直线圆锥曲线有关向量的问题
圆锥曲线与向量小题
圆锥曲线小题专项训练1．已知抛物线x y 82=的准线与双曲线A,B 两点，双曲线的一条渐近线F 是抛物线的焦点，，且△FAB 是直角三角形，则双曲线的标准方程是（ ）2所对应的图形变成方程221x y +=所对应的图形，需经过伸缩变换ϕ为（ ）C.43x x y y '=⎧⎨'=⎩3的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆 上，且满足0=+OB OA （O 为坐标原点），0212=⋅F F AF ，若椭圆的离心率等于则直线AB 的方程是 ( ) ．A ．4．双曲线具有光学性质：“从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点。
”由此可得如下结论：如右图，过双曲线C ：右支上的点P 的切线l 平分12F PF ∠。
现过原点作l 的平行线交1PF 于M ，则||MP 等于（ ）A ．aB ．b CD ．与点P 的位置有关5e右焦点为F (c ,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1,x 2) （ ）A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情形都有可能6．如图，在ΔABCC ，以A 、H 为焦点的双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3 CD7F 1是左焦点，O 是坐标原点，若双曲线上存在点P ，使1||||PO PF =，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．(]1,2 B ．(1,)+∞ C ．（1，3） D ．[)2,+∞8．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|=4|PF 2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ）A.34 B. 35 C.2 D. 37 9．M ，N ，P 为椭圆上任意一点，且直线PM则直线PN 的斜率的取值范围是( )A ．B ．C ． ]2,8[--D ． ]8,2[ 10．设221a b +=，()0b ≠，若直线2ax by +=和椭圆（ ） A 、 B 、[]1,1-； C 、(][),11,-∞-+∞ ； D 、[]2,2-. 11．已知实系数方程2(1)10x a x a b +++++=的两根分别为一个椭圆和一个双曲线的离心率，值范围是（ ）A ．(2,1)-- B12．如图，已知点B x 轴下方的端点，过B 作斜率为1的直线交椭圆于点M ，点P 在y 轴上，且PM//x 轴，9=⋅BM BP ，若点P 的坐标为（0，t ），则t 的取值范围是（ ）A ．0<t<3B ．0<t ≤3CD ．0<t 13. 已知圆O 的半径为1，PA,PB 为该圆的两条切线，A,B 为两切点，则PB PA ⋅的最小值为（ ）A ．24+-B ．23+-C ．224+-D ．223+-14.已知双曲线]2,2[),(12222∈∈=-+e R b a by a x 的离心率，则一条渐近线与实轴所构成的角的取值范围是_________．15．给定椭圆12222=+by a x ，如果存在过左焦点F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ ，则离心率e 的取值范围是_________.向量小题专项训练1．已知向量21e e +=，2122e e -=，则1e 与2e 共线是与共线的（ ）AC =BA A. B. D.值是（ ）A.33 B.22 C.32 D.43 4．如图),(y x P 是边长为1的正方形内的一点，若PAB ∆，PBC ∆，PCD ∆，PDA ∆面积均不小于61，则PAC AP ∠cos ||的最大值为（ ）A ．322 B ．552 C ．32 D ．22 5．如图抛物线C 1：y 2＝2px 和圆C 2：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＋y 2＝p 24，其中p >0，直线l 经过抛物线C 1的焦点，依次交抛物线C 1，圆C 2于A ，B ，C ，D 四点，则AB →·CD →的值为( )A.p 24 B. p 23 C.p 22D ．p 2 6.若向量a =)(,2x x ，b =)(3,2x -，且a ，b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是 . 7已知O 为ABC ∆的外心， 3,2==AC AB ，12=+y x，若y AB x += )0(≠xy ，则=∠BAC cos.8、设O 为△ABC 的内心，当AB=AC=5，BC=6时，n m +=，则n m +的值为________。
圆锥曲线解题技巧和方法综合全
圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：〔1〕中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法〔点差法〕：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式〔当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论〕，消去四个参数。
