2019年上海市高三二模数学分类汇编—三角比与三角函数
2019年上海市各区高三二模数学分类汇编—函数及答案
2019年上海市各区高三二模数学分类汇编—函数及答案2019上海各区高三二模汇编-函数一、填空题11.（崇明3）设函数f(x)=x^2(x>0)，的反函数为y=f^-1(x)，则y=_______。
答案：√x2.（崇明11）已知函数f(x)=x+1(x∈[-∞,8])，则f^-1(4)=_____________。
答案：33.（奉贤3）设函数y=f(x)=log2(x+c)的图像经过点（2,5），则y=f(x)的反函数f^-1(x)=_________。
答案：2x-4，x∈R4.（奉贤9）已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0,+∞)单调递减，当x+y=2019时，恒有f(x)+f(2019)>f(y)成立，则x的取值范围是_________。
答案：(-∞,2019)5.（虹口7）若函数f(x)=x|x-a|-4（a∈R）有3个零点，则实数a的取值范围是_________。
答案：(4,+∞)6.（虹口8）若函数f(x)=log3(9x+1)+kx（k∈R）为偶函数，则k的值为_________。
答案：-17.（虹口11）若函数f(x)={2-x(x≤1),f(x-1)-f(x-2)(x>1)}，则f(2019)的值为_________。
答案：-18.（金山1）函数f(x)=x-4的定义域是_________。
答案：[4,+∞)9.（闵行3）已知函数f(x)=log2(x)的反函数为f^-1(x)=_______。
答案：2^x解析：1.第一题没有明显错误，不需要改写。
2.第二题已经给出了函数的定义域，没有明显错误，不需要改写。
3.第三题已经给出了函数的反函数，没有明显错误，不需要改写。
4.第四题的解析中，最后一句话应该是“可解得x-y=-(2019-x)，可解得x<2019.因此，x的取值范围为(-∞,2019)。
”5.第五题的解析中，第二个等式应该是“x|x-a|-4=0”，改写为“x|x-a|-4=0，解得|x-a|=4/x，即|x-a|=4x或|x-a|=-4x，因为取绝对值，所以|x-a|=4x，即a=x±4，而函数f(x)有3个零点，说明a有两个解，即x+4>4或x-40或x4，即实数a的取值范围为(4,+∞)。
知识点高中数学三角比与三角函数精修订
知识点高中数学三角比与三角函数精修订高中数学三角比与三角函数是数学中的重点内容，也是学生在大学数学学习中必不可少的基础知识。
三角比与三角函数是研究角度量的一种重要方法，它们广泛应用于几何、物理、工程等领域。
本文将对高中数学中的三角比与三角函数进行精修订。
在高中数学中，三角比主要研究的是角内三边的比值，其中包括正弦、余弦、正切等概念。
正弦函数在直角三角形中的定义是：对于一个锐角三角形，它的一个内角的正弦等于该角的对边与斜边的比值。
余弦函数的定义是：对于一个锐角三角形，它的一个内角的余弦等于该角的邻边与斜边的比值。
正切函数的定义是：对于一个锐角三角形，它的一个内角的正切等于该角的对边与邻边的比值。
除了正弦、余弦、正切之外，还有余割、正割、余切等三角比。
余割的定义是：余割等于余弦的倒数，即余割=1/余弦。
正割的定义是：正割等于正弦的倒数，即正割=1/正弦。
余切的定义是：余切等于余弦的倒数，即余切=1/正弦。
在数学中，除了三角比之外，还有三角函数。
三角函数是以角为自变量的函数，其中包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余割函数、正割函数和余切函数。
正弦函数的定义是：对于一个角θ，它的正弦函数sinθ等于θ的对边与斜边的比值。
余弦函数的定义是：对于一个角θ，它的余弦函数cosθ等于θ的邻边与斜边的比值。
正切函数的定义是：对于一个角θ，它的正切函数tanθ等于θ的对边与邻边的比值。
除了正弦函数、余弦函数、正切函数之外，还有余割函数、正割函数和余切函数。
余割函数的定义是：余割函数cosecθ等于θ的斜边与θ的对边的比值的倒数。
正割函数的定义是：正割函数secθ等于θ的斜边与θ的邻边的比值的倒数。
余切函数的定义是：余切函数cotθ等于θ的邻边与θ的对边的比值的倒数。
在高中数学中，三角比与三角函数在几何和物理中的应用非常广泛。
在几何中，三角比用于解决直角三角形中的角度和边长问题。
在物理中，三角比与三角函数被广泛应用于解决力学、电磁学、波动等领域的问题。
2019年最新上海市第二次高考模拟高三数学试卷及答案解析
第二学期期中高三年级数学学科教学质量监测试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 若集合{}0A x x =>，{}1B x x =<，则AB = ．2. 已知复数z 满1z i ⋅=+（i 为虚数单位），则z = ．3. 函数()sinx cosxf x cosx sinx=的最小正周期是 ．4. 已知双曲线222181x y a -=（0a >）的一条渐近线方程为3y x =，则a = ．5. 若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为 ．6. 已知x y ，满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值是 ． 7. 直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线32x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数是 ．8. 已知函数()()220()01xx f x log x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩ 的反函数是1()f x -，则11()2f -= ．9. 设多项式231(1)(1)(1)nx x x x ++++++++（*0x n N ≠∈，）的展开式中x 项的系数为n T ，则2nn T limn →∞= ．10. 生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p ，每道工序产生废品相互独立．若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p = ．11. 设向量m ()x y =，，n ()x y =-，，P 为曲线1m n ⋅=（0x >）上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为 ．12. 设1210x x x ，，，为1210，，，的一个排列，则满足对任意正整数m n ，，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 设a b R ∈，，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的………………………（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件14. 如图，P 为正方体1111ABCD A BC D -中1AC 与1BD 的交点，则PAC ∆在该正方体各个面上的射影可能是 …………………………………………………………………（ ）（A ）①②③④ （B ）①③ （C ）①④ （D ）②④ 15. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线12l l ，同侧，且P 到12l l ，的距离分别为13，．点M N ，分别在12l l ，上，8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为…………………（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）10 （D ）9 16. 若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”．设2()x f x xλ+=（0x >），若对于任意t ∈，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ的取值范围是…………………………………………………………………………………………（ ）（A ）(]02， （B ）(]12，（C ）[]12， （D ）[]14， 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤．17. （本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E F 、分别是线段1BC CD 、的中点．（1）求异面直线EF 与1AA 所成角的大小； （2）求直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小．18. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知抛物线22y px =（0p >），其准线方程为10x +=，直线l 过点(0)T t ，（0t >）且与抛物线交于A B 、两点，O 为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：OB OA ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关； （2）若P 为抛物线上的动点，记||PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式．19. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[]m n D ⊆，（m n <），同时满足： ①()f x 在[]m n ，内是单调函数；②当定义域是[]m n ，时，()f x 的值域也是[]m n ，．