-22221111122242a a y t at a t at a t a ⎛⎫∴=-+--=-+-=--+- ⎪⎝⎭sin cos 4t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭由42x ππ-≤≤得244x πππ-≤-≤1t ≤①当2a<a <-当t =max 122y a ⎫=--⎪⎭由1222a ⎫--=⎪⎭，解得()817a ==->-)②当12a≤，即2a -≤时当2a t =时，2max 142a y a =- 由21242a a -=得2280a a --=，解得2a =-或4a =（舍去） ③当12a>，即2a >时当1t =时，max 12a y =-，由122a-=，解得6a = 综上，2a =-或6a = 【点睛】本题考查正弦型函数最小正周期的求解、利用二次函数性质求解与三角函数有关的值域问题，解题关键是通过换元的方式将所求函数转化为二次函数的形式，再利用对称轴的位置进行讨论；易错点是忽略了换元后自变量的取值范围. 29．（1）见解析；（2）178-. 【解析】【分析】（1）运用向量数量积的坐标表示，求出a ·b ；运用平面向量的坐标运算公式求出a b +，然后求出模．（2）根据上（1）求出函数()f x 的解析式，配方，利用二次函数的性质求出最小值．【详解】（1）33cos cos sin sin cos22222x xa b x x x ⋅=⋅-⋅=cos a b ⎛+= ⎝ =∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴cos 0x ∴2cos a b x +=（2）()cos23cos f x x x =- 223172cos 13cos 2cos 48x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴0cos 1x ∴()min 317cos 48x f x ==-【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示，以及平面向量的坐标加法运算公式．重点是二次函数求最小值问题．30．（1）见解析；（2）2⎫⎪⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用三角形面积公式表示S ，结合余弦定理和正弦定理，建立三角函数等式，证明结论，即可．（2）结合三角形ABC 为锐角三角形，判定tanC 的范围，利用tanC 表示面积，结合S 的单调性，计算范围，即可．【详解】(1)证明：由()222sin S B C a c +=-，即222sin SA a c =-，22sin sin bc A A a c∴=-，sin 0A ≠，22a c bc ∴-=， 2222cos abc bc A =+-，2222cos a c b bc A ∴-=-， 22cos b bc A bc ∴-=，2cos b c A c ∴-=，sin 2sin cos sin B C A C ∴-=，()sin 2sin cos sin A C C A C ∴+-=，sin cos cos sin sin A C A C C ∴-=， ()sin sin A C C ∴-=，A ，B ，()0,C π∈，2A C ∴=．(2)解：2A C =，3B C π∴=-，sin sin3B C ∴=．sin sin a b A B =且2b =， 2sin2sin3Ca C∴=，()212sin2sin 2sin2sin 2tan2tan 4tan 4sin 32sin 2sin2cos cos2sin tan2tan 3tan tan tan C C C C C C C S ab C C C C C C C C C CC C∴======+++--，ABC 为锐角三角形，20,230,20,2A C B C C ππππ⎧⎛⎫=∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∴=-∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∈⎪⎪⎝⎭⎩，,64C ππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，tan C ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭， 43tan tan S CC=-为增函数， 2S ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭．【点睛】考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形面积公式，考查了函数单调性判定，难度偏难．。