如：〔1〕)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。
〔2〕)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)则有02020=-k by a x 〔3〕y 2=2p*〔p>0〕与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(*0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。
过A 〔2，1〕的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
〔2〕焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(*,y)为椭圆x a y b 22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。
〔1〕求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；〔2〕求|||PF PF 1323+的最值。
〔3〕直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的根本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。
y p x p x y t x 210=+>+=()()〔1〕求证：直线与抛物线总有两个不同交点〔2〕设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
高中数学竞赛_直线 圆锥曲线 平面向量
专题五 直线 圆锥曲线 平面向量一 能力培养1,函数与方程思想 2,数形结合思想 3,分类讨论思想 4,转化能力 5,运算能力 二 问题探讨问题1设坐标原点为O,抛物线22y x =与过焦点的直线交于A,B 两点,求OA OB ⋅的值.问题2已知直线L 与椭圆22221x y a b +=交于P,Q 不同两点,记OP,OQ 的斜率分别为OP k ,OQ k ,如果22OP OQb k k a⋅=-,求PQ 连线的中点M 的轨迹方程.问题3给定抛物线C:24y x =,F 是C 的焦点,过点F 的直线l 与C 相交于A,B 两点.(I)设l 的斜率为1,求OA 与OB夹角的大小;(II)设FB AF λ=,若[4,9]λ∈,求l 在y 轴上截距的变化范围.问题4求同时满足下列三个条件的曲线C 的方程:①是椭圆或双曲线; ②原点O 和直线1x =分别为焦点及相应准线;③被直线0x y +=垂直平分的弦AB 的长为三 习题探 选择题1已知椭圆2215x y k+=的离心率e =,则实数k 的值为A,3 B,3或25332一动圆与两圆221x y +=和228120x y x +++=都外切,则动圆圆心的轨迹为 A,圆 B,椭圆 C,双曲线的一支 D,抛物线3已知双曲线的顶点为(2,1)-与(2,5),它的一条渐近线与直线340x y -=平行,则双曲 线的准线方程是 A,925y =±B,925x =± C,1225y =± D,1225x =± 4抛物线22y x =上的点P 到直线4y x =+有最短的距离,则P 的坐标是 A,(0,0) B,1(1,)2 C,1(,1)2 D,11(,)225已知点F 1(,0)4,直线l :14x =-,点B 是l 上的动点.若过B 垂直于y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点M,则点M 的轨迹是A,双曲线 B,椭圆 C,圆 D,抛物线 填空题6椭圆22221x y a b+=(0)a b >>上的一点到左焦点的最大距离为8,到右准线的最小距离为103,则此椭圆的方程为 . 7与方程3x y =的图形关于y x =-对称的图形的方程是 . 8设P 是抛物线2440y y x --=上的动点,点A 的坐标为(0,1)-,点M 在直线PA 上,且分PA所成的比为2:1,则点M 的轨迹方程是 .9设椭圆与双曲线有共同的焦点12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆长轴是双曲线实轴的2倍, 则椭圆与双曲线的交点轨迹是 . 解答题10已知点H (3,0)-,点P 在y 轴上,点Q 在x 轴的正半轴上,点M 在直线PQ 上,且满足0HP PM ⋅= ,32PM MQ =- .(I)当点P 在y 轴上移动时,求点M 的轨迹C;(II)过点T (1,0)-作直线l 与轨迹C 交于A,B 两点,若在x 轴上存在一点E 0(,0)x , 使得ABE ∆是等边三角形,求0x 的值.11已知双曲线C:22221x y a b-=(0,0)a b >>,点B,F 分别是双曲线C 的右顶点和右焦点,O 为坐标原点.点A 在x 轴正半轴上,且满足,,OA OB OF成等比数列,过点F 作双曲线C 在第一,第三象限的渐近线的垂线l ,垂足为P.(I)求证:PA OP ⋅= PA FP ⋅; (II)设1,2a b ==,直线l 与双曲线C 的左,右两分支分别相交于点D,E,求DFDE的值.12已知双曲线的两个焦点分别为1F ,2F ,其中1F 又是抛物线24y x =的焦点,点A (1,2)-, B (3,2)在双曲线上.