则称函数()f x 是区间[]m n ，上的“保值函数”． （1）求证：函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”； （2）已知211()2f x a a x=+-（0a R a ∈≠，）是区间[]m n ，上的“保值函数”，求a 的取值范围．20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）数列{}n a 中，已知12121()n n n a a a a k a a ++===+，，对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（这里a k ，均为实数） （1）若{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）若112a k ==-，，求n S ； （3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12m m m a a a ++，，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由．21. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设T R ⊂≠，若存在常数0M >，使得对任意t T ∈，均有t M ≤，则称T 为有界集合，同时称M 为集合T 的上界．（1）设12121x x A y y x R ⎧⎫-⎪⎪==∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，、212A x sinx ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，试判断1A 、2A 是否为有界集合，并说明理由； （2）已知2()f x x u =+，记11()()()(())n n f x f x f x f f x -==，（23n =，，）．若m R ∈，1[)4u ∈+∞，，且{}()n B f m n N *=∈为有界集合，求u 的值及m 的取值范围；（3）设a b c 、、均为正数，将222()()()a b b c c a ---、、中的最小数记为d ．是否存在正数(01)λ∈，，使得λ为有界集合222{|dC y y a b c==++，a b c 、、均为正数}的上界，若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由．参考答案及评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分） 1、()0,1 2、1 3、π 4、3 5、16π6、37、28、1-9、1210、0.03 1112、512 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 13、B 14、C 15、A 16、A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 解：（1）方法一：设正方体棱长为2，以D 为原点，直线DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(000)D ，，，(220)B ，，，(020)C ，，，1(002)D ，，，故(12E ，，，(011)F ，，，()111EF =--，，，()1002AA =，，， …………………4/设异面直线EF 与1AA 所成角的大小为α，向量EF 与1AA 所成角为β，则11EF AA cos cos EF AA αβ⋅==⋅…… 6/3==，……7/注意到02πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，故3arccosα=，即异面直线EF 与1AA 所成角的大小为3arccos．…………………8/ （2）由（1）可知，平面11AA B B 的一个法向量是(100)n =，，，…………………10/设直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小是θ，向量EF 与n 所成角为γ，则EF n sin cos EF nθγ⋅==⋅………12/3=13/1又02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，θ∴=线EF 与平面11AA B B 所成角的大小为．………………14/方法二：设正方体棱长为2．（1）在面11CC D D 内，作FH CD ⊥于H ，联结HE ．因为正方体1111ABCD A BC D -，所以1AA ∥1DD ；在面11CC D D 内，有FH ∥1DD ，故异面直线EF 与1AA 所成的角就是EFH ∠（或其补角）．………………………4/由已知及作图可知，H 为CD 的中点，于是，在Rt EFH ∆中，易得1FH =，HE=，故HE tanEFH FH∠=， ………………………………………… 6/== 7/ 又(0)2EFH π∠∈，，所以EFH∠=从而异面直线EF 与1AA 所成角的大小为8/（2）因为正方体1111ABCD A BC D -，所以平面11AA B B ∥平面11CC D D ，故直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小就是直线EF 与平面11CC D D 所成角．注意到BC ⊥平面11CC D D ，即EC ⊥平面11CC D D ，所以直线EF 与平面11AA B B所成角的大小即为EFC∠． ………………………………10/在Rt EFC∆中，易得1EC FC ==，，故ECtan EFCFC∠=……………………12/2==，………………13/又(0)2EFCπ∠∈，，故2E F C a r c ta n∠=，即直线EF与平面11AA B B所成角的大小为……14/18.解：（1）方法一：由题意，2=p，所以抛物线的方程为xy42=．……………2/当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为tx=，则(A t，(B t-，，ttOBOA42-=⋅．…………3/当直线l的斜率k存在时，则0≠k，设l的方程为)(txky-=，11()A x y，，22()B x y，，由24()y xy k x t⎧=⎨=-⎩消去x，得0442=--ktyky，故121244y yky y t⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，所以，ttyyyyyyxx41622122212121-=+=+=⋅．…………………………………………5/综上，OBOA⋅的值与直线l倾斜角的大小无关．…………………………………………6/方法二：由题意，2=p，所以抛物线的方程为xy42=．………………………………2/依题意，可设直线l 的方程为x my t =+（m R ∈），11()A x y ，，22()B x y ，，由24y x x my t ⎧=⎨=+⎩得2440y my t --=， 故121244y y my y t+=⎧⎨=-⎩， 所以，12121212()()OA OB x x y y my t my t y y ⋅=+=+++221212(1)()m y y mt y y t =++++ …………………………5/22(1)(4)4m t mt m t =+-+⋅+24t t =-综上，OB OA ⋅的值与直线l倾斜角的大小无关． …………………………6/（2）设00()P x y ，，则0204x y =，||PT =， ……………………… (8)/注意到00≥x ，所以，若20t -≥，即2t ≥，则当02x t =-时，||PT 取得最小值，即()2)d t t =≥；………10/若20t -<，即有02t <<，则当00x =时，||PT 取得最小值，即()(02)d t t t =<<；………12/综上所述，()()2()02t d t tt ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩…………………………………………………14/19.解：（1）函数2()2g x x x =-在[01]x ∈，时的值域为[10]-，，…………………………4/不满足“保值函数”的定义，因此函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”．………………………6/（2）因xa a x f 2112)(-+=在[]m n ，内是单调增函数，故()()f m mf n n ==，，……8/这说明m n ，是方程x xa a =-+2112的两个不相等的实根， ………………………………10/其等价于方程1)2(222=++-x a a x a 有两个不相等的实根，……………………………11/由222(2)40a a a ∆=+->解得23-<a 或21>a ． ………………………………………13/ 故a的取值范围为3122⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，． ………………………………………………14/20.解：（1）若{}n a 是等差数列，则对任意*n N ∈，有122n n n a a a ++=+，………………2/即121()2n n n a a a ++=+，………………………………………………………………………3/故12k =．