上海教材高一数学三角函数单元测试

三角函数单元测试1. 求值：=⎪⎭⎫ ⎝⎛21arccos sin .2. 函数()x x f 2arcsin =的定义域是 .3. 函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=x x f ππ4sin 的周期为；单调增区间是 . 4. 若函数()()ϕ+=x x f sin 为偶函数，且[]πϕ,0∈，则=ϕ .5. 设M 和m 分别表示函数1cos 31-=x y 的最大值和最小值，则m M += .6. 若⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x 2tan tan 2π的最小值为___________ .7. 方程033sin 3sin 22=--x x 的解集是 . 8. 函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<->+=22,0,sin πϕπωϕωx A x f 的图象如右图所示，则关于x 的方程()21=x f 的解集为 .9. 在ABC ∆的三边之比为7:5:3，则其最大内角的大小为 .（用反三角函数值表示） 10. 已知关于x 的方程512cos +-=a a x 有实数解，则实数a 的取值范围是 . 11. 函数⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin 3πx y 的周期、振幅依次是…………………………………………………（）A.3,4πB.3,4-πC.3,πD.3,-π12. 函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-1=32tan πx y 在一个周期内的图象是………………………………………………（）13. 要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的（）A.横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度 B.横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度 D.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度14. 解关于x 的方程（1）21cos sin 22=-x x （2）()π,0,1cos 3sin ∈=-x x x15. 已知函数()sin 2f x x =，()cos g x =⎪⎭⎫⎝⎛+62πx ,直线()x t t R =∈与函数()()f x g x 、的图像分别交于N M ,两点.（1）当 4t π=时，求||MN 值；（2）求||MN 在0,2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时的最大值.16. 如图，折线段AP →PQ →QC 是长方形休闲区域ABCD 内规划的一条小路，已知1AB =，AD a =（1a ≥），点P 在以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上，PQ BC ⊥，Q 为垂足．（1）设小路的总长为l ，x PBA =∠，试建立l 关于x 的函数关系()x l ；（2）试问点P 在圆弧何处，能使该小路的路程最短？最短路程为多少？（3）当1a =时，过点P 作PM CD ⊥，垂足为M ．若将矩形PQCM 修建为观赏水池，试问点P 在圆弧何处，能使水池的面积最大？。

高中数学三角函数训练卷

高中数学三角函数训练卷一、选择题1、已知角α的终边经过点(3, －4)，则sinα的值为（）A 3/5B －3/5C 4/5D －4/5解析：因为角α的终边经过点(3, －4)，所以 r ＝√（3²＋（－4)²) ＝ 5，sinα ＝ y/r ＝－4/5，故选 D。

2、若sinθ ＝ 1/3，且θ是第二象限角，则cosθ的值为（）A －2√2/3B 2√2/3C √10/3D √10/3解析：因为θ是第二象限角，所以cosθ ＜ 0。

又因为sin²θ ＋cos²θ ＝ 1，所以cosθ ＝√（1 sin²θ) ＝√（1 （1/3)²) ＝－2√2/3，故选 A。

3、下列函数中，周期为π的奇函数是（）A y ＝ sin2xB y ＝ cos2xC y ＝ sin(x ＋π/2)D y ＝ cos(x ＋π/2)解析：A 选项，y ＝ sin2x，周期 T ＝2π/2 ＝π，且 sin(－2x) ＝sin2x，为奇函数，A 正确；B 选项，y ＝ cos2x 是偶函数，B 错误；C 选项，y ＝ sin(x ＋π/2) ＝ cosx 是偶函数，C 错误；D 选项，y ＝ cos(x ＋π/2) ＝ sinx 是奇函数，但周期 T ＝2π，D 错误。

故选 A。

4、已知tanα ＝ 2，则sin2α的值为（）A 4/5B 3/5C 2/5D 1/5解析：sin2α ＝2sinαcosα ＝2sinαcosα/（sin²α ＋cos²α) ＝2tanα/（tan²α ＋ 1) ＝ 2×2/（2²＋ 1) ＝ 4/5，故选 A。

5、函数 y ＝ sin(2x ＋π/6)的图象可以由函数 y ＝ sin2x 的图象（）A 向左平移π/6 个单位长度得到B 向右平移π/6 个单位长度得到C 向左平移π/12 个单位长度得到D 向右平移π/12 个单位长度得到解析：对于函数 y ＝ sin(2x ＋π/6) ＝ sin2(x ＋π/12)，所以函数 y＝ sin(2x ＋π/6)的图象可以由函数 y ＝ sin2x 的图象向左平移π/12 个单位长度得到，故选 C。

沪教版数学高一第二学期三角部分(三角比、三角函数)练习题卷(二)