(I)求点2F 的轨迹方程; (II)是否存在直线y x m =+与点2F 的轨迹有且只 有两个公共点?若存在,求实数m 的值,若不存在,请说明理由.四 参考答案问题1解:(1)当直线AB ⊥x 轴时,在22y x =中,令12x =,有1y =±,则 11(,1),(,1)22A B -,得113(,1)(,1)224OA OB ⋅=⋅-=- . (2)当直线AB 与x 轴不互相垂直时,设AB 的方程为:1()2y k x =-由21(22y k x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,消去y ,整理得22221(2)04k x k x k -++=,显然0k ≠.设1122(,),(,)A x y B x y ,则21212221,4k x x x x k ++=⋅=,得 OA OB ⋅= 1122(,)(,)x y x y ⋅=12x x ⋅+1y 2y =12x x ⋅+11(2k x -21(2k x ⋅-=22212121(1)()24k k x x x x k +⋅-++=22222121(1)424k k k k k ++-⋅+=34-.综(1),(2)所述,有34OA OB ⋅=-. 问题2解:设点P,Q,M 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ,(,)x y由条件知2211221x y a b += ①2222221x y a b += ②122x x x +=,122y y y += ③212212y y b x x a =- ④ ①+②得22221212222x x y y a b+++= 即22121212122222()()222x x y y x x y y a b a b +++--=,将③,④代入得2222442x y a b+=, 于是点M 的轨迹方程为2222122x y a b +=.问题3解:(I)C 的焦点为F(1,0),直线l 的斜率为1,所以l 的方程为1y x =-,把它代入24y x =,整理得2610x x -+= 设A 11(,)x y ,B 22(,)x y 则有12126,1x x x x +==.112212121212(,)(,)2()OA OB x y x y x x y y x x x x ⋅=⋅=+=-++1=3-. OA OB ===cos ,41OA OB OA OB OA OB⋅<>==-, 所以OA 与OB夹角的大小为arccos41π-. (II)由题设FB AF λ= 得2211(1,)(1,)x y x y λ-=--,即21211(1)x x y y λλ-=-⎧⎨=-⎩.得22221y y λ=,又2211224,4y x y x ==,有221x x λ=,可解得2x λ=,由题意知0λ>, 得B (,λ或(,λ-,又F(1,0),得直线l 的方程为(1)1)y x λ-=-或(1)1)y x λ-=--,当[4,9]λ∈时,l 在y或,21λ=-,可知1λ-在[4,9]上是递减的,于是34413λ≤≤-,43314λ-≤-≤--, 所以直线l 在y 轴上的截距为[43,34--]34[,]43. 问题4解:设M (,)x y 为曲线C 上任一点,曲线C 的离心率为e (0,1)e e >≠,由条件①,②得e =,化简得:22222(1)20e x y e x e -++-= (i)设弦AB 所在的直线方程为y x m =+ (ii) (ii)代入(i)整理后得:22222(2)2()0e x m e x m e -+++-= (iii), 可知22e =不合题意,有220e -≠,设弦AB 的端点坐标为A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,AB 的中点P 00(,)x y .则1x ,2x 是方程(iii)的两根.21222()2m e x x e ++=--,2121222()()()22m e y y x m x m m e ++=+++=-+-2120222x x m e x e ++==-,21202(1)22y y m e my e ++-==-,又中点P 00(,)x y 在直线0x y +=上, 有222m e e +-+22(1)2m e me +--=0,解得2m =-,即AB 的方程为2y x =-,方程(iii)为 2222(2)2(2)40e x e x e -+-+-=,它的28(2)0e ∆=->,得22e >.21222(2)22e x x e -++=-=-,212242e x x e-⋅=-由12AB x =-,得22222121212()(1)[()4](1)AB x x k x x x x k =-+=+-+即222224(24)(11)2e e-=-⋅+-,得242e =>,将它代入(i)得223840x y x --+=. 