………………………………………………………………………………………4/（2）当12k =-时，121()2n n n a a a ++=-+，即122n n n a a a ++=--， 211()n n n n a a a a ++++=-+，故32211()n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+． …………………………………………5/所以，当n 是偶数时，1234112()(11)22n n n n nS a a a a a a a a n -=++++++=+=+=；……………………7/当n 是奇数时，2312()2a a a a +=-+=-，12341n n n S a a a a a a -=++++++123451()()()n n a a a a a a a -=+++++++11(2)22n n -=+⨯-=-． ……………9/综上，()()222n n n S nn-=⎧⎪=⎨=⎪⎩（*k N ∈）． …………………………………………10/（3）若}{n a 是等比数列 ，则公比a a a q ==12，由题意1≠a ，故1-=m m a a ，m m a a =+1，12++=m m a a ．……11/① 若1m a +为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+⇔221a a =+，解得1=a （舍去）；……12/② 若ma 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+⇔22a a =+，因1≠a ，故解得，2a =-，11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； ……………………………14/③ 若2m a +为等差中项，则212m m m a a a ++=+，即112221m mma a aa a+-=+⇔=+， 因为1≠a ，解得212215a a k a =-==-+，． …………………………………………15/综上，存在实数k满足题意，25k =-．…………………………………………………16/21.解：（1）对于1A ，由2121x xy -=+得1201x y y +=>-，解得11y -<<，………………2/1A ∴为有界集合； …………………………………………3/显然252266A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+<<+∈⎨⎬⎭⎩，不是有界集合． ………………………4/（2）记()n n a f m =，则21n n a a u +=+．若14u =，则21()4f m m =+，22111()42n n n n n a a a a a +=+=-+≥，即1n n a a +≥，且211111()()2422n n n n a a a a +-=-=-+，从而1111222n n n a a a +-=-⋅+． （ⅰ）当12m =时，1()2n n f m a ==，所以1{}2B =，从而B 为有界集合．…………5/（ⅱ）当12m <时，由2114n n a a +=+，2111()()4a f m f m m ===+，显然，此时0n a >，利用数学归纳法可得12n a <，故B 为有界集合．…………………………………………6/（ⅲ）当12m >时，211111()()42n n a a a f m f m m m +≥≥≥===+≥>，2114n n n n a a a a +-=-+21()2n a =- 211()2a ≥-，即2111()2n n a a a +-≥-，由累加法得2111(1)()2n a a n a ≥+--→+∞，故B 不是有界集合．因此，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合； 若14u >，则211()()a f m f m m u u ===+≥，即114a u ≥>， 又2114n n a a u u +=+>>（n N *∈）， 即14n a >（n N *∈）． 于是，对任意n N *∈，均有221111()244n n n n n a a a a u a u u +-=-+=-+-≥-，即114n n a a u +-≥-（n N *∈），再由累加法得11(1)()4n a a n u ≥+--→+∞，故B 不是有界集合．………8/综上，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合；当14u >(m R ∈)时，B 不是有界集合． 故，满足题设的实数u 的值为14，且实数m 的取值范围是11[]22-，．………………10/ （3）存在．………………………………………………………………………11/不妨设a b c ≥≥．若2a cb +≤，则2a b c ≥-，且2()d b c =-． 故22222225()5()()d a b c b c a b c -++=--++22225()[(2)]b c b c b c ≤---++3(2)0c c b =-<，即22222215()05d d a b c a b c -++<⇔<++；…………13/若2a cb +>，则2a ac b <+<，即220a b a b <⇔-<， 又2a cb bc a b +>⇔->-，故2()d a b =-，又 22222225()5()()d a b c a b a b c -++=--++22(2)(2)0a b a b c =---<，即 2225()0d a b c -++<22215d a b c ⇔<++，因此，15是有界集合C 的一个上界．…………………………15/下证：上界15λ<不可能出现． 假设正数15λ<出现，取2a c b +=，1()05c a λ=->，则22a c d -⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时，d22222213()()()55a b c a b c acλλ=+++-++-22221()()5a b c a acλλ>+++--222()a b c λ=++（*）…17/由式（*）可得222222()dd a b c a b c λλ>++⇔>++，与λ是C 的一个上界矛盾！．综上所述，满足题设的最小正数λ的值为15． …………………………………………18/。
03.2019年上海高三数学二模分类汇编：函数
1（2019金山二模）. 函数4)(-=x x f 的定义域是2（2019徐汇二模）. 已知点(2,5)在函数()1x f x a =+（0a >且1a ≠）的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=3（2019崇明二模）. 设函数2()f x x =（0x >）的反函数为1()y f x -=，则1(4)f -= 3（2019松江二模）. 已知函数2()log f x x =的反函数为1()f x -，则1(2)f -= 4（2019黄浦二模）. 若函数()f x 的反函数为112()fx x -=，则(3)f = 7（2019长嘉二模）.设函数()f x =a 为常数）的反函数为1()f x -，若函数1()f x -的图像经过点(0,1)，则方程1()2f x -=解为________9（2019青浦二模）. 已知a 、b 、c 都是实数，若函数2()1x x a f x b a x c x⎧≤⎪=⎨+<<⎪⎩的反函数的定义域是(,)-∞+∞，则c 的所有取值构成的集合是9（2019黄浦二模）. 若函数221()lg ||1x x f x x m x ⎧-≤=⎨->⎩在区间[0,)+∞上单调递增，则实数m的取值范围为10（2019金山二模）. 已知函数x x f sin )(=和()g x [,]ππ-，则它们的图像围成的区域面积是10（2019徐汇二模）. 已知函数4()1f x x x =+-，若存在121,,,[,4]4n x x x ⋅⋅⋅∈使得 121()()()()n n f x f x f x f x -++⋅⋅⋅+=，则正整数n 的最大值是11（2019青浦二模）. 已知函数2()f x x ax b =++（,a b ∈R ），在区间(1,1)-内有两个零点，则22a b -的取值范围是11（2019崇明二模）. 已知函数9()||f x x a a x=+-+在区间[1,9]上的最大值是10，则实数a 的取值范围是11（2019松江二模）. 若函数||||2()4(2||9)29||18x x f x x x x =+-+-+有零点，则其所有零点的集合为 （用列举法表示）11（2019金山二模）. 若集合2{|(2)20,A x x a x a =-++-<∈x Z }中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是12（2019长嘉二模）. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(2)()f x f x +=-，且当01x ≤≤时，2()log ()f x x a =+，若对于任意[0,1]x ∈，都有221()1log 32f x tx -++≥-，则实数t 的取值范围为________12（2019浦东二模）. 已知2()22f x x x b =++是定义在[1,0]-上的函数，若[()]0f f x ≤在定义域上恒成立，而且存在实数0x 满足：00[()]f f x x =且00()f x x ≠，则实数b 的取值范围是12（2019静安二模）．已知函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=21sin )(x a x f ，若⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+201920172019220191)0(f f f f 1010)1(20192018=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+f f ，则实数=a ____________．12（2019杨浦二模）. 定义域为集合{1,2,3,,12}⋅⋅⋅上的函数()f x 满足：①(1)1f =；②|(1)()|1f x f x +-=（1,2,,11x =⋅⋅⋅）；③(1)f 、(6)f 、(12)f 成等比数列；这样的不同函数()f x 的个数为13（2019崇明二模）. 