高一第二学期三角部分练习卷（二）一．填空题（本大题每题5分，共40分）1. 半径为1的圆上长度为2的弧所对的圆心角的弧度是____________.2. 设角α的终边过点()3,4P -，则()()()()cos 5tan 3sin cot 2απαππαπα--=+-_________.3. 若3cos 5α=，且0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cot 2α=________. 4. 函数cos 12y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为_______________.5. 已知1cos ,03x x π=-<<，则角x 的值为___________. 6. 给出下列命题：○1 sin y x =在第一象限是增函数；○2 α是锐角，则sin 4y πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值域是[]1,1-； ○3 22sin cos y x x =-的最小值是1-；○4 方程2cos xx =只有1个实数根. 其中正确命题的序号是______________.7. 把sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移8π个单位，再把所得图像上各点的横坐标压缩成原来的12，所得图像的函数解析式为()f x ，则()f x 的奇偶性为______________. 8. 如图，一艘轮船在海中A 处遇难，当时航向为北偏东30°，航速为每小时60海里，后因故于某未知地点B 改向朝正东方向行驶，航速不变，直至在另一未知地点C 失去联系，从A 至C 共行驶了半个小时，则A 、C 两地距离的最小值是__________海里.二．解答题（本大题共60分）本大题共5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 9. （本题满分10分）在等腰直角三角形ABC 中，∠C = 90°，点D 、 E 分别是BC 的三等分点. （1）求tan α、()tan αβ+的值；（2）求tan β、tan γ的值.10. （本题满分10分）（1）已知,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求tan x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，求函数212tan 1cos y x x=++的最小值及相应的x 的值.11. （本题满分12分）在△ABC 中，已知22sin cos 212A BC ++=，外接圆半径2R =. （1）求角C 的大小；（2）若角6A π=，求△ABC 的面积.12. （本题满分14分）若函数()()sin cos 0f x A x B x ωωω=+>的最小正周期为2，并当13x =时，()f x 取得最大值2. （1）求函数()f x 的表达式；（2）在闭区间2123,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是否存在()f x 的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；若不存在，说明理由.13. （本题满分14分）已知函数4sin cos ,2sin 2c 0,2os 1x x y x x x π⎛⎫∈ ⎪⎝++⎭=，（1）令sin cos t x x =+，可将已知三角函数关系()y f x =转换成代数函数关系()y g t =，试写出函数()y g t =的表达式及定义域；（2）求函数()y f x =的最大值；（3）函数()y f x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内是单调函数吗？请说明理由.参考答案：一．填空题（本大题每题5分，共40分）1. 半径为1的圆上长度为2的弧所对的圆心角的弧度是____________. 22. 设角α的终边过点()3,4P -，则()()()()cos 5tan 3sin cot 2απαππαπα--=+-_________.433. 若3cos 5α=，且0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cot 2α=________. 2 4. 函数cos 12y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为_______________.()112,21212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 5. 已知1cos ,03x x π=-<<，则角x 的值为___________. 1arccos 3- 6. 给出下列命题：○1 sin y x =在第一象限是增函数；○2 α是锐角，则sin 4y πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值域是[]1,1-； ○3 22sin cos y x x =-的最小值是1-；○4 方程2cos xx =只有1个实数根. 其中正确命题的序号是______________. ○3○4 7. 把sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移8π个单位，再把所得图像上各点的横坐标压缩成原来的12，所得图像的函数解析式为()f x ，则()f x 的奇偶性为______________.偶函数 8. 如图，一艘轮船在海中A 处遇难，当时航向为北偏东30°，航速为每小时60海里，后因故于某未知地点B 改向朝正东方向行驶，航速不变，直至在另一未知地点C 失去联系，从A 至C 共行驶了半个小时，则A 、C 两地距离的最小值是__________海里. 153二．解答题（本大题共60分）本大题共5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 9. （本题满分10分）在等腰直角三角形ABC 中，∠C = 90°，点D 、 E 分别是BC 的三等分点. （1）求tan α、()tan αβ+的值；（2）求tan β、tan γ的值.10. （本题满分10分）（1）已知,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求tan x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，求函数212tan 1cos y x x=++的最小值及相应的x 的值. 2tan 2tan 2,tan 3,1y x x x ⎡⎤=++∈-⎣⎦，当4x π=-时，min 1y = 11. （本题满分12分）在△ABC 中，已知22sin cos 212A BC ++=，外接圆半径2R =. （1）求角C 的大小；3C π= （2）若角6A π=，求△ABC 的面积. 23S = 12. （本题满分14分）若函数()()sin cos 0f x A x B x ωωω=+>的最小正周期为2，并当13x =时，()f x 取得最大值2. （1）求函数()f x 的表达式；（2）在闭区间2123,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是否存在()f x 的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；若不存在，说明理由.13. （本题满分14分）已知函数4sin cos ,2sin 2c 0,2os 1x x y x x x π⎛⎫∈ ⎪⎝++⎭=，（1）令sin cos t x x =+，可将已知三角函数关系()y f x =转换成代数函数关系()y g t =，试写出函数()y g t =的表达式及定义域；（2）求函数()y f x =的最大值；（3）函数()y f x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内是单调函数吗？请说明理由.。