所求的曲线C 的方程为双曲线方程:224()314493x y --=.1焦点在x 轴得3k =;焦点在y 轴得253k =,选B.2设圆心O(0,0),1(4,0)O -,'O 为动圆的圆心,则''1(4)(1)3O O O O r r -=+-+=,选C.3知双曲线的中心为(2,2),由340x y -=变形得220916y x -=,于是所求双曲线方程为 22(2)(2)1916y x ---=,它的准线为925y -=±,即925y =±,选A. 4设直线y x m =+与22y x =相切,联立整理得222(1)0x m x m +-+=, 由224(1)40m m ∆=--=,得12m =,这时得切点(12,1),选B.5由MF MB =知点M 的轨迹是抛物线,选D.6可得28103a c a a c+=⎧⎪⎨-=⎪⎩,消去c ,整理得237400a a --=,有5a =或83-(舍去),得3c =,4b =,所以所求的椭圆方程为2212516x y +=. 7设点P (,)x y 是所求曲线上任一点,它关于y x =-对称的点'(,)P y x --在3x y =上, 有3()y x -=-,即3y x =. 8设点P 00(,)x y ,M (,)x y ,有0203x x +⨯=,02(1)3y y +⨯-=,得03x x =,032y y =+ 而2000440y y x --=,于是得点M 的轨迹方程是291240y x --=.9由条件可得123PF PF =或213PF PF =,设P (,)x y 代入可知交点的轨迹是两个圆.10解:(I) 设点M (,)x y ,由32PM MQ =- ,得P (0,),(,0)23y xQ -由0HP PM ⋅= ,得3(3,)(,)0,22y y x -⋅=所以24y x =.又点Q 在x 轴的正半轴上,得0x >.所以,动点M 的轨迹C 是以(0,0)为顶点,以(1,0)为焦点的抛物线,除去原点.(II)设直线l :(1)y k x =+,其中0k ≠,代入24y x =,整理得22222(2)0k x k x k +-+= ①设A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,2121222(2),1k x x x x k -+=-=,1212(1)(1)y y k x k x +=+++=124()2k x x k k++=,有AB 的中点为2222(,)k k k -,AB 的垂直平分线方程为22212()k y x k k k --=--,令0y =,0221x k =+,有E 22(1,0)k + 由ABE ∆为正三角形,E 到直线AB,知2AB k =由2k k =,解得k =,所以0113x =. 11(I)证明:直线l 的方程为:()ay x c b=-- 由()a y x c b b y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,得P 2(,)a ab c c ,又,,OA OB OF 成等差数列,得A(2a c,0),有22(0,),(,),(,)ab a ab b ab PA OP FP c c c c c =-==- ,于是222a b PA OP c ⋅=- ,222a b PA FP c⋅=- ,因此PA OP ⋅= PA FP ⋅ .(II)由1,2a b ==,得c =,l:1(2y x =--由221(214y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,消去x ,整理得215160y -+= ① 设D 11(,)x y ,E 22(,)x y ,由已知有12y y >,且1y ,2y 是方程①的两个根.12y y +=121615y y =,21212122112()2103y y y y y y y y y y +-+==,解得213y y =或13. 又12y y >,得21y y =13,因此121211321DF y y y y DEy ===--. 12解:(I)1(1,0)F,12AF BF ==,设2(,)F x y 则121220AF AF BF BF a -=-=>,去掉绝对值号有两种情况,分别得2F 的轨迹方程为1x =和22(1)(2)184x y --+=(0,4y y ≠≠)(II)直线1l :1x =,2l :y x m =+,D(1,4),椭圆Q:22(1)(2)184x y --+=①若2l 过点1F 或D,由1F ,D 两点既在直线1l 上,又在椭圆Q 上,但不在2F 的轨迹上, 知2l 与2F 的轨迹只有一个公共点,不合题意.②若2l 不过1F ,D 两点(1,3m m ≠-≠).则2l 与1l 必有一个公共点E,且点E 不在椭圆Q 上, 所以要使2l 与2F 的轨迹有且只有两个公共点,必须使2l 与Q 有且只有一个公共点, 把y x m =+代入椭圆的方程并整理得223(104)2810x m x m m --+-+= 由0∆=,得1m =±。
高中数学圆锥曲线知识点总结5篇
高中数学圆锥曲线知识点总结5篇高中数学圆锥曲线知识点总结5篇教育的现代化和大众化是推进知识普及和人才培养的重要策略。
科学科研的公正性和透明度是科研活动的重要保障。
下面就让小编给大家带来高中数学圆锥曲线知识点总结，希望大家喜欢!高中数学圆锥曲线知识点总结11、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x ，y+y )。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x ,y ) 则 a-b=(x-x ,y-y ).3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