下列函数中既是奇函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ）A. y =B. 12log y x =C. 3y x =-D. 1y x x=+16（2019徐汇二模）. 设()f x 是定义在R 上的函数，若存在两个不等实数12,x x ∈R ，使得1212()()()22x x f x f x f ++=，则称函数()f x 具有性质P ，那么下列函数： ① 10()00x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；② 3()f x x =；③ 2()|1|f x x =-；④ 2()f x x =；不具有性质P 的函数为（ ）A. ①B. ②C. ③D. ④16（2019浦东二模）. 已知()||f x a x b c =-+，则对任意非零实数a 、b 、c 、m ，方程2()()0mf x nf x t ++=的解集不可能为（ ）A. {2019}B. {2018,2019}C. {1,2,2018,2019}D. {1,9,81,729} 16（2019静安二模）．设)(x f 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y ，都有)()()(y f x f y x f =+，若211=a ，)(n f a n =（*N ∈n ），数列}{n a 的前n 项和n S 组成数列{S n }，则有（ ） （A ）数列{S n }递增，最大值为1． （B ）数列{S n }递减，最小值为12．（C ）数列{S n }递增，最小值为12． （D ）数列{S n }递减，最大值为1．18（2019黄浦二模）. 经济订货批量模型，是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期，该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题，具体如下：年存储成本费T （元）关于每次订货x （单位）的函数关系为()2Bx AC T x x=+，其中A 为年需求量，B 为每单位物资的年存储费，C 为每次订货费. 某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为6000吨，每吨存储费为120元/年，每次订货费为2500元.（1）若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费；（2）每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？18（2019崇明二模）. 已知函数12lg 6()564a x a x f x x x x ⎧+≤⎪⎪-=⎨-⎪>⎪-⎩. （1）已知(6)3f =，求实数a 的值；（2）判断并证明函数在区间[7,8]上的单调性.18（2019静安二模）．已知函数2lg()1y a x =+-（a 为实常数）． （1）若2lg()1y a x =+-的定义域是113x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或，求a 的值； （2）若2lg()1y a x =+-是奇函数，解关于x 的不等式2lg()01a x +>-． 19（2019长嘉二模）. 为了在夏季降温和冬季取暖时减少能源消耗，业主决定对房屋的屋顶和外墙喷涂某种新型隔热材料，该材料有效使用年限为20年，已知该房屋外表喷涂一层这种隔热材料的费用为6万元/毫米厚，且每年的能源消耗费用H （万元）与隔热层厚度x （毫米）满足关系：40()35H x x =+（010x ≤≤），设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.（1）解释(0)H 的实际意义，并求()f x 的表达式；（2）求隔热层喷涂多厚时，业主的所付总费用()f x 最小？并计算与不建隔热层比较，业主节省多少钱？19（2019青浦二模）. 已知a ∈R ，函数2()2x x a f x a-=+. （1）求a 的值，使得()f x 为奇函数；（2）若0a ≥且2()3a f x -<对任意x ∈R 都成立，求a 的取值范围.19（2019金山二模）. 从金山区走出去的陈驰博士，在《自然—可持续性》杂志上发表的论文中指出：地球正在变绿，中国通过植树造林和提高农业效率，在其中起到了主导地位．已知某种树木的高度()f t (单位：米)与生长年限t （单位：年，t ∈N *）满足如下的逻辑斯蒂函数：0.526()1e t f t -+=+，其中e 为自然对数的底数. 设该树栽下的时刻为0. （1）需要经过多少年，该树的高度才能超过5米？（精确到个位）（2）在第几年内，该树长高最快？19（2019松江二模）. 国内某知名企业为适应发展的需要，计划加大对研发的投入，据了解，该企业原有100名技术人员，年人均投入m 万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x 名（*x ∈N 且[45,60]x ∈），调整后研发人员的年人均投入增加2x %，技术人员的年人均投入调整为3()50x m a -万元. （1）要使这100x -名研发人员的年总投入恰好与调整前100名技术人员的年总投入相同， 求调整后的技术人员的人数；（2）是否存在这样的实数a ，使得调整后，在技术人员的年人均投入不减少的情况下，研 发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入？若存在，求出a 的范围，若不存在，说 明理由.19（2019静安二模）.某文化创意公司开发出一种玩具（单位：套）进行生产和销售．根据以往经验，每月生产x 套玩具的成本p 由两部分费用（单位：元）构成：a.固定成本（与生产玩具套数x 无关），总计一百万元；b. 生产所需的直接总成本50x +1100x 2．（1）问：该公司每月生产玩具多少套时，可使得平均每套所需成本费用最少？此时每套玩具的成本费用是多少？（2）假设每月生产出的玩具能全部售出，但随着x 的增大，生产所需的直接总成本在急剧增加，因此售价也需随着x 的增大而适当增加.设每套玩具的售价为q 元，q =a +x b (a,b ∈R ).若当产量为15000套时利润最大，此时每套售价为300元，试求a 、b 的值．（利润=销售收入-成本费用）21（2019浦东二模）. 已知函数()y f x =的定义域D ，值域为A .（1）下列哪个函数满足值域为R ，且单调递增？（不必说明理由）① 1()tan[()]2f x x π=-，(0,1)x ∈；② 1()lg(1)g x x =-，(0,1)x ∈；（2）已知12()log (21)f x x =+，()sin 2g x x =，函数[lg()]f x 的值域[1,0]A =-，试求出满足条件的函数[lg()]f x 一个定义域D ；（3）若D A ==R ，且对任意的,x y ∈R ，有|()||()()|f x y f x f y -=-，证明：()()()f x y f x f y +=+.21（2019徐汇二模）.已知函数1()y f x =,2()y f x =,定义函数112212()()()()()()()f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧=⎨>⎩. （1）设函数1()f x =121()()2x f x -=（0x ≥），求函数()y f x =的值域； （2）设函数1()lg(||1)f x p x =-+（102x <≤，p 为实常数），21()lg f x x =（102x <≤）， 当102x <≤时，恒有1()()f x f x =，求实常数p 的取值范围； （3）设函数||1()2x f x =，||2()32x p f x -=⋅，p 为正常数，若关于x 的方程()f x m =（m 为 实常数）恰有三个不同的解，求p 的取值范围及这三个解的和（用p 表示）.21（2019宝山二模）. 已知函数()f x 、()g x 在数集D 上都有定义，对于任意的12,x x D ∈，当12x x <时，121212()()()()f x f x g x g x x x -≤≤-或122112()()()()f x f x g x g x x x -≤≤-成立，则称()g x 是数集D 上()f x 的限制函数.（1）求1()f x x=-在(0,)D =+∞上的限制函数()g x 的解析式； （2）证明：如果()g x 在区间1D D ⊆上恒为正值，则()f x 在1D 上是增函数；【注：如果()g x 在区间1D D ⊆上恒为负值，则()f x 在区间1D 上是减函数，此结论无需证明，可以直接应用.】（3）利用（2）的结论，求函数2()f x x =-[0,)D =+∞上的单调区间.。
2019年上海市各区高三二模数学分类汇编—函数及答案
2019上海各区高三二模汇编-函数一、 填空题.1.（崇明3）设函数)0()(2>=x x x f 的反函数为)(1x f y -=，则=-)4(1f _____________.【答案】22.（崇明11）已知函数a a xx x f +-+=9)(在区间][91，上的最大值是10，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】](8-，∞3.（奉贤3）设函数2()log y f x x c ==+的图像经过点（2,5），则()y f x =的反函数1()f x -= 【答案】R x x ∈-,244.（奉贤9）已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且在[0,)+∞单调递减，当2019x y +=时，恒有()(2019)()f x f f y +>成立，则x 的取值范围是【答案】)0,(-∞【解析】由题意，可以用特殊函数做，比如x x f y -==)(，则可得)2019(2019x y x --=->--， 可解得0<x 。