上海高中数学三角函数大题压轴题练习

三角函数大题压轴题练习1．已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域解：（1）()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+1cos 22(sin cos )(sin cos )22x x x x x x =++-+221cos 22sin cos 22x x x x =++-1cos 22cos 22x x x =- sin(2)6x π=-2T 2ππ==周期∴ 由2(),()6223k x k k Z x k Z πππππ-=+∈=+∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3x k k Z ππ=+∈（2）5[,],2[,]122636x x πππππ∈-∴-∈- 因为()sin(2)6f x x π=-在区间[,]123ππ-上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，所以当3x π=时，()f x 取最大值 1又1()()1222f f ππ-=<=，当12x π=-时，()f x 取最小值-所以函数 ()f x 在区间[,]122ππ-上的值域为[2．已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．解：（Ⅰ）1cos 2()222x f x x ωω-=+112cos 2222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2ππ2ω=，解得1ω=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤，因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．3. 已知向量m =(sin A ,cos A ),n =1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域.解：（Ⅰ）由题意得3sin cos 1,m n A A =-= 12sin()1,sin().662A A ππ-=-= 由A 为锐角得 ,663A A πππ-==（Ⅱ）由（Ⅰ）知1cos ,2A =所以2213()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22f x x x x s x =+=-+=--+因为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，f (x )有最大值32.当sin 1x =-时，()f x 有最小值-3,所以所求函数()f x 的值域是332⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，4.已知函数()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图像经过点π132M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（1）求()f x 的解析式；（2）已知π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且3()5f α=，12()13f β=，求()f αβ-的值．【解析】（1）依题意有1A =，则()s i n ()f x x ϕ=+，将点1(,)32M π代入得1sin()32πϕ+=，而0ϕπ<<，536πϕπ∴+=，2πϕ∴=，故()sin()cos 2f x x x π=+=；（2）依题意有312cos ,cos 513αβ==，而,(0,)2παβ∈，45sin ,sin 513αβ∴====，3124556()cos()cos cos sin sin 51351365f αβαβαβαβ-=-=+=⨯+⨯=。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

上海高中数学——三角函数训练题
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1．的值属于区间（）
A. B. C. D.
2.若是第三象限角,则下列结论正确的为( )
A. B. C. D.
3.下列与的值相等的式子为( )
A. B. C. D.
4. 设，如果且，那么的取值范围是（）
A. B. C. D.
5.若,则的值等于( )
A. B. C. D.
6.化简的结果为( )
A. B. C. D.1
7.函数的图象按平移后得到的图象与的图象重合,则可以是
( )
A. B. C. D.
8.函数是周期为的函数. ( )
A.,奇
B.,偶
C.2,奇
D. 2,非奇非偶
9.函数的一个减区间为( )
A. B. C. D.
10.对任意的锐角,下列不等式中正确的是( )
A. B.
C. D.
11.ABC中,已知则下列正确的结论为( )
A. B. C. D.
12.已知函数,则的值域为( )
A.[－４，４]
B.［－５，５］
C.［－４，５］
D.［－５，４］
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
13.圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长,则这段弧所对圆心角的弧度数是.
14. 已知函数则.
15. 求值.
16.锐角三角形的三内角A、B、C满足，那么（1）；（2）若，则角A= .
三、解答题（本题共6小题，共74分）
17.已知.（1）求的值; (2) 求的值.
18. 已知,求的值.
19.已知.(1)求的值; (2)设
,求的值.
20. 若为锐角,求.
21.已知
是第一象限角且,是第二象限角且,求的值.
22. 已知.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求的值.
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
0 1
1
12
答案
D D D C D B C A C D C
C
二、填空题
13. 14. 15. 2 16.
三、解答题
17. 解: (1) .
(2)原式
.
18. 解：
.
19.解: (1)
.
(2)
.
20.解：且,
否则,若而则与条件不符
.
21.解：可知
.
22.解：(Ⅰ)由得，
即，
又，所以为所求.
（Ⅱ）
=
=
==.。