当λ 0时，λa与a同方向;当λ 0时，λa与a反方向;当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣ 1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ 0)或反方向(λ 0)上伸长为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣ 1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ 0)或反方向(λ 0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的的数量积定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。
直线与圆锥曲线位置关系的又一向量判别法
= | MF ′ | +| MF |
2 2
2
2
- 2 | MF ′ | | MF |
2
cos2θ ] 4 c = 4a - 2 | M F ′ | | M F | ( 1 + cos2 θ )]
| MF ′ | |MF | =
=
x0 y0 ( x0 - a )
2 2
= 2
b x0 a y0
2 2
2
, 有 m = y0 - kx0
中学数学杂志 2008年第 5 期 Z H ONGXU ESH U X U EZ
r - a m - b n 2 2 m + n
2 2 2 2 2 2 2 2
H A Z H I
=
l平行于双曲线的一渐近线 Ζ 直线 l与双曲线相交 (或相交于一点 ) ;
2 2 2
( 1 ) D A DB = 0 Ζ r - a m ( 2 ) D A DB < 0 Ζ r - a m
nx - m y + cn = 0 , 与直线 l 的方程联立可得 D( m r + cn cm n - n r , 2 ) , 于是 2 2 2 m + n m + n DA = ( - a + DB = ( a + m r + cn c mn - nr ), 2 2 , 2 2 m + n m + n
2 2 2 2 2 2 2
- b n
2
2
2
= 0Ζ a m < 0Ζ a m
2 2
2
2
( 3) DA
DB < 0 Ζ r + b n - a m
= 0
圆锥曲线中的向量同构
圆锥曲线中的向量同构
以下是关于圆锥曲线中的向量同构的问题。
圆锥曲线中的向量同构，通常是指在圆锥曲线坐标系中，两个向量之间的坐标变换关系。
设圆锥曲线的方程为：
椭圆：x^2/a^2+y^2/b^2=1
双曲线：x^2/a^2-y^2/b^2=1
抛物线：y=ax^2
假设有一个向量A=(x1,y1)，另一个向量B=(x2,y2)。
我们可以通过以下坐标变换关系来实现向量同构：
1.椭圆：
对于椭圆，坐标变换关系为：
x2=x1*sqrt(1-y1^2/b^2)
y2=y1*sqrt(1-x1^2/a^2)
2.双曲线：
对于双曲线，坐标变换关系为：
x2=x1*sqrt(1+y1^2/b^2)
y2=-y1*sqrt(1+x1^2/a^2)
3.抛物线：
对于抛物线，坐标变换关系为：
x2=x1/(y1+a)
y2=y1*2+a
通过这些坐标变换关系，我们可以实现圆锥曲线中向量的同构。
需要注意的是，这些变换关系仅在特定条件下成立，例如a、b分别为椭圆、双曲线、抛物线的半轴长。
在实际应用中，根据
具体问题来确定向量同构的关系。
。
高考圆锥曲线题型之共线向量问题
题型五：共线向量问题解析几何中的向量共线，就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题，再通过未达定理------同类坐标变换，将问题解决。
此类问题不难解决。
例题7、设过点D(0,3)的直线交曲线M ：22194x y +=于P 、Q 两点，且DP DQ l =uuu r uuu r ,求实数l 的取值范围。
分析：由DP DQ l =uuu r uuu r可以得到12123(3)x x y y l l ìï=ïíï=+-ïî，将P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),代人曲线方程，解出点的坐标，用l 表示出来。
解：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),Q DP DQ l =uuu r uuu r\(x 1,y 1-3)=l (x 2,y 2-3) 即12123(3)x x y y l l ì=ïïíï=+-ïïî 方法一：方程组消元法又Q P 、Q 是椭圆29x +24y =1上的点\22222222194()(33)194x y x y l l l ìïï+=ïïïíï+-ï+=ïïïî消去x 2，可得222222(33)14y y l l l l +--=-即y 2=1356l l - 又Q －2£y 2£2， \－2£1356l l-£2 解之得：155λ≤≤ 则实数l 的取值范围是1,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法设直线PQ 的方程为：3,0y kx k =+≠，由2234936y kx x y =+⎧⎨+=⎩消y 整理后，得22(49)54450k x kx +++=P 、Q 是曲线M 上的两点22(54)445(49)k k ∴∆=-⨯+＝2144800k -≥即295k ≥ ① 由韦达定理得：1212225445,4949k x x x x k k+=-=++ 212121221()2x x x x x x x x +=++222254(1)45(49)k k λλ+∴=+ 即22223694415(1)99k k kλλ+==++ ② 由①得211095k <≤，代入②，整理得 236915(1)5λλ<≤+， 解之得155λ<< 当直线PQ 的斜率不存在，即0x =时，易知5λ=或15λ=。