5.（虹口7）若函数()||4f x x x a =--（a ∈R ）有3个零点，则实数a 的取值范围是 【答案】),4(+∞【解析】x a x a x x 4||04||=-⇒=--令xx g a x x h 4)(|,|)(=-=根据两函数的图像可知要想要函数)(x f 有3个零点，即)()(x g x h 、有三个交点，如下图找到相切的解即404=⇒=∆⇒=-a xx a 那么想要有三个交点即4>a . 6.（虹口8）若函数3()log (91)x f x kx =++（k ∈R ）为偶函数，则k 的值为 【答案】1-【解析】由02229log 21919log )()(33=+=+=+++=---kx x kx kx x f x f x xx 可得1-=k 7.（虹口11）若函数20()(1)(2)0x x f x f x f x x -⎧≤=⎨--->⎩，则(2019)f 的值为【答案】1- 【解析】.1)0()3()2019(),()3()6();()1()]()1([)1()2()3(,0-=-==∴=+-=+-=+--+=+-+=+>f f f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x8.（金山1）函数()f x 的定义域是 .【答案】[)4,+∞【解析】40x -≥9.（闵行32 log x 的反函数为【答案】4．10.（闵行11)()4292xx=+-⋅+_______________． 【答案】{2,--11.（浦东12）已知而且存在实数0x 【答案】13--28⎡⎫⎪⎢⎣⎭，12.（普陀3）函数()x x y -+=1log 221的定义域为______.【参考答案】[)10，13.（普陀9）设a 、b 、c 满足1≥a 、1≥b 、1≥c ，且10=abc ，10lg lg lg ≥⋅⋅c b ac b a ，则=++c b a ______.【参考答案】12 【解析】,10,2,,0(110,,lg ,lg ,lg 1lg lg lg 1lg 1)(lg )(lg )(lg 1lg lg lg 10lg )lg(10222222222lg lg lg lg lg lg =≤+++≥++⎩⎨⎧=++≥++====++=≥++≥++≥⋅⋅=b a y x z y x yz xz xy x z y x z y x z y x z y x c z b y a x c b a abc c b a c b a c b a abc c b a c b a ，为设中至少有大于令14.（普陀12数，则不等式(x f +【参考答案】(∞-,15.（青浦7）函数y 【答案】sin12π+【解析】|sin y x =+16.（青浦9）已知a 【答案】{}0【解析】由题意函数⎪⎩⎪⎨⎧<<+≤=c x a b xa x x x f ,1,)(2的反函数的定义域是()+∞∞-,，所以函数)(x f 存在反函数并且函数的值域是()+∞∞-,，即得0<a ，当c x a b xx f <<+=,1)(时，可得函数的值域必须有能取到∞-，所以得c 只能等于0.17.（青浦11）已知函数2()f x x ax b =++（,a b R ∈），在区间(1,1)-内有两个零点，则22a b -的取 值范围是________【答案】(0,2)【解析】方程韦达定理：1212,x x a x x b +=-⋅=，代入可得：222122a b x x -=+； 且1(1,1)x ∈-、2(1,1)x ∈-，又12,0x x ≠，则2212(0,2)x x +∈18.（徐汇2【答案】2log (19.（徐汇1012()()f x f x ++【答案】620.（杨浦3【答案】321.（杨浦6【答案】2- 【解析】令(1f -22.（杨浦7【答案】1[2π-【解析】由题意()arcsin 211xy x x =+-≤≤，在[]1,1-上单调递增，当1x=-时，12y π-=，当1x =时，42y π+=，故该函数的值域是14,22ππ-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦．23.（杨浦9）若定义域为(,0)(0,)-∞+∞的函数120()20x x x f x m x -⎧->=⎨+<⎩是奇函数，则实数m 的值为【答案】1-【解析】由已知，()112f =，()112f m -=+，∵()f x 是奇函数，∴11022m ++=，∴1m =-，经检验，当1m =-时，()f x 是奇函数，故1m =-．24.（杨浦12）定义域为集合{1,2,3,,12}⋅⋅⋅上的函数()f x 满足：①(1)1f =；②|(1)()|1f x f x +-=（1,2,,11x =⋅⋅⋅）；③(1)f 、(6)f 、(12)f 成等比数列； 这样的不同函数()f x 的个数为 【答案】155【解析】由题意，f ∴(){}20,2f ∈，(f }8,,12∵f 成等比数列，∴(2f∴()12f ，此时()①()()11,6f f ==-其中()()16f f →的②()()11,62,f f f ==其中()()16f f →的∴2256150C C ⨯=25.（长宁7则方程2)(-1=x f 【答案】1【解析】由)(-1x f 以方程2)(-1=x f 26.（长宁12若对于任意[]1,0∈x【答案】[] 0,3 二、选择题.1.（崇明13)下列函数中既是奇函数，又在区间），（∞+0上单调递减的函数为（） 【A 】x y =【B 】x 21log【C 】3x y -= 【D 】xx y 1+= 【答案】C2.（浦东16）已知(),f x a x b c =-+则对任意非零实数,,,,,a b c m n t ，方程2()()0mf x nf x t ++=的解集不可能为（ ）【A 】{}2019 【B 】{}2018,2019 【C 】{}1,2,2018,2019 【D 】{}1,9,81,729 【答案】D3.（徐汇16）设()f x 是定义在R 上的函数，若存在两个不等实数12,x x ∈R ，使得1212()()()22x x f x f x f ++=，则称函数()f x 具有性质P ，那么下列函数： ① 10()00x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；② 3()f x x =；③ 2()|1|f x x =-；④ 2()f x x =；不具有性质P 的函数为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D三．解答题1.（青浦19）已知a R ∈，函数2()2x x af x a-=+.（1）求a 的值，使得()f x 为奇函数； （2）若0a ≥且2()3a f x -<对任意x R ∈都成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）1±=a ；（2）5≥a【解析】（1）由题意当0≥a 时，R x ∈,0)()(=-+∴x f x f 解得1=a ；当0<a 时，)(log 2a x -≠，所以要使得函数为奇函数，a 只能等于1-，即当1-=a 时，经检验0)()(=-+x f x f 满足，综上1±=a ；（2）当0≥a 当0≤0>a 2.()=x H （1）（2()f x（2）()80061010107035f x x x ⎛⎫=++-≥=⎪+⎝⎭，当80061035x x =++，即5x =时取等号，所以当隔热层喷涂5毫米时，业主的所付总费用最小70万元.如果不建隔热层20年将付能源费208160⨯=万元，所以业主节省90万元.3.（杨浦18）上海地铁四通八达，给市民出行带来便利，已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔t （单位：分字）满足：220t ≤≤，t ∈N ，经测算，地铁载客量()p t 与发车时间间隔t 满足2120010(10)210()12001020t t p t t ⎧--≤<=⎨≤≤⎩，其中t ∈N . （1）请你说明(5)p 的实际意义； （2）若该线路每分钟的净收益为6()3360360p t Q t-=-（元），问当发车时间间隔为多【答案】（1【解析】（1）)5(p )5(p（2）当102<≤t 等号成立当且仅当t 当2010≤≤t 时， 等号成立当且仅当t 故当发车时间间隔为4.（普陀19平方米）可用15燃料费为10020+x k（k 为常数）万元。
三角函数与三角比的应用
三角函数与三角比的应用三角函数和三角比是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
本文将介绍三角函数和三角比的定义及其应用，包括测量、建筑、航海和物理等方面。
一、三角函数的定义与性质1. 正弦函数（sin）：在一个直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边之比，即sinθ=opposite/hypotenuse。
2. 余弦函数（cos）：在一个直角三角形中，余弦函数定义为邻边与斜边之比，即cosθ=adjacent/hypotenuse。
3. 正切函数（tan）：在一个直角三角形中，正切函数定义为对边与邻边之比，即tanθ=opposite/adjacent。
二、三角函数的应用1. 测量三角函数在测量中起到重要的作用。
例如，测量一座建筑物的高度可以通过测量地面与建筑物之间的角度及距离，利用正切函数来计算其高度。
2. 建筑在建筑设计中，三角函数用于计算房屋的角度和方向，以确保房屋在施工过程中的准确定位和平衡。
3. 航海三角函数对航海导航非常重要。
通过测量天体的角度和高度，并利用正弦和余弦函数，航海者可以确定自己的位置和航行方向。
4. 物理学三角函数在物理学中的应用广泛。
例如，运动学中的矢量分解和动力学中的力的分解都离不开三角函数的运算。
5. 信号处理三角函数在信号处理领域中有很多应用。
例如，通过傅里叶变换可以将任意复杂的信号分解为一系列简单的三角函数的叠加。
6. 电子工程在电子工程中，三角函数在交流电路和信号处理中被广泛使用，例如计算频率响应和相位差等。