圆锥曲线中向量乘积过定点问题
圆锥曲线中向量乘积过定点问题《圆锥曲线中向量乘积过定点问题》简介：圆锥曲线是数学中非常重要和广泛应用的一类曲线。
其中的一个有趣问题是在圆锥曲线上通过两个给定点的向量乘积是否会经过一个固定点。
本文将介绍圆锥曲线、向量乘积以及相关定点问题的解答。
一、圆锥曲线的定义和特点圆锥曲线是平面上的一条曲线，其形状可以是椭圆、双曲线或抛物线。
圆锥曲线的定义可以由焦点和准线（或直角）进行描述。
其中，焦点是曲线上的一个点，准线是与曲线相切且通过焦点的直线。
椭圆和双曲线有两个焦点，而抛物线只有一个焦点。
圆锥曲线具有许多有趣的性质和特点，比如在椭圆中任意两点的向量乘积永远过椭圆的焦点，而在双曲线中通过焦点的向量乘积则不会在曲线上，而是在双曲线的准线上。
这些性质使得圆锥曲线在数学中有广泛的应用。
二、向量乘积的概念在二维空间中，向量可以表示为具有两个分量（x，y）的有序对。
向量乘积是指两个向量按照一定规则进行乘法运算后得到的结果。
在圆锥曲线中，我们可以通过向量乘积来研究向量在曲线上的变化情况。
具体而言，对于给定的曲线上的两个点P和Q，其向量分别为→P和→Q。
那么向量乘积的结果为→P × →Q，其结果是一个新的向量。
根据向量乘积的定义，向量乘积的长度表示P和Q之间的距离，而向量乘积的方向则表示了P和Q之间的夹角。
三、乘积过定点的问题在圆锥曲线中，一个有趣的问题是，如果在曲线上选择两个点P和Q，那么它们的向量乘积是否会通过一个固定的点O（定点）？答案是：对于椭圆，通过焦点O的向量乘积一定会经过点O；对于双曲线，通过焦点O的向量乘积则不会经过点O，而是将焦点O延伸到曲线的准线。
这个结论可以通过几何和向量运算来证明。
通过几何推导，我们可以发现在椭圆中，任意两点的向量乘积都会经过焦点O。
而在双曲线中，由于焦点在准线上，所以通过焦点的向量乘积将延伸到双曲线的准线。
结论：通过两个给定点的向量乘积是否经过一个固定点是圆锥曲线中一个有趣的问题。
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直线圆锥曲线有关向量的问题 咼考考什么 知识要点:1直线与圆锥曲线的公共点的情况直线：ax by c 0 曲线：f (x, y) 02•连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，要能熟练地利用方程的根与系数关系3•以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题 4. 几何与向量综合时可能出现的向量内容(3)给出，等于已知是的中点；(5)给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数，等于已知三点共线(6) 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即(7) 给出，等于已知，即是直角，给出，等于已知是钝角，给出，等于已知是锐角。
(9) 在平行四边形中，给出，等于已知是菱形；(10) 在平行四边形中，给出，等于已知是矩形；(11) 在中，给出，等于已知是的外心(三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点)；(1)没有公共点 方程组无解 (2) 一个公共点i) 相交 A 0 ii) 相切A 0,(3)两个公共点A 0, 02(或A'y 2 B'y C' 0)Ax Bx C 0来计算弦长，常用的弦长公式:AB 41 ―k 2 x 1 x 2(12) 在中，给出，等于已知是的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点)；(13) 在中，给出，等于已知是的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点)；(16)在中，给出，等于已知是中边的中线高考怎么考 主要题型：1 •三点共线问题；2 •公共点个数问题；3 •弦长问题；4.中点问题；5 .定比分点问题；6.对称问题；7.平行与垂直问题；8.角的问题。
近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为(1) 考查学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。
(2) 考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方 程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。
特别提醒： 法和韦达定理是解决直线和圆锥曲线位置关系的重要工具。
关于y 轴对称，0(1) 求椭圆C 2的方程；(2) 设O 为坐标原点，点 A, B 分别在椭圆G 和C 2上，O B= 2OA 求直线AB 的方程.2 2y x解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为—+ = 1(a >2),a 4其离心率为,故 —-= ，贝U a = 4,故椭圆C2的方程为鲁+x = 1.2a 216 4(2)解法一：A , B 两点的坐标分别记为(X A , y A ) , (X B , y s ),由O B= 2了及(1)知，0 A B 三点共线且点 A , B 不在y 轴上，因此可设直线 AB 的方程 为 y =kx .x 24 将 y = kx 代入匚 + y 2 = 1 中，得(1 + 4k 2)x 2 = 4，所以 x A =2, 41 + 4k2 2例1.过点P (x , y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于 A,B 两点，点Q 与点P为坐标原点，若uu r BP uuu 且 UULT UUU 2PA OQ ? AB则点P 的轨迹方程是(D )A.3x 21(x 0,y 0)3x 23y 21(x 0,y 0)2c.3y 21(x 0,y0)-x 2 3y 2 1(x 0, y 0)2例2. 已知椭圆C :椭圆 C 2以C 的长轴为短轴，且与 C 有相同的离心率.4例6设F 1、F 2分别是椭圆x 2 y 2 1的左、右焦点所以 x B = 4 J/,又由 OB= 2(^A 得 x B = 4X A ,4十k 冃 16 16 即 4+F = 1十？，解得k =± 1,故直线 AB 的方程为y = x 或y =— x . 解法二：A , B 两点的坐标分别记为(X A , y A ) , (X B , y B ),由6B= 2盹(1)知，O A B 三点共线且点 A , B 不在y 轴上，因此可设直线 AB 的方程 为 y = kx .2将y = kx 代入£十y 2 = 1中，得(1十4k 2)x 2 = 4, 所以xA =汙灵，由张办解得k =± 1,故直线 AB 的方程为y = x 或y =— x .uuu uuu例4已知A,B 为抛物线x 2=2py (p >o )上异于原点的两点，OA OB 0,点C 坐标为(0, 2p )(1) 求证：A,B,C 三点共线；—— —— uuuu uuu(2) 若AM = BM ( R )且OM AB 0试求点M 的轨迹方程。
2 2(〔)证明：设 A(x |, —), B(X 2,—),2p 2pUUU UUU由 O A O B 0 得 x 1x 2 2 2x X 2 0, x 1x 24p 2,2p 2pUUUT 又Q AC ( x 1,2px 2UUU牛),AB (X 2 X 2X 1,2 22p2p2 22x 2 x 1 X 1 (2p :)伙 X 1)0 ,2p 2pUUUT UUUAC // AB ，即A,B,C 三点共线。
UUUU UUU ---- -----------(2)由(1)知直线AB 过定点C,又由OM AB 0及AM = BM (R )知OM AB垂足为 M 所以点 M 的轨迹为以 OC 为直径的圆，除去坐标原点。
即点M 的轨迹方程为2 2 2x +(y-p ) =p (x 0, y 0)。
得x B =161 十 4k 2， y B = 16k2 1十 4k 2，将x B , 2 2 y B 代入稳十7 =1中，得 4+ k 2 1十 4k 21，即 4 十 k 2= 1 十 4k 2,解法二 二：易知a 2,b 1,c uur UUUT UUIT UULUPF 1 PF 2 PF 1 PF 2 cos、、3,0 , F 2 3,0，设 P x, yuuiT uuU PF 1 PF 2UU 2 UU 2 UUI PF 1PF 2F 1F 2，则联立•- %又00.3显然直线y 2x4 X 24kkx4kk 2A0B 12 x 2 y 2 3 (以下同解法一)0不满足题设条件, 可设直线I : y kx 2,A X i ,y 2 ,BX 2,y 2 ，消去 1，X 1490°y ，整理得: X 2 4kx 3X 2 cos 24k 2 3A0B 00 得: uu u OA uuu OBuuu UJU 二 OA OB x 1x 2y 』2 0又y』2kx-. 2 kx 22k ^x 2 2k x 1 X 23 k 28k 2 .21 21kk4 4uuur uuun(I)若P 是该椭圆上的一个动点，求 PF 1 PF 2的最大值和最小值(n)设过定点 M(0,2)的直线I 与椭圆交于不同的两点 A 、B ,且/ AOB 为锐角(其 中O 为坐标原点)，求直线 I 的斜率k 的取值范围.解：(I )解法一 •: 易知a 2,b 1,c /3 ,所以F 1.3,0 ,F 2'3,0 ,设P x, y ,uuur 则PF 1 uuuuPF 23 x, y,.32 2X, y X y 3 x 22X 131 2 3x 844LUI T uuuu因为X2,2 ，故当x=0, 即点P 为椭圆短轴端点时，PF 1 PF 2有最小值 -2 uuur uiuui,3，所以F 1F 1PF 22PF 22当x= 2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1 PF2有最大值132故由①、②得 2 k满足| a |+| b |=4.则点P (x ,y )的轨迹是.(C )A.椭圆B.双曲线C.线段D.射线线上，且 PF • P F 2= 0，则 | PF + PF 2| =().4 '2向量 PF + PF 2= 2P Q 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出 .PF ・ P F 2= 0，则| PF +Pfe | = 2|而=| F 1F 2| = 2/10.6. 已知A B 为抛物线x 2=2py (p>0)上两点，直线 AB 过焦点F ，A 、B 在准线上的射影 分别为C 、D,贝U ①y 轴上恒存在一点 K ，使得KA?KF 0 :②CF ? DF 0 :③存在实 数 使得 ADAO :④若线段AB 中点P 在在准线上的射影为 T ，有FT?AB 0。