三、三角比的应用1. 角度的度量角度的度量通常使用弧度制或度制，而正弦、余弦和正切等三角函数则常常用来计算角度。
2. 相似三角形相似三角形是几何学中的重要概念，在测量和建模中广泛应用。
三角比可用于计算相似三角形的边长比例。
3. 三角恒等式三角恒等式是三角函数中的重要性质，广泛用于证明和推导三角函数的各种关系。
常见的三角恒等式包括正弦定理、余弦定理等。
4. 几何图形的计算三角比可用于计算各种几何图形的面积、周长和体积等。
上海市普陀区2019届高三3月模拟练习(二模)数学试题附答案解析
上海市普陀区2019届高三3月模拟练习（二模）数学试题一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由题意得到OA、OB、OC两两垂直，结合几何体，设为ABC所在平面截球所得圆的圆心，由勾股定理即可求出结果.【详解】显然OA、OB、OC两两垂直，如图，设为ABC所在平面截球所得圆的圆心，，且，．为的中心．由，可得．故选：B．【点睛】本题主要考查点到平面的距离，结合勾股定理即可求解，属于基础题型.2.在中，，，，若将绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，绕直线旋转一周，，则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去一个以ABD为轴截面的校园追后剩余的部分.因为，，，所以.，所以.故选D.3.将函数图象上的点向左平移个单位，得到点，若位于函数的图象上，则A. ，s的最小值为B. ，s的最小值为C. ，s的最小值为D. ，s的最小值为【答案】C【解析】【分析】先由题意求出，再由将函数图象上的点向左平移个单位，得到点，以及位于函数的图象上，可表示出，进而可求出结果.【详解】将代入得：，进而求出平移后的坐标，将函数图象上的点向左平移个单位，得到点()，若位于函数的图象上，则，则，，则，，由得：当时，s的最小值为，故选：C．【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记平移原则以及三角函数性质即可，属于常考题型.4.已知x，，且，则存在，使得成立的构成的区域面积为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由目标函数作出可行域，根据可得，由换元法令，则，可将存在，使得成立，转化为存在，使得成立，进而可确定x，所满足的平面区域，继而可求出结果.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB，若存在，使得成立，则，令，则，则方程等价为，即，存在，使得成立，，即，则对应的区域为单位圆的外部，由，解得，即，，则三角形OAB的面积，直线的倾斜角为，则，即扇形的面积为，则构成的区域面积为，故选：A．【点睛】本题主要考查线性规划问题，只需作出可行域，再根据题意确定x，所满足的平面区域，即可求解，属于常考题型.二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知集合，，则______．【答案】【解析】【分析】先解将得到集合，进而可求出结果.【详解】或或，则，故答案为：．【点睛】本题主要考查补集的运算，熟记概念即可，属于基础题型.6.已知复数是虚数单位，则的虚部等于______．【答案】-1【解析】【分析】先由复数的运算化简，进而可求出结果.【详解】，的虚部等于．故答案为：．【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记运算法则和复数的概念即可，属于基础题型.7.计算______．【答案】【解析】【分析】先对化简，再分子与分母同除以，即可求出结果.【详解】，．原式．故答案为：．【点睛】本题主要考查“”的极限问题，先将原式进行化简即可，属于基础题型.8.行列式中第2行第1列元素的代数余子式的值为，则______．【答案】-14【解析】【分析】先由题意得到，再进一步计算即可得出结果.【详解】由题意得解得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查矩阵的计算，熟记概念和公式即可，属于基础题型.9.被7除后的余数为______．【答案】2【解析】【分析】先由化为，再由二项展开式展开即可得出结果.【详解】．被7除后的余数为2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项展开式即可，属于常考题型.10.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是______【答案】【解析】观察三视图可知：该几何体为底面半径为2，高为6的圆锥，则母线长为，故侧面积为，故答案为.11.已知，，则______．【答案】【解析】【分析】利用两角差正切公式即可得到结果.【详解】,故答案为：【点睛】本题考查两角和与差的正切公式，考查计算能力，属于基础题.12.从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者，则“甲被选中，乙没有被选中”的概率是______．【答案】【解析】【分析】先求出“从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者”所包含的基本事件总数，再求出满足“甲被选中，乙没有被选中”的基本事件数，即可求出结果.【详解】从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者，基本事件总数，“甲被选中，乙没有被选中”包含的基本事件有，“甲被选中，乙没有被选中”的概率．故答案为：．【点睛】本题主要考查古典概型，熟记概率计算公式即可求解，属于常考题型.13.如果的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是______．【答案】【解析】二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则,令可得展开式中的所有项的系数之和是.14.若关于x、y的二元一次方程组至少有一组解，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】先将方程组化为二元一次方程组，根据题意求出直线与直线平行时的值，即可得出满足题意的m的取值范围。
2019年最新上海市普陀区第二次高考模拟高三数学试卷及答案解析
第二学期 高三数学质量调研考生注意:1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分. 考试时间120分钟.2. 本考试分试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1. 计算：=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→311lim n n .2. 函数⎪⎭⎫⎝⎛-=x y 11log 2的定义域为 . 3. 若παπ<<2，53sin =α，则=2tan α. 4. 若复数()21i i z ⋅+=（i 表示虚数单位），则=z . 5. 曲线C ：⎩⎨⎧==θθtan sec y x （θ为参数）的两个顶点之间的距离为 .6. 若从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K 的概率为 （结果用最简分数表示）.7. 若关于x 的方程0cos si n =-+m x x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有解，则实数m 的取值范围是 .8. 若一个圆锥的母线与底面所成的角为6π,体积为π125,则此圆锥的高为 . 9. 若函数1log log )(222+-=x x x f （2≥x ）的反函数为)(1x f-，则)3(1-f= .10. 若三棱锥ABC S -的所有的顶点都在球O 的球面上，⊥SA 平面ABC ，2==AB SA ，4=AC ，3π=∠BAC ，则球O 的表面积为 .11.设0<a ，若不等式01cos )1(sin 22≥-+-+a x a x 对于任意的R ∈x 恒成立，则a 的取值范围是 .12.在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，M 是直线DE 上的动点.若△ABC 的面积为1，则2+⋅的最小值为 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13. 动点P 在抛物线122+=x y 上移动，若P 与点()1,0-Q 连线的中点为M ，则动点M 的轨迹方程为……………………………………………………………………………………………………………（ ）)A ( 22x y = ()B 24x y = ()C 26x y = ()D 28x y =14. 若α、β∈R ，则“βα≠”是“βαt an t an ≠”成立的……………………………………（ ）)A (充分非必要条件()B 必要非充分条件()C 充要条件()D 既非充分也非必要条件15. 设l 、m 是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为…………………………（ ）)A ( 若α//l ，β⊥m ，m l ⊥，则βα⊥ ()B 若α//l ，β⊥m ，m l ⊥，则 βα//()C 若α//l ，β⊥m ，m l //，则βα⊥ ()D 若α//l ，β⊥m ，m l //，则βα//16. 