中 说法正确的为 ②③④27. 已知椭圆y 2 1，过P(1,0)作直线I ，使得I 与该椭圆交于 A,B 两点，I 与y2uuir uuu轴的交点为 Q 且AQ PB ，求直线I 的方程。
解：直线I 过P(1,0)，故可设方程为y=k (x-1)，因为AQ PB ，所以AB 的中点与PQ 的 中点重合.5. ［2012 •许昌一模］设只、F 2分别是双曲线2X 2— 9 = 1 的左、右焦点.若点 P 在双曲k 2★★★自我提升平面直角坐标系中， O 为坐标原点, 1、 已知A ( 3, 1),B (-1 , 3)，若点C 满足OC——- ——- 其中OA OB ，R,且=1,则点 C 的轨迹方程为(D ) A. 3x +2y -1 仁0 B . (x -1) 2+(y -2) 2=5 C . 2 x-y =0 Dx +2y -5=02、 已知i, j 是x,y 轴正方向的单位向量，设a =(x 2)i yj,b =(x 2)iA. 2 ；'2.2 70由2X ~2yy212 2 2 2得(1+2 k)x -4 k x+2 (k -1)=0k(x 1)所以X A X B4k，又X P+XF1故1 2k24k2 1 2k22，所求的直线方程为2O1)2 2X y& [2012 •瑞安质检]设椭圆M才+ 22a1(a^2)的右焦点为F1,直线l : X = v a2― 2与X轴交于点A,若OF+ 2AF = 0(其中O为坐标原点)•(1)求椭圆M的方程；⑵设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N： X2+ (y —2)2= 1的任意一条直径(E, F为直径的两个端点)，求PE- PF的最大值.&2解: (1)由题设知，A -a2—2, 0, F1( .a—2，°),__ a______________ / y 由OF+ 2A F= o,得寸a2—2 = 2 JO—2 —寸a2— 2 .解得a2= 6.所以椭圆M的方程为石+ 2=i.⑵解法1:设圆N： x2+ (y —2)2= 1的圆心为N,则PE- PF= (N E-Nfp •( NF- Np = ( — N F— N p •( NF- N p = NfP—N F= N P—1.2 2X o y o设P(X o, y o)是椭圆M上'一点，贝U 6 + 2 = 1,所以N P= X o + (y o—2) = —2(y o+ 1) + 12.因为y o€ [ —2, 2]，所以当y o=—1时，N P取得最大值12.所以PE- PF勺最大值为11.X2=—X1 ,解法2：设点曰X1, y1) , F(X2, y2) , P(x o, y o)，所以y2= 4—y1.可得PE • PF= (X1 —X o)( X2 —X o) + (y1 —y o)( y—y o) = (X1 —x o)( —X1 —x o) + (y1 —y°)(4 —y—y o)=x o —X2+ y o —y2+ 4y1 —4y o= x o+ 4y o—(X2 + y?—4yJ .因为点E在圆N上，所以x1+ (y1 —2) 2= 1,即x1+ y1—4y1=— 3.2 2X o y o又因为点P在椭圆M上，所以6 + ~2 = 1,即x o= 6—3y o.所以PE• P F= —2y2—4y o+ 9=—2(y o+ 1)2+11.因为y o€ [ — ',2, 'J2]，所以当y o=— 1 时，(PE• PF> min= 11.y x2 2将 y = kx 代入 16+ 4 = 1 中，得(4 + k )x = 16, 5. D ［解析］根据已知厶PFF 2是直角三角形,29.设椭圆C:笃 a 2莒 1(a b 0)的左焦点为 b 2 F ,上顶点为 A ,过点A 作垂直于AF的直线交椭圆C 于另外一点P,交x 轴正半轴于点 且AP-PQ5(1)求椭圆C 的离心率; (2)若过A 、Q F 三点的圆恰好与直线I : 0相切，求椭圆C 的方程. 解：⑴设Q(x o . 0)，由 F (-c ，0) A （ 0，b ）知 FA（c,b ）,AQ（x o ， b ）2FA AQ, cx 0 b0,X 0b 2— 8 — 设 P （X 1, yd 由 AP -PQ ，得 x ! 5 8b 2 13c ，y 1 13b8b 2 因为点P 在椭圆上，所以( 13c ）22a5 （b ） 13 "V 整理得 2b 2=3ac ，即 2（ a 2— c 2） =3ac ,2e 2 3e0,1故椭圆的离心率e = 2⑵由⑴知2b 23ac ，得丄 2a ；c 2 1是 F （ — 2a ，30）， Q （—a ，0）2△ AQF 的外接圆圆心为(丄a ，0)，半径 21r=2lFQ|=a所以Ea 5|2a ，解得a =2」c =1,所求椭圆方程为。