关于函数x y 2sin =的判断，正确的是……………………………………………………………（ ）)A (最小正周期为π2，值域为[]1,1-，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是单调减函数()B 最小正周期为π，值域为[]1,1-，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调减函数()C 最小正周期为π，值域为[]1,0，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调增函数()D 最小正周期为π2，值域为[]1,0，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是单调增函数三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是BC 、11D A 的中点. （1）求证：四边形EDF B 1是菱形；（2）求异面直线C A 1与DE 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示) .18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 已知函数x b x a x f cos sin )(+=（a 、b 为常数且0≠a ，R ∈x ）.当4π=x 时，)(x f 取得最大值. （1）计算⎪⎭⎫⎝⎛411πf 的值； （2）设⎪⎭⎫⎝⎛-=x f x g 4)(π，判断函数)(x g 的奇偶性，并说明理由.1A1B1C1D BDA CEF19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某人上午7时乘船出发，以匀速v 海里/小时（54≤≤v ）从A 港前往相距50海里的B 港，然后乘汽车以匀速ω千米/小时（10030≤≤ω）自B 港前往相距300千米的C 市，计划当天下午4到9时到达C 市.设乘船和汽车的所要的时间分别为x 、y 小时，如果所需要的经费()()y x P -+-+=853100（单位：元）（1）试用含有v 、ω的代数式表示P ；（2）要使得所需经费P 最少，求x 和y 的值，并求出此时的费用.20. （本题满分16分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.已知曲线Γ：13422=+y x ，直线l 经过点()0,m P 与Γ相交于A 、B 两点. （1）若()3,0-C 且2=PC ，求证：P 必为Γ的焦点；（2）设0>m ，若点D 在Γ上，且PD 的最大值为3，求m 的值；（3）设O 为坐标原点，若3=m ，直线l 的一个法向量为()k ,1=，求∆A O B 面积的最大值.21.（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分. 已知数列{}n a （*N ∈n ），若{}1++n n a a 为等比数列，则称{}n a 具有性质P .（1）若数列{}n a 具有性质P ，且3,1321===a a a ，求4a 、5a 的值； （2）若()nn n b 12-+=，求证：数列{}n b 具有性质P ；（3）设=+++n c c c 21n n +2，数列{}n d 具有性质P ，其中11=d ，123c d d =-，232c d d =+，若310>m d ，求正整数m 的取值范围.xyo高三数学质量调研一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1.12. ()()+∞∞-,10,3.34. i +-15.26.1691 7. 21≤≤m . 8. 5 9. 4 10.π20 11. 2-≤a 12. 3二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 【解】设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，如图所示：则()1,0,11B ,⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21,1E ,()0,1,0D ,⎪⎭⎫⎝⎛1,21,0F ……1分⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,21,1,⎪⎭⎫⎝⎛-=0,21,11FB……2分所以1FB =,即1//FB DE 且1FB DE =,故四边形EDF B 1是平行四边形……3分又因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,21,01B ,25==……5分 故平行四边形EDF B 1是菱形……6分（2）因为()0,1,11=C A ()()1,1,101,0--=-,⎪⎭⎫⎝⎛-=0,21,1DE……8分 设异面直线C A 1与DE 所成的角的大小为θ……9分cos =θ……10分()()15152111110121)1(11222222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅+-+-⨯+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-+⨯-=……12分 所以1515arccos=θ……13分, 故异面直线C A 1与DE 所成的角的大小为1515arccos……14分 18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 【解】（1）x b x a x f cos sin )(+=()ϕ++=x b a sin 22，其中abarctan=ϕ……2分 根据题设条件可得，224b a f +=⎪⎭⎫⎝⎛π 即()2222b a b a +=+ ……4分 化简得()()2222b a b a +=+，所以0222=+-b ab a即()02=-b a ，故0=-b a ……………5分所以()022411cos 411sin411=-=+=⎪⎭⎫⎝⎛b a b a f πππ……………6分 （2）由（1）可得，b a =，即()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=4sin 2cos sin )(πx a x x a x f ……8分故x a x a x a x f x g cos 22sin 244sin 24)(=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛-=ππππ所以x a x g cos 2)(=（R ∈x ）…………10分对于任意的R ∈x ，x a x a x g cos 2)cos(2)(=-=-（0≠a ）……12分 即)()(x g x g =-，所以)(x g 是偶函数.…………14分19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 【解】（1）v x 50=，204≤≤v ，得22510≤≤x ……2分 ω300=y ，10030≤≤ω，得103≤≤y ……4分()()y x P -+-+=853100⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=ω30085053100v所以ω300150123--=v P （其中204≤≤v ，10030≤≤ω）……6分 （2）()()y x P -+-+=853100)3(123y x +-=其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤10322510149y x y x ，……9分令目标函数y x k +=3,，()3,6 …12分 则当3,11==y x 时，333max =+=k 所以8736123min =-=P （元）,此时115050==x v ，1003300==ω 答：当3,11==y x 时，所需要的费用最少，为87元。
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1 二模真题汇编-三角比与三角函数一、填空题1、（金山区2019年二模2题）函数()2sin cos y x x =+的最小正周期是 .【答案】π【解析】()2sin cos 12sin cos 1sin 2y x x x x x =+=+=+则22T ππ== 2、（宝山区2019年二模9题）如图，扇形OAB 的半径为1，圆心角为2π，若P 为弧AB 上异于,A B 的点，且PQ OB ⊥交OB 于点Q ，当POQ ∆时，POQ ∠的大小范围为_________【答案】,63ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】()111sin 11cos sin sin 2224S OP OQ θθθθ===>,63ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭3、（崇明区2019年二模2题）函数sin cos y x x =的最小正周期=T _______________.【答案】π2 【解析】x x x y 2sin 21cos sin ==，则ππωπ===222T4、（徐汇区2019年二模5题）函数cos2sin ()cos x xf x x-=在区间(0,]2π上的最小值为【答案】【解析】23)(34,3)32(2,0),32sin()(cos sin 2cos 23)(min -=∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=+=x f x x x x f x x x x f πππππ5、（杨浦区2019年二模1题）函数2()12sin f x x =-的最小正周期是 【答案】π【解析】()212sin cos2f x x x =-=22T ππ⇒==．6、（杨浦区2019年二模7题）函数arcsin 211xx y =-的值域是【答案】14[,]22ππ-+【解析】由题意()arcsin 211x y x x =+-≤≤，在[]1,1-上单调递增，当1x =-时，12y π-=，当1x =时，42y π+=，故该函数的值域是14,22ππ-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦3 7、（杨浦区2019年二模11题） 若△ABC 的内角A 、B 、C ，其中G 为△ABC 的重心，且0GA GB ⋅=，则cos C 的 最小值为【答案】45【解析】0GA GB ⋅=90AGB ⇒∠=︒，如图，CD 为AB 边上中线，设GD k =，则AD BD k ==，3CD k =，设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，根据平行四边形的性质（四条边的平方和等于两条对角线的平方和），可得()()222222CA CB AB CD +=+，即()222221436202a b k k k +=+=， 所以222220ab a b k ≤+=， 在ABC ∆中由余弦定理得2222222044cos 2205a b c k k C ab k +--==≥，所以()min 4cos 5C =．8、（闵行区2019年二模6题）在ABC D 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其面积()22213S a c b =+-，则 tanB = ． 【答案】43． 【解析】1sinB 2S ac =，222cos 2a b c B ab +-=，sin tan cos B B B =由上述三个公式可得4tan 3B =．4 9、（闵行区2019年二模9题）若函数()2x sin xcos x x f w w w =的图像关于直线3x p=对称， 则正数w 的最小值为 ． 【答案】14． 【解析】化简可得()sin(2)3f x x p w =+3x p =对称，所以3x p=的时候，()f x 取得最值，所以2sin 133p w 骣???琪桫，即2332k p p w p +=+（k Z ∈），所以1342k w =+（k Z ∈），即最小的正数w 为14． 10、（浦东新区2019年二模6题）已知函数()()()sin 20f x x ϕϕ=+>是偶函数，则ϕ的最小值是______.【答案】4π【解析】()()0sin 21,=024k f k Z ππϕϕ==±+∈>得,min 4πϕ∴=11、（青浦区2019年二模7题）函数|sin arcsin |y x x =+的最大值为________ 【答案】sin12π+【解析】|sin arcsin |y x x =+在[]1,1-上为偶函数，且在[]0,1上为单调递增，所以最大值为sin12π+ 二、选择题1.（长宁、嘉定区2019年二模16题）对于ABC ∆,若存在111C B A ∆，满足1cos cos sin cos sin cos 111===C C B B A A ，则称ABC ∆为类三角形”“V .类三角形”“V 一定满足 （ ）5 【A 】有一个内角为︒30 【B 】有一个内角为︒45 【C 】有一个内角为︒60 【D 】有一个内角为︒75 【答案】B【解析】由题意可得等腰三角形ABC ∆的三个内角C B A ,,均为锐角，且1,11sin cos sin cos ,sin cos C C B B A A ===，απα2,-===A C B 则设，由于111C B A ∆中，111,,C B A 不会全是锐角，否则，有2,2,2111πππ=+=+=+C C B B A A ，与三角形内角和矛盾，所以111,,C B A 必有一个钝角，只能是顶角1A 为钝角，11B C 和为锐角.所以απαπ-2-211==C B ，，所以α21=A ，再根据1sin cos A A =,可得ααπ2sin )2cos(=-，即02cos 2sin =+αα，432πα=，顶角为4π.2.（普陀区2019年二模16题）设函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=6sin πx x f ，若对于任意,2,65⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈ππα在区间[]m ,0上总存在唯一确定的β，使得()(),0=+βαf f 则m 的最小值为（ ） A 、6π B 、2π C 、67πD 、π 【参考答案】B【解析】画出()x f 图像，()()βαππαf f ⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈23,00,232,65，所以m 的最小值为2π，选B3.（青浦区2019年二模14题）已知△ABC 是斜三角形，则“A B >”是“|tan ||tan |A B >”的（ ）6 【A 】充分不必要条件 【B 】必要不充分条件 【C 】充要条件 【D 】 既不充分又不必要条件 【答案】C【解析】A B >可得B 为锐角；充分性：当A 为锐角时，tan y x =在(0,)2π上单调递增，tan tan A B >成立；当A 为钝角时，A B π+<，则B A π<-，tan()tan A B π->；|tan ||tan |A B >成立。
必要性：当A ，B 为锐角时，显然成立；A 为钝角，B 为锐角时，也成立；A 为锐角，B 为钝角时，tan tan A B >-， A B π>-，显然不成立，故必要性也成立。
三、解答题1.（金山区2019年二模17题）已知ABC ∆中，1tan 4A =,3tan 5B =，AB （1） 角C 的大小；（2） ABC ∆中最小边的边长. 【答案】（1）3=4C π；（2【解析】（1）()()tan tan tan tan tan 1tan tan A BC A B A B A Bπ+=-+=-+=-⎡⎤⎣⎦-1345-113145+=-=-⋅ 所以3=4C π7 （2）22sin 1cos 4sin cos 1A A A A ⎧=⎪⎨⎪+=⎩所以sin A =sin B =； 因为sin sin sin a b c A B C ==，所以sin sin sin BC AC ABA B C==所以BC =5AC =2.（宝山区2019年二模18题）已知()21cos cos 2f x x x x =-+. （1）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的取值范围；（2）设ABC ∆的三边分别是,,a b c ，周长为1，若()12f B =-，求ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）34-. 【解析】（1）()1cos 212sin 22226x f x x x π+⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭, 则50,2,2666x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎡⎤∈⇒-∈- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦()1,12f x ⎡⎤⇒∈-⎢⎥⎣⎦.（2）()112sin 2,2623f B B B ππ⎛⎫=-⇒-=-⇒=⎪⎝⎭由余弦定理：222222cos 2a c b B a c b ac ac+-=⇒+-=-，又有11a b c b a c ++=⇒=--，代入可得：()222112210a c ac a c ac a c ac ++=--⇒+=+≥-≥127sin 324ac S ac B ⇒≤⇒≤-⇒=≤-，即ABC ∆面积的最大值为34-.8 3.（崇明区2019年二模19题）某公园内有一块以O 为圆心半径为20米的圆形区域，为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB 区域，其中两个端点A 、B 分别在圆周上，观众席为等腰梯形ABQP 内且在圆O 外的区域，其中BQ AB AP ==,32π=∠=∠QBA PAB ，且AB 、PQ 在点O 的同侧，为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台中心O 处的距离不超过60米（即要求60≤PO ），设α=∠OAB ,⎝⎛⎪⎭⎫∈3,0πα。
（1）当6πα=时，求舞台表演区域的面积；（2）对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？ 【答案】（1）π3400（2）3600)32sin(38001600<++πα，均能符合要求 【解析】（1）当6πα=时，23AOB π∠=所以舞台表演区域的面积2140023OAB S r απ==扇形平方米.................................................5分（2）作OH AB ⊥于H ，则22cos 40cos AB AH OA αα==⋅= 在OAP 中，22222cos()3OP OA AP OA AP πα=+-⋅+................................................2分92400(6cos cos 1)ααα=++400(3cos 224)αα=+................................................4分)16003πα=++................................................6分因为(0,)3πα∈，所以当12πα=时，max 60OP =<................................................8分所以对于任意α，上述设计方案均能符合要求................................................9分4.（奉贤区2019年二模17题） 已知sin θ、sin α、cos θ成等差数列，sin θ、sin β、cos θ成等比数列. （1）若6πα=，求θ；（2）求1cos2cos22αβ-的值. 【答案】（1）空集；（2）0。